高中数学1.2.2第2课时分段函数及映射学案新人教A版必修1

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高中数学人教版A版必修一第一单元1.2.2 第2课时分段函数及映射

第2课时分段函数及映射学习目标 1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)．预习教材P21－P22，完成下面问题：知识点1 分段函数分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x 的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数．【预习评价】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥02x ＋3，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析由题意得f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12－3＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1. 答案－2 －1 知识点2 映射映射的定义：【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)在映射的定义中，对于集合B 中的任意一个元素在集合A 中都有一个元素与之对应．( )(3)按照一定的对应关系，从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射是同一个映射．( )提示 (1)√ 根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数；(2)× 映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”；(3)× 从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射不是同一个映射．题型一映射的概念及应用【例1】 (1)下列对应是集合A 到集合B 上的映射的是( ) A ．A ＝N *，B ＝N *，f ：x →|x －3|B ．A ＝N *，B ＝{－1,1，－2}，f ：x →(－1)xC ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：x →3xD ．A ＝N *，B ＝R ，f ：x →x 的平方根(2)已知映射f ：A →B ，在f 的作用下，A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)，求：①A 中元素(－1,2)在f 作用下与之对应的B 中的元素． ②在映射f 作用下，B 中元素(1,1)对应A 中的元素．(1)解析对于选项A ，由于A 中的元素3在对应关系f 的作用下与3的差的绝对值在B 中找不到象，所以不是映射；对于选项B ，对任意的正整数x ，在集合B 中有唯一的1或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f 下无意义，所以不是映射；对于选项D ，正整数在实数集R 中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射．答案 B(2)解 ①由题意可知当x ＝－1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6， 4x ＋3y －1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A 中元素(－1,2)在f 的作用下与之对应的B 中的元素是(－6,1)．②设在映射f 作用下，B 中元素(1,1)对应A 中的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝1，解之得⎩⎨⎧x ＝417y ＝617，即A 中的元素为⎝⎛⎭⎫417，617. 规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应． (2)B 中的对应元素是不是唯一的．2．求对应元素的两种类型及处理思路(映射f ：A →B )(1)若已知A 中的元素a ，求B 中与之对应的元素b ，这时只要将元素a 代入对应关系f 求解即可．(2)若已知B 中的元素b ，求A 中与之对应的元素a ，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．【训练1】下列各个对应中，构成映射的是( )解析对于A ，集合M 中元素2在集合N 中无元素与之对应，对于C ，D ，均有M 中的一个元素与集合N 中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B ．答案 B典例迁移题型二分段函数求值问题【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52. 解由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝3×⎝⎛⎭⎫－32＋5＝12. 【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2,2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.【迁移2】 (变换所求)例2的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围．解当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2；当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2；当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}．规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．【训练2】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)．当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. 答案－6或4题型三分段函数的图象及应用【例3】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象；③写出函数f (x )的值域．(1)解析当0≤x ≤1时，f (x )＝－1；当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝－1，2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2，此时f (x )＝x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.(2)解 ①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.②函数f (x )的图象如图所示．③由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．【训练3】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)，1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．课堂达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＋1，x <2，x －2，x ≥2，则f (0)＝( )A ．2B ．2C ．1D ．0解析因为0∈(－∞，2)，所以f (0)＝102＋1＝1.答案 C2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D ．答案 D3．如图中所示的对应：其中构成映射的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析由映射的定义知①②③是映射．答案 A4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝________.解析当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，即a ＝－4；当a >0时，f (a )＝a 2＝4，a ＝2(a ＝－2舍去)，故a ＝－4或a ＝2.答案－4或25．作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞)的图象，并求y 的值域．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞). 值域为y ∈[－7,7]．图象如右图．课堂小结1．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”，而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集．于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．。

人教A版必修一数学课件：1.2.2函数的表示法(第2课时分段函数及映射)

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x＋2，x≤－1 2 已知函数 f(x)＝x ，－1<x<2 ，求 f(f(f(－3))) 2x，x≥2 【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： ①函数 f(x)是分段函数； ②本例是求值问题．解答本题需确定 f(f(－3))的范围，为此又需确定 f(－3)的范围，然后根据所在定义域代入相应解析式逐步求解．
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对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值
的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一
样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
2.写出下列函数的解析式并作出函数图象： (1)设函数y＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2； (2)设函数y＝f(x)，当x≤－1时，f(x)＝x＋1；当－1＜x＜1时，f(x)
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1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各
是什么？【提示】分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是
各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．函数是映射吗？【提示】对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映
射，是从非空数集到非空数集的映射．
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【解析】 ∵－3≤－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1 ∴f(f(－3))＝f(－1)＝1，
∵－1<1<2，
∴f(f(f(－3)))＝f(1)＝1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相
应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层

