学新教材高中数学导数及其应用导数导数及其几何意义教案新人教B版选择性必修第三册
单元教学设计《导数及其应用》
单元教学设计《导数及其应用》课题名称：《导数及其应用》单元教学设计设计者姓名：XXX设计者单位：XXX联系（未提供）一、教学要素分析1、数学分析1）该单元在整个高中数学中的地位和作用导数是大学数学微积分的核心概念之一，也是中学数学中特别重要的内容。
它在中学数学与高等数学之间起着承前启后的衔接作用。
导数以不同的形式渗透到高中数学的许多方面，与高中数学的许多内容都有密切的联系。
导数可用于研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、证明不等式等，为解决中学数学问题提供了新的视野。
在中学数学中的应用涉及到函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等方面。
应用导数可以十分方便地处理中学数学问题。
同时，导数也是解决一些物理、化学问题等其他实际问题的有力工具。
2）导数在实际生活中的应用导数在物理、化学、生物、天文、地理、经济等领域都有着十分广泛和主要的应用。
为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个物理问题作为典型实例，从平均变化率到瞬时变化率的过程，引出导数概念，揭示导数的本质——导数就是瞬时变化率。
现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等优化问题，这些问题常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生活中的优化问题就自然而然地用到导数了。
研究了导数及其应用以后，学生可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s(t)，算出物体的瞬时速度、瞬时加速度；对非稳恒电流，就可以算出其瞬时电流强度；化学中的反应速度、冷却速度等也可以通过微积分的方法来解决。
3）该单元蕴含的基本数学思想和方法，以及数学文化价值在知识传授上，采用从特殊到一般，从猜想到探究，由感性上升到理性的思路，让学生充分感受数学知识产生过程，学会进行数学推理和探究方法。
同时，借助函数图象的直观性，即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系——导数的几何意义，充分体现了数形结合思想和“无限逼近”的极限思想。
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 第1课时 导数与函数的极值
函数f(x)的零点即方程f(x)=0的解,也就是方程x3-3x2=a的解,f(x)的零点个数
为直线y=a与曲线y=x3-3x2的公共点个数,易知函数y=x3-3x2的极大值为0,极
小值为-4(如图所示).
故当a>0或a<-4时,函数f(x)恰有一个零点.
【变式训练2】 若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值 -4 .
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的极大值一定大于极小值.( × )
(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( × )
(3)可导函数f(x)在区间(a,b)内一定有极值.( × )
(4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则方程f'(x)=0在区间(a,b)内一定有
极值点与极值
1.如图,函数y=f(x)在点x=d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值有什
么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的
符号有什么规律?
提示:以d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比在点x=d附近其
他点的函数值都小,f'(d)=0,在x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函
1
5
9
经检验,a=4,b=-2符合题意.故 a+b=-4.
9
答案:-4
随堂练习
1.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,
则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有(
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)
6。
1.2 导数及其几何意义必备知识·素养奠基1。
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。
（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx 很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。
（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。
(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′==等。
2.导数的几何意义（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。
（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。
（2）曲线的切线与导数有什么关系？提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.1.思维辨析（对的打“√”,错的打“×")(1）函数y=f（x)在x=x0处的导数f′（x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. （)(2)函数y=f(x）在x=x0处的导数f′(x0）的几何意义是函数y=f（x)在点（x0，f（x0)）处的切线与x轴所夹锐角的正切值。
高中数学第六章导数及其应用6.1.2导数及其几何意义课时作业含解析新人教B版选择性必修第三册
∴f′(x0)＝ [3x ＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x ，
由f′(x0)＝3，得3x ＝3，
∴x0＝±1.
答案：C
5．解析：(1) ＝ ＝
＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
答案：(1)2＋Δx(2)2
6．解析：因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝
课时作业(十二) 导数及其几何意义
一、选择题
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()
A．f′(x)＝aB．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b
2．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且li ＝1，则f′(x0)等于()
解得x0＝－ 或x0＝2，
∴切点坐标为 或(2,3)．
当切点为 时，有 ＝4× ＋a，
∴a＝ .
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为 或(2,3)，
a的值为 或－5.
(1) ＝____________；(2)f′(1)＝____________.
6．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是________．
7．求曲线y＝ x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为____________．
三、解答题
8．求曲线f(x)＝ 在点(－2，－1)处的切线方程．
9．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
答案：4x＋y－2＝0
7．解析：∵y＝ x2－2，
∴y′＝
人教B版新教材高中数学选择性必修第三册课件导数及其几何意义
ΔΔyx＝Δlixm→0
(3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴ΔΔyx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对 于 Δy 与 Δx 的比值，感受和认识在 Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个 固定的常数 k 这一现象．
1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共 点？
[解] 由yy＝＝3x3x，－2， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－28，， 从而求得公共点为 P(1,1)或 M(－2，－8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－ 8)．
2．(变条件)求曲线 f(x)＝x2＋1 过点 P(1,0)的切线方程．ຫໍສະໝຸດ 故由 2a＝2 得 a＝1.]
3.(一题两空)如图所示，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方程 是 y＝－x＋8，则 f(5)＝______，f′(5)＝________.
3 －1 [由图像知 f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)等于在该点 P 处切线 的斜率，故 f′(5)＝－1.]
求曲线的切线方程 [探究问题] 1．如何求曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？ [提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数 y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由 直线方程的点斜式求出切线方程．
利用导数的几何意义求切线方程的方法 1若已知点x0，y0在已知曲线上，求在点x0，y0处的切线方程， 先求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程， 得切线方程 y－y0＝f′x0x－x0. 2若点x0，y0不在曲线上，求过点x0，y0的切线方程，首先应 设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标， 进而求出切线方程.
