新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案

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高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案新人教A版必修4

二倍角的正弦，余弦，正切公式
学习目标
掌握二倍角的正弦，余弦，正切公式
重点难点
利用二倍角公式进行求值，化简，证明
方法
自主探究
一、探知部分：
二、探究部分：
探究1.给值求值
1已知，求的值
2在中，，求的值
3已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos 2α＝
4若cos ＝－， <x< ，且x≠ π.
求的值．
探究2.给角求值
(1)4cos 50°－tan 40°
D．2 －1
(2)求下列各式的值：
①cos cos ；② －cos2 ；
③tan － .
探究3.给值求角
已知函数f(x)＝tan .
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈ ，若f ＝2cos 2α，求α的大小．
课堂小结：
二、应用部分：
1. － =
2．计算：＝________.
3.已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈ ，则cos(α－β)的值等于()
4已知α∈ ，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，则＝________.
四、巩固部分：1．若α∈ ，则＋的值为()
A．2cos B．－2cos C．2sin D．－2sin
2．已知cosα＝，则cos 2α＋sin2α的值为()
A. B. C. D.
3．证明：

人教A版高中数学必修四第三章简单的三角恒等变换教案新

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。

新高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换学案含解析新人教A版必修4

新高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换学案含解析新人教A 版必修4 简单的三角恒等变换[导入新知] 半角公式[化解疑难] 对半角公式的理解(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，sin α2，cos α2，tan α2便可求出．(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2.[例1] 已知sin α＝－5，π<α<2，求sin 2，cos 2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cosα2＝－2.[类题通法]已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [活学活用]已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．答案：2[例2] ＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[解]原式＝2cos 2α2＋2sin α2cos α2sin α2－cosα22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22cosα2＝cosα2－cosαcosα2.又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cosα2－cos α－cosα2＝cos α.[类题通法]化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆角、凑角等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．[活学活用] 化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π； (2)α＋βsin α－2cos(α＋β)．答案：(1)－2sin θ2 (2)sin βsin α[例3] 证明：(1)sin θ(1＋cos 2θ)＝sin 2θcos θ； (2)tan α＋tan βtan α－tan β＝α＋βα－β.[证明] (1)左边＝sin θ·2cos 2θ＝(2sin θcos θ)·cos θ＝sin 2θcos θ＝右边． ∴原等式成立． (2)右边＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β，分子、分母同除以cos αcos β，得右边＝tan α＋tan βtan α－tan β＝左边．∴原等式成立． [类题通法]盘点三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．[活学活用] 求证：2sin x cos xx ＋cos x －x －cos x＋＝1＋cos xsin x.证明：左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x2＋2sin2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cosx2sin x 2＝2cos 2x22sin x 2cos x2＝1＋cos xsin x＝右边．∴原等式成立．9.三角恒等变换的实际应用[典例] (12分)如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 正好落在正方形的边BC ，CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．[解题流程][规范解答]如图，连接AP ，设∠PAB ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. (2分) 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ. (4分)所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. (7分)令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t 则sin θcos θ＝t 2－12， (8分)[名师批注]矩形PQCR 的面积取决于P 点位置，而P 点的位置取决于θ的大小，因此应考虑利用θ表示PQ ，PR 的大小，对于AM 及PM 的值可实现此转化.在解题过程中常发生不知如何作辅助线进行转化，导致无法后续解题的情况.采用换元法实现了sin θ＋cos θ与sin θcos θ间的转化，从而将问题转化为熟知的一元二次函数，但要注意换元后的定义域．此处易忽视t 的取值范围而导致答案错误.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1092＋950. (10分) 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR有最大值(14 050－90002)m 2.(12分)[活学活用]有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：如图所示，设∠AOB ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin 2θ.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a 时，矩形ABCD 的面积最大．[随堂即时演练]1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2等于( )A.105 B ．－105 C.155D ．－1552．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1答案：C3．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于________．答案：－1－a 24．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2＝________.答案：－435．求1＋cos 20°22sin 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°的值．答案：32[课时达标检测]一、选择题 1．cos2π8－12的值为( ) A ．1 B.12C.22 D.24答案：D2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.1925B.1625 C.1425 D.725答案：D3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a4．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 答案：C5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增答案：A 二、填空题6．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________. 答案：0或± 37．等腰三角形的顶角的正弦值为513，则它的底角的余弦值为________．答案：2626或526268．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．答案：－19三、解答题9．若π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α .解：∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.10．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？解：如图所示， ∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°，AB ＝1，PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点，∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α ＝12sin αcos α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14 ＝24sin(2α－π4)＋14. ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S 四边形ABTP 最大．11．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。

高中数学必修四第3章《三角恒等变换》导学案+单元检测(精品整理含答案)