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第2课时分段函数及映射【课标要求】1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射的概念.【核心扫描】1.分段函数的图彖及求值.(重点)2.对映射概念的理解.(难点)3.通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.教材为本探究学习01冷新知探究新知导学1.分段函数如果函数y=f(x), xeA,根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对•应关系, 则称这样的函数为分段函数.温馨提示：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.2.映射设A、B是两个菲空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A屮的任意一个元索x,在集合B中都冇唯一确宦的元素y与Z对应，那么就称对应f： A-B为从集合A到集合B 的一个映射.互动探究探究点1 “分段函数是几个函数”这何话正确吗？提示不正确，分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已.探究点2映射一定是函数吗？提示映射是函数的推广，而函数是映射的特殊情况，函数是非空数集A到非空数集B 的映射，对映射而言，A, B不一定是非空数集，所以映射不一定是函数，函数一定是映射.的* 師殆I區女Vfc 阳土环九研析题型要点突破…类型一—分卡殳矗的求值x2+1, xWl,【例1】⑴设函数f(x)=S2 则f(f(3))=().k x>i，A.IB. 3 C? D.孕[x2+1(x^0),(2)(2013-成都高一检测)已知函数f(x)= _____ z c、若f(x)=10,则x=、一2x(x<0),2解析(1)当 x = 3>l 时，f(3) = §<l,13 y-(2)当 xNO 时，f(x) = x 2 + 1 = 10, Ax = 3(舍去-3)；当 x<0 时,f(x)= -2x= 10, .\x= -5.综上知，x 的值为-5或3.答案(1)D (2)-5 或 3［规律方法］1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.若题目含有多层“f”，应按“由里到外”的顺序层层处理.2.如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想.x —2 I 刘 W ］【活学活用1】⑴已知函数f(x)=L+x ；,(2) 右 x$0,由 x + 1 = 2,得 x = 1;若 x<0,由右=2, # x = ±|,舍去 x=*,・・.x= 综上可知，x^l 或x= -*.13 ］答案⑴才(2)1或一㊁类型二分段函数的图象与解析式【例2］ (1)(2013-汕头高一检测)作f(x) = x+—的图象. A(2)如图，根据函数y=f(x)的图象，写出它的解析式.［思路探索］⑴去绝对值号，化简f(x)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象.(2)根据图象列出每一段的解析式，合在一起形成f(x)的解析式.y ［思路探索］判断自变量满足的范围分段函数 |确定适宜| |的函数式| 求值 ⑵已知函数f(x)=S 1 Ixl'x<0, 若 f(x)=2,则*= ___________ 解析⑴由于I W1,所以哇) 3-2 =21 -2 3-2=x+l(x>0), 解(l)f(X)=i iz -c、图彖如图.x— l(x<0),(2)当0WxWl 时，f(x)=2x；当l<x<2 时，f(x)=2；当xN2 时,f(x) = 3.2x, OWxWl,故f(x)=2, l<x<2,.3, x$2・［规律方法］l•对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象.2.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题.3.根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式.x2, —lWxWl,【活学活用2】已知f(x)= , |l, x>l或xV —I.⑴画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域.解(I)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知,当TWxWl时,f(x)=x2的值域为［0,1］,当x>l 或xV —1 时,f(x)= 1,所以f(x)的值域为［0,1］・类型三映射的概念【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A=N*, B=N",对应关系f： x-Hx—31；(2)A=｛平面内的圆｝, B = ｛平面内的矩形｝,对应关系f：“作圆的内接矩形”；(3)A=｛高一⑴班的男生｝, B=R,对应关系f：每个男生对应自己的身高;(4)A=｛xlOWxW2｝, B = ｛ylOWyW6｝,对应关系f： x-*y=yx.［思路探索1根据映射的定义，只要检验对A中的任何元素，按对应关系f,是否在B中都有唯一的元素与之对应.解(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而()B,故不是映射.(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与Z 对应，故不是映射.(3)对A屮任何一个元素，按照对应关系f,在B中都有唯-的元素与之对应，符合映射定义，是映射.(4)是映射，因为A中每一个元素在f： x-y=|x作用下对■应的元素构成的集合C = ｛ylOWyWl｝ B,符合映射定义.［规律方法］判断对应f: A-B是否是A到B的映射，必须做到几点：⑴明确集合A, B中的元素.(2)根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素，可以“一对一”，也可以“多对一”，但“一对多”不是映射.【活学活用3】判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？1(x30),⑴A = R, B = {()」},对应关系f： Ly=h<°),(2)A=Z, B=Q,对应关系f： x-*y=7；X(3)设A=｛矩形｝, B = ｛实数｝,对应关系f：矩形和它的面积对应.解⑴对于集合A中任意一个非负数在集合B中都有唯一元素1与Z对应，对于A中任意一个负数在集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射.(2)集合A屮的元索0在集合B中没有元索•与之对应，故不是映射.(3)对于每一个矩形，它的而积是唯一确定的，所以f是从集合A到集合B的映射.易错辨析忽略分段函数各区间上的范围致误X2— 1 (x2()),【示例】已知函数f(x)=1 若f(x)=3,求x的值.2x 十1 (xvO),［错解］ill X2—1=3,得x=±2；由2x+l =3,得x=l,故x的值为2, —2或1.［错因分析］要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，求值时不能忽视x的取值范围.［正解］当xMO时,由X2—1=3,得x = 2或x=—2(舍去)；当xvO时,由2x+l=3, 得x = l(舍去)，故x=2.［防范措施］(1)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则.(2) “对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题.不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因.03 > 感悟提升1. 下列对应不是映射的是().解析结合映射的定义可知A 、B 、C 均满足M 中任意一个数x,在N 中有唯一确定的 y 与之对应，而D 中元素1在N 中有a, b 两个元素与之对应，故不是映射.答案D2.函数y=lxl 的图象是().x x$O,解析 7y = lxl = l-x x<0,答案B x 2+1(x^0),函数他尸〔2-x(-20VO)解析当x2O 时，f(x)$l,当—2Wx<0 时，2<f(x)W4, ・・・f(x)N 1或2<f(x)W4,即f(x)的值域为［1, +8)・答案［1, +8)4. _________________ 已知从集合A 到集合B 的映射是fi ： x-2x —l,从B 到C 的映射是f2： y —詁所，则从A C 的映射为・解析依题设范七T 右’X 2-4, 0W X W2,5. 已知函数f(x)=1] 4x—1 总结评价反思提高课堂达标3. 的值域是・・・A-C 的映射为答案 AB 选项正确.2x, x>2.⑴求f(2), f[f(2)]的值；(2)若f(x())=8,求X。

