专题四 培优点15 空间几何体的外接球
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
空间几何体的外接球问题
A
解析：ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，
所以ΔPAB≅ ΔPBC≅ ΔPAC。
C
P
以PA，B PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体，
则正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球。
A
C
P
B
考点二 空间几何体的内切球
2、等体积法
训练：直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上， 若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等 于 20π．
在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120° C
解得
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2
AB
O
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中 C1
易得球半径 故此球的表面积为4πR2=20π
A1
B1
训练：已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球 与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为( D )
P
P
P
O
O
O
C
C
C
A
O1
D
A
O1
B
A
O1
B
B
图6
图7-1图8P来自PPA
O2 B
CB
D
O
A O2 O
A C
O2 D
B O
图8-1
图8-2
图8-3
方法点津3：顶点、底面外接圆的圆心与外接球球心三点共线
的锥体可以找“特征三角形”解决外接球问题。
考点一 空间几何体的外接球
堂小练
P C
O D A
B
考点一 空间几何体的外接球
考点一 空间几何体的外接球
2、构造法
空间几何体的外接球与内切球。专题汇编
空间几何体的外接球与内切球。
专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。
首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。
在此基础上，定义了外接球和内切球。
外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。
其次，文章介绍了外接球的性质和结论。
其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。
文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。
最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。
经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。
2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。
3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。
4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。
5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。
6.与台体相关的内容在此略过。
7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。
8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
《空间几何体的外接球》(获奖教案)
《空间几何体的外接球》教学设计一、课标要求三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的。
基本要求：1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征；2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.二、教学分析：纵观近几年高考题，几何体的外接球问题在高考中既是考查的热点又是考查的难点。
与球有关的几何体问题能很好地考查学生的空间想象能力以及化归转化能力.本节课我们将着重研究三、教学目标1、掌握确定球心、求解半径的方法。
2、通过同类问题的变式探究，培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会化归的数学思想；通过对问题难度的升级及总结，锻炼学生的几何直观和空间想象能力，培养学生的数学直观想象素养.四、教学重难点教学重点：会求正棱柱、正棱锥及一般三棱锥的外接球半径；教学难点：确定多面体外接球的球心并求出半径.五、教法分析本节课针对高三年级学生的认知特点，在遵循启发式教学原则的基础上，借助多媒体用讲授法、讨论法、练习法等教学方法，引导学生探索以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点，由浅入深的研究三棱锥与球相联系的桥梁。
本节课坚持以学生为主体，教学中让学生自主地“做数学”，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。
从而，使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方式的同时学会数学地思考。
五、教学过程教学环节教学内容与问题设置设计意图复习回顾引入新课回顾下列知识：1.球的表面积公式：_________2.球的体积公式:______________3.长方体体对角线的求法:______________4.利用正弦定理求三角形外接圆的半径:____________5. 球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是________；用一个平面去截球面，截线是_____。
大圆截面过________，半径等于_________；小圆截面不过______性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于________．性质3: 球心到截面的距离 d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:____________知识准备。
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。
外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。
2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。
r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。
4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。
2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。
其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。
几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。
练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。
本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。
对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。
补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。
而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。
对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。
对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。
空间几何体的外接球内切球问题
空间几何体的外接球内切球问题空间几何体的外接球、内切球问题自己总结供参考红岩外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ．π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA B．13π C．23π D二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
空间几何体的外接球与内切球问题(学生版)
空间几何体的外接球与内切球问题目录一、必备秘籍二、典型题型题型一：内切球等体积法题型二：内切球独立截面法题型三：外接球公式法题型四：外接球补型法题型五：外接球单面定球心法题型六：外接球双面定球心法三、专项训练一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：V P-ABCD=V O-ABCD+V O-PBC+V O-PCD+V O-PAD+V O-PAB即：V P-ABCD=13S ABCD⋅r+13S PBC⋅r+13S PCD⋅r+13S PAD⋅r+13S PAB⋅r，可求出r.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD，AD=BC，AC=BD) 3、单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4、双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型题型题型一：内切球等体积法1(22·23·全国·专题练习)正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()A.1：3B.1：3+3C.3+1 ：3D.3-1 ：32(22·23下·朔州·阶段练习)正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．3(23·24上·萍乡·期末)已知球O 是棱长为1的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，则PA ⋅PB的取值范围为.4(22·23上·张家口·期中)球O 为正四面体ABCD 的内切球，AB =4，PQ 是球O 的直径，点M 在正四面体ABCD 的表面运动，则MP ⋅MQ的最大值为．