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天津市红桥区九年级上期末数学试卷(有答案)

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2022-2023学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

…………线…………线2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( ) A.B.C.D.2. 下列事件中，属于不可能事件的是( )A. 通常加热到100℃时，水沸腾B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C. 掷一次骰子，向上一面的点数是6D. 任意画一个三角形，其内角和是360° 3. 用配方法解一元二次方程x 2−6x −4=0，下列变形正确的是( ) A. (x −6)2=−4+36 B. (x −6)2=4+36 C. (x −3)2=−4+9D. (x −3)2=4+94. 一元二次方程x 2+4x −3=0的两根为x 1、x 2，则x 1⋅x 2的值是( ) A. 4B. −4C. 3D. −35. 正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为( ) A. 30°B. 60°C. 120°D. 180°6. 某学校准备建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃的宽为x m.则可列方程为( )A. x(x −10)=200B. 2x +2 (x −10)=200C. x(x +10)=200D. 2x +2(x +10)=2007. 已知关于x 的方程x 2+mx +1=0根的判别式的值为12，则m 的值是( ) A. ±3B. 3C. 4D. ±48. 将抛物线y =5x 2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( ) A. y =5(x +2)2+3 B. y =5(x +2)2−3 C. y =5(x −2)2+3D. y =5(x −2)2−39. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( ) A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………x … −1 0 1 3 … y…−3131…则下列判断中正确的是( )A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当x =4时，y >0D. 方程ax 2+bx +c =0的正根在3与4之间11. 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM =60°，B 点是AN⏜的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则PA +PB 的最小值为( )A. 1B. √22C. √2D. √3−112. 如图，点A 的坐标为(−3,2)，⊙A 的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为( )A. (0,2)B. (0,3)C. (−2,0)D. (−3,0)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ．14. 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB ⏜的中点，则∠A 的大小为______(度)．15. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上的两个点，OC//AG.若∠GAC =28°，则∠BOC 的大小=______度．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 如图，从y =ax 2的图象上可以看出，当−1≤x ≤2时，y 的取值范围是______ ．18. 在RtΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =6．(1)如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长= ______ ； (2)如图②，点D 是边AC 上一点D 且AD =2√3，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转______ 度时，线段CF 的长最大，最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案

2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案

2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A. 两个小球的标号之和等于3B. 两个小球的标号之和等于6C. 两个小球的标号之和大于0D. 两个小球的标号之和等于1【答案】A【解析】【分析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【详解】∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意；两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意；两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要掌握三类事件的定义，学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20 50 100 200 400 1000“射中9环以上”的次数15 41 78 158 320 800“射中9环以上”的频率0.75 0.82 0.78 0.79 0.80 0.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是（ ）A. 0.75B. 0.82C. 0.78D. 0.80 【答案】D【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．【详解】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；B．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．4. 若x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义，可得出m+1＝2，解之即可得出m的值．【详解】解：∵x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1＝2， ∴m＝1． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．5. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为ABCD O BCD ∠120︒BOD ∠（ ）A. B. C. D.100︒110︒120︒130︒【答案】C 【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6. 若x 2+5x+m ＝（x+n ）2，则m ，n 的值分别为（ ）． A. m ＝，n ＝B. m ＝，n ＝5 C. m ＝25，n ＝5 D. m ＝5，n25452254＝52【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式和整式的性质计算，得到m 和n 的关系式，通过计算即可得到答案．【详解】∵x 2+5x+m ＝（x+n ）2＝x 2+2nx+n 2 ∴2n＝5，m ＝n 2∴m＝，n ＝25452故选：A ．【点睛】本题考查了整式、乘法公式、一元一次方程、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握整式、完全平方公式的性质，从而完成求解． 7. 方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A. x 1=-2，x 2=6 B. x 1=-6，x 2=2C. x 1=-3，x 2=4D. x 1=-4，x 2=3 【答案】D 【解析】【分析】将x 2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论． 【详解】x 2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0 则x+4=0，或x﹣3=0 解得：x 1=﹣4，x 2=3． 故选D ．【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法8. 如图，AB 为⊙O 的切线，点A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，连接AD ，CD ，OA ，若∠ADC＝28°，则∠ABO 的大小（ ）A. 28°B. 34°C. 56°D. 62°【答案】B 【解析】【分析】根据切线的性质得∠OAB＝90°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝56°，然后利用互余计算出∠ABO 的度数．【详解】解：∵AB 为⊙O 的切线，点A 为切点， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°，∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28°＝56°， ∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理．9. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，x 则下列方程正确的是（ ） A.B. ()11902x x +=()190x x +=C.D.()11902x x -=()190x x -=【答案】C 【解析】【分析】根据每个队都要和除自己以外的球队比一场，并且要考虑到重复的情况，那么比赛场次用x 表示应该是x(x −1) ． 12【详解】解：每个球队都要和除自己以外的球队比一场，∴一共是 x(x −1) 场，但是其中有重复的，∴实际上是 x(x −1) 场，可以列式 x(x −1)=90 ． 1212故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．10. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.2x 2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ） A. 3min B. 3.75minC. 5minD. 7.5min【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x﹣2，当x ＝﹣ ＝3.75时，y 取得最大值，()1.520.2⨯-则最佳加工时间为3.75min ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键． 11. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，10AOB 90AOB ∠=︒C AB CD OA ⊥，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ）CE OB ⊥D E CDE ∠36︒A. B. C. D.10π9π8π6π【答案】A 【解析】【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC 面积减去扇形AOC 面积求解本题．【详解】连接OC 交DE 为F 点，如下图所示： 由已知得：四边形DCEO 为矩形． ∵∠CDE=36°，且FD=FO ，∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积．．2290105410==10360360AOB AOC S S S πππ∙∙∙∙--=阴影扇形扇形故选：A ．【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具．12. 如图，二次函数y ＝a +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴2x 交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣＞0；③c﹣a＞2b 0；④当x ＝﹣﹣2（n 为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（ ）2nA. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，二次函数的性质，二次函数的图像与x 轴的交点情况去分析判断即可．【详解】解：由图象开口向上，可知a ＞0， 与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0， 又对称轴为直线x ＝﹣1， ∴﹣＜0， 2ba∴b＞0， ∴abc＞0， 故①正确；∵二次函数y ＝a +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点， 2x ∴﹣4ac＞0， 2b ∴4ac﹣＜0， 2b 故②错误； ∵﹣＝﹣1， 2ba∴b＝2a ，∵当x ＝﹣1时，y ＝a﹣b+c＜0， ∴a﹣2a+c＜0， ∴c﹣a＜0， 故③错误；当x ＝﹣﹣2（n 为实数）时，2n y ＝a +bx+c ＝a +b （﹣﹣2）+c ＝a （+2）+c ， 2x 22(2)n --2n 2n 2n ∵a＞0，≥0，+2＞0， 2n 2n ∴y＝a （+2）+c≥c，2n 2n故④正确， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____． 【答案】37【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是， 37故答案为． 37【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝． mn14. 如图，AB 为的直径，弦于点H ，若，，则OH 的长度为O CD AB ⊥10AB =8CD =__．【答案】3 【解析】【分析】连接OC ，由垂径定理可求出CH 的长度，在Rt△OCH 中，根据CH 和⊙O 的半径，即可由勾股定理求出OH 的长． 【详解】连接OC ，Rt△OCH 中，OC=AB=5，CH=CD=4； 1212由勾股定理，得：；3==即线段OH 的长为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15. 若关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】k ＞1 【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k+1）＞0，求出k 的取值范围．【详解】解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k+1）＝4k﹣4＞0， 解得k ＞1； 故答案为：k ＞1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．16. 已知⊙O 的周长为_____． 【答案】4π 【解析】【分析】如图，连接OA 、OB ，证出△AOB 是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得周长即可． 【详解】如图所示，连接OA 、OB ， ∵多边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB ，∴△AOB 是等边三角形， ∴∠OAM＝60°， ∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝2， sin 60OM︒∴⊙O 的周长为4π， 故答案为：4π．【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OA 是解决问题的关键．17. 当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】m≥ 32【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x 为何值时，y 随x 的增大而减小，从而可以得到m 的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+3x ＝﹣（x﹣）2+，3294∴当x≥时，y 随x 的增大而减小， 32∵当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小， ∴m≥， 32故答案为：m≥． 32【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到ABC 108BAC ∠=︒ABC A ．若点恰好落在边上，且，则的度数为______．AB C ''△B 'BC AB CB ''=C '∠【答案】24︒【解析】【分析】根据旋转可得，由已知条件，根据等边对等角可得AB AB '=AB CB ''=，，根据三角形的外角性质可得，根据三角形B AC C '∠=∠AB B B '∠=∠2AB B C '∠=∠内角和可得，根据即可求得的度数1802BAB B '∠=︒-∠108BAC ∠=︒C '∠【详解】AB CB ''=B AC C '∴∠=∠2AB B C '∴∠=∠将绕点按逆时针方向旋转得到．ABC A AB C ''△，AB AB '∴=C C '∠=∠AB B B '∴∠=∠1802BAB B '∴∠=︒-∠1804C =︒-∠108BAC ∠=︒ 1802BAC CAB B AB C B ''∴∠=∠+∠=∠+︒-∠18041803C C C =∠+︒-∠=︒-∠24C ∴∠=︒24C '∴∠=︒故答案为：24︒【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；（2）求两次取出的小球标号相同的概率；（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3） 14316【解析】【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数即可；（2）两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【详解】解：画树状图如图：共有16种等可能的结果数；（2）由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个， ∴两次取出的小球标号相同的概率为 ； 41=164（3）如图：共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有3种，∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ． 316【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20. 解下列关于x 的方程．（1）x （x+1）＝3x+3；（2）5x 2﹣3x＝x+1．【答案】（1）x 1＝﹣1，x 2＝3；（2）x 1＝1，x 2＝﹣0.2【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）∵x（x+1）＝3x+3，∴x（x+1）﹣3（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3；（2）5x 2﹣3x＝x+1整理，得：5x 2﹣4x﹣1＝0，∴（x﹣1）（5x+1）＝0，则x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣0.2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21. 已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）求AC ＝8，BD ＝CD ＝；（Ⅱ）BD ＝5【解析】【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD ＝CD ＝ ；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等边三角形，则BD ＝OB ＝OD ＝5．【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC8==∵AD 平分∠CAB，∴ ， CDBD =∴CD＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，12∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴BD＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD＝5．【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD 是等边三角形．22. 已知抛物线y ＝x 2﹣bx+c（b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小；（3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m﹣n 的最大值．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x+3；（2）y 1＞y 2；（3）m ＝时，m﹣n 有最大值，最大值为 52134【解析】【分析】（1）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质判断y 1与y 2的大小；（3）先用m 表示m﹣n 得到m﹣n＝﹣m 2+5m﹣3，然后配成顶点式，从而得到m﹣n 的最大值．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣bx+c（b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的解析式为y ＝（x﹣2）2﹣1，即y ＝x 2﹣4x+3；（2）∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，而t ＜1，∴点M （t﹣1，y 1），N （t ，y 2）对称轴的左侧的抛物线上，∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 增大而减小，∵t﹣1＜t ，∴y 1＞y 2；（3）∵点P （m ，n ）在该抛物线上，∴n＝m 2﹣4m+3，∴m﹣n＝m﹣（m 2﹣4m+3）＝﹣m 2+5m﹣3＝﹣（m﹣）2+， 52134∴当m ＝时，m﹣n 有最大值，最大值为． 52134【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．23. 如图，是的外接圆，是的直径，．O ABC AB O DCA B ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O （2）若，垂足为交于点F ；求证：是等腰三角形．DE AB ⊥,E DE AC DCF 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)连接OC ，由AB 是圆O 的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件，且∠A=∠ACO 即可证明∠OCD=90°进而求解；DCA B ∠=∠(2)证明，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到90∠+∠=︒A DCA ∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF ，进而得到△DFC 为等腰三角形．【详解】解：(1)证明：连接，OC,OC OA =Q,OCA A ∴∠=∠为圆的直径，AB O90,BCA ∠=︒∴90,A B ∴∠+∠=o 又,DCA B ∠=∠Q90,OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=o,OC CD ∴⊥又点在圆上，C O 是的切线．CD ∴O (2)90,OCA DCA ∠+∠=o Q,OCA A ∠=∠90,A DCA ∴∠+∠=︒,DE AB ⊥90,A EFA ∴∠+∠=︒,DCA EFA ∴∠=∠又,EFA DFC ∠=∠Q,DCA DFC ∴∠=∠是等腰三角形．DCF ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．24. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，0），点B （0，2），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A ，O 旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当点O′落在边AB 上时，求点O′的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．【答案】（1）点O′的坐标为（）；（2）AA′＝，点A′的坐标为（，【解析】【分析】（1）根据点A （2，0），点B （0，2），可得△ABO 是等腰直角三角形，当点O′落在边AB 上时，α＝45°，可得点O′的横坐标为AB ，纵坐标为，即可得答案；12（2）根据勾股定理得AB ，由旋转性质可得∠A′BA＝60°，A′B＝AB ，继而得出AA′和点A′的坐标．【详解】解：（1）如图①，∵点A(2，0)，点B(0，2)，∴OA＝OB ＝2，△ABO 是等腰直角三角形，∴AB＝，当点O′落在边AB 上时，α＝45°，∴点，纵坐标为，∴点O′的坐标为)；（2）如图②，当α＝60°时，∴∠ABA′＝60°，AB ＝A′B，∴△ABA′为等边三角形，∴AA′＝A′B＝AB ＝，连接OA′，在△OBA′和△OAA′中，，OB OA OA OA A A A B '''=⎧='⎪⎨⎪=⎩∴△OBA′≌△OAA′（SSS ），∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，∴直线OA′的函数解析式为y ＝x ，∴OA′⊥AB，，∴点A′的坐标为，．【点睛】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．25. 如图，抛物线交x 轴于，两点，与y 轴交于点C ，24y ax bx =++(3,0)A -(4,0)B AC ，BC ．M 为线段OB上的一个动点，过点M 作轴，交抛物线于点P ，交BC 于点PM x ⊥Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作，垂足为点N ．设M 点的坐标为，请用含m 的代数式表PN BC ⊥(,0)M m 示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），当时，PN 有最大211433y x x =-++2PN =+2m =值，最大值为（3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：，()1,3Q ．Q 【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．【详解】解：（1）将，代入，得，解(3,0)A -(4,0)B 24y ax bx =++934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩之，得． 1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，抛物线的表达式为． 211433y x x =-++（2）由，得． 211433y x x =-++(0,4)C 将点、代入，得，解之，得． (4,0)B (0,4)C y kx b =+404k b b +=⎧⎨=⎩14k b =-⎧⎨=⎩所以，直线BC 的表达式为：．4y x =-+由，得，． (,0)M m 211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭4(),Q m m -+∴ 221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+∵，∴．OB OC =45ABC OCB ∠=∠=︒∴．45PQN BQM ∠=∠=︒∴． 2214sin 4533PN PQ m m ⎫=︒=-+=+⎪⎭22)m =-∵ 0<∴当时，PN ． 2m =（3）存在，理由如下：由点，，知．(3,0)A -(0,4)C 5AC =①当时，过Q 作轴于点E ，易得AC CQ =QE y ⊥，222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=由，得（舍） 2225m =1m =2m =此时，点； Q ②当时，则．AC AQ =5AQ AC ==在中，由勾股定理，得．Rt AMQ △22[(3)](4)25m m --+-+=解之，得或（舍）1m =0m =此时，点；()1,3Q ③当时，CQ AQ =由，得（舍）． 2222[(3)](4)m m m =--+-+252m =综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：，．()1,3Q Q 【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．。

