锐角三角函数单元测试3
锐角三角函数练习卷(含答案)
锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。
- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。
- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。
答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。
答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。
答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。
答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。
证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。
重庆巴蜀中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知：如图，四边形AOBC 是矩形，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，C 点落在D 点处，则D 点的坐标为（ ）A ．33(3,)22-B ．33(3,)22--C ．33(,3)22D ．(3,33)- 2．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE CE =，3BAC CBD ∠=∠，6266BD =+，则AB 的长为（ ）A ．6B ．62C ．12D ．102 3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）A ．5:1B ．4:1C ．3:1D ．2:1 4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（ ）A ．11sin a +米B ．11cos a-米 C ．11sin a -米 D ．11cos a +米 5．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒=C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒6．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ∠ACB 值为（ ）A ．355B ．175C ．35D ．457．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（ ）A ．43B ．8C ．23+4D ．368．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．31)mB ．31)mC ．31)mD ．31)m9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（ ）A．cos sina xb xa xb x D．sin sina xb x B．cos cosa xb x C．sin cos10．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA＝45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE＝150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED＝60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.411．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（）A．2+6B．1+3C．4 D．2+2312．如图，在矩形ABCD中，33AB ，AD＝9，点P是AD边上的一个动点，连接BP，将矩形ABCD沿BP折叠，得到△A1PB，连接A1C，取A1C的三等分点Q（CQ＜A1Q），当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为（）A ．πB ．23πC ．433πD ．233π 二、填空题13．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．14．已知ABC 中，16,3AB AC cosB ===，则边BC 的长度为____________． 15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为_____．16．如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．17．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ,BC 长为6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号）18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____． 19．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02A B -+-=，则∠C=____________． 20．如图，O 的直径2AB =，弦1AC =，点D 在O 上，则D ∠的度数是______．三、解答题21．如图，有一个半径为3cm球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P和Q，已知70α=，40β=，一侧接触点离地面距离PM是4cm（sin700.94,cos700.34,tan70 2.75;sin400.64,cos400.77,tan400.84≈≈≈≈≈≈）（1）求圆心O距离地面的高度；（2）直接写出QOP∠与α、β的关系；（3）另一侧接触点离地面距离QN又是什么？22．如图，AB为O的直径，,C D为O上两点，且C为弧BD的中点，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AC（1）求证：EF是O的切线；（2）当32,sin5BF F==时，求AE的长．23．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为10米，且这段斜坡的坡度i=1:3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果保留根号）24．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3=1.732）25．解答下列各题．（1）计算：20170(1)9(3)2cos30π-+--+︒．（2）解方程：(3)(1)3--=x x ．26．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】如图，作 DE ⊥x 轴于点E ，灵活运用三角函数解直角三角形来求点 D 的坐标．【详解】解：如图，作DE ⊥x 轴于点E ，∵点A 的坐标为（0，3），∴OA ＝3．又∵∠OAB ＝60°，∴OB ＝OA•tan ∠OAB ＝33，∠ABO ＝30°． ∴BD ＝BC ＝OA ＝3．∵根据折叠的性质知∠ABD ＝∠ABC ＝60°，∴∠DBE ＝30°，∴DE ＝12BD ＝32，BE ＝332∴OE ＝33－33=33， ∴E 33(3,)22-． 故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题，翻折前后对应角相等，对应边相等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．2．C解析：C【分析】作DF BC ⊥于F ，根据题意判断出ABC ∆是等腰直角三角形，求出CBD ∠的度数，进而判断出ACD ∆是等边三角形，设AB a ，在Rt BDF ∆中利用直角三角形的性质求出DF 的长，用a 表示出CF 的长，再根据勾股定理即可得出a 的值，进而得出答案．【详解】解：作DF BC ⊥于F ，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，AE CE =，BE EC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，3BAC CBD ∠=∠，30DBC ∴∠=︒，15ABD ∠=︒，1801515150BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，90BAC ∠=︒，60CAD ∴∠=︒，AC AD =，ACD ∴∆是等边三角形，AB AC AD CD ∴===，设AB a ，则2BC a =，AC AD CD a ===， 在Rt BDF ∆中， 30DBF ∠=︒，6266BD =+， 32362BD DF ∴==+，3cos (6266)3692BF BD CBD =∠=+⨯=+， 36922CF BF BC a ∴=-=+-，在Rt CDF ∆中，由勾股定理可得222CF DF CD +=，即222(36922)(3236)a a +-++=，解得12a =或12324+，∵12324+＞6266+，即此时AB ＞BD ，不符合，∴AB=12，故选：C ．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．3．A解析：A【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，再根据菱形的高与边长的关系求出∠A ，进而可求出∠ADC ，从而可得答案．【详解】解：如图，DE 是菱形ABCD 的高，DE=1cm ，∵菱形ABCD 的周长是8cm ，∴AD=2cm ，在Rt △ADE 中，∵DE=12AD ，∴∠A=30°，∵AB ∥DC ，∴∠A+∠ADC=180°，∴∠ADC=150°，∴∠ADC ：∠A=150°：30°=5:1．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．4．C解析：C【分析】设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，根据sin αPC PB =＇，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，sin αPC PB =＇∴1sin αx x-=∴x 1xsin α-=， ∴（1-sin α）x=1，∴x=11sin α-． 故选C ．【点睛】 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．5．A解析：A【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A 、31311sin 60sin 303022-︒-︒==︒=，此项错误；B、22222211 sin45cos45122⎛⎫⎛⎫︒+︒=+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此项正确；C、3sin602tan603,31sin302︒︒===︒，则sin60tan60sin30︒︒=︒，此项正确；D、3cos302tan603,31cos602︒︒===︒，则cos30tan60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．C解析：C【分析】如图，过点A作AH BC⊥于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．【详解】解：如图，过点A作AH BC⊥于H．在Rt ACH∆中，4AH=，3CH=，2222435AC AH CH∴=+=+=，3cos5CHACHAC∴∠==，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．A解析：A【分析】先证明△ABC是等边三角形，以C为圆心，CD为半径作圆，交AD边与点M，可得△CDM 是等边三角形，进而得到∆BCM≅∆ACD，可得到60BMC∠=︒，得到BM∥CD，过点M作MH CD⊥，根据△BCD的面积等于△CDM的面积求解即可；【详解】∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，∵∠ADC=60°，CM=CD ，∴△CDM 是等边三角形，∴60MCD ∠=︒，∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，即：∠BCM=∠ACD ，∴∆BCM ≅∆ACD ，∴∠BMC=∠ADC=60°，∴∠BMC=∠MCD ，∴BM ∥CD ，根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，过点M 作MH CD ⊥，∵CD=4，∴2==CH HD ， ∴tan 602MH MH DH ︒==， ∴23MH =， ∴△△1423432BDC CDM S S ==⨯⨯= 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键． 8．A解析：A【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x ，在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=MN AN ， ∴tan30∘=16x x+ =3√3， 解得：x=8(3 +1)，则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.9．A解析：A【分析】作CE ⊥y 轴于E ．解直角三角形求出OD ，DE 即可解决问题．【详解】作CE ⊥y 轴于E ．在Rt △OAD 中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b ，∠OAD=x ，∴OD=sin OAD sin AD b x ∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x ， ∴在Rt △CDE 中，∵CD=AB=a ，∠CDE=x ， ∴DE= cos CDE cos CD a x ∠=，∴点C 到x 轴的距离=EO=DE+OD=cos sin a x b x ，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10．B解析：B【分析】过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG=EF ，EG=BF ，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=12DE=4，DF=43，得到CF=CD+DF=4+43，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG ＝EF ，EG ＝BF ，∵∠CDE ＝150°，∴∠EDF ＝30°，∵DE ＝8，∴EF ＝12DE ＝4，DF ＝43， ∴CF ＝CD +DF ＝4+43，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ，∴GE ＝BF ＝AB +4+43，AG ＝AB ﹣4，∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，∴∠AEG ＝30°，∴tan30°＝3443AG GE AB ==++ ， 解得：AB ＝14+63≈24.4，故选：B ．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 11．A解析：A【分析】设DE 交AC 于O ，作BF ⊥AC 于F ，由直角三角形的性质得出CF ＝12BC ＝2，AF ＝BF ＝3CF ＝23，求出AC ＝CF +AF ＝2+23，由平行四边形性质得出AO ＝CO ＝12AC ＝1+3，DO ＝EO ，当OD ⊥AB 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，则△AOD 是等腰直角三角形，即可得出结果．【详解】解：设DE 交AC 于O ，作BF ⊥AC 于F ，如图所示：则∠BFC ＝∠BFA ＝90°，∵∠ACB ＝60°，∠CAB ＝45°，∴∠CBF ＝30°，∠ABF ＝45°＝∠CAB ，∴CF ＝12BC ＝2，AF ＝BF 3＝3 ∴AC ＝CF +AF ＝3∵四边形ADCE 是平行四边形，∴AO ＝CO ＝12AC ＝3DO ＝EO ， ∴当OD ⊥AB 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，则△AOD 是等腰直角三角形，∴OD ＝22AO ＝622， ∴DE ＝2OD 26故选：A ．【点睛】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．12．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9， ∴3tan 3AB ADB AD ∠==，即30ADB ︒∠=， ∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，∴133A B AB ==， ∴1133QE A B ==， 当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长1203231803ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．二、填空题13．1【分析】连接BH 证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ）得出∠ABH=30°在Rt △ABH 中解直角三角形即可【详解】解：连接BH 如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，∵BH=BH，AB=EB，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=12∠ABE=30°，∴AH=AB•tan∠33，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt△ABH≌△Rt△EBH，从而求得∠ABH =30°是解题关键．14．4【分析】过A作AD⊥BC于点D则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A作AD⊥BC于点D则由已知可得△ABC为等腰三角形BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=解析：4【分析】过A作AD⊥BC于点D，则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答．【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC=12 BC，∴由 cosB=13得111,62333BDBD ABAB===⨯=，BC=2BD=4，故答案为4 ．【点睛】本题考查等腰三角形和锐角三角函数的综合应用，灵活运用等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键．15．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数解析：1 2【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=12 ACAB=．故答案为：12．【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．16．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A作AC⊥OB于点解析：3．【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出22OA AC-3、BC=OB﹣OC=23Rt△ABC中，根据tan∠ABO=ACBC可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，OC=222221OA AC -=-=3，∴BC=OB ﹣OC=2﹣3，∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=23AC BC =-=2+3． 故答案是：2+3．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键．17．【分析】过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ∵BC=6∴解析：62【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ， ∵BC=6，∴CE=2sin 45632BC ︒=⨯=， ∴DF=CE=32，∴62sin 30DF AD ==︒， 故答案为：62．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．18．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°进而得出∠B 的度数进而得出答案【详解】∵tan ∠A=∴∠A=30°∵∠C=90°∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°∴cos ∠B=故答案为：【点 解析：12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【详解】∵tan ∠A ∴∠A =30°，∵∠C =90°， ∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos ∠B =12． 故答案为：12． 【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键． 19．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75解析：75°【分析】 根据非负数性质得1cos 0,1tan 02A B -=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.【详解】 因为()21cos 1tan 02A B -+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -=-= 所以1cos ,tan 12A B == 所以∠A=60°，∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75°【点睛】考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．20．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCA=90°再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA的值进而求得∠A的值然后由圆周角的定理得出答案∠D的值【详解】解：∵的直径是AB∴∠ACB=90°又∵AB=解析：60︒【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出∠BCA=90°，再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA的值，进而求得∠A的值，然后由圆周角的定理得出答案∠D的值．【详解】解：∵O的直径是AB，∴∠ACB=90°,又∵AB=2,AC=1,∴sin∠CBA=12 ACAB=∴∠CBA=30°∴∠A=60°∴∠D=∠A=60°【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，在解答时要注意特殊三角函数的取值．三、解答题21．（1）5.02；（2）QOPαβ∠=+；(3)2.71【分析】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．【详解】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，则OP =3cm ，∠OAP =90°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OPC =90°，∴∠PCM +∠MPC =90°，∠APO +∠MPC =90°，∴∠APO =∠PCM =70°，∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，∴∠OPC =∠OQB =90°，∵∠PCM=α，∠QBN=β，∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，按（1）的方法得，∠OQD=∠NBQ=40°，∴DQ=OQ•cos40°≈3×0.77=2.31（cm），由（1）知，圆心O距离地面的高度5.02cm，DN=5.02cm∴QN=DN-DQ=5.02﹣2.31=2.71（cm）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．22．24 5【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CD得到∠BAC=∠DAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠DAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥FE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）设半径OB=OC=3x，则OF=5x=3x+2，列方程得到OC=3，OD=5，求得AF=8，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BD的中点，∴弧BC=弧CD．∴∠BAC=∠DAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AE，∵AE ⊥FE ，∴OC ⊥FE ．∴FE 是⊙O 的切线；（2）∵3in 5OC s F OF ==， ∴设OB=OC=3x ，OF=5x ，∵OF=OB+BF ，BF=2∴5x=3x+2，∴x=1，∴OC=3，OF=5，∴AF=8， ∵3in 58AE AE s F AF ===， ∴245AE =． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．23．山顶A 到地面BC 的高度AC 是（603+60）米．【分析】作DH ⊥BC 于H ．设AE=x ．在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABC=AC BC，构建方程即可解决问题．【详解】解：作DH ⊥BC 于H ．设AE=x 米．∵DH ：BH=1：3，在Rt △BDH 中，DH 2+（3DH ）210)2，∴DH=60米，BH=180米，在Rt △ADE 中，∵∠ADE=45°，∴DE=AE=x 米，又∵HC=ED ，EC=DH ，∴HC=x 米，EC=60米，在Rt △ABC 中，tan30°=60180x x ++， ∴x=603， ∴AC=AE+EC=（603+60）米．答：山顶A 到地面BC 的高度AC 是（603+60）米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．该文化墙PM 不需要拆除，见解析【分析】首先过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则天桥高CD=6，由新坡面的坡度为1：3，可得tanα=tan ∠CAB=333==，然后由特殊角的三角函数值来求AD ，BD 的长；由坡面BC 的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：3，即可求得AD ，BD 的长，继而求得AB=AD-BD 的长，则可求得PA 答案．【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：3， ∴tanα33==，∴α＝30°．作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米， ∵新坡面的坡度为1：3，∴tan ∠CAD CD 6AD AD 3===， 解得，AD ＝63，∵坡面BC 的坡度为1：1，CD ＝6米，∴BD ＝6米，∴AB ＝AD ﹣BD ＝（3-6）米，又∵PB ＝8米，∴PA ＝PB ﹣AB ＝8﹣（3-6）＝14﹣63≈14﹣6×1．732≈3．6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除．【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形，利用好坡比，会解直角三角形是关键．25．（1）132）10x =，24x =．【分析】（1）根据零指数幂的意义，算术平方根，以及特殊锐角的三角函数值代入计算即可； （2）先将原方程去括号、移项，整理后再运用因式分解法解方程．【详解】解：（1）20170(1)9(3)2cos30π-+--+︒13132=-+-+⨯1313=-+-+ 13=+． （2）由原方程得：2433x x -+=，240x x -=，(4)0x x -=，∴10x =，24x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．同时还考查了特殊角三角函数值． 26．433A C '=+【分析】利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C ，进而判断出A'C 是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．【详解】解：如图，连接CC'，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC'是等边三角形，∴BC=C'C ，∵A'B=A'C'，∴A'C 是BC'的垂直平分线，垂足为D ，∴BD=12BC'=3， 在Rt △A'BD 中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，在Rt △BCD 中，∠CBD=60°，BC=6，∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。