人教A版高中数学必修1 课时分层训练：第一章 1.2 1.2.2 第二课时

第一章1.2 1.2.2第二课时分段函数及映射课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( ) ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ； ②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.2．若A 为含三个元素的数集，B ＝{－1,3,5}，使得f ：x →2x －1是从A 到B 的映射，则A 等于( )A ．{－1,2,3}B ．{－1,0,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2}解析：选C 由映射的概念，A 中的元素在关系x →2x －1下，成为－1,3,5，则A ＝{0,2,3}．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]＝( )A.15B ．3C.23 D ．139解析：选D f (3)＝23，f [f (3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．±3 C.32D ． 3解析：选D 若⎩⎨⎧ x ＋2＝3，x ≤－1，即⎩⎨⎧x ＝1，x ≤－1无解；若⎩⎨⎧ x 2＝3，－1＜x ＜2，⎩⎨⎧x ＝±3，－1＜x ＜2，所以x ＝ 3. 若⎩⎨⎧2x ＝3，x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，x ≥2无解．综上可知，x ＝ 3.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知，⎩⎨⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－10.所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：107．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，x ＋1，x ≥2的值域是________．解析：当0≤x ≤1时，2x 2∈[0,2]；当x ≥2时，x ＋1≥3，所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．答案：[0,2]∪[3，＋∞)8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：139．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解：∵当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎨⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1. 由于x ＝1＞0，所以舍去．当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， ∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4＜x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8＜x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4＜x ≤8，24－2x ，8＜x ≤12.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，分段画出，应选C.2．(2019·兰州高一检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：选B g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1.∴解集为{x |x ≤1}，故选A. 4.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自点O 开始移动．设线段OE ＝x ，过点E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝12x，此时S＝12·x·⎝⎛⎭⎪⎫x2＝x24；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝12·3·1－12·(3－x)·(3－x)＝－x22＋3x－3；当x>3时，S＝32.对比图形特征易得D符合．解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝⎩⎨⎧b，a≥b，a，a＜b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝⎩⎨⎧2－x，x≥1，x，x＜1.画出图象为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，－1≤x＜0，－12x，0＜x＜2，3，x≥2，则f⎩⎨⎧⎭⎬⎫f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫－34＝________.解析：∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，而0<12<2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.答案：327．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－348．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0＜12，且f (x 0)＝x 0＋12，又12≤x 0＋12＜1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12∈B ，所以f [f (x 0)]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f [f (x 0)]∈A ，所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0＜12，所以14＜x 0＜12.由Ruize收集整理。

人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件

考点一
课堂互动讲练
考点突破分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式．常用描点法画图，注意区间端点的虚实．
例1 已知函数 f(x)＝1＋|x|－ 2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．【思路点拨】讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km，甲 10 点钟发前往乙家，如图表示甲从自家出发到乙家为止过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系．依图象回下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？ (2)甲到达乙家是几点钟？ (3)写出函数 y＝f(x)的解析式． (4)计算当 x＝50 分钟时，甲所走的路程．
x →y＝12x.
【思路点拨】解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应．【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
问题探究
x x≥0 1．y＝|x|＝－x x＜0 可以说 y＝|x|是两个函数吗？提示：y＝|x|，x∈R，仍是一个函数，只是 x ∈[0，＋∞)与 x∈(－∞，0)的对应关系不同，对于具体 x 值，所用的对应关系是唯一的．
2．从定义上看，函数与映射有什么关系？提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．并非所有映射都为函数．
将(60,4)，(40,2)分别代入，得 k2＝110，b＝－ 2.

新课标人教A版必修1教学课件：1.2.2.2第2课时分段函数及映射.pptx

④ 不是 ⑤ 不是 ⑥ 不是答案： A
是一对多，不满足对应元素唯一性.
是一对多，不满足对应元素唯一性.
a3，a4无对应元素、不满足取元任意性.
[题后感悟] 判断一个对应是否为映射的关键是什么？ ①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有元素与它对应； ②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯一． [注意] ①映射允许多对一，一对一，不允许一对多．
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故选D. 答案： D
4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有( )
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
解析：图①，图②符合映射定义，图③集合 M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应，故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不能构成映射．
3x＋5，x≤0，

x＋5，0＜x≤1，－2x＋8，x＞1.
(1)求 f32，fπ1，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求 f(x)的最大值．
f(x) ＝
解析： (1)∵32＞1，∴f32＝－2×32＋8＝5. ∵0＜π1＜1，∴f(π1)＝π1＋5＝5ππ＋1. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
1. 已知函数 f(x) ＝
x＋1， x≤－2， x2＋2x，－2＜x＜2， 2x－1， x≥2.

