三角函数的定义与同角三角函数关系
三角函数的概念同角三角函数的基本关系式诱导公式重难点分析与出题角度归纳
Xx 学校学科教师辅导讲义一）一、定义：角可以看作成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所称的图形。
旋转开始时的射线、终止时的射线分别叫作_______、_______,射线的端点O 叫做_________.按逆时针方向旋转形成的角叫做_______,顺时针方向旋转形成的角叫做_______,若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_______。
二、在直角坐标系内讨论角：（1）角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几项先，就说这个角是第几象限角（或者说这个角属于第几象限）；例如：30°、390°、-330°等都是第一象限角；120°、480°、-240°等都是第二象限角；240°、600°、-120°等都是第三象限角；-30°、-390°、330°等都是第四象限角。
注意：锐角_____第一象限角，但第一象限角_______锐角；钝角______第二象限角，但第二象限角________钝角。
（填“都是”或者“不都是”）（2）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任一象限。
例如：直角、周角、平角都不属于任一象限。
三、终边相同的角（重点）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={Z k k ∈•+=︒,360/αββ}，即任一与角α终边相同的角都可以表示为角α与整个周角的和。
四、1弧度角的定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
单位符号是 rad,读作弧度。
2、弧度数：在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad 的角. 任意一个0°~360°的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 任一正角的弧度数都是一个正实数；,任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0.五、弧度制与角度制的换算 360°=2πrad ；180°=πrad ；1°=180πrad ≈；1rad=π180≈°≈57°18′。
同角三角函数的基本关系
探究化简求值
例2. 化简下列各式：
（1） 1 sin2 800 ；
解： （1） 1 sin2 800
1 sin (2 360 80) 1 sin 80
2
2
cos2 80 | cos 80 | cos 80 .
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，
25
5
cos 5 4 4
3
变式1：已知sin ,求 cos ,tan 的值.
5
分
.
解：因为sin 0, 且 sin 1, 所以 是第三或第四象限角
2
16
3
由 sin cos 1, 得 cos 1 sin 1
2 5
5
sin
，cos
5
5
如果α是第三象限角，则 sin α 0, cos α 0.所以
2 5
5
sin ，cos 5
5
方法小结
1.在同角三角函数的基本关系中，只需要知道正
弦、余弦、正切中任意一个值，就可以求出其余
两个.(知一求二)
2.在应用平方关系时，一定要先确定α的终边位置
25
5
2
2
2
2
如果 是第三象限角, 那么cos 0, 于是
16
4
sin 3 5 3
cos
, tan
25
5
cos 5 4 4
4
3
如果 是第四象限 , 那么cos , tan .
注意事项：
1. 前后一定是同一个角，否则公式可能不成立.
1.2.2同角的三角函数基本关系式
能力训练(化简)
例3.化简 : 1 2 sin 2 10 cot 10 sin 10 1 sin 2 10
分析 :" 脱" 根号,因此设法把根号内式子 配成完全平方式 , 可以从1入手.
2 ) 01 soc 01 ni s( ) 01 soc 01 ni s( 01 soc 01 ni s 2 1 .1 式原 01 soc 01 ni s 01 soc 01 ni s 01 2 ni s 1 01 ni s
分析 : 找与题设条件最接近关 系式 : sin 2 cos 2 1, 故 cos 的值最容易求得在求 cos 时需要开方运算因此 , , 应根据角的所在象限确定cos 的符号. 4 对于tan 的负号,是根据商数关系直接运 算后的结果 ,
3 不需要根据的 是第二象限角来事先确 . 定 思路 : 找最接近题设的基本关 ;只有应用平方关系才根 系 据 角的象限来确定开方时 符号;应用商数关系 倒数关系时不 、 需要确定符号由运算自然得到符号 , . 本题由于角所在的象限 已指定,则求得的只有一组结果 .
1 2
3 2
2 2 2 2
3 2
1
0 1 0
不 存在
0
cos
tan
1
0
不 存在
1 2
0 1 0
不 存在
1
0
不 存在
cot
3 3
1 1
不 3 存在
3
3 3
0
0
问题探究(一)
计算下列各式的值: 1. sin 2 90 cos 2 90 ; 2. sin 2 30 cos 2 30 ; 5 5 3. tan 45 cot 45 ; 4. tan cot . 6 6 问题 : 如果把上面具体的数据 改为一般角会 有同样的结果吗 ?