天津市红桥区九年级上期末数学考试卷(解析版)(初三)期末考试.doc

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天津市红桥区九年级上期末数学考试卷（解析版）（初三）期末考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】A．【解析】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念判可得选项A是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；选项B是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；选项C不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选A．考点：中心对称图形；轴对称图形．【题文】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率=．故选A．考点：列表法与树状图法．【题文】一元二次方程x2+2x﹣3=0的两个根中，较小一个根为（）评卷人得分A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【答案】B．【解析】试题分析：∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0或x+3=0，解得：x=1或x=﹣3，则两个根中，较小一个根为﹣3，故选B．考点：解一元二次方程-因式分解法．【题文】将抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2向上平移1个单位后，其顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣1） C．（3，﹣2） D．（3，﹣1）【答案】D．【解析】试题分析：抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），向上平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）．故选考点：二次函数图象与几何变换．【题文】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C．【解析】试题分析：由DE∥BC，EF∥AB，即可得△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，继而得△ADE∽△EFC．所以图中相似三角形的对数是3对．故选C．考点：相似三角形的判定．【题文】正六边形的边心距与边长之比为（）A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2【答案】D．【解析】试题分析：如图：设正六边形的边长是a，则半径长也是a；过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC，则AC=AB=a，由勾股定理得OC= = a，所以正六边形的边心距与边长之比为： a：a=：2．故选D．考点：正多边形和圆．【题文】如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C．【解析】试题分析：由BD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．故选C．考点：圆周角定理．【题文】如图是二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列说法错误的是（）A．函数y的最大值是4B．函效的图象关于直线x=﹣1对称C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大D．当﹣4＜x＜1时，函数值y＞0【答案】D．【解析】试题分析：观察二次函数图象，发现：开口向下，a＜0，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）．选项A，∵a＜0，∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，A正确；选项B，∵二次函数的对称轴为x=﹣1，∴函效的图象关于直线x=﹣1对称，B正确；选项C，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，C正确；选项D，∵二次函效的图象关于直线x=﹣1对称，且函数图象与x轴有一个交点（1，0），∴二次函数与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．∴当﹣3＜x＜1时，函数值y＞0，即D不正确．故选D．考点：二次函数的性质．【题文】已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（）A．t=20v B．t= C．t= D．t=【答案】B．【解析】试题分析：根据路程=时间×速度可得vt=20，变形可得t=．故选B．考点：根据实际问题列反比例函数关系式．【题文】在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞﹣3 B．k＞3 C．k＜3 D．k＜﹣3【答案】A．【解析】试题分析：已知在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，所以k+3＞0，解得k ＞﹣3．故选A．考点：反比例函数的性质．【题文】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A． B．2 C． D．【答案】C．【解析】试题分析：过O作OG垂于G，连接OC，∵OC=，只有C、O、G三点在一条直线上OE最小，连接OM，∴OM=，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴A B= =5，∵AC•BC=AB•CF，∴CF=，∴OG=﹣=，∴MG==，∴MN=2MG=，故选C．考点：直线与圆的位置关系．【题文】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D．【解析】试题分析：①因为图象与x轴两交点为（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，对称轴x=，则对称轴﹣＜﹣＜0，且a＜0，∴a＜b＜0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故①正确；②设x2=﹣2，则x1x2=，而1＜x1＜2，∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜＜﹣2，∴2a+c＞0，4a+c＜0，故②③正确；④由抛物线过（﹣2，0），则4a﹣2b+c=0，而c＜2，则4a﹣2b+2＞0，即2a﹣b+1＞0，故④正确．综上可知正确的有4个，故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．【题文】方程100x2﹣3x﹣7=0两根之和等于．【答案】．【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得方程100x2﹣3x﹣7=0两根之和等于．考点：根与系数的关系．【题文】若扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）【答案】2π．【解析】试题分析：根据弧长公式可知该扇形的弧长为=2π，考点：弧长的计算．【题文】如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是．【答案】2：3．【解析】试题分析：已知两个相似三角形的面积比是4：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比是2：3，，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得它们对应高的比是2：3．．考点：相似三角形的性质．【题文】如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以O为圆心OB长为半径的⊙O于点E，连接BD并延长交⊙O于点F，连接EF，则∠EFB的度数为度．【答案】37.5．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵AB=BO，∴∠AOB==75°，∴∠EFB=∠AOB=37.5°．考点：圆周角定理；等边三角形的判定；正方形的性质．【题文】若a为实数，则代数式的最小值为．【答案】3.【解析】试题分析：因，根据非负数的性质可得当a=3时，有最小值为9，所以当a=3时，有最小值为3.考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方；二次根式的性质与化简．【题文】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D 两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是 cm．【答案】 .【解析】试题分析：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，∵∠AOD=90°，AO=OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°∴∠ODC+∠OAB=90°，∵∠ODC+∠DOC=90°，∴∠DOC=∠BAO，∵∠B=∠C=90°∴△ABO≌△OCD，∴O C=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，得AD=2 cm，∴AO=OD=2 cm，S△AOD=AO•DO= AD•OF，∴OF=cm．考点：垂径定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质与判定；勾股定理；矩形的判定．【题文】某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．（1）求A去北京的概率；（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；（3）求A，B分在同一组的概率．【答案】（1）；（2）；（3） .【解析】试题分析：（1）由某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B都去北京的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由（2）可求得A，B分在同一组的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）∵某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，∴A去北京的概率为；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，A，B都去北京的有2种情况，∴A，B都去北京的概率为：；（3）由（2）得：A，B分在同一组的有4种情况，∴A，B分在同一组的概率为．考点：列表法与树状图法．【题文】四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，∠F=60°，求：（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE的长度和∠EBD的度数．【答案】（1）旋转中心为点A，旋转角为90°；（2）DE=4﹣4，∠EBD=15°．【解析】试题分析：（1）由于△ADF旋转一定角度后得到△ABE，根据旋转的性质得到旋转中心为点A，∠DAB等于旋转角，于是得到旋转角为90°；（2）根据旋转的性质得到AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°，则∠ABE=90°﹣60°=30°，解直角三角形得到AD=4 ，∠ABD=45°，所以DE=4﹣4，然后利用∠EBD=∠ABD﹣∠ABE计算即可．试题解析：（1）∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，∴旋转中心为点A，∠DAB等于旋转角，∴旋转角为90°；（2）∵△AD F以点A为旋转轴心，顺时针旋转90°后得到△ABE，∴AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°，∴∠ABE=90°﹣60°=30°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=4，∠ABD=45°，∴DE=4﹣4，∠EBD=∠ABD﹣∠ABE=15°．考点：旋转的性质；正方形的性质．【题文】如图，抛物线y=﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线BC的函数关系式；（3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标．【答案】（1）A、B两点坐标为（﹣1，0）和（4，0）；（2）直线BC的函数关系式为y=﹣x+4；（3）点P的坐标为（，）或（，）．【解析】试题分析：（1）令y=0得﹣x2+3x+4=0解得方程的解即为A、B两点坐标；（2）令x=0，解得抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C的坐标，设直线BC的函数关系式y=kx+b，解得k和b的值即可得出直线BC的函数关系式；（3）求得抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴，设对称轴与直线BC的交点记为D，求得D点坐标，设点P的坐标，表示出PD，再根据三角形的面积公式得出点P的坐标．试题解析：（1）由﹣x2+3x+4=0解得x=﹣1或x=4，所以A、B两点坐标为（﹣1，0）和（4，0）；（2）抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C坐标为（0，4），由（1）得，B（4，0），设直线BC的函数关系式y=kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4；（3）抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴为x= ，对称轴与直线BC的交点记为D，则D点坐标为（，）．∵点P在抛物线的对称轴上，∴设点P的坐标为（，m），∴PD=|m﹣|，∴S△PBC=OB•PD=4．∴×4×|m﹣|=4，∴m=或m=．∴点P的坐标为（，）或（，）．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．【题文】如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．（1）求证：DF⊥AB；（2）若AF的长为2，求FG的长．【答案】(1)详见解析；（2）FG=3．【解析】试题分析：（1）连结OD，根据切线的性质由DF是圆的切线得∠ODF=90°，再根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，而OD=OC，所以∠ODC=60°=∠A，于是可判断OD∥AB，根据平行线的性质得DF⊥AB ；（2）在Rt△ADF中，由∠A=60°得到∠ADF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2AF=4，再证明OD为△ABC的中位线，则AD=CD=4，即AC=8，所以AB=8，BF=AB﹣AF=6，然后在Rt△BFG中，根据正弦的定义计算FG的长．试题解析：（1）证明：连结OD，如图，∵DF是圆的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，而OD=OC，∴∠ODC=60°，∴∠ODC=∠A，∴OD∥AB，∴DF⊥AB；（2）解：在Rt△ADF中，∠A=60°，∴∠ADF=30°，∴AD=2AF=2×2=4，而OD∥AB，点O为BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴AD=CD=4，即AC=8，∴AB=8，∴BF=AB﹣AF=6，∵FG⊥BC，∴∠BGF=90°，在Rt△BFG中，sinB=sin60°=，∴FG=6×=3 ．考点：切线的性质；等边三角形的性质．【题文】如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点，求m的值．【答案】（1）y=， y=﹣4x+10；（2）m=2或m=18．【解析】试题分析：（1）由点A在反比例函数的图象上，结合反比例函数图象上的点的坐标特征即可得出反比例函数的解析式；由点B的横坐标以及反比例函数的解析式即可得出点B的坐标，再由A、B点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数得解析式；（2）结合（1）中得结论找出平移后的直线的解析式，将其代入反比例函数解析式中，整理得出关于x的二次方程，令其根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．试题解析：（1）∵A（2，2）在反比例函数y=的图象上，∴k=4．∴反比例函数的解析式为 y=．又∵点B（，n）在反比例函数y=的图象上，∴，解得：n=8，即点B的坐标为（，8）．由A（2，2）、B（，8）在一次函数y=ax+b的图象上，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣4x+10．（2）将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=﹣4x+10﹣m，∵直线y=﹣4x+10﹣m与双曲线y=有且只有一个交点，令，得4x2+（m﹣10）x+4=0，∴△=（m﹣10）2﹣64=0，解得：m=2或m=18．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．【题文】如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）存在CE′∥AB，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．试题解析：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE，BE=BC，∴AE=BC．（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．（3）存在CE′∥AB，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°．②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，l（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）3；（3）（5，﹣5）；（4）△CMN的面积为：或或17或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．试题解析：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；（2）点C的坐标为（3，3），又∵点B的坐标为（1，3），∴BC=2，∴S△ABC=×2×3=3；（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），∴3m2﹣15m=0，m1=0（舍去），m2=5，∴点P坐标为（5，﹣5）．（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC=，∴S△CMN=××=；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt △MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM= =，∴S△CMN=××=；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，同理得：CN= =，∴S△CMN=××=17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN==，∴S△CMN=××=5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．考点：二次函数综合题．。

天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期末练习数学试题(含答案)

天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期末练习数学试题(含答案)

天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期末练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．解方程24x =的结果为（ ） A ．2x = B ．4x =C ．12x =-，22x =D ．14x =-，24x =【答案】C【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：24x =， 解得：12x =-，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：A 、B 、C 是轴对称图形，D 是中心对称图形． 故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．3．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ） A ．至少有1个球是黑球 B ．至少有1个球是白球 C ．至少有2个球是黑球 D ．至少有2个球是白球【答案】A【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．【详解】解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球， ∴至少有1个球是黑球， 故选：A ．【点睛】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键． 4．若1x =是关于x 的一元二次方程220x x m +-=的一个根，则m 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．1【答案】B【分析】根据一元二次方程根的定义，将1x =代入方程，得到关于m 的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∴1x =是关于x 的一元二次方程220x x m +-=的一个根， ∴120m +-= 解得：3m =， 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．5．方程220x x +-=的两个根为（ ） A ．1221x x =-=， B ．1212x x =-=， C ．12 21x x =-=-， D ．1212x x ==，【答案】A【分析】根据解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答. 【详解】解：220x x +-=，(2)(1)0x x +-= ，20x +=或10x -=，12 21x x =-=，，故选：A.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键.6．如图，AB 是∴O 的直径，C 、D 是∴O 上的两点，若∴CAB ＝65°，则∴ADC 的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°【答案】A【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∴ACB =90°，然后根据∴CAB =65°求得∴ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【详解】解：∴AB 是直径， ∴∴ACB =90°， ∴∴CAB =65°，∴∴ABC =90°-∴CAB =25°， ∴∴ADC =∴ABC =25°， 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．7．将抛物线22y x =-向右平移1个单位，新的函数解析式为（ ） A ．2(1)2y x =-- B ．2(1)2y x =+-C ．2(2)1y x =++D ．22()1y x =-+【答案】A【分析】由平移的规律即可求得答案．【详解】解：将抛物线22y x =-向右平移1个单位，则函数解析式变为2(1)2y x =--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．8．若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（ ）A ．2，1B ．2C 2D ．3，则AOB 是等边三角形，3，9．若点()12,A y -，()21,B y -，31,2C y ⎛⎫⎪⎝⎭都在二次函数22y x x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<BC=，AB的弦心距为3，则OC 10．如图，点C是∴O的弦AB上一点．若6AC=，2的长为（）A．3B．4C D故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．11．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC △.若点,,A D E 在同一条直线上，则BAD ∠的度数是（ ）A ．65︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】D【分析】由旋转的性质可得∴ABC=∴CDE ，再结合的邻补角的定义可得∴ABC+∴ADC=180°，根据四边形的内角和定理和∴BCD=90°，即可求出∴BAD 的度数． 【详解】解：∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ， ∴∴ABC=∴CDE ，∴BCD=90° ∴∴CDE +∴ADC=180°， ∴∴ABC+∴ADC=180°， 在四边形ABCD 中，∴ABC+∴BAD+∴ADC∴BCD=180° ∴∴BAD=90° 故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，以及四边形的内角和定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．12．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：有下列结论：∴抛物线的开口向下；∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0；∴抛物线的对称轴为直线12x =；∴函数2y ax bx c =++的最大值为254．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．不透明袋子中装有7个球，其中有4个红球、3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是______．【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．14．若关于x 的一元二次方程21202x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．15．若1x ，2x 是一元二次方程2630x x --=的两个根，则12+x x 的值为______．16．某村种的水稻2020年平均每公顷产8000kg ，2022年平均每公顷产9680kg ，则该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______． 【答案】10%【分析】设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，根据题意得，()2800019680x +=解得：120.110%, 2.1x x ===-（舍去） ∴该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10%， 故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C ''△，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若点B '恰好落在AB 边上，则点A 到直线A C '的距离等于______．AQ A C 于,Q 得出sin 60AQ AC ，AQA C 于,Q224,23,AB AC AB BC =60B ∠由旋转的性质可知，BC B C '=，A CB '∠，60B A B C ，∴B BC '△是等边三角形，60,BCB∴30ACB ，60,A CA3sin 60233.2AQ AC∴A 到A C '的距离为3． 故答案为：3．18．当0m x ≤≤时，二次函数263y x x =---的最大值与最小值之和为2，则m 的值为______（写出所有满足条件的m 的值）． 226336yx x x ，抛物线开口向下，对称轴为直线 3，19．解下列关于x的方程．(1)2-=；x x230(2)2430--=．x x20．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、2-、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．21．已知ABC 内接于O ，AB AC =，72ABC ∠=︒，D 是O 上的点．(1)如图∴，求ADC ∠和BDC ∠的大小；(2)如图∴，OD AC ⊥，垂足为E ，求ODC ∠的大小．【答案】(1)108︒，36BDC ∠=︒(2)54︒【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补得出ADC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出CAB ∠，根据同弧所对的圆周角相等得出BDC ∠，即可求解；是O的内接四边形，︒．∆内接于O，AB为O的直径，过点O作AB的垂线，与AC相交于点E，22．已知ABC与过点C的O的切线相交于点D.(∴)如图∴，若67ABC ∠=︒，求D ∠的大小；(∴)如图∴，若EO EC =，2AB =，求CD 的长.323．如图，计划用总长为43m的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，其中x．边AB是墙（可利用的墙的长度为21m），中间共留两个1m的小门，设篱笆BC长为m(1)AB的长为______（m）（用含x的代数式表示）；(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为2150m，求篱笆BC的长；(3)求矩形鸡舍ABCD面积的最大值及此时篱笆BC的长．-【答案】(1)453x(2)10m(3)矩形鸡舍ABCD面积的最大值为2168m，此时篱笆BC的长为8m【分析】（1）根据题意列出对应的代数式即可；24．在平面直角坐标系中，O 为原点，点1,0A ，点B 在y 轴的正半轴上，且30ABO ∠=︒，把ABO 绕点O 顺时针旋转，得A B O ''△，记旋转角为α．(1)如图∴，当30α=︒时，求点B '的坐标；α=︒时，设直线AA'与直线BB'相交于点M，求点M的坐标．(2)如图∴，当90是ABO旋转得到的，∠=，A3B'与x轴交于点30︒，．25．若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，()0,4B -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x ⊥轴于点N ．∴若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；∴以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．）解：二次函数又抛物线经过点点MN x⊥(,∴-M m∴2MN=∴=NC4=3MN NC四边形点点2⎝⎭【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．试卷第21页，共21页。