高中数学必修四第3章《三角恒等变换》导学案+单元检测3．1.1 两角差的余弦公式[学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．知识点一两角差余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明．答案不正确．例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22，而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22，故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32，而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32，故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12.猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.知识点二两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β思考如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，完成下列问题： (1)P 点坐标是(cos α，sin α)，向量OP →＝(cos α，sin α)，|OP →|＝1. Q 点坐标是(cos β，sin β)，向量OQ →＝(cos β，sin β)， |OQ →|＝1.(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝〈OP →，OQ →〉；当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝－〈OP →，OQ →〉；当α，β均为任意角时，α－β和〈OP →，OQ →〉的关系是：α－β＝2k π±〈OP →，OQ →〉，k ∈Z . (3)向量OP →与OQ →的数量积OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|·cos 〈OP →，OQ →〉＝cos(α－β)；另一方面，OP →与OQ →的数量积用点坐标形式表示：OP →·OQ →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.题型一运用公式求值例1 求下列三角函数式的值． (1)sinπ12；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°； (3)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)．解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π12 ＝cos512π＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫－π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝6－24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0. (3)原式＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝12.反思与感悟在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.解 (1)原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 题型二给值求值例2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．解因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6，又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 反思与感悟三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．跟踪训练2 设cos ⎝⎛⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.题型三给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值．解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求β的值．解由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513，由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2.忽视角的范围致误例4 已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，求cos A .错解一 ∵cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ，又∵在△ABC 中，由cos B ＝－23，可得sin B ＝53，由sin(A ＋B )＝45可得cos(A ＋B )＝35，∴cos A ＝35×(－23)＋45×53＝45－615.错解二 ∵cos A ＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ，在△ABC 中，由cos B ＝－23，可得sin B ＝53，由sin(A ＋B )＝45可得cos(A ＋B )＝±35，∴cos A ＝(±35)×(－23)＋45×53＝45±615.错因分析此类问题应首先确定角的范围，再求值．本题由cos B ＝－23<0知B 为钝角，所以A ＋B 为钝角．所以cos(A ＋B )＝－35.正解 ∵在△ABC 中，由cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53. ∵B 为钝角，∴A ＋B 为钝角． ∵sin(A ＋B )＝45可得cos(A ＋B )＝－35.∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋ sin(A ＋B )sin B ＝－35×(－23)＋45×53＝45＋615.点评前面两种错误解法忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致求值错误．在解题中应挖掘出“π2<A ＋B <π”这个隐含条件，因此应用三角公式时，要特别注意角的范围，特别在三角形中，A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π)．1．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75 D ．－15 答案 A 解析2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2⎝⎛⎭⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.2．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝ .答案32解析原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 3．求cos 105°＋sin 195°的值．解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°) ＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2⎝⎛⎭⎫－22×32＋22×12＝2－62.4．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值．解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.5．已知锐角α、β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β.解 ∵α为锐角，且cos α＝45，∴sin α＝35.又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. ∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×310＋35×⎝⎛⎭⎫－110＝91050.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．一、选择题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为( ) A ．－32B.32C.22D ．－22答案 B解析 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 2．化简sin(x ＋y )sin(x －y )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A ．sin 2xB ．cos 2xC ．－cos 2xD ．－sin 2x答案 C解析原式＝－cos [(x ＋y )＋(x －y )]＝－cos 2x ，故选C. 3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6答案 C解析 ∵sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)，sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋⎝⎛⎭⎫31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 4．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于( )A.4－3310B.－4－3310C.4＋3310D.－4＋3310答案 C解析 ∵α∈(0，π)且cos(α＋π3)＝45，∴sin(α＋π3)＝35.cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝45×12＋35×32＝4＋3310.5．cos 165°等于( ) A.12 B.32C ．－6＋24D ．－6－24答案 C解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15° ＝－cos(45°－30°)＝－(cos 45°cos 30°＋sin45°sin 30°)＝－6＋24. 6．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－32 C.34 D ．1 答案 B解析由题意知⎩⎨⎧sin α＋sin β＝1－32， ①cos α＋cos β＝12， ②①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32. 二、填空题7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ .答案 83解析原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝83.8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是．答案－12解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1 ⇒cos(α－β)＝－12.9．若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－75，则cos(α－β)＝ .答案242510．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为．答案－π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010，∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22，∴α－β＝－π4.三、解答题11．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)．解由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.①由sin α－sin β＝－13两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.②①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336.∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972.12．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β)．解因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝22，所以cos(α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－22×22＋22×22＝0. 13．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．解由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∵α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴β－α＝±π3.∵sin γ＝sin β－sin α>0， ∴β>α，∴β－α＝π3.[学习目标] 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一半角公式及其推导 (1)2S α：sin α2＝±1－cos α2； (2)2C α：cos α2＝±1＋cos α2；(3)2T ：tan α2＝±1－cos α1＋cos α(无理形式)＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)．思考1 试用cos α表示sin α2、cos α2、tan α2.答案 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2，∴2sin 2α2＝1－cos α，∴sin 2α2＝1－cos α2，∴sin α2＝±1－cos α2； ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2； ∵tan 2α2＝sin 2α2cos2α2＝1－cos α21＋cos α2＝1－cos α1＋cos α，∴tan α2＝±1－cos α1＋cos α.思考2 证明tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos 2α2＝tan α2，∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证tan α2＝1－cos αsin α.∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ) 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．思考1 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； (2)sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (3)3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (4)3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6； (5)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (6)sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 思考2 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．答案 a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)．题型一半角公式的应用例1 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2.解 sin α2＝±1－cos α2＝± 1－132＝±33， cos α2＝±1＋cos α2＝± 1＋132＝±63， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22. ∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22；当α2为第四象限角时， sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22. 反思与感悟在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan θ2，还要注意运用公式tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ来求值．跟踪训练1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sinθ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.题型二三角恒等式的证明例2 (1)求证：1＋2cos 2θ－cos 2θ＝2.(2)求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 (1)左边＝1＋2cos 2θ－cos 2θ ＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ＝2＝右边．所以原等式成立． (2)原式＝2sin x cos x(2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2)(2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2)＝2sin x cos x 4sin 2x 2(cos 2x 2－sin 2x 2)＝sin x2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．反思与感悟三角恒等式证明的五种常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练2 证明：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x2.