锐角三角函数(特殊值)

特殊角的锐角三角形函数值

锐角三角形是指所有三条边长度都大于0，且有一个角大于90度的三角形。这种三角形中可能存在一个角被称为特殊角。

如果你想要求特殊角的函数值，你需要知道这个角所对的边的长度，以及这个角的度数。这个角的函数值就是这个角对边的正切值。

正切值是一种三角函数，表示的是一个角的正切，公式为：tan(θ) = y/x

其中θ是这个角的弧度值，y和x分别是这个角对边的长度。

例如，如果你有一个锐角三角形，其中有一个角的度数为120度，这个角对边的长度分别为4和5，的正切值就是tan(2π/3) = 5/4。

正切值是三角函数的一种，它可以用来求出一个角的函数值。但是在使用正切值的时候，需要注意一些事项：

在计算正切值时，一定要使用弧度值，而不是角度值。

在计算正切值时，需要注意值域的限制。正切函数的值域是(-∞, ∞)，所以在计算正切值时，可能会出现无限大或者无限小的情况。

正切函数是有周期性的，周期为π。所以在计算正切值时，可能会出现与期望值不同的结果。

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结

28锐角三角函数

一、知识框架

本文介绍了锐角三角函数的知识点和概念总结，包括特殊值的三角函数、互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系以及三角函数值的变化情况。

二、知识点、概念总结

1.锐角三角函数的定义：

在锐角三角形中，对于角A，其对边、邻边、斜边分别为a、b、c，则有：

sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a

2.特殊值的三角函数：

对于30°、45°、60°这几个特殊角度，其三角函数值为：

3.互余角的三角函数间的关系：

对于角度α和其互余角90°-α，有以下关系：

sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，

cot(90°-α)=tanα

4.同角三角函数间的关系：

平方关系：sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，cot²α+1=csc²α

积的关系：sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα，

tanα=sinα·secα，cotα=cosα·cscα，secα=tanα·cscα，

cscα=secα·cotα

倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1

5.三角函数值：

1）特殊角三角函数值

2）0°～90°的任意角的三角函数值，可以查三角函数表。

3）锐角三角函数值的变化情况：

i）锐角三角函数值都是正值

ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

特殊锐角三角函数值

三角函数是一种重要的函数，可用来描述任意角度的实际运动、振动，以及各种复杂的数学关系。它是一种多用途函数，能够把圆周运动变成直线运动，也可以用来求解振动、空气流动、电磁波传播等问题。它也可以用来描述三角形的形状，以及多边形的形状。

三角函数在运算中有一个重要的性质，就是它可以在锐角处有很好的表达能力。锐角是指两个直线之间较小的夹角，一般被划分为45°、30°、60°。三角函数的特殊锐角值是指三角函数在特殊锐角（45°、30°、60°）处的值，它们出现的频率非常高。下面是特殊锐角的三角函数值表：

45°：sin45°=0.707，cos45°=0.707，tan45°=1

30°：sin30°=0.500，cos30°=0.866，tan30°=0.577

60°：sin60°=0.866，cos60°=0.500，tan60°=1.732 这些特殊锐角三角函数值在数学中有着广泛的应用，它们可用于解决各种复杂的数学关系和运算问题。

例如，有一个包含60°锐角的三角形，那么它的两条直角边的边长比例可以用特殊锐角的三角函数值求出来，即a:b=

sin60°:cos60°，即a:b=0.866:0.500。

此外，这些特殊锐角三角函数值还可用于求解另一个角度，例如给出一个等腰三角形的其中一个边长为a，另外一条边长为b，此时可以用特殊锐角三角函数值来求出它们之间的夹角，即tanα=a/b。

另外，特殊锐角三角函数值也可以用来求解特殊三角形，例如等

腰直角三角形，它的两个直角的锐角值均为45°，然后可以利用三角函数特殊锐角值来求出等腰直角三角形的边长等相关数据。

特殊角的锐角三角函数值

三角函数是数学中最主要的函数之一，了解它们对我们日常学习和工作都有很大的帮助。三角函数的定义指出，三角函数是由采用角度作为自变量的函数表示的。此外还有正弦、余弦和正割三角函数，它们的变化规律是周期性的。其中正、余弦和正割的值，当角大于360°时，会出现周期性变化的现象。

特殊角也就是角的大小大于360°的角，也就是弧度的值大于2

π的角度。这些特殊角的锐角三角函数值在数学中有很多应用。比如说，科学计算中有时需要使用这些特殊角，以求出曲线在特定点处切向线的斜率。弧度的值和角的余弦值也有一定的关系，因此经常需要用到特殊角的锐角三角函数值。

