数学建模-第七章背包问题.
数学模型——背包问题
写出程序&运行求值
品 需要带走
所带物品 的最大价 值是495 元，箱子 还有 160ml的 剩余空间
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数学模型
装箱问题
题目：
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、 1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必 带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、 190 （单位毫升）．尚有 10 件可带可不带物品，如果不带将在目的地购 买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）．这些物品 的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个 旅行包里．
400+300+150+250+450760+190=2500 那么就把容量为1000和1500的箱子用来装这7件必带物品。 现在问题就转化为了，把10件物品选择性的装在容积为2000的箱子里，
使购买未带商品的钱数最少。 设 Vi表示第i件物品的体积； Pi表示第i件物品的价格； Xi表示是否装入第i件物品(装入：1，不装：0)
i=1,2,...,10
建立模型
现在目标函数就可以写为：max M=
PX
i 1 i
10
i
箱子体积有限：
V X
i 1 i
10
i
≤2000
分别把数据代入，得：
max M=15X1+45X2+100X3+70X4+50X5+75X6+200X7+90X8+20X9+30X10
200X1+350X2+500X3+430X4+320X5+120X6+700X7+420X8+250X9+100X10≤2000 Xi=0, 1
数学建模-第七章背包问题.
ps 1 . 重量超出 ws C , 而此时价值密度值最小的是 w s 1
U 1 是此情形的上界 .
0 1 U max U , U 从而 是 z ( KP) 的上界 . 2
§2
ps Up jU 要证 ，只需 U C 1 0 1 ws 2、 U U1 是显然的； j 1 and 证 U0 U U U1 s 1 1 ps s 1 zopt (C ( KP)) 0 p j C ps 1 C(KP) 的最优解值 U p j w j 1 sC s p j 1 ws 1 p (w C ) s (*)
缺点：需要更多的分支运算 .
第七章 背包问题
考虑 KP 的松弛问题 ：?
x j 0,1 x j 0,1
max
z pj xj
j 1
n
C((KP KP)) s.t.
w x
j 1 j
n
C(KP)如何求解？
j
C
第一个放不下的
0 x j 0,1 1 x j N 1,2,, n j
算法吗？
若
w x
j
j
,
则
xk 1 ，
否则 xk 0 ； step 3 若 k n , 则结束;
s 1
表示不超过 的最大整数.
Go on
第七章 背包问题
Theorem 2.1 的证明 Proof :
*
Go back
( p j 0)
要证 x* x
显然 C(KP) 的最优解必满足
w x
j 1 j
n
j
C
* x 设 是其最优解， 若存在 k s 使 xk 1
数学建模——背包问题——优化
日期：年月日学号：姓名：成绩：
数学模型实验抽测试题
实验抽测内容
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190（单位毫升）．尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）．这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里．
表1 物品相关数据
要求：说明决策变量的含义；建立模型；计算结果并说明结果数据的含义。
背包问题带课程设计
背包问题带课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生理解背包问题的定义，掌握其数学模型及基本概念；2. 学生掌握贪心算法和动态规划在解决背包问题中的应用；3. 学生能够运用所学知识解决实际生活中的优化问题。
技能目标：1. 学生通过分析背包问题，培养逻辑思维能力和问题解决能力；2. 学生能够运用计算机编程实现背包问题的算法；3. 学生学会运用数学工具对问题进行建模和分析。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对计算机科学和数学建模的兴趣，激发探究精神；2. 学生在解决问题过程中，形成合作、分享、尊重他人意见的良好品质；3. 学生通过解决实际问题，增强对科学知识应用于生活的认识，培养创新意识。
课程性质：本课程为信息技术与数学相结合的跨学科课程，以实际问题为背景，培养学生的计算思维和数学建模能力。
学生特点：六年级学生已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对计算机编程有初步了解，对解决实际问题充满好奇心。
教学要求：结合学生特点，注重启发式教学，引导学生主动探究，强调理论与实践相结合，提高学生的动手操作能力和问题解决能力。
在教学过程中，关注学生的情感态度价值观的培养，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
通过本课程的学习，使学生在知识、技能和情感态度价值观方面均取得具体、可衡量的学习成果。
二、教学内容1. 背包问题基本概念：介绍背包问题的定义、分类及数学模型，结合教材相关章节，让学生理解背包问题在实际中的应用。
2. 贪心算法：讲解贪心算法的基本思想及其在求解背包问题中的应用，分析贪心算法的优缺点，并通过实例进行讲解。
3. 动态规划：介绍动态规划的基本原理，讲解如何将背包问题转化为动态规划问题，分析动态规划在解决背包问题中的优势。
4. 编程实践：结合教材内容，引导学生运用编程语言（如Python）实现贪心算法和动态规划解决背包问题，巩固所学知识。
5. 实际案例：分析生活中的背包问题实例，让学生学会运用所学知识解决实际问题，提高问题解决能力。
数学建模背包问题
背包问题背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP 完全问题。
问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W 的前提下，总价值是否能达到V ？它是在1978年由Merkel 和Hellman 提出的一、定义：背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：我们有n 种物品，物品i 的重量为w i ，价格为p i 。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W 。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,ni i i S T w x W =≤∑ {}0,1i x ∈如果限定物品i 最多只能选择b i 个，则问题称为有界背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,n i i i S T w xW =≤∑ {}0,1,,i i x b ∈⋅⋅⋅如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。
