2016年上海高考数学(理科)真题
2016年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016年高考真题——理科数学(上海卷)-Word版内含答案
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
2016年上海高考数学(理科)真题含解析
2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x R ，则不等式31x的解集为________________【答案】(2,4)【解析】131x，即24x，故解集为(2,4)2. 设32ii z ，其中i 为虚数单位，则Im z_________________【答案】3【解析】i(32i)23i z，故Im 3z3. 1l :210x y , 2l :210xy , 则12,l l 的距离为__________________【答案】255【解析】221125521d4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___（米）【答案】 1.765. 已知点(3,9)在函数()1xf x a 的图像上，则()f x 的反函数1()fx ____________【答案】2log (1)x 【解析】319a ，故2a ，()12xf x ∴2log (1)x y ∴12()log (1)fx x 6. 如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D 中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】22【解析】32BD, 12223DD BD 7. 方程3sin 1cos2x x 在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x【解析】23sin 22sin x x ，即22sin 3sin 2xx∴(2sin 1)(sin 2)0x x ∴1sin 2x ∴π5π,66x8. 在32nxx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n ，8n通项88433882()(2)rrrrr rC x C xx取2r常数项为228(2)112C 9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【答案】733【解析】3,5,7abc ，2221cos 22ab c Cab∴3sin 2C ∴732sin 3c RC10. 设0,0a b，若关于,x y 的方程组11ax y xby无解，则a b 的取值范围是_____________【答案】(2,)【解析】由已知，1ab ，且ab ，∴22ab ab 11. 无穷数列n a 由k 个不同的数组成，n S 为n a 的前n 项和，若对任意*nN ，{2,3}nS ，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B , P 是曲线21yx 上一个动点，则BP BA 的取值范围是____________ 【答案】[0,12]【解析】设(cos ,sin )P ,[0,π]，(1,1)BA , (cos ,sin1)BP πcos[0,12]sin12sin()14BP BA13. 设,,a b R , [0,2π)c ，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3xa bxc ，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a若3b ，则5π3c ；若3b，则4π3c(ii)若2a，若3b，则π3c；若3b ，则2π3c共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i jOP OA OA ，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528【解析】285528C二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a R ，则“1a ”是“21a ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】 A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos B. 65sin C.65cosD.65sin【答案】 D 【解析】π2时，达到最大17. 已知无穷等比数列n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且l i m n nS S ，下列条件中，使得*2()nS S nN 恒成立的是( )A. 10a , 0.60.7qB. 10a , 0.70.6qC. 10a , 0.70.8qD. 10a ,0.80.7q【答案】 B 【解析】1(1)1nna q S q, 11a Sq,11q 2n S S ，即1(21)0na q 若10a ，则12nq ，不可能成立若10a ，则12nq，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x ，()()f x h x ，()()g x h x 均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x ，()()f x h x ，()()g x h x 均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】 D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x xx , 03,023,21()1,xx xx x xg x , 0(0)2,,x h x x xx ②()()()()f xg x f x T g x T ()()()()f xh x f x T h xT ()()()()g x h x g xT h x T 前两式作差，可得()()()()g x h x g xT h xT 结合第三式，可得()()g x g xT , ()()h x h x T 也有()()f x f x T ∴②正确故选 D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23，11A B 长为3，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧(1) 求三棱锥111CO A B 的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则111113AO A B B ∴111O A B 为正三角形∴11134O A B S ∴111111113312CO A B O A B V OO S(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C 为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA 连,,BC BO OC 113AB A B , 23AC∴3BC ∴3BOC∴BOC 为正三角形∴1BC BO ∴11tan 1BC BB CBB ∴145BB C∴直线1B C 与1AA 所成角大小为4520．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2016年上海市高考(理科)数学真题及答案()
2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案和解析 ,,则3（a+bi)+a-bi＝1+i4a=1且2b=Z【考点定位】复数相等，共轭复数3、若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．【答案】16【解析】由题意得：c1=2x+3y=2x3+3x5=21,c2=0.x+y=5,c1-c2=21-5=16【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a＝_____ ．【答案】4【解析】【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则p=_________ ．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为_____ ．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点定位】圆锥轴截面7、方程的解为____________ ．【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为___________（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合9、已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为，则C2的渐近线方程为【答案】【考点定位】双曲线渐近线10、设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为【考点定位】反函数性质11、在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．【答案】该试题及答案加解析（Word版）完整。