学新教材高中数学导数及其应用导数求导法则及其应用教案新人教B版选择性必修第三册
6．１．４求导法则及其应用学习目标核心素养１．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．（重点）２．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．（难点）３．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．（易混点）１．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．２．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.如何求下列函数的导数：（１）y＝x错误!；（２）y＝２x２＋sin x.问题：由此你能类比联想一下[f（x）＋g（x）]′的求导法则吗？１．导数的运算法则（１）和差的导数[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）．（２）积的导数１[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；２[C f（x）]′＝C f′（x）．（３）商的导数错误!′＝错误!，g（x）≠0．拓展：１[f１（x）±f２（x）±…±f n（x）]′＝f′１（x）±f′２（x）±…±f′n（x）．２[af（x）＋bg（x）]′＝af′（x）＋bg′（x）（a，b为常数）．２．复合函数的概念及求导法则（１）复合函数的概念一般地，已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝f（g（x））为函数f （u）与g（x）的复合函数，其中u称为中间变量．（２）一般地，如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g（x）），则可以证明，复合函数的导数h′（x）与f′（u），g′（x）之间的关系为h′（x）＝[f（g（x））]′＝f′（u）g′（x）＝f′（g（x））g′（x）．这一结论也可以表示为y′x＝y′u u′x.思考：函数y＝log２（x＋１）是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数y＝log２（x＋１）是由y＝log２u及u＝x＋１两个函数复合而成．１．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（１）函数f（x）＝错误!是复合函数．（）（２）函数f（x）＝sin（—x）的导数f′（x）＝cos（—x）．（）（３）y＝e２x的导数y′＝２e２x. （）（４）[f（x）g（x）h（x）]′＝f′（x）g′（x）h′（x）．（）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×２．函数f（x）＝x e x的导数f′（x）＝（）Ａ．e x（x＋１）Ｂ．１＋e xＣ．x（１＋e x）Ｄ．e x（x—１）A[f′（x）＝x′e x＋x（e x）′＝e x＋x e x＝e x（x＋１），选Ａ．]３．若函数f（x）＝ax２＋c，且f′（１）＝２，则a＝________.１[∵f（x）＝ax２＋c，∴f′（x）＝２ax，故f′（１）＝２a＝２，∴a＝１．]４．若y＝错误!，则y′＝________.错误![∵y＝错误!ln x，∴y′＝错误!·错误!＝错误!.]导数四则运算法则的应用（１）y＝x—２＋x２；（２）y＝３x e x—２x＋e；（３）y＝错误!；（４）y＝x２—sin 错误!cos错误!.[解] （１）y′＝２x—２x—３.（２）y′＝（ln ３＋１）·（３e）x—２x ln ２．（３）y′＝错误!.（４）∵y＝x２—sin错误!cos错误!＝x２—错误!sin x，∴y′＝２x—错误!cos x.１．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．２．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．错误!１．已知函数f（x）＝（２x＋１）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）＝________.３[因为f（x）＝（２x＋１）e x，所以f′（x）＝２e x＋（２x＋１）e x＝（２x＋３）e x，∴f′（0）＝３．]２．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝２xf′（e）＋ln x（其中e为自然对数的底数），则f′（e）＝________.—错误![因为f（x）＝２xf′（e）＋ln x，所以f′（x）＝２f′（e）＋错误!.∴f′（e）＝２f′（e）＋错误!，即f′（e）＝—错误!.]复合函数的导数（１）y＝e２x＋１；（２）y＝错误!；（３）y＝５log２（１—x）；（４）y＝sin３x＋sin ３x.[思路点拨] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解] （１）函数y＝e２x＋１可看作函数y＝e u和u＝２x＋１的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（e u）′（２x＋１）′＝２e u＝２e２x＋１.（２）函数y＝错误!可看作函数y＝u—３和u＝２x—１的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（u—３）′（２x—１）′＝—6u—４＝—6（２x—１）—４＝—错误!.（３）函数y＝５log２（１—x）可看作函数y＝５log２u和u＝１—x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（５log２u）′·（１—x）′＝错误!＝错误!.（４）函数y＝sin３x可看作函数y＝u３和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin ３x可看作函数y＝sin v和v＝３x的复合函数．∴y′x＝（u３）′·（sin x）′＋（sin v）′·（３x）′＝３u２·cos x＋３cos v＝３sin２x cos x＋３cos ３x.１．解答此类问题常犯的两个错误（１）不能正确区分所给函数是否为复合函数；（２）若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．２．复合函数求导的步骤错误!３．求下列函数的导数．（１）y＝错误!；（２）y＝log２（２x２—１）．[解] （１）y＝错误!＝错误!＝错误!＝１＋错误!.设y＝１＋错误!，u＝１—x，则y′＝y′u·u′x＝（１＋错误!）′·（１—x）′＝错误!·（—１）＝—错误!.（２）设y＝log２u，u＝２x２—１，则y′＝y′u·u′x＝错误!·４x＝错误!.导数运算法则的综合应用若点P是曲线y＝e x上的任意一点，如何求点P到直线l：y＝x的最小距离？[提示] 如图，当曲线y＝e x在点P（x 0，y0）处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线l的距离最小．设P（x0，y0），则y′|x＝x0＝e x0，由e x0＝１可知x0＝0，此时y0＝e0＝１．即P（0,１），利用点到直线的距离公式得最小距离d＝错误!.【例３】（１）设曲线y＝e ax在点（0,１）处的切线与直线x＋２y＋b＝0垂直，则a＝________.（２）曲线y＝ln（２x—１）上的点到直线２x—y＋３＝0的最短距离为________．[思路点拨] （１）错误!→错误!（２）错误!→错误!→错误!（１）２（２）错误![（１）因为y＝e ax，所以y′＝a e ax，由题意可知y′|x＝0＝a＝２可知a＝２．（２）设曲线y＝ln（２x—１）在点（x0，y0）处的切线与直线２x—y＋３＝0平行，又因为y′＝错误!，所以y′|x＝x0＝错误!＝２，解得x0＝１．∴y0＝ln（２—１）＝0，即切点坐标为（１,0），∴点（１,0）到直线２x—y＋３＝0的距离d＝错误!＝错误!，即曲线y＝ln（２x—１）到直线２x—y＋３＝0的最短距离是错误!.]正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.错误!４．已知函数f（x）＝ax２＋２ln（２—x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线为l，若直线l与圆C：x２＋y２＝错误!相切，求实数a的值．[解] 因为f（１）＝a，f′（x）＝２ax＋错误!（x<２），所以f′（１）＝２a—２，所以切线l的方程为２（a—１）x—y＋２—a＝0．因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝错误!＝错误!，解得a＝错误!.１．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．２．求简单复合函数f（ax＋b）的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y＝f （u），u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f（u）与u＝ax＋b进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y＝f（u），u＝ax＋b的形式是求解的关键．