微分方程的多解与变号解

微分方程的多解与变号解

【摘要】：偏微分方程解的存在性与多重性是非线性分析的一个重要研究内容,有着广泛的背景,它来源于物理、生物工程、化学和医学等领域.近年来,许多学者对偏微分方程进行了研究,例如利用变分方法和临界点理论研究了各种Schrodinger方程解的存在性与多解性.这些研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文利用变分方法、Morse 理论、临界点理论、拓扑度理论研究了几类偏微分方程的解与变号解.本文分为五章.第一章,我们介绍一些研究背景,国内外研究现状及本文的一些主要结果.第二章中,我们对经典椭圆方程Dirichlet边值问题进行了研究,其中Q(?)RN是具有光滑边界的有界区域,f∈C1(Ω×R1,R1)满足次临界增长条件|ft’(x,t)|≤C(1+|t|p-2),(x,t)∈Ω×R1,其中C0是一正常数,p∈(2,2’),如果N≥3,则2*=2N/(N-2)；如果N-1,2,则2*-∞.我们把拓扑度、临界群、不动点指数结合起来,得到它们之间的一些转化关系,给出一些假设条件,使得非线性项f在0点和∞共振和跨特征值.我们解决了仅仅使用不动点指数和拓扑度理论不能研究共振情形的问题,如文献[1](J.Math.Anal.Appl.314(2006)464-476).我们考虑在0点和∞都共振的情形,这是一般文章都没有考虑的情形.而且我们的共振条件去掉了[2](Math.Z.233(2000)655-677)中的有界性条件.我们还研究了单边共振的情形,这种共振条件又比我们常见的要弱,它去掉了极限存在的要求和增长性条件.我们得到的结论是：f在0点共振或跨特征值,在∞点共振或单边共振或跨特征值,那么上述边值问题

都有七个非平凡解,其中两个正解、两个负解、三个变号解.在维数N=1时,我们可以进一步计算第七个解的临界群,从而得到第八个解,这个解是变号解,所以在维数为一的情形下,我们得到两个正解、两个负解、四个变号解.在维数N=1,方程是四阶时,就化为[1]中所研究的问题.我们不仅给出了零点和无穷远点共振的情形,而且当0点共振到奇特征值或跨奇特征值时,还可以通过计算临界群,得到七个非平凡解,其中三个变号解,这种情形利用[1]中的方法,不能考虑.而在0点和∞都共振到偶特征值时,得到六个非平凡解,这样的共振情形也是[1]中的方法所不能研究的.[1]中只能考虑在零点和无穷远点都是跨偶数个特征值的情形.从而我们推广了[1]的结论,而且得到比[1]中更好的结果.我们假设以下条件：(f1)f(x,t)t≥0,(x,t)∈Ω×R1；(f2)存在n0≥2满足λ。0λn0+1,使得ft’(x,0)=λn0+1,xΩ.且存在δ0,使得f(x,t)t≤λn0+1t2,(x,t)∈Ω×[-δ,δ]；(f3)存在b0,使得|f(x,t)|b,(x,t)∈Ω×[-bc,bc],其中c=maxx∈Ωe(x),且e是边值问题：的解；(f4)存在满足λn1-1λn1的正整数n11及C10,α∈(0,1),使得(?)f(x,t)/t=λn1,对x∈Ω一致成立,|f(x,t)-λn1t|≤C1(1+|t|α),(x,t)∈Ω×R1,且(?)1/|t|2α(F(x,t)-1/2λn1t2)=(-1)n1+1∞对x∈Ω一致成立,其中F(x,t)=∫0tf(x,s)ds,(x,t)∈Ω×R1；(f5)存在n1,ε,R0,使得λ21-1+ε≤f(x,t)/t≤λ2n1,x∈Ω,|t|≥R,且(?)1/|t|(F(x,t)-1/2λn1t2)=-∞对x∈Ω一致成立；(f6)存在n1,ε,R0,使得λ2n1≤f(x,t)/t≤λ2n1+1-ε,x∈Ω,|t|≥R,且(?)1/|t|(F(x,t)-1/2λn1t2)=+∞对x∈Ω一致成立；(f7)存在n0≥2,使得λn0λn0+1且λn0ft’(x,0)λn0+1对x∈Ω一致成立；(f8)存在满足A2n1入2n1+1的n11,使得α(x)=(?)f(x,t)/t存在且λ2n1α(x)λ2n1+1对x∈Ω

一致成立.定理2.1.1.设条件(f1)-(f3)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一个成立,则边值问题(2.1.1)至少有七个非平凡解,其中两个正解,两个负解,三个变号解.定理2.1.2.设条件(f1),(f3)及(f7)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一个成立,则边值问题(2.1.1)至少有七个非平凡解,其中两个正解,两个负解,三个变号解.在第三章中,我们考虑了RN上半线性椭圆方程-△u+u=f(x,x),u∈H1(RN)的解.在一些假设条件下,我们利用下降流线给出无穷多变号解的存在性.文献[3](Adv.Math.222(2009)2173-2195)中研究的是有界区域上的半线性椭圆方程的无穷多变号解,这里我们改进到无界区域.同时,我们也改进了文献[4](Comm.Math.Phys.55(1997)149-162)中只得到无穷多解,而没有确定出它们的符号的结论.本章中,我们给出以下条件：(A1)存在p∈(2,2*)及c0,使得|f(x,t)|≤c(|t|+|t|p-1),(x,t)∈RN×R1；(A2)存在α2,R0,使得αF(x,t)≤t,(x,t),(x,t)∈RN×R1,(?)F(x,t)0,其中F(x,t)=∫0t(x,s)ds,(x,t)∈RN×R1；(A3)limt→0f(x,t)/t=0在RN上一致成立；(A4)f(gx,t)=f(x,t),9∈O(N),(x,t)∈RN×R1；(A5)f(x,-t)=-f(x,t),tf(x,t)≥0,(x,t)∈RN×R1.那么我们有如下结果：定理3.1.1.假设(A1)-(A5)成立,则方程(3.1.1)有无穷多变号解.第四章中,我们研究Schrodinger-Poisson系统正径向解的存在性,其中f∈C(R1,R1).我们假设f满足limt→+∞f(t)/tp+∞,利用变分方法,当λ和p在不同范围时,给出一些解的存在性与不存在性结果.我们把[5](J.Funct.Anal.237(2006)655-674)中非线性项f(u)-up的结果推广到一般的非线性项.f,而且改进了文献[6](Ann.I.Poincare-AN,27(2010)779-791)中只对很小的参数得到一个