证明左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2 ＝tan x2＝右边．所以原等式成立．题型三与三角函数性质有关的综合问题例3 已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．反思与感悟 1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin(α＋π4)＋R .∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．构建三角函数模型，解决实际问题例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．分析解答本题可设∠P AB ＝θ并用θ表示PR 、PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．解如图连接AP ，设∠P AB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ. 所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950.故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)m 2.点评此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33答案 A解析由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.3．函数f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的最大值等于( ) A.12 B.32 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵f (x )＝2sin x2⎝⎛⎭⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2 ＝32sin x ＋12cos x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－12. ∴f (x )max ＝12.4．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.解原式＝(sin α2＋cos α2)22|cos α2|－2|sin α2|＋(sin α2－cos α2)22|cos α2|＋2|sin α2|，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝(sin α2＋cos α2)2－2(sin α2＋cos α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2)＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.5．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ) ＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.1．学习本节内容时，应在熟练掌握两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式的基础上，对公式进行适当变形，从而导出积化和差公式、和差化积公式、半角公式、万能公式；学习的重点是体会和感悟在推导这些公式中所蕴含的三角恒等变换基本思想方法以及数学思想方法；应通过典型例题的学习和适量的训练，体会和感悟三角恒等变换在三角函数式化简、求值以及三角恒等式证明中的作用，掌握应用三角恒等变换解题的通性通法．千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b2)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－ 1－cos α2B.1－cos α2C ．－1＋cos α2D.1＋cos α2答案 C2．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .3．已知cos α＝45，α∈(32π，2π)，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010 C.310 3 D ．－35答案 B解析由题意知α2∈(34π，π)，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝1010. 4．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π 答案 B解析 ∵f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1 ＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78，∴T ＝2π4＝π2.5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的．∴a <c <b .6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sinα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.二、填空题7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．答案 π 解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 答案4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2 ＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β) ＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136. ∴80sin(α＋β)＝47， ∴sin(α＋β)＝4780.9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．答案 3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝1－cos (180°－α)sin (180°－α) ＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3.10．sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为________．答案 34解析原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°) ＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220° ＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220°＝34sin 220°＋34cos 220°＝34. 三、解答题11．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝－45 3. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝33－410.13．已知函数f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12，由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一两角和与差的余弦公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.思考你能根据两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式吗？请试着推导一下．答案 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β) ＝－sin β，∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)] ＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β.即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 知识点二两角和与差的正弦公式 S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.思考比较cos(α－β)与sin(α＋β)之间有何区别和联系？利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式．答案 sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)] ＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β.题型一化简求值例1 化简求值：(1)sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )sin(x －18°)； (2)(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.解 (1)原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x ) ＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝22. (2)(tan 10°－3)cos 10°sin 50°＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50° ＝－1cos 60°＝－2.反思与感悟解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．跟踪训练1 (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )．解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 题型二给值求值(角)例2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin β＝－210， ∴cos β＝7210.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝π4. 反思与感悟此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定求该角的哪一种三角函数值．跟踪训练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－(1213)2＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－(－35)2＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665. 题型三三角函数式的化简或证明例3 (1)若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±1 答案 C解析因为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝0.所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.(2)已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α.反思与感悟证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．跟踪训练3 证明：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin βsin α. 题型四辅助角公式例4 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式： (1)3sin x －cos x ；(2)24sin(π4－x )＋64cos(π4－x )．解 (1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x ) ＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)．(2)原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π4－x －π6)＝22cos(π12－x ) ＝22sin(x ＋5π12)．反思与感悟 1.对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正弦、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．跟踪训练4 化简：(1)2(cos x －sin x )； (2)315sin x ＋35cos x . 解 (1)2(cos x －sin x ) ＝2×2(22cos x －22sin x ) ＝2(cos π4cos x －sin π4sin x )＝2cos(π4＋x )．(2)315sin x ＋35cos x ＝65(32sin x ＋12cos x ) ＝65(sin π3sin x ＋cos π3cos x )＝65cos(x －π3)．1．sin 75°等于( )A.6－24 B.6＋24 C.6－22D.6－22答案 B解析 sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64.2．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 B解析原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－12.3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是．答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∴f (x )∈[－2,2]．4．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝ .答案3π4解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010，∴cos α＝55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.5．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋3x ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋3x . 解原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4－3x －⎝⎛⎭⎫π3－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝sin π4cos π3－cos π4sin π3 ＝22×12－22×32＝2－64.1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α＋β)――→以－β代βS (α－β)．(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意． 2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，12＝cos 60°，32＝sin 60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．一、选择题1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )A.1725B.35C.725D.15 答案 C解析 ∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35，α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴sin β＝sin [(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝45×45－35×35＝725. 4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 答案 B解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)(x ∈R )，∴f (x )的值域为[－3，3]．5．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3 答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.6．在△ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 二、填空题7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是．答案 cos α解析原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α.8．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是．答案137解析 ⎩⎨⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎨⎧sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 9．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ .答案 0解析因sin αcos β＝1且－1≤sin α≤1，－1≤cos β≤1，故有⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1.所以cos α＝sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.10．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →＝－1，则sin(α＋π4)＝ .答案23解析 ∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)。