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件 文
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2
=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α
cos
α
1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化
1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标 根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5
-
2
5 5
=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ
第六讲：三角函数的定义及同角关系
第六讲：三角函数定义及同角关系题型一、终边相同的角的表示方法：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ： ① 象限角的集合：第一象限角集合为： ；第二象限角集合为： ； 第三象限角集合为： ；第四象限角集合为： ；② 轴线角的集合：终边在x 轴非负半轴角的集合为： ；终边在x 轴非正半轴角的集合为： ； 终边在x 轴上角的集合为： ；终边在y 轴非负半轴角的集合为： ；终边在y 轴非正半轴角的集合为： ；终边在y 轴上角的集合为： ；终边在坐标轴上的角的集合为： . 终边在y=x 上的角的集合： 。
题型二、三角函数的定义例1：已知角α终边上一点（-1,2），求角α的三角函数的值。
变式：（1）已知角α终边上一点（3a,4a ），求角α的三角函数的值。
(2) .________,0cos sin 在则若θθθ>象限（注意各象限三角函数的符号） 题型三、同角三角函数关系：平方关系： ；商数关系： ；例2 (1) 若342sin ,cos 55m m m m θθ--==++，则m 的值为（ ） A 、0 B 、8 C 、0或8 D 、3<m<9(2)已知12sin 13α=，求角α的余弦和正切值；变式：（1）已知5tan ,cos 12ABC A A ∆=-=中，则 ;(2)若1sin 1cos x ,cos 2sin 1x x x +=-=-则 。
（3）若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A 2 B 2- C 2-或2 D 0（4 ＝ ．其中(,)2πθπ∈ （5）已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （ ） A ．32 B ． 32- C ． 31 D ． 31- 题型四：同角关系的运用 例3已知1sin cos ,(0,),1sin cos ,(2)sin cos 5αααπαααα+=∈-求（）变式：求函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域。
三角函数中同角三角函数关系的推导过程
三角函数中同角三角函数关系的推导过程三角函数是数学中重要的概念之一，它描述了角度与其对应的三角比之间的关系。
在三角函数的研究中，同角三角函数关系是其中一个重要的推导过程。
本文将详细介绍同角三角函数关系的推导过程。
在开始推导之前，先明确一些基本概念。
在平面直角坐标系中，设有一个角度θ，该角度的终边与单位圆交于点P(x, y)，其中x和y分别表示P点的横坐标和纵坐标。
根据三角函数定义，我们可以得到以下三个关系式：1. 正弦函数（Sine Function）：sin(θ) = y2. 余弦函数（Cosine Function）：cos(θ) = x3. 正切函数（Tangent Function）：tan(θ) = y / x接下来，我们将推导出其他同角三角函数关系。
1. 同角余弦函数推导：我们已知余弦函数的定义为cos(θ) = x，可以将此式改写为：cos(θ) = 1 / sec(θ)其中sec(θ)为函数secant(θ)，表示θ角的余割。
因此，同角余弦函数推导为：cos(θ) = 1 / sec(θ)2. 同角正切函数推导：我们已知正切函数的定义为tan(θ) = y / x，可以将此式改写为：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)其中sin(θ)和cos(θ)分别表示θ角的正弦和余弦。
因此，同角正切函数推导为：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)3. 同角余切函数推导：我们已知余切函数的定义为cot(θ) = 1 / tan(θ)，可以将此式改写为：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)其中cos(θ)和sin(θ)分别表示θ角的余弦和正弦。
因此，同角余切函数推导为：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)4. 同角正割函数推导：我们已知正割函数的定义为sec(θ) = 1 / cos(θ)，可以将此式改写为：sec(θ) = 1 / cos(θ)其中cos(θ)表示θ角的余弦。
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------⎧⎪⎨⎪⎩正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角α（弧度）(,)∈-∞+∞.（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则lrα=（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022rrππ==（弧度），即0180π=. 1（弧度）00018057.35718π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180π=两个换算单位即可：如：005518015066π=⨯=；036361805ππ=⨯=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈， 扇形面积公式：21122S lr r α==. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22S lr =底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点O ），则P到原点O的距离0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r xααα===.此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ↔，邻x ↔，斜r ↔， 如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中1r ==，则：（1）sin yy rα==，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到 （2）cos xx rα==，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到 （3）tan yxα=.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.⎧⎪⎨⎪⎩一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=2. 诱导公式（1）sin ()sin()sin ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数cos ()cos()cos ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数tan()tan ()n n απα+=为整数.（2）奇偶性.()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα⎛⎫⎪⎝⎭，即sin +=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭， （2）()sin +πα，因为3+2ππαπ<<，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα， 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（ ） A. {},k k Zααπ=∈ B. ,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C. ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k N παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭分析 表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.解析 解法 一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222ππππππππ----可以看作双向等差数列，公差为2π，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，故0()2k k Z πα=+∈⇒,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选B. 评注 终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=⇒{},k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2πα=⇒,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析 本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析 （1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为22,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,63k k k N ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 评注 任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ⊆N B ． N ⊆M C ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅例4.3 下列命题中正确的是（ ）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C.()0,απ∈，是第一、二象限角D. ,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，α是第四象限角，也叫负锐角 解析 第一象限角的集合为022,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2ππ∈，但2π不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题 思路提示先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，2α是第 象限角解析 解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α的初始集合,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图4-6所示，得2α是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2α是第一、三象限角，又若α是第四象限角，2α是第二、四象限角.解法三：取α=0120，000012036060,2402α+⇒=，即2α是第一、三象限角.评注 对于2α是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2α的分布. 