结构的稳定计算
结构稳定计算习题
《结构的稳定计算》习题一、判断题1、能量法求有限自由度体系的临界荷载所得结果为精确解。
（）2、叠加原理适用于结构的稳定计算。
（）3、结构失稳包括分支点失稳和极值点失稳两种形式，临界荷载就是从稳定平衡状态到不稳定平衡状态的最小荷载。
（）4、能量法求无限自由度体系的临界荷载所得结果为近似解，其结果大于或等于精确解。
（）5、稳定平衡状态的能量特征是结构的势能极小，不稳定平衡状态的能量特征是结构的势能极大。
（）6、在结构的稳定分析中，具有n个稳定自由度的结构具有n个临界荷载和n个失稳形式。
（）二、填空题1、结构的稳定自由度是指。
2、分支点失稳与极限点失稳的主要区别是在临界状态存在着平衡形式的性。
34、图(a)所示体系简化为图(b)所示的弹性支撑压杆，已知各杆EI=常数，则弹性支座的刚度系数为k= 。
5、图示压杆发生的失稳形式如图，试写出其位移边界条件：(1)、；(2)、；(3) 。
6、图(a)所示体系简化为图(b)所示的弹性支撑压杆，则弹性支座的刚度系数为k1= ；k2= ；。
三、分析计算题1、试用静力法与能量法两种方法计算图示刚性链杆体系（各杆的EI 0=∞）的临界荷载P cr ，已知弹性支承的刚度系数k =3EI/l 3。
23、试用两种方法：静力法与能量法求图示结构的临界荷载P cr ，设压杆失稳时弹性部分的曲线y (x )=ax (1－x 2/l 2)。
24、试将图示压杆体系简化为具有弹性支承的单根压杆，并写出弹性支承的的刚度系数。
5、试用能量法求图示等截面直杆在自重作用下的临界荷载(ql)cr。
22)，其中a为常数。
6、已知k=12EI/l，试用静力法求图示压杆的临界荷载P cr。
混凝土结构的稳定性计算原理
混凝土结构的稳定性计算原理一、前言混凝土结构的稳定性计算是建筑学中的重要组成部分。
混凝土结构的稳定性是指在荷载作用下，结构不发生破坏或者失稳的能力。
计算混凝土结构的稳定性是为了保证结构的安全性，避免人员和财产的损失。
本文将对混凝土结构的稳定性计算原理进行详细的阐述。
二、混凝土结构的稳定性计算的基本原理混凝土结构的稳定性计算基本上是按照以下步骤进行的：1. 确定结构的荷载2. 确定结构的内力3. 确定结构的稳定性4. 确定结构的尺寸和构造三、确定结构的荷载在建筑设计中，荷载是指对于结构体系所施加的所有重力和外力的合力。
荷载的种类包括自重、活载、风载、地震载、温度载等。
在计算荷载时，需要根据国家有关规定和标准，对各种荷载进行分类和确定。
四、确定结构的内力在确定结构的内力时，需要根据荷载作用下结构的受力特点，进行弹性力学分析计算。
弹性力学分析计算包括静力学、动力学、弹性理论、塑性理论等。
其中，静力学是最常用的分析方法。
在静力学分析中，通常采用平衡方程和受力平衡方程进行计算。
五、确定结构的稳定性在确定结构的稳定性时，需要分析结构的承载能力和稳定性能力。
承载能力是指结构在荷载作用下的破坏承载能力，稳定性能力是指结构在荷载作用下的稳定能力。
结构的稳定性分析包括弯曲稳定性、剪切稳定性、压缩稳定性、扭转稳定性、屈曲稳定性等。
在计算稳定性时，要考虑结构的材料和断面性质、受力形式和结构的几何形状等因素。
六、确定结构的尺寸和构造在确定结构的尺寸和构造时，需要根据结构的荷载和内力计算结果，确定结构的尺寸和构造。
结构的尺寸和构造要满足强度、刚度、稳定性和经济性的要求。
在设计时，还需要考虑施工的可行性和建筑的使用要求等因素。
七、混凝土结构的稳定性计算的具体方法混凝土结构的稳定性计算的具体方法包括以下几个方面：1. 计算结构的荷载：根据建筑设计规范和标准，确定结构所受的各种荷载。
2. 计算结构的内力：根据荷载作用下结构的受力特点，运用弹性力学分析方法，计算结构的内力。
《结构的稳定计算》课件
基本原理和计算方法
平衡方程
根据平衡条件，通过计算 外力和内力的关系得到系 统的稳定性状况。
能量方法
稳定计算可以用势能公式 表示。计算稳定性参数之 间的关系，以判断系统的 稳定性。
叠加法
有些结构失稳问题很难直 接求解，可以用叠加法把 问题拆分பைடு நூலகம்多个方面，逐 步求解。
应用案例分析
1
框架结构的稳定分析
结论
稳定性计算是建筑结 构计算不可或缺的环 节
只有确保结构的稳定性， 才能确保建筑物的安全和 稳定。
稳定性计算的应用会 越来越广泛
随着市场需求的不断增加 和技术的不断发展，稳定 性计算会被广泛应用于各 种建筑物的设计和修建中。
稳定性计算需要不断 创新完善
新材料、新工艺的引入和 新建筑物的设计、建造， 都需要我们不断完善和创 新本领域的计算方法。
常见问题和解决方案
如何准确预测结构失稳 状况？
可以通过大量的实验数据和 成熟的计算方法对新的结构 问题进行预测，尽可能发现 并纠正失稳问题。
如何提高稳定计算的准 确度？
在计算过程中应尽可能准确 地输入计算参数，包括荷载、 材质参数、节点位移等，同 时精确地模拟结构失稳形式。
如何解决结构失稳问题？
可以通过增加材料、加强固 定等方式，对结构弱化部位 进行加固，从而提高稳定性。
参考文献和附件
1. 《结构工程师手册》 2. 《结构体系稳定性计算手册》 3. 《建筑结构》 4. 专业计算软件：AutoCAD, Revit, Midas NFX等 附件：稳定性失效模式图、相应的数学公式