【初三数学】滁州市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习题(含答案解析)
九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125 B.1213 C.513 D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( )A ．1 B.22 C.33D. 3 7．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12) C ．(－32，－12) D ．(－12，－32) 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝ ．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为 ． 19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝ ．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.8，b＝0.4，解这个直角三角形．解：21．(本小题满分9分)△ABC中，(3·tanA－3)2＋|2cosB－3|＝0.(1) 判断△ABC的形状；(2) 若AB＝10，求BC，AC的长．解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC＝6 m．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D ) A．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD 与水平线AE 的夹角为a ，如图所示.若tana=310，则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝，则∠A 的度数是( A )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°5.如图，有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ，则tan(∠BAF ＋∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定7.如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )海里/时 /时 海里/时 海里/时8.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A.B.C.D.9.如图，△ABD 和△BDC 都是直角三角形，且∠ABD=∠BDC=90°，∠BAD=30°，∠DBC=45°，则tan ∠DAC 的值为( C )A.B. C. D. 310.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米 C.30米 D ．46米11.如图，△ABC 内接于⊙0，AD 为⊙0的直径，交BC 于点E ，若DE=2，0E=3，则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5二、填空题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶2，则sinB ＝________． [答案] 3413.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】6－2415.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE=∠B=a ，DE 交AC 于点E ，且cosa=45，则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米17.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，求cos A的值．【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cos A＝sin B＝.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)【解析】如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，交BC 于点F ，过点C 作CG ⊥DM 于点G ，设BM=x 米，由题意，得DG=47.4米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=40°，则FM=BM=x 米，GF=CG=5米，∴DF=DG ＋GF=52.4米，∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米)，∵DM －FM=DF ，∴x0.84－x=52.4，解得x≈275.1，∴AB=BM ＋AM=BM ＋DE ≈280米. 答：“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算：sin 45°＋cos 230°＋2sin 60°. 【答案】解 原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋. 22.如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP=OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上，设∠PCB=α，∠P0C=β，求证tan α·tan β=13【解析】如图，连接AC ，则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ，tan α=BD BC ，BD ∥AC ，∴△PBD ∽△PAC ，∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ，∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BDAC人教版九年级数学下册 第二十八章锐角三角函数检测卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，BC ＝5，那么下列式子中正确的是( A )A.sin A ＝58B.cos A ＝58C.tan A ＝58 D.以上都不对 2.若cos A ＝32，则∠A 的大小是( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝37，BC ＝4，则AB 的长度为( D ) A.43 B.74 C.8103 D.2834.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A.2＋ 3B.2 3C.3＋ 3D.3 35.△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是( C )A.sin α＝cos αB.tan C ＝2C.sin β＝cos βD.tan α＝16.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( C )A.2 海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里7.Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c 等于( B )A.a cos A＋b sin BB.a sin A＋b sin BC.asin A＋bsin B D.acos A＋bsin B8.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A.4sinθ米2 B.4cosθ米2 C.(4＋tanθ4)米2 D.(4＋4tanθ)米29.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( D )A.(11－22)米B.(113－22)米C.(11－23)米D.(113－4)米10.如图，小明爬山，在山脚下B处看山顶A的仰角为30°，小明在坡度为i＝512的山坡BD上去走1300米到达D处，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为( B )A.600－250 3B.6003－250C.350＋350 3D.500 3二、填空题(每小题4分，共24分)11.计算：2sin60°12.如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于13.传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为10米.14.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平(结果保留根号).15.如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝12 .16.△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是三、解答题(共66分)17.(6分)计算：2cos 245°－(tan60°－2)2－(sin60°－1)0＋(12)－2 解：原式＝2×(22)2－|3－2|－1＋4＝1－(2－3)－1＋4＝3＋2.18.(6分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值.解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.19.(6分)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，求大厅两层之间的距离BC 的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC＝12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.20.(8分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.21.(8分)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内.理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16 cm，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12 cm，∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292，∵17＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.22.(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)人教新版九年级下学期单元测试卷：《锐角三角函数》一．选择题1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A ＝（）A．B．1C．D．2．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①s in105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时二．填空题11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan ∠B＝0.75，sin∠B＝0.6，c os∠B＝0.8）12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．14．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．15．在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，则∠C的度数是．16．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有条．B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）17．如图，点A（t，2）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t＝18．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）三．解答题19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．25．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．26．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．参考答案一．选择题1．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝，故选：A．2．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．3．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．5．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC＝＝2，∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，∴△CBH∽△BAO，∴＝＝＝2，∴BH＝﹣2a，CH＝2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴＝，∴＝，∴FH＝2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b＝﹣2a，∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．7．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，∵AB2＝BC2+AC2，∴132＝（5k）2+（12k）2，∴k＝1，∴BC＝5m，故选：A．9．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF＝∠FDC＝30°，∴EF＝FH，∵∠BGF＝90°，∴EF＝FH＝10，∴DF＝20，∴DC＝DH+HC＝10+1.6≈18.9．故选：B．10．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°＝AB＝6，AD＝AB•sin60°＝6，∴CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tan B＝，∴BC＝＝＝4．故答案为4．12．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．【解答】解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．14．【解答】解：如图，由tan B＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cos A＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∵在△ABC中，|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：A、由一个正多边形的一个外角为36°，得360÷36＝10，则这个多边形的对角线有＝35，B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得cos A＝≈0.667，A＝42.5故答案为：35，42.5°．17．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B．∴sinα＝，∵sinα＝，∴＝，∵A（t，2），∴AB＝2，∴OA＝，∴t＝，故答案为：．18．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．20．【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．21．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cos A＝＝，sin B＝cos A＝，tan B＝＝．22．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．23．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．24．【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C．∵t anα＝，OC＝6，∴PC＝8，即y＝8．（2）∵OP＝＝10．则sinα＝＝＝．25．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．26．【解答】解：过B作BF⊥AD于F．在Rt △ABF 中，AB ＝5，BF ＝CE ＝4．∴AF ＝3．在Rt △CDE 中，tan α＝＝i ＝． ∴∠α＝30°且DE ＝＝4，∴AD ＝AF +FE +ED ＝3+4.5+4＝7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD 为7.5+4．人教版九年级下学期第28章锐角三角函数 单元过关测试卷 含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（ ） A 、53 B 、54 C 、43 D 、34 2、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（ ） A 、等腰三角形 B 、等腰直角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A 、21 B 、2 C 、25 D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）A ．32 m B．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关（第3题） （第4题） （第6题） E D C B A D B C A B D C E A系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）A 、72米B 、36米C 、336米D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立 于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处， 然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么 大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）A ．8.1米B ．17.2米C ．19.7米D ．25.5米二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α=9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是 米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为θ时（如图2），四边形的面积 ．（用含的式子表示） 三、解答题（共61分）14、计算：（8分）（145sin 60)︒-︒（2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．（第10题） （第11题） （第13题） Ｄ 图1 Ｃ 图215、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )AB19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
人教版九年级下册数学 第28章 锐角三角函数 单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。
(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试卷(有答案解析)(5)