高中数学第三章三角恒等变换教案新人教A版必修4

第三章三角恒等变换一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，c =则,,a b c 大小关系（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 3．已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 4．函数221tan 21tan 2xy x-=+的最小正周期是( ) A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 5．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（）A.1925B.1625C.1425D.7256．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos 2α=( )A ．917 B．． D ．3177.已知ABC ∆中，若2cossin sin 2CB A =则ABC ∆是（） A ．等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形8=（）A ．1B ．2 C9．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（）A ．3-B ．2-C ．1- D．10．函数2sin cos y x x x = ）A.2(,32π-B.5(,62π-C.2(32π-D.(,3π11．0(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 212. 已知：()0cos 52cos 3=++ββα，则()αβαtan tan +的值为（） A. 4± B.4 C.-4 D.1 二、填空题13．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为． 14. 函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于． 15．=︒+︒10sin 410tan 3 ．16．给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2x x +=；②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<；③函数2sin()32y x π=+是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象．其中正确命题的序号是三、解答题17. 求值：（1）078sin 66sin 42sin 6sin（2）02250cos 20sin 50cos 20sin ++18．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x +π的值。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换问题导学案新人教A版必修4(2021学年)

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３。

2 简单的三角恒等变换问题导学一、求值问题活动与探究1已知ｓin α＝－错误!且π<α<错误!π,求ｓin错误!,ｃｏs错误!,ｔａn错误!的值.迁移与应用若θ∈错误!,ｓｉn 2θ＝错误!，则ｓｉn θ=( )Ａ.＼f(3，５）Ｂ.错误! C.错误! D.错误!1．解给值求值问题,其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异,一般可以适当变换已知式或变换所求式．2．给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系,应注意“配角"方法的应用.二、三角函数式的化简活动与探究2已知π<α<错误!,化简:1＋sｉn α＋错误!．＼r(1+ｃos α)－＼ｒ(1-coｓα)迁移与应用化简错误!得（）Ａ.ｓin 2αＢ．cｏs 2α C．sｉn αＤ.cos α(１)对于三角函数式的化简有下面的要求:①能求岀值的应求岀值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．（２)化简的方法:①弦切互化，异名化同名,异角化同角;②降幂或升幂．三、三角恒等变换的综合应用活动与探究3已知函数ｆ（x)＝cos2错误!-siｎ错误!coｓ错误!-错误!.(１)求函数f（x)的最小正周期和值域；(2)若f（α）＝错误!,求ｓiｎ 2α的值．迁移与应用已知函数f(ｘ）=4ｃoｓx sin错误!-1．(1)求f(x）的最小正周期；（2)求f（x）在区间错误!上的最大值和最小值.解决关于三角函数的综合应用题,首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象的平移、伸缩变换等.解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角的三角函数．当堂检测1.已知cｏｓθ=－错误!,错误!＜θ<3π，那么sin 错误!=( )A．＼ｆ(１0,5) Ｂ．-＼f(＼r(１0)，5) C．错误! D.－错误!2.设f(ｔan ｘ）＝ｔan 2x,则ｆ(2）=（ )A.45B．－＼f（4，3) C．－＼ｆ(2,3) D．43.已知α∈错误!,且cｏs α＝-错误!，则tan错误!等于（)Ａ．2 B．－2 C．错误!Ｄ．－错误!4.在△ABC中，若cｏs A=错误!，则sin2错误!+ｃoｓ 2A等于________．５．化简:sｉn２2ｘ+2cｏs2x cos 2x＝＿＿___＿＿_．答案:课前预习导学【预习导引】1.错误!±错误!错误!±错误!错误!±错误!预习交流1提示:符号由＼ｆ(α,2)所在象限决定.２.a2＋ｂ2错误!sｉn(α+φ) 错误!错误!预习交流2提示：可以由siｎφ和cｏs φ的符号来确定φ所在象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小.课堂合作探究【问题导学】活动与探究１思路分析：已知条件中的角α与所求结论中的角α２成二倍关系,解答本题可根据半角公式求值．解:∵sin α=-错误!，π<α＜错误!π,∴cosα＝-错误!．又错误!＜错误!<错误!π，∴ｓiｎ错误!=错误!=错误!=错误!,cos错误!=－错误!=-错误!＝-错误!,ｔａn错误!＝错误!＝-4.迁移与应用Ｄ解析：由θ∈错误!,得2θ∈错误!