我们通过一个实际的框架结构来介绍稳定性计算方法。结合研究对象的特点，阐 明失稳形式、计算方法和解决方案。
稳定性计算公式范文
稳定性计算公式范文稳定性计算是指对于一些系统、结构或者物体，在特定条件下的抗倾覆、抗位移的能力。
稳定性计算的结果可以指导设计和改善结构的性能，确保其在使用过程中能够保持稳定和安全。
本文将介绍稳定性计算的公式范文，帮助读者理解和应用于工程实践中。
一、极限弯矩计算极限弯矩是指结构或构件在受到外力作用时，发生塑性变形或发生破坏的临界点。
计算极限弯矩是判断结构稳定性的重要步骤之一对于一维结构（如梁）、柱、杆件等，其极限弯矩计算公式如下：$M_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{{L_e}^2}$其中，$M_{cr}$代表极限弯矩，$E$代表弹性模量，$I$代表截面惯性矩，$L_e$代表有效长度。
这个公式适用于考虑了弯曲应变响应的情况，能够较准确地预测结构的极限弯矩。
二、稳定系数计算稳定系数是用来评估结构相比于极限弯矩所承受的外力大小的一种参数。
稳定系数越大，说明结构的稳定性越好。
对于柱、杆件等挠曲构件，其稳定系数计算公式如下：$C_r = \frac{N_{cr}}{{P_{cr}} \cdot A}$其中，$C_r$代表稳定系数，$N_{cr}$代表临界压力，$P_{cr}$代表临界轴向力，$A$代表截面面积。
这个公式适用于计算长挠曲构件在临界载荷作用下的稳定系数。
对于板、薄壁结构等弯曲构件，其稳定系数计算公式如下：$C_r = \frac{F_{cr}}{{P_{cr}} \cdot L \cdot b}$其中，$C_r$代表稳定系数，$F_{cr}$代表临界弯矩，$P_{cr}$代表临界轴向力，$L$代表构件长度，$b$代表构件宽度。
这个公式适用于计算板、薄壁结构在临界载荷作用下的稳定系数。
三、应力计算应力是物体在受到外力作用时产生的内部应变引起的力的大小。
应力计算是结构稳定性计算的基础，能够帮助确定结构在承受外力时的强度和稳定性。
对于受弯构件，其应力计算公式如下：$\sigma = \frac{M \cdot c}{{I \cdot y}}$其中，$\sigma$代表应力，$M$代表弯矩，$c$代表截面到受力点的距离，$I$代表截面惯性矩，$y$代表截面到受力点的垂直距离。
结构的稳定计算
图所示为一等截面压杆,下端固定,上端有水平支杆, 现采用静力法求其临界荷载。
柱顶有未知水平反力FR,弹性曲线的微分方程为 将上式展开,得到如下的超越方程式:
或改写为 由于
=4.493,故得
上式的解为
常数A、B和未知力FR可由边界条件确定。
本节作业
1试用能量法求图示变截面 杆的临界荷载FPcr。
2试用能量法求图示排架的 临界荷载FPcr。
I
I0
1 sin
x l
y
1
cos
x 2H
其中
当x=0时,y =0,由此求得A=0。 当x=l时,y=0和y=0,由此得
例题 试求图所示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。
弹性支座的刚度系数 在柱顶处有未知的水平力FR,弹性曲线的微分方程为
得到如下的超越方程
为了求解这个超越方程,需要事先给定k值(即给出I1/I2的比值)。下面讨论三种情形的解:
根据小挠度理论,其平衡方程为
由于弹性支座的反力矩MA=
,即得
为了得到非零解，齐次方程的系数应为零,即
上式称为特征方程,或者稳定方程 分支点相应的荷载即为作重量, 体系的势能EP为弹簧应变能 与荷载势能VP之和。弹簧应变能为
由此可见,能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说, 势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。
得
设压杆有任意可能位移,变形曲线为
令 弯曲应变能
体系的势能为
其中
荷载势能
例题 如图所示两端简支的中心受压柱,试用能量法求其临界荷载。
解 简支压杆的位移边界条件为 当x=0和x=l时, y=0 在满足上述边界条件的情况下,我们选取三种不同的 变形形式进行计算。 (1)假设挠曲线为抛物线
结构力学——结构的稳定计算[优讲课堂]
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课资讲解
21
例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临
界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。
设体系发生如下的变形
课资讲解
22
取B’C’为隔离体，由MB’=0, 得
FP ( y2 y1 ) k1 y1l 0
或 (k1l FP ) y1 FP y2 0 (1)
再由整体平衡MA=0, 得
称分支点
稳定。
理想中心受压杆，课无资讲初解 曲率或弯曲变形 7
分 支 点 失 稳
失稳前后平衡状态课的资讲变解 形性质发生变化 8
课资讲解
9
2. 非完善体系
非完善体系，一般受力、 变形性质不发生改变。但 随着荷载增大存在一极值 荷载（此后变形增大荷载 反而减少），这类稳定现 象称极值点稳定。
结构
FP稳h 定 方6Ea程I 0