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5 分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n 的最大值为．16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y 的值是解决本题的关键．3．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9 项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y 在7：50 至8：00，或8：20 至8：30 时，小明等车时间不超过10 分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y 轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5 分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0 有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A 错误；函数f（x）=x c﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B 错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C 正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω 的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω 的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2 ．r +1【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m ，1），=（1，2），可得 m +2=0，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5 分）（2x +）5 的展开式中，x 3 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r +1 项，令 x 的指数为 3，求出 r ，即可求出展开式中 x 3 的系数． 【解答】解：（2x +）5 的展开式中，通项公式为：T = =25﹣r，令 5﹣=3，解得 r=4 ∴x 3 的系数 2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5 分）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为 64 ．1 2 n 1 【考点】87：等比数列的性质；8I ：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简 a 1a 2…a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，可得 q （a 1+a 3）=5，解得 q=． a 1+q 2a 1=10，解得 a 1=8．则 a a …a =a n •q1+2+3+…+（n ﹣1）=8n • = = ，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0 求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC 的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角；由ABEF 为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB✪平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC 为等腰梯形．以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（II）由X 的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5 中n 的最小值．（III）法一：由X 的分布列得P（X≤19）=．求出买19 个所需费用期望EX1和买20 个所需费用期望EX2，由此能求出买19 个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19 时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19 个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P （X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）= =，P（X=20）= ==，P（X=21）= =，P（X=22）= ，∴X 的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19 个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•= •=12•，A 到PQ 的距离为d==，|PQ|=2 =2=，则四边形MPNQ 面积为S= |PQ|•|MN|= ••12•=24•=24，当m=0 时，S 取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8 ，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1 存在一个零点；即函数f（x）在R 是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R 上单调递增，函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）= ，m＞0，则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB 是圆O 的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT 为AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT 为CD 的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016年上海市高考数学试题答卷(理科)(最新整理)
2016 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1．（4 分）（2016?上海）设 x ∈R ，则不等式|x ﹣3|＜1 的解集为 ． 2．（4 分）（2016?上海）设 z=，其中 i 为虚数单位，则 Imz=．3．（4 分）（2016?上海）已知平行直线 l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则 l 1，l 2 的距离 ． 4．（4 分）（2016?上海）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69， 1.77，则这组数据的中位数是 （米）． 5．（4 分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数 f （x ）=1+a x 的图象上，则 f （x ）的反函数 f ﹣1（x ） = ． 6．（4 分）（2016?上海）在正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan ，则该正四棱柱的高等于．7．（4 分）（2016?上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为．8．（4 分）（2016?上海）在（ ﹣）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数项等于 ． 9．（4 分）（2016?上海）已知△ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等 于 ． 10．（4 分）（2016?上海）设 a ＞0，b ＞0，若关于 x ，y 的方程组无解，则 a+b 的取值范围为 ． 11．（4 分）（2016?上海）无穷数列{a n }由 k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前 n 项和，若对任意 n ∈N *， S n ∈{2，3}，则 k 的最大值为 ． 12．（4 分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知 A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线 y=上一个动点，则?的取值范围是．13．（4 分）（2016?上海）设 a ，b ∈R ，c ∈[0，2π），若对于任意实数 x 都有 2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），则满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）的组数为 ． 14．（4 分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A 1A 2…A 8 的中心，A 1（1，0） 任取不同的两点 A i ，A j ，点 P 满足++=，则点 P 落在第一象限的概率是．二、选择题（5×4=20 分） 15．（5 分）（2016?上海）设 a ∈R ，则“a＞1”是“a 2＞1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 16．（5 分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）A ．