对于3α是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“nα是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n 部分，并从x 轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为nα终边所在象限.例如：3α的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角.变式1 若α是第二象限角，则3α是第 象限角；若α是第二象限角，则3α的取值范围是 题型3 弧长与扇形面积公式的计算 思路提示（1） 熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2） 掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α（弧度），扇形面积S.依题意0024r l r l >⎧⎪>⎨⎪+=⎩，12S lr =，则12S lr =11(42)(42)224r r r r =-=-32π 2π4π O yx 54π 图 4-62 3 1 4 x 4 13 2 y图 4-7O21422()142r r -+≤=，（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时lrα==2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22l r ==，即2l =，1r =时“=”成立，此时lr α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，2C l r =+≥且112lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则AB =（） A. 1sin2 B. 6π C. 11sin 2D. 21sin 2变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为 题型4 三角函数定义题 思路提示（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 诱导公式；（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ） A. 52π-B. 35π-C. 5D.5+2π 解析 解法一：排队法. 005557.3286.5≈⨯=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<，2r ==，α是第三象限角.选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+2π是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5xrα==矛盾，排除B ，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2πθθ'∈（这样设的原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2πθθ=+=-⇒cos cos θθ'-=-⇒cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈⇒352πθθ'==-， ⇒35522ππαπ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选A.变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ）A.2B.-2C.22π-D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77P ππ-，则α=变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A. 45-B. 35-C. 35D. 45题型5 三角函数线及其应用 思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一，利用三角函数线证明三角公式 例4.7 证明（1）()sin -=sin παα， （2）sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）31tan =-2tan παα⎛⎫+⎪⎝⎭解析 （1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=⇒()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角-2πα与α的终边关于直线y x =对称.OM M P ''=⇒sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3） 如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα⎛⎫+=⎪⎝⎭评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,2ππααα±-±.在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明 中易得cos -=sin 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，相除得1tan =2tan παα⎛⎫-⎪⎝⎭.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2αβ+轴对称二.利用三角函数线比较大小 例4.8 ,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析 如图4-12所示，,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM<MP<A T,故cos sin tan ααα<<.评注 由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题变式1 求证：（1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>； （2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<；变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>； （2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小 变式3 比较大小 （1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6（3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππαααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、利用三角函数线求解特殊三角方程例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程： （1）1sin 22x =；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =.解析 （1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈.（2）如图4-14所示14πα=，24πα=-，故224x k ππ=+或224x k ππ=-+，k Z ∈，解得8x k ππ=+或8x k ππ=-+，k Z ∈.（3）如图4-15所示，得13πα=，243πα=，公差为π，故23x k ππ=+，k Z ∈. 解得6x k ππ=+，k Z ∈.评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈；（2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合. （1）1sin 2x ≤；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤.分析 这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集.解析 （1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1sin 2x ≤，因此所求的角x 的集合为 51322,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2cos 2x ≥的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角5,44ππ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.评注 解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小.例4.11利用单位圆解下列三角不等式： （1）2sin 10α+>； （2）23cos 30α+≤； （3）sin cos αα>；（4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 （1）由题意1sin 2α>-，令1sin 2α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16πα=-，2766ππαπ=+=，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-20所示，3cos α≤标出3cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出1566ππαπ=-=，2766ππαπ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）sin cos αα>y x y x r r ⇒>⇒>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14πα=，254πα=.这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22ππ>成立 ，故不等式的解集为522,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 注 本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分.（4）sin 3cos αα>，得33y x y x r r>⇒>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13πα=，243πα=.，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2πα=，sin 3cos αα>成立 ，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为433ππαα⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，故选C.评注 三角函数线的应用(1)证明 三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C. 5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D. 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是 ； （2）3tan 0sincos sincos 222ππππ+---= ； 解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩或sin 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，得α为第二象限角或第四象限角⇒α的取值范围是3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）01(1)(1)12+-----=.