１．函数y＝（２0２0—8x）３的导数y′＝（）Ａ．３（２0２0—8x）２Ｂ．—２４xＣ．—２４（２0２0—8x）２Ｄ．２４（２0２0—8x）２C[y′＝３（２0２0—8x）２×（２0２0—8x）′＝３（２0２0—8x）２×（—8）＝—２４（２0２0—8x）２.]２．函数y＝x２cos ２x的导数为（）Ａ．y′＝２x cos ２x—x２sin ２xＢ．y′＝２x cos ２x—２x２sin ２xＣ．y′＝x２cos ２x—２x sin ２xＤ．y′＝２x cos ２x＋２x２sin ２xB[y′＝（x２）′cos ２x＋x２（cos ２x）′＝２x cos ２x＋x２（—sin ２x）·（２x）′＝２x cos ２x—２x２sin ２x.]３．已知f（x）＝ln（３x—１），则f′（１）＝________.错误![f′（x）＝错误!·（３x—１）′＝错误!，∴f′（１）＝错误!.]４．曲线y＝３（x２＋x）e x在点（0,0）处的切线方程为________．y＝３x[y′＝３（２x＋１）e x＋３（x２＋x）e x＝e x（３x２＋9x＋３），斜率k＝e0×３＝３，∴切线方程为y＝３x.]５．求下列函数的导数．（１）y＝cos（x＋３）；（２）y＝（２x—１）３；（３）y＝e—２x＋１.[解] （１）函数y＝cos（x＋３）可以看作函数y＝cos u和u＝x＋３的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（cos u）′·（x＋３）′＝—sin u·１＝—sin u＝—sin（x＋３）．（２）函数y＝（２x—１）３可以看作函数y＝u３和u＝２x—１的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（u３）′·（２x—１）′＝３u２·２＝6u２＝6（２x—１）２.（３）y′＝e—２x＋１·（—２x＋１）′＝—２e—２x＋１.。
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高中数学（B版）必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ）高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学（B版）选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.2 空间向量在立体几何中的应用高中数学（B版）选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数 1.2 导数的运算1.3 导数的应用 1.4 定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（B版）选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理 1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列 2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征 2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验 3.2回归分析高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程 2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式 2．2 排序不等式 2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
(整理)导数的几何意义70235
导数的几何意义昌图第三高级中学宋扬一、教材分析导数的几何意义是高中数学新教材人教B版选修1-1第三章第1单元第3节内容。
是在学生学习了平均变化率，导数的定义及其物理意义的背景下，对导数的几何意义进行探讨。
教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，更有利于学生对知识的理解和掌握。
通过本节的学习，可以帮助学生更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具.二、学情分析通过对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。
选修1是文科学生学习的内容，学生的学习能力在年级中属中等程度。
虽然学生学习兴趣较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足.根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重点、难点。
三、教学目标1、知识与技能：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法。
2、过程与方法：①通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力。
②通过问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答。
四、教学重点、难点教学重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题。
教学难点：深刻理解导数的几何意义，通过逼近的方法，引导学生观察突破难点。
五、学法与教法学法：(1) 自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与教学活动（如对导数几何意义的探讨）(2) 合作学习：师生之间，同学之间合作交流，共同探讨问题（如对切线方程解法的归纳总结）(3) 探究学习：引导学生主动探索解答问题的方法（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体。
(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：6.3利用导数解决实际问题含解析
6.3 利用导数解决实际问题新版课程标准学业水平要求利用导数解决与函数有关的问题1.借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用.(数学运算)2.能利用导数解决简单的实际问题.(数学运算)关键能力·素养形成类型一函数的图象问题【典例】给定函数f=e x -x.(1)判断函数f的单调性,并求出f的值域;(2)画出函数f的大致图象;(3)求出方程f=m在区间[-1,2]的解的个数. 【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;(3)利用图象的交点个数判断解的个数.【解析】(1)函数的定义域为R.f′=e x-1,令f′=0,解得x=0.f′,f的变化情况如表所示:x 0f′- 0 +f单调递减 1 单调递增所以,f在区间上单调递减,在区间上单调递增.当x=0时,f的极小值f=1.也是最小值,故函数f的值域为.(2)由(1)可知,函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f=+1,f=e2-2,f=1,当x→+∞时,f→+∞,f′→+∞;当x→-∞时,指数函数y=e x越来越小,趋向于0,因此函数f图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数f的大致图象如图所示.(3)截取函数f在区间[-1,2]上的图象如图所示.由图象得:当f<m≤f,即m∈时,f与y=m恰有两个不同交点,即m∈时,方程f=m在区间上恰有两个不同的实根;同理,当m=1或+1<m≤e2-2时,方程f=m在区间上有唯一的实根;当m<1或m>e2-2时,方程f=m在区间上无实根.【内化·悟】作函数的图象时需要关注哪些方面?提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等.【类题·通】作函数f图象的步骤(1)求出函数的定义域;(2)求导数f′及函数f′的零点;(3)用f′的零点将f的定义域划分为若干个区间,列表给出f′在各个区间上的正负,并得出f的单调性与极值;(4)确定f的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;(5)画出f的大致图象.【习练·破】函数f(x)=(x2+tx)e x(实数t为常数,且t<0)的图象大致是 ( )【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C, 函数的导数f′(x)=(2x+t)e x+(x2+tx)e x=[x2+(t+2)x+t]e x,当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D.类型二实际生活中的最值问题【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件. (1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值. 