ρ=6+5cosθB ．ρ=6+5sinθC ．ρ=6﹣5cosθD ．ρ=6﹣5sinθ17．（5 分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n }的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，且=S ，下列条件中，使得 2S n ＜S （n ∈N *）恒成立的是（ ） A ．a 1＞0，0.6＜q ＜0.7 B ．a 1＜0，﹣0.7＜q ＜﹣0.6 C ．a 1＞0，0.7＜q ＜0.8 D ．a 1＜0，﹣0.8＜q ＜﹣0.7 18．（5 分）（2016?上海）设f （x ）、g （x ）、h （x ）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f（x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均为增函数，则 f （x ）、g （x ）、h （x ）中至少有一个增函数；②若 f （x ）+g （x ） 、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均是以 T 为周期的函数，则 f （x ）、g （x ）、h （x ）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题 三、解答题（74 分） 19．（12 分）（2016?上海）将边长为 1 的正方形 AA 1O 1O （及其内部）绕 OO 1 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1 长为，其中 B 1 与 C 在平面 AA 1O 1O 的同侧．（1） 求三棱锥 C ﹣O 1A 1B 1 的体积； （2） 求异面直线 B 1C 与 AA 1 所成的角的大小．20．（14 分）（2016?上海）有一块正方形 EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 S 1 和 S 2，其中 S 1 中的蔬菜运到河边较近，S 2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S 1 和 S 2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0），如图 （1） 求菜地内的分界线 C 的方程；（2） 菜农从蔬菜运量估计出 S 1 面积是 S 2 面积的两倍，由此得到 S 1 面积的经验值为．设 M 是 C上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH 的面积， 并判断哪一个更接近于 S 1 面积的“经验值”． 21．（14 分）（2016?上海）双曲线 x 2﹣=1（b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1，F 2，直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A ，B 两点．（1） 直线 l 的倾斜角为，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2） 设 b=，若 l 的斜率存在，且（+）?=0，求 l 的斜率．22．（16 分）（2016?上海）已知 a ∈R ，函数 f （x ）=log 2（+a ）．（1） 当 a=5 时，解不等式 f （x ）＞0； （2） 若关于 x 的方程 f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x+2a ﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围．（3） 设 a ＞0，若对任意 t ∈[，1]，函数 f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求 a 的取值范围． 23．（18 分）（2016?上海）若无穷数列{a n }满足：只要 a p =a q （p ，q ∈N *），必有 a p+1=a q+1，则称{a n } 具有性质 P ．（1）若{a n }具有性质 P ，且 a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求 a 3；（2） 若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1=c 5=1；b 5=c 1=81， a n =b n +c n ，判断{a n }是否具有性质 P ，并说明理由； （3） 设{b n }是无穷数列，已知 a n+1=b n +sina n （n ∈N *），求证：“对任意 a 1，{a n }都具有性质 P”的充要条件为“{b n }是常数列”．2016 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1．（4 分）（2016?上海）设 x ∈R ，则不等式|x ﹣3|＜1 的解集为 （2，4） ．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x ﹣3＜1，由此能求出不等式|x ﹣3|＜1 的解集． 【解答】解：∵x ∈R ，不等式|x ﹣3|＜1， ∴﹣1＜x ﹣3＜1， 解得 2＜x ＜4．∴不等式|x ﹣3|＜1 的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2．（4 分）（2016?上海）设 z=，其中 i 为虚数单位，则 Imz= ﹣3 ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数 z 的最简形式，由此能求出 Imz ． 【解答】解：∵Z====2﹣3i ，∴Imz=﹣3． 故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．3．（4 分）（2016?上海）已知平行直线 l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则 l 1，l 2 的距离 ．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线 l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则 l 1，l 2 的距离：=． 故答案为：．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． 4．（4 分）（2016?上海）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69， 1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为 1.75，1.77， ∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．故答案为：1.76．【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．5．（4 分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数 f （x ）=1+a x 的图象上，则 f （x ）的反函数 f ﹣1（x ）= log 2 （x ﹣1）（x ＞1） ．【分析】由于点（3，9）在函数 f （x ）=1+a x 的图象上，可得 9=1+a 3，解得 a=2．可得 f （x ）=1+2x ， 由 1+2x =y ，解得 x=log 2（y ﹣1），（y ＞1）．把 x 与 y 互换即可得出 f （x ）的反函数 f ﹣1（x ）． 【解答】解：∵点（3，9）在函数 f （x ）=1+a x 的图象上，∴9=1+a 3，解得 a=2．∴f（x ）=1+2x ，由 1+2x=y ，解得 x=log 2（y ﹣1），（y ＞1）． 把 x 与 y 互换可得：f （x ）的反函数 f ﹣1（x ）=log 2（x ﹣1）．故答案为：log 2（x ﹣1），（x ＞1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（4 分）（2016?上海）在正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan ，则该正四棱柱的高等于 2 ．【分析】根据正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的侧棱 D 1D⊥底面 ABCD ，判断∠D 1BD 为直线 BD 1 与底面 ABCD 所成的角，即可求出正四棱柱的高．【解答】解：∵正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的侧棱 D 1D⊥底面 ABCD ， ∴∠D 1BD 为直线 BD 1 与底面 ABCD 所成的角， ∴tan∠D 1BD= ，∵正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 的边长为 3， ∴BD=3，∴正四棱柱的高=3 ×=2 ，故答案为：2．【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直 线与平面所成的角．7．（4 分）（2016?上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 或 ．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可． 