变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（ ）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 变式2 ，43sin,cos 2525αα==-,2α是第 象限角，α是第 象限角. 变式3若sin cos 1=-，则α的取值范围是 .变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（ ）象限角.A.一或三B. 二或三C.三或四D.一或四 变式5 若α为第二象限角，则tan2α的符号为变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限角变式7 函数cos sin tan sin tan x x xy x cox x=++的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1） 若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.（2） 若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=-，cos α= , tan α=（2）已知tan α=2， 1. 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α= , cos α= 2.2sin cos 3sin 4cos αααα-+= ,3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析 （1）因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,cos 0,tan 0αα><,故cos α==.sin tan cos ααα==（2）1.因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得21cos 5α=.cos 5α=-,sin 5α=-2.无象限条件，弦化切.2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 122133tan 432410αα-⨯-==+⨯+3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--=2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22tan 2tan 3tan 1ααα--=+35- （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得()()2222sin cos 5sin cos αααα-=+222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα⇒++⇒+=sin 2cos 0αα⇒+=,tan 20α+=⇒tan 2α=-.1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12tan tan 15ααα+=-+2. 2sin cos αα-=()αϕ+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值.()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.2sin cos sin 2cos 0αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩⇒cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，sin cos αα-=5-. 评注 本题给出同角求值的几种基本题型..（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略.（3）中无象限条件，2sin cos αα-=()αϕ+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α='=，故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解.变式1 若tan α=2，则2212sin cos cos sin αααα+=-=（ ） A. 13 B.3 C. 13- D.-3变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ； 例4.14 已知1sin cos 5αα+=-时，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A. 34-B. 43-C. 34D.- 43解析 解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα⇒=-<，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 01sin cos 05αααα<>⎧⎪⎨+=-<⎪⎩⇒sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221sin 2sin cos cos sin cos 25αααααα++=+ 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα⇒++=212tan 25tan 120αα⇒++=43tan 34α⇒=--或由解法一知tan 1α>，得4tan 3α=-，故选B. 变式1 已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 变式2 已知3sin cos 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-=（ ）A. 12B. 12-C. 14D. 14-题型8 诱导求值与变形 思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化例4.15 求下列各式的值.（1）0sin(3000)-； （2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭； （3）51tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭解析 （1）0sin(3000)-=0sin(8360120)sin120-⨯+=-000sin(18060)sin 602=--=-=-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=411cos cos 14cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ⎛⎫-=-=--== ⎪⎝⎭. 评注 利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.变式1 若()cos 2-3πα=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin -πα= ； 变式2 若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（ ） A. 15± B. 15- C.15 D. 75- 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（ ）A.B. D.变式4 已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin ()63x x ππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭= ； 最有效训练题A. 15± B. 15- C. 15 D. 75-2.已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（ ）A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π3.若角α的终边落在直线0x y +==（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么2A 和2A π-都不是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（ ）A. cos2x -B. cos2xC. sin 2x -D. sin 2x6.已知02x π-<<，1cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（ ） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15-7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y = .8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 .9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为 ；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求： （1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.12.已知001tan(720)3221tan(360)θθ++=+--. 求2221cos ()sin()cos()2sin ()cos (2)πθπθπθπθθπ⎡⎤-++-++⎣⎦--的值.。
三角函数定义与三角函数公式大全
三角函数定义及其三角函数公式汇总1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβA90B90∠-︒=∠︒=∠+∠得由BA对边邻边CA90B90∠-︒=∠︒=∠+∠得由BA6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
:i h l =hlα(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
三角函数的定义及同角基本关系式
sin
, sin2
,
cos
, cos
,
cos2
.
6．已知 2 , cos( 9 ) 3 ，求 tan 的值． 5
两角和、差公式
【考点及要求】
1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．
；
5
若
为第二象限角，则
[sin(180
) cos( tan(180 )
360
)]2
【典型例题讲练】
例：化简下列各式
（1） sin( ) cos( ) =
4
4
（2） sin2(π －x)＋sin2(π ＋x)＝
3
6
sin( 2 ) sin( ) cos( ) （3） cos( 2 ) cos( ) sin( ) ＝
3
3．角 为第一或第四象限角的充分必要条件是 (
)
A.
sin tan
0
B.
sin tan
0
C.
cos tan
0
D.
cos tan
0
4．若 sin 2 （ 是第四象限角），则 cos = 5
, tan =
【典型例题讲练】
例 1：已知角 的终边过点 P(a, 2a)(a 0) ，求 tan ,sin cos ；
（2）角
, 3
的三角函数值与角
三角函数值的关系分别是什么？
22
口诀为：
（3）互余正余换、互补名不换
-2-
【基本训练】
1． tan 600 =
同角三角函数的基本关系
16 4 25＝－5
探要点·究所然
sin α 4 4 解 由 tan α＝cos α＝3，得 sin α＝3cos α.
①
又sin2α＋cos2α＝1，
16 2 9 2 2 由①②得 9 cos α＋cos α＝1，即 cos α＝25.
P(x,y) α
(2)余弦:cosα= x ；
A(1,0) x
0
y ( x 0) (3)正切:tanα= x
2
由三角函数的定义得：
平方关系： sin cos 1
2
商数关系： sin tan cos
同角三角函数的基本关系式:
sin cos 1 , sin tan , cos
1＋sin α cos α ∴ ＝ cos α . 1－sin α
探要点·究所然
跟踪训练 3
2sin xcos x－1 tan x－1 求证： ＝ . 2 2 cos x－sin x tan x＋1
证明
方法一
∵左边＝
2sin xcos x－sin2x＋cos2x cos2x－sin2x
1＋cos θ ＝ sin θ ＝右边.