6EI FPcr ah
非零解为
课资讲解
20
小结
按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。
非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使
AB杆继续偏转（ 角增大），必须施加更大的
荷载（ F增P 加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。
在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和 基于大变形的非线性理论：
线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去 高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时 的实验结果有较大偏差。
非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响， 其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复 杂。
课资讲解
15
2.简单结构稳定分析
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正 比，叠加原理适用。
结构力学-稳定计算
θ
FRB=kΔ
B
弹簧的反力 FRB k kl sin(θ ) sin
sin 所以：Fp kl cos 1 sin( ) 求极值
dFP cos ( ) kl sin( ) sin 1 0 2 d sin ( )
Δ Fp C
临界荷载
0
Fpcr 3EI 2 l
A
MAC= SAB
A y SABθ
MAB=SAB
l
θ
结构力学（2）
A y1 B k y2 C k
浙大宁波理工学院土建学院
pcr
Fp
y
kl
kl O
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
结构力学（2） 2. 按小挠度理论
浙大宁波理工学院土建学院
x
单自由度完善体系的分支点失稳
Δ
Fp
kΔ
M
A
0
,
Fp (l sin ) FRB (l cos ) 0
1.2
Fpcr
ε=0.01 ε=0
1.2 1 0.8 0.6 0.4
1
kl
0.8
0.6
ε=0.1 ε=0.2
0.4
0.2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1.6 1.8
0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.35
sin Fp kl cos 1 sin( )
钢结构强度稳定性计算书
钢结构强度稳定性计算书计算依据：1、《钢结构设计标准》GB50017-20172、《钢结构通用规范》GB 55006-2021一、构件受力类别：轴心受弯构件。
二、强度验算：1、受弯的实腹构件，其抗弯强度可按下式计算：M x/γx W nx + M y/γy W ny≤ f式中M x，M y──绕x轴和y轴的弯矩，分别取20×106 N·mm,1×106 N·mm；γx, γy──对x轴和y轴的截面塑性发展系数，分别取1.05,1.2；W nx,W ny──对x轴和y轴的净截面抵抗矩,分别取237000 mm3, 31500 mm3；计算得：M x/(γx W nx)+M y/(γy W ny)=20×106/(1.05×237000)+1×106/(1.2×31500)=106.825 N/mm2≤抗弯强度设计值f=215 N/mm2，故满足要求！2、受弯的实腹构件，其抗剪强度可按下式计算：τmax = VS/It w≤ f v式中V──计算截面沿腹板平面作用的剪力,取V=5×103 N；S──计算剪力处以上毛截面对中和轴的面积矩,取S= 138000mm3；I──毛截面惯性矩,取I=23700000 mm4；t w──腹板厚度,取t w=7 mm；计算得：τmax = VS/It w = 5×103×138000/(23700000×7)=4.159 N/mm2≤抗剪强度设计值f v = 175 N/mm2，故满足要求！3、在最大刚度主平面内受弯的构件，其整体稳定性按下式计算：M x/φb W x≤ f式中M x──绕x轴的弯矩，取20×106 N·mm；φb──受弯构件的整体稳定性系数,取φb= 0.9；W x──对x轴的毛截面抵抗矩W x,取947000 mm3；计算得：M x/φb w x = 20×106/(0.9×947000)=23.466 N/mm2≤抗弯强度设计值f= 215 N/mm2，故满足要求！4、在两个主平面受弯的工字形截面构件，其整体稳定性按下式计算：M x/φb W x + M y/γy W ny≤ f式中M x，M y──绕x轴和y轴的弯矩，分别取20×106 N·mm,1×106 N·mm；φb──受弯构件的整体稳定性系数,取φb= 0.9；γy──对y轴的截面塑性发展系数，取1.2；W x,W y──对x轴和y轴的毛截面抵抗矩,分别取947000 mm3, 85900 mm3；W ny──对y轴的净截面抵抗矩,取31500 mm3计算得：M x/φb w x +M y/ γy W ny = 20×106/(0.9×947000)+1×106/(1.2×31500)=49.921 N/mm2≤抗弯强度设计值f=215 N/mm2，故满足要求！。