【解答】解：方程 3sinx=1+cos2x ，可得 3sinx=2﹣2sin 2x ， 即 2sin 2x+3sinx ﹣2=0．可得 sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x ∈[0，2π]解得 x=或． 故答案为：或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．8．（4 分）（2016?上海）在（ ﹣）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数项等于 112 ．【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于 2n =256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在（ ﹣）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256， ∴2n =256，解得 n=8，∴（﹣）8中，T= = ，r+1=（﹣2）2∴当=0，即r=2 时，常数项为T3=112．故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（4 分）（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【分析】可设△ABC的三边分别为 a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得 cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC 的三边分别为 a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC= ==，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．10．（4 分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y 的方程组无解，则a+b 的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立 a，b 的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y 的方程组无解，∴直线 ax+y=1 与 x+by=1 平行，∵a＞0，b＞0，∴≠，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=，则a+b=a+，则设f（a）=a+，（a＞0 且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣= ，当0＜a＜1 时，f′（a）= ＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1 时，f′（a）=＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上 f（a）＞2，即a+b 的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．11．（4 分）（2016?上海）无穷数列{an }由 k 个不同的数组成，Sn为{an}的前 n 项和，若对任意 n∈N*，Sn∈{2，3}，则k 的最大值为 4 ．【分析】对任意 n∈N*，Sn∈{2，3}，列举出 n=1，2，3，4 的情况，归纳可得 n＞4 后都为 0 或1 或﹣1，则k 的最大个数为 4．【解答】解：对任意 n∈N*，Sn∈{2，3}，可得当 n=1 时，a1=S1=2 或 3；若 n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为 2，0；或2，1；或 3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为 2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为 2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或 2，0，1，﹣1；或 2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有 n＞4 后一项都为 0 或1 或﹣1，则k 的最大个数为 4，不同的四个数均为 2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．12．（4 分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知 A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线 y=上一个动点，则?的取值范围是 [0，1+] ．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，s inα+1），由此能求出?的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线y=上一个动点，∴设 P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴?的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．13．（4 分）（2016?上海）设 a ，b ∈R ，c ∈[0，2π），若对于任意实数 x 都有 2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），则满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）的组数为 4 ． 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． 【解答】解：∵对于任意实数 x 都有 2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），∴必有|a|=2，若 a=2，则方程等价为 sin （3x ﹣）=sin （bx+c ），则函数的周期相同，若 b=3，此时 C=，若 b=﹣3，则 C=，若 a=﹣2，则方程等价为 sin （3x ﹣）=﹣sin （bx+c ）=sin （﹣bx ﹣c ），若 b=﹣3，则 C=，若 b=3，则 C=，综上满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有 4 组， 故答案为：4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 14．（4 分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A 1A 2…A 8 的中心，A 1（1，0）任取不同的两点 A i ，A j ，点 P 满足++=，则点 P 落在第一象限的概率是 ．【分析】利用组合数公式求出从正八边形 A 1A 2…A 8 的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点 P 落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形 A 1A 2…A 8 的八个顶点中任取两个，基本事件总数为． 满足++=，且点 P 落在第一象限，对应的 A i ，A j ，为：（A 4，A 7），（A 5，A 8），（A 5，A 6），（A 6，A 7），（A 5，A 7）共 5 种取法． ∴点 P 落在第一象限的概率是，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．二、选择题（5×4=20 分） 15．（5 分）（2016?上海）设 a ∈R ，则“a＞1”是“a 2＞1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由 a 2＞1 得 a ＞1 或 a ＜﹣1， 即“a＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 16．（5 分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ） A ．ρ=6+5cosθ B ．ρ=6+5sinθ C ．ρ=6﹣5cosθ D ．ρ=6﹣5sinθ 【分析】由图形可知： 时，ρ 取得最大值，即可判断出结论．【解答】解：由图形可知：时，ρ 取得最大值，只有 D 满足上述条件．故选：D ．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．17．（5 分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n }的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，且=S ，下列条件中，使得 2S n ＜S （n ∈N *）恒成立的是（ ） A ．a 1＞0，0.6＜q ＜0.7 B ．a 1＜0，﹣0.7＜q ＜﹣0.6 C ．a 1＞0，0.7＜q ＜0.8 D ．a 1＜0，﹣0.8＜q ＜﹣0.7 【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵ ，S= =，﹣1＜q ＜1，2S n ＜S ， ∴，若 a 1＞0，则，故 A 与 C 不可能成立； 若 a 1＜0，则 q n，故 B 成立，D 不成立． 故选：B ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运 用． 18．（5 分）（2016?