人教A版高中数学必修第一册同步学案3-1-2-2 第2课时分段函数

第2课时分段函数1．会用解析法及图象法表示分段函数． 2．给出分段函数,能研究有关性质． 3．对生活中的一些实例,会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成,但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定： ①5千米以内,票价2元；②5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站． (1)从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？ (2)函数的表达式是什么？ (3)x 与y 之间有何特点？ [答案] (1)有函数关系(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10(3)x 在不同区间内取值时,与y 所对应的关系不同 2．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x>2，是分段函数．( )(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )(4)y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x<1，是同一函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√题型一分段函数求值【典例1】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x>1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x<－1.(1)求f(f(f(－2)))的值； (2)若f(a)＝32,求a.[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值． [解] (1)∵－2<－1,∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1, ∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2, ∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋12＝32.(2)当a>1时,f(a)＝1＋1a ＝32,∴a ＝2>1；当－1≤a ≤1时,f(a)＝a 2＋1＝32,∴a ＝±22∈[－1,1]；当a<－1时,f(a)＝2a ＋3＝32,∴a ＝－34>－1(舍去)．综上,a ＝2或a ＝±22.(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题,要按照“由内到外”的顺序,逐层处理．(2)已知函数值,求自变量的值时,要先将“f”脱掉,转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1，则f[f(3)]＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 [解析] ∵f(3)＝23<1,∴f[f(3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.[答案] D2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，1－x 2，x>1，若f(x)＝－3,则x ＝________.[解析] 若x ≤1,由x ＋1＝－3得x ＝－4. 若x>1,由1－x 2＝－3得x 2＝4, 解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．综上可得,所求x 的值为－4或2. [答案] －4或2 题型二分段函数的图象【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象： ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x<1，x ，x ≥1；②y ＝|x ＋1|.(2)如图所示,在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P,沿着折线BCDA 由B(起点)向点A(终点)运动．设点P 运动路程为x,△ABP 的面积为y,求：①y 与x 之间的函数关系式； ②画出y ＝f(x)的图象．[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x 的变化范围求出关系式． [解] (1)①函数图象如图1所示．②y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x<－1，x ＋1，x ≥－1,其图象如图2所示．(2)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象．[针对训练]3.已知函数f(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．[解] 由于f(x)的图象由两条线段组成, 因此可设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－1≤x<0，cx ，0≤x ≤1.将点(－1,0),(0,1)代入f(x)＝ax ＋b, 点(1,－1)代入f(x)＝cx 可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－x ，0≤x ≤1.由图象可得f(x)的值域为(－1,1). 题型三分段函数的综合问题【典例3】已知函数f(x)＝|x －3|－|x ＋1|. (1)求f(x)的值域； (2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y ＝a 与f(x)的图象无交点,求实数a 的取值范围． [思路导引] 去掉绝对值符号,化简f(x),再分段求解． [解] 若x ≤－1,则x －3<0,x ＋1≤0, f(x)＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3,则x －3≤0,x ＋1>0, f(x)＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x>3,则x －3>0,x ＋1>0, f(x)＝(x －3)－(x ＋1)＝－4. ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x>3.(1)－1<x ≤3时,－4≤－2x ＋2<4.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f(x)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，4>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0，②或⎩⎪⎨⎪⎧x>3，－4>0，③解①得x ≤－1,解②得－1<x<1,解③得x ∈∅.所以f(x)>0的解集为(－∞,－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞,1)． (3)f(x)的图象如图：由图可知,当a ∈(－∞,－4)∪(4,＋∞)时,直线y ＝a 与f(x)的图象无交点． [变式] 若a ∈R,试探究方程f(x)＝a 解的个数．[解] 由例3(3)知y ＝f(x)的图象,作出直线y ＝a,可以看出：当a ＝±4时,y ＝a 与y ＝f(x)有无数个交点；当－4<a<4时,y ＝a 与y ＝f(x)有且仅有一个交点；当a<－4或a>4时,y ＝a 与y ＝f(x)没有交点．综上可知：当a ＝±4时,方程f(x)＝a 有无数个解．当－4<a<4时,方程f(x)＝a 有一个解．当a<－4或a>4时,方程f(x)＝a 无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段,仍是一个函数,对外是一个整体．[针对训练]4．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x>1或x<－1.(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥14,求x 的取值范围；(3)求f(x)的值域．[解] (1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14,结合此函数图象可知,使f(x)≥14的x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图象知,当－1≤x ≤1时,f(x)＝x 2的值域为[0,1], 当x>1或x<－1时,f(x)＝1. 所以f(x)的值域为[0,1].题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象,其中AB 段是恒温阶段,BC 段是双曲线y ＝kx的一部分,请根据图中信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？ [思路导引] 利用待定系数法求出x 在每一段上的解析式,再分段研究． [解] (1)设线段AD 的解析式为y ＝mx ＋n(m ≠0), 将点A(2,20),D(0,10)代入,得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝20n ＝10,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5n ＝10,∴线段AD 的解析式为y ＝5x ＋10(0≤x ≤2)．∵双曲线y ＝kx 经过B(12,20),∴20＝k12,解得k ＝240,∴BC 段的解析式为y ＝240x (12≤x ≤24)．综上所述,y 与x 的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋10(0≤x ≤2)20(2<x<12)240x (12≤x ≤24).(2)当x ＝18时,y ＝24018＝403,由于403<15,∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长． (3)令y ＝15,当0≤x ≤2时,解5x ＋10＝15,得x ＝1, 当12≤x ≤24时,解240x ＝15,得x ＝16.由于16－1＝15(小时),∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题,要在分析题意基础上,弄清变量之间的关系,然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式,则要分段用待定系数法求出,最后用分段函数表示,分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．[针对训练]5．A,B 两地相距150公里,某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地,在B 地停留2小时之后,又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系,并画出函数图象．[解] (1)汽车从A 地到B 地,速度为50公里/小时,则有s ＝50t,到达B 地所需时间为15050＝3(小时)．