∴原等式成立.
当堂测·查疑缺
1， 已知 是三角形的 角，且 sin cos 内 例. 5 求 sin ， cos ， tan 的值 . 1 由 sin cos ① 平方得 1 2sin cos 1 解： 5 25 即 2sin cos 24 0 25 sin 0 ，cos 0. 是三角形的内角 ， ，sin cos 0 ， 2 2 由 (sin cos ) 1 2sin cos 1 24 49 ， 25 25 得 sin cos 7 ， ② 联立①②得： 5 sin 4 ，cos 3 ，tan sin 4 . 5 5 3 cos
三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式
三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数是数学中研究角和三角形的重要分支之一、它是用来描述角的位置、大小和比较角度之间关系的函数。
三角函数常用于解决与几何形体、物体运动、电流与电压等相关的问题。
在解决这些问题时，我们需要理解三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。
1.概念角是以其中一点为顶点，以两条射线为边的图形。
三角函数是角的函数。
常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)和余切函数(cot)。
这些三角函数可以表示角度的大小和位置，并且它们在数学中有非常重要的应用。
2.同角三角函数的基本关系式同角三角函数是指在同一个角中，不同三角函数之间的关系。
常见的同角三角函数关系式有：(1) 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1这个关系式可以由勾股定理推导得出。
在单位圆中，θ角对应的直角三角形的斜边长为1，根据勾股定理可得到上述关系式。
(2) 正切函数和余切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ这个关系式说明，正切函数和余切函数可以分别由正弦函数和余弦函数表示。
(3) 正切函数和余切函数的关系：sinθ = 1 / cscθ，cosθ = 1 / secθ这个关系式说明，正弦函数和余弦函数可以分别由余切函数和正切函数表示。
这些基本关系式可以帮助我们在计算过程中简化和转化表达式，使得计算更加方便。
3.诱导公式诱导公式指的是通过基本关系式可以推导出其他三角函数之间的关系式。
常见的诱导公式有：(1) 余弦函数的诱导公式：cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB根据这个公式，可以得到余弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到余弦函数的结果。
(2) 正弦函数的诱导公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB根据这个公式，可以得到正弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到正弦函数的结果。
高三数学考点-同角三角函数的基本关系及诱导公式
4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sinαcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)x 函数sin x cos x tan x －α －sin α cos α －tan α π2±α cos α ∓sin α π±α ∓sin α －cos α ±tan α 3π2±α －cos α ±sin α 2π±α±sin αcos α±tan α(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解：sin2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.故选A .(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425解：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425.故选D . (2017·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12解：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.故选B .(2016·四川)sin750°＝________.解：因为sin θ＝sin(k ·360°＋θ)(k ∈Z )，所以sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.故填12.(2017·郑州质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________． 解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87·cos 2α－17＝335.故填335.类型一 利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________； (2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α. 解：(1)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 故填31010.(2)因为sin α＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，所以tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)因为sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．所以当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m 2 .【点拨】给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(1)设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.故填43.(2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，得sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，所以2α∈(0，2π)，2α＝3π2，所以α＝3π4，tan α＝－1.故填－1.类型二 诱导公式的应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 根据同角三角函数关系式可得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34. 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.故填－43. (2)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α. 解：原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率．(1)化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1.解：原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 解：因为α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.故填－79.类型三 关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 【点拨】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．(荆州2017届质量检测)已知tan(5π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解：tan(5π－x )＝2，即tan(π－x )＝2，得tan x ＝－2.又因为2cos 2x2－1＝cos x ，所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x＝1－tan x tan x ＋1＝－3.故填－3.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者之间的内在联系，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行和积转换，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A .2．(福建四地六校2017届月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，则sin2θ的值等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－1225 D.1225解：由cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，得sin θ＝－45，cos θ＝35，则sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A . 3．(江西上饶2017届一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12 的值等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223解：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A . 4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解法一：cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 解法二：由tan α＝34，得sin α＝34cos α，sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin2α＝1625＋4×1225＝6425.故选A .5．(2016·长春质检)已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( )A. 5B.4＋255C.4＋55D.5－25解：由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C .6．(2016·淮南二模)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3 D ．－3解：因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A .7．(2016江苏冲刺卷)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解：由平方关系得⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ＜0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.故填－3125.8．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解：因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，由同角三角函数关系式得cos 2α＋4cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，所以2sin αcos α－cos 2α＝－4cos 2α－cos 2α＝－5cos 2α＝－1.故填－1.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求值：cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ.解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. (黄冈2017届期末)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解：y ＝f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ－α)，其中sin α＝25，cos α＝15， 因为函数的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (1)＝±5，即π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，sin2φ＝sin2⎝⎛⎭⎫α－π2＋k π＝sin(2α－π＋2k π)＝sin(2α－π)＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－2×25×15＝－45 .故选D .。