一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）A ．4B ．5C ．163D ．832．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )A ．4sin 3A =B ．4cos 3A =C ．4tan 3A =D ．4cot 3A =3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒4．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ） A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα6．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（ ）A ．()3,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()2,37．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．8．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（）A．322B．332C．32D．333229．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE 的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10 B．15 C．3D．3510．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（ ）A ．12B ．52C ．255D ．5511．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度．A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或4512．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题13．如图，河宽CD 为1003米，在C 处测得对岸A 点在C 点南偏西30°方向、对岸B 点在C 点南偏东45°方向，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）14．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若4AB =，3BC =，则图1和图2中点B 点的坐标为_________，点C 的坐标_________．15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，直径AD 交BC 于点E ，若1DE =，2cos 3BAC ∠=，则弦BC 的长为______．16．如图，在矩形ABCD 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， P 为对角线AC 上一动点，过线段BP 上的点M 作EF BP ⊥，交AB 边于点E ，交BC 边于点 F ，点N 为线段EF 的中点，若四边形BEPF 的面积为18，则线段BN 的最大值为 ________ ．17．3cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 18．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）．设点M 转过的路程为m （01m <<），，随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为___．19．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．20．如图，矩形ABCD中，AD=1，CD=3，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为__.三、解答题21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．（1）求证：AB是圆O的切线；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．22．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 AB 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 23．计算；（1）4sin 302cos 453tan 302sin 60--+︒︒︒︒ （2）()213tan 308cos 451tan 60cos60-++-︒︒︒︒24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边6,12AB BC ==，直线32y x m =-+与y 轴交于点P ，与边BC 交于点E ，与边OA 交于点D ．（1）已知矩形ABCO 为中心对称图形，对称中心(点F )为对角线AC OB ，的交点，若直线32y x m =-+恰好经过点F ，求点F 的坐标和m 的值﹒ （2）在（1）的条件下，过点P 的一条直线绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点,N M 、试问是否存在ON 平分CNM ∠的情况．若存在，求线段AM 的长，若不存在，说明理由﹒（3）将矩形ABCO 落在（1）条件下的直线32y x m =-+折叠，若点О落在边CB 上，求出该点坐标，若不在边CB 上，请你说明将（1）中的直线32y x m =-+沿y 轴进行怎样的平移，使矩形ABCO 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边CB 上．25．如图，在ABC 中，60ABC ∠=，23AB =，8BC =，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰ACD △，且120DAC ∠=，则BD =______．26．如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，C 是AD 中点，弦CE AB ⊥于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点； （2）若O 的半径为5，D 是BC 的中点，求弦CE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ， 设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ， 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠ 90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠ ,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒， ,FAG BCG ∴∠=∠ ,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽ ,AF FGEF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则,AB CD x DE ==+= AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()((2222,x x ∴=+235250,x x ∴--=55x ∴=5x = 55855DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠ 1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,m m ∴=⎝⎭83m ∴=（负根舍去）162.3EC EP ∴==故选：.C 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．D解析：D 【分析】分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项． 【详解】解：由题意可得：2222345c a b =++=，∴3434sin ,cos ,tan ,,5543a b a b A A A cotA c c b a ======== ∴正确答案应该是D ， 故选D ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．3．A解析：A【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x−10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x−10，∴CE＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EFCE ＝-10xx，∴x＝（x−10）tan 50°，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．D解析：D【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝12BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．【详解】解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝12BC，∴BD＝sin60°×OB∴BC＝2BD＝故答案是【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．5．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαAC=，BC∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.6．B解析：B【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【详解】⊥轴于D点，解：如图，过A点作AD x∆的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30．Rt OAB30AOD ∴∠=︒， 12AD OA ∴=， C 为OA 的中点，1AD AC OC BC ∴====， 2OA ∴=，3OD ∴=，则点A 的坐标为：(3，1)．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．7．A解析：A 【分析】分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==，∴45A ∠=︒，4AB =，又∵CD AB ⊥，∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形CEPF 是矩形，I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1∴2sin 2AE PE AP A x ===， ∴222CE x =， ∴四边形CEPF 的面积为2221222222y x x x x ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误；II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：依题意得：4CP x =-，∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，∴())24sin 4542CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF 的面积为()222144822x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．8．A解析：A【分析】分别过O 作OH ⊥BC ，过G 作GI ⊥OH ，由O 是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC 的中点，则可得BH=32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32，在等腰直角三角形OGI 中，即可求解．【详解】解：过O 作OH ⊥BC 于H ，过G 作GI ⊥OH 于I ∵∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ，∴OH ∥AB ，又O 为中点，∴H 为BC 的中点，∴BH=12BC=32∵GI ⊥OH ，∴四边形BHIG 为矩形，∴GI ∥BH ，GI=BH=32, 又∠F=45°，∴∠OGI=45°，∴在Rt △OGI 中，32cos 2GI OG OGI ==∠．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 9．B解析：B【分析】先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在Rt △CDE 中，∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，∴sin ∠DCE ＝51102DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC ＝103tan303CD ==︒（m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝1033⨯＝15（m ）． 故选：B ．【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．10．D解析：D【分析】此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵∠C ＝90°，∴AB ＝225AC BC a +=， ∴cosA ＝555AC AB a==， 故选：D ．【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．11．C解析：C【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =， ．sin ∠AOD=2，∴∠AOD=60°；sin ∠AOE=2，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.12．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2∵BC＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC ∴EB ＝EC ＝27即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF ＝22EB BF -＝()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB 即()()22235R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题13．100+100【分析】根据正切的定义求出AD 根据等腰直角三角形的性质求出BD进而得到AB的长【详解】在Rt△ACD中tan∠ACD＝则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米）在Rt△CDB解析：【分析】根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．【详解】在Rt△ACD中，tan∠ACD＝AD CD，则AD＝CD×tan∠ACD＝100（米），在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝∴AB＝AD+BD＝（故答案为：（【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．【分析】根据旋转的性质求解【详解】解：∵AB=4在x轴正半轴上∴图1中B坐标为（40）在图2中过B作BE⊥x轴于点E那么OE=4×cos30°=2BE=2在图2中B点的坐标为（22）；易知图1中点C解析：()2⎝⎭【分析】根据旋转的性质求解．【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，∴图1中B坐标为（4，0），在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°BE=2，在图2中B点的坐标为（2）；易知图1中点C 的坐标为（4，3），在图2中，设CD 与y 轴交于点M ，作CN ⊥y 轴于点N ，那么∠DOM=30°，OD=3， ∴DM=3•tan30°=3，OM=3÷cos30°=23， 那么CM=4-3，易知∠NCM=30°，∴MN=CM•sin30°=43-，CN=CM•cos30°=433-， 则ON=OM+MN=334+， ∴图2中C 点的坐标为（433-，334+）． 【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．15．【分析】连接OBOC 由题意易得AE ⊥BC 则有BE=EC ∠BOD=∠BAC 设OB=3rOE=2r 然后根据勾股定理可求解【详解】解：连接OBOC 如图所示：∵内接于AD 过圆心O ∴AE ⊥BC ∴BE=EC ∴∠解析：25【分析】连接OB 、OC ，由题意易得AE ⊥BC ，则有BE=EC ，∠BOD=∠BAC ，设OB=3r ，OE=2r ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图所示：∵ABC 内接于O ，AB AC =，AD 过圆心O ，∴AE ⊥BC ，∴BE=EC ，BD DC =，∴∠BAD=∠CAD ，∵∠BOD=2∠BAD ，∴∠BAC=∠BOD ， ∵2cos 3BAC ∠=， ∴2cos 3BOD ∠=， ∵DE=1，∴设OB=3r ，OE=2r ，则有： 321r r =+，解得：1r =，∴3,2OB OE ==，∴在Rt △BEO 中，BE =， ∴BC =故答案为【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．16．【分析】在△ABC 中求出AC 与AB 的长点P 在AC 上则6≤BP≤8由点N 为线段EF 的中点∠ABC=90º则EF=2BN 根据四边形BEPF 的面积为18利用对角线乘积的一半求面积得BN 与PB 成反比例PB 最 解析：154【分析】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=求出AC 与AB 的长，点P 在AC 上 则6≤BP≤8，由点N 为线段EF 的中点，∠ABC=90º，则EF=2BN ，根据四边形BEPF 的面积为18，EF BP ⊥利用对角线乘积的一半求面积得，PB BN=18，BN 与PB 成反比例， PB 最小时，BN 最大，当PB ⊥AC 时，PB 最小，求出最小值即可．【详解】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， ∵22sin cos 1CAB CAB ∠+∠=，∴3sin 5CAB ∠=，由正弦函数定义BC sin=ACCAB∠，∴AC=BC6==103sin5CAB∠，由勾股定理得AB=2222AC1068BC-=-=，点P在AC上则6≤BP≤8，∵点N为线段EF的中点，由∠ABC=90º，∴EF=2BN，∵四边形BEPF的面积为18，EF BP⊥，∴S四边形EBFP=11PB EF=PB2BN=PB BN=1822⨯，∴PB BN=18，∴18BN=PB，当PB最小时，BN最大，当PB⊥AC时，PB最小，即S△ABC=11AB BC=AC BP 22BP最小=AB BC8624== AC105⨯BN最大=1815= 2445故答案为：154．【点睛】本题考查锐角三角函数解直角三角形与点到直线距离最短问题，掌握锐角三角函数及其之间的关系，会用锐角三角函数解直角三角形，掌握垂线段最短，会利用面积或勾股定理求BP的最小值，解题时要理解BP最小，BN最大是解题关键．17．20°＜∠A＜30°【详解】∵＜cosA＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°∴20°＜∠A＜30°解析：20°＜∠A＜30°．【详解】∵3＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．18．【分析】当m从变化到时点N相应移动的路经是一条线段只需考虑始点和终点位置即可解决问题当m=时连接PM如图1点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的从而可得到旋转角为120°则∠APM=120°根据PA=解析：23 3【分析】当m从13变化到23时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=13时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的13，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=23时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的23，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．【详解】解：①当m=13时，连接PM，如图1，∠APM=13×360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×33=33．②当m=23时，连接PM，如图2，∠APM=360°-23×360°=120°，同理可得：3综合①、②可得：点N相应移动的路径长为33+33=33．23【点睛】本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．19．（）【分析】由三角函数的定义得到AC得出AC+BC的长度由矩形的面积即可得出结果【详解】在Rt△ABC中（米）∴AC+BC=米∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；故答案为：（）【点睛】本题考解析：（2+23【分析】由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．【详解】在Rt△ABC中，2333BCACtanθ===∴AC+BC=(2+23)米，∴地毯的面积至少需要1×（2+23=（2+232）；故答案为：（2+23）．【点睛】本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC是解决问题的关键．20．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD中∵AD=1CD=解析：2π﹣2【分析】由勾股定理得到AC=2，由三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根据图形的面积即可求得．【详解】在矩形ABCD 中，∵AD=1，，∵AC=2，tan ∠CAB=BC AD AB CD == ∴∠CAB=30°，∵线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，∴∠CAE=∠BAF=90°，∴∠BAG=60°，∵，∴阴影部分面积=S △ABC +S 扇形ABG -S △ACG 21601122360222ππ⋅⨯=+-=-．故答案为：2π﹣2． 【点睛】考查了扇形的面积计算，解题关键是灵活运用矩形、旋转的性质和熟记扇形的面积计算公式． 三、解答题21．（1）见解析；（26π- 【分析】（1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案． （2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接OB ，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠C ＝30°，∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴AB 是圆O 的切线；（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1，∴AB ＝tan 30OB =3=3， ∴S △ABO ＝12×1×3＝3， ∵∠AOB =2∠C=60°，∴S 扇形OBD ＝601360π︒︒⨯＝6π， ∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD ＝326π-．【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．22．（1）该圆的半径为5m ．；（2）2米．【分析】（1）连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，利用垂径定理求出AD ，再利用勾股定理求出圆的半径．（2）过点O 作OE ⊥AB'，利用垂径定理求出A'E 的长，再利用勾股定理求出OE 的长，然后求出水面上涨的高度．【详解】（1）解：连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，∴CD ⊥AB∴116322AD AB ==⨯= ， 设圆的半径为r ，OD=r-1在Rt △AOD 中 OD 2+AD 2=AO 2即（r-1）2+9=r 2． 解之：r=5．∴该圆的半径为5m ．（2）解：过点O 作OE ⊥AB'∴A'E=1''2A B =4，∴2222''543OEA O A E ， ∴水面上涨的高度为5-3=2米． 【点睛】 此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（132）231【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式123342322232=⨯-+⨯ 2113=--+ 3=（2）原式()23123221312=-+-32231=+ 231=．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及实数运算法则是解本题的关键． 24．（1）F （6，3），m=12；（2）存在，1243+或1243-；（3）不在，需将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94个单位长度． 【分析】（1）由题意得矩形的中心F 坐标为（6，3），代入32y x m =-+，得m=12； （2）分,M N 在y 轴左、右两侧两种情况，证明MON ∆是等边三角形即可得到结论； （3）假设沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处．连接PO′，OO′．则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°所以沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上．设沿直线32y x a =-+将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，Rt △OPE 中，OE OA OP AO '=，即8612AO =所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：394a =，所以将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94单位得直线，将矩形ABCO 沿直线折叠，点O 恰好落在边AB 上． 【详解】()1四边形ABCO 是矩形，6,12,AB BC ==()()()12,012,6,,0,6A B C ∴，F 是,AC OB 的交点，FO ∴是OB 的中点，()6,3P ，将()6,3F 代入32y m =-+， 得:363,2m -⨯+= 解得12,m = ∴点F 的坐标为()6,3，m 的值为12．（2）存在，①当,M N 在y 轴左侧时，如图1，直线3122y x =-+与y 轴交于点P ， (),0,1212,P OP ∴=,PC OC MG ∴==过M 点作MG BC ⊥交BC 的延长线于点,G,,MNG PNC PCN MGN PC GM ∠=∠∠=∠=，()MGN PCN AAS ∴∆≅∆，,PN MN ∴=点N 是PM 的中点，1,2ON PM MN ∴== ON 平分,//,CNM BC AM ∠,MNO CNO NOM ∴∠=∠=∠MON ∴∆是等边三角形，60,NMO ∴∠=︒4333MO ∴=== 4312AM MO OA ∴=+=+．②当,M N 在y 轴右侧时，如图2，同理可得3,OM =1243,AM AO OM ∴=-=-综上所述，线段AM 的长为123+1243-()3不在，理由如下：假设沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O落在边AB上O′处．连接PO′，OO′，则有PO′=OP，由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE＞30°，所以沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O不可能落在边AB上．设沿直线y=-32x+a将矩形ABCO折叠，点O恰好落在边AB上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a，则由题意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，在Rt△OPE中，tanOEOPEOP∠=，在Rt△OAO′中，tanOAAO OAO'∠='，所以OE OAOP AO'=，即8612AO='，所以AO′=9，在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2解得：a=394，所以将直线y=-32x+12沿y轴向下平移94单位得直线y=-32x+394，将矩形ABCO沿直线y=-32x+394折叠，点O恰好落在边AB上．【点睛】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．25．10．【分析】以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE ，根据旋转变换的性质得到∠DEB ＝90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ， 则∠BAE ＝120°，AB ＝AE ，DE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BP ＝AB•cos ∠ABP ＝3，∠DEA ＝∠ABC ＝60°，∴∠DEB ＝30°＋60°＝90°，BE ＝2BP ＝6，在Rt △BED 中，BD 22ED BE ＋＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、旋转性质以及等腰三角形的性质等知识的综合运用，综合熟练掌握相关知识并利用旋转构造直角三角形和等腰三角形模型是解题的关键．26．（1）见解析；（2）53CE= 【分析】（1）先证明CAD ACE ∠=∠可得PA=PC ，然再证明PC=PQ ，即可得到P 是AQ 的中点； （2）首先证明：△CAQC0△CB4，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC 、BC 的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH 的长，则可以求得CE 的长．【详解】（1）证明：∵CE AB ⊥，AB 是直径∴AC AE =又∵AC CD =∴AE CD =∴CAD ACE ∠=∠∴AP CP =∵AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，∴90ACE BCP CAD CQA ∠+∠=∠+∠=°∴BCP CQA ∠=∠∴CP PQ =∴AP PQ =即P 是线段AQ 的中点；（2）∵C 是AD 中点, D 是BC 的中点∴==AC CD DB ，AB 是直径∴90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∠CAB=60°又∵5210AB =⨯=∴5AC =，∴BC ==又∵CE AB ⊥,∠CAB=60°∴CH=AC·sin60°∴22CE CH === 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧的中点的性质以及三角形的面积公式，灵活应用相关相关性质是解答本题的关键．。