上海）设f （x ）、g （x ）、h （x ）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f（x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均为增函数，则 f （x ）、g （x ）、h （x ）中至少有一个增函数；②若 f （x ）+g（x ） 、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均是以 T 为周期的函数，则 f （x ）、g （x ）、h （x ）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f （x ）=．g （x ）=，h （x ）=．②由题意可得：f （x ）+g （x ）=f （x+T ）+g （x+T ），f （x ）+h （x ）=f （x+T ）+h （x+T ），h （x ）+g （x ）=h （x+T ）+g （x+T ），可得：g （x ）=g （x+T ），h （x ）=h （x+T ），f （x ）=f （x+T ），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f （x ）=．g （x ）=，h （x ）=．②∵f（x ）+g （x ）=f （x+T ）+g （x+T ），f （x ）+h （x ）=f （x+T ）+h （x+T ），h （x ）+g （x ）=h （x+T ）+g （x+T ），前两式作差可得：g （x ）﹣h （x ）=g （x+T ）﹣h （x+T ），结合第三式可得：g （x ）=g （x+T ），h （x ）=h （x+T ），同理可得：f （x ）=f （x+T ），因此②正确．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．三、解答题（74 分） 19．（12 分）（2016?上海）将边长为 1 的正方形 AA 1O 1O （及其内部）绕 OO 1 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1 长为，其中 B 1 与 C 在平面 AA 1O 1O 的同侧．（1） 求三棱锥 C ﹣O 1A 1B 1 的体积； （2） 求异面直线 B 1C 与 AA 1 所成的角的大小．【分析】（1）连结 O 1B 1，推导出△O 1A 1B 1 为正三角形，从而 =，由此能求出三棱锥 C ﹣O 1A 1B 1的体积．（2）设点 B 1 在下底面圆周的射影为 B ，连结 BB 1，则 BB 1∥AA 1，∠BB 1C 为直线 B 1C 与 AA 1 所成角（或 补角），由此能求出直线 B 1C 与 AA 1 所成角大小． 【解答】解：（1）连结 O 1B 1，则∠O 1A 1B 1=∠A 1O 1B 1=，∴△O 1A 1B 1 为正三角形， ∴=，= =．（2）设点 B 1 在下底面圆周的射影为 B ，连结 BB 1，则 BB 1∥AA 1， ∴∠BB 1C 为直线 B 1C 与 AA 1 所成角（或补角）， BB 1=AA 1=1，连结 BC 、BO 、OC ，∠AOB=∠A 1O 1B 1= ，，∴∠BOC=，∴△BOC 为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB 1C=45°，∴直线 B 1C 与 AA 1 所成角大小为 45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（14 分）（2016?上海）有一块正方形 EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 S 1 和 S 2，其中 S 1 中的蔬菜运到河边较近，S 2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S 1 和 S 2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0），如图 （1） 求菜地内的分界线 C 的方程；（2） 菜农从蔬菜运量估计出 S 1 面积是 S 2 面积的两倍，由此得到 S 1 面积的经验值为．设 M 是 C上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH 的面积， 并判断哪一个更接近于 S 1 面积的“经验值”． 【分析】（1）设分界线上任意一点为（x ，y ），根据条件建立方程关系进行求解即可． （2）设 M （x 0，y 0），则 y 0=1，分别求出对应矩形面积，五边形 FOMGH 的面积，进行比较即可． 【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x ，y ），由题意得|x+1|=，得 y=2 ，（0≤x≤1），（2）设 M （x 0，y 0），则 y 0=1， ∴x 0==，∴设所表述的矩形面积为 S 3，则 S 3=2×（+1）=2×=， 设五边形 EMOGH 的面积为 S 4，则 S 4=S 3﹣S △OMP +S △MGN =﹣××1+=，S 1﹣S 3==，S 4﹣S 1= ﹣=＜，∴五边形 EMOGH 的面积更接近 S 1 的面积．【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 21．（14 分）（2016?上海）双曲线 x 2﹣=1（b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1，F 2，直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A ，B 两点．（1） 直线 l 的倾斜角为，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2） 设 b=，若 l 的斜率存在，且（+）?=0，求 l 的斜率．【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出 AB ，利用三角形是正三角形，求解 b ，即可得到双曲线方程． （2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出 A 、B 坐标，利用向量的数量积为 0，即可求值直线的斜率．【解答】解：（1）双曲线 x 2﹣ =1（b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1，F 2，a=1，c 2=1+b 2，直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A ，B 两点， 直线 l 的倾斜角为，△F 1AB 是等边三角形，可 得 ：A （c ，b 2）， 可 得 ： ，3b 4=4（a 2+b 2）， 即 3b 4﹣4b 2﹣4=0， b ＞0，解得 b 2=2．所求双曲线方程为：x 2﹣ =1， 其渐近线方程为 y=±x ．（2）b= ，双曲线 x 2﹣=1，可得 F 1（﹣2，0），F 2（2，0）．设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线的斜率为：k=，直线 l 的方程为：y=k （x ﹣2），由题意可得： ，消去 y 可得：（3﹣k 2）x 2+4k 2x ﹣4k 2﹣3=0，△=36（1+k 2）＞0， 可得 x 1+x 2=，则 y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣4）=k （﹣4）=．=（x 1+2，y 1），=（x 2+2，y 2），（+）?=0 可得：（x 1+x 2+4，y 1+y 2）?（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）=0，可得 x 1+x 2+4+（y 1+y 2）k=0， 得+4+?k=0可得：k 2= ，解得k=±．l 的斜率为：±．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．22．（16 分）（2016?上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5 时，解不等式 f（x）＞0；（2）若关于 x 的方程 f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数 f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【分析】（1）当 a=5 时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论 a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到 f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当a=5 时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0 或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0 或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0 得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4 时，方程②的解为 x=﹣1，代入①，成立当a=3 时，方程②的解为 x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1 或x=，若x=﹣1 是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则 1＜a≤2．