三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
第四章 三角函数第1讲 三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示 命题探究考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1 三角函数的有关概念 (1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．(2)角度与弧度的互化①360°＝2π rad ；②180°＝π rad ；③1°＝π180 rad ；④1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.(3)弧长及扇形面积公式 ①弧长公式：l ＝|α|r ；②扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.其中l 为扇形弧长，α为圆心角，r 为扇形半径． (4)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P (与原点不重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r ＝x 2＋y 2.记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (6)三角函数线2 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 3 诱导公式及记忆规律 (1)诱导公式①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．②“奇”“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 为奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．③“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．注意点 应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.1．思维辨析(1)120°角的正弦值是12，余弦值是－32.( )(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．( ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．( )(5)锐角是第一象限角，反之亦然．( ) (6)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45答案 D解析 由三角函数的定义知cos α＝－4－2＋32＝－45.故选D. 3．(1)角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案 (1)C (2)4 6π解析 (1)因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．(2)弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.[考法综述] 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力．命题法 三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32 C ．－34D.34(2)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(3)已知扇形周长为40，当它的半径r ＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________.[解析] (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m 2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5， ∴cos θ＝－33＋m2＝－64. (3)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.[答案] (1)B (2)－64 (3)10 2 (4)－23【解题法】 同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤 (1)同角关系式的应用技巧①弦切互化法：主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦函数．②和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ. (2)使用诱导公式的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π2之间角的三角函数，然后求值．1.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.2．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.3．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝y x .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 5.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________． 答案 12解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α>0，∴sin2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan α4＋tan 2α＝2tan α＋4tan α≤12，当且仅当tan α＝2时取等号．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.已知角α的终边在直线2x －y ＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值． [错解][错因分析] 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解． [正解] 在直线2x ＋y ＝0上取点(m,2m )(m ≠0) 则r ＝5|m |，当m >0时，r ＝5m ，sin α＝y r ＝2m 5m ＝255，cos α＝x r ＝m 5m ＝55，tan α＝y x ＝2mm ＝2.当m <0时，r ＝－5m ，sin α＝y r ＝2m －5m ＝－255，cos α＝x r ＝m －5m ＝－55，tan α＝y x ＝2mm＝2. [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P (－a ，－3a )，a ≠0，则sin α＝( )A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010答案 D解析 当a >0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sin α＝－31010；当a <0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin α＝31010.故选D.2. [2016·衡水中学仿真]若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α等于( )A ．－13B.125 C ．－125D.13 答案 C解析 由sin α＋cos α＝713，两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，∴2sin αcos α＝－120169，又2sin αcos α<0,0<α<π. ∴π2<α<π.∴sin α－cos α>0. ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝713，sin α－cos α＝1713，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.3．[2016·枣强中学预测]设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N＝⎩⎨⎧x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ⎭⎬⎫，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B 解析M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x | x ＝2k4·⎭⎪⎬⎪⎫ 180°＋45°，k ∈Z ，故当集合N 中的k 为偶数时，M ＝N ，当k 为奇数时，在集合M中不存在，故M ⊆N .4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－－θ＝( )A ．－2B ．2C ．0 D.23答案 B解析 由角θ的终边在直线2x －y ＝0上，可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )C.22 D ．1答案 A解析 解法一：由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2及sin 2α＋cos 2α＝1，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1<0，故tan α<0，且2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 6．[2016·武邑中学月考]已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x的最小正值为( )A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.7. [2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是( )A ．－43B.43 C ．－34D.34答案 C解析 因为f (x )＝sin x －cos x ，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x ，于是有cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得sin x ＝3cos x ，所以tan x ＝3，因此tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×31－32＝－34，故选C. 8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34 B ．－43C ．－34D ．±43答案 B解析 解法一：因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A＝125，所以sin A cos A ＝－1225. 又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.故选B.解法二：由解法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0，所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B.10．[2016·枣强中学模拟]已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.11.[2016·武邑中学猜题]设f (α)＝＋α－α－＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.答案 3解析 ∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.能力组12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A.3π16B.3π8 C.3π4 D.3π2答案 B解析 S 扇＝12|α|r 2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.13．[2016·武邑中学预测]已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25 D ．－15答案 A解析 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2， 所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25.14．[2016·衡水二中模拟]已知α∈(0，π)且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，则cos α－sin α的值( )A ．为正B ．为负C ．为零D ．为正或负答案 B解析 若0<α<π2，如图所示，在单位圆中，P (cos α，sin α)，OM ＝cos α，MP ＝sin α，所以sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α<0，故选B.15．[2016·枣强中学期末]△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4答案 B解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.。