5(22·23上·河南·阶段练习)已知正四面体ABCD 的棱长为12，球O 内切于正四面体ABCD ,E ,F 是球O 上关于球心O 对称的两个点，则AE ⋅BF的最大值为.6(22·23上·扬州·期中)中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．题型二：内切球独立截面法1(23·24上·淮安·开学考试)球M 是圆锥SO 的内切球，若球M 的半径为1，则圆锥SO 体积的最小值为()A.43π B.423π C.83π D.4π2(22·23下·咸宁·期末)已知球O 内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径r 1:r 2=2:3，则圆台的体积与球的体积之比为()A.32B.1912C.2D.1963(22·23·全国·专题练习)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.4(23·24上·佛山·开学考试)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的体积为4π3，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．5(22·23下·成都·阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为.题型三：外接球公式法1(16·17·全国·单元测试)若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为 ()A.50πB.100πC.150πD.200π2(22·23·全国·专题练习)设球O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为()A.3πB.4πC.5πD.6π3(14·15上·佛山·阶段练习)正方体的外接球(正方体的八个顶点都在球面上)与其内切球(正方体的六个面都与球相切)的体积之比是．题型四：外接球补型法1(23·24上·成都·开学考试)在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，PA ⊥PB ,PA ⊥PC ,PB ⊥PC ,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.43πB.12πC.48πD.323π2(22·23下·揭阳·期中)在三棱锥S -ABC 中，SA =BC =5，SB =AC =41，SC =AB =34，则该三棱锥的外接球表面积是()A.50πB.100πC.150πD.200π3(23·24上·成都·开学考试)已知四面体ABCD 满足AB =CD =3，AD =BC =5，AC =BD =2，且该四面体ABCD 的外接球的表面积是()A.2πB.6πC.6π11D.4π4(22·23下·黔西·阶段练习)正三棱锥P -ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.5(22·23下·黔西·期中)如图，已知在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，且PA =2PB =2PC =2，求该三棱锥外接球的表面积是．题型五：外接球单面定球心法1(23·24上·汉中·模拟预测)如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ,PA =6,BC =3,∠CAB =π6,O为△ABC 外接圆的圆心，O 为三棱锥P -ABC 外接球的球心，OQ ⊥PA ，则三棱锥P -ABC 的外接球O 的表面积为．2(23·24上·秦皇岛·开学考试)三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,P在底面的射影O为△ABC的内心，若AB=4,BC=3，PO=5，则四面体PABC的外接球表面积为.3(22·23下·石家庄·阶段练习)已知球O是正四面体P-ABC的外接球，E为棱PA的中点，F是棱PB上的一点，且FC=2EF，则球O与四面体P-EFC的体积比为.4(22·23下·淄博·期末)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，其中AD=2，AB=3，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为.题型六：外接球双面定球心法1(22·23上·抚州·期中)已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60°.如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB=3.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC则点F的轨迹的面积为.2(22·23·赣州·模拟预测)如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB=4，把△ADE沿着DE翻折至△A DE的位置，得到四棱锥A -BCED，则当四棱锥A -BCED的体积最大时，四棱锥A -BCED外接球的球心到平面A BC的距离为.3(22·23下·湖南·期末)为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图(一)所示的四边形PABC中，AB=BC=2，PA=PC，∠ABC=60°，PA⊥PC.第二步：以AC为折痕将△PAC折起，得到三棱锥P-ABC，如图(二).第三步：折成的二面角P-AC-B的大小为120°，则活动结束后计算得到三棱锥P-ABC外接球的表面积为.三、专项训练一、单选题1(22·23下·河南·模拟预测)已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ).A.16πB.20πC.24πD.25π2(22·23下·宁德·期中)正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为()A.2π3B.4π3C.8π3D.3π3(23·24上·河北·开学考试)长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是()A.12523π B.1252π C.50π D.125π4(22·23下·临夏·期末)已知四棱锥P-ABCD的体积为83，侧棱PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为()A.12πB.8πC.4πD.2π5(23·24上·广东·阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π6(23·24上·安徽·开学考试)在封闭的等边圆锥(轴截面为等边三角形)内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为()A.3πB.6πC.9πD.12π7(23·24上·莆田·阶段练习)三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为23的正三角形，PA=4,PA⊥AB,D为BC中点且PD=5，则该三棱锥外接球的表面积为()A.16πB.32πC.48πD.64π8(22·23·九江·一模)三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，若平面ABD ⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为()A.8π3B.20π3C.8πD.20π二、填空题9(23·24·柳州·模拟预测)已知圆锥的底面直径为23，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.10(22·23·唐山·二模)已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为．11(22·23·大同·模拟预测)四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是．12(23·24上·辽宁·阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为8π，则该圆锥的内切球的体积为.13(23·24上·成都·阶段练习)已知三棱锥S-ABC底面ABC是边长为2的等边三角形，平面SAB⊥底面ABC，SA=SB=2，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.14(23·24上·遂宁·阶段练习)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O2的表面积之比为.15(22·23下·赣州·阶段练习)已知圆锥的内切球半径为1，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为．。
几类空间几何体的外接球问题的解法
解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341图5图6例2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O 球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA ，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_____．解：如图7，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴O为SC的中点，∵SA=AC，SB=BC，∴AO SC，BO⊥SC，平面SCA∩平面SCB=SC的表面积为S=4πR=4π×3图7该三棱锥的两个平面相互垂直，根据已知条件证明AO⊥然后构造三角形，找出三棱锥的外接球半径与三棱锥的棱之间的关系，通过解三角形求得三根据球的表面积公式求得球由两个直角三角形构成的三棱锥的外接解答该类型问题的关键是抓住特征：.我们可以通过解直角三角形求得三图8由两个全等三角形或等腰三角形构成的三棱锥的外接球问题在求解该类型外接球问题时，我们要灵活运用全等三角形或等腰三角形的性质，关注中点为全等三角形或等腰三角形，和ΔA ′BD 的外心H 1和图9例3.三棱锥P -ABC △PAC 和△ABC 均为边长为棱锥外接球的半径.解：如图10，设O 1，O 2由题意可知O 2H =13由勾股定理可得R 2=8图11类型七：直棱柱、圆柱的外接球问题直棱柱、圆柱的外接球问题较为简单，球的球心为高线的中点，如图12所示，所以我们很容=1=1.再设小圆图12图13例4.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为______．解：设球半径为R ，上，下底面中心为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，，得R =OA =3，由勾股定理可知，OM =1，。
空间几何体的外接球,小专题,复习专用
2
故三棱锥 故三棱锥
AA11
ACD 的外接球的体积为 V ACD 的外接球的体积为 V
4 34 3
πR3 πR3
4 34 3
π π
3
3 3 4 3π . 3 4 3π .