正弦、余弦和正割的特殊角值，由于角的大小大于360°，其函数值也就不是个位数。需要进行进一步的计算，以求出特殊角的锐角三角函数值。

例如，正弦函数sin(x)当x=390°时，此时角大于360°，因此特殊角的正弦值就不是个位数。角度的大小可以转换为弧度，即x=390°可以转换成弧度，即x=6.8Rad，此时正弦函数值

sin(x)=sin(6.8)=0.851。

余弦函数cos(x)当x=400°时，其值也是特殊角，角度可以转换成6.9Rad，余弦函数值cos(x)=cos(6.9)=-0.228。

正割函数tan(x)当x=450°时，此时正割值也是特殊角，角度可以转换成7.85Rad，此时正割函数值tan(x)=tan(7.85)=4.16。

特殊角的锐角三角函数值不仅在科学计算中有用，还有一些工程学中的应用，比如说在机械设计中，当制作一个机器的齿轮的时候，也会使用特殊角的锐角三角函数值。

锐角三角函数特殊值表及巧记方法

巧记方法：

一

备注：实际上每两行一记是很简单的。比如：sin 和cos的数值是倒过来的；

tan和cot的数值是倒过来的。

每一行中都有一个“0”和一个“1”，

但tan和cot在由小到大的顺序，最大的不存在。

巧记方法：

二

备注：如图所示。

还可以按矩形的对角线来相对应。

都是交叉对应。

巧记方法：

三

备注：记出了sin和cos之后，tan怎么办呢？可以直接用刚才算出的sin和cos值相除得出

tan的对应值。

再用它的相反的顺序直接写出cot的值。

特殊锐角三角函数值

特殊锐角三角函数是指不完全属于圆角三角函数范畴的三角函数值，它们被称为特殊三角函数，并与圆角三角函数和不完全圆角三角函数构成一个完整的三角学框架。特殊圆角三角函数的范围覆盖从0°到90°的角度，包括30°、45°、60°等特殊角度；但它们与一般圆角三角函数不同，在某些特殊角度上可以得到比圆角三角函数更精确的解。

特殊圆角三角函数一般指不对称的三角函数值，而不是对称的三角函数值。对称的三角函数值包括正弦、余弦和正切，它们可以由180°、270°或360°旋转得到，因此可以使用0°~360°的角度来表示这些值。非对称的三角函数值如锐角正切，它不能通过180°、270°或360°的旋转得到另一个值，仅能提供特定的特殊的角度的三角函数值。

正因如此，以上特殊角度的三角函数值可由特殊圆角三角函数表示：

•上正弦（Sin）：sin 30° = 0.5;

•上锐角正切（Cot）：cot 30° = 1.732;

•辅锐角正割（Sec）：sec 60° = 2。

特殊锐角三角函数在许多领域都有着广泛的应用，特别是在计算几何、机械、建筑和航海等工程技术领域。它们的主要作用是用来解决三角函数方程及其他各种应用中的各种概念分析问题。此外，它们在解决其他工程和数学问题方面更是尤为可观，如矩阵、经济学、建筑和微积分等。

特殊角的锐角三角函数值

2
450
450
1
600
3
┌
┌
1 锐角 A
锐角三角函数
1
30°
45°
60°
sin A cos A tan A
例1、求下列各式的值. (1) cos260°+ sin260°
解：（1）cos² 60+sin² 60°
cos45 (2) -tan45 sin45
Cos² 60°表示（cos60°）² ，即（cos60°） ×（cos60°）
cos 45 （2） tan 45 sin 45
驶向胜利的彼岸
执教：周贵珍
温故而知新
锐角三角函数定义
正弦: 余弦: 正切:
a sin A , c b cos A , c
B
斜边
A
c
┌ C
对边
a
a tan A , b
邻边 b
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.
探究
如图,观察一副三角尺: 它们中有几个锐角?分别是多少度?
解：在右图中，
AO 3OB tan a 3 OB OB
A
O

B
a 60
特殊角的锐角三角函数值表
锐角 A
锐角三角函数

28.1.1锐角三角函数---特殊的三角函数值

使用锐角三角函数表，也可以查函数表，得锐角三角函数值，得锐角三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．
1.用计算器求下列锐角三角函数值: (1) sin 20 , cos 70 ; sin 15032'; cos 74028';
0 0
sin 35 , cos 55 ; tan 308' , tan 80025'43"
B 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦( 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦); 锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切( 一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个锐角的余切等于它的余角的正切); 锐角的余切等于它的余角的正切); A c a b ┌ C
0 ’ ” 键,进一步得到还可以利用 2nd F 07’08.97 这说明锐角A精确到1 的结果为 08.97”( ∠ A=30007 08.9பைடு நூலகம் (这说明锐角A精确到1’的结果为的结果为30 9 ). 3007’,精确到1”的结果为3007’9”). ,精确到1 的结果为
怎样验算求出 ∠A=3007’9”的是否正确?
分析第1(1)题分析第1(1)题 1(1) 的结果，你能的结果，得出什么猜想，得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？猜想吗？

特殊的锐角三角函数值

30°
cos30 3a 3
2a 2
tan30 a 3 3a 3
60° 45°
sin60 3a 3 2a 2
cos60 a 1 2a 2
tan60 3a 3 a
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
sin45 a 2 2a 2
cos45 a 2 2a 2
tan 45 a 1 a
28.1 锐角三角函数第3课时特殊的锐角三角函数值
学习目标
运用三角函数的概念，自主探索， 1
求出30°、45°、60° 角的三角函数值；
2 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
∠A的对边
sinA
B
斜边
斜边
cosA
∠A的对边
∠A的邻边斜边
A
∠A的邻边
C
∠A的对边
tanA
∠A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值
如下表：
仔细观察,说说你
发现这张表有哪些规律?
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
典例精析
例1求下列各式的值：
cos260°＋sin260°