综上，若方程 f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是 1＜a≤2，或a=3 或a=4．（3）函数 f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得 f （t ）﹣f （t+1）≤1， 即 log 2（+a ）﹣log 2（ +a ）≤1，即+a≤2（+a ），即 a≥﹣=设 1﹣t=r ，则 0≤r≤，==，当 r=0 时，=0，当 0＜r≤时，= ，∵y=r+在（0， ）上递减， ∴r+≥=， ∴==，∴实数 a 的取值范围是 a≥．【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 23．（18 分）（2016?上海）若无穷数列{a n }满足：只要 a p =a q （p ，q ∈N *），必有 a p+1=a q+1，则称{a n } 具有性质 P ．（1）若{a n }具有性质 P ，且 a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求 a 3； （2） 若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1=c 5=1；b 5=c 1=81， a n =b n +c n ，判断{a n }是否具有性质 P ，并说明理由； （3） 设{b n }是无穷数列，已知 a n+1=b n +sina n （n ∈N *），求证：“对任意 a 1，{a n }都具有性质 P”的充要条件为“{b n }是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过 a 2=a 5=2，推出 a 3=a 6，a 4=a 7，转化求解 a 3 即可． （2） 设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为 q ，则 q ＞0，利用条件求出，d 与 q ， 求出 b n ，c n 得到 a n 的表达式，推出 a 2≠a 6，说明{a n }不具有性质 P ． （3） 充分性：若{b n }是常数列，设 b n =C ，通过 a n+1=C+sina n ，证明 a p+1=a q+1，得到{a n }具有性质 P ． 必要性：若对于任意 a 1，{a n }具有性质 P ，得到 a 2=b 1+sina 1，设函数 f （x ）=x ﹣b 1，g （x ）=sinx ， 说明 b n+1=b n ，即可说明{b n }是常数列． 【解答】解：（1）∵a 2=a 5=2，∴a 3=a 6，a 4=a 7=3，∴a 5=a 8=2，a 6=21﹣a 7﹣a 8=16，∴a 3=16． （2） 设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为 q ，则 q ＞0， b 5﹣b 1=4d=80，∴d=20，∴b n =20n ﹣19， =q 4= ，∴q= ，∴c n =∴a n =b n +c n =20n ﹣19+ ．∵a 1=a 5=82，而 a 2=21+27=48，a 6=101 =．a 1=a 5，但是 a 2≠a 6，{a n }不具有性质 P ．（3） 充分性：若{b n }是常数列，设 b n =C ，则 a n+1=C+sina n ，若存在 p ，q 使得 a p =a q ，则 a p+1=C+sina p =C+sina q =a q+1， 故{a n }具有性质 P ．必要性：若对于任意 a 1，{a n }具有性质 P ， 则 a 2=b 1+sina 1，设函数 f （x ）=x ﹣b 1，g （x ）=sinx ， 由 f （x ），g （x ）图象可得，对于任意的 b 1，二者图象必有一个交点， ∴一定能找到一个 a 1，使得 a 1﹣b 1=sina 1， ∴a 2=b 1+sina 1=a 1，∴a n =a n+1，故 b n+1=a n+2﹣sina n+1=a n+1﹣sina n =b n ， ∴{b n }是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大． 菁优网2016 年 6 月 12 日“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
16年高考真题——理科数学(上海卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一．填空题：本大题共14小题，每小题4分，共计56分。
1．设R x ∈，则不等式1|3|<-x 的解集为_____________。
2．设()i z 23+=，其中i 为虚数单位，则=z Im _____________。
3．直线1l ：012=-+y x ，2l ：012=++y x ，则21,l l 的距离为_____________。
4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为77.1,69.1,80.1,75.1,78.1,72.1，则这组数据的中位数是_____________（米）。
5．已知点()9,3在函数()x a x f +=1的图像上，则()x f 的反函数()=-x f1_____________。
6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于_____________。
7．方程x x 2cos 1sin 3+=在区间[]π2,0上的解为_____________。
8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______。
9．已知ABC ∆的三边长为7,5,3，则该三角形的外接圆半径等于_____________。
10．设0,0>>b a ，若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=+11by x y ax 无解，则b a +的取值范围是_____________。
11．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意+∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为_____________。
12．在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()1,0-B ，P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是_____________。
2016年上海市高考数学试卷
2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．（4分）（2016上海）设x∈R，则不等式|x ﹣3|＜1的解集为 ． 2．（4分）（2016上海）设z=，其中i 为虚数单位，则Imz= ． 3．（4分）（2016上海）已知平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1，l 2的距离 ． 4．（4分）（2016上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，则这组数据的中位数是 （米）． 5．（4分）（2016上海）已知点（3，9）在函数f （x ）=1+a x 的图象上，则f （x ）的反函数f ﹣1（x ）= ． 6．（4分）（2016上海）在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于 ． 7．（4分）（2016上海）方程3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 8．（4分）（2016上海）在（﹣）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 9．（4分）（2016上海）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ． 10．（4分）（2016上海）设a ＞0，b ＞0，若关于x ，y 的方程组无解，则a+b 的取值范围为 ． 11．（4分）（2016上海）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为 ． 12．（4分）（2016上海）在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y=上一个动点，则的取值范围是 ． 13．（4分）（2016上海）设a ，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），则满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）的组数为 ． 14．（4分）（2016上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1（1，0）任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足++=，则点P 落在第一象限的概率是 ．二、选择题（5×4=20分） 15．（5分）（2016上海）设a∈R，则“a＞1”是“a 2＞1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 16．（5分）（2016上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ） A ．ρ=6+5cosθ B ．ρ=6+5sinθ C ．ρ=6﹣5cosθ D ．ρ=6﹣5sinθ 17．