天津市红桥区名校2025届九年级数学第一学期期末经典试题含解析

天津市红桥区名校2025届九年级数学第一学期期末经典试题含解析

天津市红桥区名校2025届九年级数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．O 的半径为10cm ，弦//AB CD ，16AB =，12CD =，则AB 、CD 间的距离是：（ ）A ．14B ．2C ．14或2D ．以上都不对 2．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（ ）A ．◎代表B ．@代表同位角C ．▲代表D ．※代表3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线y ＝﹣49x 2+bx +c 经过原点，与x 轴的另一个交点为A （﹣6，0），点C 是抛物线的顶点，且⊙C 与y 轴相切，点P 为⊙C 上一动点．若点D 为PA 的中点，连结OD ，则OD 的最大值是（ ）A 985B 97+3C ．10D 1304．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．165．如图，已知A （2，1），现将A 点绕原点O 逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（2，﹣1）C ．（1，﹣2）D ．（﹣2，1）6．下列事件中，是必然事件的是( )A ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B ．明天太阳从西方升起C ．三角形内角和是180D ．购买一张彩票,中奖7．一元二次方程22350x x --=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．无法确定8．如图，在ABC ∆中，已知点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM CN =，AM BM AN CN=，下列结论中正确的是（ ）A ．ABM ACB ∆∆∽ B ．ANC AMB ∆∆∽ C ．ANC ACM ∆∆∽D ．CMN BCA ∆∆∽9．下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为( )A ．1234B ．4312C ．3421D ．423110．四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是ABC ∆的内心，124AIC ∠=，点E 在AD 的延长线上，则CDE ∠的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．48°11．方程2(1)230m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程，则( )A ．1m ≠±B ．1m =C ．1m ≠-D ．1m ≠ 12．如图，在O 中，37B ∠=，则劣弧AB 的度数为（ ）A ．106B ．1?26C ． 74?D ． 53二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知两个反比例函数13:C y x =和21:C y x=在第一象限内的图象，设点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点,C 交2C 于点,A PD y ⊥轴于点,D 交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______________________．14．方程x 2+2x ﹣1=0配方得到（x+m ）2=2，则m=_____．15．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，P 为圆外一点，PC 、PD 均与圆相切，设∠A+∠B ＝130°，∠CPD ＝β，则β＝_____．16．在平面直角坐标系中，将点A （﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A ′的坐标是_____．17．将抛物线2y 5x =向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______．18．因式分解：ax 3y ﹣axy 3＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根 （1）求b 的值；（2）当b 取正数时，求此时方程的根，20．（8分）某水果经销商到水果种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价y （元/千克）与采购量x （千克）之间的函数关系图象如图中折线AB BC CD →→所示（不包括端点A ）.（1）当5001000x <≤时，写出y 与x 之间的函数关系式；（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，水果种植基地获利最大，最大利润是多少元？21．（8分）解不等式组532,31204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来． 22．（10分）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.（1）如图1，BD 平分∠ABC ，AD ∥BC ，求证:四边形ABCD 为“和睦四边形”；（2）如图2，直线364y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 、Q 分别是线段OA 、AB 上的动点.点P 从点A 出发,以每秒4个单位长度的速度向点O 运动.点Q 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度向点B 运动.P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒.当四边形BOPQ 为“和睦四边形”时，求t 的值；（3）如图3，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ．当四边形COBD 为“和睦四边形”，且CD=OC ．抛物线还满足：①0,0,2a ab c <≠=；②顶点D 在以AB为直径的圆上. 点00(,)P x y 是抛物线2y ax bx c =++上任意一点，且003t y x =-.若1136505t m ≤+恒成立，求m 的最小值.23．（10分）先化简，再求值：(1+11x -)2221x x x x +÷-+，其中，x ＝2﹣1． 24．（10分）已知关于x 的方程x 2﹣（k+1）x+14k 2+1=0有两个实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22=6x 1x 2﹣15，求k 的值．25．（12分）如图，BE 是ABC 的角平分线，延长BE 至点,D 使得BC CD =．求证：ABE CDE ．26．图中是抛物线拱桥，点P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，32）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）水面上升1m ，水面宽是多少？参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E，∵//AB CD，∴OE⊥AB，在Rt△AOE中，OA=10，AE=12AB=8，∴OE=6，在Rt△COF中，OC=10，CF=12CD=6，∴OF=8，当AB、CD在点O的同侧时，AB、CD间的距离EF=OF-OE=8-6=2；当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14，故选：C.【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.2、C【解析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【详解】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．3、B【分析】取点H （6,0）,连接PH ,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C 坐标, 可得⊙C 半径为4,由三角形中位线的定理可求OD =12PH , 当点C 在PH 上时,PH 有最大值,即可求解． 【详解】如图,取点H （6,0）,连接PH ,∵抛物线y ＝﹣49x 2+bx +c 经过原点,与x 轴的另一个交点为A （﹣6,0）, ∴0403669c b =⎧⎪⎨=-⨯-⎪⎩, 解得:830b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线解析式为：y ＝﹣24893x x -, ∴顶点C （﹣3,4）,∴⊙C 半径为4,∵AO ＝OH ＝6,AD ＝BD ,∴OD ＝12PH , ∴PH 最大时,OD 有最大值,∴当点C 在PH 上时,PH 有最大值, ∴PH 最大值为＝81+16＝97,∴OD 的最大值为:3+972, 故选B ．本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.4、D【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，∵DEBC=12，∴14ADEABCSS∆∆=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选D．【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．5、A【解析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．【详解】已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，所以A1的坐标为（﹣1，2）.故选A.【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.6、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件;B．明天太阳从西方升起是不可能事件;C．任意画一个三角形,其内角和是180是必然事件;D．购买一张彩票，中奖是随机事件;【点睛】本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件.7、A【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝49＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．【详解】解：∵在方程22350x x --=中，△＝2(3)42(5)490＝＞， ∴方程22350x x --=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8、B【分析】由CM CN =，得∠CMN=∠CNM ，从而得∠AMB=∠∠ANC ，结合AM BM AN CN =，即可得到结论. 【详解】∵CM CN =，∴∠CMN=∠CNM ，∴180°-∠CMN=180°-∠CNM ，即：∠AMB=∠∠ANC ， ∵AM BM AN CN=， ∴ANC AMB ∆∆∽，故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，掌握“对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键. 9、B【解析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四个时刻的时间顺序．【详解】解：时间由早到晚的顺序为1．故选B ．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 10、C【分析】由点I 是ABC 的内心知2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠，从而求得()1802180B AIC =︒-⨯︒-∠∠ ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】∵点I 是ABC 的内心∴2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠∵124AIC =︒∠∴B ()180BAC ACB =︒-+∠∠()1802180AIC =︒-⨯︒-∠68=︒∵四边形ABCD 内接于⊙O∴68CDE B ==︒∠∠故答案为：C ．【点睛】本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．11、D【分析】根据一元二次方程的定义， 得到关于m 的不等式， 解之即可 ．【详解】解：根据题意得：10m -≠，解得：1m ≠，故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是 正确掌握一元二次方程的定义．12、A【解析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【详解】连接OA ，∵OA=OB ，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．故选：A【点睛】本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．二、填空题（每题4分，共24分）13、2【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=12，S矩形PCOD=3，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．【详解】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=12×1=12，S矩形PCOD=3，∴四边形PAOB的面积=3－12－12=1故答案为：1．【点睛】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14、1【解析】试题解析：x2+2x-1=0，x2+2x=1，x2+2x+1=2，（x+1）2=2，则m=1；故答案为1．15、100°【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出 与β的关系式．进而可求出β的度数．【详解】连结OC，OD，∵PC、PD均与圆相切，∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°，∴∠CPD+∠COD＝180°，∵OB＝OC，OD＝OA，∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A，∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°，∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°．∴∠CPD＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．16、（0，0）【解析】根据坐标的平移规律解答即可．【详解】将点A（-3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（-3+3，2-2），即（0，0），故答案为（0，0）．【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．17、y=5（x+2）2【分析】根据二次函数平移的性质求解即可.5x顶点坐标为(O, O), 向左平移2个单位, 顶点坐标为【详解】抛物线的平移问题, 实质上是顶点的平移,原抛物线y=2(-2, 0), 根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式为y=5（x+2）2，故答案为y=5（x+2）2.【点睛】本题主要考查二次函数平移的性质，有口诀“左加右减，上加下减”，注意灵活运用.18、axy （x +y ）（x ﹣y ）【分析】提取公因式axy 后剩余的项满足平方差公式，再运用平方差公式即可；【详解】解：ax 3y ﹣axy 3＝axy ()22x -y= axy （x +y ）（x ﹣y ）； 故答案为：axy （x +y ）（x ﹣y ）【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的运用，掌握提公因式法，平方差公式是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）b=2或b=10-；（2）x 1=x 2=2；【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b ）=0，∴28200b b +-=解得：b=2或b=10-．（2）当b=2时，此时x 2-4x+4=0，∴2(2)0x -=，∴x 1=x 2=2；【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20、（1）0.0240y x =-+；（2）一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元.【分析】（1）根据函数图象中的点B 和点C 可以求得当500<x ≤1000时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据题意可以分为两种讨论，然后进行对比即可解答本题；【详解】解：（1）设当5001000x <≤时，y 与x 之间的函数关系式为：y ax b =+， 50030100020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.0240a b =-⎧⎨=⎩. 故y 与x 之间的函数关系式为：0.0240y x =-+；（2）当采购量是x 千克时，蔬菜种植基地获利ω元，当0500x <≤时，()30822x x ω=-=，则当500x =时，ω有最大值11000元，当5001000x <≤时，()8y x ω=-，()0.0232x x =-+20.0232x x =-+()20.028*******x =--+，故当800x =时，ω有最大值为12800元，综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元；【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用是解题的关键.21、13x -≤<，在数轴上表示见解析.【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解5+3231504x x x ≥⎧⎪⎨--⎪⎩①＜② 解不等式①得1x ≥-；解不等式②得3x <；把解集在数轴上表示为所以不等式组的解集为13x -≤<.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22、（1）见解析；（2）148257，，或54；（3）12020【分析】（1）由BD 平分∠ABC 推出∠ABD=∠CBD ，又AB ∥BC ，所以∠ADB=∠CBD ，所以∠ABD=∠ADB ，即AB=AD ，所以四边形ABCD 为“和睦四边形”； (2)分别求出 AQ 、AP 、BQ 、OP 、OB 的值，连接PQ ，因为55,44AQ t AP t ==10584AB AO ==，所以AQ AB AP AO=，所以PQ OB ，PQ OA ⊥，根据勾股定理求出PQ ，再分类讨论t 的值即可；（3）表示出点()2-b 8,,0,224a b D C a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标，由22CD OC =可得，22228a 2242b b a a ⎛⎫--⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， 因为D AB 在以为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，得出ADB ∆为等腰直角三角形， 所以1y 2D AB =，即284a b a -=，由①②的方程，且0ab <解出a 、b 的值，求出抛物线的解析式为21y 23x =-++，因为P 在抛物线上，将P代入抛物线得，2000123y x x =-++，可得20000123t y x x =-=-+，当0max 94x t ==，又因为1136505t m ≤+恒成立，所以max 1136505t m ≤+，即12020m ≥，得出m 的最小值为12020；【详解】解：（1）BD ABC ∠平分，ABD CBD ∴∠=∠，AD BC ∵∥，ADB CBD ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD ∴=，∴四边形ABCD 为“和睦四边形”；（2）由题意得：AQ=5 t ，AP=4 t ，BQ=10 - 5 t ，OP=8 - 4 t ，OB=6，连接PQ ，55,4410584AQ tAP t AB AO ∴====又，AQ ABAP AO PQ OB PQ OA ∴=∴∴⊥，，，3PQ t ∴==，“”BOPQ 四边形为和睦四边形，6=8-4t 1t 2OB OP ∴=∴=①当时，，，6=10-5t 4t 5OB BQ =∴=②当时，，，8-4t=3t 8t 7OP PQ =∴=③当时，，，10-5t=3t 5t 4BQ PQ =∴=④当时，，， 综上：1485t 2574=，，或； （3）由题意得：()2-b 8,,0,224a b D C a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 222222,8a 2242CD OC b b a a =⎛⎫--⎛⎫∴-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， D AB ADB ∴∆在以为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，为等腰直角三角形，21y ,28142aD AB a b a ∴=-∴= 由①②，且0ab <，得1a -b 33==，，21y 23x x ∴=-+抛物线为， ()002000200000max ,12312339 4P x y y x x t y x x x t ∴=-++∴==--+==点在抛物线上，，，当，max 11365051136505911364505120201 2020t m t m m m m ≤+∴≤+∴≤+∴≥∴恒成立，，，，的最小值为； 【点睛】本题是二次函数的综合性题目，给了新型定义，解题的关键是审清题目的意思.23、11x x -+，12 【分析】根据分式混合运算的运算顺序及运算法则进行化简，再把x 的值代入计算即可．【详解】解：原式2211211x x x x x x-+-+=-+ ()()2111x x x x x -=-+ 11x x -=+， 当21x =时，原式22122112===--+ 【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式通分和分式加减乘除运算法则．24、（1）k≥32；（2）1 【分析】（1）根据判别式与根的个数之间的关系，列不等式计算即可；（2）根据一元二次方程根与系数间的关系表示出12x x +，12x x ，再由222121212()2x x x x x x +=+-代入进行计算即可．【详解】解：（1）由题意，得△=[﹣（k+1）]2﹣1（14k 2+1）=2k ﹣3≥0，解得32k ≥， ∴k 的取值范围为k≥32． （2）∵由根与系数的关系，得x 1+x 2=k+1，x 1•x 2=14k 2+1 ， ∵x 12+x 22=6x 1x 2﹣15，∴（x 1+x 2）2﹣8x 1x 2+15=0，∴k 2﹣2k ﹣8=0，解得：k 1=1，k 2=﹣2 ，又∵k≥32， ∴k=1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，根与系数的关系，熟知以上运算是解题的关键．25、证明见解析．【分析】先根据角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得CDE CBE =∠∠，从而可得ABE CDE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证．【详解】BE 是ABC 的角平分线ABE CBE ∴∠=∠BC CD =CDE CBE ∴∠=∠ABE CDE ∠=∠∴又AEB CED ∠=∠ABECDE ∴．【点睛】 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．26、（1）y=﹣12x 2+2x ；（2）m 【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，将点O （0，0）、A （4，0）、P （3，32）代入，得：01640930c a b a b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：1220a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以抛物线的解析式为y=﹣12x 2+2x ； （2）当y=1时，﹣12x 2+2x=1，即x 2﹣4x+2=0， 解得：x=2则水面的宽为﹣（2）（m ）．答：水面宽是：m ．【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．。

