《勾股定理》

猜想：
在等腰直角三角形中,两直角边的平方 和等于斜边的平方.
质疑：
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的 平方和是否等于斜边的平方呢?
探究二
A
R Q
C
P
图2
B A
Q
C
R
B
P
图3 (每一小方格表示1平方厘米)
A
R Q
C
P
图2
B
AR
Q
C
B
P
图3
“割”
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
R Q
B
几何语言： a c ∵在Rt△ABC中 ∠C=90°（已知）
∴a2+b2=c2（勾股定理）
∟
Cb A
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c a2 b2
a2=c2 － b2
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
求下列直角三角形中未知边的长:
毕达哥拉斯的传说
早在2500年前，古希腊数 学家毕达哥拉斯从朋友家的 地砖铺成的地面上找到了灵 感，并且对此展开研究，下 面我们也来重温数学家的发 现之路，探究这个“饭局中 诞生的定理”。
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12 3
探究一 观察左图：
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米。
AR
（2）正方形Q的面积是 1
平方厘米。
b
髀算经》作注
b a
时给出的，他 用面积法证明
了勾股定理
c
勾股定理的证明(二)
b
a
a
c
b
c
bc
c
a
a
b
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被 传为佳话,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易 懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
伽
菲
尔
德
S梯形= 1 (a+b)(a+b)
“补”
P
R
图3
Q
P
图4
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
探究二
A
R Q
C
P
图2
B A
Q
C
R
B
P
图3 (每一小方格表示1平方厘米)
9 16 25
9
4 13
SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2
勾股定理的由来
中国最早的一部数学著 作 — — 《周髀算经》中就记载了 公元前1120年我国古人发现的 “勾三股四弦五”.当时把较短的 直角边叫做勾,较长的直角边叫做 股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五” 的意思是,在直角三角形中，如果 勾为3,股为4,那么弦为5.所以我 国称它为勾股定理.
证 法
2
1
1
1
S梯形 =
2
c2 +2 · ab
2
=
2
c2+ab
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
c2 = a2 + b2
概括
揭示了直角三角形三条边的 关系
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2
西方国家称勾股定理为毕达 哥拉斯定理。
实验验证
1.你能用四个全等的直角三角形拼 出大会会标吗？
2.你能否用你所拼出的图形来证明
你的猜想a2+b2=c2 ？
3.你还能拼出另外的图来证明你的 猜想a2+b2=c2 ？
勾股定理的证明(一)
“弦图”
a
最早是由1700
多年前三国时
期吴国的数学
b
c 家赵爽为《周
P
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米。
CQB
思考：
1.你能发现图中的三个正方形的面积之间有
（图中每一格代表一平方厘米） 什么关系吗？
SP+SQ=SR
2.你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
3.你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
AC2+BC2=AB2
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
即：X=√52+122
=15
=13
课堂小结
• 1.说一说本节课我有哪些收获?