【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)= (x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)=(10-x)(18+2a-3x),令L′(x)=0,得x =6+a或x=10(舍去).因为1≤a≤3,所以≤6+a≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元.【类题·通】解决实际优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;(2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果函数在给定区间上只有一个极值点,则根据所求即可判断该值是最大值还是最小值. 【习练·破】(2020·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所用的材料最省,它的底面半径应为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y,则由题意有πr2h=V,所以h=.蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πr=πr2+(r>0).令y′=2πr-==0,得r=.检验得,当r=时表面积取得最小值,即所用的材料最省.类型三利用导数研究函数的问题角度1 恒成立问题【典例】(2020·龙凤高二检测)函数f(x)=e x-kx,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围是( )A.k≤1B.k≤2C.k≤eD.k≤【思维·引】转化为最值问题.【解析】选C.依题意,e x-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,即k≤在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=(x>0),则g′(x)==,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.【素养·探】将恒成立问题转化为最值问题用到了核心素养中的逻辑推理.将本例改为在区间上存在x,使f(x)≥0成立,试求k的取值范围. 【解析】在区间上存在x,使f(x)≥0成立,即在区间上存在x,使k≤成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)==,因为当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,又g=2,g=e3,所以g(x)max=g=e3.所以k≤e3.角度2 证明问题【典例】已知函数f(x)=ae x-blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1.(1)求a,b的值;(2)求证:f(x)>2.【思维·引】(1)利用切点坐标、切线斜率构造方程(组)求值.(2)转化为最值进行证明.【解析】(1)函数f=ae x-bln x的导数为f′=ae x-,函数f=ae x-bln x在点处的切线斜率为k=ae-b,由切线方程y=x+1,可得ae-b=e-1,e=ae,解得a=1,b=1.(2)f=e x-ln x,导数为f′=e x-,x>0,易知f′为增函数,且f′>0,f′<0.所以存在m∈,有f′=0,即e m=,且x>m时,f′>0,f递增;0<x<m时,f′<0,f递减,可得在x=m处f取得最小值,f=e m-ln m=+m>2,可得f>2成立.【类题·通】1.关于恒成立问题注意区分“对于定义域内的任意值”“在定义域内存在值”成立的区别,两种叙述反映了不同的逻辑关系,对应的最值类型不同,要准确判断针对的是最大值还是最小值,确定好最值类型后利用导数求最值解题.2.关于证明问题首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关,如果有关则转化为相应的问题证明;其次是针对要证明的命题构造函数,再通过构造的函数性质证明.函数的证明问题往往都比较复杂,需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明.【习练·破】1.(2020·秦州高二检测)已知函数f(x)=-mx(e为自然对数的底数),若f(x)<0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是( )A.(e,+∞)B.(-∞,e)C. D.【解析】选C.由f(x)=-mx<0在(0,+∞)上有解,可得,m>在(0,+∞)上有解,令g(x)=,x>0,则m>g(x)min,g′(x)=,则当0<x<2时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>2时,g′(x)>0,函数单调递增,故当x=2时,函数g(x)取得最小值,g(2)=.故m>.2.已知函数f(x)=alnx+bx,g(x)=x2-,曲线y=f在点处的切线方程为x-2y-2=0.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤g(x).【解析】(1)f′(x)=+b,则a+b=,f(1)=b=-,解得a=1,b=-.(2)令h(x)=ln x-x-x2+,则h′(x)=--x=,又x>0,则h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)≤h(1)=0,f(x)≤g(x)成立.课堂检测·素养达标1.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为( )A.4 m2B.8 m2C.12 m2D.16 m2【解析】选 D.设矩形一边长为xm(0<x<8),则另一边长为(8-x)m.S=x(8-x),易知当x=4时,S有最大值16 m2.2.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2·(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为( )A.30B.40C.50D.60【解析】选 B.V(x)=-x3+30x2,V′(x)=-x2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,V′(x)>0,当40<x<60时,V′(x)<0,故V(x)在x=40时取得最大值.3.函数f(x)=x3-x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m,则实数m的取值范围是________.【解析】f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=-或x=1.可求得f(x)max=f(2)=7.所以对于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立时,m>7.答案:m>74.已知函数f(x)=e x(lnx-1),使得f(m)≥-e成立的实数m的取值范围为________.【解析】f′(x)=e x,令g(x)=ln x+-1,则g′(x)=-=,当0<x<1时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>1时,g′(x)>0,函数单调递增,故g(x)≥g(1)=0,即f′(x)≥0恒成立,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-e,故m≥1.答案:[1,+∞)【新情境·新思维】随着人们生活水平的提高,汽车的拥有量越来越多,据有关统计数据显示,从上午6点到9点,车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是________.【解析】由题意知,所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值,y′=-t2-t+36,令y′=0,得3t2+12t-36×8=0,解得t1=8,t2=-12(舍).当t∈(6,8)时,y′>0,t∈(8,9)时,y′<0,所以t=8时,y有最大值.答案:8点。
高中数学 选修3(人教B版)课件6.1.2 导数及其几何意义
平行，则 f′(2)等于( )
A．1
B．－1
C．－3 D．3
解析：由题意知 f′(2)＝3. 答案：D
4 ． 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ 1 处 的 导 数 为 1 ， 那 么 lim Δx→0
fΔx＋2Δ1x－f1＝(
)
1 A.2
B．1
C．2
1 D.4
解析：因为 f′(1)＝1，所以 liΔmx→0 f1＋ΔΔxx－f1＝1，
解析：∵f(x)＝x2，
∴函数 f(x)在 x＝1 处的瞬时变化率是
liΔmx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝liΔmx→0
1＋Δx2－12 Δx
＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2.
