一笔画攻略
一笔画攻略
一．这篇文档是什么
1.首先这篇文档是一篇一笔画游戏攻略。文档详细叙述有关一笔画问题的解答方法和技巧。不同于网上流行的一些一笔画攻略，每幅图都一步步的给出了连线步骤，而是力图带着读者进行一些思考，用抽象和归纳的方法，得出一些通用的结论和解答技巧。
2.这篇文档是作者的itunes store发布的应用程序的自我推广文档。后面将给出链接，如果读者是iphone用户，并且喜欢该文档，可以下载使用。当然你也可以通过阅读本文，领悟技巧，然后下载Android版本的一笔画游戏。毕竟游戏内容和关卡都比较类似，但是我的游戏中融入了攻略以及互动关卡，在互动过程中，竖琴精灵会给予你启发，与本文思想完美融合，并且在出错的第一时间提示你应该注意的地方，并且支持及时撤销等操作。
二．这篇文档不是什么
1.这篇文档不是一个填鸭式的游戏攻略，网上流行的攻略都是详细的操作步骤，这种所谓的攻略无法满足热衷于思考的读者。
2.这篇文档不是一篇单纯的广告，虽然我拟写文档的目的之一是为了推广自己的IOS应用，但更是凝结了我大量的尝试，思考和归纳。作为致力于科研和教育事业的我，更希望读者在阅读过程中有所收获，至于读者是不是苹果用户，或者是否愿意消费购买，是其次的事情，如果你是越狱用户，也可以直接联系我，我会把无认证的app发
给你。
3.这篇文档不是一篇有关拓扑学的文献，虽然作者本人，是从事科学研究工作，并致力于教育事业，对图论，离散数学，计算几何等相关学科略知一二，但是本文不是绝对的严格！的确文中引入了某些拓扑学的概念，也进行了一些逻辑推导，但立足点是针对游戏，某些推导是带有武断性的，它往往指引我们找到答案，但并非总是正确！
三．目录
1.欧拉生平简介
2.柯尼斯堡七桥于拓扑学
3.相关游戏链接推荐
4.单线问题
5.双线问题
6.箭头(有向图)
7.传送门
8.结语
数学家莱昂哈德·欧拉
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) （函数的定义由莱布尼兹在1694年给出）。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。
莱昂哈德·欧拉
欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部
分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后17年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。
莱昂哈德·欧拉
欧拉曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描
述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。欧拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映质量守恒的连续方程（1 752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。同时是微积分和拓扑几何的先驱。
欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。
莱昂哈德·欧拉欧拉与拓扑几何
欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等。
欧拉的专著和论文多达800多种。人们为了纪念欧拉小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。
柯尼斯堡七桥问题
欧拉时代的柯尼斯堡地图，显示了当时七座桥的实际位置。河流和桥梁使用特别的颜色标记出来。
柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。这个问题是基于一个现实生活中的事例：当时东普鲁士柯尼斯堡（今日俄罗斯加里宁格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？
莱昂哈德·欧拉在1735年提出，并没有方法能圆满解决这个问题，他更在第二年发表在论文《柯尼斯堡的七桥》中，证明符合条件的走法并不存在，也顺带提出和解决了一笔画问题。这篇论文在圣彼得堡科学院发表，成为图论史上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区