结构力学——结构的稳定计算1
5 nl
y
2
2
2
得 A Ql 0
BnPQ 0
P
A cn o B ls sn i n 0 l
经试算 nl4.493tannl4.485 1
0
0l n 1 0
Pcr n2EI (4.49)2E 3 I2.0 1E 9/Il2 l
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l tanlnl
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下： sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
二.N自由度体系
Pk
（以2自由度体系为例）
MB 0 k1y lP (y2y1)0
y1 l EI kB
l
ky 1 ky 2
d2y2(x) d2M dx
dx2
GAdx2
Q
方程的通解
y(x)A co m sB xsim nx
边界条件 y (0) 0 y(l) 0
挠曲微分方程为
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
P EI y2(x)
y(1P)Py0
结构稳定理论计算和原理
静力法
静力法即静力平衡法，也称中性平衡法，此法是 求解临界荷载的最基本方法。
对第一类弹性稳定问题，在分支点存在两个临近 的平衡状态：
初始直线平衡状态和产生了微小弯曲变形的平衡 状态。
静力法就是根据已发生了微小弯曲变形后结构的 受力条件建立平衡微分方程，而后解出临界荷载。
静力法举例
两端铰接轴心受压构件
挠曲线的平衡微分方程
由内力矩-EIy〞=M与外力矩 P y
相平衡
或 EIy〞+Py=0
当两端铰接时，边界条件为 x=0, y=0； x=l, y=0
解平衡微分方程，得到P的最小值:
Pcr =π2EI / l2 即 临界荷载或“ 欧拉荷载”
能量法
静力法是通过建立轴心受压构件微弯状态时的平 衡方程，求出临界荷载的精确解。
影响结构稳定性能的各种主要因素；
为增强结构稳定可能采取的各种措施等。
本课程为考试课。
第一章 概 述
工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外， 还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。
强度 结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗 破坏的能力；
刚度 结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗 变形的能力；
当作用着外力的弹性结构偏离原始平衡位置而产生 新的微小位移时，如果应变能的增量ΔU大于外力功的增 量ΔW，即此结构具有恢复到原始平衡位置的能力，则结 构处于稳定平衡状态；如果ΔU <ΔW，则结构处于不稳 定平衡状态而导致失稳；临界状态的能量关系为
ΔU =ΔW
势能驻值原理
势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有 微小变化而总势能不变，即总势能Π 有驻值时，结构处 于平衡状态。或者说
荷载—位移曲线
结构的稳定计算
A
k
B
k
D FP
C
l
l
l
Fp
A
M1 B y1 k
B
C M2
y2
k
C
D FP
解：
M1 Fp y1 l
失稳变形图
分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。
M 2 Fp y2 l
2019/11/23
18:20:33
17
第 10 章 结构的稳定计算
M1 B
C M2
通过对变形后的B’、C’ 点求矩有：
P
l EI
A
k
1
k
k
MA 0
k Pl sin 0
小挠度、小位移情况下：
sin
(k Pl) 0
0
k Pl 0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k / l ---临界荷载
2019/11/23
18:20:33
P Pcr
P Pcr
---临界荷载
稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡
不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去 稳定性称为失稳(屈曲).
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18:20:33
2
第 10 章 结构的稳定计算
分支点失稳的特征
P
FP C
l EI
FP 2 FPc r
B A
q
完善体系
D 大挠度理论
小挠度理论 D
P
Acosnl Bsin nl 0
经试算 nl 4.493 tan nl 4.485 Pcr n2 EI ( 4.493)2 EI 20.19EI / l2 l