(2)汽车在B 地停留2小时,则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地,速度为60公里/小时,则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t,从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)．综上可得,该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系式为 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，－60t ＋450，5<t ≤7.5，函数图象如图所示．课堂归纳小结1．分段函数(1)分段是针对定义域而言的,将定义域分成几段,各段的对应关系不一样．(2)一般而言,分段函数的定义域部分是各不相交的,这是由函数定义中的唯一性决定的． (3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象． 2．与分段函数有关的实际问题要理解题意,合理引进变量,确定自变量分段的“段点”,注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x<0，10x ，x ≥0，则f[f(－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f(－7)＝10,∴f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x|x|的图象的是( )[解析] ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x<0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x<0部分)即可．[答案] D3．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x<2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0,＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时,0≤f(x)≤2,当1<x<2时,f(x)＝2,当x ≥2时,f(x)＝3.故0≤f(x)≤2或f(x)＝3,故选B. [答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入,排除选项A,C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入,排除D 项． [答案] B5．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x>0.若f[f(a)]＝2,则a ＝________.[解析] 当a ≤0时,f(a)＝a 2＋2a ＋2>0,f[f(a)]<0,显然不成立；当a>0时,f(a)＝－a 2,f[f(a)]＝a 4－2a 2＋2＝2,则a ＝±2或a ＝0,故a ＝ 2.[答案]2课后作业(十八)复习巩固一、选择题1．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x>0.则f(－2)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．2或4 [解析] f(－2)＝－(－2)＝2,选A. [答案] A2．函数f(x)＝|x －1|的图象是( )[解析] f(x)＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<1，x －1，x ≥1.选B.[答案] B3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x>0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52[解析] 当x ≤0时,令x 2＋1＝5,解得x ＝－2；当x>0时,令－2x ＝5,得x ＝－52,不合题意,舍去．[答案] A4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13C ．－23 D.23[解析] 由图可知,函数f(x)的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x<1，x ＋1，－1<x<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.[答案] B5．某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米[解析] 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x>10.由y ＝16m,可知x>10,令2mx －10m ＝16m,解得x ＝13.[答案] A 二、填空题6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x<01，x ≥0,则不等式xf(x －1)≤1的解集为________．[解析] 原不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ×(－1)≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ×1≤1，解得－1≤x ≤1.[答案] [－1,1]7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]的值域是________．[解析] 当0≤x ≤1时,0≤f(x)≤1；当1<x ≤2时,0≤f(x)<1.所以0≤f(0)≤1,即f(x)的值域为[0,1]． [答案] [0,1]8．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，f (x ＋2)，x ≤0，则f(－5)的值等于________．[解析] f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2. [答案] 2 三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x|≤1，11＋x2，|x|>1.(1)求f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)若f(x)＝13,求x 的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32, 所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413.(2)f(x)＝13,若|x|≤1,则|x －1|－2＝13,得x ＝103或x ＝－43.因为|x|≤1,所以x 的值不存在；若|x|>1,则11＋x 2＝13,得x ＝±2,符合|x|>1. 所以若f(x)＝13,x 的值为± 2.10．已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域．[解] (1)当0≤x ≤2时,f(x)＝1＋x －x2＝1,当－2<x<0时,f(x)＝1＋－x －x2＝1－x.所以f(x)＝{ 1，0≤x ≤2，?1－x ，－2<x<0. (2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知,f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．综合运用11．设x ∈R,定义符号函数sgnx ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0.则( )A ．|x|＝x|sgnx|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgnxD ．|x|＝xsgnx [解析] 由已知得,xsgnx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x>0，0，x ＝0，－x ，x<0，而|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x>0，0，x ＝0，－x ，x<0，所以|x|＝xsgnx,故选D. [答案] D12.如图,抛物线y 1＝ax 2与直线y 2＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2,4),B(1,1)．记f(x)为max{y 1,y 2},则f(x)的解析式为( )[解析] 由y 1＝ax 2过点B(1,1)得a ＝1,∴y ＝x 2.由y 2＝bx ＋c 过点A(－2,4),B(1,1),有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1－2b ＋c ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝2∴y 2＝－x ＋2,结合图象可得．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x<－2－x ＋2，－2≤x<1x 2，x ≥1,选A.[答案] A13．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4[解析] ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. [答案] B14．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥0，1x ，x<0，若f(a)>1,则实数a 的取值范围是________．[解析] 当a ≥0时,f(a)＝12a －1>1,解得a>4,符合a ≥0；当a<0时,f(a)＝1a >1,无解．[答案] (4,＋∞) 15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a<b.则函数f(x)＝x ⊙(2－x)的值域为________．[解析] 由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x<1，画出函数f(x)的图象得值域是(－∞,1]．[答案] (－∞,1]16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元收取,超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取,但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x ≤60,单位：km)的分段函数； (2)某乘客的行程为16 km,他准备先乘一辆出租车行驶8 km 后,再换乘另一辆出租车完成余下行程,请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑)[解] (1)由题意得,车费f(x)关于路程x 的函数为：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，8＋1.9(x －2)，2<x ≤10，8＋1.9×8＋2.85(x －10)，10<x ≤60＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤2，4.2＋1.9x ，2<x ≤10，2.85x －5.3，10<x ≤60.(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)． ∵40.3>38.8,∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．。