（5分）（2016上海）已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且=S ，下列条件中，使得2S n ＜S （n∈N *）恒成立的是（ ） A ．a 1＞0，＜q ＜ B ．a 1＜0，﹣＜q ＜﹣ C ．a 1＞0，＜q ＜ D ．a 1＜0，﹣＜q ＜﹣ 18．（5分）（2016上海）设f （x ）、g （x ）、h （x ）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f（x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均为增函数，则f （x ）、g （x ）、h （x ）中至少有一个增函数；②若f （x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19．（12分）（2016上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．20．（14分）（2016上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率．22．（16分）（2016上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23．（18分）（2016上海）若无穷数列{an }满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P．（1）若{an }具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{bn }是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b 1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{bn }是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2．（4分）（2016上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz= ﹣3 ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z====2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．3．（4分）（2016上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．故答案为：．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．4．（4分）（2016上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，则这组数据的中位数是（米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，从小到大排列为：，，，，，，位于中间的两个数值为，，∴这组数据的中位数是：=（米）．故答案为：．【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．5．（4分）（2016上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= log2（x﹣1）（x＞1）．【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）（2016上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于 2 ．【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD=，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，∴BD=3，∴正四棱柱的高=3×=2，故答案为：2．【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．7．（4分）（2016上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．8．（4分）（2016上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112 ．【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8，∴（﹣）8中，Tr+1==，∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（4分）（2016上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．10．（4分）（2016上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴≠，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=，则a+b=a+，则设f（a）=a+，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣=，当0＜a＜1时，f′（a）=＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）=＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．11．（4分）（2016上海）无穷数列{an }由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为 4 ．【分析】对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n ＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．12．（4分）（2016上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线y=上一个动点，则的取值范围是[0，1+] ．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线y=上一个动点， ∴设P （cosα，sinα），α∈[0，π]， ∴=（1，1），=（cosα，sinα+1）， =cosα+sinα+1=，∴的取值范围是[0，1+]． 故答案为：[0，1+]．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用． 13．（4分）（2016上海）设a ，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），则满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）的组数为 4 ． 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ）， ∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin （3x ﹣）=sin （bx+c ）， 则函数的周期相同，若b=3，此时C=， 若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin （3x ﹣）=﹣sin （bx+c ）=sin （﹣bx ﹣c ）， 若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）， 共有4组， 故答案为：4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 14．（4分）（2016上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1（1，0）任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足++=，则点P 落在第一象限的概率是 ．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A 1A 2…A 8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P 落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A 1A 2…A 8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为． 满足++=，且点P 落在第一象限，对应的A i ，A j ，为： （A 4，A 7），（A 5，A 8），（A 5，A 6），（A 6，A 7），（A 5，A 7）共5种取法． ∴点P 落在第一象限的概率是， 故答案为：．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．二、选择题（5×4=20分） 15．（5分）（2016上海）设a∈R，则“a＞1”是“a 2＞1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a 2＞1得a ＞1或a ＜﹣1， 即“a＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2016上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论．【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值，只有D满足上述条件．故选：D．