稳定性分析结构的稳定性判断与计算方法
稳定性分析结构的稳定性判断与计算方法稳定性分析在结构工程中具有重要的意义，它用于评估结构在受力情况下的稳定性和可靠性。
本文将讨论结构的稳定性判断和计算方法，并介绍一些常用的工程实践。
一、稳定性判断方法1. 静力刚度法静力刚度法是最简单且常用的稳定性判断方法之一。
该方法基于结构在稳定状态下，受力平衡和变形满足静力学方程的假设。
根据结构的初始几何形状和受力情况，可以得到结构的初始刚度矩阵。
通过判断结构的刚度矩阵的特征值是否为正，可以确定结构的稳定性。
2. 弹性屈曲分析法弹性屈曲分析法是一种精确的稳定性判断方法，适用于具有复杂几何形状和较大位移的结构。
该方法基于弹性力学原理，通过对结构的弹性刚度矩阵进行特征值分析，得到结构的屈曲荷载和屈曲模式。
如果结构在设计荷载下的实际荷载小于屈曲荷载，那么结构就是稳定的。
3. 极限平衡法极限平衡法是一种基于能量平衡原理的稳定性分析方法。
该方法通过建立稳定状态下结构的能量平衡方程，利用极限状态下的能量变化来判断结构的稳定性。
当结构受到外力作用时，如果能量平衡方程能够满足，那么结构就是稳定的。
否则，结构将失去稳定性。
二、稳定性计算方法1. 弯曲稳定性计算在结构设计中，弯曲稳定性是最常见的稳定性问题之一。
弯曲稳定性计算可以通过欧拉公式进行。
欧拉公式是计算压杆稳定性的经典方法，它可以用来计算弯曲后的截面失稳荷载。
根据欧拉公式，弯曲稳定性计算可以通过截面惯性矩、截面形状和截面材料的参数来进行。
2. 局部稳定性计算除了弯曲稳定性，局部稳定性也是一个重要的考虑因素。
局部稳定性通常涉及到薄弱的结构构件，如薄壁构件和薄板。
局部稳定性计算可以通过截面失稳计算、临界载荷计算和局部屈曲分析来进行。
这些方法可以帮助设计人员确定结构是否足够抵抗局部失稳的力量。
三、工程实践1. 结构稳定性设计在结构设计中，稳定性是一个基本的要求。
设计人员需要根据结构的空间几何形状、荷载情况和材料特性，综合考虑弯曲稳定性和局部稳定性。
结构力学—— 结构的稳定计算
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
FP
B
FR
k
k
x
MO 0
FP
B FPlsin( θ) FRl cos( θ) 0
l
l
FR kl sin θ ε sin ε
A
O
Ay
FP
klcos θ
ε
1
sinε
sin θ
ε
哈工大 土木工程学院
15 / 85
16 结构的稳定计算
(1) 大挠度理论
如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为
不稳定平衡
3 / 85
16 结构的稳定计算
结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。
结构的失稳类型
第一类失稳（分支点失稳） 第二类失稳（极值点失稳）
哈工大 土木工程学院
4 / 85
16 结构的稳定计算
第一类失稳的基本特征
结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支
点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，
称分支点失稳。
FP
FP
FP < FPcr时，杆件仅产生压
II 不稳定
FPcr
0
缩变形。轻微侧扰，杆件微 弯；干扰撤消，状态复原 （平衡路径唯一）。
16 结构的稳定计算
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
哈工大 土木工程学院
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16 结构的稳定计算
§16.1 两类稳定问题概述
结构力学 结构的稳定计算
0
简写为：
([K][S]){a} {0}
K S 0
这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P的n 次线性方程组，可求出n个根，由最小根可确定临界荷载。
第14章
14.3 弹性支承等截面直杆的稳定计算
具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
一、临界状态的静力特征
1、体系失稳前在弹性阶段工作
（1）应力、应变成线性关系。 （2）挠曲线近似微分方程成立。
2、采用小挠度理论分析
y
x
M0, 0
y M 或：EIy M EI
（1）无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载值 是相同的。
（2）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而 小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。
0
sinαi cosαo 0
tanl l 3EI
k
(14-21)
第14章
二、一端自由、另一端为弹性抗转支座
x Δ Pc r
EI B y
x
平衡方程： 边界条件：
稳定方程：
M P( y )
(1) x 0: y 0
( 2 ) x 0 : y P
k
A
