《勾股定理》
勾股定理的内容
勾股定理的内容勾股定理，又称勾股定理，是古代数学中的一个重要定理。
在直角三角形中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
其数学表达形式为：a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。
起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理，但最早是在《周髀算经》中发现的，成为世界上最早的几何著作之一。
据传，勾股定理是周公提出的，故得名“周公定理”。
后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中，并首次用文字表达了这一定理。
在中国古代，勾股定理的应用非常广泛，不仅用于地测和农业，还被运用在建筑和军事领域。
随着数学的发展，勾股定理也在世界各地广泛传播，并成为数学中的重要定理之一。
数学证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。
这一证明方法被后人发扬光大，成为数学学科中的一个经典证明。
应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。
例如，在建筑领域中，利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性；在工程设计中，可以测量距离和角度；在电子领域中，可以应用于信号传输和数据处理等方面。
总的来说，勾股定理是数学中的一个重要定理，不仅对几何学有重要意义，还在现代科学技术中有着广泛的应用。
结语通过对勾股定理的介绍，我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。
了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义，还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。
在学习数学的过程中，我们应该对勾股定理有更多的了解和探索，进一步探索数学世界的奥秘。
《勾股定理》说课稿(精选5篇)
《勾股定理》说课稿(精选5篇)作为一名教职工，通常需要用到说课稿来辅助教学，说课稿有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
怎么样才能写出优秀的说课稿呢？为了让您对于勾股定理说课稿的写作了解的更为全面，下面作者给大家分享了5篇《勾股定理》说课稿，希望可以给予您一定的参考与启发。
《勾股定理》说课稿篇一教材分析《勾股定理》是人教版新课标八年级数学第十八章一节一课时内容，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，是中学数学几个重要定理之一。
它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值，它在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。
教学目标根据新课程标准对学生知识、能力的要求，结合八年级学生实际水平、认知特点制定以下教学目标。
知识与技能：知道勾股定理的由来，理解和掌握勾股定理的证明方法。
能够灵活地运用勾股定理及其计算。
过程与方法：让学生经历观察-猜想-归纳-验证的数学过程，并从中体会数形结合及从特殊到一般的数学思想。
培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
情感态度与价值观：介绍我国古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感在探索问题的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
(三)本节课的重点：是勾股定理的发现、验证和应用。
难点：是用拼图方法、面积法证明勾股定理教法和学法教法指导：数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，要展现获取知识和方法的思维过程，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采取自主探究发现式教学，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。
使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知。
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
《勾股定理》知识点归纳
第17章《勾股定理》知识点归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=. ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变. ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证.３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，可求第三边.在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a =cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bcc baE D CBA②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系. ③可运用勾股定理解决一些实际问题. ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为 斜边.①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边.③勾股定理的逆定理在描述时，不能说成：当“斜边”的平方等于两条“直角边”的平方和时，这个三角形是直角三角形. ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数.②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） 柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）. ７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．。
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
八年级数学《勾股定理》教案8篇
八年级数学《勾股定理》教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《勾股定理》考点复习
《勾股定理》专题复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2, b2= c2—a2 .2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形.这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方—最小边的平方=中间边的平方。
③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角。
④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2=c2的三个正整数，称为勾股数.注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.常见勾股数有：（3,4，5）（5，12,13）(6,8，10)（7，24，25）（8，15，17）(9，12,15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短.二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:（1）阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、四边形ABCD 中，∠B=90°,AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。
考点二:在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为 ．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 . 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（)A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5,b=12，则c=___________；②若a=15，c=25,则b=___________;③若c=61，b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
人教版八年级数学下册《勾股定理》
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
在直角三角形中，斜边（即直角对边）的平方等于其他两边（即直角边）的平方和。
这个定理不仅在我国古代就已经被发现，而且在全球范围内也被广泛接受和应用。
勾股定理的表达式为：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
这个定理的发现和应用对于几何学的发展具有重要意义。
它不仅解决了许多实际问题，如测量、建筑、工程等，而且在数学研究中也起到了关键作用。
通过勾股定理，我们可以轻松地计算出直角三角形中任意一边的长度，只要我们知道其他两边的长度。
在学习勾股定理的过程中，我们不仅要掌握定理的表达式和推导过程，还要学会如何应用它解决实际问题。
通过勾股定理的学习，我们可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它不仅在我国古代就已经被发现，而且在全球范围内也被广泛接受和应用。
学习勾股定理不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的数学思维能力。
因此，我们应该认真学习和掌握勾股定理，为将来的学习和生活打下坚实的基础。
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理的发现和应用对于几何学的发展具有重要意义。
它不仅解决了许多实际问题，如测量、建筑、工程等，而且在数学研究中也中任意一边的长度，只要我们知道其他两边的长度。
在学习勾股定理的过程中，我们不仅要掌握定理的表达式和推导过程，还要学会如何应用它解决实际问题。
通过勾股定理的学习，我们可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