，ｃos ２θ=-错误!=-错误!，∴sｉn θ=错误!＝错误!.活动与探究2思路分析:先用二倍角公式“升幂”，再根据错误!的范围开方化简.解:原式＝错误!+错误!，∵π＜α<错误!,∴错误!<错误!<错误!,∴cｏs错误!<0，siｎ错误!＞0.∴原式＝错误!+错误!=－错误!＋错误!=-2cｏｓ错误!．迁移与应用 A 解析：4ｓｉｎ2错误!ｔan错误!=４ｃos2错误!tａn错误!=4ｃos错误!sin错误!＝2sin错误!＝2cos 2α,原式＝错误!＝错误!=错误!=ｓin ２α.活动与探究3思路分析:(１)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将ｆ（x)化成f （x)=A sin（ωx＋φ)形式．再求解.（2）利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值.解:（１）由已知f（x)=coｓ２错误!－sin错误!ｃoｓ错误!-错误!＝错误!（1＋cos ｘ)-错误!sin ｘ-错误!＝错误!cos错误!.所以函数f(x）的最小正周期为2π,值域为错误!.（2)由(1)知,ｆ(x）=错误!cos错误!=错误!,∴ｃos错误!=错误!.∴cos α-sin α=错误!，平方得1-sin ２α=错误!．∴sin 2α=错误!．迁移与应用解:(1)因为ｆ（x）=4ｃos x siｎ错误!-1=4cos x错误!-1＝＼r(3）sin 2x＋2cos2x－1＝错误!ｓin 2x+coｓ 2x＝2sin错误!,所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤ｘ≤＼f(π,4）,所以-错误!≤２x+错误!≤错误!．于是,当２x＋错误!=错误!，即ｘ＝错误!时,ｆ（ｘ)取得最大值２；当2x+错误!＝－错误!，即ｘ＝－错误!时，f(ｘ)取得最小值-1.【当堂检测】1．D 解析：∵错误!＜θ<3π，∴错误!<错误!<错误!.∴sin θ2<0.由cos θ＝1-2ｓin2错误!,得ｓin 错误!=-错误!=-错误!＝-错误!．2．B 解析：由f(taｎｘ）＝tan 2x=错误!,知f（x)＝错误!,∴f(2）=错误!=－错误!．3．A 解析:∵α∈错误!,∴错误!∈错误!,∴sin α2＝错误!=错误!,cｏs错误!＝错误!＝错误!．∴tan错误!＝错误!＝2．4．－错误!解析：在△AＢC中，错误!=错误!－错误!,ｓｉｎ2错误!＋cｏs 2A=sｉn２错误!+cos ２A=cos2错误!+cｏs ２Ａ＝错误!+2coｓ2A－1＝-错误!.5.2coｓ２x解析:原式=4ｓin２x coｓ2x+2cos2x cｏs 2ｘ＝２cｏｓ2x（2sin２x＋cｏs 2x)＝2cos2x（２ｓin2x＋1－2sｉｎ2x）=2cos2x．以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

山东省平邑县高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案新人教A版4 精

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.【新知自学】知识回顾：)=cos(αβ+)=sin(αβ+)=sin ()αβ-=tan ()αβ+=tan ()αβ-= 新知梳理sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？sin 2α=cos 2α=tan 2α=注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈ 思考感悟cos(αβ-)、cos(αβ+)、sin(αβ+)、sin ()αβ-、tan ()αβ+、tan ()αβ-、α2sin 、α2cos 、α2tan 间的区别与联系？对点练习：（1）已知αcos =－33,且0tan <α，则α2sin 的值等于（） A ．322 B ．13 C ．－322 D ．－13（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,135sin ，则α2tan 的值为（）A 、 119120B 、 119120-C 、 120119D 、 120119-（3）已知53)2sin(=-απ,则=α2cos【合作探究】典例精析：例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．变式练习：1、已知),2(,61)4sin()4sin(ππππ∈=-+x x x ，求x 4sin 的值.例2、在△ABC 中，54cos =A ，。

B A B 的值求)22tan(,2tan +=变式练习：2、已知2tan =x ，则)4(2tan π-x =（） A. 34 B. 34- C.43 D. 43-*例3、已知的值求)2tan(,31tan ,71tan βαβα+==【课堂小结】【当堂达标】1. 若x = π12 ，则x x 44cos sin -的值为（）A ．21B ．21-C ．23- D ．232. ︒︒15cos 15sin =︒-︒15sin 15cos 22=3. 已知：()πααα<<=+033cos sin ，求：α2cos 的值．【课时作业】1. =+10sin 1（）A 、5sin 5cos +B 、5sin 5cos -C 、5cos 5sin -D 、5cos 5sin --2. 若24,412sin παπα<<=，则ααsin cos -的值等于（）A 、23B 、43C 、23- D 、43- 3. 52cos 5cos ππ的值等于（）A 、 41B 、 21C 、 2D 、 44．已知 sin （x －π4 ）= 35 ,则sin2x = （）A ．825B ．725C ．1625D ．－1625*5. 求函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值.*6. 已知：⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-401354sin ππx x ，求：⎪⎭⎫⎝⎛+x x4cos 2cos π的值．*7. 已知：x tan = －2 2 ，求：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x 4sin 21sin 2cos 22π的值．【延伸探究】已知向量1(cos ,)2a x =-， (3sin ,cos2),b x x x R =∈，设函数()f x a b =，（1）求()f x 的最小正周期。