y MA= kθ θ
l tanl k
条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。
第14章
3、举例 （1）试求图示结构的临界荷载。
p
pcr
EI l x
x
y
pcr
解：建立坐标系、取隔离体、写平衡方程
R
M p y R (l x) (1)
l-x
钢结构稳定计算
钢结构稳定计算钢结构在现代建筑中应用广泛，其稳定性是确保结构安全和正常使用的关键因素。
钢结构稳定计算是一个复杂而重要的课题，涉及到众多的理论和实际问题。
要理解钢结构的稳定计算，首先得明白什么是结构的稳定性。
简单来说，就是结构在受到外力作用时，保持其原有平衡状态的能力。
对于钢结构而言，如果在受到一定的荷载作用下，结构发生了突然的、较大的变形，甚至倒塌，那就说明结构失去了稳定性。
钢结构稳定计算的基础是力学原理。
钢结构中的构件，比如钢梁、钢柱等，在受到压力、拉力、弯矩等各种力的作用时，其内部会产生相应的应力和应变。
这些力和变形的关系需要通过力学分析来确定。
在钢结构中，常见的稳定问题有轴心受压构件的稳定、受弯构件的稳定以及压弯构件的稳定等。
轴心受压构件，比如钢柱，是钢结构中常见的受力构件。
在计算其稳定性时，需要考虑构件的长细比。
长细比是构件的计算长度与截面回转半径的比值。
长细比越大，构件越容易失稳。
这是因为长细比大的构件，在压力作用下容易发生弯曲变形，从而导致稳定性降低。
受弯构件，比如钢梁，其稳定性计算相对复杂一些。
除了要考虑弯矩的大小和作用位置，还要考虑梁的侧向支撑情况。
如果梁的侧向支撑不足，在受到较大弯矩时，可能会发生侧向弯曲失稳。
压弯构件则同时承受压力和弯矩的作用，其稳定性计算需要综合考虑轴心受压和受弯的情况。
钢结构稳定计算中，材料的性能也是一个重要的因素。
钢材的强度、弹性模量、屈服点等都会影响结构的稳定性。
而且，实际使用的钢材可能存在各种缺陷，如裂纹、夹杂物等，这些都会降低钢材的性能，从而影响结构的稳定性。
除了构件自身的因素，结构的整体布置和连接方式也对稳定性有着重要的影响。
比如，钢结构框架中的梁柱节点，如果连接不够牢固，在受力时可能会发生节点破坏，从而影响整个结构的稳定性。
在进行钢结构稳定计算时，通常会采用一些理论和方法。
其中，经典的理论包括欧拉理论、切线模量理论等。
这些理论为我们提供了计算钢结构稳定性的基本框架。
结构力学-稳定计算
sin(
)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
23
Fpcr kl(1 sin 3 )2
极值点之后，位移增大而承载力反而减 小，所以位移增大的过程是不稳定的
临界荷载(极值点)和初
位移有关
单自由度非完善体系的极值点失稳
4.按小挠度理论
Fp
kl
cos
1
sin sin(
非完善体系
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ
B EI
Pc r kΔ
θ
A y
单自由 度体系
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
EI B y
x
A y
MA= kθ θ
无限自由 度体系
Pc r RB
y EI
x A
y MA= kθ θ
小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异
大挠度理论
小挠度理论
l sin
l
l
l(1 cos )
1 l 2 2
2l sin2
2
2l
2
大挠度理论
FRB=kΔ
y
单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
F 1.2 p
kl 1
0.8
0.6
0.4
ε=0 ε=0.01
ε=0.1 ε=0.2
Fpcr 1.2 kl 1
0.8 0.6 0.4
结构力学—结构的稳定计算和案例
虽不出现新的变形形 式，但结构原来的变 形将增大或材料的应 力超过其许可值，结 构不能正常工作。
2020/2/20
结构力学
7
扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。
2020/2/20
结构力学
8
§ 14-2 两类稳定问题计算简例
一个体系产生弹性变形时．确定其变形状态所需 的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。
2020/2/20
结构力学
12
令 dFP 0, 得
d
FP
kl
cos(
)[1
sin ] sin( )
1
sin( ) sin 3
相应极值荷载： 23 FPcr kl(1 sin 3 )2
2020/2/20
结构力学Байду номын сангаас
13
2. 按小挠度理论分析
P
P
P
EI
EI
1个自由度
2个自由度
无限自由度
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结构力学
9
14-2-1 单自由度完善体系的分支点失稳
1. 按大挠度理论分析 平衡条件：
FP (l sin ) FR (l cos ) 0
又弹簧反力：
FR kl sin
即 (FP kl cos )l sin 0 第一解： 0 第二解：FP kl cos