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空间几何体的外接球问题
4．直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点在球O 的球面上.若 AB 3 ，
AC 4 . AB AC ， AA1 12 ，则球O 的表面积为（ ）
A．169 B．169 C． 288 D． 676
4
【详解】
解：将直三棱柱补形为长方体 ABEC A1B1E1C1 ， 所以体对角线 BC1 的长为球O的直径.
b2 c2 10,
则该棱锥外接球的半径 R 26 ， S 球 4 R2 26 ．
2
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空间几何体的外接球问题
类型二：圆柱、直棱柱、可补形为直棱柱的(统称为圆柱型)
注：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为直棱柱.
正方体中，则正方体的体对角线长为l 3 ，
∴三棱椎 S-ABC 外接球表面积为 4π( 3 )2 3π . 2
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空间几何体的外接球问题
类型一：补形为正方体、长方体的类型(特殊型)
8．在三棱锥 S ABC 中， SA BC 5, SB AC 17,
空间几何体的外接球问题
空间几何体外接球与内切球问题解决方法
空间几何体的外接球与内切球问题一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.2．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、八大模型类型一柱体背景的模型题型1、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．π16B．π20C．π24D．π32解：162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是π9解：933342=++=R ，ππ942==R S ；（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是.π36解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（D ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+= BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ，∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ，（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解：3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=R πππ2383334343=⋅==R V 球，题型2、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222za c y cb x b a ⇒2)2(2222222z y xc b a R ++=++=，补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-.第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为.解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S （2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为.π229解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为1PCO ∆，面积是2.题型3、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(h r R +=，解出R 例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则21=a ，正六棱柱的底面积为833)21(4362=⋅⋅=S ，89833===h Sh V 柱，∴3=h ，4)3(14222=+=R 也可121()23(222=+=R ），1=R ，球的体积为34π=球V ；（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于.解：32=BC ，4120sin 322==r ，2=r ，5=R ，π20=S ；（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为.π16解：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=r ，11=OO ，231=+=R ；法二：231=M O ，21322==D O r ，4413432=+=R ，2=R ，π16=表S ；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：162)32()2(222=+=R ，π16=表S ；（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为.π3160解：法一：282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ，3404328)2(2122=+=+=AA r R ，π3160=表S ；法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.类型二锥体背景的模型题型4、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）1．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R .例4（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为.解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，72=R ，ππ4942==R S ；（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，34π=V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ∆的外接圆，此处特殊，SAC Rt ∆的斜边是球半径，22=R ，1=R ，34π=V .（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123解：高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ，设底面边长为a ，则260sin 2==a R ，3=a ，433432==a S ，三棱锥的体积为4331==Sh V ；（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．πB.3π C.4πD.43π解：选D，由线面角的知识，得ABC ∆的顶点C B A ,,在以23=r 为半径的圆上，在圆锥中求解，1=R ；（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（）AA．6B．6C．3D．2解：36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，62362433131=⋅⋅==Sh V 球题型5、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A．