天津市红桥区2019-2020学年人教版九年级(上)期末数学试卷 含解析

天津市红桥区2019-2020学年人教版九年级(上)期末数学试卷 含解析

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．掷一枚质地均匀的硬币3次，下列说法中正确的是（）A．可能有2次正面朝上B．必有2次正面朝上C．必有1次正面朝上D．不可能3次正面朝上3．下列各组图形中，是相似图形的是（）A．B．C．D．4．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球100次，其中有25次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个5．如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：56．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3 7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（）A．2B．C．2 D．48．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．C．3πD．9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y211．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）的顶点坐标为（，m）．有下列结论：①若m＞0，则a+2b+6c＞0；②若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0有实数解．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共6小题）13．不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．14．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC度数为．15．若反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限，则m的取值范围是．16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．17．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为．18．如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M．若点E是的中点，BC＝2，则OC的长为．三．解答题（共7小题）19．在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为（x，y）．（I）请用画树形图或列表的方法写出点P所有可能的坐标；（Ⅱ）求两次取出的小球标号之和大于6的概率；（Ⅲ）求点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．21．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交于点C．（I）求点C的坐标和该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若该抛物线与x轴交于A，B两点，求△ABC的面积S；（Ⅲ）将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．22．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．23．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过A（1，3），B（﹣6，n）两点．（I）求该反比例函数的解析式和n的值；（Ⅱ）当x≤﹣1时，求y的取值范围；（Ⅲ）若M为直线y＝x上的一个动点，当MA+MB最小时，求点M的坐标．24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．25．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（x D，y D）为抛物线上一个动点，其中1＜x D＜3．连接AC，BC，DB，DC．（I）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．2．掷一枚质地均匀的硬币3次，下列说法中正确的是（）A．可能有2次正面朝上B．必有2次正面朝上C．必有1次正面朝上D．不可能3次正面朝上【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【解答】解：A．掷一枚质地均匀的硬币3次，可能有2次正面朝上，故本选项正确；B．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有2次正面朝上，故本选项错误；C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有1次正面朝上，故本选项错误；D．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有3次正面朝上，故本选项错误；故选：A．3．下列各组图形中，是相似图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．4．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球100次，其中有25次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个【分析】根据共摸球100次，其中25次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为25：75，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：3；即可计算出白球数．【解答】解：∵共摸了100次，其中25次摸到黑球，∴有75次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，盒子中大约有白球3×4＝12个．故选：A．5．如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】通过证明△DCF∽△EBF，可得，可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DCF∽△EBF，∴，且AB＝CD＝3BE，∴BF：CF＝1：3，故选：B．6．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3 【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出结论．【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，则x+4＝0，或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝3．故选：D．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（）A．2B．C．2 D．4【分析】在Rt△AOH中，由∠AOC＝60°，解直角三角形求得AH＝，然后利用垂径定理解答即可．【解答】解：∵OC⊥AB于H，∴AH＝BH，在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，∵OH＝1，∴AH＝OH＝，∴AB＝2AH＝2故选：A．8．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．C．3πD．【分析】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB ＝3，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴扇形AOB的面积＝＝，故选：B．9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°【分析】根据切线的性质可判断∠OBA＝90°，再由∠BAO＝40°可得出∠O＝50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠O＝50°，∵OB＝OC（都是半径），∴∠OCB＝（180°﹣∠O）＝65°．故选：C．10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣3×y1＝﹣6，﹣2×y2＝﹣6，1×y3＝﹣6，然后计算出y1，y2，y3的值，从而得到它们的关系关系．【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴﹣3×y1＝﹣6，﹣2×y2＝﹣6，1×y3＝﹣6，∴y1＝2，y2＝3，y3＝﹣6，∴y3＜y1＜y2．故选：D．11．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB＝4，AD＝2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选：C．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）的顶点坐标为（，m）．有下列结论：①若m＞0，则a+2b+6c＞0；②若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0有实数解．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①根据顶点的横坐标推出a＝﹣b，纵坐标大于0即可判断；②先通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再根据二次函数的增减性即可进行比较；③先把顶点坐标代入抛物线解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0根的判别式中计算，判断其正负即可．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）顶点坐标为（，m），∴﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+2b+6c＝﹣a+6cm＝＝∵m＞0，∴4c﹣a＞0∴a+2b+4c＞0．故此小题结论错误；②∵顶点坐标为（，m），n＜，∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1）∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，∵1﹣n﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，∵a＞0，∴当x时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2故此小题结论正确；③把顶点坐标（，m）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a∵b＝﹣a∴△＝﹣4a＜0，∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解．故此小题错误．故选：B．二．填空题（共6小题）13．不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，∴摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．14．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC度数为100°．【分析】由点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，根据圆周角定理，即可求得∠BOC度数．【解答】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故答案为：100°．15．若反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限，则m的取值范围是m＜．【分析】对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．【解答】解：因为反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限．所以3m﹣1＜0，∴m＜．故答案为：m＜．16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为10.5 m．【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故答案为10.5．17．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为160°．【分析】根据平行四边形的性质得∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，则根据平行线的性质可计算出∠DA′B＝130°，接着利用互余计算出∠BAE＝30°，然后根据旋转的性质得∠BA′E′＝∠BAE＝30°，于是可得∠DA′E′＝160°．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠ADA′+∠DA′B＝180°，∴∠DA′B＝180°﹣50°＝130°，∵AE⊥BE，∴∠BAE＝30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝130°+30°＝160°．故答案为160°．18．如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M．若点E是的中点，BC＝2，则OC的长为．【分析】连接DC，DF．首先证明M为CF的中点，E为的中点，可以证明△DCF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1＝30°；根据切线的性质得到BC＝BD＝2．推出△BCD为等边三角形；解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接DC，DF，设DO交CF于M．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB于D．∴∠ODB＝90°．∵CF∥AB，∴∠OMF＝∠ODB＝90°．∴OM⊥CF．∴点M是CF的中点；∵DM⊥CF，∴DC＝DF，∵E是的中点，∴CE垂直平分DF，∴CD＝CF，∴△DCF是等边三角形，∴∠1＝30°，∵BC，AB分别是⊙O的切线，∴BC＝BD＝2，∠ACB＝90°，∴∠2＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴OD＝，∴⊙O的半径为．故答案为．三．解答题（共7小题）19．在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为（x，y）．（I）请用画树形图或列表的方法写出点P所有可能的坐标；（Ⅱ）求两次取出的小球标号之和大于6的概率；（Ⅲ）求点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率．【分析】（I）根据题意画出树状图，得出所有等情况数即可；（Ⅱ）先找出两次取出的小球标号之和大于6的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（Ⅲ）先找出点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的情况数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（I）画树状图得：共有12种等可能的结果数；（Ⅱ）∵共有12种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和大于6的有2种，∴两次取出的小球标号之和大于6的概率是＝；（Ⅲ）∵点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的情况共有3种，∴点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率是＝．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．21．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交于点C．（I）求点C的坐标和该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若该抛物线与x轴交于A，B两点，求△ABC的面积S；（Ⅲ）将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）当x＝0时，y＝﹣5，故点C（0，5），则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x ﹣5＝（x﹣2）2﹣9，即可求解；（Ⅱ）S＝×AB×OC＝×6×5＝15；（Ⅲ）y＝（x﹣2+1）2﹣9+2＝x2﹣2x﹣6．【解答】解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝﹣5，故点C（0，5），则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，故顶点坐标为：（2，﹣9）；（Ⅱ）令y＝0，解得：x＝﹣1或5，则AB＝6，OC＝5，则S＝×AB×OC＝×6×5＝15；（Ⅲ）y＝（x﹣2+1）2﹣9+2＝x2﹣2x﹣622．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【分析】（1）连接OC，易证OC∥AD，所以∠OCA＝∠DAC，由因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA；（2）连接BE，AB是⊙O的直径，所以∠AEB＝90°，从而可知∠BEF＝∠DAE＝18°，由圆周角定理可知：∠BAF＝∠BEF＝18°【解答】解：（1）连接OC、∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEF＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠BEF＝∠DAE＝18°，∵，∴∠BAF＝∠BEF＝18°23．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过A（1，3），B（﹣6，n）两点．（I）求该反比例函数的解析式和n的值；（Ⅱ）当x≤﹣1时，求y的取值范围；（Ⅲ）若M为直线y＝x上的一个动点，当MA+MB最小时，求点M的坐标．【分析】（Ⅰ）先把A点坐标代入y＝求出k得到反比例函数解析式；然后把B（﹣6，n）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（Ⅱ）求得横坐标为﹣1时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可求得；（Ⅲ）根据题意可以得到点A关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，与直线y＝x的交点为M，然后根据两点之间线段最短求得当MA+MB的值最小，从而可以解答本题【解答】解：（Ⅰ）把A（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y＝；把B（﹣6，n）代入y＝得﹣6n＝3，解得n＝﹣；（Ⅱ）∵k＝3＞0，∴图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，把x＝﹣1代入y＝得y＝﹣3，∴当x≤﹣1时，y的取值范围是﹣3≤y＜0；（Ⅲ）作A点关于直线y＝x的对称点为A′，则A′（3，1），连接A′B，交直线y＝x 于点M，此时，MA+MB＝MA′+MB＝A′B，∴A′B是MA+MB的最小值，设直线A′B的解析式为y＝mx+b，则，解得，∴直线A′B的解析式为y＝x+，由，解得，∴点M的坐标为（，）．24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（I）过点D作DG⊥x轴于G，由旋转的性质得出AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，由直角三角形的性质得出DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，得出OG＝OA﹣AG＝6﹣3，即可得出点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，则GA＝DH，HA＝DG，由勾股定理得出AE＝＝＝10，由面积法求出DH＝，得出OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝，由勾股定理得出DG＝，即可得出点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，由旋转的性质得出∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠ADO，得出∠DAE＝∠ADO，证出AE∥OC，由平行线的性质的∠GAE＝∠AOD，证出∠DAE＝∠GAE，证明△AEG≌△AED（AAS），得出AG＝AD＝6，EG＝ED ＝8，得出OG＝OA+AG＝12，即可得出答案．【解答】解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．25．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（x D，y D）为抛物线上一个动点，其中1＜x D＜3．连接AC，BC，DB，DC．（I）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由待定系数法可求解析式；（Ⅱ）先求出直线BC解析式，再求出DE的长，由三角形的面积关系可求解；（Ⅲ）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）如图，过点D作DH⊥x轴，与直线BC交于点E，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，与y轴交于点C，∴点C（0，3），∴OC＝3，∴S△AOC＝×1×3＝，∵点B（3，0），点C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，∵点D（x D，y D），∴点E（x D，﹣x D+3），y D＝﹣x D2+2x D+3，∴DE＝﹣x D2+2x D+3﹣（﹣x D+3）＝﹣x D2+3x D，∵△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍∴S△BCD＝3＝×DE×3，∴2＝﹣x D2+3x D，∴x D＝1（舍去），x D＝2，∴点D坐标（2，3）；（Ⅲ）设点M（m，0），点N（x，y）当BD为边，四边形BDNM是平行四边形，∴BN与DM互相平分，∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴，∴m＝1，当BD为边，四边形BDMN是平行四边形，∴BM与DN互相平分，∴，∴y＝﹣3，∴﹣3＝﹣x2+2x+3∴x＝1±，∴∴m＝±，当BD为对角线，∴BD中点坐标（，），∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴m＝5，综上所述点M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．。

2018-2019学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(有答案和解析)

2018-2019学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(有答案和解析)