高中数学 1.2.2函数的表示法(二)映射的概念学案新人教A版

河北省石家庄市2012-2013年高中数学 1.2.2函数的表示法（二）映射的概念学案新人教A 版课前预习案使用说明与学法指导： 1.用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。

一、相关知识1.构成函数三个要素是什么？2.请同学们回忆分段函数及其表示法？学习建议：请同学们回忆上一节的知识并作出回答。

二、教材助读1.什么是映射？2.映射与函数有什么关系？3.如何判断一个对应是不是映射？三、预习自测学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”.1.判断下列给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)集合={}A P P 是数轴上的点,集合=B R ,对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合={}A P P 是平面直角坐标系中的点,集合={(,),}B x y x R y R ∈∈,对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合={}A x x 是三角形,集合={}B x x 是圆,对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(4) 集合={42}A x x 是石家庄市中学的班级,集合2. 画出函数|2|y x =-的图象.我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.课堂探究案一、学始于疑-------我思考，我收获1.函数与映射的联系是什么？区别是什么？2.如何判断一个对应是不是映射？是不是函数？学习建议：请同学们用2分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。

二、质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点：映射的概念请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案：1.一般地，设A,B 是两个______的集合，如果按某一个对应关系f ，使对于集合A 中的________一个元素x ，在集合____中___有 ____________的元素y 与之对应，那么就称对应__________为从_______到_______的一个映射.2.分别举出映射、函数的例子各一个.（二）知识综合应用探究探究点一函数与映射的概念（重点）例1．如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．例2. 判断下列给出的对应是不是从集合B 到集合A 的映射？ ①集合={}A x x 是三角形,集合={}B x x 是圆,对应关系f ：每一个圆都对应它的内接三角形；②集合={42}A x x 是石家庄市中学的班级,集合级. ③集合={}A x x 是锐角,集合=(0,1)B ,对应关系f ：B 中的每一个数都对应以它为正弦值的锐角.思考. 题目中要求判断从哪个集合到哪个集合的映射？如何判断？学习建议：自主探究后谈谈你的映射概念的理解.归纳总结;探究点二映射的应用（重点）例 3.设:f A B →是A 到B 的一个映射，其中{(,),}A B x y x y R ==∈，:(,)(,)f x y x y xy →+，求（1）A 中元素(2,3)-在B 中的对应元素；（2）求与B 中元素(2,3)-对应的A 中的元素.思考：集合A 中的元素与B 中的元素有怎样的对应关系？学习建议：自主探究后谈谈你的分析思路.规律方法总结：拓展提升：已知集合{,,},{1,A a b c B ==-，映射:f A B →满足()=()(f a f b f c +，问这样的映射有多少个？思考1：你能说出(),(),()f a f b f c 的意义吗？思考2：(),(),()f a f b f c 可以取哪些値？探究点三：分段函数问题（重点）例4.画出函数|1||24|y x x =-++.的图象：学习建议：探究后谈谈你的解题思路.拓展提升：①函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.②某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程的函数解析式，并画出函数的图象.三、我的知识网络图--------归纳梳理、整合内化⎧⎨⎩映射的概念映射映射与函数的关系四、当堂检测——有效训练、反馈矫正下列给出的对应是不是从集合A 到B 集合的映射？1.=,=A N B Z ，对应关系:=-,,f x y x x A y B →∈∈.2. ++=,=A R B R ，且满足1:=,,f x y x A y B x→∈∈ 3. +=,={0,1}A N B ，对应关系f ：除以2得的余数.4. ={1,4},={-2,-1,1,2}A B ，对应关系f ：开平方.有错必改我的收获（反思静悟、体验成功）：课后训练案学习建议：完成课后训练案需定时训练，时间不超过20分钟，独立完成，不要讨论交流，全部做完后再参考答案查找问题.【基础知识检测】1.下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（） A.=R,={>0}A B x x ，对应关系f ：取绝对值 B.={>0},=R A x x B ,对应关系f ：开平方. C. 1={>0},=R :+3A x xB f x x →， D. =Q,={}:A B x x f 是偶数，平方.2.拟定从甲地到乙地通话m 分钟电话费由()=1.06(0.05[])+1f m m ⨯⨯给出，其中>0,[]m m 是不小于m 的最小整数（【3】=3，【3.7】=4，【3.1】=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（）.A.3.71B. 3.97C.4.24D. 4.773．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时4.已知映射:f A B →，其中A=B=R ，对应关系2:=-+2f x y x x →.对于实数k B ∈，在集合A 中不存在对应元素，则k 的取值范围是（）A. >1kB. 1k ≥C. <1kD. 1k ≤5. 已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（）.A. p q +B. 2p q +C. 2p q +D. 2p q +6.已知集合={,,},B={,,}A a b c d e ，则从集合A 到集合B 的不同映射有_______个，从集合B 到集合A 的不同映射有_______个.【能力题目训练】7.已知集合={04}3B={02}A x x y y ≤≤≤≤，按对应关系f ，不能建立从集合到集合的映射的是（）A. 1:=2f x y x → B. :=-2f x y x → C. :f x y →:=-2f x y x → 【拓展题目探究】 8.设集合=,=A R B R ，对应关系且2+1:=,,2x f x y x A y B →∈∈是从集合A 到B 集合的映射.（1）那么A 中元素+1a 对应于B 中哪个元素？（2）与B 中元素6相对应的A 中的元素是什么？9.画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++；（2）2|23|y x x =-++.错误！未定义书签。