π3B．π2C．316πD．以上都不对解：选C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-,32=R ,ππ31642==R S ；法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是3460sin 22==R ，下略；类型三二面角背景的模型题型6、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.解：如图，3460sin 22221=== r r ，3221==r r ，312=H O ，35343121222=+=+=r H O R ，315=R ；法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ，352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ；（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //， 90=∠A ，45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为π4解：如图，易知球心在BC 的中点处，π4=表S ；（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为π6解：如图，法一：33)2cos(cos 211-=+∠=∠πO OO B SO ，33sin 21=∠O OO ，36cos 21=∠O OO ，22cos 21211=∠=O OO O O OO ，232112=+=R ，ππ642==R S ；法二：延长1BO 到D 使111r BO DO ==，由余弦定理得6=SB ，2=SD ，大圆直径为62==SB R ；（4）在边长为32的菱形ABCD 中，60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为π28解：如图，取BD 的中点M ，ABD ∆和CBD ∆的外接圆半径为221==r r ，ABD ∆和CBD ∆的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，法一：四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，π28=S ；法二：31=OO ，7=R ；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ,则3==CM AM ，4=CE ，1=ME ，7=AE ，33=AC ，72147227167cos -=⋅⋅-+=∠AEC ，7233sin =∠AEC ，72723333sin 2==∠=AEC AC R ，7=R ；(5)在四棱锥ABCD 中，120=∠BDA ，150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角C BD A --的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，32=AB ，22=r ，弦心距32=M O ，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ，∴2121=O O ，72120sin 21==O O OM ，法一：∴292222=+==OM MD OD R ，29=R ，∴329116π=球V ；法二：2522222=-=M O OM OO ，∴29222222=+==OO r OD R ，29=R ，∴329116π=球V .题型7、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设：如图7，90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A．π12125B．π9125C．π6125D．π3125解：（1）52==AC R ，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为．解：BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S .类型四多面体的内切球问题模型题型8、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高；第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒rS S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABCO ABCP S S S S V r -----+++=3例8（1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是62a π，解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为2a的正方体中（即补形为正方体），如图，则2622313133a a V V ABCP =⋅==-正方体，又 r a r a Sr V ABC P 223343314314=⋅⋅⋅=⋅=-，∴263332a r a =，62a r =，∴内切球的表面积为6422a r S ππ==表（注：还有别的方法，此略）（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为2217+解：如图，正四棱锥ABCD S -的高7=h ，正四棱锥ABCD S -的体积为374=-ABCD S V 侧面斜高221=h ，正四棱锥ABCD S -的表面积为284+=表S ，正四棱锥ABCD S -的体积为r r S V ABCD S ⋅+==-328431表，∴3743284=⋅+r ，771427)122(7221728474-=-=+=+=r （3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为47332++解：如图，3=∆ABC S ，2==∆∆ACP ABP S S ，7=∆BCP S ，743++=表S ，三棱锥ABC P -的体积为332=-ABC P V ，另一表达体积的方式是r r S V ABC P ⋅++==-347331表，∴3323473=⋅++r ，∴47332++=r巩固练习：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（）A.3B.6C.36D.9解：【A】616164)2(2=++=R ，3=R 【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2．三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于.332π解：260sin 32== r ，16124)2(2=+=R ，42=R ，2=R ，外接球体积332834ππ=⋅【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.解：ABC ∆外接圆的半径为，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22== R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V ，4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.解：PAC ∆的外接圆是大圆，3460sin 22== R ，32=R ，5．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.解：973324992cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠PC PA AC PC PA P ，8121697(1sin 22⋅=-=∠P ，924sin =∠P ，42922992422===R ，829=R 6．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为.解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为1=R。