答案：2
2．函数 y＝f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是 ()
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
题型四 求切点坐标 例 4 已知抛物线 y＝2x2＋1.求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0?
解析：设切点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx. ∴f′(x0)＝liΔmx→0 (4x0＋2Δx)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°， ∴斜率为 tan 45°＝1，
所以 liΔmx→0 fΔx＋2Δ1x－f1＝12liΔmx→0 f1＋ΔΔxx－f1＝12.
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 习题课——导数的综合应用
取值范围.
解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
1
1-22
f'(x)=-2ax= .当 a≤0 时,f'(x)>0,故函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
当 a>0 时,由 f'(x)>0,得 0<x< 2,
1
1
由 f'(x)<0,得 x> 2,故函数 f(x)在区间 0, 2 内单调递增,在区间
和(1,+∞)内单调递增,在区间(2a,1)内单调递减.
2
1
(-1)
③当 a=2时,f'(x)= ≥0,故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
④当 a>2时,2a>1,所以当 0<x<1 或 x>2a 时,f'(x)>0,当 1<x<2a 时,f'(x)<0,所以
f(x)在区间(0,1)和(2a,+∞)内单调递增,在区间(1,2a)内单调递减.
①当2a≤0,即a≤0时,x-2a>0,
所以当0<x<1时,f'(x)<0,
当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
1
②当 0<2a<1,即 0<a< 时,0<2a<1,
2
所以当 0<x<2a 或 x>1 时,f'(x)>0,当 2a<x<1 时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间(0,2a)
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.1.2 导数及其几何意义
202 =1,∴x0=±
2
.
2
2
2
当 x0=- 时,切线 l 的方程为 y-2× 2
2
2
2
当 x0= 时,切线 l 的方程为 y-2×
2
2
2
2
2
2
-1=4× x-4× 2
2
2
2
-1=4× x-4×
2
2
2
,即 y=-2√2x;
2
,即 y=2√2x.
故过点 P(0,0)且与曲线 C 相切的直线 l 的方程为 y=-2√2x 或 y=2√2x.
Δ (0 +Δ)-(0 )
(2)求平均变化率Δ =
.
Δ
f(x0 +x)-f(x0 )
(3)取极限,得导数 f'(x0)= lim
.
x
Δ→0
【变式训练1】 求函数f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.
解:当自变量在x=1处的改变量为Δx时,
∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,
则Δ =
=
Δ
Δ
=(Δx)2+3x0Δx+302 .
所以 f'(x0)= lim [(Δx)2+3x0Δx+3x02 ]=3x02 .
Δ→0
故切线方程为 y-x03 =3x02 (x-x0).
而该切线经过点(1,1),所以 1-x03 =3x02 (1-x0),
1
解得 x0=1 或 x0=-2.
高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课件新人教B版选择性必修第三册
1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平 均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．
2．运动物体在 t0 到 t1 这段时间内运动的平均速度就是物体运动 的位移函数 s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实 质就是求函数的平均变化率．
[跟进训练] 3．一个物体做直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之 间的函数关系为 s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在 2≤t≤3 这段时间内的 平均速度为 26 m/s，则实数 m 的值为( ) A．2 B．1 C．－1 D．6 B [由已知，得s33－－2s2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m) ＝26，解得 m＝1，选 B.]
当ΔΔyx＝0 时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如 f(x) ＝x2 在区间[－2,2]上的平均变化率是 0，但它不是常函数．
拓展：函数平均变化率的几何意义 如图所示，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线 AB 的 斜率，其中 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上 kAB＝fxx22－－fx1x1＝ΔΔyx.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx 表示 x2－x1，是相对于 x1 的一个增量，Δx 的值可正可负 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负，也可以为零．
()
(3)ΔΔxy表示曲线 y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
求物体运动的平均变化率
【例 2】 跳水运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的 时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在0，6459这段时间内的平均速度； (2)运动员在0，6459这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
导数及其应用复习课教学设计教学目标1、知识与技能(1)导数的几何意义及其应用；(2)利用导数求函数的单调区间；(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值。
2、过程与方法1)能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。
2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。
3、情感态度与价值观这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。
重点和难点：重点：应用导数求单调性，极值，最值难点：利用导数求含参数的函数的单调性问题教学过程：(_)、导入.基础自测：给出五道题(1)函数y = x3在(1,1)处的切线方程为(2)已知函数/(x) = sinx+lnx,贝炉⑴.=(3)函数"sin(2x2一*的导数是(4)函数f3) = X5-X3-2X的单调递增区间为(5)函数y =尸一3x的极大值为n,极小值为:,贝I］秫+7?=设计意图：数学的教学要遵循循序渐近的原则，五道题是导数应用中基础的题型。
其中(1) 是求切线方程，(2) (3)是对导数的公式的考察，(4)是求简单函数的单调区间，注意区间的写法，(5)是利用导数求函数的极大值或者极小值，通过一些比较简单题目的求解，加深学生对题目的本质的理解，掌握基础知识。
(二)、典例精析例1(2014广西高考灯)曲线y = 在点(1,1)处切线的斜率等田).(2)已知曲线C： y = X3-%+2,求曲线在点P(l,2)的切线方程教师：分别提问学生来回答这两个小题，回答过程中注意先说自己的思路，再说答案，同时需要注意，学生分析完了以后教师给予评价。
学生：分别找两名学生起来回答归纳总结：这一部分还是找学生回答考察的知识点。
即时训练1(1)若曲线v = kx+\nx在点(1, A)处的切线平行于X轴，贝以=(2)已知曲线y = 2x2-7,求曲线过点尸(3,9)的切线方程.设计意图：通过对例题的讲解，加深学生学习的印象与思路，加深学生对本部分知识点的理解与掌握。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-1)教师用书：第3章 导数及其应用 3-1-3