三角函数的定义与同角三角函数关系
三角函数的定义与同角三角函数关系一．知识内容：1.在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.三角函数定义： 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝y x(x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.思考：使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .问角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？4.(1)三角函数的定义域，值域分别是：(2)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号:5.由定义观察同角三角函数之间的关系：二．知识应用：例1.利用定义求下列角的三角函数值：(1)32π (2)67π (3)310π-练：(1)若750°角的终边上有一点(4，a )，则a ＝________.(2)求下列各式的值.①cos25π3＋tan(－15π4)；②sin 810°＋tan 765°－cos 360°.例2.已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 练1 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值. 例3.(1)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.(2)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A.第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D.第四象限练2(1)点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角.(2)若三角形的两内角A ，B ，满足sin A cos B ＜0，则此三角形必为( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能例3.(1)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.(2).已知tan α＝43且α为第三象限角，求sin α，cos α的值.练3(1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；(2)若cos α＝33，求sin α，tan α的值； (3)若tan α＝－22，求sin α，cos α的值．例4. 已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α.练4化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)1cos 2α1＋tan 2α－ 1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).。
三角函数之间的关系公式
三角函数之间的关系公式1. 同角三角函数的基本关系：倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=12. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）3. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边4. 二倍角公式正弦sin2A=2sinA•cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）5. 三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)6. n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1）7. 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))8. 和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)9. 两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ10. 积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/211. 双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tan αcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tan αcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sin αcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tan αcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tan αcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot （π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos （3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tan αsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z) A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = √{(A²+B²+2ABcos(θ-φ)} •sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容12. 诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限13. 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]14. 其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可.(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)15. 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)。
专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式-突破三角函数与解三角形问题中的高考套路之理
专题01三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式知识必备一、任意角的三角函数1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值0 100100101不存在0不存在0补充：二、同角三角函数的基本关系式1．平方关系．2．商的关系．3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）．三、三角函数的诱导公式公式一二三四五六2kπ+α（k∈π+α−απ−α−α+α角Z）正弦sin α−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cos α−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tan αtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限核心考点考点一三角函数的定义【例1】已知角的终边经过点，且，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为角的终边经过点，所以角是第二象限角，所以，求解可得（正值舍去）.故选A.备考指南1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.考点二象限角的判断【例2】“”是“角是第一象限角”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B备考指南1．已知θ所在的象限，求或nθ（n N*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（n N*）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，k Z）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.考点三同角三角函数基本关系式及其应用【例3】设.若，则A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且，所以,所以.故选A．备考指南1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.考点四诱导公式及其应用【例4】点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C备考指南1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等.考点五三角函数公式的综合应用【例5】已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的正半轴，若的终边分别与单位圆相交于两点，且.（1）求的值，并确定点所在的象限；（2）若点的坐标为，求的值.【解析】（1）.因为，所以的终边在第二或第四象限，所以点在第二或第四象限.（2）由知，则.备考指南熟练掌握正切的差角公式，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式，正确使用公式是解题的关键.能力突破1．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点（−5，12），则= A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，=13，根据三角函数定义知，=，，∴=== =，故选B．【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查，是基础题.2．已知，则A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：因为，所以，所以，故选A．方法二：由，得，所以.【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查.3．角为的一个内角，若，则这个三角形为A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形．注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形．4．已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【解析】（1）因为，所以，由于，所以，所以.（2）原式..【名师点睛】对于三角函数求值问题，必须熟练记忆和掌握三角函数公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换.高考通关1．（2018北京）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A．B．C．D．【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.【名师点睛】此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．已知，则的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】，∴原式，故选A．3．（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.4．（2017新课标Ⅰ）已知，tan α=2，则=__________．【答案】【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5．（2018新课标Ⅱ）已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以，因此6．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.你都掌握了吗？有哪些问题？整理一下！。
