二次根式混合运算(教案)

教学过程

一、复习预习

学生活动：请同学们完成下列各题:

1．计算

（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

新授课如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算:

（1）（2）（）÷

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运

算规律．解：（1）

解：（）÷÷÷

-3 2

二、知识讲解

考点1

1、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

2、二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

3、在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。

易错点1

在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里

面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。

三、例题精析

【例题1】

【题干】计算（1（2

【答案】（1=（2+3

（2=（4+8

【解析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

【例题2】

【题干】下列二次根式中与2是同类二次根式的是（）

A. 12

B. 3

2 C.

2

3 D. 18

【答案】D

【解析】要判断两个二次根式是不是同类二次根式，需要先将它们化为最简二次根式，再看

被开方数是否相同，12＝23，3

2＝

6

2，

2

3＝

6

3，18＝32。

【例题3】

【题干】

计算（1）

（2））+

【答案】（1）（12-3+6

（2））+

【解析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

四、课堂运用

【基础】

1．以下二次根式：；（）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

【答案】C

【解析】化成最简二次根式，然后判断

2.下列式子运算正确的是（ ） A. 3－2＝1 B. 8＝4 2

C. 13＝ 3

D. 12＋3＋1

2－3＝4

【答案】D

【解析】同类二次根式计算

【巩固】

1. 计算：（1）239x ＋6x 4－2x 1

x ；

（2）1

2－1＋8－2＋1。

【答案】（1）239x ＋6x 4－2x

1x ＝23×3x ＋6×12x －2x ·1x x ＝2x ＋3x －2x ＝（2＋3－2）x ＝3x ；（2）12－1＋8－2＋1＝)12)(12(1

2+-+＋4×2－2＋1＝2＋1＋22－2＋1＝22＋2。

【解析】合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变。

2.计算：（1）（a3b ＋ab3－ab ）ab ；

（2）（2－12）（18＋48）；

（3）（27＋52）（52－27）；

（4）（36－23）2。

【答案】（1）（a3b ＋ab3－ab ）ab ＝（a ab ＋b ab －ab ）ab ＝a ab ·ab ＋

b ab ·ab －ab ab ＝a2b ＋ab2－ab ab ；

（2）（2－12）（18＋48）＝（2－23）（32＋43）＝2·32＋2·43

－23·32－23·43＝6＋46－66－24＝－18－26；

（3）（27＋52）（52－27）＝（52）2－（27）2＝50－28＝22；

（4）（36－23）2＝（36）2－2·36·23＋（23）2＝54－362＋12

＝66－362。

【解析】在运算过程中，每个根式可以看做是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看做是“多项式”。有理数（或整数）运算中的运算律、运算法则及所有的乘法公式，在二次根式的运算中仍然适用。

【拔高】

1. 已知6＋1的整数部分为a ，小数部分为b ，求a ＋2b 2a ＋b

的值。

【答案】通过估算得知a ＝3，b ＝6＋1－3＝6－2。 a ＋2b 2a ＋b ＝3＋2（6－2）2×3＋（6－2）＝26－14＋6＝（26－1）（4－6）（4＋6）（4－6）

＝96－1610。 【解析】因为4＜6＜9，即2＜6＜3，所以6的整数部分是2，所以a ＝3，小数部分b ＝6＋1－3＝6－2。把a 、b 代入计算即可。

解答这类问题时，应注意一个二次根式的整数部分可通过估算获得，这个二次根式减去