3.1.3导数的几何意义1．理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的几何意义阅读教材P83例1以上部分，完成下列问题．1．设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝错误!＝f′(x0).2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 导函数的概念阅读教材P81导函数部分，完成下列问题．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝lim错误!.Δx→0判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( )(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )(3)函数f(x)＝x2的导数是f′(x)＝2x.( )(4)函数f(x)＝0没有导函数．( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图3-1-3【自主解答】函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.【答案】 D函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢．因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质．[再练一题]1.函数y＝f(x)的图象如图3-1-4所示，根据图象比较曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2附近的变化情况. 【导学号：25650102】图3-1-4【解】当x＝x1时，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l1的斜率f′(x1)＞0，因此在x＝x1附近曲线呈上升趋势，即函数y＝f(x)在x＝x1附近单调递增．同理，函数y＝f(x)在x＝x2附近单调递增，但是，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这表明曲线y＝f(x)在x＝x1附近比在x ＝x2附近上升得缓慢．过曲线y＝(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6x＋5＝0；(3)倾斜角为135°.【精彩点拨】本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率．【自主解答】f′(x)＝lim错误!Δx→0＝lim Δx→0 错误!＝2x ， 设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)∵切线的倾斜角为135°， ∴其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，14是满足条件的点．解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．[再练一题]2．已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值. 【导学号：25650104】【解】 设切点P (x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx→0 ΔyΔx＝lim Δx→0错误!＝lim Δx→0 (4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0， 根据题意4x 0＝8，x 0＝2，分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15得y 0＝8＋a ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，y0＝1.故所求切点为P (2,1)，a ＝－7.[探究共研型]探究1 【提示】 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．探究2 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？【提示】 根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？【提示】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．(1)y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－2处的切线方程是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2【自主解答】 先求y ＝－1x 的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x＝错误!，错误!＝错误!，错误! 错误!＝lim Δx→0错误!＝错误!，即y ′＝错误!，所以y ＝－错误!在点错误!处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝错误!＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.【答案】 C(2)已知曲线C ：y ＝x 3－x ＋2，求曲线过点P (1,2)的切线方程． 【自主解答】 设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0 ＝lim Δx→0错误! ＝lim Δx→0 ((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1. 所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12，即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为y ＝2x 或x ＋4y －9＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法1．若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[再练一题]3．(1)已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 【导学号：25650103】【解析】limΔx→0错误!＝错误!(a·Δx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.【答案】 2(2)求曲线y＝f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．【解】因为y＝2 x ，所以y′＝limΔx→0错误!＝lim Δx→02x＋Δx－2xΔx＝limΔx→0错误!＝－错误!，因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－错误!＝－错误!.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.[构建·体系]1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( ) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在【解析】由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－1 2，∴f′(x0)＝－12＜0.【答案】 B2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1【解析】由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0错误!＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.【答案】 A3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．【解析】设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0错误!＝limΔx→0错误!＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．【答案】(3,30)4．曲线y＝x2－2x＋2在点(2,2)处的切线方程为______．【导学号：25650105】【解析】Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴y′|x＝2＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0.【答案】2x－y－2＝05.函数f(x)的图象如图3-1-5所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，错误!的大小关系．图3-1-5【解】设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示．则错误!＝k AB，f′(3)＝k BQ，f′(1)＝k AT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即k BQ＜k AB＜k AT，∴0＜f′(3)＜错误!＜f′(1)．。
人教版新课标B版高中数学所有目录和知识点