高中数学第一章 1.2.2第2课时分段函数与映射讲义教案新人教A版必修1

第2课时分段函数与映射学习目标核心素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1．通过分段函数求值问题提升数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．映射设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )A B C DC [选项C 中不但b 元素没有对应的元素，而且元素a 所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选C.]2．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1. ②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.0 [∵f (4)＝－4＋3＝－1，f (－1)＝－1＋1＝0， ∴f (f (4))＝f (－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2.已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[跟进训练]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4(x ≥6)，f (x ＋3)(x ＜6)，则f (2)等于( )A ．2B ．3C ．5D ．4D [因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4(x ≥6)，f (x ＋3)(x ＜6)，所以f (2)＝f (5)＝f (8)＝8－4＝4.]分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．思路点拨：可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．[跟进训练]2．下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米)．阶梯户年用水量 (立方米) 水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.07 1.571.36第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.07 第三阶梯260以上9.006.07(2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少． [解] (1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤180，7(x －180)＋900，180＜x ≤260，9(x －260)＋1 460，x ＞260，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤180，7x －360，180＜x ≤260，9x －880，x ＞260.(2)依题意得y ＝1 040，若x ∈[0,180]，则5x ＝1 040，解得x ＝208，不合题意，舍去；若x ∈(180,260]，则7x －360＝1 040，解得x ＝200，符合题意；若x ＞260，则9x －880＞1 040，不合题意．故该用户当年用水量为200立方米．因此，自来水费为2.07×180＋4.07×20＝454(元)，水资源费为1.57×200＝314(元)，污水处理费为1.36×200＝272(元)．分段函数的图象及应用1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】 (教材改编题)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．思路点拨：(1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．在本例条件不变的情况下，试讨论直线y ＝a 与函数y ＝f (x )图象的交点个数． [解] ①当a ≥3或a <1时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象无交点； ②当1<a <3时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点； ③当a ＝1时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象有无数个交点． 2．把本例条件改为“f (x )＝|x |－2”，再求本例的3个问题．[解] (1)f (x )＝|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥0，－x －2，x <0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的值域为[－2，＋∞)．映射的概念①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－xx ＋1； ②A ＝{2018年俄罗斯世界杯足球赛的运动员}，B ＝{2018年俄罗期世界杯足球赛的运动员的体重)，f ：每个运动员对应自己的体重；③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝3x . A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个C [①中，对于A 中的元素－1，在B 中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个运动员都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中的任一元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，则③是映射．]判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应. (2)B 中的对应元素是不是唯一的.提醒：“一对一”或“多对一”的对应都是映射.[跟进训练]3．已知A ＝{1,2,3，…，9)，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？[解] (1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.1．核心要点：(1)分段函数的概念．(2)分段函数求值要先找准自变量所在的区间，分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．数学思想：已知分段函数的函数值，求自变量的值时，多用到分类讨论的思想．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)映射中的两个非空集合并不一定是数集． ( ) (2)分段函数由几个函数构成．( ) (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( ) (4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B.3 C.23D.139D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.] 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2 [当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又过点(1,2)，故k ＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．。

新教材高中数学第三章分段函数第2课时教案新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：3.1.2 分段函数（第二课时）【教学目标】1．知识与技能（1）掌握分段函数的定义（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值（3）会运用分段函数的知识解决实际问题2．过程与方法（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。

（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。

【教学重点、难点】（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题（2）难点：建立实际问题的分段函数关系【教学方法】讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。

