作业3

pα = −
] = [ pα , H ]
(1) [ c , ϕ ] = 0, c为 常 数
(3) 如 ϕ =
n j =1
(2) [φ , ϕ ] + [ϕ , φ ] = 0
∑ ϕ j , 则 [φ , ϕ ] =
(5)
∑ ⎡φ , ϕ ⎣
j =1
n
j
⎤ ⎦
(4) [ −φ,ϕ ] = −[φ,ϕ ]
⎛ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ⎞ − ⎟ ∂ pα ∂ qα ⎠ α =1 ⎝ ∂ qα ∂ pα
s
设
ϕ = ϕ ( p1 , p 2 ,... p s ; q1 , q 2 ,...q s ; t )
dϕ ∂ϕ = + [ϕ , H ] dt ∂t
qα = ∂H ∂ pα ∂H ∂ qα
qα = [ qα , H pα
6
q2 = θ Qθ = ( F1 + F2 ) ⋅
= [−
μm
3 2 2
∂r μm = (− 3 r − a 2 v ) ⋅ rθ 0 r ∂θ
r = −a r θ
r − a 2 (rr 0 + rθθ 0 )] ⋅ rθ 0
r 0 = i cos θ + j sin θ
θ 0 = −i sin θ + j cos θ
T = m ( R 2 + R 2θ 2 + z 2 ) 2 m R = ( R 2 + R 2ω 2 + ( R ) 2 ), 2 p
o
θ
z
ω
m
z
R2 选取xoy面为零势面： V = mgz = mg 2p
L = T −V = m (R 2
2
R
y
x
2
+ R 2ω
2
+
R 2R 2 mgR )− 2 2p p
k
函 L = L ( q, q, t ) 数 ∂H pk − H 形 = ∂pk k 式
∑
∂L qk − L ∂qk
1
∂L ⎧ d ∂L ( )− =0 ⎪ dt ∂q ∂q k ⎪ k ⎨ ⎪q = dq k ⎪ k dt ⎩
3．对哈氏方程的说明 (1)、H函数的物理意义
∂H ⎧ qk = ⎪ ∂p k ⎪ ⎨ ⎪ p = − ∂H ⎪ k ∂q k ⎩
(2)、循环积分（广义动量守恒）
qi (i = 1,2, …，m ≤ s )
为循环坐标，则
∂L ∂H =− = 0 = pi ∂q i ∂qi
pi = C
2
5．哈氏正则方程中的解题步骤 ①建立坐标系（惯性系），确定体系的自由度，选 取恰当的广义坐标； ②写出体系的动能及势能； ③用 q,
p, t
表示出哈氏函数
当小环稳定时，R为定值，即有 R = 0
2 2 代入上式，可得 p ω R = pgR
R = 0
ω =
g p
1.28 一个做平面运动的质点除了受到有心力 F1 = − 到与速度大小成正比、方向相反的阻力 格朗日方程。
μm
r3
r 外，还受
作用。试求其拉 F2 = −a 2 v 2
解：质点必定是作平面运动的，因此质点只有2个自由度，因此 得取二个广义坐标：q1 = r , q 2 = θ
H = ∑ pk qk − L = ∑ qk
k k
∂L − L = T2 − T0 + V ∂q k
(2)、哈氏正则方程同受理想约束的完整具势组的拉氏 方程是等价的，应用条件都是对惯性系中。 4．正则方程中的初积分 (1)、广义能量积分
dH ∂H = dt ∂t
∂; V = C
④代入正则方程求解。
七、相空间
1.定义:由广义坐标和广义动量共同构成的2s维空间, 称作相空间,通常又称作P—q空间.
2.相空间与位形空间的区别
位形空间 维数 功能 空间点 遵循的 方程 s 确定位形
相空间 2s 位形和运动状态
拉格朗日方程
哈密顿正则方程
3
1. 泊松括号 定义
[ϕ ,ψ ] = ∑ ⎜
对应于广义坐标r 对广义坐标 θ：
m ( r − rθ 2 ) = −
μm
r
2
− a 2r
m(rθ + 2rθ ) = −a 2 rθ
7
q1 = r
1 m(r 2 + r 2θ 2 ) 2 ∂r ∂r μm ∂r Qr = ∑ Fi ⋅ i = ( F1 + F2 ) ⋅ = (− 3 r − a 2 v ) ⋅ ∂r ∂r ∂r r i μm = [− 3 r − a 2 (rr 0 + rθθ 0 )] ⋅ r 0 r μm = − 2 − a2r r T=
∂F ∂G ∂F ∂G =− =− , ∂wi ∂t ∂t ∂wi
u j , v j 称为主变量，没有参与变
化的
wi , t 称作辅变量。
2．哈密顿正则方程的推导 旧函数 变 量 变换 新函数
q, q, t
pk = qk =
∂L ∂qk ∂H ∂pk
q, p, t
H = H ( q, p, t ) =∑
5
L = T −V =
m (R 2
2
+ R 2ω
2
+
R 2R 2 mgR )− 2 2p p
2
代入完整具势组的拉格朗日方程，
d dt ⎞ ⎛ R2 g R ⎜R + R ⎟ − ω 2R + R − 2 R 2 ⎟ ⎜ p p p ⎠ ⎝
2
= 0
( p 2 + R 2 ) ⋅ R + R ⋅ R 2 − p 2ω 2 R + pgR = 0
∂ ∂φ ∂ϕ [φ , ϕ ] = ⎡ , ϕ ⎤ + ⎡φ , ⎤ ⎢ ∂t ⎥ ⎢ ∂t ⎥ ∂t ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(6) ⎡θ , [ϕ , φ ]⎤ + ⎡ϕ , [φ ,θ ]⎤ + ⎡φ , [θ , ϕ ]⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧1, 如α = β (7) ⎡ qα , pβ ⎤ = δαβ = ⎨ ⎣ ⎦ ⎩0, 如α ≠ β
第3章、哈密顿力学
1．勒让德变换
F = F (u j , wi , t )
(j =1,
,n; i =1,
∂G ∂v j
,s)
∂F ⎧ vj = ⎪ ⎪ ∂u j ⎨ ⎪G = ∑ u j v j − F ⎪ j ⎩
G = G (v j , wi , t )
G = G (v j , wi , t )
uj =
4
2. 泊松定理 若
ϕ ( p1 , p 2 , ... p s ; q1 , q 2 , ...q s ; t ) = C 1 ψ
( p1 , p 2 , ... p s ; q1 , q 2 , ...q s ; t ) = C 2
于是
[ϕ ,ψ ] = C3
1.25 光滑刚性抛物线R2=2pz以恒定角速度ω绕铅直轴z旋转， 其上套有质量为m的小环.(1)试求小环的拉格朗日函数及运动方 程；(2)小环可稳定某处时，ω＝？ 解：建立柱坐标系，体系自由度为1； R为广义坐标，则