人教版新课标B版高中数学所有目录和知识点必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算章复习与测试本章小结第二章函数2.1函数2.2一次函数和二次函数2.3函数的应用(i)2.4函数与方程章复习与测试本章小结第三章基本初等函数(i)3.1指数与指数函数3.2对数与对数函数3.3幂函数3.4函数的应用(ii)章复习与测试本章小结第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例章复习与测试本章小结第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性章复习与测试本章小结第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用章复习与测试本章小结必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2点、线、面之间的位置关系章复习与测试第二章平面解析几何初步2．1平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系章复习与测试必修三必修四第一章基本初等函数（ⅱ）1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质章复习与测试第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用章复习与测试第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化.章复习与测试必修课5第1章解斜三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用示例章节复习和测试第2章序列2.1序列2.2算术序列2.3比例序列章节复习和测试第3章不等式3.1不等式关系和不等式3.2平均不等式3.3一元二次型不等式及其解3.4不等式的实际应用3.5二元二次不等式（群）和简单线第1章复习和测试选修II（2-1）第1章常见逻辑术语1.1命题和量词1.2基本逻辑连接词1.3充分条件，第2章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线2.5直线与圆锥章节综合第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2空间向量在立体几何章节综合中的应用选修课2（2-2）选修课4-1几何证明选修课4-4坐标系与参数方程选修课4-5不等式选修课第一章导数及其应用1.1导数1.2导数的运算1.3导数的应用1.4定积分与微积分基本定理章复习与测试第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法章复习与测试第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数的运算章复习与测试选修二(2-3)第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理章复习与测试第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数学特征2.4正态分布章复习与测试第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析章复习与测试每章节主要内容：必修1集合1.如何区分φ、{φ}、0、{（）；}2．集合的运算有哪些常用性质与结论？3．对应、映射、函数有何关系？必修1函数4.找到函数解析表达式的常用方法是什么？5.判断函数单调性的常用方法是什么？6.函数单调性的应用是什么？7.判断功能对等时应注意什么？判断函数奇偶性的常用方法是什么？8.函数奇偶性的性质是什么？9.函数是否有反函数？什么样的函数有反函数？10．如何求二次函数在区间上的最值？11．函数的零点是函数的图像与x轴的交点吗？它与方程的根有何关系？12．分数指数幂与根式有何关系？13．指数式ab=n与对数式logon中，a，6，n三者之间有何关系？14．指数函数、对数函数有哪些常见问题？必修2直线和圆的方程20.直线的倾角和斜率之间的关系是什么？21.五种形式的线性方程有哪些局限性？22.两条直线平行和垂直的等效条件是什么？23.什么是线性系统？什么是常见的线性系统？有哪些应用程序？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25.求解圆方程的常用方法是什么？26.直线和圆之间有多少位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3算法29.算法的特点是什么？它的描述方法是什么？30．画程序框图有什么规则？31.算法有多少基本逻辑结构？他们有什么共同点？它是如何用方框图表示的？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？强制性3统计-抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34.系统抽样的特点是什么？当总容量不能除以样本容量时会发生什么？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3统计――样本分布36.样本频率分布直方图和总体密度曲线之间的关系是什么？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？强制3概率39．频率和概率有何关系？40.相互排斥的事件和对立事件之间的关系是什么？如何判断相互排斥的事件和对立的事件？15．幂函数的图像有哪几种形式？有哪些性质？必修2立体几何16．如何证明线线、线面、面面之间的平行和垂直？17.四面体中常见的数量和位置关系是什么？18．立体几何中分割与补形有哪些常见技巧？19.经度和纬度分别指什么角度？如何求两点之间的球面距离？必修2直线和圆方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24.平面解析几何中常用的对称公式是什么？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27.圆圈之间有多少位置关系？如何确定？28.你能写出两个圆相交的圆系方程吗？信息技术有何应用？必修3算法29.算法的特点是什么？它的描述方法是什么？30．画程序框图有什么规则？31.算法有多少基本逻辑结构？他们有什么共同点？它是如何用方框图表示的？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？强制性3统计-抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34.系统抽样的特点是什么？当总容量不能除以样本容量时会发生什么？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3统计――样本分布36.样本频率分布直方图和总体密度曲线之间的关系是什么？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38.方差和标准差在反映人口方面的意义是什么？必修3概率39.频率和概率之间的关系是什么？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？……必修4三角函数必修4平面向量必修5解三角形必修5序列必修5不等式选修2-1（选修1-1）简单逻辑选修2-1（选修1-1）圆锥曲线选修2-1空间向量、角度及距离选修2-2导数、微积分定理选修课2-2（选修课1-2）推理与证明复数选修课2-3排列与组合、二项式定理、数据分布选修课4-1几何证明选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲。
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6.１．２导数及其几何意义学习目标核心素养１．理解瞬时变化率、导数的概念．（重点、难点）２．理解导数的几何意义．（重点、难点）３．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．（易混点）１．借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．２．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x２—7x＋１５（0≤x≤8）．你能计算出第２h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？１．瞬时变化率与导数（１）瞬时变化率：一般地，设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率错误!＝错误!无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，错误!→k或错误!错误!＝k.（２）导数１f（x）在x0处的导数记作f′（x0）；２f′（x0）＝错误!错误!.拓展：导数定义的理解（１）函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在．（２）在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0．当Δx>0（或Δx<0）时，Δx→0表示x0＋Δx从右边（或从左边）趋近于x0.（３）函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．２．导数的几何意义（１）割线的斜率已知y＝f（x）图像上两点A（x0，f（x0）），B（x0＋Δx，f（x0＋Δx）），过A，B两点割线的斜率是错误!＝错误!，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．（２）导数的几何意义曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数f′（x0）的几何意义为曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率．（３）曲线的切线方程曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程是y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）．１．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（１）函数y＝f（x）在某点处的导数是一个变量．（）（２）瞬时变化率是刻画某函数在区间[x１，x２]上函数值变化快慢的物理量．