2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教A版必修4_

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一　二倍角公式的推导思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案　sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝.2tan α1－tan2α思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案　cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二　二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，12cos 2α－sin 2α＝cos 2α，＝tan 2α.2tan α1－tan2α2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2，1－cos α＝2sin 2 .α2α2降幂公式cos 2α＝，sin 2α＝.1＋cos 2α21－cos 2α2类型一　给角求值例1　求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos 215°；1323(3)；(4)－.1－tan275°tan 75°1sin 10°3cos 10°解　(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝＝＝.2sin 72°cos 72°4sin 36°sin 144°4sin 36°14(2)－cos 215°＝－(2cos 215°－1)＝－cos 30°＝－.1323131336(3)＝2·＝2·＝－2.1－tan275°tan 75°1－tan275°2tan 75°1tan 150°3(4)－＝1sin 10°3cos 10°cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2(12cos 10°－32sin 10°)sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10°＝＝4.4sin 20°sin 20°反思与感悟　对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1　求下列各式的值：(1)cos cos cos ；2π74π76π7(2)＋.1sin 50°3cos 50°解　(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝＝sin4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝＝＝.sin π7cos π74sin 2π7sin 2π78sin 2π718(2)原式＝＝＝＝＝4.cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°2sin 80°12sin 100°2sin 80°12sin 80°类型二　给值求值例2　(1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝ .13答案　89解析　(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2⇒sin 2α＝1－2＝.(13)(13)89(2)若tan α＝，则cos 2α＋2sin 2α等于( )34A. B.64254825C.1D.1625答案　A解析　cos 2α＋2sin 2α＝＝.cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α1＋4tan α1＋tan2α把tan α＝代入，得34cos 2α＋2sin 2α＝＝＝.1＋4×341＋(34)2425166425故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.13解　由题意，得(sin α＋cos α)2＝，19∴1＋2sin αcos α＝，19即1＋sin 2α＝，19∴sin 2α＝－.89反思与感悟　(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2　已知tan α＝2.(1)求tan 的值；(α＋π4)(2)求的值.sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1解　(1)tan ＝＝＝－3.(α＋π4)tan α＋tan π41－tan αtan π42＋11－2×1(2)sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin2α＋sin αcos α－2cos2α＝＝＝1.2tan αtan2α＋tan α－22×24＋2－2类型三　利用倍角公式化简例3　化简.2cos2α－12tan (π4－α)sin2(π4＋α)解　方法一　原式＝2cos2α－12·sin (π4－α)cos (π4－α)sin2(π4＋α)＝＝2cos2α－12·sin (π4－α)cos (π4－α)cos2(π4－α)2cos2α－1sin (π2－2α)＝＝1.cos 2αcos 2α方法二　原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α(22sin α＋22cos α)2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2＝＝＝1.cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)cos 2αcos2α－sin2α反思与感悟　(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3　化简下列各式：(1)＜α＜，则＝；π4π21－sin 2α(2)α为第三象限角，则－＝ .1＋cos 2αcos α1－cos 2αsin α答案　(1)sin α－cos α　(2)0解析　(1)∵α∈(，)，∴sin α＞cos α，π4π2∴＝1－sin 2α1－2sin αcos α＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝＝sin α－cos α.(sin α－cos α)2(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，∴－ 1＋cos 2αcos α1－cos 2αsin α＝－2cos2αcos α2sin2αsin α＝－＝0.－2cos αcos α－2sin αsin α1.sin cos 的值等于( )12π12π12A.B. 1418C.D.11612答案　B 解析　原式＝sin ＝.14π6182.sin 4－cos 4等于( )π12π12A.－ B.－ C. D.12321232答案　B解析　原式＝·(sin2π12＋cos2π12)(sin2π12－cos2π12)＝－＝－cos ＝－.(cos2π12－sin2π12)π6323.＝ .tan 7.5°1－tan27.5°答案　1－32解析　＝·tan 7.5°1－tan27.5°122tan 7.5°1－tan27.5°＝tan 15°＝1－.12324.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 .(π2，π)答案　3解析　∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，(π2，π)∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－，12sin α＝，tan α＝－，323∴tan 2α＝＝＝.2tan α1－tan2α－231－(－3)235.已知sin ＝，0<x <，求的值.(π4－x )513π4cos 2xcos (π4＋x )解　原式＝sin (π2＋2x )cos (π4＋x )＝＝2sin .2sin (π4＋x )cos (π4＋x )cos (π4＋x )(π4＋x )∵sin ＝cos ＝，且0<x <，(π4－x )(π4＋x )513π4∴＋x ∈，π4(π4，π2)∴sin ＝＝，(π4＋x)1－cos2(π4＋x )1213∴原式＝2×＝.121324131.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二32α2α4倍；是的二倍；＝(n ∈N *).α3α6α2n 2·α2n ＋12.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝；1＋cos 2α2③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝.1－cos 2α2课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于( )513 A.－B.12131213C.－D.120169120169答案　D解析　由α是第三象限角，且cos α＝－，513得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.1213(－1213)(－513)1201692.若tan θ＝－，则cos 2θ等于( )13A.－ B.－ C. D.45151545答案　D解析　tan θ＝－，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ13＝＝＝.cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ1－tan2θ1＋tan2θ453.已知x ∈(－，0)，cos x ＝，则tan 2x 等于( )π245A. B.－ C. D.－724724247247答案　D解析　由cos x ＝，x ∈(－，0)，得sin x ＝－，45π235所以tan x ＝－，34所以tan 2x ＝＝＝－，故选D.2tan x1－tan2x 2×(－34)1－(－34)22474.已知sin 2α＝，则cos 2等于( )23(α＋π4)A. B.1613C. D.1223答案　A解析　因为cos 2＝(α＋π4)1＋cos [2(α＋π4)]2＝＝，1＋cos (2α＋π2)21－sin 2α2所以cos 2＝＝＝，故选A.(α＋π4)1－sin 2α21－232165.如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )155π2θ2A.－ B.105105C.－D.155155答案　C解析　∵<θ<3π，|cos θ|＝，5π215∴cos θ<0，cos θ＝－.15又∵<<，∴sin <0.5π4θ23π2θ2∴sin 2＝＝，θ21－cos θ235sin ＝－.θ21556.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )33A.－B.－5359C.D.5953答案　A解析　由题意得(sin α＋cos α)2＝，13∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.1323∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin22α＝－＝－＝－，故选A.1－(－23)21－49537.若cos ＝，则sin 2α等于( )(π4－α)35A.B.72515C.－D.－15725答案　D解析　因为sin 2α＝cos (π2－2α)＝2cos 2－1，(π4－α)又因为cos ＝，(π4－α)35所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.925725二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案　－22解析　原式＝－cos 45°＝－.229.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案　116解析　原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝＝＝.sin 96°16cos 6°cos 6°16cos 6°11610.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 2α＝ .15答案　247解析　cos α＝＝，xx 2＋42x 5∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－，sin α＝，3545∴tan α＝－，tan 2α＝＝＝432×(－43)1－(－43)2－831－169－83－79＝＝.722124711.已知tan x ＝2，则tan 2(x －)＝ .π4答案　3412.若tan α＋＝，α∈，则sin ＋2cos cos 2α＝ .1tan α103(π4，π2)(2α＋π4)π4答案　0解析　由tan α＋＝，1tan α103得tan α＝或tan α＝3.13又∵α∈，∴tan α＝3.(π4，π2)∴sin α＝，cos α＝ .310110∴sin ＋2cos cos 2α(2α＋π4)π4＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos 2απ4π4π4＝×2sin αcos α＋(2cos 2α－1)＋cos 2α22222＝sin αcos α＋2cos 2α－2222＝××＋2×2－23101102(110)22＝－＝0.521022三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝，求的值.351＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)解　∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.3545∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－，725sin 2α＝2sin αcos α＝，2425∴原式＝1＋2(cos 2αcosπ4＋sin 2αsin π4)cos α＝＝.1＋cos 2α＋sin 2αcos α145四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .23答案　459解析　设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝，23sin B ＝＝＝.1－cos2B 1－(23)253所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B＝2sin B cos B ＝2××＝.532345915.已知π<α<π，化简：32＋.1＋sin α1＋cos α－1－cos α1－sin α1＋cos α＋1－cos α解　∵π<α<π，∴<<π，32π2α234∴＝|cos |＝－cos ，1＋cos α2α22α2＝|sin |＝sin .1－cos α2α22α2∴＋1＋sin α1＋cos α－1－cos α1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝＋1＋sin α－2(cosα2＋sin α2)1－sin α2(sin α2－cos α2)＝＋(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2)＝－cos .2α2。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04