锐角三角函数测试题(含答案)
九年级下册《锐角三角函数》单元测试一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、45cos 45sin +的值等于（ ）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 157．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于12C ．大于32D ．小于328．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为 ．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8， （2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°； （2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
九年级数学下册《锐角三角函数》单元测试卷(含答案解析)
第二十八章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．sin 30°的值为()A.32 B.22 C.12 D.332．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin B的值是()A.512 B.125 C.1213 D.5133．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为()A.35 B.34 C.105D．14．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的长是()A．3 B．6 C．8 D．95．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin E的值为()A.12 B.22 C.32 D.336．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为()A.34 B.43 C.35 D.457．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S28．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC 的长为()A．2 3 m B．2 6 m C．(23－2)m D．(26－2)m9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为()A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°10．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 的长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( ) A.312B.36C.33D.32二、填空题(每题3分，共30分)11．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝________．12．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－|－2＋3tan45°|＋(2－1.41)0＝________.13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.14．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A＝________．15．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是________cm 2.16．如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________.(结果保留根号)17．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为________．19．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，CD＝5，则sin A等于________．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且CF FD＝13.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE.若CF＝2，AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan E＝52；④S△DEF＝45，其中正确的是________．三、解答题(21题12分，23题8分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)2(2cos 45°－sin 60°)＋24 4；(2)(－2)0－3tan 30°－|3－2|.22．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.23．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝125，求CF的长．24．如图，大海中某岛C的周围25 km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在其北偏东60°的方向上，前进20 km后到达B 处，测得C在其北偏东45°的方向上．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)25．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝13，求sin 2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°. 设∠BAC＝α，则sin α＝BCAB＝13.易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝22x.作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin 2α＝CDOC＝________.【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sin β＝35，求sin 2β的值．答案一、1.C 2.D 3.B4.B 点拨：因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA .又因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB .在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠ACB ＝10×45＝8，则AB ＝BC 2－AC 2＝6. 5．A 6.A7．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥EF ，交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中，∵sin B ＝AMAB ，∴AM ＝3×sin 50°，∴S 1＝12BC ·AM ＝12×7×3×sin 50°＝212sin 50°.在Rt △DEN 中，∠DEN ＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN ＝DN DE ，∴DN ＝7×sin 50°，∴S 2＝12EF·DN ＝12×3×7×sin 50°＝212sin 50°，∴S 1＝S 2.故选D.8．B 点拨：在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝60°，∴AD ＝4sin 60°＝23(m)．在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∴AC ＝2AD ＝2×23＝26(m)． 9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A ＝12，则∠A ＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC )＝12，则180°－∠BAC ＝30°，所以∠BAC ＝150°.10．B 点拨：如图所示，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x ＝36，故选B.二、11.60° 点拨：∵在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，sin A ＝32，cos B＝12，∴∠A ＝∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－60°＝60°.12．2＋3 点拨：原式＝3－|－2＋3|＋1＝4－2＋3＝2＋ 3. 13.43 14.1215．60 点拨：在Rt △ADE 中，sin A ＝DE AD ＝35，DE ＝6 cm ，∴AD ＝10 cm ，∴AB ＝AD ＝10 cm ，∴S 菱形ABCD ＝AB·DE ＝10×6＝60(cm 2)． 16．(73＋21)m17.2 点拨：由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD′AB ＝222＝ 2.18．y ＝23x －3 点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝3，－cos 60°＝－12，－6tan30°＝－2 3.设y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－23，则用待定系数法可求出k ＝23，b ＝－ 3.19.45 点拨：∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8，∴sin A ＝BC AB ＝810＝45. 20．①②④三、21.解：(1)原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×22－32＋62 ＝2－62＋62 ＝2.(2)原式＝1－3＋3－2 ＝－1.22．解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ， ∴a ＝c ·sin A ＝83×32＝12.b ＝c ·sin B ＝83×12＝4 3. (2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°. ∴b ＝a ＝3 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝6 3.23．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC .又∵∠AFC ＝∠DEC ，∴∠AFC ＝∠ADE ，∴DE ∥FC . ∴四边形DECF 是平行四边形． (2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13.又∵tan A＝125＝tan ∠DCH＝DHCH，∴DH＝12，CH＝5.∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝92＋122＝15.∴CF＝DE＝15.24．解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，∴∠BCD＝∠CBM＝45°.设BD＝x km，则CD＝x km.∵∠CAN＝60°，∴∠CAD＝30°.在Rt△CAD中，tan ∠CAB＝tan 30°＝CDAD＝33，∴AD＝3CD＝3x(km)．∵AB＝20 km，AB＋BD＝AD，∴20＋x＝3x，解得x＝103＋10，∴CD＝103＋10≈27.3(km)＞25 km，∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．25．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6 m．在Rt△DEF中，EFFD＝12，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt△HMN中，MN HN＝12.5，∴HN＝2.5MN＝13(m)．∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.26．解：22x3；429如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR ⊥NO于点R.在⊙O中，易知∠NMQ＝90°.∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝2∠Q＝2β.在Rt△QMN中，∵sin β＝MNNQ＝35，∴设MN＝3k，则NQ＝5k，∴MQ＝QN2－MN2＝4k，OM＝12NQ＝52k.∵S△NMQ＝12MN·MQ＝12NQ·MR，∴3k·4k＝5k·MR.∴MR＝125k.在Rt△MRO中，sin 2β＝sin ∠MOR＝MROM＝125k52k＝2425.。
人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析
人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）tan30°的值等于（）A．√3B．√33C．√22D．12．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，⊙APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3B．4C．2√3D．2√23．（3分）已知Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝50°，AB＝2，则AC＝（）A．2sin50°B．2sin40°C．2tan50°D．2tan40°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，tanA=34.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．25．（3分）如图，在扇形AOB中，⊙AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC⌢交AB⌢于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．23π−√3B．√3−13πC．13πD．√3+13π6．（3分）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40√2海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．(40+40√2)海里D．(40+40√3)海里7．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin⊙ABC的值（）A．√22B．1C．√33D．√28．（3分）在⊙ABC中，(2cosA－√2)2＋| √3－tanB|＝0，则⊙ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形9．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin⊙OBD=（）A．12B．34C．45D．3510．（10分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，⊙BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD=3：4B．当⊙BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当⊙ABE⊙⊙QBP时，t=7秒D．当⊙BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）cos245∘−tan30∘⋅sin60∘=．12．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．13．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm.14．（3分）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，CD是高，如果⊙A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）15．（3分）如图，Rt⊙AOB中，⊙OAB＝90°，⊙OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝−4x图象上，若Rt⊙AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为.三、解答题(共8题；共78分)16．（8分）先化简，再求代数式(aa2−1−1a+1)⋅(a−1)的值，其中a=tan60°−2sin30°．17．（9分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）18．（9分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 √2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）19．（9分）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）20．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，√3≈1.732，√2≈1.414）21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊙AB于E，设⊙ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得⊙EFD＝k⊙AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan⊙DCF的值．22．（11分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）（5分）求楼间距AB；（2）（6分）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）（4分）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）（4分）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求⊙ACD的正切值；（3）（4分）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当⊙OCD＝⊙CAP时，求点P的坐标.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：tan30°=√33． 故答案为：B【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。
(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．如图，在O 中，E 是直径AB 延长线上一点，CE 切O 于点E ，若2CE BE =，则E ∠的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43 2．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 3．在△ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（ ）A ．34sinA =B ．34cos A =C ．34tan A =D ．34cot A = 4．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．8(31)+mB ．8(31)-mC ．16(31)+mD ．16(31)-m5．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，做BD 的垂直平分线E ，F ，分别与AD 、BC 交于点E 、F ，连接BE ，DF ，若EF =AE +FC ，则边BC 的长为（ ）A ．3B ．33C ．63D 9326．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为（ ）A ．23B ．32C ．255D ．3557．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（ ）A ．100mB ．1002mC ．1003mD ．2003m 38．如图，ABC ∆的三个项点均在格点上，则tan A 的值为（ ）A ．12B ．5C ．2D ．25 9．如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（ ）A 2B 5C 5D ．210．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（ ）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x 11．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．35B ．59C ．512D ．4512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．125二、填空题13．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm ．14．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。