特殊角的锐角三角函数值

锐角三角函数是一类可以用来描述特殊角（如90度、180度等）的三角函数。它们通常是正弦、余弦和正切函数，它们可以在特定环境中执行非常有用的任务，比如将角度转换为符号及其对应的值，建立数学模型等等。

正弦函数用以描述特殊角的正弦值，是把给定角度的正弦值以数值的形式表示出来。一般地说，正弦值表示角度所偏离0°的角度范围，其中0°被定义为0s，90°为1s，180°为0s，270°为-1s，360°又回到0s。也就是说，可以通过正弦函数映射出角度对应的正弦值。

另一个锐角三角函数是余弦函数，其作用是计算特殊角的余弦值。余弦值也是一个数值，表示角度与水平面之间的夹角，即它表示角度的偏移从0度到90度的距离。它的取值范围也同样为0~1，其中0度的余弦值为1，90度的余弦值为0，180度的余弦值又回到1。余弦函数可以帮助我们描述特殊角度对应的角度范围及其余弦值。

锐角三角函数的特殊值。

锐角三角函数是数学中常见的一类函数，它们在三角学和解析几何中有着重要的应用。这些函数的特殊值在计算和解题中起着重要的作用，下面我们将详细介绍锐角三角函数的特殊值。

一、正弦函数的特殊值

正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。在锐角三角函数中，正弦函数的特殊值主要集中在0°、30°、45°、60°和90°五个角度上。

1. 当角度为0°时，正弦函数的值为0。这是因为0°角的对边为0，所以正弦函数的值也为0。

2. 当角度为30°时，正弦函数的值为1/2。这是因为30°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为1/2。

3. 当角度为45°时，正弦函数的值为√2/2。这是因为45°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为√2/2。

4. 当角度为60°时，正弦函数的值为√3/2。这是因为60°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为√3/2。

5. 当角度为90°时，正弦函数的值为1。这是因为90°角的对边等于斜边，所以正弦函数的值为1。

二、余弦函数的特殊值

余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，它表示一个角的邻边与斜边的比值。在锐角三角函数中，余弦函数的特殊值也主要集中在0°、30°、45°、60°和90°五个角度上。

1. 当角度为0°时，余弦函数的值为1。这是因为0°角的邻边等于斜边，所以余弦函数的值为1。

2. 当角度为30°时，余弦函数的值为√3/2。这是因为30°角的邻边等于斜边的一半，所以余弦函数的值为√3/2。

3. 当角度为45°时，余弦函数的值为√2/2。这是因为45°角的邻边等于斜边的一半，所以余弦函数的值为√2/2。

锐角三角函数(特殊值)

300,450,600角的三角函数值
温故互查
锐角三角函数的定义
B c A b a C
在 Rt ABC 中， C 90
∠A的正弦： s inA
A的对边 BC a 斜边 AB c A的邻边 AC b c os A ∠A的余弦 : 斜边 AB c
A的正切：tanA

30,60 角的所有三角函数值。
),AB=( )

（2）如图，在△ABC中，∠C=90° ∠A＝45° 设BC=a,则AC=(

依据图形，写出45°角的三个三角函数值。
尝试完成下表
洞察力与内秀
特殊角的三角函数值表
三角函数锐角α 正弦 sinα
1 2 2 2 3 2
300 450 600
余弦 cosα 3 2 2 2
1 2
正切 tanα 3 3
1
余切 cotα
3
1
3
3 3

2.阅读教材109页中的例2，并回答问题。你认为在完成例题2这类问题时，应注意什么？

时间：15分钟
归纳
B
1
2
C
30.0
A
A的对边 Sin30°= 斜边 A的邻边 Cos30°= 斜边
A的对边 BC a A的邻边 AC b

锐角三角函数---特殊角的三角函数值

求下列各式的值：
（ 1 ） 1 2 sin 30 cos 30；
（2） 3 tan 30 tan 45 2 sin 60； cos 60 1 （3）； 1 sin 60 tan 30
1 2005 0 （4） 2 sin 45 cos 60 （ 1 ）（ 1 2）. 2
BC=12,BD= 8
3,求∠A的度数及AD的长.
A
D B
C
小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这几类特殊角的三角函数值．
sin A cos B;cos A sin B sin A 1 tan A ;tan A cos A tan B
sin2 A cos2 A 1
所以，对于任何一个锐角α ，有 0＜sin α ＜1， 0＜cos α ＜1， tan α ＞0，
B
A
C
300、45Biblioteka Baidu、600角
的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:
计算 : (1) cos 30 sin 60; (2)sin 45 2sin 45 cos 60; 3tan 30 2 tan 60 (3) 4sin 60 o cos 60
2
B
例3 （1）如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，， AB 6, BC 3
三角函数正弦sinα 锐角α