视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数，这样的点称为偶顶点。相对的，连有奇数条线的点称为奇顶点。欧拉论述了，由于柯尼斯堡七桥问题中有4个奇顶点，它无法实现符合题意的遍历。
接下来我们学习下欧拉先生是如何分析问题的。
一．认识问题
现实中的问题是复杂的，但
是透过表面，忽略无关和次要因
素，从而把问题简化。
城市地图
二．问题的简化
我们用几何化的图形来
描述现实，得到了简化的示意
图。显然示意图上没有那么多
无关的干扰。
简化的示意图
三．问题的抽象
把连通区域抽象成一个点（节
点），而连接区域的桥，抽象成一
条线（弧段）。问题从喧嚣的城市
中，展现在了纸上。
抽象的几何图形
欧拉把问题的实质归于一笔画问题，即判断一个图是否能够遍历完所有的边而没有重复，而柯尼斯堡七桥问题则是一笔画问题的一个具体情境。欧拉最后给出任意一种河—桥图能否全部走一次的判定法则，从而解决了“一笔画问题”。对于一个给定的连通图，如果存在两个以上（不包括两个）奇顶点，那么满足要求的路线便不存在了，且有n个奇顶点的图至少需要n/2笔画出。如果只有两个奇顶点，则可从其中任何一地出发完成一笔画。若所有点均为偶顶点，则从任何一点出发，所求的路线都能实现，他还说明了怎样快速找到所要求的路线。
不少数学家都尝试去解析这类事例。而这些解析，最后发展成为了数学中的图论。
相关游戏链接推荐
接下来我们就要开始讨论正式的一笔画问题了，文档力求细致形象，但是纸上得来终觉浅，还是建议大家打开你的智能手机，下载一款游戏，结合本文论述，加以实践，下面推荐几个游戏连接。
1.一笔画精灵（当然先自荐了，适用于苹果用户ios5.0以上）
链接：到itunes store搜索“一笔画精灵”或
https://https://www.360docs.net/doc/088011794.html,/us/app/yi-bi-hua-jing
-ling/id702674203?ls=1&mt=8
价格：0.99$
简介：从画面，美工，到音乐都做了精美的设计（虽然本人从事科学研究，但对艺术设计，音乐也颇有了解），竖琴精灵的编写更是倾尽全力，互动式攻略，于本文讲解完美结合，会让你感到物有所值。屏幕截图：
以上分别为主界面，关卡中黄金世界以及竖琴精灵面板的截图。
这张竖琴logo花费了我两天半的时间，我希望设计
出一个一笔画出，同时又简约美观，不失艺术性的图
标，先后尝试过高脚杯，青花瓷，丹顶鹤等主题……
连接：
https://www.360docs.net/doc/088011794.html,/down?aid=1604861&em
=13
价格：免费
简介：画面简洁朴实，最早流行，下载量最多的版本，网上的攻略也都是针对这个版本的，游戏管卡众多，难度递增，无愧于最经典的版本，android用户首选。
屏幕截图：
注：android系统下似乎盗版比较严重，我也不知道哪个是官方版本，毫无疑问有仿制版本，但是我们只选择做工最精美的，那么就用我推荐的链接吧，这些应用与作者本人无任何关系，只是在我尝试过的各个版本中做工更好一些而已！
连接：到itunes store搜索“一笔画图”
价格：免费
简介：苹果用户的免费选择，兼容ios4.3,iphone5，类似于android 版本的，做工更偏卡通。
屏幕截图：
4.精编一笔画/经典一笔画（适用于苹果用户）
链接：到itunes store搜索相应名称
价格：免费
简介：这两个版本的做工都很华丽，前者接近手写效果，后者类似霓虹灯光效果，但是个人不是非常欣赏眼花缭乱的炫目效果。
5.一笔画攻略
链接：
https://www.360docs.net/doc/088011794.html,/a/item?docid=3364823&pre=
web_am_se&f=web_alad_5@next
价格：免费
简介：这是一款针对android版本的一笔画游戏攻略，与其说是攻略，不如说是一份参考答案。上面有每一关的解题步骤，手把手叫你怎么破每一关，只要按照阿拉伯数字的次序行走，就可以得解。
屏幕截图：
同时介绍几个攻略网站：
https://www.360docs.net/doc/088011794.html,/news/20120808/59501.html
https://www.360docs.net/doc/088011794.html,/zt/yibihua/