空间几何体外接球专题讲解
专题 外接球一、知识衔接——外接圆 1.平面几何图形，如三角形、正方形、长方形等，存 在外接圆；当然，并不是所有的平面几何图形均有 接圆;在四边形中，若不满足对角互补，则该四边形 便不存在外接圆.B 的外接圆.外接圆的圆心到各个顶点的距离相等，均 代表外接圆的半径.反之，若一个点到各个顶点的距 离相等，则该点即为外接圆的圆心.外接圆的圆心可 能在平面几何图形的内部或外部或边上. 3.圆的问题多围绕圆的半径展开.外接圆多以三角形 的外接圆居多.求三角形外接圆的半径有两大思路： ①确定圆心再求半径；②直接利用正弦定理求半径. 二、类比推新——外接球 1.存在外接球；当然，不是所有的空间几何体都有外接球. S2.定义：经过空间几何体所有顶点的球称为该空间 几何体的外接球.外接球的球心到各个顶点的距离 相等，均为外接球的半径.反之，若空间中有一个点 到各个顶点的距离相等，则该点即为外接球的球心. 3.外接球的问题多涉及外接球的半径，而求半径需 先确定外接球的球心.可以说，外接球问题的本质就 是球心位置的确定. 三、常见空间几何体的外接球 1.直三棱柱： A 1 B 2 O 2 C 1OA B O 1 C在直三棱柱中，上下两个地面三角形外心连线的中 点即为直三棱柱外接球的球心. 2.正三棱锥(正四棱锥) SO` A B O 1 C 正三棱锥(正四棱锥)外接球的球心在正三棱锥(正四 棱锥)的高上，为高上的某一点，不见得必为高的中 点，需结合已知条件求解.3.正方体(长方体)D 1 C 1A 1 B1 OD CA B正方体(长方体)体对角线的中点即为正方体(长方体) 外接球的球心. 四、填补图形求外接球 对于有些空间几何体，可将其补充为直三棱柱、正 方体、长方体等；补充后的几何体与原几何体共外 接球，从而可转化为求直三棱柱、正方体、长方体 等的外接球. S S M N ⟹A AB C B C在三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ⊥平面ABC .可将三棱锥S −ABC 补充为直三棱柱SMN −ABC ，二者共外接球，求三棱锥外接球即求直三棱柱外接球. S S O ⟹ M A A D B D B C C在四棱锥S −ABCD 中，侧棱SA ⊥平面ABC .在上述情况下，可将四棱锥补充为直四棱柱(正方体 或长方体)，且二者共外接球.求四棱锥的外接球等价 于求直四棱柱(正方体、长方体)的外接球.五、切面圆求外接球在圆中： 取弦AB ，则弦AB 平分线n 必过圆心.再取弦CD ，则弦CD 的 垂直平分线m 也必过圆 心，要求两弦不平行. 则两弦垂直平分线的交点即为圆的圆心，可以以此 确定圆心位置.同样地，在球中：对球切割，切面均为圆；当切面不经过球心O 时，所得 O 切面圆称为小圆；将球心O与小圆圆心连接，所得连线 O 1必与小圆所在平面垂直.据此，在球上任取两个不平行的切面圆，过两圆的 圆心作两圆所在平面的垂线，则两面的垂线必相交 且交点即为外接球的球心. 由上述可知，确定外接球的球心只需确定小圆圆心 与垂线. 在实际操作中，确定外接球的球心，即确定空间几 何体某个面的外接圆的圆心与过圆心的垂线.原因 在于对空间几何体的外接球切割时，可以就地取材 沿着空间几何体的某个面切割，所得切面圆即为该 面的外接圆，圆心即为该面对应多边形的外心.【例1】三棱锥D−ABC中，AB=CD=√6，其余四条棱长均为2，则三棱锥D−ABC的外接球的表面积为（）A.7πB.14πC.21πD.28π解析：[法一填补几何体]结合三棱锥D−ABC的棱长，可将其填补为一个底面为棱长√3的正方形，高为1的长方体，如下图所示:A其中，AD111三棱锥D−ABC与长方体AD1BC1−FCED共外接球. 对于长方体而言，体对角线C1D的中点即为外接球的球心，体对角线长为外接球的直径长.∴2R=√DD12+D1A2+BD12=√7即R=√72故外接球的表面积S=4πR2=7π.[法二切面圆求外接球]DECH OA GM B在∆ACB与∆ADB中，∵AD=BD=AC=BC=2且AB为两三角形的公共边∴∆ADB≅∆ACB且为等腰三角形.取AB的中点M，连接MD，MC，则MD⊥AB，MC⊥AB；结合外接圆的性质及三角形的形状，可知∆ABD与∆ABC外接圆的圆心在底边上的高MD，MC 上，不妨设为G，H，分别过G，H作平面ABC，平面ABD的垂线，两垂线的交点设为O，即为外接球的球心. ⋯⋯外接球球心位置的确定在Rt∆BMC中，∵BC=2，BM=√62∴MC=√102且sinB=MCBC =√104由正弦定理可知：∆ABC的外接圆的半径满足2r=AC sinB =4√105即CG=r=2√105MG=MC−GC=√1010∵∆ABD与∆ABC全等∴DM=MC=√102DH=CG=2√105MH=MG=√1010连接MO并延长交CD于E.∵OH⊥平面ABD，OG⊥平面ABC∴∆MHO与∆MGO为全等的直角三角形，故MO为∠GMH的角平分线，又因为∆DMC是以MD=MC=√102为两腰的等腰三角形，故E为底边DC的中点在Rt∆MEC中，MC=√102，EC=√62∴ME=1tan∠CME=ECME=√62在Rt∆MGO中，tan∠OMG=OGMG=√62∴OG=√1510在Rt∆OGC中，OG=2+GC2=√72即为外接球半径故表面积S=4πR2=7π ⋯⋯算半径答案：A【例2】已知四棱锥P−ABCD的外接球为球O，底面ABCD为矩形，面PAD⊥底面ABCD且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为________.解析：[法一填补几何体求外接球]根据四棱锥P−ABCD的结构特征，可将该四棱锥填补为正三棱柱：P1BDORP AO1rD四棱锥P−ABCD与正三棱柱PAD−P1BD共外接球对于正三棱柱PAD−P1BD而言，外接球球心为上下两个全等三角形外心连线的中点，如图中O，O1为底面正三角形的外心.在等边∆PAD中，外接圆半径r满足2r=PDsinA=4√33∴r=2√33在Rt∆OO1A中，OO1=12AB=2∴OA =R =√OO 12+r 2=4√33故球O 的表面积为S =4πR 2=64π3[法二 切面圆求外接球]C BO 1 O D M O 2A P 由已知条件可知：该四棱锥有两个面上的多边形较 特殊，即∆PAD 为正三角形，四边形ABCD 为长方形； 沿着平面PAD 与平面ABCD 切割外接球，所得切面圆为二者的外接圆，圆心为二者的外心. 对于正∆PAD ，其外心为高的三等分点；对于长方形ABCD ，其外心为两条对角线的交点. 取棱AD 的中点M ，取长方形ABCD 对角线AC 的中点O 1连接O 1M ，MP ，则MP ⊥AD ，O 1M ⊥AD在MP 上取靠近M 的三等分点O 2，则O 2即为∆PAD 的外心. ∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴MP ⊥平面ABCD ，O 1M ⊥平面PAD 过O 2作OO 2//O 1M ，过O 1作O 1O//MP ，则O 1O ⊥平 面ABCD ，O 2O ⊥平面PAD ，交点O 为外接球的球心. 在四边形MO 2OO 1，∵ O 1M//O 2O ，O 2M//O 1O 且O 1M ⊥O 2M ∴ 四边形MO 2OO 1为长方形 ∴OO 2=12AB =2在Rt∆OO 2P 中，O 2P =23MP =2√33外接球半径R =OP =√OO 12+O 2P 2=4√33所以外接球的表面积为S =4πR 2=64π3[]x取AD 的中点O ，连接OP ，取BC 的中点O 1，连接OO 1则OP ⊥AD ，OO 1⊥AD .∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABC =AD ∴OP ⊥平面ABCD ，OO 1⊥平面PAD 即直线OA ， OP ，OO 1两两垂直，以OA ，OP ，OO 1所在直线为x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则：A(1，0，0)，D(−1，0，0)，P(0，√3，0)与 B(1，0，4).设外接球球心M(x ，y ，z)，半径为R ，则有：{√(x −1)2+y 2+z 2=R √(x +1)2+y 2+z 2=R √x 2+(y −√3)2+z 2=R√(x −1)2+y 2+(z −4)2=R解得：x =0，y =√33，z =2 R =4√33故外接球的表面积S =4πR 2=64π3答案：64π3【模拟练习】 1.已知侧棱长为√2的正四棱锥P −ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，且球心O 在地面正方形上， 则球O 的表面积为（ ）A.4πB.3πC.2πD.π 2.已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上 且AB =BC =√2，AC =2，DC =2√3，则这个四面体的体积为（ ） A.23B.5√33C.4√33D.2√333.已知空间四边形ABCD ，∠BAC =2π3，AB =AC =2√3，BD =CD =6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空 间四边形ABCD 的外接球的表面积为_________.4.[湖南师大附中2018届高三模拟]三棱锥P −ABC 中， PA 、PB 、PC 互相垂直，PA =PB =1，M 是线段BC 上一个动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切值 的最大值为√62，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面 积为（ ）A.2πB.4πC.8πD.16π5.已知四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面AB6.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC CD,其中ABCD为正方形，∆PAD为等腰直角三角⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积形且PA=PD=√2，则四棱锥P−ABCD外接球为（）的表面积为（） A.25π3B.25π2C.83π3D.83π2A.10πB.4πC.16πD.8π8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°且AP=√2，AB=2，M是线段BC上一个动点，线段7.空间四点A、B、C、D都在球心为O的球面上且PM长度最小值为√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表AD⊥平面ABC，AD=2，AB=BC=AC=2则面积为（）球O的表面积为（） A.9π2B.40πC.9√2πD.18πA.32π3B.28π3C.16π3D.4π。
空间几何体外接球问题7种题型总结
空间几何体外接球问题7种题型总结
x
一、空间几何体外接球问题整体总结
空间几何体外接球问题是典型的几何形体在三维空间运动的概
念测试，其考查的内容主要有以下几种：
1、计算特定几何体外接球的半径：可以根据给定的几何体的表面积和体积来计算出它的外接球的半径；
2、定义外接球：通过给出几何体的表面积或体积来定义几何体的外接球；
3、求任意两个外接球的重叠面积：计算出两个球体的表面积和体积，利用这些参数来求出两个外接球的重叠面积；
4、求几何体到某点的最近距离：在给定的几何体的某点的情况下，根据外接球的半径来计算出该点到外接球的最近距离；
5、求几何体的体积：根据给定的外接球的半径和体积，计算出几何体的体积；
6、求两个外接球的重叠体积：根据两个外接球的表面积和体积，来计算出它们重叠的体积；
7、求几何体到某球体的最近距离：通过给定的几何体和某个球体，可以根据它们的外接球的半径来求出它们之间的最近距离。
二、总结
空间几何体外接球问题可以用来考查考生对几何形体的运动、距离和体积的理解程度，考生需要熟练掌握外接球的定义、半径的计算、
重叠面积和体积的求解以及几何体到某点和某球体最近距离的求解
等基本方法。
通过练习这些方法，考生可以提高解题的速度和准确度，从而帮助考生在备考考试的过程中更好的掌握考试知识。
专题15 空间几何体外接球和内切球(解析版)
2
1.例题
【例 1】（1）长方体 芰ᑯ䦘 ʂ 芰 ᑯ 䦘 的 8 个顶点在同一个球面上，且 芰 ᐱ ， 䦘 ᐱ ， 则球的表面积为______．
ᐱ，
安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2
球 O 的体积：V 4 R3 64 2 本题正确选项： A
3
3
2.巩固提升综合练习
【练习
1】已知三棱柱
ABC
A1B1C1
的侧棱与底面垂直，
AA1
BC
2, BAC
4
，则三棱柱
ABC A1B1C1 外接球的体积为（ ）
A．12 3
B． 8 3
C． 6 3
D． 4 3
【答案】D
【解析】设 ABC 的外接圆圆心为 O1 ， A1B1C1 的外接圆圆心为 O2 ，
A． 64 2 3
B． 16 2 3
C．16 2
D．16
【答案】（1）
（2）D （3）A
【解析】（1）因为长方体 芰ᑯ䦘 ʂ 芰 ᑯ 䦘 的 8 个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为 ，因为 芰 ᐱ ， 䦘 ᐱ ， ᐱ ，
所以 ᐱ
ᐱ ，球的表面积为
ᐱ ，故答案 π.
（2）正三棱柱
1）第一步：求底面外接圆的半径： r 1 a （ a 为角 A 的对边）； 2 sin A
2）第二步：由勾股定理得外接球半径： R r 2 ( h )2 （ h 为直棱柱侧棱高度） 2
1.例题 【例 1】直三棱柱 芰ᑯ ʂ 芰 ᑯ 中，已知 芰 芰ᑯ， 芰 ᐱ ，芰ᑯ ᐱ ， 在同一球面上，则该球的表面积为__________．
空间几何体的外接球
空间几何体的外接球
空间几何体的外接球就是包含该几何体的最小球。
这个球的圆心位于几何体的外部，球的半径等于从圆心到几何体表面的最远距离。
外接球是几何体的一个重要属性，可以用于计算几何体的体积、表面积等参数。
对于不同的几何体，其外接球的计算方法也不同。
例如，对于立方体，其外接球的半径等于边长的一半。
而对于球体，则其自身就是一个外接球。
在实际应用中，外接球经常被用于计算几何体的特征参数。
例如，对于多面体，外接球的半径可以用于计算多面体内切球的半径，从而进一步计算多面体的体积
和表面积。
在建筑设计中，外接球也可以用于计算建筑物的最小包围盒，从而确定建筑物的空间占用情况。
总之，空间几何体的外接球是一个重要的几何体属性，可以用于计算几何体的各种特征参数，对于建筑设计、工程计算等领域具有重要的应用价值。
空间几何体的外接球
R
A
2
O
B1
O2
C1
A1
小结
直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的 中点上，找到底面外接圆圆心，求出底面 外接圆半径，再利用勾股定理求外接球半 径.
R2 r2 (h)2 2
O1
O
R
h
2
r O2
棱锥外接球
棱锥外接球
例1
四棱锥P - ABCD的顶点都在球O 的球面上, 四边形ABCD是矩形, PA 平面ABCD, PA 8, AB 3, AD 3 3, 求球O的表面积.