，π＜2α＜，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解：由于 cos2
1 cos 1
4
2
1

高中数学第三章三角恒等变换章末复习课导学案新人教A版必修4(2021年整理)

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第三章三角恒等变换学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法。

2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明。

1。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β。

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β。

sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β。

sin（α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.tan（α＋β)＝错误!。

tan（α－β)＝错误!。

2。

二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝错误!。

3.升幂缩角公式1＋cos 2α＝2cos2α。

1－cos 2α＝2sin2α。

4.降幂扩角公式sin x cos x＝错误!，cos2x＝错误!,sin2x＝错误!。

5。

和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan（α－β)（1＋tan αtan β）。

6.辅助角公式y＝a sin ωx＋b cos ωx＝错误!sin(ωx＋θ).类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1 已知α，β为锐角，cos α＝错误!，tan(α－β)＝－错误!，求cos β的值.解∵α是锐角，cos α＝错误!，∴sin α＝错误!，tan α＝错误!。

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..... ..... 第三章三角恒等变换

1.三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角

例1.已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系. 解.∵π6＋α＋5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－π6＋α. ∴cos5π6－α＝cosπ－π6＋α ＝－cosπ6＋α＝－33，即cos5π6－α＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2.设α为第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，

代入到sin 3αsin α＝135中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin2α＋αsin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α

＝2cos2α＋cos 2α＝135. ∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2kπ＋3π2∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)， ..... ..... ∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，

∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 答案.－34 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3.已知sinπ4－x＝513，0

分析.转化为已知角π4－x的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现π4－x这个角的三角函数.