二、基本模型的建立方法1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）分类：0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。
特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
1.1 一维背包问题问题：一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。
设有n 件物品可供他选择，编号为1,2,...,n 第i 件物品重量为i w 千克，价值为i p 元，他能携带的最大重量为w 千克。
他应该装入哪几件物品价值最大。
解：引入变量i x ，且设1,(1,2,,)0,i i x i n i ⎧==⎨⎩表示将第种物品装入包中表示不将第种物品装入包于是此问题的数学模型为：1max ni i i f p x ==∑1122.....01,1,2,...,.n n iw x w x w x W S T x i n +++≤⎧⎨==⎩或 1.2 二维背包问题一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V ，并设第i 件物品的体积i v ，问如何携带可使总价值最大。
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法全国大学生数学建模竞赛是中国高校中最具权威和影响力的学科竞赛之一。
该竞赛由教育部、中共中央组织部、中国科学院及其他部门共同主办。
该竞赛旨在促进青年学生对于数学和工程的综合应用，培养学生的创新能力和实践能力。
竞赛模式全国大学生数学建模竞赛一般分为两个阶段：第一阶段为选拔赛，第二阶段为决赛。
选拔赛一般在当年11月份进行，由各高校数学系作为考场。
每个参赛队伍由3名学生组成，比赛时间为两天。
选手可以使用任何工具，比如计算器、软件、读者，但是不得使用互联网。
决赛一般在翌年1月份或2月份举行，由主办单位确定比赛地点。
决赛选手数量有限制，根据各省市选手数量的比例确定。
赛题解法全国大学生数学建模竞赛的赛题涵盖的面非常广，包括应用数学、工程数学、运筹学、优化理论等多个领域。
以下是该竞赛可能出现的赛题及其基本解法：1. 背包问题背包问题是计算机科学和数学中的一个经典问题，指在给定约束条件下，从若干种物品中选择若干件物品装入背包，使得背包能够承载的重量最大或体积最大。
解法：背包问题可以用动态规划、贪心算法、分支定界等算法解决。
2. 最优路径问题最优路径问题也就是指在一个有向加权图中，找到从起点到终点的最短路径或者最长路径。
解法：最优路径问题通常可以用Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法等解决。
3. 线性规划问题线性规划问题是运筹学中的一个重要问题，由一个线性目标函数和多个约束条件组成，目的是找出一组变量，使得目标函数最大或最小，并同时满足全部的约束条件。
解法：线性规划问题可以使用单纯性算法、内点法等算法进行解决。
4. 工程优化问题工程优化问题是指如何在给定资源的限制之下，设计和生产最符合要求的产品或系统。
工程优化问题常常包含多个目标和多个变量，并且这些变量之间具有复杂的相关性。
解法：工程优化问题可以使用遗传算法、蚁群算法、模拟退火等高级优化算法进行解决。
数学建模背包问题
背包问题一、问题的提出有一组物品S ，共有9件，其中第i 件重i w ，价值i v ，从S 中取出一些物品出来装背包，使总价值最大，而不超过总重量的给定上限15kg ，应选取哪些物品，试建立该问题的数二、问题分析与模型的假设这是一个典型的最优化问题，优化目标是总价值最大，决策是决定装哪些物品，而装载物品又受到背包所能承受重量15kg 的限制。
因此可以建立该问题的最优化数学模型，而且是0－1整数规划模型。
设i x 表示是否装载第i 件物品，如果0i x =表示不装载该物品，如果1ix =表示装载该物品()1,2,,9i =。
由于装载物品的总价值最大，目标函数为：123456789max 10453010015090200180300z x x x x x x x x x =++++++++装载的物品不超过总重量的给定上限15kg ，有约束条件：1234567892 2.510654315x x x x x x x x x ++++++++≤0-1变量约束：01,1,2,3,,9.i x i ==或三、模型的建立与求解我们得到该问题的0—1型整数规划模型为：123456789max 10453010015090200180300z x x x x x x x x x =++++++++1234567892 2.510654315;01,1,2,3,,9.ix x x x x x x x x x i ++++++++≤⎧⎨==⎩或 用数学软件Lingo 求得最优解为： 1235647890, 1.x x x x x x x x x =========最优值 z =780。
所以，选取第4, 7, 8, 9件物品时，总价值最大，最大总价值为780元。
Lingo 程序代码如下：max=10*x1+45*x2+30*x3+100*x4+150*x5+90*x6+200*x7+180*x8+300*x9; 2*x1+x2+x3+2.5*x4+10*x5+6*x6+5*x7+4*x8+3*x9<=15;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);@bin(x6);@bin(x7);@bin(x8);@bin(x9);。
任何背包问题状态转移方程
任何背包问题状态转移方程什么是背包问题？背包问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和数学领域被广泛研究和应用。
背包问题的基本形式是：给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值，在限定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化。
背包问题有多种变种，其中最常见的是0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
这些问题的区别在于物品是否可以被分割、是否可以重复选择以及每个物品的可选数量是否有限制。
0/1背包问题0/1背包问题是最基本的背包问题之一。
在这个问题中，每个物品要么被选择放入背包，要么不被选择放入背包，不能选择部分放入。
每个物品有自己的重量和价值，背包有一个固定的容量限制。
目标是找到一种选择方案，使得背包中物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量限制。
