新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换

1.三角恒等变换中角的变换的技巧

三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角

例1.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪

⎫5π6－α的值.

分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π

6

－α的关系.

解.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫5π6－α＝π，

∴

5π6－α＝π－⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6

＋α.

∴cos ⎝

⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α

＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π

6－α

＝－33.

二、利用目标中的角表示条件中的角 例

2.设

α

为第四象限角，若sin 3α

sin α

＝13

5

，则tan 2α＝

_______________________________.

分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13

5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan

2α.

解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α

sin α

＝2cos 2

α＋cos 2α＝135

.

∵2cos 2

α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.

∵α为第四象限角，∴2k π＋3π

2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，

∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝4

5，∴2α在第四象限，

∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－3

4.

答案.－3

4

三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝5

13，0

⎪

⎫π4＋x 的值.

分析.转化为已知角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式

子化简，使其出现⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋x

＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－x ， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0

⎛⎭⎪⎫0，π4.

∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝

1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π

4－x ＝1213

，

∴原式＝2×1213＝24

13

.

四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角

例4.求函数f (x )＝1－3

2

sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.

分析.观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).

解.f (x )＝1－3

2

sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]

＝12sin(x －20°)－3

2sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝2

2

sin(x －65°)，

当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22

.

2.三角恒等变换的几个技巧

三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂

例1 3－sin 70°2－cos 2

10°

＝________. 解析.3－sin 70°2－cos 2

10°＝3－sin 70°2－

1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°

2＝2. 答案.2

点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2

θ＋cos 2

θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 2

2θ，等等.

二、化平方式 例2 化简求值：

12－12

12＋12cos 2α(α∈(3π

2

，2π)). 解.因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π

4，π)，所以cos α>0，

sin α

2

>0，故原式＝

12－12

1＋cos 2α

2

＝ 12－1

2

cos α＝ sin

2

α2＝sin α2

. 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2

α、2sin 2

α、(sin α＋cos α)2

、(sin α－cos α)2

. 三、灵活变角

例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π

3

＋2α)＝________.

解析.cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π

6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.

答案.－7

9

点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3

＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余.