解.原式＝sinπ2＋2xcosπ4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋xcosπ4＋x ＝2sinπ4＋x＝2cosπ4－x， ∵sinπ4－x＝513，且0∴cosπ4－x＝ 1－sin2π4－x＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413. 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4.求函数f(x)＝1－32sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值. 分析.观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x).

解.f(x)＝1－32sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°]

＝12sin(x－20°)－32sin(x－20°)－cos(x－20°)cos 60°＋sin(x－20°)sin 60° ＝12[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝22sin(x－65°)， ..... ..... 当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值22.

2.三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂

例1 3－sin 70°2－cos210°＝________.

解析.3－sin 70°2－cos210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.

答案.2 点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如

cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－12sin22θ，等等. 二、化平方式例2 化简求值： 12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)).

解.因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0， sinα2>0，故原式＝ 12－12 1＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin2α2＝sinα2. 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α、2sin2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角

例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.

解析.cos(2π3＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1＝2sin2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79. 答案.－79 点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余. ..... ..... 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.

解析.cos 2θ1＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＋2sin θcos θ

＝1－tan2θ1＋tan2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×－12＝3414＝3. 答案.3 点评.解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n－1·α的值

例5 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值.

解.原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11

＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11

＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11 ＝sin π1125sin π11＝132. 点评.这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可. 3.聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解例1.求函数f(x)＝sin4x＋cos4x＋sin2xcos2x2－sin 2x的最值. ..... ..... 解.原函数变形得f(x)＝sin2x＋cos2x2－sin2xcos2x2－sin 2x

＝1－14sin22x2－sin 2x＝1＋12sin 2x1－12sin 2x21－12sin 2x ＝14sin 2x＋12.∴f(x)max＝34，f(x)min＝14. 例2.求函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 解.原函数化简得y＝sin 2x＋cos 2x＋2

＝2sin2x＋π4＋2.

当2x＋π4＝2kπ＋32π，k∈Z，即x＝kπ＋58π，k∈Z时，ymin＝2－2. 此时x的集合为{x|x＝kπ＋58π，k∈Z}. 点评.形如y＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝Asin(2ωx＋φ)＋B的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解

例3.求函数y＝2sin x＋12sin x－1的值域.

解.原函数整理得sin x＝y＋12y－1. ∵|sin x|≤1，∴y＋12y－1≤1，解出y≤13或y≥3. ∴函数的值域为{y|y≤13或y≥3}. 例4.求函数y＝sin x＋3cos x－4的值域. 解.原函数整理得sin x－ycos x＝－4y－3， ∴y2＋1sin(x＋φ)＝－4y－3，∴sin(x＋φ)＝－4y－31＋y2.

∵|sin(x＋φ)|≤1，解不等式－4y－31＋y2≤1得－12－2615≤y≤－12＋2615.

点评.对于形如y＝asin x＋bcsin x＋d或y＝asin x＋bccos x＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值. ..... ..... 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5.设关于x的函数y＝cos 2x－2acos x－2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.

解.y＝cos 2x－2acos x－2a＝2cos2x－2acos x－(2a＋1)＝2cos x－a22－a22＋2a＋1.

当a2<－1，即a<－2时，f(a)＝ymin＝1，此时cos x＝－1. 当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，f(a)＝ymin＝－a22－2a－1，此时cos x＝a2. 当a2>1，即a>2时，f(a)＝ymin＝1－4a，此时cos x＝1.

综上所述，f(a)＝ 1a<－2，－12a2－2a－1－2≤a≤2，1－4aa>2. 点评.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数可转化为二次函数y＝at2＋bt＋c在区间[－1，1]上的最值问题解决. 例6.试求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最值. 解.设sin x＋cos x＝t，t∈[－2，2 ]，则2sin xcos x＝t2－1，原函数变为y＝t2＋t

＋1，t∈[－2，2 ]，当t＝－12时，ymin＝34；当t＝2时，ymax＝3＋2. 点评.一般地，既含sin x＋cos x(或sin x－cos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x＋cos x＝t，则sin xcos x

＝12(t2－1)；sin x－cos x＝t，则sin xcos x＝12(1－t2). 四、利用函数的单调性求解例7.求函数y＝1＋sin x3＋sin x2＋sin x的最值.

解.y＝sin2x＋4sin x＋3sin x＋2＝sin x＋22－1sin x＋2 ＝(sin x＋2)－1sin x＋2，令t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，y＝t－1t. 利用函数单调性的定义易证函数y＝t－1t在[1，3]上为增函数. 故当t＝1，即sin x＝－1时，ymin＝0；