状态转移方程0/1背包问题可以使用动态规划的方法来解决。
动态规划是一种将问题分解为子问题，并保存子问题的解以避免重复计算的方法。
假设有n个物品，背包的容量为C，物品的重量分别为w1, w2, …, wn，物品的价值分别为v1, v2, …, vn。
令dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能达到的最大价值。
对于第i个物品，有两种选择：放入背包或不放入背包。
如果选择放入背包，那么背包中的总重量将增加wi，总价值将增加vi；如果选择不放入背包，背包中的总重量和总价值不变。
因此，可以得到状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)其中dp[i-1][j]表示不选择第i个物品时的最大价值，dp[i-1][j-wi] + vi表示选择第i个物品时的最大价值。
代码实现下面是使用Python编写的0/1背包问题的动态规划解法：def knapsack_01(weights, values, capacity):n = len(weights)dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for j in range(1, capacity + 1):if weights[i-1] <= j:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[n][capacity]其中，weights是物品的重量列表，values是物品的价值列表，capacity是背包的容量。
数学模型背包问题
数学模型
装箱问题
题目：
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、 1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必 带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、 190 （单位毫升）．尚有 10 件可带可不带物品，如果不带将在目的地购 买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）．这些物品 的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个 旅行包里．
使购买未带商品的钱数最少。 设 Vi表示第i件物品的体积； Pi表示第i件物品的价格； Xi表示是否装入第i件物品(装入：1，不装：0)
i=1,2,...,10
建立模型
现在目标函数就可以写为：max M=
PX
i 1 i
10
i
箱子体积有限：
V X
i 1 i
10
i
≤2000
分别把数据代入，得：
第 3,6,7,8,1 0件物品 需要带走
所带物品 的最大价 值是495 元，箱子 还有 160ml的 剩余空间
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分析：怎么样才算合理？
晏祥喜认为：购买没带的东西所用的钱最少即为合理。
分析题意&设变量
惊人的发现： 7件必带物品的体积分别是400、300、150、250、450、760、190.
400+300+150+250+450760+190=2500 那么就把容量为1000和1500的箱子用来装这7件必带物品。 现在问题就转化为了，把10件物品选择性的装在容积为2000的箱子里，
求解背包问题课程设计
求解背包问题课程设计一、教学目标本课程旨在通过学习背包问题，让学生掌握动态规划的基本思想和方法，能够运用动态规划解决实际问题。
具体目标如下：1.知识目标：学生应了解背包问题的定义、分类及解法；理解动态规划的基本原理，掌握0-1背包、完全背包和多重背包等常见背包问题的求解方法。
2.技能目标：学生能够运用动态规划解决实际问题，如最大子序列和、最长公共子序列等；能够编写相应的程序代码实现背包问题的求解。
3.情感态度价值观目标：通过解决背包问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的逻辑思维和创新意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的积极性。
二、教学内容1.背包问题的定义和分类2.动态规划的基本原理3.0-1背包问题的求解方法4.完全背包问题的求解方法5.多重背包问题的求解方法6.动态规划在其他问题中的应用三、教学方法1.讲授法：讲解背包问题的定义、分类和动态规划的基本原理。
2.案例分析法：分析具体背包问题，引导学生运用动态规划方法求解。
3.讨论法：学生分组讨论，分享解题心得和经验。
4.实验法：让学生编写程序代码，验证所学的背包问题解法。
四、教学资源1.教材：选用与背包问题相关的教材，如《算法导论》、《动态规划：理论与实践》等。
2.参考书：提供相关领域的参考书，如《计算机算法》、《算法设计与分析》等。
3.多媒体资料：制作课件、教学视频等，辅助学生理解backpack问题。
4.实验设备：提供计算机等实验设备，让学生编写程序代码并进行实验验证。
五、教学评估本课程的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：占课程总评的30%，包括课堂参与度、提问回答、小组讨论等。
2.作业：占课程总评的30%，包括课后练习、小项目等，用以巩固所学知识。
3.考试：占课程总评的40%，包括理论知识考试和编程实践考试，用以检验学生的综合能力。
评估方式要求客观、公正，全面反映学生的学习成果。
教师应及时给予反馈，帮助学生提高。
六、教学安排1.教学进度：按照教材和教学大纲进行，确保完成所有教学内容。
背包问题系列（01背包、完全背包、多重背包）
背包问题系列（01背包、完全背包、多重背包）背包问题是⼀个经典的动态规划问题，问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。
根据给定物品的数量，背包问题⼜可分为：1）每种物品只有⼀件，即01背包问题2）每种物品不限数量，可选取任意数量，即完全背包问题3）每种物品的数量已给定，不可超出该数量，即多重背包问题背包问题的重点：1）编写状态转移⽅程2）空间优化1 #include <iostream>2 #include <vector>3using namespace std;45int max(int a, int b)6 {7return a > b ? a : b;8 }910int min(int a, int b)11 {12return a < b ? a : b;13 }1415// 01背包问题,n件物品，重量为v16int BagProblem_01(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)17 {18// 前i件物品背包限重为j的情况下的最⼤值19 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v + 1, 0));2021for (int i = 0; i <= v; i++)22 {23if (i >= weight[0])24 {25 dp[0][i] = value[0];26 }27 }2829for (int i = 1; i < n; i++)30 {31for (int j = 1; j <= v; j++)32 {33if (j < weight[i])34 {35 dp[i][j] = dp[i - 1][j];36 }37else38 {39 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);40 }41 }42 }4344return dp[n - 1][v];45 }4647// 01背包问题--优化空间48int BagProblem_01_optimize(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)49 {50// 前i件物品背包限重为j的情况下的最⼤值51 vector<int> dp(v + 1, 0);5253for (int i = 0; i <= v; i++)54 {55if (weight[0] > v)56 {57 dp[0] = value[0];58 }59 }6061for (int i = 1; i < n; i++)62 {63for (int j = v; j >= weight[i]; j--) // dp[j]是由上⼀⾏<=j列推出，j需逆向枚举64 {65 dp[j] = max(dp[j], dp [j - weight[i]] + value[i]);66 }67 }6869return dp[v];70 }7172// 完全背包问题73int BagProblem_complete(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)74 {75 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v + 1, 0));7677for (int j = 0; j <= v; j++)78 {79 dp[0][j] = j / weight[0] * value[0];80 }8182for (int i = 1; i < n; i++)83 {84for (int j = 0; j <= v; j++)85 {86if (j < weight[i])87 {88 dp[i][j] = dp[i - 1][j];89 }90else91 {92 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);93 }94 }95 }9697return dp[n - 1][v];98 }99100// 完全背包问题——优化空间101int BagProblem_complete_optimize(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, int n, int v)102 {103 vector<int> dp(v + 1, 0);104105for (int j = 0; j <= v; j++)106 {107 dp[j] = j / weight[0] * value[0];108 }109110for (int i = 1; i < n; i++)111 {112for (int j = 0; j <= v; j++) // dp[j]是由上⼀⾏j列和本⾏⼩于j列推出，因此需要正向枚举113 {114if (j >= weight[i])115 {116 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);117 }118 }119 }120121return dp[v];122 }123124// 多重背包问题125int BagProblem_multi(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, const vector<int> &nums, int n, int v) 126 {127 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(v + 1, 0));128129for (int j = 0; j <= v; j++)130 {131int num = min(j / weight[0], nums[0]);132 dp[0][j] = num * value[0];133 }134135for (int i = 1; i < n; i++)136 {137for (int j = 0; j <= v; j++)138 {139if (j < weight[i])140 {141 dp[i][j] = dp[i - 1][j];142 }143else144 {145int num = min(j / weight[i], nums[i]);146for (int k = 0; k <= num; k++)147 {148 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - k * weight[i]] + k * value[i]);149 }150 }151 }152 }153154return dp[n - 1][v];155 }156157// 多重背包问题——优化空间158int BagProblem_multi_optimize(const vector<int> &weight, const vector<int> &value, const vector<int> &nums, int n, int v) 159 {160 vector<int> dp(v + 1, 0);161162for (int j = 0; j <= v; j++)163 {164int num = min(j / weight[0], nums[0]);165 dp[j] = num * value[0];166 }167168for (int i = 1; i < n; i++)169 {170for (int j = v; j >= 0; j--) // dp[j]是由上⼀⾏<=j列推出，需要逆向枚举171 {172int num = min(j / weight[i], nums[i]);173for (int k = 0; k <= num; k++)174 {175if (j < k * weight[i])176continue;177 dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);178 }179 }180 }181182return dp[v];183 }184185int main()186 {187int v = 10;188int n = 5;189 vector<int> weight{ 2, 2, 4, 6, 3 };190 vector<int> value { 1, 3, 3, 5, 6 };191 vector<int> nums { 1, 2, 3, 4, 1 };192193 cout << BagProblem_01(weight, value, n, v) << endl;194 cout << BagProblem_01_optimize(weight, value, n, v) << endl;195196 cout << BagProblem_complete(weight, value, n, v) << endl;197 cout << BagProblem_complete_optimize(weight, value, n, v) << endl;198199 cout << BagProblem_multi(weight, value, nums, n, v) << endl;200 cout << BagProblem_multi_optimize (weight, value, nums, n, v) << endl;201202return0;203 }。