2018-2019学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的个源项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是必然事件B．“从一个装有6个红球的不透明的袋中摸出一个球是红球”是随机事件C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2：1B．3：1C．4：3D．3：24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM＝DM B．＝C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD5．若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为（）A．3B．3C．6D．66．如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（）A．4B．5C．6D．77．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°9．若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x110．已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（）A．25cm2B．50cm2C．100cm2D．不确定11．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A．2B．2C．D．212．二次函数y＝ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．9二、填空题（本大题共名小题，每小题3分，共18分）13．已知y＝x m﹣1，若y是x的反比例函数，则m的值为．14．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．15．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为．16．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE 的长为．17．二次函数y＝ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是．18．如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC的长为，CD的长．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、滨其步成推理过程）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（I）当m＝0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．20．（8分）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．21．（10分）已知直线y＝﹣2x+1与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k为常数）的图象有一个交点B的纵坐标是5．（Ⅰ）求反比例函数的解析式，并说明其图象所在的象限；（Ⅱ）当2＜x＜5时，求反比例函数的函数值y的取值范围；（Ⅲ）求△AOB的面积S．22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O经过点A，B，与BC交于点D，连接AD．（Ⅰ）如图①．若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．（Ⅱ）如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣，0），点B（0，1）把△ABO绕点O 顺时针旋转，得△A'B'O，点A，B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）如图①，当点A′，B，B′共线时，求AA′的长．（Ⅱ）如图②，当α＝90°，求直线AB与A′B′的交点C的坐标；（Ⅲ）当点A′在直线AB上时，求BB′与OA′的交点D的坐标（直接写出结果即可）25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．2018-2019学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的个源项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是随机事件，A错误；“一个不透明的袋中装有6个红球，从中摸出1个球是红球”是必然事件，B错误；“概率为0.0001的事件”是随机事件，C错误；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，∴，故选：A．【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边之比即是相似比解答．4．【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM＝DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；B为的中点，即＝，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D．【点评】此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．5．【分析】作OE⊥AD于E，连接OD，在Rt△ADE中，根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：作OE⊥AD于E，连接OD，则AE＝DE＝3，OE＝3．在Rt△ADE中，OD＝＝3．故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．【分析】根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴＝，∵AB＝6，CD＝9，AD＝10，∴＝，∴OD＝6，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．【分析】利用弧长公式可得．【解答】解：＝．故选：D．【点评】此题主要是利用弧长公式进行计算，学生要牢记公式．8．【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．故选：C．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．9．【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．【解答】解：∵反比例函数y＝（m为常数），m2+1＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，﹣6＜﹣2＜0＜2，∴x2＜x1＜x3，故选：B．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．设一条直角边为x，则另一条为（20﹣x），则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可．【解答】解：设一条直角边为x，则另一条为（20﹣x），∴S＝x（20﹣x）＝﹣（x﹣10）2+50，∵∴即当x＝10时，S＝×10×10＝50cm2．最大故选：B．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．11．【分析】作辅助线，连接OC与OE．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF∥AB，可知OC⊥EF，最后由勾股定理可将EF的长求出．【解答】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．∵∠EDC＝30°，∴∠COE＝60°．∵AB与⊙O相切，∴OC⊥AB，又∵EF∥AB，∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．在Rt△EOM中，EM＝sin60°×OE＝×2＝，∵EF＝2EM，∴EF＝．故选：B．【点评】本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．12．【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0，＝﹣3，即b2＝12a，∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3．（法2）一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，可以理解为y＝ax2+bx和y＝﹣m有交点，可见﹣m≥﹣3，∴m≤3，∴m的最大值为3．故选：B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．二、填空题（本大题共名小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据反比例函数的一般式是（k≠0）或y＝kx﹣1（k≠0），即可求解．【解答】解：∵y＝x m﹣1是反比例函数，∴m﹣1＝﹣1，解得m＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．14．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．15．【分析】先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．【解答】解：x2﹣3x﹣10＝0，（x﹣5）（x+2）＝0，即x﹣5＝0或x+2＝0，∴x1＝5，x2＝﹣2．因为方程x2﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，所以等边三角形的边长为5．所以该三角形的周长为：5×3＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．16．【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵AD＝3，DB＝2，∴AB＝AD+DB＝5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD＝3，AB＝5，BC＝6，∴，∴DE＝3.6．故答案为：3.6．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．17．【分析】根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．【解答】解：由题意得，＝3，整理得，a2﹣3a﹣4＝0，解得a1＝4，a2＝﹣1，∵二次函数有最大值，∴a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．18．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理可计算出BC，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据角平分线定义得∠ACD＝∠BCD，则AD＝BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出BD，作BH⊥CD于H，如图，证明△BCH 为等腰直角三角形得到BH＝CH＝BC＝4，再利用勾股定理计算出DH＝3，从而计算CH+DH即可．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝5；作BH⊥CD于H，如图，∵∠BCH＝45°，∴△BCH为等腰直角三角形，∴BH＝CH＝BC＝4，在Rt△BDH中，DH＝＝3，∴CD＝CH+DH＝4+3＝7，故答案为：8，7．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．考查了等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、滨其步成推理过程）19．【分析】（Ⅰ）令m＝0，用公式法求出一元二次方程的根即可；（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．∴x＝，∴x1＝，x2＝．（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）＝1﹣4m+4＝5﹣4m＞0∵5﹣4m＞0∴m＜．【点评】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac．20．【分析】（Ⅰ）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．（Ⅱ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．（Ⅲ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）画树状图得：（Ⅱ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，∴两次取出的小球标号相同的概率为＝；（Ⅲ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（Ⅰ）依据一次函数，求得B（﹣2，5），代入反比例函数y＝，可得反比例函数的解析式；（Ⅱ）依据当x＝2时，y＝﹣5；当x＝5时，y＝﹣2，即可得到函数值y的取值范围为﹣5＜y＜﹣2；（Ⅲ）依据一次函数，即可得到A（0，1），进而得到△AOB的面积．【解答】解：（Ⅰ）在y＝﹣2x+1中，令y＝5，则x＝﹣2，∴B（﹣2，5），代入反比例函数y＝，可得k＝﹣2×5＝﹣10，∴反比例函数的解析式为，其图象在第二四象限；（Ⅱ）当2＜x＜5时，反比例函数的函数值随着x的增大而增大，当x＝2时，y＝﹣5；当x＝5时，y＝﹣2，∴函数值y的取值范围为﹣5＜y＜﹣2；（Ⅲ）当x＝0时，y＝﹣2x+1＝1，∴A（0，1），∴OA＝1，∴S＝OA•|x B|＝×1×2＝1．△AOB【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的综合运用，主要考查学生能否熟练的运用这些性质进行计算和推理，通过做此题培养了学生的计算能力．22．【分析】（Ⅰ）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE；（Ⅱ）由△ABD≌△BCE得∠BAD＝∠CBE，又∠ABC＝∠BAC，可证∠ABE＝∠EAF，又∠AEF ＝∠BEA，由此可以证明△AEF∽△BEA；（Ⅲ）根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，在△ABD与△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，又∵∠ABC＝∠BAC，∴∠ABE＝∠EAF，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA；（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，∴△ABD∽△BDF，∴，∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，∴BD＝2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，有一定的综合性．23．【分析】（Ⅰ）连接BE，根据三角形内角和可求∠BAC的度数，由圆周角定理可得∠AEB＝90°，即可求∠ABE＝∠ADE＝15°；（Ⅱ）连接OA，OD，由切线的性质可得∠OAC＝90°，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠AOD＝90°，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠DAC＝45°，根据三角形内角和可求∠ADC的度数．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接BE∵∠ABC＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝75°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠AEB﹣∠BAC＝15°，∵∠ABE＝∠ADE，∴∠ADE＝15°，（Ⅱ）连接OA，OD，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵∠ABC＝45°∴∠AOD＝90°，且OA＝OD∴∠OAD＝45°∴∠DAC＝∠OAC﹣∠DAO＝45°，且∠C＝60°∴∠ADC＝75°【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．24．【分析】（Ⅰ）如图①，只要证明△AOA′是等边三角形即可；（Ⅱ）如图②，当α＝90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．解直角三角形求出BH，CH 即可解决问题；（Ⅲ）如图③，设A′B′交x轴于点K．首先证明A′B′⊥x轴，求出OK，A′K即可解决问题；【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，∵△A′OB′是由△AOB旋转得到，∴∠B′＝∠ABO＝60°，OB＝OB′，OA＝OA′，∴∠OBB′＝60°，∴∠BOB′＝α＝∠AOA′＝60°，∴△AOA′是等边三角形，∴AA′＝OA＝．（Ⅱ）如图②，当α＝90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．∵∠A′B′O＝60°，∠CAB′＝30°，∴∠ACB′＝90°，∵A′B＝OA′﹣OB＝﹣1，∠BA′C＝30°，∴BC＝A′B＝，∵∠HBC＝60°，∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，∴OH＝1+BH＝，∴点C的坐标（，）．（Ⅲ）如图③中，设A′B′交x轴于点K．当A′在AB上时，∵OA＝OA′，∴∠OAA ′＝∠AA ′O ＝30°，∵∠OA ′B ′＝30°，∴∠AA ′K ＝60°，∴∠AKA ′＝90°，∵OA ′＝，∠OA ′K ＝30°，∴OK ＝OA ′＝，A ′K ＝OK ＝， ∴A ′（，）．【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m 、n 的值即可；（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD 的值，再以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1，以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 2，P 3，作CE 垂直于对称轴与点E ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）先求出BC 的解析式，设出E 点的坐标为（a ，﹣ a +2），就可以表示出F 的坐标，由四边形CDBF 的面积＝S △BCD +S △CEF +S △BEF 求出S 与a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 经过A （﹣1，0），C （0，2）． 解得：，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+x +2；（2）∵y ＝﹣x 2+x +2，∴y ＝﹣（x ﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x ＝．∴OD ＝．∵C （0，2），∴OC ＝2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD ＝．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1＝DP 2＝DP 3＝CD ．作CM ⊥x 对称轴于M ，∴MP 1＝MD ＝2，∴DP 1＝4．∴P 1（，4），P 2（，），P 3（，﹣）；（3）当y ＝0时，0＝﹣x 2+x +2∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0）． 设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，由图象，得，解得：，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +2．如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣ a +2），F （a ，﹣ a 2+a +2）， ∴EF ＝﹣a 2+a +2﹣（﹣a +2）＝﹣a 2+2a （0≤a ≤4）．∵S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF ＝BD •OC +EF •CM +EF •BN ，＝+a （﹣a 2+2a ）+（4﹣a ）（﹣a 2+2a ），＝﹣a 2+4a +（0≤a ≤4）．＝﹣（a ﹣2）2+ ∴a ＝2时，S 四边形CDBF 的面积最大＝， ∴E （2，1）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。

天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷

天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列说法正确的是（）A. “打开电视机，正在播《都市报道60分》”是必然事件B. “从一个装有6个红球的不透明的袋中摸出一个球是红球”是随机事件C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A. 2：1B. 3：1C. 4：3D. 3：24.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A. CM=DMB. CB=DBC. ∠ACD=∠ADCD. OM=MD5.若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为（）A. 3B. 32C. 6D. 626.如图，AB∥CD，AB=6，CD=9，AD=10，则OD的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 77.在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A. 154πB. 152πC. 54πD. 52π8.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A. 20∘B. 25∘C. 40∘D. 50∘9.若点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，2）在反比例函数y=m2+1x（m为常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A. x1<x2<x3B. x2<x1<x3C. x2<x3<x1D. x3<x2<x110.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（）A. 25cm2B. 50cm2C. 100cm2D. 不确定11.如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A. 2B. 23C. 3D. 2212.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A. −3B. 3C. −6D. 9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知y=x m-1，若y是x的反比例函数，则m的值为______．14.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______．15.一个等边三角形边长的数值是方程x2-3x-10=0的根，那么这个三角形的周长为______．16.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为______．17.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是______．18.如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC的长为______，CD的长______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.已知关于x的一元二次方程x2+x+m-1=0．（I）当m=0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．20.一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．21.已知直线y=-2x+1与y轴交于点A，与反比例函数y=kx（k为常数）的图象有一个交点B的纵坐标是5．（Ⅰ）求反比例函数的解析式，并说明其图象所在的象限；（Ⅱ）当2＜x＜5时，求反比例函数的函数值y的取值范围；（Ⅲ）求△AOB的面积S．22.如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；（Ⅲ）若AF=7，DF=1，求BD的长．23.在△ABC中，∠ABC=45°，∠C=60°，⊙O经过点A，B，与BC交于点D，连接AD．（Ⅰ）如图①．若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．（Ⅱ）如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-3，0），点B（0，1）把△ABO绕点O顺时针旋转，得△A'B'O，点A，B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）如图①，当点A′，B，B′共线时，求AA′的长．（Ⅱ）如图②，当α=90°，求直线AB与A′B′的交点C的坐标；（Ⅲ）当点A′在直线AB上时，求BB′与OA′的交点D的坐标（直接写出结果即可）25.如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是随机事件，A错误；“一个不透明的袋中装有6个红球，从中摸出1个球是红球”是必然事件，B错误；“概率为0.0001的事件”是随机事件，C错误；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D正确，故选D．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】A【解析】解：∵以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，∴，故选：A．根据相似三角形的性质解答即可．此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边之比即是相似比解答．4.【答案】D【解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D．由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：作OE⊥AD于E，连接OD，则AE=DE=3，OE=3．在Rt△ADE中，OD==3．故选：B．作OE⊥AD于E，连接OD，在Rt△ADE中，根据垂径定理和勾股定理即可求解．此题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6.【答案】C【解析】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴=，∵AB=6，CD=9，AD=10，∴=，∴OD=6，故选：C．根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：=．故选：D．利用弧长公式可得．此题主要是利用弧长公式进行计算，学生要牢记公式．8.【答案】C【解析】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．故选：C．连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．9.【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=（m为常数），m2+1＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，2）在反比例函数y=（m为常数）的图象上，-6＜-2＜0＜2，∴x2＜x1＜x3，故选：B．根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10.【答案】B【解析】解：设一条直角边为x，则另一条为（20-x），∴S=x（20-x）=-（x-10）2+50，∵∴即当x=10时，S=×10×10=50cm2．最大故选：B．本题考查二次函数最大（小）值的求法．设一条直角边为x，则另一条为（20-x），则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．11.【答案】B【解析】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．∵∠EDC=30°，∴∠COE=60°．∵AB与⊙O相切，∴OC⊥AB，又∵EF∥AB，∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=×2=，∵EF=2EM，∴EF=．故选：B．作辅助线，连接OC与OE．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF∥AB，可知OC⊥EF，最后由勾股定理可将EF的长求出．本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．12.【答案】B【解析】解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，∴a＞0，=-3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3．（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点，可见-m≥-3，∴m≤3，∴m的最大值为3．故选：B．先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．13.【答案】0【解析】解：∵y=x m-1是反比例函数，∴m-1=-1，解得m=0．故答案为：0．根据反比例函数的一般式是（k≠0）或y=kx-1（k≠0），即可求解．本题考查了反比例函数的一般形式（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．14.【答案】37【解析】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15.【答案】15【解析】解：x2-3x-10=0，（x-5）（x+2）=0，即x-5=0或x+2=0，∴x1=5，x2=-2．因为方程x2-3x-10=0的根是等边三角形的边长，所以等边三角形的边长为5．所以该三角形的周长为：5×3=15．故答案为：15．先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．16.【答案】3.6【解析】解：∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=3，AB=5，BC=6，∴，∴DE=3.6．故答案为：3.6．根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．17.【答案】-1【解析】解：由题意得，=3，整理得，a2-3a-4=0，解得a1=4，a2=-1，∵二次函数有最大值，∴a＜0，∴a=-1．故答案为：-1．根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．18.【答案】8 72【解析】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，∴BC==8；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=AB=5；作BH⊥CD于H，如图，∵∠BCH=45°，∴△BCH为等腰直角三角形，∴BH=CH=BC=4，在Rt△BDH中，DH==3，∴CD=CH+DH=4+3=7，故答案为：8，7．根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出BD，作BH⊥CD于H，如图，证明△BCH为等腰直角三角形得到BH=CH= BC=4，再利用勾股定理计算出DH=3，从而计算CH+DH即可．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．考查了等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．19.【答案】解：（Ⅰ）当m=0时，方程为x2+x-1=0．△=12-4×1×（-1）=5＞0．∴x=−1±52×1，∴x1=−1+52，x2=−1−52．（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0即（-1）2-4×1×（m-1）=1-4m+4=5-4m＞0∵5-4m＞0∴m＜54．【解析】（Ⅰ）令m=0，用公式法求出一元二次方程的根即可；（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2-4ac．20.【答案】解：（Ⅰ）画树状图得：（Ⅱ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有4种情况，∴两次取出的小球标号相同的概率为416=14；（Ⅲ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为316．【解析】（Ⅰ）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．（Ⅱ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．（Ⅲ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：（Ⅰ）在y=-2x+1中，令y=5，则x=-2，∴B（-2，5），代入反比例函数y=kx，可得k=-2×5=-10，∴反比例函数的解析式为y=−10x，其图象在第二四象限；（Ⅱ）当2＜x＜5时，反比例函数的函数值随着x的增大而增大，当x=2时，y=-5；当x=5时，y=-2，∴函数值y的取值范围为-5＜y＜-2；（Ⅲ）当x=0时，y=-2x+1=1，∴A（0，1），∴OA=1，∴S△AOB=12OA•|x B|=12×1×2=1．【解析】（Ⅰ）依据一次函数，求得B（-2，5），代入反比例函数y=，可得反比例函数的解析式；（Ⅱ）依据当x=2时，y=-5；当x=5时，y=-2，即可得到函数值y的取值范围为-5＜y＜-2；（Ⅲ）依据一次函数，即可得到A（0，1），进而得到△AOB的面积．本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的综合运用，主要考查学生能否熟练的运用这些性质进行计算和推理，通过做此题培养了学生的计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，在△ABD与△BCE中AB=BC∠ABC=∠BAC=∠C=60°BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（Ⅱ）由（1）得：∠BAD=∠CBE，又∵∠ABC=∠BAC，∴∠ABE=∠EAF，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA；（Ⅲ）∵∠BAD=∠CBE，∠BDA=∠FDB，∴△ABD∽△BDF，∴ADBD=BDDF，∴BD2=AD•DF=（AF+DF）•DF=8，∴BD=22．【解析】（Ⅰ）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE；（Ⅱ）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可证∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以证明△AEF∽△BEA；（Ⅲ）根据相似三角形的性质解答即可．本题考查相似三角形的判定和性质，关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，有一定的综合性．23.【答案】解：（Ⅰ）如图，连接BE∵∠ABC=45°，∠C=60°，∴∠BAC=75°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=∠AEB-∠BAC=15°，∵∠ABE=∠ADE，（Ⅱ）连接OA，OD，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵∠ABC=45°∴∠AOD=90°，且OA=OD∴∠OAD=45°∴∠DAC=∠OAC-∠DAO=45°，且∠C=60°∴∠ADC=75°【解析】（Ⅰ）连接BE，根据三角形内角和可求∠BAC的度数，由圆周角定理可得∠AEB=90°，即可求∠ABE=∠ADE=15°；（Ⅱ）连接OA，OD，由切线的性质可得∠OAC=90°，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠AOD=90°，由等腰三角形的性质可求∠OAD=∠DAC=45°，根据三角形内角和可求∠ADC的度数．本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．24.【答案】解：（Ⅰ）如图①，∵A（-3，0），B（0，1），∴OA=3，OB=1，∴tan∠BAO=OBOA=33，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，∵△A′OB′是由△AOB旋转得到，∴∠B′=∠ABO=60°，OB=OB′，OA=OA′，∴∠OBB′=60°，∴∠BOB′=α=∠AOA′=60°，∴△AOA′是等边三角形，（Ⅱ）如图②，当α=90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．∵∠A′B′O=60°，∠CAB′=30°，∴∠ACB′=90°，∵A′B=OA′-OB=3-1，∠BA′C=30°，∴BC=12A′B=3−12，∵∠HBC=60°，∴BH=12BC=3−14，CH=3BH=3−34，∴OH=1+BH=3+34，∴点C的坐标（3−34，3+34）．（Ⅲ）如图③中，设A′B′交x轴于点K．当A′在AB上时，∵OA=OA′，∴∠OAA′=∠AA′O=30°，∵∠OA′B′=30°，∴∠AA′K=60°，∴∠AKA′=90°，∵OA′=3，∠OA′K=30°，∴OK=12OA′=32，A′K=3OK=32，∴A′（32，32）．【解析】（Ⅰ）如图①，只要证明△AOA′是等边三角形即可；（Ⅱ）如图②，当α=90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题；（Ⅲ）如图③，设A′B′交x轴于点K．首先证明A′B′⊥x轴，求出OK，A′K即可解决问题；本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：（1）∵抛物线y=-12x2+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．解得：m=32n=2，∴抛物线的解析式为：y=-12x2+32x+2；（2）∵y=-12x2+32x+2，∴y=-12（x-32）2+258，∴抛物线的对称轴是x=32．∴OD=32．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=52．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．作CM⊥x对称轴于M，∴MP1=MD=2，∴DP1=4．∴P1（32，4），P2（32，52），P3（32，-52）；（3）当y=0时，0=-12x2+32x+2∴x1=-1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得2=b0=4k+b，解得：k=−12b=2，∴直线BC的解析式为：y=-12x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-12a+2），F（a，-12a2+32a+2），∴EF=-12a2+32a+2-（-12a+2）=-12a2+2a（0≤a≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=12BD•OC+12EF•CM+12EF•BN，=12×52×2+12a（-12a2+2a）+12（4-a）（-12a2+2a），=-a2+4a+52（0≤a≤4）．=-（a-2）2+132∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=132，∴E（2，1）．【解析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，-a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。