2020-2021学年人教版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么sin A的值等于（）A．B．C．D．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则BC的长为（）A．2B．6C．8D．103．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan B＝，则锐角A满足（）A．0°＜A＜30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A＜90°4．若锐角A满足cos A＝，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（）A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．tan A＝tan B D．sin A＝cos B 6．如图为张小亮的答卷，每个小题判断正确得20分，他的得分应是（）A．100分B．80分C．60分D．40分7．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是（）A．（8，）B．（8，12）C．（6，）D．（6，10）8．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为a和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（忽略两人的身高与手臂长度）（）米．A．120tanα+120tanβB．+C．120cosα+120cosβD．+10．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD 的长度为米，则斜坡AB的长度为（）A．B．C．D．24二．填空题11．cos30°的值等于．12．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A 与BC交于点F，则tan∠DEF＝．13．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）14．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则cos B＝．15．已知sinα+cosα＝，则sinαcosα＝．16．比较大小：sin40°cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”）17．再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少km．18．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为．19．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）20．门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝12cm，则（1）sin∠CAB＝；（2）该圆的半径为cm．三．解答题21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．计算：（1）cos245°+tan245°﹣tan260°．（2）．23．目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．（1）求车架中AE的长；（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，求cos A，sin B，cos B．26．淮安华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为45°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，改造后的斜坡式自动扶梯水平距离增加了BC，请你计算BC的长度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.41）27．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD ＝x，△BDE的面积为S．（1）当α＝30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S时，判断⊙E与A′C的位置关系，△ABC并求相应的tanα值．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵cos2A+sin2A＝1，cos A＝，∴sin2A＝1﹣＝，∴sin A＝或sin A＝﹣（舍去）．故选：B．2．解：设BC＝3x，∵tan A＝，∴＝，∴AC＝4x，由勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，即（3x）2+（4x）2＝102，解得，x＝2，∴BC＝3x＝6，故选：B．3．解：∵tan30°＝≈0.58，tan45°＝1，tan B＝，∴30°＜B＜45°，∴45°＜A＜60°．故选：C．4．解：∵cos A＝，∴∠A＝30°．故选：A．5．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B．故选：D．6．解：∵cos60°＝，∴1的判断正确；∵＝2，∴﹣1和5的平均数是2，则2的判断正确；第3题应先把数据从小到大进行排列：﹣1、1、3，则中位数为：1，故3的判断错误；4的判断正确；5．在半径为1的圆中，60°的圆心角所对的弧长为：＝，∴5的判断正确．综上，正确的判断有1，2，4，5，则张小亮可以得80分．故选：B．7．解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠BFG＝∠FGO，∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，∴四边形AOGB为矩形，∴AO＝GB，AB＝OG＝17，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠BFG＝90°，∴AEF＝∠BFG＝∠FGO，在Rt△AEF中，cos∠AEF＝，即＝，解得，AE＝6，由勾股定理得，AF＝＝8，∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，在Rt△BFG中，cos∠BFG＝，即＝，解得，FG＝15，由勾股定理得，BG＝＝12，则点F的坐标是（8，12），故选：B．8．解：利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是：故选：B．9．解：在Rt△ABD中，AD＝＝（米）；在Rt△ABC中，BC＝＝（米）；故两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（+）米．故选：D．10．解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：则四边形BEFC是矩形，∴BE＝CF，∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，∴CF＝DF＝CD＝6（米），∴BE＝CF＝6米，又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，∴AE＝2BE＝12（米），∴AB＝＝＝6（米），故选：C．二．填空题11．解：cos30°＝，故答案为：．12．解：由题意可得：∠DBC＝∠DEF，则tan∠DEF＝tan∠DBC＝＝．故答案为：．13．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，BE＝CD＝1在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）故答案为：11．14．解：如图所示：∵∠C＝90°，tan A＝＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，∴cos B＝＝＝．故答案为：．15．解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝，则sinαcosα＝，故答案是：．16．解：∵cos50°＝sin（90°﹣50°）＝sin40°，∴sin40°＝cos50°．故答案为：＝．17．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．18．解：如图所示：连接BD，BD＝＝，AD＝＝2，AB＝＝，∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，∴△ADB为直角三角形，∴∠ADB＝90°，则tan A＝＝＝．故答案为：．19．解：A．∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，则这个正多边形的边数为：360°÷40°＝9．故答案为：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案为：11.3．20．解：（1）连接OB，OP，∵AB＝BC，O为AC的中点，∴OB⊥AC，∵∠ABC＝120°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴sin∠CAB＝sin30°＝．故答案为；（2）∵AQ是⊙O的切线，∴OP⊥AQ，设该圆的半径为r，∴OB＝OP＝r，∵∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝CD＝2r，AO＝r，∴AC＝r，∴sin∠PAO＝，过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形，∴HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，∴sin∠PAO＝，∠QDH＝120°﹣90°＝30°，∴QG＝12，∴AG＝，∴QH＝12﹣2r，DH＝，∴tan∠QDH＝tan30°＝，解得r＝，∴该圆的半径为（）cm．故答案为（）．三．解答题21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．解：（1）原式＝（）2﹣+1﹣（）2＝﹣1+1﹣3＝﹣；（2）原式＝3×﹣2+2×+﹣1＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．23．解：（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，∴AE＝＝＝15（cm）；（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，∴FA＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．∵sin∠CAB＝，∴FG＝FA•sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．答：车座点F到地面的距离约为88cm．24．解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝＝9，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴AC＝＝＝13，cos C＝＝．25．解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴cos A＝＝，∵∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝，cos B＝sin A＝．26．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝10，∴AD＝BD＝AB•sin∠ABD＝10×＝5≈7，∵∠ACD＝15°，tan∠ACD＝，∴CD≈≈≈26，∴BC＝CD﹣BD＝26﹣7＝19．故BC的长度约为19米．27．解：（1）∵∠A＝a＝30°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°．∴AD＝BD＝BC＝1．∴x＝1；（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠CBE＝30°．∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，∠ACD＝∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴＝，∴BE＝x．∵BD＝2﹣x，∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）（3）∵s＝s△ABC∴﹣+＝，∴4x2﹣8x+3＝0，∴，．①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．∴DE＝＝．∵DE∥A′B′，∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．∴EC＝DE＝＞BE，∴此时⊙E与A′C相离．过D作DF⊥AC于F，则，．∴．∴．（12分）②当时，，．∴，∴，∴此时⊙E与A'C相交．同理可求出．。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
锐角三角函数检测卷及答案
锐角三角函数单元检测时间：100分钟班级： 姓名： 分数：一、单选题1．已知△ABC 中， ∠C =90°，tan A =12，D 是 AC 上一点， ∠CBD =∠A ， 则 cos∠CDB 的值为（ ）A ．12B C D ．22．如图，正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，且3CD DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE △．延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：∠ABG AFG △△≌；∠45GAE ∠=︒；∠BG GC =；∠AG CF ∥；∠GCF 是等边三角形，其中正确结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，将边长6cm 的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）A ．（3cm B ．（3﹣cm C ．（6cm D ．（6﹣cm4．三角函数sin40cos16tan50︒︒︒、、之间的大小关系是（ ） A ．tan50cos16sin40︒>︒>︒ B ．cos16sin40tan50︒>︒>︒ C ．cos16tan50sin40︒>︒>︒D ．tan50sin40cos16︒>︒>︒5．如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 都在格点上，则sin A 的值为（ ）A B ．35C ．45D 6．如图，已知窗户高AB m =米，窗户外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD n =米，当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m n ，的关系式是（ ）A ．n =m tan α-0.2B ．n =m tan α+0.2C ．m =n tan α-0.2D ．m =n tan α+0.27．如图，已知楼高AB 为50m ，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD 为50m ，塔高DC ，下列结论中，正确的是（ ）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°8．先化简，再求代数式的值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭＝（ ），其中tan602sin30a =︒-︒．ABCD 9．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈，sin580.85︒≈，tan58 1.60︒≈）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m10．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1AB 的高度为( )（精确到0.1）A ．30.4B ．36.4C ．39.4D ．45.411．如图所示一座楼梯的示意图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA =6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）A ．24sin θ米2 B ．24cos θ米2 C ．2424tan θ⎛⎫+⎪⎝⎭米2D ．()2424tan θ+米212．如图，在长方形ABCD 中，5AB =，3AD =，点E 在AB 上，点F 在BC 上．若2AE =，1CF =，则()sin 12∠+∠=（ ）A ．12B C D 13．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）A B C ．13D ．1214．式子2cos30tan 45︒-︒ ）A ．0B ．C ．2D ．2-15．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（ ）A ．12B C ．35D 16．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，B ，则cos BOD ∠的值等于（ ）A ．14B ．13C D 17．如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则cos BAC ∠的值是（ ）A B C D ．4518．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（ ）A ．B ．3CD ．219．在直角三角形ABC 中，90,4,C AB BC =∠=︒=3tan 2A的值是（ ）AB ．C ．D ．320．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，若4CF =，3tan 4EFC ∠=，则折痕AE =（ ）A ．B ．C ．8D ．1021．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC ，点A 的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于点D ，双曲线y=kx（x ＞0）经过点D ，交BC 的延长线于点E ，且OB •AC =160，有下列四个结论：∠双曲线的解析式为y =40x （x ＞0）；∠点E 的坐标是（4，8）；∠sin∠COA =45；∠AC +OB 其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF ∠的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．81523．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米24．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 25．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos∠APC 的值为（ ）A B C ．25D 26．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ， FG AD ∥ 交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长是（ ）A ．3B ．83C D ．52第II 卷（非选择题）二、解答题27．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB ，且90BHE ∠=︒，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断()A C D --倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面().AB AC CD =+已知山坡的坡角30AEF ∠=︒，量得树干倾斜角45BAC ∠=︒，大树被折断部分CD 和坡面所成的角60ADC ∠=︒，4AD =米．(1)求CAD ∠的度数；(2)求这棵大树折断前AB 的高度.(结果保留根号)28．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB 进行实地测量．如图所示，他在地面上点C 处测得隧道一端点A 在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D ，此时测得点A 在他的东北方向上，端点B 在他的北偏西60︒方向上，（点A 、B 、C 、D 在同一平面内）(1)求点D 与点A 的距离；(2)求隧道AB 的长度．（结果保留根号） 29．（1）已知：对于锐角α满足sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+，求tan15°的值；（2）如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 到D ，使AD =AB ，连接BD ，请利用这个图形求tan15°的值．30．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图∠是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图∠是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ．(1)求坐垫E 到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E '，求E E '的长．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 31．计算：1202203(1)|2cos308|(3)π--︒--- 32．在遵义市科技馆楼前，在A 点观测楼顶K 的仰角为30°，然后将观测点沿石梯向楼的水平方向移动了28m ，上升4m ，到达最上一层平台，用高为1.4m 的测角仪，在C 点观测楼顶K 的仰角为45°．(1)求：A ，C 间的距离；（结果保留根号）(2)求：科技馆的楼高KF 的值．1.7）33．计算：212)4cos30|32-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．34．如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB ，BC ，CA 跑步（小路的宽度不计），观测得点B 在点A 的南偏东30°方向上，点C 在点A 的南偏东60°的方向上，点B 在点C 的北偏西75°方向上，AC 间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1 1.4≈ 1.7≈）35．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B ，C ，D 处可转动，支撑架AB ＝BC ＝CD ＝28cm ，面板DE ＝28cm ，若DE 始终与AB 平行．(1)直接写出∠ABC ，∠BCD ，∠CDE 之间的数量关系；(2)若ABC BCD CDE ∠=∠=∠，电脑显示屏宽EF ＝26cm ．且105DEF ∠=︒，求笔记本电脑显示屏的端点F 到AB 的距离．（结果精确到0.1cm ．参考数据sin750.97︒≈，cos750.26︒≈ 1.73≈）36．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB ＝50cm ，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒∠A ，∠A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ．设AF ∥MN ．(1)求∠A 的半径长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，∠CAF ＝60°．求此时拉杆BC 的伸长距离．37．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离； (2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 2.24≈）38．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响． （1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈910）39．如图，港口B 位于港口A 的南偏西45︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向港口B 的南偏东45︒方向的D 处，它沿正北方向航行21km 到达E 处，此时测得灯塔C 在E 的南偏西70︒方向上，E 处距离港口A 有多远？（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）40．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A 处时，船上游客发现岸上P 1处的临皋亭和P 2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 1处与遗爱亭P 2处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）41．如图，线段EF 与MN 表示某一段河的两岸，EF 平行MN ．综合实践课上，同学们需要在河岸MN 上测量这段河的宽度（EF 与MN 之间的距离），已知河对岸EF 上有建筑物C 、D ，且CD ＝30米，同学们首先在河岸MN 上选取点A 处，用测角仪测得C 建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B 处，测得D 建筑物位于B 北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）42．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE 表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED 落在AE D ''的位置．若90EAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，150AED ∠=︒，AE ＝80厘米，ED ＝40厘米，DC ＝25厘米，且后备厢底部BC 离地面的高CN ＝25厘米．(1)求点D 到地面MN 的距离（结果保留根号）；(2)求箱盖打开60°时的宽D ，D 1.73≈ 2.91116.3，结果取整数）．43．如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ∠AB ，BG ∠AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．44．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC ＝OD ＝10分米，展开角∠COD ＝60°，晾衣臂OA ＝OB ＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE ＝6分米，且HO ＝FO ＝4分米．（参考数据：）(1)当90AOC ∠=︒时，求点A 离地面的距离AM 约为多少分米；（结果精确到0.1）(2)当OB 从水平状态旋转到OB '（在CO 延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB '上的点E '处，求B E BE ''-为多少分米．45．海绵拖把一般由长杆、U 型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A 、B 是拖把上的两个固定点，拉杆AP 一端固定在点A ，点P 与点B 重合（如图1），拉动点P 可使拉杆绕着点A 转动，此时点C 沿着AB 所在直线上下移动（如图2）．已知AB ＝10cm ，连杆PC 为40cm ，FG ＝4cm ，MN ＝8cm ．当P 点转动到射线BA 上时（如图3），FG 落在MN 上，此时点D 与点E 重合，点I 与点H 重合．(1)求ME 的长；(2)转动AP ，当∠P AC ＝53°时，∠求点C 的上升高度；∠求点D 与点I 之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈45，cos53°≈35≈2.45） 参考答案：1．B【分析】由已知条件CBD A ∠=∠，可得1tan tan 2CBD A ∠==，设CD a =，由题意可得1tan 2CD CBD BC ∠==，即可算出2BC a =，在t ΔR CBD 中，根据勾股定理可得BD 答案．【详解】解：CBD A ，1tan tan 2CBD A ∴∠==， 设CD a =，1tan 2CD CBD BC ∴∠==， 2BC a ∴=， 在Rt ΔCBD 中，BD ，cosCD CDB BD ∴∠===． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．2．