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是在计算机科学中的一个经典问题，它涉及到在给定的背包容量下，如何选择一组物品，使得这些物品的总价值最大化。
在解决背包问题时，我们需要考虑物品的分量和价值，并且背包的容量是有限的。
为了解决背包问题，我们可以使用动态规划算法。
动态规划是一种通过将问题分解为子问题并解决子问题来解决复杂问题的方法。
对于背包问题，我们可以定义一个二维数组dp来保存每一个子问题的最优解。
其中，dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时可以获得的最大价值。
接下来，我们来详细描述解决背包问题的标准格式。
1. 定义问题：背包问题是在给定的背包容量下，选择一组物品使得其总价值最大化。
2. 分析问题：- 输入：- 物品的分量数组weights，长度为n，weights[i]表示第i个物品的分量。
- 物品的价值数组values，长度为n，values[i]表示第i个物品的价值。
- 背包的容量capacity，表示背包的最大容量。
- 输出：- 最大价值max_value，表示在给定的背包容量下可以获得的最大价值。
3. 设计算法：- 初始化一个二维数组dp，大小为(n+1)×(capacity+1)，并将所有元素初始化为0。
- 对于每一个物品i，从1到n，进行以下操作：- 对于背包容量j，从1到capacity，进行以下操作：- 如果weights[i-1]大于j，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]，即不选择第i个物品。
- 否则，dp[i][j]等于max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])，即选择第i个物品或者不选择第i个物品中的最大值。
- 最终，dp[n][capacity]就是所求的最大价值。
4. 实现算法：使用编程语言（如Python、Java等）根据上述算法设计代码实现。
5. 测试样例：- 输入：weights = [2, 3, 4, 5], values = [3, 4, 5, 6], capacity = 8- 输出：max_value = 96. 分析复杂度：- 时间复杂度：该算法使用了两层循环，时间复杂度为O(n×capacity)。
背包问题标准版文档
首先先验证程序正确性
其经过分解得到的子问题往往不是相互独立的，可以用一张表来记录所有已解决的子问题的答案，而不论该子问题以后是否会用到。 动态规划背包问题最优解分析 令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数: 接下来，运用该程序达到上述情况求解 由于函数KnapSack中有一个两重for循环，所以时间复杂度为O（（n+1）*（W+1）），空间复杂度也是O（（n+1）*（W+1）），即 O(n*W)。 根据该算法的时间效率和空间效率都属于O(nw)。 为10、20、30下的运行结果。 其经过分解得到的子问题往往不是相互独立的，可以用一张表来记录所有已解决的子问题的答案，而不论该子问题以后是否会用到。
（1）实验之前，先对算法进行理论效率分析和正确性分析： 理论效率分析： 由于函数KnapSack中有一个两重for循环，所以时间复杂度为O（（n+1）* （W+1）），空间复杂度也是O（（n+1）*（W+1）），即O(n*W)。所以时间效率 主要取决于W，用另一种话说本次测试的数据里面，在物品数目相同的情况下，求 解背包问题法最优解所对应的背包的最大容量与时间应该是线性效率的。
(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-
Wi的背包中的价值加上第i个物品的价值Vi；
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入
容量为j的背包中所取得的价值。
取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
背包问题的模拟
一、题目分析本课设是一个对实际问题的研究,背包的总质量一定,n件物品的质量也是一定的，通过用栈的回塑来用不同质量物品装满整个背包。
先将n件物品一一装进背包中，每装一件，用所装入物品的总质量与背包的最大质量进行比较，当所装入的物品总质量小于背包的的最大质量时，继续此程序。
当装入背包的物品总质量大于背包的总质量时，从背包取出一个物品，并继续反复往背包中装入物体过程。
如此往复，直到所装物体总质量等于背包的重量为止。
此时输出所有可能情况。
若不能装满此背包，则输出此问题无解。
二、设计过程1：设计过程对于本课设算法的设计方法，可以考虑用试探法进行——将这些物品按序号由小到大的次序放入包中，并对放置的不同情况做出不同的处理。
具体地说，就是假设当前正在试探第K个物品W[k]的放置情况，则可能有以下三种情况；（1）放置后正好满足条件，则将其放入背包中，并输出。
（2）放置后，背包中总重量小于背包的最大容量Max Weight，需继续放置；假设其后面还有，即K<Number，则从其后面物品选取一些，使其满足条件。
即从W[k+1]~W[Number]中选择若干物品放入背包，使背包的物品质量之和为Max-weight而这可以通过递归调用来实现，所不同的是要选择的是总质量。
（3）放置后，背包的总重量大于背包的最大容量，说明当前情况下，放置W[ K]是不可行的。
不能放置的原因有几个：诺W[K]不能放置，其他的物品也有不合适的放置等。
但是还不清楚暂时是哪种情况，因而只能继续试探，暂时认为是第一种情况，即W[K]不能放置。
同样，其后面还有，即K<Number，因而可以从后面的物品再选一些，以使满足条件。
与上面的情况一样，这也可通过递归调用来实现。
经过这样的试探后，最后可能出现的情况只有二种之一；（1）背包放置物品的质量之和等于背包的的最大容量。
（2）在试探第N个物品时，无论是否将其放入，均不否和要求。
这说明前面的放置法不行，因而需要试探其他的放置法。
背包问题——精选推荐
01背包01背包解析和程序[问题描述]在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W·2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。