这些网站内容大致一样，都是类似于这款游戏，用数字给每个步骤编号。一下给
出部分页面截图：
说实话，我不建议去看这种攻略，我之所以给出这些链接，是希望读者经过思考之后，可以用这些给出详细步骤的攻略，来验证我们总结出的结论是否正确，亦或是什么情况下正确，还需要做哪些补充！
以上是几个流行版本的一笔画游戏（当然严格说本人的那款还不流行），包括一款攻略游戏以及若干攻略网站，读者可以根据自己的手机系统以及，自己的偏好，选择一款。（还是希望多多支持本人的作品）
好接下来，我们正式进入主题！
喂！放松心态，不是上数学课……
一笔画
我们已经拜读过欧拉前辈关于柯尼斯堡七桥问题的精彩解答，在我们开始之前，还是要认真思考下，我们从欧拉那里学到了什么？如果你仅仅是学到了一笔画的方法，那么你就没有领悟真谛。我们即将面临更加复杂的一笔画问题，这些问题远比欧拉面对的问题复杂，然而欧拉留给我们最宝贵的东西，是一种思维方式，而非一个结论。好了，让我们重温欧拉的精彩演绎，看看欧拉先生是如何对问题进行抽象的。
面对形形色色的复杂现实，
我们要能够去伪存真，找出我们
关心的事物，区域，河流，桥。
除此之外，城市，道路一切都是
无关紧要的。这样我们得到了精
简的示意图，完成了简化。原始城市地图
现在看起来简明多了，然而
仅仅经过简化是不够的，经过合
理的抽象，观察河流把土地分成
了几个独立的区域，而我们不关
心区域的大小和形状，那不如我
们把它们抽象成一个点吧，这样
桥就是连接点之间的线。去除无关因素
这样一来问题变成了单纯的
点和线之间的问题了，现在我们
可以直接面对抽象的点和弧段来
思考了，其中一个莫大的好处，
抽象的事物，没有太多非本质事
物的干扰，我们可以尽情发挥逻
辑的威力。抽象后的点线图是的，问题的转化与抽象才是欧拉演绎的精华所在，那么就让我们带着欧拉先生的寄托，开始新的征程吧。
欧拉先生演绎的结论指出，只要观察每个节点引出的弧段的数目，就能够判断是否能够一笔画出。即当奇数点数目等于2或者0时，图形可以一笔画出。
1）奇点的奥秘
我们要一笔画出来，那除了落笔和收笔点，中间的节点必然是有进有出，因此总是成对的，而只有在落笔和收笔的时候，形成奇数点！
2）为什么没有奇点
无论如何，总要落笔和收笔，而落笔和收笔，总会形成奇点，这么说
不对吗？那为什么下面图形没有奇点呢？
五角星心形沙漏
确切说这句话没错，但是注意当收笔和落笔点重合的时候，奇点
就会消失！
那些没有奇点的
图形是这样形成的
最后留一个问题做思考，会不会只有一个奇点呢？
3）当心孤岛
现在我们清楚了为什么要从奇点出发了，然而这样就一定能成功了吗？我们还要注意哪些？
是的，如果某一笔把图形分成了两个不连通的部分，那也就意味着我们已经不可能到达另一边了。好在这种情况，在你选择了正确的起点之后，只要稍加注意，就能够避免犯这样的错误。
掌握了这些要领，这类问题就变得容易了，记住选好了起点是成
功的一半！如下图，两个奇点分别为落笔和收笔。
数字为弧段数目，奇数点用* 标示
经过了这么多的思考，我们跳出来，看看这类图形有什么特点吧？我们似乎只是关心节点和弧段的连接关系，而不会关心他们的绝对位置和形状！比如下面两个图形，有区别吗？
梯形菱形平行四边形
在欧几里得几何学中，这些显然是截然不同的图形，然而在拓扑学中，我们却不做区别。他们都是四个节点依次串联得到的图形，甚至如果我们愿意，如下图形也可以一同看待：
任意凸凹、四边形沙漏
相比之下，只是它们的四个点更加没有约束，甚至是弧段之间有交叉，但是由于我们本不关心弧段所经过的路径，只是关心它连接的节点。
经过抽象，他们体现出的本质是相同的。正式因为这个特性，拓扑学也被称作是橡皮筋上的几何学。
好了，总结一下这一节得到的结论：
1）从奇点出发（如果存在）
2）当心不要形成孤岛
带着这两个经过思考而得到的结论，这种一笔画问题问题将变得容易，无论看起来多复杂。
篇末还是展示一下我的竖琴精灵，是我选取了25个非常有代表性的图，为每个专题配备5张练习图，并通过程序进行监控，会根据你的决策实时分析，第一时间发现你的错误，并给予相应提示，是不是听起来很神奇？以下是单线专题的练习图。
竖琴精灵截屏：
程序会对每个节点进行字母编号，并计算每个节点所连接的弧段数，显然左图需要从A或D点落笔，当你选择了B，竖琴精灵会提示你按照奇偶判定法则来选择起点！右图，美丽枫叶，实则和左图的对角线是拓扑意义等价的，结合本文讲解，当你有所体会，一种兴奋感就会从内心踊跃出来！