1. 按大挠度理论分析
如图所示单自由度非 完善体系杆AB有初倾 角ε，其余同前面。
平衡方程：
FPl sin( ) FRl cos( ) 0
弹簧反力：
FR kl[sin( ) sin ]
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20
分析结论
• 第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算 较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观 的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。 • 第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值， 对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳 的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修 改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。
12
§16.2 有限自由度体系的临界荷载
确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目 称为体系失稳的自由度。 FP FP
EI= k
FP
EI=
EI= EI=
k
DOF = 1
DOF = 2
DOF =
13
主要计算方法： 静力法——根据临界状态的静力特征（即平衡形式 的二重性），寻找平衡路径交叉的分支 点，可精确得到理论上的临界荷载值。 能量法——依据能量特征来确定体系失稳时临界荷 载。体系取得平衡的充要条件是任意可 能位移和变形均使势能取得驻值。
4
结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。 第一类失稳（分支点失稳） 结构的失稳类型 第二类失稳（极值点失稳）
5
定义 完善体系——受压杆件均为理想受压杆的结构体系； 非完善体系——如结构中受压杆有初曲率，或荷载有
2k
EI=
2FP
B l
m
0
2ky2
B
2k
FP y1 2FP y2 2kly1 2kly2 0
FP FP kl y1 0 F 2kl 2 F 2kl y P P 2 0
A
23
A
FP FP kl det 0 FP 2kl 2 FP 2kl
初偏心，则这类结构体系称非完善体系。
P P P e
6
第一类失稳的基本特征 结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支 点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载， 称分支点失稳。 FP FP FP < FPcr时，杆件仅产生压 缩变形。轻微侧扰，杆件微 II 不稳定 弯；干扰撤消，状态复原 FPcr 0 （平衡路径唯一）。
第一类失稳仍有其重要地位
21
例题：用静力法求图示结构的临界荷载FPcr 解：从临界平衡状态的两重性出发
D
FP EI1=
D h
FP
D
FP
B EI A l
EI
C
B A
C
3EI A l
3EI l
l
A
m
0
6 EI ( FP h ) 0 l
6 EI FP h 0 l
FPcr
δE P 0 & δ2 EP 0
稳定平衡
δE P 0 & δ2 EP 0
随遇平衡
δE P 0 & δ2 EP 0
不稳定平衡
29
变形体系势能：
EP U U P
= 荷载势能 + 变形势能
EP EP (a1 , a2 ,, an )
关于广义坐标的总势能驻值条件：
E P E P E P δE P δa1 δa 2 δa n 0 a1 a 2 a n
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
FP F R
B k k
FP B
x
MO 0
FP lsin( θ ) FR l cos( θ ) 0
l
A
l
FR kl sin θ ε sin ε
y
O A
sinε FP klcos θ ε 1 sin θ ε
FP klcosθ lsinθ 0
第一解： θ 0
l
A
O A y
第二解： FP klcos
15
FP II 不稳定
FPcr
大、小挠度理论 临界荷载相同
FP kl FP klcos
(2) 小挠度理论 (1) 大挠度理论 临界荷载：
I 稳定
θ0
FPcr kl
16
17
(1) 大挠度理论
FP sinε cosθ ε 1 kl sinθ ε
求极值点处的临界荷载
d FP 0 d
FP/kl
1.00 0.695 0.536
sin( θ ) sin
1 3
2 3 FPcr 3 (1 sin ) 2 kl
1.36
0.367
位形图
24
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr. 解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡
状态的两重性出发列平衡方程。
A
EI=
l
B k
EI=
l
C k
EI=
l
D
FP
y1 FxA=FP
k
y2
k
FP FyD=FPy2/l
25
FyA=FPy1/l
FRB=ky1
l
I 稳定
0
完善体系
O
FP ≥FPcr时，杆件既可保持 原始的直线平衡状态，又可 进入弯曲平衡状态（平衡路 径不唯一）。
7
发生第一类失稳的还有：
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过 程中结构变形的性质发生突变，产 生了两种性质截然不同平衡路径。
8
第二类失稳的基本特征 是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。 失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点， 该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。 FP
ε＝0
FP/kl
0.695 0.536 0.415
ε＝0
θ
0.38 0.42 1.37 1.47 1.57 0.1 0.2 0.3
ε
18
O
(2) 小挠度理论
ε FP kl 1 kl θ ε θ ε
FP/kl
1.0 0.8
k
FP B
ε＝0
l
0 0
FP
(kl 2FP ) y1 FP y2 0 FP y1 (kl 2FP ) y2 0
kl 2 FP FP
1 1
M
kl 2 FP F P
B
y1 0 y kl 2 FP 2 0
28
二、能量法
依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。 势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的 位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变 分等于零（δEP =0）。 该驻值条件等价于平衡条件 保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要 考察体系总势能的二阶变分状态：
ε＝0
FPcr kl
θ
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
19
A
0.0
分析结论
• 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。
• 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷 载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。
• 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。 实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说 失稳都属于第二类失稳。
由广义坐标变分的任意性
E P 0 a i
( i 1, 2, n)
关于广义坐标 ai 的齐次方程
广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是 临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。
30
例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr 解：从临界平衡状态的能量特征出发
D FP EI1= B
FP FP
q FP FP
他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的 性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。
10
扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征 当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。 FP
Δ f
FP
FPcr
O
l l
FP
FPcr
O
非完善体系
初始缺陷使得开始加载杆件 便处于微弯状态，挠度引起 附加弯矩。随荷载增加侧移 和荷载呈非线性变化，且增 长速度越来越快。荷载达到 一定数值后，增量荷载作用 下的变形引起的截面弯矩的 增量将无法再与外力矩增量 相平衡，承载力下降，杆件 便丧失原承载能力。
9
l
发生第二类失稳的情况：
2
强度验算 结构设计 刚度验算
必不可少。
薄壁结构
稳定验算 ——某些时候是必须的
高强材料结构 （如钢结构）
主要受压的结构等
强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的 结构的计算简图来分析的； 而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。
16 结构的稳定计算
1
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。