C【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明===∠∠∠∠AGB AGF GFC GCF ，由平行线的判定可得AG CF ∥；由于BG CG =，得到tan 2AGB ∠=，求得60AGB ∠≠︒，根据平行线的性质得到60FCG AGB ∠=∠≠︒，求得GCF 不是等边三角形．【详解】解：由翻折变换可知，AD AF =，DAE FAE ∠=∠，DE FE =，D AFE ∠=∠，∠18090AFG AFE B ∠=︒-∠=︒=∠，在Rt ABG 和Rt AFG 中，AF AB AG AG =⎧⎨=⎩， ∠()≌Rt ABG Rt AFG HL ，因此∠正确；∠BAG FAG ∠=∠，又∠90BAG FAG DAE FAE ∠+∠+∠+∠=︒， ∠190452GAE FAG FAE ∠=∠+=︒∠⨯=︒，因此∠正确； 由翻折变换可知，DE EF =，由全等三角形可知BG GF =，设正方形的边长为a ，BG x =，13DE EF a ==，则CG a x =-，13GE x a =+，1233EC a a a =-=， 在Rt ECG 中，由勾股定理得，222EC GC EG +=， 即()22221=33a a x x a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12x a =， 即1122BG a BC ==， ∠BG CG =，因此∠正确；∠BG CG FG ==，∠GCF GFC ∠=∠，由三角形全等可得，AGB AGF ∠=∠，又∠180AGB AGF FGC FGC GCF GFC ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，∠ABG FCG ∠=∠，∠AG FC ∥，因此∠正确，∠BG CG =， ∠12BG AB =， ∠tan 2AGB ∠=，∠60AGB ∠≠︒，∠AG FC ∥，∠60FCG AGB ∠=∠≠︒，∠GCF 不是等边三角形，因此∠不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，求一个角的正切值，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．3．A【分析】过M 点作ME ∠AD 于E 点，根据四边形ABCD 是正方形，有AD =CD =6，∠C =∠D =90°，由裁剪的两个梯形全等，可得AN =MC ；再证明四边形MCDE 是矩形，即有MC =ED ，ME =CD =6，进而有AN =ED ，在Rt ∠MNE 中，解直角三角形可得NE =3AN =【详解】如图，过M 点作ME ∠AD 于E 点，∠四边形ABCD 是正方形，边长为6，∠AD =CD =6，∠C =∠D =90°，∠裁剪的两个梯形全等，∠AN =MC ，∠ME ∠AD ，∠四边形MCDE 是矩形，∠MC =ED ，ME =CD =6，∠AN =ED ，根据题意有∠MNE =60°，∠在Rt ∠MNE 中，62tan tan 60ME NE MNE ===∠∠∠6AN ED AD NE +=-=-∠3AN =即梯形中较短的底为3cm ），故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，根据梯形全等得出AN =MC 是解答本题的关键．4．A【分析】首先把sin 40cos16︒︒、转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道1sin74sin 40︒︒＞＞，又根据正切值随着角度增大而增大，因此tan50tan 451︒︒=＞，即可得出正确选项．【详解】解：∠()sin cos 90αα=︒-（090α≤≤︒），∠()cos16sin 9016sin74︒=︒-︒=︒，sin901︒=∠1sin74sin 40︒︒＞＞，∠tan50tan 451︒︒=＞，∠tan50sin74sin 40︒>︒>︒，∠tan50cos16sin40︒>︒>︒，故选：A ．【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．5．C【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，利用面积法求出BD 的长，然后由sin BD A AB=即可获得答案． 【详解】解：过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，如下图，∠小正方形的边长为1，∠AB AC == ∠111333*********ABC S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∠11422ABC S AC BD BD =⋅==，∠BD =∠4sin5BD A AB ===． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形、勾股定理的应用等知识，解题关键是正确作出直角三角形并熟记正弦函数的定义．6．C【分析】根据CB =CA +AB 求出CB 的长，再利用三角函数求出m 的值即可．【详解】解：∠窗子高AB =m 米，窗子外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD =n 米，∠CB =CA +AB =（m +0.2）米，∠光线与水平线成α角，∠∠BDC =α，∠tan∠BDC =CB CD， ∠CB =n •tan α，∠m =n tan α-0.2，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．7．C【分析】求CE ，进而求得∠CAE 的正切值即可求得∠CAE 的度数；同理可求得∠EAD 的正切值，得到∠EAD 的度数．【详解】解：过点A 作水平线AE ，则∠EAD 为楼顶望塔基俯角，∠CAE 为由楼顶望塔顶仰角．∠AB ＝50m∠DE ＝50m∠CE ＝CD 50(m)∠tan∠CAE ＝CE ：AE ＝CE ：BD ∠∠CAE ＝30°．故C 正确，D 错误；∠tan∠EAD ＝DE ：AE ＝50：BD ＝1，∠∠EAD ＝45°．故A 、B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．8．A【分析】先将题目中的式子化简，再根据锐角三角函数求得a 的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭ ()()()212111a a a a a a-++-=⨯+-()()3111a a a a a -=⨯+- 31a =+， 当tan602sin30a =︒-︒1212=⨯=时，原式= 故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确它们各自的计算方法．9．C【分析】在Rt △ABD 中，解直角三角形求出58DB AB =，在Rt △ABC 中，解直角三角形可求出AB ． 【详解】解：在Rt △ABD 中，tan∠ADB ＝AB DB ， ∠5tan 58 1.68AB AB DB AB =≈=︒， 在Rt △ABC 中，tan∠ACB ＝AB CB ， ∠tan 220.45708AB AB ︒=≈+， 解得：112373AB =≈m ， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．10．C【分析】延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH =DE =15米，EG =DH ，设BH =x 米，则CH米，在Rt ∠BCH中，BC =12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH =6米，CHBG 、EG 的长度，证明∠AEG 是等腰直角三角形，得出AG =EG =（）（米），即可得出大楼AB 的高度．【详解】解：如图，延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH ＝DE ＝15米，EG ＝DH ，∠梯坎坡度i ＝1∠BH ：CH ＝1设BH ＝x 米，则CH米，）2＝122，由勾股定理得：x2+解得：x＝6，∠BH＝6米，CH＝∠BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（）（米），∠∠α＝45°，∠∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∠∠AEG是等腰直角三角形，∠AG＝EG＝（）（米），∠AB＝AG+BG＝（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．11．D【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，∠tanθ=BC，AC∠BC=AC tanθ=6tanθ（米），∠在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，∠地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．12．B【分析】连接EF，求证∠DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以1+245∠∠=，即可求解．【详解】解：连接EF，∠四边形ABCD是长方形，∠∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，∠22222=+=+=，DE AD AE3213∠AB=5，∠BE=AB-AE=3，∠CF=1，∠BF=BC-CF=2，在在Rt∠EBF中，∠22222=+=+=，EF BE BF3213∠EF=DE在Rt∠CDF中，∠22222=+=+=，DF DC CF5126∠26=13+13，即：222=+，DF DE EF∠∠DEF=90°，∠∠EDF=∠DFE=45°，∠1+2=45∠∠∠-∠=，ADC EDF∠()2∠+∠=sin12sin45=2故选B．【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出∠DEF是等腰直角三角形是解题的关键．13．B【分析】过点B作BC∠OA于点C．先利用勾股定理求出BO、AO的长，再利用∠AOB的面积求出BC的长，最后在直角∠BCO中求出∠AOB的正弦值．【详解】解：过点B作BC∠OA于点C．BO=，AO==,∠S △AOB 12=×2×2＝2， ∠12AO •BC ＝2,∠BC==sinBC AOB BO ∴∠=== 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用∠的面积求出OA 边上的高是解决本题的关键． 14．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=-11)=-11==0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 15．D【分析】根据勾股定理计算得出AB AC BC CE BE =====可得出AE BC ⊥，由勾股定理得AE =从而可得出sin ABC ∠= 【详解】解：如图，连接AE ，由勾股定理得，AB AC ∠AB AC =又BC CE BE ===∠点E 为BC 的中点，∠AE BC ⊥，∠AE ==∠sin AE ABC AB ∠== 故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理，利用勾股定理求出AE 的长度是解题的关键．16．D【分析】根据网格的特点找到格点E ，使得AE CD ∥，则BOD A ∠=∠，构造Rt AEF ，即可求解．【详解】如图，5DG CG ==，90G ∠=︒，45CDG ∴∠=︒，1AG GE ==，45AEG ∴∠=︒，∴AE CD ∥，∴BOD A ∠=∠，2,AE AF EF ===22218220,20AE EF AF +=+==， 222AE EF AF ∴+=， ∠∠AEF 是直角三角形，∠AEF =90°，cos cosAE BOD A AF ∴∠=== 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键．17．C【分析】过点C 作AB 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ，如图所示，∠每个小正方形的边长为1，∠5AC BC AB ===，设AD x =，则5BD x =-，在Rt ACD △中，222DC AC AD =-,在Rt BCD 中，222DC BC BD =-,∠2210(5)5x x --=-，解得2x =，∠cosAD BAC AC ∠== 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．18．C 【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD 可求出CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC = ∠1tan 2BC A AC ∠==∠2AC BC ==由勾股定理得,5AB ==过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=， ∠11,,23DE DE AE BE ==∠11,,23DE AE DE BE == ∠1123AE BE = ∠32BE AE =∠5,AE BE += ∠352AE AE += ∠2,AE =∠1DE =,在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ∠AD∠AD CD AC +==∠CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 19．A【分析】由勾股定理求出AB =2，再由三角函数的意义求出60,A ∠=︒进一步可得出结论．【详解】解：如图，∠90,4,C AB BC =∠=︒=∠2AC ===又tan BC A AC ∠=== ∠60A ∠=︒ ∠302A ∠=︒∠3tan3tan 3032A =︒== 故选：A【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确求得AC 的长是解题关键．20．B【分析】首先根据折叠及3tan 4EFC ∠=求得EF 的值，进一步知道DC 的长度，后根据BAF EFC ∠=∠，其正切值相同解三角形ABF 得BF 的长度，从而知道AD 的长度，后根据勾股定理求得AE 的长度．【详解】解：由题意4CF =，∠C =90°，3tan 4EC EFC FC ∠== ∠CE =3∠Rt EFC 中，∠C =90°，∠5EF =∠AEF 是ADE 折叠而来∠5ED EF ==，538DC AB ==+=∠矩形ABCD∠90C B AFE ∠=∠=∠=︒∠90BAF AFB ∠+∠=︒，90AFB EFC ∠+∠=︒∠BAF EFC ∠=∠ ∠tan∠BAF =tan∠EFC =34， 即34BF AB =， ∠364BF AB == ∠6410AD BC ==+=∠AE 故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，矩形的性质，翻折的性质，根据等量变换得到BAF EFC ∠=∠并运用其锐角三角函数相等，求线段长是解决本题的关键．21．C【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，先根据菱形的性质可得10AB OA ==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，从而可得8BF =，再在Rt ABF 中，利用勾股定理可得6AF =，从而可得点B 的坐标，然后根据中点的坐标公式可得点D 的坐标，最后利用待定系数法可得双曲线的解析式，由此可判断∠；根据点E 的纵坐标为8，代入反比例函数即可判断∠；先根据平行线的性质可得COA BAF ∠=∠，再根据正弦的定义即可判断∠；先在Rt OBF △中，利用勾股定理可得OB =160OB AC ⋅=可得AC =AC OB +的值，由此即可判断∠．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，点A 的坐标为(10,0)，10OA ∴=，四边形OABC 是菱形，且160OB AC ⋅=，10AB OA ∴==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，AD CD =， 解得8BF =，在Rt ABF 中，6AF ==，16OF OA AF ∴=+=，(16,8)B ∴，又OD BD =，即点D 是OB 的中点，01608(,)22D ++∴，即(8,4)D ， 将点(8,4)D 代入反比例函数k y x =得：8432k =⨯=， 则该双曲线解析式为32y x=，结论∠错误； 四边形OABC 是菱形，BC OA ∴，OC AB ∥，∴点E 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，即为8，当8y =时，3248x ==， 则点E 的坐标是(4,8)，结论∠正确；OC AB ，COA BAF ∴∠=∠，84sin sin 105BF COA BAF AB ∴∠=∠===，结论∠正确；在Rt OBF △中，OB =160OB AC ⋅=，160AC OB∴==，AC OB ∴+==，结论∠正确；综上，正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、反比例函数、正弦等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 22．C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ∆∆≌，得出AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，∠CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ∠=∠=︒，根据折叠可知，3BE BC ==，5DE DE ==，90∠=∠=︒E C ，∠在∠AFD 和∠EFB 中903A E AFD EFB AD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩，∠AFD EFB ∆∆≌（AAS ），∠AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，在Rt BEF ∆中，222BF EF BE =+，即()22253x x -=+， 解得：85x =，则817555DF BF ==-=， ∠315cos 17175AD ADF DF ∠===，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明AFD EFB ∆∆≌，是解题的关键．23．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中，4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒， 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米)， 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．24．A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∠小正方形与每个直角三角形面积均为1，∠大正方形的面积为5，∠小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0，∠a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 25．B【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∠AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos∠APC ＝cos∠EDC 即可得答案．【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∠AB ，∠∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC =5DE =，∠22252025EC DC DE +=+==，∠DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∠cos∠APC ＝cos∠EDC ＝DC DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．26．B【分析】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题干所给条件可知，AG =FG ，EG =GP ，利用∠AGP =∠B 可得到cos∠AGP =14，即可得到FG 的长； 【详解】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题意可知，AB =BC =4，E 是BC 的中点，∠BE =2，又∠1cos 4B =， ∠BH =1，即H 是BE 的中点，∠AB =AE =4，又∠AF 是∠DAE 的角平分线，FG AD ∥，∠∠F AG =∠AFG ，即AG =FG ，又∠PF AD ∥，AP DF ∥，∠PF =AD =4，设FG =x ，则AG =x ，EG =PG =4-x ，∠PF BC ∥，∠∠AGP =∠AEB =∠B ，∠cos∠AGP =12PG AG =22x x-=14， 解得x =83； 故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．27．(1)75︒(2)()2米【分析】（1）根据直角三角形的性质求出EAH ∠，根据平角的定义计算，求出CAD ∠；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，根据正弦的定义求出AM 、根据余弦的定义求出DM ，根据直角三角形的性质求出CM ，根据正弦的定义求出AC ，结合图形计算，得到答案．（1）解：在Rt AHE 中，30AEH ∠=︒， 60EAH ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，180604575CAD ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，在Rt ADM △中，60ADC ∠=︒，4AD =米，cos 4cos602DM AD ADC ∠∴=⋅=︒=（米），sin 4sin 60AM AD ADC ∠=⋅=︒=，在Rt ACM △中，180756045C ∠=︒-︒-︒=︒，CM AM ∴==，sin AM AC C==， ()2AB AC CD ∴=+=米，答：这棵大树折断前高为()2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．28．(1)点D 与点A 的距离为300米(2)隧道AB 的长为米【分析】（1）根据方位角图，易知60ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，解Rt ADC 即可求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．分别解Rt ADE △，Rt BDE 求出AE 和BE ，即可求出隧道AB 的长（1）由题意可知：154560ACD ∠=︒+︒=︒，180454590ADC ∠=︒-︒-︒=︒在Rt ADC 中，∠tan tan 60300AD DC ACD =⨯∠=︒=（米）答：点D 与点A 的距离为300米．（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．。
锐角三角函数单元测试题