课前导练
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其
所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球表
面积为多少？
解 : AB a AO1
3 3
a, OO1
a 2
故AO2
R2
AO12
OO12
7 12
a2
S球
4 R2
7 a2
3
C A
O1 D B
R O
A1 a
C1 O2
若一个多面体的各顶点都在一个球的 球面上，则称这个多面体是这个球的 内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。
课前导练
圆柱的 外接球
正方体 外接球
O2
O a
R O1 a
2
R 5a 2
D1
C1
A1
R B1
O a
D
C
A
B
R 3a 2
长方体 外接球
C1
A1
D1 B1
5 O
C D B3 A4
R5 2 2
新教材高中数学精品专题四 培优点12 空间几何体的外接球问题
空间几何体的外接球问题空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题．例1 (1)(2022·太原模拟)已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝23，DC ＝22，BC ＝25，二面角A －BD －C 的大小为135°，则三棱锥A －BCD 外接球的表面积为( ) A ．64π B ．52π C ．40π D ．32π 答案 B解析 ∵BD ＝23，CD ＝22，BC ＝25， ∴BC 2＝BD 2＋CD 2，∴CD ⊥BD ，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (23，0,0)，C (0,22，0)， 过点A 作BD 的垂线AE ，∵二面角A －BD －C 的大小为135°， ∴A ⎝⎛⎭⎫3，－322，322， 又△BCD 外接圆的圆心在BC 的中点，∴三棱锥A －BCD 外接球的球心O 在过BC 的中点且垂直于平面BCD 上， 设O (3，2，h )， 由OD 2＝OA 2，得⎝⎛⎭⎫5222＋⎝⎛⎭⎫h －3222＝(3)2＋(2)2＋h 2，解得h ＝22，∴该几何体外接球的半径R ＝(3)2＋(2)2＋(22)2＝13， 即三棱锥A －BCD 外接球的表面积为S ＝4πR 2＝52π.(2)(2022·临沂模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＋AC ＝12，分别取三边的中点D ，E ，F ，将△BDE ，△ADF ，△CEF 分别沿三条中位线折起，使得A ，B ，C 重合于点P ，则当三棱锥P －DEF 的外接球的体积最小时，其外接球的半径为________，三棱锥P －DEF 的体积为________．答案172 83解析 由题意得三棱锥P －DEF 的对棱分别相等，设BC ＝2a ，则AC ＝12－2a ，将三棱锥P －DEF 补充成长方体，则对角线长分别为a ,6－a ,4，三棱锥P －DEF 的外接球即为长方体的外接球．设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则x 2＋y 2＝a 2，y 2＋z 2＝(6－a )2，x 2＋z 2＝16， 所以x 2＋y 2＋z 2＝a 2－6a ＋26，则外接球半径r ＝x 2＋y 2＋z 22＝a 2－6a ＋262，当a ＝3时，半径最小，此时三棱锥P －DEF 的外接球的体积最小，此时r ＝172， 解得x ＝z ＝22，y ＝1，所以三棱锥V P －DEF ＝22×22×1－4×13×12×22×22×1＝83.例2 (1)(2022·衡阳模拟)设圆锥的顶点为A ，BC 为圆锥底面圆O 的直径，点P 为圆O 上的一点(异于B ，C )，若BC ＝43，三棱锥A －PBC 的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为________． 答案 24π或8π解析 如图，设圆锥AO 的外接球球心为M ，则M 在直线AO 上，设球M 的半径为r ， 则4πr 2＝64π，解得r ＝4.由勾股定理得BM 2＝OM 2＋OB 2，即42＝(23)2＋OM 2，可得OM ＝2， 即OM ＝|AO －r |＝|AO －4|＝2， 解得AO ＝6或AO ＝2.当AO ＝6时，圆锥AO 的体积为V ＝13π×(23)2×6＝24π；当AO ＝2时，圆锥AO 的体积为V ＝13π×(23)2×2＝8π.(2)(2022·盐城模拟)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝2.若点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，则直线EF 被四棱锥P －ABCD 的外接球所截得的线段长为________． 答案6解析 如图所示，因为P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，所以△P AC ，△PBC ，△PDC 均为以PC 为斜边的直角三角形， 所以外接球的球心O 为PC 的中点， 则R ＝12PC ＝12P A 2＋AC 2＝ 3 ，取EF 的中点G ，连接OG ，因为PC AC ＝2322＝62，GC OC ＝34×223＝62，所以PC AC ＝GCOC ，则△P AC ∽△GOC ，所以GO ⊥PC ，所以球心到直线的距离为d ＝GO ＝GC 2－OC 2＝62， 所以l ＝2R 2－d 2＝6， 所以所截得的线段长为 6.解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径．(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．1．已知点A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝2，BC ＝4，AC 与平面ABD 所成角的正弦值为105，则球O 表面上的动点P 到平面ACD 距离的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 如图，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，所以AD 为球的直径，由AB ＝2，BC ＝4，得AC ＝25，作CE ⊥BD ，则∠CAE 即为AC 与平面ABD 所成的角， 所以sin ∠CAE ＝105＝CE AC ＝CE 25，得CE ＝22， 设CD ＝x ，由等面积法得4x ＝22x 2＋16， 解得x ＝4，所以AD 2＝AB 2＋BC 2＋CD 2＝4＋16＋16＝36，即2R ＝6，R ＝3， 又平面ACD 过球心，所以P 到平面ACD 距离的最大值即为半径的长， 所以P 到平面ACD 距离的最大值为3.2．(2022·呼和浩特模拟)四面体ABCD 的四个顶点都在球O 上且AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝4，AD ＝26，则球O 的表面积为( ) A.70π3 B.80π3 C ．30π D ．40π 答案 B解析 如图，取BC 的中点M ，连接AM ，DM ，设△ABC 和△BCD 的外心分别为F ，E ，分别过点F ，E 作平面ABC 和平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 为外接球球心．由题意可知，△ABC 和△BCD 都是边长为4的等边三角形． ∵M 为BC 的中点，∴AM ⊥BC ，且AM ＝DM ＝23， 又∵AD ＝26，∴AM 2＋DM 2＝AD 2，∴AM ⊥DM ，∵BC ∩DM ＝M ，BC ，DM ⊂平面BCD ，∴AM ⊥平面BCD ， ∵AM ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， 易得ME ＝MF ＝13AM ＝233，BE ＝23DM ＝433，∵AM ⊥平面BCD ，OE ⊥平面BCD ，∴OE ∥AM ， 同理可得OF ∥DM ，则四边形OEMF 为菱形， ∵AM ⊥DM ，∴菱形OEMF 为正方形，∵OE ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，∴OE ⊥BE ， ∴外接球半径为OB ＝OE 2＋BE 2＝2153，四面体ABCD 的外接球的表面积为4π×OB 2＝803π.3．