任意角的三角函数、同角三角函数间关系
任意角的三角函数、同角三角函数的关系一、任意角的三角函数：1、角的概念：角的形成，角的始边、顶点、终边．2、角的概念的推广： 正角； 负角； 零角.3、终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为{ββ|＝2k πα+，k ∈Z }．注意：角k πα+（k ∈Z ）表示两条终边，一条是 ，另一条是 ．4、象限角、区间角、区间角的集合 注意：1、各象限角的集合；α为象限角，2α是第几象限角的确定 2、区间角的确定---举例说明5．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ， 终边在坐标轴上的角的集合为 ． 注意：终边关于x 轴、y 轴、坐标原点对称的角之间的关系若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是：α+β= 2k π，k ∈Z ；若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是：α+β= (2k+1)π，k ∈Z若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是：α－β=π+2k π=β+(2k+1)π，k ∈Z ；6、弧度制、弧长公式：r l⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）7、填表：8、三角函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），P 与原点的距离为r= （r ＞0），则 r y =αsin ； r x =αcos ； x y =αtan ；注意：锐角三角函数：sin αα=的对边斜边cos αα=的邻边斜边tan ααα=的对边的邻边9、已知角α终边上一点P 与原点的距离为r ，则点P 的坐标是 10、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 注意： 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390°和-330°都30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x yO xy O x y O11、三角函数线 （1）.单位圆和有向线段① 单位圆：圆心在坐标原点，半径等于单位长度的圆叫做单位圆. ② 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时） 或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T.规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则OM=x, MP=y ,（2）.三角函数线：根据正弦、余弦、正切的定义，就有sin ,cos ,11tan .y y x xy MP x OM r r y MP ATAT x OM OA ααα============ 这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT （是指有向线段的数量值：）分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. 注意：三角函数线是指有向线段的数量值：“符号再加上长度”12、同角三角函数的基本关系式：（1）、平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）、商数关系：tan α＝ 【()2a k k Z ππ≠+∈】.说明：① 注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”③. 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-，cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=， s i nc o s t a n ααα=⋅.练习：1、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 、写出终边在直线在y=x 上的角的集合2、若角α和角β的终边关于y 轴对称，则sin α 、sin β的大小关系是 答：sin sin αβ=；3、已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是 答：(2,3]-4、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝ （答：125-）；5、若α是第二象限的角，试分别确定2α的终边所在位置. 6、函数cos sin tan |sin |cos tan x xx y x x x=++的值域是 7、 设α 是第二象限的角，且|cos |cos ,222ααα=-则的范围是8. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥23; (2)cos α≤21-.9、扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α则有⎪⎩⎪⎨⎧==+12142lr l r ∴⎩⎨⎧==21l r 由 |α|＝rl 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )10、若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：扇形周长R R l R C 222+=+= ∴22+=C R ∴22)22(2121+⋅=⋅=C R S αα扇1624241244122222C C C ≤++⋅=++⋅=ααα 当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为162c ．11、利用三角函数线证明：0,sin tan .2x x x x π<<<<若求证：12、若αα2cos 1sin -+ααcos sin 12-=0，判断cos （sin α）•sin （cos α）的符号。
三角函数同角三角函数的关系
三角函数同角三角函数的关系正文部分：三角函数是我们学习高中数学时经常遇到的内容之一，而同角三角函数是我们对三角函数的一个重要拓展。
本文将详细介绍三角函数和同角三角函数之间的关系。
一、三角函数的定义在介绍同角三角函数之前，我们首先需要了解三角函数的定义。
在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的定义如下：正弦函数sinA = 对边/斜边余弦函数cosA = 邻边/斜边正切函数tanA = 对边/邻边二、同角三角函数同角三角函数是指角度相同的两个三角函数之间的关系。
对于角度A而言，同角三角函数包括正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA以及它们的倒数，即正割函数secA、余割函数cosecA和余切函数cotA。
其中，正割函数secA = 1/cosA，余割函数cosecA = 1/sinA，余切函数cotA = 1/tanA。
它们与sinA、cosA和tanA之间存在着特定的关系。
三、同角三角函数的关系1. 正弦函数和余割函数的关系根据sinA和cosecA的定义，我们可以得到如下的关系：sinA =1/cosecA，即sinA = 1/(1/sinA)，进而推导得sin^2A = 1。
这表明正弦函数和余割函数之间存在着倒数关系。
2. 余弦函数和正割函数的关系根据cosA和secA的定义，我们可以得到如下的关系：cosA =1/secA，即cosA = 1/(1/cosA)，进而推导得cos^2A = 1。
这表明余弦函数和正割函数之间存在着倒数关系。
3. 正切函数和余切函数的关系根据tanA和cotA的定义，我们可以得到如下的关系：tanA =1/cotA，即tanA = 1/(1/tanA)，进而推导得tan^2A = 1。
这表明正切函数和余切函数之间存在着倒数关系。
这些关系的存在使得我们在解决数学问题时能够更加灵活地应用同角三角函数。
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三角函数的定义与同角三角函数关系
一．知识内容：
1.在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.三角函数定义：
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于
点P (x ，y )，那么：
(1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；
(3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝y x (x ≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三
角函数.
思考：使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，
在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .问角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
4.(1)三角函数的定义域，值域分别是：
(2)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号:
5.由定义观察同角三角函数之间的关系：
二．知识应用：
例1.利用定义求下列角的三角函数值：(1)
32π (2)67π (3)3
10π-
练：(1)若750°角的终边上有一点(4，a )，则a ＝________.
(2)求下列各式的值.①cos 25π3＋tan(－15π4
)；②sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
例2.已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝
10
10x，求sin θ，tan θ.
练1已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋
3
cos α的值.
例3.(1)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
(2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
练2(1)点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角.
(2)若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都有可能
例3.(1)已知cos α＝－8
17，求sin α，tan α的值.(2).已知tan α＝4
3且α为第三象限角，
求sin α，cos α的值.
练3(1)若sinα＝－4
5，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)若cosα＝
3
3，求
sinα，tanα的值；
(3)若tanα＝－
2
2，求sinα，cosα的值．
例4. 已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α.
练4化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°
；
(2)1cos 2α1＋tan 2α
－ 1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).。