天津市红桥区九年级上册期末数学试卷(有答案)

天津市红桥区九年级上册期末数学试卷(有答案)

天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3﹣1 B．y=3﹣2﹣3 C．y=（+1）2﹣2D．y=32﹣12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．123．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=3（﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）对于双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜17．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．28．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75° B．65°C．60°D．50°9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55° B．60°C．65°D．70°10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150° D．160°11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．2212．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C 在轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则的值为（）A．16 B．C．D．9二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，那么m的取值范围是．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（为常数，≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则=．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时的取值范围；（Ⅲ）动点P（，0）在轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P 的坐标．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3﹣1 B．y=3﹣2﹣3 C．y=（+1）2﹣2D．y=32﹣1【解答】解：二次函数的一般式是：y=a2+b+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y=2+2+1﹣2=2﹣1，故C错误；故选（D）2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵DE∥BC，∴即解得：EC=6．故选B．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）抛物线y=3（﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．6．（3分）对于双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1【解答】解：∵双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得：m＜1．故选D．7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．2【解答】解：如图OA=2，求AB长．∠AOB=360°÷3=120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA=OB，∴AB=2AC，∠AOC=60°，∴AC=OA×sin60°=cm，∴AB=2AC=2cm，故选A．8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75° B．65°C．60°D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选B．9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55° B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150° D．160°【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，∴∠1=∠BED′=110°．11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C．12．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C 在轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则的值为（）A．16 B．C．D．9【解答】解：连DC，如图，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点，∴BD=OD=b，=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，∴ab=，把A（a，b）代入双曲线y=，∴=ab=．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（为常数，≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则=﹣2．【解答】解：依据比例系数的几何意义可得两个三角形的面积都等于||=1，解得=﹣2，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=8.5．【解答】解：∵AD=3，DC=4，∴AC=AD+DC=3+4=7，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得AB=10.5，∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．故答案为：8.5．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10．【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，故答案为：10．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．【解答】解：画出树状图说明评委给出A选手的所有可能结果：由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，故答案为：．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴=，即=，解得，CE=，故答案为：．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是3．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．故答案为3．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为4．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（+4）（﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a=，则抛物线解析式为y=（+4）（﹣2）=2+﹣4；过M作MN⊥轴，设M的横坐标为m，则M（m，m2+m﹣4），∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN +S梯形MNOB﹣S△AOB=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4=2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．故答案为4．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．【解答】解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．22．（10分）如图，已知点A （1，a ）是反比例函数y 1=的图象上一点，直线y 2=﹣与反比例函数y 1=的图象的交点为点B 、D ，且B （3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D 坐标，并直接写出y 1＞y 2时的取值范围；（Ⅲ）动点P （，0）在轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵点B （3，﹣1）在y 1=图象上，∴=﹣1，∴m=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（Ⅱ）∴﹣=﹣+，即2﹣﹣6=0，则（﹣3）（+2）=0，解得：1=3、2=﹣2，当=﹣2时，y=，∴D （﹣2，）；结合函数图象知y 1＞y 2时﹣2＜＜0或＞3；（Ⅲ）∵点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点∴a=﹣3∴A（1，﹣3）设直线AB为y=+b，则∴，∴直线AB解析式为y=﹣4令y=0，则=4∴P（4，0）．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA，又∵∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE；（Ⅱ）解：∵△ABC∽△DAE，∴=，∵AB=8，AD=6，AE=4，∴=，∴BC=．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=∵CE，CB为⊙O切线，∴CB=CE=，∵DE，DA为⊙O切线，∴DE=DA=1，∴DC=+1，∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°∴四边形ADFB为矩形，∴DF=AB=4 BF=AD=1，∴FC=﹣1，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（+1）2﹣（﹣1）2=16，解得：=4，∴CE=4．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（+1）（﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（+1）（﹣3），即y=2﹣2﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线=1，设E（t，t2﹣2t﹣3），当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+（舍去），t2=2﹣（舍去）；当1＜t＜3时，如图2，EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣5=0，解得t1=，t2=﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2﹣2；当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+，t2=2﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2+2，综上所述，正方形EFGH的边长为2﹣2或2+2；（3）设P（，2﹣2﹣3），当﹣1＜＜0时，=×4×3=6，∵S△ABC＜6，∴0＜S△APC当0＜＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，易得直线AC的解析式为y=﹣3，则M（，﹣3），∴PM=﹣3﹣（2﹣2﹣3）=﹣2+3，=•3•（﹣2+3）∴S△APC=﹣2+=﹣（﹣）2+，当=时，S△APC的面积的最大值为，即0＜S＜，△APC综上所述，0＜S＜6，△APC∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．。

2019-2020学年天津市红桥区九年级上期末数学测试卷(含答案)

2019-2020学年天津市红桥区九年级上期末数学测试卷(含答案)

天津市红桥区九年级（上）期末检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．123．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜17．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．28．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．2212．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A．16 B．C．D．9二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x 轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k= ．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= ．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．20．（3分）已知抛物线经过A （﹣4，0）、B （0，﹣4）、C （2，0）三点，若点M 为第三象限内抛物线上一动点，△AMB 的面积为S ，则S 的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局． （1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平．22．（10分）如图，已知点A （1，a ）是反比例函数y 1=的图象上一点，直线y 2=﹣与反比例函数y 1=的图象的交点为点B 、D ，且B （3，﹣1），求： （Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D 坐标，并直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围；（Ⅲ）动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣1【解答】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y=x2+2x+1﹣x2=2x﹣1，故C错误；故选（D）2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵DE∥BC，∴即解得：EC=6．故选B．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（x﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得：m＜1．故选D．7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2B．C．3 D．2【解答】解：如图OA=2，求AB长．∠AOB=360°÷3=120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA=OB，∴AB=2AC，∠AOC=60°，∴AC=OA×sin60°=cm，∴AB=2AC=2cm，故选A．8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选B．9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，∴∠1=∠BED′=110°．11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE ，DE=DB ， ∴△PCD 的周长是PC+CD+PD =PC+AC+DB+PD =PA+PB =10+10 =20． 故选C ．12．（3分）如图，点A 在双曲线的第一象限的那一支上，AB 垂直于y 轴于点B ，点C 在x轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC 上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．16B ．C ．D ．9【解答】解：连DC ，如图， ∵AE=3EC ，△ADE 的面积为3， ∴△CDE 的面积为1， ∴△ADC 的面积为4，设A 点坐标为（a ，b ），则AB=a ，OC=2AB=2a ， 而点D 为OB 的中点，∴BD=OD=b ，∵S 梯形OBAC =S △ABD +S △ADC +S △ODC ，∴（a+2a ）×b=a ×b+4+×2a ×b ，∴ab=，把A （a ，b ）代入双曲线y=，∴k=ab=．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1 ．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x 轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k= ﹣2 ．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|=1，解得k=﹣2，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= 8.5 ．【解答】解：∵AD=3，DC=4，∴AC=AD+DC=3+4=7，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得AB=10.5，∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．故答案为：8.5．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10 ．【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，故答案为：10．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．【解答】解：画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，故答案为：．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴=，即=，解得，CE=，故答案为：．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是 3 ．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SA S），∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．故答案为3．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为 4 ．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a=，则抛物线解析式为y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣4；过M作MN⊥x轴，设M的横坐标为m，则M（m， m2+m﹣4），∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN +S梯形MNOB﹣S△AOB=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4=2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．故答案为4．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．【解答】解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P （甲获胜）==，P （乙获胜）=，P （甲获胜）＞P （乙获胜）， 所以游戏不公平．22．（10分）如图，已知点A （1，a ）是反比例函数y 1=的图象上一点，直线y 2=﹣与反比例函数y 1=的图象的交点为点B 、D ，且B （3，﹣1），求： （Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D 坐标，并直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围；（Ⅲ）动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵点B （3，﹣1）在y 1=图象上，∴=﹣1， ∴m=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（Ⅱ）∴﹣=﹣x+，即x 2﹣x ﹣6=0， 则（x ﹣3）（x+2）=0，解得：x 1=3、x 2=﹣2，当x=﹣2时，y=，∴D （﹣2，）；结合函数图象知y 1＞y 2时﹣2＜x ＜0或x ＞3；（Ⅲ）∵点A （1，a ）是反比例函数y=﹣的图象上一点 ∴a=﹣3 ∴A （1，﹣3） 设直线AB 为y=kx+b ，则∴，∴直线AB 解析式为y=x ﹣4 令y=0，则x=4 ∴P （4，0）．23．（10分）已知：如图，D 是AC 上一点，DE ∥AB ，∠B=∠DAE ． （Ⅰ）求证：△ABC ∽△DAE ；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC 的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE ∥AB ， ∴∠CAB=∠EDA ， 又∵∠B=∠DAE ， ∴△ABC ∽△DAE ；（Ⅱ）解：∵△ABC ∽△DAE ，∴=，∵AB=8，AD=6，A E=4，∴=，∴BC=．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=x∵CE，CB为⊙O切线，∴CB=CE=x，∵DE，DA为⊙O切线，∴DE=DA=1，∴DC=x+1，∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°∴四边形ADFB为矩形，∴DF=AB=4 BF=AD=1，∴FC=x﹣1，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，解得：x=4，∴CE=4．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AM N=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P 点是x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的取值范围，若△PAC 面积为整数时，这样的△PAC 有几个？【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），把C （0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x ﹣3），即y=x 2﹣2x ﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3），当0＜t ＜1时，如图1，EF=2（1﹣t ），EH=﹣（t 2﹣2t ﹣3），∵矩形EFGH 为正方形，∴EF=EH ，即2（1﹣t ）=﹣（t 2﹣2t ﹣3），整理得t 2﹣4t ﹣1=0，解得t 1=2+（舍去），t 2=2﹣（舍去）；当1＜t ＜3时，如图2，EF=2（t ﹣1），EH=﹣（t 2﹣2t ﹣3），∵矩形EFGH 为正方形，∴EF=EH ，即2（t ﹣1）=﹣（t 2﹣2t ﹣3），整理得t 2﹣5=0，解得t 1=，t 2=﹣（舍去），此时正方形EFGH 的边长为2﹣2； 当t ＞3时，EF=2（t ﹣1），EH=t 2﹣2t ﹣3，∵矩形EFGH 为正方形，∴EF=EH ，即2（t ﹣1）=t 2﹣2t ﹣3，整理得t 2﹣4t ﹣1=0，解得t 1=2+，t 2=2﹣（舍去），此时正方形EFGH 的边长为2+2，综上所述，正方形EFGH 的边长为2﹣2或2+2； （3）设P （x ，x 2﹣2x ﹣3），当﹣1＜x ＜0时，=×4×3=6，∵S△ABC＜6，∴0＜S△APC当0＜x＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，易得直线AC的解析式为y=x﹣3，则M（x，x﹣3），∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，=•3•（﹣x2+3x）∴S△APC=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，＜，当x=时，S△APC的面积的最大值为，即0＜S△APC综上所述，0＜S＜6，△APC∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．。