1. 我们假设有一个直角三角形，其中直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
3. 然后，我们将直角三角形的两个直角边分别放在正方形的两个相邻边上，使得直角三角形的斜边与正方形的对角线重合。
4. 通过观察，我们可以发现，正方形的面积等于两个直角三角形的面积之和，即a² + b² = c²。
三角形 勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
而在西方，最早提出并证明此定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
此外，勾股定理在数学、工程和物理等领域有着广泛的应用，例如用于测量、计算和解决与直角三角形有关的各种问题。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询数学专业人士。
《勾股定理》说课稿【优秀6篇】
《勾股定理》说课稿【优秀6篇】《勾股定理》说课稿篇一各位专家领导：上午好！今天我说课的课题是《勾股定理》。
一、教材分析：（一）本节内容在全书和章节的地位。
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（华东版），八年级第十九章第二节“勾股定理”第一课时。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力；通过实际分析，拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于正确的进行运用。
（二）三维教学目标：1、知识与能力目标。
（1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；（2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
2、过程与方法目标。
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
3、情感态度与价值观。
通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（三）教学重点、难点：1、教学重点：勾股定理的证明与运用2、教学难点：用面积法等方法证明勾股定理3、难点成因：对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。
4、突破措施：（1）创设情景，激发思维：创设生动、启发性的问题情景，激发学生的问题冲突，让学生在感到“有趣”、“有意思”的状态下进入学习过程；（2）自主探索，敢于猜想：充分让自己动手操作，大胆猜想数学问题的结论，老师是整个活动的组织者，更是一位参入者，学生之间相互交流、协作，从而形成生动的课堂环境；（3）张扬个性，展示风采：实行“小组合作制”，各小组中自己推荐一人担任“发言人”，一人担任“书记员”，在讨论结束后，由小组的“发言人”汇报本小组的讨论结果，并可上台利用“多媒体视频展示台”展示本组的优秀作品，其他小组给予评价。
勾股定理
勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
[1]推广定理：勾股定理的逆定理。
如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na,nb,nc) 也是勾股数。
若a,b,c三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。
2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
埃及称为埃及三角形。
早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。
相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。
可以说真伪难辨。
这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
《勾股定理》PPT课件
AC 2 6
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 习
(1)若a=6，c=10，则b=
;
(2)若a=12，b=9，则c= (3)若c=25，b=15，则a=
; ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 C 3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以得 b 出哪些与边有关的结论？ A m h
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
a
B D n
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) B E C
a b
c
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图，动手拼图
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
a b
《勾股定理》PPT
小贴士
为什么叫勾股定理这个名称呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称 为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直 角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2 国外又叫毕达哥拉斯定理
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（ C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
新知应用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
c
A
b
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
b c2 a2 22 12 3.
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2
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几何语言： a c ∵在Rt△ABC中 ∠C=90°（已知）
∴a2+b2=c2（勾股定理）
∟
Cb A
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c a2 b2
a2=c2 － b2
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
求下列直角三角形中未知边的长:
P
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米。
CQB
思考：
1.你能发现图中的三个正方形的面积之间有
（图中每一格代表一平方厘米） 什么关系吗？
SP+SQ=SR
2.你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
3.你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
AC2+BC2=AB2
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
即：X=√52+122
=15
=13
课堂小结
• 1.说一说本节课我有哪些收获?
毕达哥拉斯的传说
早在2500年前，古希腊数 学家毕达哥拉斯从朋友家的 地砖铺成的地面上找到了灵 感，并且对此展开研究，下 面我们也来重温数学家的发 现之路，探究这个“饭局中 诞生的定理”。
12 3
探究一 观察左图：
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米。
AR
（2）正方形Q的面积是 1
平方厘米。
b
髀算经》作注
b a
时给出的，他 用面积法证明
了勾股定理
c
勾股定理的证明(二)
b
a
a
c
b
c
bc
c
a
a
b
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被 传为佳话,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易 懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
伽
菲
尔
德
S梯形= 1 (a+b)(a+b)
证 法
2
1
1
1
S梯形 =
2
c2 +2 · ab
2
=
2
c2+ab
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
c2 = a2 + b2
概括
揭示了直角三角形三条边的 关系
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2
猜想：
在等腰直角三角形中,两直角边的平方 和等于斜边的平方.
质疑：
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的 平方和是否等于斜边的平方呢?
探究二
A
R Q
C
P
图2
B A
Q
C
R
B
P
图3 (每一小方格表示1平方厘米)
A
R Q
C
P
图2
B
AR
Q
C
B
P
图3
“割”
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
R Q
西方国家称勾股定理为毕达 哥拉斯定理。
实验验证
1.你能用四个全等的直角三角形拼 出大会会标吗？
2.你能否用你所拼出的图形来证明
你的猜想a2+b2=c2 ？
3.你还能拼出另外的图来证明你的 猜想a2+b2=c2 ？
勾股定理的证明(一)
“弦图”
a
最早是由1700
Hale Waihona Puke 多年前三国时期吴国的数学
b
c 家赵爽为《周
“补”
P
R
图3
Q
P
图4
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
探究二
A
R Q
C
P
图2
B A
Q
C
R
B
P
图3 (每一小方格表示1平方厘米)
9 16 25
9
4 13
SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2
勾股定理的由来
中国最早的一部数学著 作 — — 《周髀算经》中就记载了 公元前1120年我国古人发现的 “勾三股四弦五”.当时把较短的 直角边叫做勾,较长的直角边叫做 股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五” 的意思是,在直角三角形中，如果 勾为3,股为4,那么弦为5.所以我 国称它为勾股定理.