（）（３）直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．（）（４）若函数y＝f（x）在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×２．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）Ａ．圆Ｂ．抛物线Ｃ．椭圆Ｄ．直线D[结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选Ｄ．]３．已知曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程为２x—y＋２＝0，则f′（１）＝________.２[由导数的几何意义可知f′（１）＝２．]４．质点M的运动规律为S＝４t２，则质点M在t＝１时的瞬时速度为________．8 [ΔS＝S（１＋Δt）—S（１）＝４（１＋Δt）２—４＝４（Δt）２＋8（Δt），∴错误!＝４（Δt）＋8．∴错误!错误!＝8．]求函数在某点处的导数２（２）求函数y＝３x２在x＝１处的导数．[思路点拨] 求函数f（x）在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′（x0）．[解] （１）∵Δy＝f（—１＋Δx）—f（—１）＝—（—１＋Δx）２＋（—１＋Δx）＋２＝３Δx—（Δx）２，∴错误!＝错误!＝３—Δx，∴f′（—１）＝错误!错误!＝错误!（３—Δx）＝３．（２）∵Δy＝f（１＋Δx）—f（１）＝３（１＋Δx）２—３＝6Δx＋３（Δx）２，∴错误!＝6＋３Δx，∴f′（１）＝错误!错误!＝错误!（6＋３Δx）＝6．１．通过本例（１）进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．２．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤（１）求函数的增量Δy＝f（x0＋Δx）—f（x0）；（２）求平均变化率错误!；（３）求极限，得导数为f′（x0）＝错误!错误!.简记为：一差、二比、三趋近．错误!１．求函数f（x）＝x—错误!在x＝１处的导数．[解] ∵Δy＝（１＋Δx）—错误!—错误!＝Δx＋１—错误!＝Δx＋错误!，∴错误!＝错误!＝１＋错误!，∴f′（１）＝错误!错误!＝错误!错误!＝２．导数几何意义的应用A BＡ．f′（x A）＞f′（x B）Ｂ．f′（x A）＜f′（x B）Ｃ．f′（x A）＝f′（x B）Ｄ．不能确定（２）若曲线f（x）＝x２＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x—y＋１＝0，则（）Ａ．a＝１，b＝１Ｂ．a＝—１，b＝１Ｃ．a＝１，b＝—１Ｄ．a＝—１，b＝—１（１）B（２）A[（１）由导数的几何意义知，f′（x A），f′（x B）分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f′（x A）＜f′（x B）．（２）由题意，知k＝f′（0）＝错误!错误!＝１，∴a＝１．又（0，b）在切线上，∴b＝１，故选Ａ．]１．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．２．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．错误!２．设曲线f（x）＝ax２在点（１，a）处的切线与直线２x—y—6＝0平行，则a等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—１A[由题意可知，f′（１）＝２．又错误!错误!＝错误!错误!＝错误!（aΔx＋２a）＝２a.故由２a＝２得a＝１．]３．（一题两空）如图所示，函数y＝f（x）的图像在点P处的切线方程是y＝—x＋8，则f（５）＝______，f′（５）＝________.３—１[由图像知f（５）＝—５＋8＝３，f′（５）等于在该点P处切线的斜率，故f′（５）＝—１．]求曲线的切线方程１．如何求曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程？[提示] y—y0＝k（x—x0）．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．２．曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与曲线过点（x0，y0）的切线有什么不同？[提示] 曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，点（x0，f（x0））一定是切点，只要求出k＝f′（x0），利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f（x）过某点（x0，y0）的切线，给出的点（x0，y0）不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．３．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线l与曲线y＝f（x）的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例３】（教材P70例４改编）已知曲线C：f（x）＝x３.（１）求曲线C在横坐标为x＝１的点处的切线方程；（２）求曲线C过点（１,１）的切线方程．[思路点拨] （１）错误!→错误!→错误![解] （１）将x＝１代入曲线C的方程得y＝１，∴切点P（１,１）．f′（１）＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误![３＋３Δx＋（Δx）２]＝３．∴k＝f′（１）＝３．∴曲线在点P（１,１）处的切线方程为y—１＝３（x—１），即３x—y—２＝0．（２）设切点为Q（x0，y0），由（１）可知f′（x0）＝３x错误!，由题意可知k PQ＝f′（x0），即错误!＝３x错误!，又f（x0）＝x错误!，所以错误!＝３x错误!，即２x错误!—x0—１＝0，解得x0＝１或x0＝—错误!.１当x0＝１时，切点坐标为（１,１），相应的切线方程为３x—y—２＝0．２当x0＝—错误!时，切点坐标为错误!，相应的切线方程为y＋错误!＝错误!错误!，即３x—４y＋１＝0．１．（变结论）第（１）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？[解] 由错误!解得错误!或错误!从而求得公共点为P（１,１）或M（—２，—8），即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点（—２，—8）．２．（变条件）求曲线f（x）＝x２＋１过点P（１,0）的切线方程．[解] 设切点为Q（a，a２＋１），错误!＝错误!＝２a＋Δx，当Δx趋于0时，（２a＋Δx）趋于２a，所以所求切线的斜率为２a.因此，错误!＝２a，解得a＝１±错误!，所求的切线方程为y＝（２＋２错误!）x—（２＋２错误!）或y＝（２—２错误!）x—（２—２错误!）．利用导数的几何意义求切线方程的方法１若已知点x0，y0在已知曲线上，求在点x0，y0处的切线方程，先求出函数y＝f x在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y—y0＝f′x0x—x0.２若点x0，y0不在曲线上，求过点x0，y0的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.１．函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率即为f′（x0），且f′（x0）＝错误!错误!.２．求曲线在点（x0，y0）处的切线方程可直接套用公式：y—y0＝f′（x0）（x—x0）求解；求曲线过点（x0，y0）的切线方程时应注意分该点是切点和不是切点两类分别求解．３．根据导数的几何意义可知，f′（x0）能反映曲线f（x）在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′（x0）>0，则曲线在该点处上升，若f′（x0）<0，则曲线在该点处下降．１．已知函数y＝f（x）在点（２,１）处的切线与直线３x—y—２＝0平行，则f′（２）等于（）Ａ．１Ｂ．—１C．—３Ｄ．３D[由题意知f′（２）＝３．]２．一个物体的运动方程为s＝１—t＋t２，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在３s 末的瞬时速度是（）Ａ．7 m/s Ｂ．6 m/sＣ．５m/s Ｄ．8 m/sC[∵错误!＝错误!＝５＋Δt，∴错误!错误!＝错误!（５＋Δt）＝５（m/s）．]３．已知函数f（x）在x0处的导数为f′（x0）＝１，则函数f（x）在x0处切线的倾斜角为__________．４５°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′（x0）＝１，又α∈[0°，１80°），∴α＝４５°.]４．曲线f（x）＝错误!在点（—２，—１）处的切线方程为________．x＋２y＋４＝0 [f′（—２）＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝—错误!，∴切线方程为y＋１＝—错误!（x＋２），即x＋２y＋４＝0．]５．已知直线l：y＝４x＋a和曲线f（x）＝x３—２x２＋３相切，求切点坐标及a的值．[解] 设直线l与曲线相切于点P（x0，y0），则f′（x0）＝li错误!错误!＝３x错误!—４x0.由导数的几何意义，得k＝f′（x0）＝３x错误!—４x0＝４，解得x0＝—错误!或x0＝２，∴切点坐标为错误!或（２,３）．当切点为错误!时，有错误!＝４×错误!＋a，∴a＝错误!.当切点为（２,３）时，有３＝４×２＋a，∴a＝—５．因此切点坐标为错误!或（２,３），a的值为错误!或—５．。