2023-2024学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+x﹣2m＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．13．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17 4．（3分）一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是随机事件的是（）A．摸出的3个球颜色相同B．摸出的3个球中有1个白球C．摸出的3个球颜色不同D．摸出的3个球中至少有1个白球5．（3分）方程2x2+3x﹣2＝0的两个根为（）A．B．C．D．6．（3分）抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣5）D．（﹣2，﹣5）7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝41°，则∠BCD的大小为（）A．41°B．45°C．49°D．59°8．（3分）若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（）A．，B．C．D．1，29．（3分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝﹣x2+x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2 11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E．当点D落在边BC上时，DE交AC于点F，若∠BAD＝40°，则∠AFE的大小为（）A．80°B．85°C．90°D．95°12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y 均为正数，则a的取值范围为（）A．0＜a＜1B．a＜﹣1或a＞3C．﹣3＜a＜0或0＜a＜3D．﹣1≤a＜0或0＜a＜3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）7张相同的卡片上分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，则抽取的卡片上的数字是负数的概率为．14．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+2的最小值是．15．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有实数根，则m的最小值为．16．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程2x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x2＝2x1，则m的值为．17．（3分）如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点．（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过A，B两点的圆的圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解一元二次方程：2x2﹣3x﹣2＝x+1．20．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求下列事件的概率：（Ⅰ）两次取出的小球的标号相同；（Ⅱ）两次取出的小球标号的和小于5．21．（10分）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC；（Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若AB＝2，∠C＝30°，求DE的长．23．（10分）小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小红在点A（6，1）处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2（a为常数，a≠0）的一部分，小琪恰在点B（0，c）处接住沙包，然后跳起在点C处将沙包回传，其运动的路线为抛物线C2：y＝﹣x+2（n为常数）的一部分．（Ⅰ）写出抛物线C1的顶点坐标，并求出a，c的值；（Ⅱ）若小红在y轴右侧、距离y轴6m的位置上，且与点A的垂直距离小于m的范围内可以接到回传的沙包，求n的整数值；（Ⅲ）若小红在x轴上方、距离x轴1m的高度上，且与点A的水平距离不超过1m的范围内可以接到回传的沙包，求n的整数值（直接写出结果即可）．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，点C在y的正半轴上，且∠OCB＝60°，以点C为中心，顺时针旋转△OBC，得△O′B′C，点B，O的对应点分别为B′，O′，记旋转角为α，其中0°≤α＜360°．（Ⅰ）如图①，当α＝60°时，求点B′，O′的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝90°时，O′B′分别与AC，AO相交于点D，E，CB′与AO相交于点F，求此时△O′B′C与△AOC重叠部分的面积S；（Ⅲ）连接AB′，设线段AB′的中点为M，求点M的纵坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+6（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴相交于点C，点D为线段BC上的一个动点．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△AOD的周长最小时，求点D的坐标；（Ⅲ）过点D作DP∥AC，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接PA，PB，记△PAD与PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．2023-2024学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合．逐一进行判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．2．【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+1﹣2m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+x﹣2m＝0得1+1﹣2m＝0，解得m＝1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．4．【分析】根据随机事件，不可能事件，确定事件的定义结合具体问题情境进行判断即可．【解答】解：A．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球颜色相同是不可能事件，因此选项A不符合题意；B．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球中有1个白球是随机事件，因此选项B符合题意；C．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球颜色不同是确定事件，因此选项C不符合题意；D．从2个黑球和2个白球中任意摸出3个球，摸出的3个球中至少有1个白球是确定事件，因此选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查随机事件，不可能事件，确定事件，掌握随机事件，不可能事件，确定事件的定义是正确判断的前提．5．【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：2x2+3x﹣2＝0，（x+2）（2x﹣1）＝0，x+2＝0或2x﹣1＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．6．【分析】把解析式化成顶点式即可求得抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标是（2，﹣5）．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是把解析式化成顶点式．7．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝41°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝49°；∴∠BCD＝∠BAD＝49°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．【分析】设等边三角形ABC的中心为O，AB＝BC＝AC＝2，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点E，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AO⊥BC，所以OA为△ABC外接圆的半径，OE为△AOB内切圆的半径，可求得BE＝CE＝BC＝，则AE＝＝3，再证明∠OBE＝∠OCE＝30°，则OE＝OB＝OA，所以OE ＝AE＝1，OA＝AE＝2，于是得到问题的答案．【解答】解：如图，设等边三角形ABC的中心为O，AB＝BC＝AC＝2，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于点E，则OB＝OC＝OA，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AO⊥BC，∴OA为△ABC外接圆的半径，OE为△AOB内切圆的半径，∠AEB＝90°，∵BE＝CE＝BC＝，∴AE＝＝＝3，∴∠BOC＝×180°＝120°，∴∠OBE＝∠OCE＝×（180°﹣120°）＝30°，∴OE＝OB＝OA，∴OE＝AE＝×3＝1，OA＝AE＝×3＝2，∴△ABC内切圆与外接圆的半径分别为1和2，故选：D．【点评】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．【解答】解：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝﹣x2+x+1的图象上，∴点A到对称轴的距离最大，点C到对称轴的距离最小，∴y1＜y2＜y3．故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．11．【分析】由∠BAC＝55°，∠BAD＝40°，求得∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝15°，由旋转得AD＝AB，则∠B＝∠ADB＝70°，所以∠ADE＝∠B＝70°，则∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝85°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠BAC＝55°，∠BAD＝40°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°，由旋转得AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠ADE＝∠B＝70°，∴∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝15°+70°＝85°，故选：B．【点评】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等等知识，求得∠B＝∠ADB＝70°是解题的关键．12．【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a＞0和a＜0讨论得出a的取值范围．【解答】解：令x＝0，则y＝3，∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），二次函数的对称轴是：，当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4•a×3＜0，解得：a＜3，∴0＜a＜3；当a＜0时，令x＝3，则9a﹣6a+3≥0，解得：a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0，综上，a的取值范围为﹣1≤a＜0或0＜a＜3．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的知识，弄清当0＜x＜3时对应的函数值y 均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据负数的定义以及概率格式求解即可．【解答】解：在7个数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4中，负数有﹣2，﹣1，共2个，∴抽取的卡片上的数字是负数的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了概率的应用，熟记概率格式是解题的关键．14．【分析】将抛物线解析式转换成顶点式，可求得答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），∴当x＝1时，y有最小值1；故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣1，∴m的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．16．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1•x2＝，再根据x2＝2x1，求出x1＝1，x2＝2，即可得出答案．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2﹣6x+m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣＝3，x1•x2＝，∵x2＝2x1，∴x1＝1，x2＝2，∴x1•x2＝＝2，∴m＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．17．【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ADB＝60°，然后解直角三角形即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，，∴＝，CE＝BE＝，∴∠AOC＝2∠ADB＝2×30°＝60°，在Rt△OCE中，OC＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．18．【分析】（1）直接根据勾股定理求解即可；（2）根据网格特点作出直径AK与BE的交点O即可．【解答】解：（1）AB＝＝，故答案为：；（2）如图所示，连接格点C、D交网格线于点E，连接AE，连接格点I、G、F、H交于点K，连接BK，连接AK、BE交于点O，则点O即为所求．Ⅱ【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，正确作出直径AK与BE的交点O即可．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】用公式法求解即可．【解答】解：∵2x2﹣3x﹣2＝x+1，∴2x2﹣4x﹣3＝0，∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，∴x＝＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．20．【分析】（Ⅰ）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（Ⅰ）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（Ⅱ）因为两次取出的小球标号的和小于5的有6种，所以其概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB ＝2∠BAC可证明结论；（Ⅱ）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，设BC＝x，即可求得BE＝2，DB＝x，利用勾股定理可求解DE，再利用勾股定理列方程解答即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（Ⅱ）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．设BC＝x，∵AB＝4，∴BE＝2，DB＝x，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴DE＝，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OA＝OB＝，OB2＝（OB﹣1）2+22，即：（）2＝（﹣）2+22，解得x＝，即BC的长为．【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．22．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，所以BD＝CD，再证明△AOD是等边三角形，求得AD＝1；求出∠ADE＝30°，进而得到AE，再利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵∠B＝∠C＝30°，OD＝OA，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝AB＝1，∵∠ADE＝∠ODE﹣∠ODA＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝，∴DE＝＝＝．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．23．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；（2）根据点A的取值范围代入解析式可求解；（3）根据点A的取值范围代入解析式可求解．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴C1的顶点坐标为（3，2），∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上，∴1＝a（6﹣3）2+2，∴a＝﹣，∴抛物线C1：y＝﹣（x﹣3）2+2，当x＝0时，c＝1；（2）∵小红在y轴右侧、距离y轴6m的位置上，且与点A的垂直距离小于m的范围内可以接到回传的沙包，∴点A的坐标范围是（6，）～（6，），当经过（6，）时，＝﹣×36+×6+2，解得n＝4；当经过（6，）时，＝﹣×36+×6+2，解得n＝，∴4＜n＜，∴n的整数值为5；（3）∵小红在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到回传的沙包，∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1），当经过（5，1）时，1＝﹣×25+×5+2，解得：n＝，当经过（7，1）时，1＝﹣×49+×7+1+1，解得：n＝，∴≤n≤，∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5．【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）由点，点，则OA＝OB＝，利用旋转的性质B′C＝BC＝2，O′C＝OC＝1，再由勾股定理即可求解；（Ⅱ）先证明四边形COEO′为正方形，通过性质可证Rt△O′CD≌Rt△OCF，再利用S＝S正方形COEO′﹣S△OCF﹣S△O′CD即可；（Ⅲ）取AC中点N，连接MN，则可知点M在以点N为圆心，MN长度为半径的圆上运动，通过30°角所对直角边是斜边的一半即可求解；【解答】解：（Ⅰ）∵点，点，∴OA＝OB＝，∵点C在y的正半轴上，∠OCB＝60°，∴AC＝BC，∠OCA＝60°，∴∠OAC＝∠OBC＝30°，得OC＝BC，在Rt△OBC中，由BC2＝OC2+OB2，解得OC＝1，∴C（0，1），AC＝BC＝2，∵△O′B′C是由△OBC旋转得到的，∴B′C＝BC＝2，O′C＝OC＝1，∵α＝60°，∴点B′在y轴上，点O′为AC的中点，∴B′的坐标为（0，﹣1），点O′的坐标为（﹣，）；（Ⅱ）由α＝90°，得∠O′CO＝90°，∵∠O′＝∠COE＝90°，O′C＝OC＝1，∴四边形COEO′为正方形，∵∠ACO＝∠O′CB′＝60°，∴∠O′CD＝∠OCF＝30°，∴Rt△O′CD≌Rt△∠OCF，∴S△O′CD＝S△OCF，在Rt△∠OCF中，由OF＝CF，OF2+OC2＝CF2，解得OF＝，∴S＝S正方形COEO′﹣S△OCF﹣S△O′CD＝1﹣2×××1＝1﹣；（3）如图，取AC中点N，连接MN，∵M为AB′中点，∴MN＝B′C＝1，∴点M在以点N为圆心，MN长度为半径的圆上运动，如图，当MM⊥x轴时，由（2）得：∠CAO＝30°，∴NH＝AN＝，∴HM＝，HM＝，∴点M的纵坐标m的取值范围﹣≤m≤．【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，30°角所对直角边是斜边的一半，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．25．【分析】（Ⅰ）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6；（Ⅱ）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，求出C（0，6），证明四边形OBEC 为正方形，知E（6，6），由对称性得DE＝DO，而A，D，E共线，可知此时△AOD的周长最小，求出直线BC的表达式为y＝﹣x+6，直线AE解析式为y＝x+；联立，即可解得D（，）；（Ⅲ）设P（m，﹣m2+2m+6），求出直线AC的表达式为y＝3x+6，由PD∥AC设直线PD 表达式为y ＝3x +t ，把P （m ，﹣m 2+2m +6）代入可得直线PD 的表达式为：y ＝3x﹣m 2﹣m +6，联立，可解得D （m 2+m ，﹣m 2﹣m +6），故S＝S △PBD +S △P AD ＝S △P AB ﹣S △DAB ＝AB •[（﹣m 2+2m +6）﹣（﹣m 2﹣m +6）]＝﹣（m ﹣3）2+，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（Ⅰ）把A （﹣2，0）和B （6，0）代入y ＝ax 2+bx +6得：，解得，∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +6；（Ⅱ）作点O 关于直线BC 的对称点E ，连接EC 、EB ，如图：在y ＝﹣x 2+2x +6中，令x ＝0得y ＝6，∴C （0，6），∵B （6，0），∴OB ＝OC ＝6，∵O 、E 关于直线BC 对称，∴CE ＝OC ＝OB ＝BE ，∵∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 为正方形，∴E （6，6），连接AE ，交BC 于点D ，由对称性得DE ＝DO ，∴AD +DO ＝AD +DE ，∵A ，D ，E 共线，∴此时AD +DO 有最小值为AE 的长，∵OA ＝2，∴此时△AOD 的周长最小，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，将B （6，0），C （0，6）代入y ＝kx +b 得：解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，同理由A（﹣2，0），E（6，6）可得直线AE解析式为y＝x+；联立，解得，∴D（，）；（Ⅲ）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），设P（m，﹣m2+2m+6），由A（﹣2，0），C（0，6）可得直线AC的表达式为y＝3x+6，由PD∥AC设直线PD表达式为y＝3x+t，把P（m，﹣m2+2m+6）代入y＝3x+t得：﹣m2+2m+6＝3m+t，∴t＝﹣m2﹣m+6，∴直线PD的表达式为：y＝3x﹣m2﹣m+6，联立，解得，∴D （m2+m ，﹣m2﹣m+6），∵P，D都在第一象限，∴S＝S△PBD+S△P AD＝S△P AB﹣S△DAB＝AB•[（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m2﹣m+6）]＝×8×（﹣m2+m）＝﹣m2+9m＝﹣（m2﹣6m）＝﹣（m﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当m＝3时，S 有最大值，最大值为，此时P点为（3，）．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度。