人教版数学九年级下学期第28章《锐角三角函数》单元测试卷（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（ ）A ．12 B C D2.已知α为锐角，sin （α﹣20°）α=（ ） A ．20° B ．40°C ．60°D ．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）A B C ．12 D ．24.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列各式成立的是（ ）A ．b=a•sinB B ．a=b•cosBC ．a=b•tanBD ．b=a•tanB5.在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ）A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小5倍D ．不能确定6.在△ABC 中，∠C=90°，tanA=13，则cosA 的值为（ ）A B ．23 C ．34 D7.在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（ ）A B C D8.如图，山顶一铁塔AB 在阳光下的投影CD 的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB 的高为（ ）BAA．3米 B．63米C．33米D．23米9.坡度等于1：3的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.求值：sin60°﹣tan30°=．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，3AB=10，则∠A=度．C BA13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是．O BA14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=13，则S△ABC=．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成_________________．三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα=45，求tanα．18.（本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA的值．CBA19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB和BC的长．105°30°CAB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为42米．求新传送带AC的长度．22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是2（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP3/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）第28章《锐角三角函数》单元测试卷解析一、选择题1. 【答案】sin60°．故选C．2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°），∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．4.【答案】A、∵sinB=bc，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=ac，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=ba，∴a=btan B，故选项错误；D、∵tanB=ba，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选A．6.【答案】如图，A∵tanA=13，∴设BC=x，则AC=3x，∴x，∴故选D．7.【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，BD=5，∴sinB=CD BC． 故选：B ． D8.【答案】设直线AB 与CD 的交点为点O ． ∴BO DO AB CD =．∴AB=BO CD DO⨯．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°． 在Rt △BDO 中，tan60°=BO DO ． ∵CD=6．∴AB=BO DO× 故选B ．A9.【答案】坡角α，则tanα=1α=30°．故选A ．10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC ⊥AC ，∴∠ADB=∠DBC ﹣∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=6051（m ）． 故选B ．二、填空题11.【答案】原式12.【答案】∵∠C=90°，AB=10，∴cosA=AC AB， ∴∠A=30°，故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos ∠AOB=32． 故答案为：32．B14.【答案】在Rt △ABC 中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=13，∴BC=4，S △ABC =1215. 【答案】由题意得：AD=6m ，在Rt △ACD 中，∴AB=1.6m∴CE=CD +DE=CD + 1.6，所以树的高度为（ 1.6）m ．16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于C ．在直角△OAC 中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=12OA=7千米，因而小岛A 所在位置的坐标是（7）．故答案为：（7）．三、解答题17.【解答】由sinα=45，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tanα=43．αca18.【解答】sinA=BCAB=12．19.【解答】作CD⊥AB于点D，105°30°CD B A在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12AC=2，AD=AC•cosA=23．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=22，∴AB=AD+BD=2+23．20.【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sinα=BEAB，∴AB=oBEsin36=240.60=40mm在Rt△ADF中，cos∠ADF==DFAD，∴AD=oDFcos36=48600.80=mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．21.【解答】如图，在Rt△ABD中，AD=ABsin45°22=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；22.【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABG中，i=tan∠BAG=3，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=5，AG=53．∴BF=AG+AE=53+15．在Rt△BFC中，∵∠CBF=30°，∴CF：BF=3，∴CF=5+53．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣DE=5+53+5﹣15=（53﹣5）m．答：宣传牌CD高约（53﹣5）米．23.【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=3PD=33千米，PA=6千米．∴AB=BD+AD=3+33（千米）；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=12AB=333+千米，AF=3AB=3+3 千米．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴CF=BF=333+千米，∴PC=AF+CF﹣AP=33千米．故小船沿途考察的时间为：33÷3=3（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ．设AB 为x ．Rt △ABF 中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x ，∴BC=BF +FC=x +25，在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB ﹣BM=AB ﹣CE=x ﹣2，tan22°=AM ME ，则x 22x 255-=+，解得：x=20． 即教学楼的高20m ．（2）由（1）可得ME=BC=x +25=20+25=45． 在Rt △AME 中，cos22°=ME AE ．∴AE=oME cos 22， 即A 、E 之间的距离约为48m 第二十八章 锐角三角函数基础知识反馈卡·28.1时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J2811，若cos α＝1010，则sin α的值为( )图J2811A.1010B.23C.34D.31010 2．已知∠A 为锐角，且sin A ＝12，那么∠A ＝( ) A ．15° B．30° C．45° D．60°二、填空题(每小题4分，共8分)3．计算：(1)2cos30°－tan60°＝________；(2)用计算器计算：①sin13°15′＝________；②cos________°＝0.857 2.4．如图J2812，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD ⊥BC ，则sin B ＝________，可得sin60°＝________.图J2812三、解答题(共11分)5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，b ＝5，c ＝7，求sin A ，cos A ，tan A 的值．基础知识反馈卡·28.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J2821，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则cos∠BCD＝( )图J2821A.34B.1225C.35D.452．小明由A出发向正东方向走10米到达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则∠ABC＝( ) A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°二、填空题(每小题4分，共8分)3．在倾斜角为30°的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为6 m，则斜坡上相邻两树的坡面距离为________m.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3 3，c＝6，则b＝________，∠B＝________.三、解答题(共11分)5．如图J2822，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分(参考数据：3≈1.7)．图J2822基础知识反馈卡·28.1 1．D 2.B 3．(1)0 (2)①0.229 2 ②314.AD AB 325．解：∵∠C ＝90°，b ＝5，c ＝7，∴a ＝c 2－b 2＝2 6.∴sin A ＝a c ＝2 67， cos A ＝b c ＝57， tan A ＝a b ＝2 65. 基础知识反馈卡·28.21．D 2.D 3.4 3 4.3 30°5．解：如图DJ5，过点B 作BC 垂直对岸，垂足为C ，则图DJ5在Rt △ACB 中，有AB ＝BC sin ∠BAC ＝900sin60°＝600 3. ∴t ＝600 35×60＝2 3≈3.4(分)． 答：船从A 处到B 处需时间3.4分．附赠材料：如何提高答题的准确率审题三原则如何提高答题的准确率?这是很多初中生想要解决的一个问题。
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案
第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。
锐角三角函数单元测试卷
锐角三角函数单元测试卷考试时间：100分钟总分为：120分某某一、单项选择题〔每题3分，共8题,共24分〕1. 在中，，AB=15，sinA=，如此BC等于〔〕A．45B．5C．D．2. 某人沿坡度i ＝1：的坡面向上走50米，如此此人离地面的高度为( )A．25米B．50米C．25米D．50米3. 小明沿着与地面成30º的坡面向下走了2米，那么他下降〔〕A．1米B．米C．2米D．米4. 在正方形网格中，的位置如下列图，如此的值为〔〕A．B．C．D． 5. Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，如此AC等于( )A．6B．C．10D．126. 计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )A．B．C．-D．17. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，如此sin∠ABC等于〔〕A．B．C．D．8. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度约是A．米B．米C．米D．米二、填空题〔每题3分，共6题,共18分〕9. ．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，如此tanA=．10. 在△ABC中，∠C=，cosA=，AB=6，那么AC= .11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，如此sinA="______," tanA=" _______," cosA=_______12. 上午九时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，如此B处船与小岛M的距离是海?13. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，如此tanA等于．14. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=8cm，，如此菱形ABCD的面积是__________．三、计算题〔每题6分，共4题,共24分〕15. 计算：．16. 计算：．17. 计算：18. 计算：四、解答题19. 〔7分〕如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：〔1〕BC的长；〔2〕sin∠ADC的值．20.〔7分〕如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是〔6，y〕，且OP与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．21.〔8分〕：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AC= 6．求BC的长.(结果保存根号)22.〔9分〕如图，在中，AD是BC边上的高，。
锐角三角函数单元测试题
锐角三角函数 单元测试一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1． 60cos 的值等于（ ）A．21B ．22C ．23D ．12.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则tanA 的值是（ ）A ．154B ．14C ．15D ．４3．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于( )Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒804．已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m5.在Rt ABC △中，90C ∠=，5BC =，15AC =，则A ∠=（ ）A ．90B ．60C ．45D ．306.如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A ．250m.B ． 250.3 m.C ．500.33 m.D ．3250 m.7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ．247B ．73C ．724D ．138．因为1sin 302=，1sin 2102=-，所以sin 210sin(18030)sin30=+=-；因为2sin 452=，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）68CEABD（第7题）第6题（第10题）（图1）（图2） AB C A ．12-B ．22-C ．32-D ．3-二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9.2cos45°-21tan60°= ; 10．如图是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼 成一个正三角形（图2），那么在Rt △ABC 中，sin B ∠的值是 ；11.林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知5380.5BAC AB =︒=∠′，米，则这棵大树的直径约为_________米；（结果精确到0.1米）12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为 ；13.如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=，6AB =，4AD =，拦水坝的横断面ABCD 的面积 是 （结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732=，2 1.414=） 三、解答题（共48分）14．(8分)在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a=3，b=3，解这个三角形．ABCDE 第13题1:3i =第12题BOC第11题15. （8分）如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高． (精确到0.1米) （供选用的数据：sin 400.64≈，cos 400.77≈，tan 400.84≈）16.（10分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）17．（10分）如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知6BC =米，9AB =米，中间平台宽度DE 为2米，DM EN ，为平台的两根支柱，DM EN ，垂直于AB ，垂足分别为M N ，，30EAB ∠=，45CDF ∠=．求DM 和BC 的水平距离BM ．（精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）AN M BFCEDC AB40︒E D CBA（第19题）18．（12分）为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？（附加题5分）19．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，HH（图1）（图2） （图3）（第18题）3.5㎝ACF3mB5mD的值以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin EAB为。
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。
深圳市上沙中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试(答案解析)
一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）A ．4B ．5C ．163D ．83 2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（ ）A ．1010B ．31010C ．2105D ．1053．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE CE的值是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．3 4．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（ ）A ．m·sin35°B ．cos35m ︒C ．sin 35m ︒D ．m·cos35°5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1：3，坝高BC ＝3m ，则AB 的长度为（ ）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m 6．在ABC 中，(2sinA-1)2+1cos 2B -=0，则ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 7．在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③9．如图，反比例函数k y x=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k 的值为（ ）A ．1B 2C 3D ．210．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（ ）．（精确到0.1m ，参考数据：3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．44.8mB ．45.4mC ．47.4mD ．114.6m 11．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）A ．78.6米B ．78.7米C ．78.8米D ．78.9米 12．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122DE E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（ ）A ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201933⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．201833⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题13．点A 、B 、C 都在半径为6的O 上，且120AOC ∠=︒，点M 是弦AB 的中点，则CM 的长度的最大值为______．14．如图所示，ABO 中，AB OB ⊥，OA=2，AB=1，把ABO 绕点O 旋转150°后得到11A B O ，则点1A 的坐标为_______15．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．16．计算：112tan 6032()2-+---____． 17．如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =____．18．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2016的坐标是______．19．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____． 20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD ，小明在斜坡上B 处测得标识牌顶部C 的仰角为45︒，沿斜坡走下来在地面A 处测得标识牌底部D 的仰角为60°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB AE ==米． 则标识牌CD 的高度是米__________．三、解答题21．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m 求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）．22．定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”．显然，“特征轴三角形”是等腰三角形．（1）抛物线y ＝x 2﹣3对应的“特征轴三角形”是 ；抛物线y ＝12x 2﹣2对应的“特征轴三角形”是 ．（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．）（2）若抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a 的值． （3）如图，面积为3ABCO 的对角线OB 在x 轴的正半轴上，AC 与OB 相交于点E ，若△ABE 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式．23．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与底面CD 垂直的OM 位置时的示意图，已知AC 0.66=米，BD 0.26=米，α30=︒(参考数据：3 1.732,2 1.414==)（1）求AB 的长（2）若ON 0.6=米，求M N 、两点的距离（精确0.01)24．如图，O 为ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点D 为BC 的中点．（1）连接OD ．求证：//OD AC ．（2）设OD 交BC 于E ，若43BC=2DE =．求阴影部分面积． 25．25864sin 453︒ 26．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得5,2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ， 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，,FAG BCG ∴∠=∠,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽,AF FG EF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴=4EF ∴=，2225AE AF EF ∴=+=， 225,AG AF FG =+= 设BG x =，则5,AB CD x DE ==+=AEF BCG ∠=∠， 1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()()()2222255,x x ∴=++235250,x x ∴--=553x ∴=5x = 5585533DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛∴= ⎝⎭ 83m ∴=（负根舍去） 162.3EC EP ∴==故选：.C【点睛】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin ∠BOD 的值，本题得以解决．【详解】解：连接AE 、EF ，如图所示，则AE ∥CD ，∴∠FAE=∠BOD ，∵每个小正方形的边长为1， 则222222112,2425,3332,AE AF EF =+==+==+=∴△FAE 是直角三角形，∠FEA=90°， ∴32310sin 25EF FAE AF ∠=== ∴310sin BOD ∠=故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．B解析：B【分析】设AC=AB=x ，求得3tan 3AC CD x D ===，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设AC=AB=x ， 则3tan 3AC CD x D ===， ∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴BE AB CE CD === 故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据Rt △ABC 中cos35AC AB AC m ︒==，即可得到AC 的长. 【详解】在Rt △ABC 中， AB=m ，∠A=35°，cos35AC AB AC m ︒==， ∴AC=cos35m ⋅︒，故选：D.【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键. 5．A解析：A【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1 ∴BC AC =3AC =解得，AC ＝由勾股定理得，AB ==6（m ）， 故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．C解析：C【分析】根据非负数的性质可得sinA 和cosB 的值，进而可得∠A 和∠B 的度数，即可知△ABC 的形状．【详解】解：∵(2sinA-1)2=0，∴2sinA-1=0，cosB-12=0，∴sinA=12，cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，故△ABC为直角三角形．故选C．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键．7．A解析：A【解析】试题∵cos A=2，tan B，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．8．