(2022·济宁模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝4，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 平行，当△BB 1P 的面积最小时，三棱锥A －BB 1P 的外接球的体积是________． 答案125π6解析 补全截面EFG 为截面EFGHQR 1，如图，设BR ⊥AC ，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，∴D 1P ∥平面EFGHQR 1， 易知平面ACD 1∥平面EFGHQR 1，∴P ∈AC ，且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小， 由等面积法得12BR ×AC ＝12AB ×BC ，即12BR ×32＋42＝12×3×4，∴BR ＝BP ＝125， ∵B 1B ⊥AP ，BP ⊥AP ，B 1B ∩BP ＝B ，B 1B ，BP ⊂平面B 1BP ， ∴AP ⊥平面B 1BP ，则AP ⊥B 1P ，又AB ⊥B 1B ，∴AB 1为三棱锥A －BB 1P 的外接球的直径，长度为32＋42＝5. ∴三棱锥A －BB 1P 的外接球的半径为52，体积为V ＝43π×⎝⎛⎭⎫523＝125π6. 4．乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40 mm.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒(长方体)表面积的最小值为________cm2.(忽略乒乓球及包装盒厚度)答案256解析设A，B，C，D是四个球的球心，以下面积单位是cm2，(1)A，B，C，D四点共线，则S＝2×42＋4×4×16＝288.(2)A，B，C，D四点构成一个正方形，则S＝2×82＋4×8×4＝256.(3)A，B，C，D四点构成一正四面体，如图，设E是△BCD的中心，则AE⊥平面BCD，AE⊥BE，BE＝33×4＝433，AE＝42－⎝⎛⎭⎫4332＝463，正四棱柱为正方体，棱长为463＋4，表面积为S＝6×⎝⎛⎭⎫4＋4632＝32(5＋26)>256，比较可得表面积最小值为256 cm2.。
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培优点15 空间几何体的外接球
空间几何体的外接球是高中数学的重难点．我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题．
例1 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( ) A.5π∶6 B.6π∶2 C ．π∶2 D ．5π∶12 答案 B
解析 将半球补成球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a ，球体的半径为R ，则(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即R ＝
62a ，∴V 半球＝12×43πR 3＝23π×⎝⎛⎭⎫62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3，∴V 半球∶V 正方体＝62
πa 3∶a 3＝6π∶2，故选B. 例2 在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )
A.12512π
B.1259π
C.1256π
D.1253
π 答案 C
解析 如图，取AC 的中点O ，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ，故点O 为四面体ABCD 的外接球的球心，
∴R ＝12AC ＝52
， ∴V 球＝43
×π×⎝⎛⎭⎫523＝1256π. 例3 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4
答案 A
解析 如图，正四棱锥P －ABCD 的底面中心为H .
在底面正方形ABCD 中，AH ＝2， 又PH ＝4， 故在Rt △P AH 中，
P A ＝
PH 2＋AH 2 ＝42＋(2)2＝3 2.
则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心O 在PH 所在的直线上，设其外接球的直径为PQ ＝2r .
又A 在正四棱锥外接球的球面上，所以AP ⊥AQ .
又AH ⊥PH ，由射影定理可得P A 2＝PH ×PQ ，
故2r ＝PQ ＝P A 2PH ＝(32)24＝92，所以r ＝94
. 故该球的表面积为S ＝4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4.
解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面．结合相关几何量之间的数量关系可确定球心．
1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A ．π B.3π4 C.π2 D.π4
答案 B
解析 球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12
，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r ＝
1－⎝⎛⎭⎫122＝32，故该圆柱的体积为V ＝π×⎝⎛⎭
⎫322×1＝3π4. 2．在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝3，AD ＝2，AC ＝5，则该四面体外接球的表面积为________．
答案 12π
解析 将四面体补成三条棱长分别为3，2，5的长方体，则此长方体外接球的直径2R ＝3＋4＋5＝23，
∴该四面体外接球的表面积为4πR 2＝12π.
3．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 答案 36π
解析 如图，SC 为球O 的直径，O 为球心，
因为SA ＝AC ，所以AO ⊥SC ，
同理SB ＝BC ，所以BO ⊥SC ，BO ∩AO ＝O ，所以SC ⊥平面ABO .
又平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，AO ⊥SC ，AO ⊂平面SAC ， 所以AO ⊥平面SBC ，所以AO ⊥BO .
设球的半径为R ，则AO ＝BO ＝SO ＝CO ＝R ，
所以V 三棱锥S －ABC ＝2×13S △ABO ×SO ＝2×13×12×AO ×BO ×SO ＝13
R 3＝9，所以R ＝3， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π.
4．类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念，已知球O 的一个内接四面体A －BCD 中，AB ⊥BC ，BD 过球心O ，若该四面体的体积为1，且AB ＋BC ＝2，则球O 的表面积的最小值为________．
答案 38π
解析 在Rt △ABC 中，由AB ⊥BC ，且AB ＋BC ＝2，
得2＝AB ＋BC ≥2AB ·BC ，得AB ·BC ≤1， 当且仅当AB ＝BC ＝1时，AB ·BC 取最大值1， ∵BD 过球心O ，且四面体A －BCD 的体积为1，
∴三棱锥O －ABC 的体积为12
， 则O 到平面ABC 距离的最小值为1213×12
×1＝3， 此时△ABC 的外接圆的半径为
22， 则球O 的半径的最小值为32＋⎝⎛
⎭⎫222＝192， ∴球O 的表面积的最小值为4π×⎝⎛⎭⎫1922＝38π.。