通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。

【课时安排】 1课时【教学过程】一、复习函数的定义及表示方法1、函数的定义2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法二、基础知识分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.思考：分段函数对于自变量x 的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）三、基础自测1.函数()f x = ） A.[1,1)(1,)-⋃+∞ B.(1,)+∞C.(1,)-+∞D.(1,1)(1,)-⋃+∞[解析]:由函数解析式得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-，且1x ≠. 故函数的定义域为[1,1)(1,)-⋃+∞，选A.2.若2(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则[(2)]f f -=（）A.2B.3C.4D.5[解析]:∵20-<，∴(2)(2)2f -=--=，又20>，∴2[(2)](2)24f f f -===，选C.3.函数||y x =的图象是（）[解析]:因为,(0)||,(0)x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，所以B 选项正确. 4.（2020▪江苏徐州高一期中测试）已知函数4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，则[(3)]f f -的值为 . [解析]:∵4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩， ∴(3)1f -=，∴[(3)](1)3f f f -==-.【题型探究】题型一分段函数的求值问题例1 已知函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求(4),(3),[(2)]f f f f --；（2）若()10f a =，求a 的值.[分析]:分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值.[解析]:（1）(4)422f -=-+=-，(3)236,(2)220f f =⨯=-=-+=，2[(2)](0)00f f f -===；（2）当1a ≤-时，210a +=，可得8a =，不符合题意；当12a -<<时，210a =，可得a =当2a ≥时，210a =，可得5a =，符合题意；综上可知，5a =.[归纳提升]：求分段函数函数值的方法（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现0[()]f f x 的形式时，应从内到外依次求值.【对点练习】①已知3(10)()[(5)](10)x x f x f f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值是（） A.24 B.21C.18D.16[解析]: (5)[(10)],(10)[(15)](18)21,(5)(21)24f f f f f f f f f ======.故选A.题型二分段函数的图象及应用例2 已知函数||()1(22)2x x f x x -=+-<≤. （1）用分段函数的形式表示函数()f x ；（2）画出函数()f x 的图象；（3）写出函数()f x 的值域.[分析]: 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.[解析]:（1）当02x ≤≤时，()112x x f x -=+=；当20x -<<时，()112x x f x x --=+=-. 所以1(02)()1(20)x f x x x ≤≤⎧=⎨--<<⎩；（2）函数()f x 的图象如图所示：（3）由（2）知，()f x 在(2,2]-上的值域为[1,3).[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.（2）设函数式：设出函数的解析式.（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.（4）下结论：最后用“{”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.2.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.【对点练习】② 已知函数221(1)()2(1)x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩.（1）画出函数的图象；（2）若()1f x =，求x 的值.[解析]:（1）函数图象如图所示：（2）由()1f x =和函数图象综合判断可知，当(,1)x ∈-∞时，得()211f x x =-+=，解得0x =；当[1,)x ∈+∞时，得2()21f x x x =-=，解得12x =+或12x =-（舍去）.综上可知x 的值为0或12+.题型三分段函数的应用问题例3 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B （起点）向点A （终点）运动，设点P 运动的路程为x ，APB ∆的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =：（2）画出()y f x =的图象；（3）若APB ∆的面积不小于2，求x 的取值范围.[分析]:（1）点P 位置不同ABP ∆的形状一样吗？（2）注意该函数的定义域.[解析]:（1）2(04)8(48)2(12)(812)x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）()y f x =的图象如图所示：（3）即()2f x ≥，当04x ≤≤时，22x ≥，∴1x ≥，当812x <≤时，2(12)2x -≥，∴11x ≤，∴x 的取值范围是111x ≤≤.[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．【对点练习】③某市有,A B 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B 俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．（1）设在A 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()f x 元123()0x ≤≤，在B 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()g x 元123()0x ≤≤，试求()f x 与()g x 的解析式；（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？[解析]:（1）由题()6,[12,30]f x x x =∈，90,[12,20]()250,(20,30]x g x x x ∈⎧=⎨+∈⎩；（2）1220x ≤≤时，690x =，解得：15x =，即当1215x ≤<时，()()f x g x <，当15x =时，()()f x g x =，当1520x <≤时，()()f x g x >．当2030x <≤时，()()f x g x >，故当1215x ≤<时，选A 家俱乐部合算．当15x =时，两家俱乐部一样合算，当1530x <≤时，选B 家俱乐部合算．【误区警示】分段函数概念的理解错误例4 求函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩的定义域． [错解]:∵0x ≥时，2()1f x x =-，0x <时，()f x x =，∴当0x ≥时，()f x 的定义域为[0,)+∞，当0x <时，()f x 的定义域为(,0)-∞．[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是两个函数．[正解]：函数()f x 的定义域为(,0)[0,)-∞⋃+∞，即(,)-∞+∞，∴函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞．【学科素养】建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．例5 某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数()h x ，其中21400,0400()280000,400x x x h x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪>⎩，x 是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．（1）试将自行车厂的利润y 表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[分析]总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20000元，可变成本为100x 元．[解析]:（1）依题设，总成本为20000100x +，则2130020000,0400,260000100,400,x x x x N y x x x N⎧-+-<≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩且且；（2）当0400x <≤时，21(300)250002y x =--+，则当300x =时，max 25000y =.当400x >时，60000100y x =-是减函数，则6000010040020000y <-⨯=. 综上可知，当月产量300x =件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25000元．[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．。

高中数学 1.2.2第2课时分段函数及映射新人教A版必修1

• 【思路探究】 (1)理解题目中“超过部分”的含义；(2)用水量不同时，水费的计算不同，考虚用分段函数表示．
• 【满分样板】由题意得，当0＜x≤5时， y＝1.2x；3分 • 当 5 ＜ x≤6 时， y ＝ 1.2×5 ＋ (x － 5)×1.2×2＝2.4x－6；6分 • 当 6 ＜ x≤7 时， y ＝ 1.2×5 ＋ (6 －
• 2．对映射的理解 • 映射是一种特殊的对应，它具有： • (1)方向性：一般地从A到B的映射与从B 到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应．
• 3．函数与映射的关系 • 映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集．于是，函数是数集到数集的映射．
• 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
• 分段函数在生活中的应用
• (12分)为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每旽水的水费为1.2元，若超过5 吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为 x(x≤7) 吨，试计
• 【答案】 B
3．已知函数f(x)＝x0＋，1，（x（＝x0＞），0），则它的定义 x－1，（x＜0），
域是______．
【解析】 ∵xx＞0∪{0}∪xx＜0＝R， ∴函数f(x)的定义域是实数集R. 【答案】 R
4．已知函数f(x)＝x02，，xx＞≤00，，则f(－2)＝_______．
• 二、映射
• 1．判断(正确的打“√”，错误的打 “×”) • (1) 分段函数的图象一定不是连续的．( ) • (2)函数都是映射．( )

新人教A版高中数学必修一1.2.2第2课时分段函数及映射课件

⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/16ຫໍສະໝຸດ 最新中小学教学课件40
谢谢欣赏！
2019/8/16
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② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。

高中数学必修1全册课时训练含答案

人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。