求出获得最大价值的方案。
注意：在本题中，所有的体积值均为整数。
[算法分析]：对于背包问题，通常的处理方法是搜索。
用递归来完成搜索，算法设计如下：function Make( i {处理到第i件物品} , j{剩余的空间为j}:integer) :integer;初始时i=m , j=背包总容量beginif i:=0 thenMake:=0;if j>=wi then (背包剩余空间可以放下物品 i )r1:=Make(i-1,j-wi)+v; (第i件物品放入所能得到的价值 )r2:=Make(i-1,j) (第i件物品不放所能得到的价值 )Make:=max{r1,r2}end;这个算法的时间复杂度是O(2^n)，我们可以做一些简单的优化。
由于本题中的所有物品的体积均为整数，经过几次的选择后背包的剩余空间可能会相等，在搜索中会重复计算这些结点，所以，如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下来，以保证不重复计算的话，速度就会提高很多。
这是简单?quot;以空间换时间"。
我们发现，由于这些计算过程中会出现重叠的结点，符合动态规划中子问题重叠的性质。
同时，可以看出如果通过第N次选择得到的是一个最优解的话，那么第N-1次选择的结果一定也是一个最优解。
这符合动态规划中最优子问题的性质。
考虑用动态规划的方法来解决，这里的：阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中；状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；决策是：第N件物品放或者不放；由此可以写出动态转移方程：我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi(j>=Wi), f[i-1,j]}这样，我们可以自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是f[m,w]算法设计如下：procedure Make;beginfor i:=0 to w dof[0,i]:=0;for i:=1 to m dofor j:=0 to w do beginf[i,j]:=f[i-1,j];if (j>=w) and (f[i-1,j-w]+v>f[i,j]) thenf[i,j]:=f[i-1,j-w]+v;end;writeln(f[m,wt]);end;由于是用了一个二重循环，这个算法的时间复杂度是O（n*w)。
背包问题（Knapsackproblem）采用动态规划求解
背包问题（Knapsackproblem）采⽤动态规划求解问题说明:假设有⼀个背包的负重最多可达8公⽄，⽽希望在背包中装⼊负重范围内可得之总价物品，假设是⽔果好了，⽔果的编号、单价与重量如下所⽰：李⼦4KGNT$45001苹果5KGNT$57002橘⼦2KGNT$22503草莓1KGNT$1100解法背包问题是关于最佳化的问题，要解最佳化问题可以使⽤「动态规划」（Dynamicprogramming），从空集合开始，每增加⼀个元素就先求出该阶段的最佳解，直到所有的元素加⼊⾄集合中，最后得到的就是最佳解。
下⾯我们看下代码:/*问题:假设有⼀个背包的负重最多可达8公⽄，⽽希望在背包中装⼊负重范围内可得之总价物品算法说明:采⽤动态规划,在当前阶段求解出最好的解,如此反复⽇期:2013/8/18张威*/#include <iostream>#include <time.h>using namespace std;#define MAXSIZE 8//定义全局变量char name[5][5] = {"李⼦","苹果","橘⼦","草莓","甜⽠"};//⽔果名称int wight[5] = {4,5,2,1,6};//单个⽔果所占⽄数int price[5] = {4500,5700,2250,1100,6700};//单个⽔果的价值int perkg_price[5];//每⽄⽔果的价钱int perkg_num[5] = {0,1,2,3,4};void GetNmae(int num){for (int i = 0;i <= 4;i++){cout<<name[num][i];}}void GetBestAnswer(int currentwigh){//判断递归终⽌条件if (currentwigh >= MAXSIZE){cout<<"包裹已经满了,⽆法再装进东西"<<endl;}else{//check⽤来表证到底剩下来的物品⾥⾯还有没有能装进去背包⾥的bool check = true;int i = 0;for (;i <= 4;i++){//若是没有进⼊到这个条件内,说明剩下来的物品的重量都超过了背包剩余重量,到此结束.否则i就代表当前所能选中的最优解if (wight[perkg_num[i]] <= MAXSIZE-currentwigh){check = false;break;}}if (check == true){cout<<"已经装不进去任何⽔果了"<<endl;}else{//得到最优解,并且将当前重量增加,进⼊下⼀次递归currentwigh += wight[perkg_num[i]];cout<<"购买了";GetNmae(perkg_num[i]);cout<<endl;GetBestAnswer(currentwigh);}}}int main(){//计算出每⽄⽔果的价钱,便于动态规划时求出当前最佳解for (int i = 0;i <= 4;i++){perkg_price[i] = price[i] / wight[i];}//对perkg_num进⾏排序,同时保证单价和perkg_num之间的⼀⼀对应关系.即两个数组要同时变化//采⽤的是冒泡排序,在元素进⾏交换时perkg_num和perkg_price同时变化for (int i = 0;i <= 3;i++){for (int j = i;j <= 3;j++){if (perkg_price[j] < perkg_price[j+1]){int temp1 = perkg_price[j];int temp2 = perkg_num[j];perkg_price[j] = perkg_price[j+1];perkg_price[j+1] = temp1;perkg_num[j] = perkg_num[j+1];perkg_num[j+1] = temp2;}}}//开始计算求解GetBestAnswer(0);return0;}背包问题在这⾥,算法的主要思想有两个:1.通过冒泡排序得到⼀个单价表,并将物品的ID与之配对起来.这样我们在每次的递归中通过ID找到物品的相应属性,筛选出当前步骤的最优解出来2.通过递归,传递当前的重量,得到还剩余的重量,根据前⾯的单价表,筛选出可选的最优解,然后将重量变化进⼊下⼀次递归.