2019-2020学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷解析版

2019-2020学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷解析版

2019-2020学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）掷一枚质地均匀的硬币3次，下列说法中正确的是（）A．可能有2次正面朝上B．必有2次正面朝上C．必有1次正面朝上D．不可能3次正面朝上3．（3分）下列各组图形中，是相似图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球100次，其中有25次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个5．（3分）如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：56．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝37．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为（）A．2B．C．2D．48．（3分）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．C．3πD．9．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y211．（3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）的顶点坐标为（，m）．有下列结论：①若m＞0，则a+2b+6c＞0；②若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0有实数解．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．14．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC度数为．15．（3分）若反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限，则m的取值范围是．16．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．17．（3分）如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为．18．（3分）如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M．若点E是的中点，BC＝2，则OC的长为．三、解答题（本大题共7小题，共68分.解谷应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为（x，y）．（I）请用画树形图或列表的方法写出点P所有可能的坐标；（Ⅱ）求两次取出的小球标号之和大于6的概率；（Ⅲ）求点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．21．（10分）已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交于点C．（I）求点C的坐标和该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若该抛物线与x轴交于A，B两点，求△ABC的面积S；（Ⅲ）将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．22．（10分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．23．（10分）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过A（1，3），B（﹣6，n）两点．（I）求该反比例函数的解析式和n的值；（Ⅱ）当x≤﹣1时，求y的取值范围；（Ⅲ）若M为直线y＝x上的一个动点，当MA+MB最小时，求点M的坐标．24．（10分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D（x D，y D）为抛物线上一个动点，其中1＜x D＜3．连接AC，BC，DB，DC．（I）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．2．【解答】解：A．掷一枚质地均匀的硬币3次，可能有2次正面朝上，故本选项正确；B．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有2次正面朝上，故本选项错误；C．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有1次正面朝上，故本选项错误；D．掷一枚质地均匀的硬币3次，有可能有3次正面朝上，故本选项错误；故选：A．3．【解答】解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．4．【解答】解：∵共摸了100次，其中25次摸到黑球，∴有75次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，盒子中大约有白球3×4＝12个．故选：A．5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DCF∽△EBF，∴，且AB＝CD＝3BE，∴BF：CF＝1：3，故选：B．6．【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，则x+4＝0，或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝3．故选：D．7．【解答】解：∵OC⊥AB于H，∴AH＝BH，在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，∵OH＝1，∴AH＝OH＝，∴AB＝2AH＝2故选：A．8．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴扇形AOB的面积＝＝，故选：B．9．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠O＝50°，∵OB＝OC（都是半径），∴∠OCB＝（180°﹣∠O）＝65°．故选：C．10．【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴﹣3×y1＝﹣6，﹣2×y2＝﹣6，1×y3＝﹣6，∴y1＝2，y2＝3，y3＝﹣6，∴y3＜y1＜y2．故选：D．11．【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB＝4，AD＝2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选：C．12．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）顶点坐标为（，m），∴﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+2b+6c＝﹣a+6cm＝＝∵m＞0，∴4c﹣a＞0∴a+2b+4c＞0．故此小题结论错误；②∵顶点坐标为（，m），n＜，∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1）∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，∵1﹣n﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，∴1﹣n＜﹣2n，∵a＞0，∴当x时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2故此小题结论正确；③把顶点坐标（，m）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a∵b＝﹣a∴△＝﹣4a＜0，∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解．故此小题错误．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【解答】解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，∴摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．14．【解答】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故答案为：100°．15．【解答】解：因为反比例函数y＝（m为常数）的图象在第二、四象限．所以3m﹣1＜0，∴m＜．故答案为：m＜．16．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故答案为10.5．17．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠ADA′+∠DA′B＝180°，∴∠DA′B＝180°﹣50°＝130°，∵AE⊥BE，∴∠BAE＝30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝130°+30°＝160°．故答案为160°．18．【解答】解：连接DC，DF，设DO交CF于M．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB于D．∴∠ODB＝90°．∵CF∥AB，∴∠OMF＝∠ODB＝90°．∴OM⊥CF．∴点M是CF的中点；∵DM⊥CF，∴DC＝DF，∵E是的中点，∴CE垂直平分DF，∴CD＝CF，∴△DCF是等边三角形，∴∠1＝30°，∵BC，AB分别是⊙O的切线，∴BC＝BD＝2，∠ACB＝90°，∴∠2＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴OD＝，∴⊙O的半径为．故答案为．三、解答题（本大题共7小题，共68分.解谷应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【解答】解：（I）画树状图得：共有12种等可能的结果数；（Ⅱ）∵共有12种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和大于6的有2种，∴两次取出的小球标号之和大于6的概率是＝；（Ⅲ）∵点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的情况共有3种，∴点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率是＝．20．【解答】解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．21．【解答】解：（Ⅰ）当x＝0时，y＝﹣5，故点C（0，5），则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，故顶点坐标为：（2，﹣9）；（Ⅱ）令y＝0，解得：x＝﹣1或5，则AB＝6，OC＝5，则S＝×AB×OC＝×6×5＝15；（Ⅲ）y＝（x﹣2+1）2﹣9+2＝x2﹣2x﹣622．【解答】解：（1）连接OC、∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEF＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠BEF＝∠DAE＝18°，∵，∴∠BAF＝∠BEF＝18°23．【解答】解：（Ⅰ）把A（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y＝；把B（﹣6，n）代入y＝得﹣6n＝3，解得n＝﹣；（Ⅱ）∵k＝3＞0，∴图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，把x＝﹣1代入y＝得y＝﹣3，∴当x≤﹣1时，y的取值范围是﹣3≤y＜0；（Ⅲ）作A点关于直线y＝x的对称点为A′，则A′（3，1），连接A′B，交直线y＝x于点M，此时，MA+MB ＝MA′+MB＝A′B，∴A′B是MA+MB的最小值，设直线A′B的解析式为y＝mx+b，则，解得，∴直线A′B的解析式为y＝x+，由，解得，∴点M的坐标为（，）．24．【解答】解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．25．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）如图，过点D作DH⊥x轴，与直线BC交于点E，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，与y轴交于点C，∴点C（0，3），∴OC＝3，∴S△AOC＝×1×3＝，∵点B（3，0），点C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，∵点D（x D，y D），∴点E（x D，﹣x D+3），y D＝﹣x D2+2x D+3，∴DE＝﹣x D2+2x D+3﹣（﹣x D+3）＝﹣x D2+3x D，∵△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍∴S△BCD＝3＝×DE×3，∴2＝﹣x D2+3x D，∴x D＝1（舍去），x D＝2，∴点D坐标（2，3）；（Ⅲ）设点M（m，0），点N（x，y）当BD为边，四边形BDNM是平行四边形，∴BN与DM互相平分，∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴，∴m＝1，当BD为边，四边形BDMN是平行四边形，∴BM与DN互相平分，∴，∴y＝﹣3，∴﹣3＝﹣x2+2x+3∴x＝1±，∴∴m＝±，当BD为对角线，∴BD中点坐标（，），∴，∴y＝3，∴3＝﹣x2+2x+3∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，3）∴m＝5，综上所述点M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．。

天津市红桥区2020-2021学年九年级上学期 期末考试数学试卷(word版含答案)

天津市红桥区2020-2021学年九年级上学期 期末考试数学试卷(word版含答案)

2020-2021学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A．两个小球的标号之和等于3B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于0D．两个小球的标号之和等于12．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20501002004001000“射中9环以上”的次数154178158320800“射中9环以上”的频率0.750.820.780.790.800.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是（）A．0.75B．0.82C．0.78D．0.803．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．若x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．25．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝7．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝3 8．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝28°，则∠ABO的大小（）A．28°B．34°C．56°D．62°9．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝9010．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（）A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min11．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．15．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．16．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为．17．当x＞m时，二次函数y＝﹣x2+3x的函数值y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；（2）求两次取出的小球标号相同的概率；（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．20．（8分）解下列关于x的方程．（1）x（x+1）＝3x+3；（2）5x2﹣3x＝x+1．21．（10分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．22．（10分）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M（t﹣1，y1），N（t，y2）在该抛物线上，当t＜1时，比较y1与y2的大小；（3）若点P（m，n）在该抛物线上，求m﹣n的最大值．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A．两个小球的标号之和等于3B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于0D．两个小球的标号之和等于1【分析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意；两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意；两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要掌握三类事件的定义，学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20501002004001000“射中9环以上”的次数154178158320800“射中9环以上”的频率0.750.820.780.790.800.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是（）A．0.75B．0.82C．0.78D．0.80【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．3．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．【解答】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；B．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．4．若x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用一元二次方程的定义，可得出m+1＝2，解之即可得出m的值．【解答】解：∵x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1＝2，∴m＝1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．【解答】解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，故选：A．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．7．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝3【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出结论．【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，则x+4＝0，或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝3．故选：D．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是将x2+x﹣12分解成（x+4）（x﹣3）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记因式分解法解一元二次方程的一般步骤是关键．8．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝28°，则∠ABO的大小（）A．28°B．34°C．56°D．62°【分析】根据切线的性质得∠OAB＝90°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝56°，然后利用互余计算出∠ABO的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28°＝56°，∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．9．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．【解答】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（）A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min【分析】根据二次函数的性质可得．【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．11．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①正确；根据一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故②错误；根据对称轴为直线x＝﹣1得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故③C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故④正确．【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴为直线x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故②错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故③错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故④正确，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．15．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＞1．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＞0，求出k 的取值范围．【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＝4k﹣4＞0，解得k＞1；故答案为：k＞1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．16．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为4π．【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得周长即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAM＝60°，∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝＝2，∴⊙O的周长为4π，故答案为：4π．【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OA是解决问题的关键．17．当x＞m时，二次函数y＝﹣x2+3x的函数值y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是m≥．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x为何值时，y随x的增大而减小，从而可以得到m的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∴当x≥时，y随x的增大而减小，∵当x＞m时，二次函数y＝﹣x2+3x的函数值y随x的增大而减小，∴m≥，故答案为：m≥．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为24°．【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故答案为：24°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；（2）求两次取出的小球标号相同的概率；（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数即可；（2）两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：画树状图如图：共有16种等可能的结果数；（2）由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个，∴两次取出的小球标号相同的概率为＝；（3）如图：共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有3种，∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）解下列关于x的方程．（1）x（x+1）＝3x+3；（2）5x2﹣3x＝x+1．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x（x+1）＝3x+3，∴x（x+1）﹣3（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3；（2）整理，得：5x2﹣4x﹣1＝0，∴（x﹣1）（5x+1）＝0，则x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（10分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．22．（10分）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M（t﹣1，y1），N（t，y2）在该抛物线上，当t＜1时，比较y1与y2的大小；（3）若点P（m，n）在该抛物线上，求m﹣n的最大值．【分析】（1）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质判断y1与y2的大小；（3）先用m表示m﹣n得到m﹣n＝﹣m2+5m﹣3，然后配成顶点式，从而得到m﹣n的最大值．【解答】解：（1）抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而t＜1，∴点M（t﹣1，y1），N（t，y2）对称轴的左侧的抛物线上，∵t﹣1＜t，∴y1＞y2；（3）∵点P（m，n）在该抛物线上，∴n＝m2﹣4m+3，∴m﹣n＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，m﹣n有最大值，最大值为【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠BCA＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠BCO，求出∠ACB＝∠DCO＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠B＝∠EF A，求出∠DCF＝∠DFC，根据等腰三角形的判定推出即可．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∵∠DCA＝∠B，∴∠BCO＝∠DCA，∴∠BCO+∠ACO＝∠DCA+∠ACO，∴∠ACB＝∠DCO＝90°，即OC⊥CD，∵OC过O，∴CD是⊙O的切线；（2）∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°，∴∠A+∠EF A＝90°，同理∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠EF A，∵∠DCA＝∠B，∠DFC＝∠EF A，∴∠DCF＝∠DFC，∴DC＝DF，即△DCF是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．【分析】（1）根据点A（2，0），点B（0，2），可得△ABO是等腰直角三角形，当点O′落在边AB上时，α＝45°，可得点O′的横坐标为AB＝，纵坐标为2﹣，即可得答案；（2）根据勾股定理得AB，由旋转性质可得∠A′BA＝60°，A′B＝AB，继而得出AA′和点A′的坐标．【解答】解：（1）如图①，∵点A（2，0），点B（0，2），∴OA＝OB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝2，当点O′落在边AB上时，α＝45°，∴点O′的横坐标为AB＝，纵坐标为2﹣，∴点O′的坐标为（，2﹣）；（2）如图②，当α＝60°时，∴∠ABA′＝60°，AB＝A′B，∴△ABA′为等边三角形，∴AA′＝A′B＝AB＝2，连接OA′，在△OBA′和△OAA′中，，∴△OBA′≌△OAA′（SSS），∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，∴直线OA′的函数解析式为y＝x，∴OA′⊥AB，∴OA′＝+，∴点A′的坐标为（1+，1+）．【点评】本题主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，即可求解；（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，故当m＝2时，PN有最大值为；（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

红桥区初三数学期末试卷

红桥区初三数学期末试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -2.5B. 3/4C. √9D. π2. 下列各式中，正确的是（）A. (-3)^2 = 3^2B. (-2)^3 = -2^3C. (-3)^2 = (-2)^2D. (-2)^3 = (-3)^33. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 9，a + c = 5，则b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2 - 4C. y = 1/xD. y = 2x^35. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 若m、n、p、q是等比数列，且m + n + p + q = 10，m × n × p × q = 64，则q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 167. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a + b + c = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 08. 下列各式中，正确的是（）A. |a| = -a (a < 0)B. |a| = a (a ≥ 0)C. |a| = -a (a > 0)D. |a| = a (a ≤ 0)9. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 75°，则△ABC的面积是（）A. √3/4B. √3/2C. 1/2D. 110. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且a - b + c = 0，则a 的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 0二、填空题（每题3分，共30分）11. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为________。

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2017-2018学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．123．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜17．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2 B．C．3 D．28．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150° D．160°11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．2212．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A．16 B．C．D．9二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x 轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P 的坐标．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？2017-2018学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2D．y=3x2﹣1【解答】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y=x2+2x+1﹣x2=2x﹣1，故C错误；故选（D）2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵DE∥BC，∴即解得：EC=6．故选B．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；4．（3分）抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（x﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．6．（3分）对于双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1【解答】解：∵双曲线y=，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得：m＜1．故选D．7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：如图OA=2，求AB长．∠AOB=360°÷3=120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA=OB，∴AB=2AC，∠AOC=60°，∴AC=OA×sin60°=cm，∴AB=2AC=2cm，8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选B．9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150° D．160°【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，∴∠1=∠BED′=110°．11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C．12．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A．16 B．C．D．9【解答】解：连DC，如图，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点，∴BD=OD=b，=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，∴ab=，把A（a，b）代入双曲线y=，∴k=ab=．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．14．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x 轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=﹣2．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|=1，解得k=﹣2，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=8.5．【解答】解：∵AD=3，DC=4，∴AC=AD+DC=3+4=7，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得AB=10.5，∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．故答案为：8.5．16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10．【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，故答案为：10．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．【解答】解：画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，故答案为：．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE=．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴=，即=，解得，CE=，故答案为：．19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是3．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，∵∠ECF=60°，∴∠FCD=∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SA S），∴DF=GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG=DF=CD=BC=3．故答案为3．20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为4．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a=，则抛物线解析式为y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣4；过M作MN⊥x轴，设M的横坐标为m，则M（m，m2+m﹣4），∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN +S梯形MNOB﹣S△AOB=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4 =2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．故答案为4．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．【解答】解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵点B（3，﹣1）在y1=图象上，∴=﹣1，∴m=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（Ⅱ）∴﹣=﹣x+，即x2﹣x﹣6=0，则（x﹣3）（x+2）=0，解得：x1=3、x2=﹣2，当x=﹣2时，y=，∴D（﹣2，）；结合函数图象知y1＞y2时﹣2＜x＜0或x＞3；（Ⅲ）∵点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点∴a=﹣3∴A（1，﹣3）设直线AB为y=kx+b，则∴，∴直线AB解析式为y=x﹣4令y=0，则x=4∴P（4，0）．23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA，又∵∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE；（Ⅱ）解：∵△ABC∽△DAE，∴=，∵AB=8，AD=6，A E=4，∴=，∴BC=．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SSS），∴∠OBC=∠OEC=90°，∴BC为⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=x ∵CE，CB为⊙O切线，∴CB=CE=x，∵DE，DA为⊙O切线，∴DE=DA=1，∴DC=x+1，∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°∴四边形ADFB为矩形，∴DF=AB=4 BF=AD=1，∴FC=x﹣1，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，解得：x=4，∴CE=4．25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AM N=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，设E（t，t2﹣2t﹣3），当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+（舍去），t2=2﹣（舍去）；当1＜t＜3时，如图2，EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），整理得t2﹣5=0，解得t1=，t2=﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2﹣2；当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+，t2=2﹣（舍去），此时正方形EFGH的边长为2+2，综上所述，正方形EFGH的边长为2﹣2或2+2；（3）设P（x，x2﹣2x﹣3），当﹣1＜x＜0时，=×4×3=6，∵S△ABC＜6，∴0＜S△APC当0＜x＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，易得直线AC的解析式为y=x﹣3，则M（x，x﹣3），∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，=•3•（﹣x2+3x）∴S△APC=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，当x=时，S△APC的面积的最大值为，即0＜S＜，△APC＜6，综上所述，0＜S△APC∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．。

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