A解析：A【分析】证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=出AB长可得四边形ACEB的周长是10+【详解】①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB ，∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=cos30AD ⋅︒=∵四边形ACED 是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB ，∴EB=4，DB=∴BC=∴==∴四边形ACEB 的周长是10+③正确；综上，①②③均正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．9．C解析：C【分析】先表示出CD ，AD 的长，然后在Rt △ACD 中利用∠ACD 的正切列方程求解即可．【详解】过点A 作AD BC ⊥，∵点A 、点C 的横坐标分别为1，3，且A ，C 均在反比例函数k y x =第一象限内的图象上， ∴(1,)A k ，3,3k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD=2，AD=k-3k ， ∵AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴30ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，∵tan ∠ACD=AD DC，∴DC =，即23k k ⎫=-⎪⎭，∴k = 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．10．B解析：B【分析】如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，求出CN即可得到FN的长，由四边形DMFN是矩形可得DM的长，然后分别在Rt△ADM和Rt△DMB中，解直角三角形求出AM，BM即可解决问题．【详解】解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，CN＝CD•cos40°≈20.0×0.77＝15.4（米），∵CF＝CG＋GF＝44.6（米），∴FN＝CN＋CF＝60.0（米），易得四边形DMFN是矩形，∴DM＝FN＝60.0（米），在Rt△ADM中，AM＝DM•tan30°＝3 1.7360.060.0=34.633（米），在Rt△DMB中，BM＝DM•tan10°≈60.0×0.18＝10.8（米），∴AB＝AM＋BM＝45.4（米），即瀑布AB的高度约为45.4米，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是灵活运用三角函数解决问题，属于中考常考题型．11．C解析：C【分析】如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G∵BC的坡度为1:0.75∴设CF为xm，则BF为0.75xm∵BC=140m∴在Rt△BCF中，()2220.75140x x+=，解得：x=112∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG是直角三角形∵DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m设AB=ym∵∠DAB=40°∴tan40°=1670.84120DGAG y==+解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.12．D解析：D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵∠B1C1O=60°，B1C1//B2C2//B3C3，∴∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12， 则B 2C 2= 2230B E cos = 1232= 13()， 同理可得：B 3C 3= 13= 23()， 故正方形A n B n C n D n 的边长是：13()n -． 则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：20183()． 故选D ．【点睛】 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.二、填空题13．【分析】如图取AO 的中点J 连接JMJC 过点J 作JH ⊥OC 交CO 的延长线于H 求出MJCJ 根据CM≤MJ+CJ 即可解决问题【详解】解：如图取的中点连接过点作交的延长线于的最大值为故答案为：【点睛】本题考解析：337+【分析】如图，取AO 的中点J ，连接JM ，JC ，过点J 作JH ⊥OC ，交CO 的延长线于H ．求出MJ ，CJ ，根据CM≤MJ+CJ 即可解决问题．【详解】解：如图，取AO 的中点J ，连接JM ，JC ，过点J 作JH OC ⊥，交CO 的延长线于H ．120AOC ∠=︒，60JOH ∴∠=︒，JH OH ⊥，90JHO ∴∠=︒，132AJ JO OA ===，3cos602OH OJ ∴=︒=，sin 60JH OJ =︒=， 315622CH OH OC ∴=+=+=，CJ ∴===， AM MB =，AJ JO =，132MJ OB ∴==， CM MJ JC +，337CM ∴+，CM ∴的最大值为3+故答案为：3+【点睛】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．或(-20)【分析】需要分类讨论：在把绕点顺时针旋转和逆时针旋转后得到时点的坐标【详解】解：中∴如图1当绕点顺时针旋转后得到△过作轴交于点则则可得：即有因为在第三象限则的坐标是；如图2当绕点逆时针旋解析：(1,-或(-2，0)【分析】需要分类讨论：在把ABO 绕点O 顺时针旋转150︒和逆时针旋转150︒后得到11A B O 时点1A 的坐标． 【详解】解：ABO ∆中，AB OB ⊥，2OA =，1AB =，∴sin 21OB AOB OA ∠==， 30AOB ∴∠=︒．如图1，当ABO ∆绕点O 顺时针旋转150︒后得到△11A B O ，过1A 作1AC y ⊥轴交于C 点则1150150309030AOC AOB BOC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 则可得：111AOB AOB AOC ≅≅ 即有2222213OC OB OA AB ==-=-=，11AC AB == 因为1A 在第三象限，则1A 的坐标是(1,3)--；如图2，当ABO ∆绕点O 逆时针旋转150︒后得到△11A B O ，则1150********AOB AOB ∠=︒+∠=︒+︒=︒， 即1A 在x 轴上，并有：12OA OAB ==，因为1A 在第二象限，则1A 的坐标是(2,0)-；综上所述，点1A 的坐标为(1,3)-或(2,0)-．故答案是：(1,3)-或(2,0)-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转．能进行分类讨论，是解题的关键．15．1【分析】连接BH 证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ）得出∠ABH=30°在Rt △ABH 中解直角三角形即可【详解】解：连接BH 如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1【分析】连接BH ，证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ），得出∠ABH =30°，在Rt △ABH 中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，∵BH=BH，AB=EB，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=1∠ABE=30°，2∴AH=AB•tan∠33，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt△ABH≌△Rt△EBH，从而求得∠ABH =30°是解题关键．16．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数解析：43【分析】先利用特殊的三角函数值计算，再利用绝对值和负指数得出结论．【详解】=+=+解:原式=23+2322332243故答案为：43．【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂3个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果．17．5【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中利用锐角三角函数定义求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】过P作PD解析：5．【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD 即可求出OM的长．【详解】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°12 OD OP==，OP=12，∴OD=6．∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND12=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故答案为：5．【点晴】本题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．18．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x轴作垂线B1C垂足为C由题意可得：A（10）AO∥A1B解析：（1009，3【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为3，进而得出O，B1，B2，B3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（1，0），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，∴CB1＝OB1cos30°3∴B1的横坐标为：12，则B13∴点B1，B2，B3，…都在直线y3x上，∴B 1（12，32）， 同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，3n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°进而得出∠B 的度数进而得出答案【详解】∵tan ∠A=∴∠A=30°∵∠C=90°∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°∴cos ∠B=故答案为：【点解析：12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【详解】∵tan ∠A =33， ∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos ∠B =12． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键．20．【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M过点B作BN⊥CE于点N通过解直角三角形可求出BMAMCNDE的长再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M过点B作解析：1553【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋E N−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3∠CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故答案为：3【点睛】此题考查解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．三、解答题21．约为12.3m【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x，得到BE=16+x，解直角三角形即可得到答案．【详解】过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，∴BC ＝MN ＝16m ，DE ＝CN ＝BM ＝1.6m ，∵∠AEC ＝90°，∠ACE ＝45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴CE ＝AE ，设AE ＝CE ＝x ，∴BE ＝16+x ，∵∠ABE ＝22°，∴tan22°＝AE BE ＝16x x+≈0.40， 解得：x ≈10.7（m ），经检验x ≈10.7是原分式方程的解∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m ）， 答：观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（1）②；④；（2）12±；（3）y ＝﹣x 23x ﹣24． 【分析】（1）根据题意先求出这两个抛物线的顶点及与x 轴的交点坐标，然后进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点及与x 轴的交点坐标，然后根据题意列方程求解即可； （3）如图，过点A 作AH ⊥x 轴，交于点H ，由题意易得S △ABE ＝14ABCD S 矩形＝143334BE 2＝3A （3，3），E （3，0），B （30），然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）由抛物线y ＝x 2﹣3可得顶点坐标为：)3,3-，与x 轴的交点坐标为：()()0,0,23,0， ∴抛物线y ＝x 2﹣3对应的“特征轴三角形”是等边三角形；由抛物线y ＝12x 2﹣2可得顶点坐标为：()0,2-，与x 轴的交点坐标为：()()2,0,2,0-， ∴抛物线y ＝12x 2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形； 故答案为②；④；（2）设抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （﹣3，0），B （1，0），D （﹣1，﹣4a ），∵抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2，∴16＝4+16a 2+4+16a 2，∴a ＝12±； （3）如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝CE ＝OE ＝BE ，∴S △ABE ＝14ABCD S 矩形＝143＝3 ∵△ABE 是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE ＝AB ，∴AE ＝AB ＝BE ，∴△ABE 是等边三角形，过点A 作AH ⊥BE ，∴AH ＝AB sin ∠ABE 33， ∴32＝3 ∴BE ＝3∴AH ＝3，EH 3∴A （33），E （3，0），B （30），设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣3）2+3，将点E （30）代入得，a ＝﹣1， ∴y ＝﹣（x ﹣32+3＝﹣x 23﹣24．∴过点A ，B ，E 三点的抛物线的解析式y ＝﹣x 23x ﹣24．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及三角函数，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．23．（1）0.8；（2）1.04 m【分析】（1）已知AC与BD，求AB，为此过D作BE⊥AC于E，可求AE，由∠ABE已知，利用30角所对直角．边等于斜边的一半，可求AB即可，（2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∠ONF=α=30°，利用外角有∠M=∠MNO=12∠FON=30º，在30 º Rt△OFN 中，OF=12ON，易求MF，利用Rt△MFN中MN=MFcos30︒即可．【详解】（1）过B作BE⊥AC于E，则四边形CDBE为矩形，CE=BD=0.26米，AC=0.66米，∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米，在Rt△AEB中，α=30°，AB=2AE=2×0.40=0.80米，（2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∴∠ONF=α=30°，∵ON=0,6米，∴OF=12ON=0,3米，∵OM=ON=0.6米，∴MF=0.9米，∴∠FON=90º-30º=60º，∴∠M=∠MNO=12∠FON=30º，在Rt△MFN中，MN=MF==1.039 1.04 cos303≈︒．【点睛】本题考查求斜面长，MN长，关键是掌握把要求的线段置于Rt △中,用三角函数来解决问题．24．（1）证明见解析；（2）163π- 【分析】 （1）先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂径定理的推论可得OD 垂直平分BC ，然后根据平行线的判定即可得证；（2）设O 的半径为r ，从而可得,2OB r OE r ==-，再根据垂径定理的推论可得12BE BC ==Rt OBE 中，利用勾股定理可得r 的值，从而可得OBC ∠的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得．【详解】（1）AB 为O 的直径， 90ACB ∴∠=︒，即AC BC ⊥，点D 为BC 的中点，OD ∴垂直平分BC ，//OD AC ∴；（2）设O 的半径为r ，则OB OD OC r ===，2DE =，2OE OD DE r ∴=-=-，由（1）已证：OD 垂直平分BC ，1122BE BC ∴==⨯=在Rt OBE 中，222OE BE OB +=，即222(2)r r -+=，解得4r =，4,2OB OE ∴==，在Rt OBE 中，1sin 2OE OBC OB ∠==， 30OBC ∴∠=︒，又OB OC =，30OCB OBC ，180120BOC OCB OBC ∴∠=︒-∠-∠=︒，则阴影部分面积为21204116236023OBC OBC S Sππ⨯-=-⨯=-扇形 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、正弦三角函数等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键．25．【分析】先代入特殊角三角函数值和进行二次根式的混合运算，再进行合并即可得到结果．【详解】解：25864sin453+⨯-︒=62 2225432 +⨯-⨯=225222+-=52．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算以及特殊角三角函数值，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式再运算．26．433A C'=+【分析】利用旋转的性质得B C=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C，进而判断出A'C是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．【详解】解：如图，连接CC'，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC'是等边三角形，∴BC=C'C，∵A'B=A'C'，∴A'C是BC'的垂直平分线，垂足为D，∴BD=12BC'=3，在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°3∴3【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。
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知识改变命运
A
D C
B
一、精心选一选
1、若Rt △ABC 的各边都扩大3倍，得到Rt △A /B /C /，那么锐角A 、A /的正弦值的关系为（ ）
A 、sinA /=4sinA ；
B 、4sinA /=sinA ；
C 、sinA /=sinA ；
D 、不能确定；
2、已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ）
A 、32
sin =B ； B 、32cos =B ； C 、3
2tan =B ； D 、以上都不对；
3、已知△ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ,,，且a b 2=，则cosA 的值为（ ）
A 、5；
B 、
552； C 、5
5
； D 、2
5； 4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900
，CD ⊥AB 于点D ， BC=3，AC=4，tan ∠BCD 的值为（ ）
A 、4
3； B 、3
4； C 、5
4； D 、
4
5； 5、若a =tan280，b =sin280，c =cos280，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
知识改变命运
D
A D 'C
B
A 、a ＞b ＞c ；
B 、b ＞c ＞a ；
C 、c ＞a ＞b ；
D 、
c ＞b ＞a ；
6、下列各式中，正确的是（ ）
A 、sin200+sin300=sin500；
B 、sin600=2sin300；
C 、tan200﹒tan700=1；
D 、cos300＜cos600； 7. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2，则等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A 、300；
B 、1500；
C 、600或1200；
D 、300或1500；
8. 已知sinA+cosA=m ，sinAcosA=n ，则m ，n 的关系是（ ）
A 、m=n ；
B 、m=2n+1；
C 、m 2=1-2n ；
D 、m 2=2n+1；
二、细心填一填
9、如果∠A 是锐角，且5
3sin =A ，则=-)90sin(0A _______. 10、sin 2300+cos 2300=__________.
11、反比例函数x
k y =的图象经过点（cos600,tan450
），则k =____.
12、如图，已知正方形ABCD 的边长为5，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的
D /点处，那么tan ∠BAD /= _________。
13、cos 2600+sin 2450+0045tan 30tan 3⋅⋅=_________。
知识改变命运
14、若tanA=2，则
A
A A
A cos sin cos sin -+=___________。
16．如图4，在山顶有座移动通信发射塔BE ，高为30米.为了测量山高AB,在地面引一基线ADC,测得∠BDA=60°,∠C=45°,DC=40米,则山高AB= .(不求近似值) 三、用心做一做 17、求下列各式的值
（1）sin 2450+cos 2450+tan300tan600+sin600cos300; （2）
0030cos 30sin 21-
18、试比较sin100,cos300,sin500,cos700的大小.
知识改变命运
A
B
19、求下列各式的值:
（1）a 、b 、c 是△ABC 的三边，
且满足))((2b c b c a -+=和054=-b c ，求cosA+cosB 的值.
（2）已知A 为锐角，且tanA=3，求sin 2A+2sinAcosA+cos 2A 的值.
20、如图，已知AB 是⊙O 的直径， CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=6，AC=8，
求sin ∠ABD 的值.
知识改变命运
A
P '
A '
H
P
B
21、如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转300后，得到△A /P /B ，且BP=2，那么PP /的长为多少？（不取近似值，以下数据供解题使用：4
2
615cos ,4
2
615sin 00+=-=
）
四、附加题
参考答案
知识改变命运
知识改变命运
一、1、C ；2、C ；3、B ；4、A ；5、C ；6、C ；7. D 8. D
二、9.5
410、1；11、2
1；12、2；；13、4
31；14.3 15. 203
三、17、（1）4
3
2；（2）原式=2
1
2330sin 30cos )30sin 30(cos 00200-=
-=-； 18、cos300=sin600，cos700=sin200，∵sin100＜sin200＜sin500＜sin600，
∴sin100＜cos700＜sin500＜cos300；
19、（1）由))((2b c b c a -+=得222b a c +=，所以∠C=900，由054=-b c
得5
4=c
b
，∴54cos ==c b A ，53cos ==c a B ，∴5
7cos cos =+B A ； （2）原式=
23
21)3(132)3(1tan 1tan 2tan cos sin cos cos sin 2sin 2
2222222+=++⋅+=+++=+++A A A A A A A A A
20、由条件可知：弧AC=弧AD ，则∠ABD=∠ABC ，所以sin ∠ABD=sin ∠ABC=
AB
AC
； AB 为直径，BC=6，AC=8，可得AB=10，∴sin ∠ABD=5
4； 21、由条件可知：△A /P /B ≌△APB ，BP /=BP ，∠PBP /=300，连PP /，作BH ⊥PP /于点H ，
则PP /=2PH ，∠PBH=2
1
∠PBP /=150，在Rt △BPH 中，sin ∠PBH=
BP
PH
， ∴PH=BP ﹒sin ∠PBH=2sin150=
2
2
6-
知识改变命运
四、
22.在Rt △ABD 中，
因为∠A ＝45°, ∠D ＝90°，AD ＝300，
所以AD
AB cos 45
=
=BD AD tan 45300=⋅=． 在在Rt △BCD 中，
因为∠BCD ＝60°, ∠D ＝90°，
所以BD BC sin 60=
=
，BD
CD sin 60
== 从而1号救生员到达B
210
=≈（s ）； 2
号救生员到达
B
点所用的时间
为
50191.7=≈（s ）
； 3号救生员到达B 点所用的时间为
300300
20062
+=（s ）． 所以2号救生员先到达营求地点B ．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
知识改变命运。