这是最⼤空间为8的运⾏结果: 这是最⼤空间为29的运⾏结果:下⾯附上指导书上⾯的代码:#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define LIMIT 8// 重量限制#define N 5// 物品种类#define MIN 1// 最⼩重量struct body {char name[20];int size;int price;};背包负重12345678value110225335450570680795905item323０1323背包负重12345678value110225335450570680795905item323０1323typedef struct body object;int main(void) {int item[LIMIT+1] = {0};int value[LIMIT+1] = {0};int newvalue, i, s, p;object a[] = {{"李⼦", 4, 4500}, {"苹果", 5, 5700},{"橘⼦", 2, 2250},{"草莓", 1, 1100},{"甜⽠", 6, 6700}};for(i = 0; i < N;i++) {for(s = a[i].size; s <= LIMIT;s++) { p = s - a[i].size;newvalue = value[p] + a[i].price;if(newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解value[s] = newvalue;item[s] = i;}}}printf("物品\t价格\n");for(i = LIMIT;i >= MIN;i = i - a[item[i]].size) {printf("%s\t%d\n",a[item[i]].name, a[item[i]].price);}printf("合计\t%d\n", value[LIMIT]);return0;}Javaclass Fruit {private String name;private int size;private int price;public Fruit(String name,int size, int price){ = name;this.size = size;this.price = price;}public String getName(){return name;}public int getPrice(){return price;}public int getSize() {return size;}}public class Knapsack {public static void main(String[] args){final int MAX = 8;final int MIN = 1;int[] item = new int[MAX+1];int[] value = new int[MAX+1];Fruit fruits[] = {new Fruit("李⼦", 4, 4500),new Fruit("苹果", 5, 5700),new Fruit("橘⼦", 2, 2250),new Fruit("草莓", 1, 1100),new Fruit("甜⽠", 6, 6700)};for(int i = 0; i < fruits.length;i++) {for(int s = fruits[i].getSize(); s <= MAX;s++){int p = s - fruits[i].getSize();int newvalue = value[p] +fruits[i].getPrice();if(newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解value[s] = newvalue;item[s] = i;}}}System.out.println("物品\t价格");for(int i = MAX;i >= MIN;i = i - fruits[item[i]].getSize()) {System.out.println(fruits[item[i]].getName()+"\t" + fruits[item[i]].getPrice());}System.out.println("合计\t" + value[MAX]);}}指导书上⾯的代码我居然没想到使⽤结构体,失策失策,都没⽤什么⾼级点的数据结构,看起来貌似很复杂的样⼦.明天再看。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是在计算机科学中常见的一个算法问题，它属于动态规划的范畴。
在这个问题中，我们有一个背包，它有一定的容量，我们需要从一组物品中选择一些放入背包中，以使得背包的总价值最大化。
为了解决背包问题，我们首先需要定义问题的输入和输出。
输入包括背包的容量、物品的数量和每个物品的重量和价值。
输出是选择哪些物品放入背包以达到最大价值的方案。
接下来，我们可以使用动态规划的方法来解决背包问题。
动态规划是一种将复杂问题分解为更简单子问题的方法，然后通过递推关系求解子问题，最终得到原问题的解的方法。
我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
根据动态规划的思想，我们可以得到以下递推关系：当不选择第i个物品时，dp[i][j] = dp[i-1][j]当选择第i个物品时，dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
根据以上递推关系，我们可以使用一个循环来填充dp数组。
首先，我们初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0时和没有物品可选时的最大价值都为0。
然后，我们从第二行开始，依次计算dp[i][j]的值，直到填满整个dp数组。
最后，我们可以通过回溯的方式，从dp数组中找到选择的物品。
我们从dp[n][m]开始，其中n表示物品的数量，m表示背包的容量。
如果dp[n][m]大于dp[n-1][m]，那么我们可以判断第n个物品被选择了，然后我们将m减去第n个物品的重量，并继续判断dp[n-1][m]和dp[n-2][m]，直到m等于0或者n等于0为止。
通过以上步骤，我们可以得到选择的物品和总价值，从而解决背包问题。
背包问题是一个经典的算法问题，它在实际应用中有很多变种，例如0/1背包问题、完全背包问题等。
不同的背包问题可能需要不同的算法和优化策略来解决，但它们的基本思想都是相同的。
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j 1 s 1
最优解值为
j N 1,2,, n
第七章 背包问题
极大（小）化问题
上（下）界 §2 背包问题的分支定界法
分支定界法 ( Branch and Bound Method ) 的基本 思想在运筹学课程中已介绍，它的重要在于它提出了一
类新的思路（隐枚举法），使得许多原来不好解决的问
题有了解决的可能性。（具有普适性） 这两个原则不易统一，所以可选择不同的松弛问题 △ 确定问题（子问题）的最优值的界 通常是通过求解松弛问题，用松弛问题的解作为界 Note : 松弛问题选择的原则 1、松弛问题要与原问题的最优值尽量接近； 2、松弛问题要尽量容易解 .
max z
jN N
x j y j p j p j w j wj
则原问题化为：
p j yj
jN N 1
pj
s.t.
jN N
wj yj C
jN N 1
wj
y j 0 or 1,
j N N
§1
背包问题的描述
缺点：需要更多的分支运算 .
第七章 背包问题
考虑 KP 的松弛问题 ：?
x j 0,1 x j 0,1
max
z pj xj
j 1
n
C((KP KP)) s.t.
w x
Hale Waihona Puke j 1 jnC(KP)如何求解？
j
C
第一个放不下的
0 x j 0,1 1 x j N 1,2,, n j
j 1 j 1
j N 1,2,, n
y j 0 or 1
n
j N 1,2,, n
令
q wj C
j 1
min
s.t.
u pj yj
j 1
j
n
该问题的实际意义 是求不放在包中的物
w
j 1
n
yj q
品的价值和最小 .
y j 0 or 1
( General Knapsack Problem )
j N 1,2,, n
第七章 背包问题
为讨论方便，总可假定（相当于标准化）：
1、wj 0, p j 0
j 1 ~ n；
2、 wj C
3、
j 1~ n;
实际问题 并非满足
wj C
j 1
n
pn p1 p2 4、 w1 w2 wn 即按价值密度从大到小排列.
§2
背包问题的分支定界法
△ 划分方法的选择 原则是希望分出来的子问题容易被查清，可加快计算 . △ 选哪个活问题先检查 1、先检查最大上界（极大化问题）的活问题 优点：检查子问题较其他规则为少； 缺点：计算机储存量较大 选择的不同，提供了发挥的余地 . 2、先检查最新产生的最大上界的活问题
优点：计算机储存量较少 ；
此时，最优解中 x j 0 所以，该物品事先可去掉;
令 N 1 j N p j 0, w j 0
此时，最优解中 x j 1 所以，该物品事先可去掉;
第七章 背包问题
(3) 若 p j 0 且 wj 0
令 N j N p j 0, w j 0
§1
背包问题的描述
KP Z NP C重量 w
j
背包问题的数学模型：
max
z pj xj
j 1
n
pj Z
CZ
价值 容量
( KP )
s.t.
w x
j 1 j
n
j
C
x j 0 or 1
j N 1,2,, n
因为决策变量 x j 0 or 1 ,所以也称 0-1 背包问题. 一般背包问题: x j Z 0
只需在模型中，令 x j 1 y j ，则系数即为大于零了. 综上，对不满足（1）、（2）、（3）的假定，可
作如下处理，使之满足：
对 jN 对 jN
令 x j 1 y j p j p j w j w j
N \ (N 0 N 1 N ) 令
§1
背包问题的描述
容量取
对 4 只需 O(nln n)次运算即可； 对3若
C1 C wj
w
j 1
n
j
C
，最优解为 x1 x2 xn 1;
对 2 若 w j C ，则最优解中 x j 0, 事先可去掉; 对 1 分三种情况讨论: (1) 若 p j 0 且 wj 0 (2) 若 p j 0 且 wj 0 令 N 0 j N p j 0, w j 0
方面有应用，而且常以子问题形式出现在大规模优化问
题中，它的理论与算法具有一定的代表性.
§1 背包问题的描述
背包问题的一般描述为：设有物品集 U u1, u2 ,, un
是一个准备放入容量为 C Z 的背包中的 n 项物品的集
合. 如何选择 U 中的一些物品装入背包，使这些物品的 总重量不超过 C ，且使总价值达到最大？
s min j wi C i 1
j
物品的序号
……
思路：将物品按价值密度从大到小的顺序放入包内, 记 —— 关键项
§2
背包问题的分支定界法
Theorem 2.1
C(KP) 最优解为
x j 1 j 1 s 1
xs C ws
x j 0 j s 1 n
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第七章 背包问题
第七章
背包问题
§1 背包问题的描述 §2 背包问题的分支定界法 §3 背包问题的近似算法 §4 0-1背包问题的一些相关问题
第七章 背包问题
物品u j 的重量为 w j Z
价值为 p j Z
背包问题 ( Knapsack Problem ) 是一个有着广泛应 用的组合优化问题，它不仅在投资决策、装载、库存等
n n( KP )
max
如果在（KP）中，令
max
s.t.
j 1 j 1
x j 1 y j
z pj xj
j j
n
Go back
j 模型的意义 1
z p j p j y j s.t.
n n j j j
w x
j 1
n
C
0 or 1 j C w w y x