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2016上海）已知无穷等比数列{an }的公比为q，前n项和为Sn，且=S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，＜q＜B．a1＜0，﹣＜q＜﹣C．a1＞0，＜q＜D．a1＜0，﹣＜q＜﹣【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，2Sn＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，故B成立，D不成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．（5分）（2016上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f （x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h （x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h （x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h （x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（74分）19．（12分）（2016上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）（2016上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）设M（x0，y），则y=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y），则y=1，∴x==，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，S 1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2016上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率．【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．【解答】解：（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4=0，b＞0，解得b2=2．所求双曲线方程为：x2﹣=1，其渐近线方程为y=±x．（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x﹣2），由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，△=36（1+k2）＞0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+k=0可得：k2=，解得k=±．l的斜率为：±．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．22．（16分）（2016上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．23．（18分）（2016上海）若无穷数列{an }满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P．（1）若{an }具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{bn }是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b 1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{bn }是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，转化求解a3即可．（2）设无穷数列{bn }的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出bn ，cn得到an的表达式，推出a2≠a6，说明{an}不具有性质P．（3）充分性：若{bn }是常数列，设bn=C，通过an+1=C+sinan，证明ap+1=aq+1，得到{an}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P，得到a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b 1，g（x）=sinx，说明bn+1=bn，即可说明{bn}是常数列．【解答】解：（1）∵a2=a5=2，∴a3=a6，a 4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16．（2）设无穷数列{bn }的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，b 5﹣b1=4d=80，∴d=20，∴bn =20n﹣19，=q4=，∴q=，∴cn=∴an =bn+cn=20n﹣19+．∵a1=a5=82，而a2=21+27=48，a6=101=．a1=a5，但是a2≠a6，{an}不具有性质P．（3）充分性：若{bn}是常数列，设bn =C，则an+1=C+sinan，若存在p，q使得ap =aq，则ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，故{an}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P，则a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，∴a2=b1+sina1=a1，∴an=an+1，故bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn，∴{bn}是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．菁优网2016年6月12日。
2016年上海市高考数学试卷(理科)学生版
2016 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，不然一律得零分 .1．（4 分）（2016?上海）设 x ∈R ，则不等式 | x ﹣ 3| ＜1 的解集为．．（ 分）（ 2016?上海）设 z= ，此中 i 为虚数单位，则 Imz= ．2 43．（4 分）（ 上海）已知平行直线 l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则 l 1，l 22016?的距离．4．（4 分）（2016?上海）某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78， 1.75，1.80，1.69， 1.77，则这组数据的中位数是 （米）．5．（4 分）（2016?上海）已知点（ 3，9）在函数 f （x ）=1+a x 的图象上，则 f （ x ）的反函数 f ﹣ 1．（x ）=6．（ 4 分）（ 2016?上海）在正四棱柱 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan ，则该正四棱柱的高等于．7．（4 分）（2016?上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间 [ 0，2π] 上的解为 ．8．（4 分）（ 2016?上海）在（﹣ ）n 的二项式中，全部的二项式系数之和为256，则常数项等于．9．（4 分）（2016?上海）已知△ ABC 的三边长分别为3， 5， 7，则该三角形的外接圆半径等于．10．（4 分）（2016?上海）设 a ＞0，b ＞ 0，若对于 x ，y 的方程组无解，则 a+b 的取值范围为．．（ 分）（ 上海）无量数列 n } 由 k 个不一样的数构成， S n 为{ a n } 的前 n项 11 4 2016?{ a和，若对随意 n ∈N * ，S n ∈{ 2， 3} ，则 k 的最大值为．12．（ 4 分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知 A （ 1， 0），B （0，﹣ 1），P 是曲线 y=上一个动点，则? 的取值范围是．13．（ 4 分）（ 2016?上海）设a ，b ∈R ，c ∈[ 0，2π），若对于随意实数x 都有 2sin（3x ﹣ ）=asin （bx+c ），则知足条件的有序实数组 （a ，b ，c ）的组数为．14．（4 分）（2016?上海）如，在平面直角坐系 xOy 中，O 正八形 A1A2⋯A8的中心， A1（ 1， 0）任取不一样的两点A i， A j，点P 足++= ，点P 落在第一象限的概率是．二、（ 5×4=20 分）15．（ 5 分）（2016?上海）a∈ R，“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足也非必需条件16．（5 分）（2016?上海）以下极坐方程中，的曲如所示的是（）A．ρ =6+5cos θB．ρ =6+5sin θC．ρ =6 5cos θD．ρ =6 5sin θ17．（5 分）（ 2016?上海）已知无等比数列 { a n} 的公比 q，前 n 和 S n，且，以下条件中，使得2S n ＜ S（ n∈ N*）恒成立的是（）=SA．a1＞0，0.6＜q＜0.7B．a1＜ 0， 0.7＜q＜0.6．1＞0，0.7＜q＜0.8D．a1＜ 0， 0.8＜q＜ 0.7C a18．（ 5 分）（2016?上海） f（ x）、g（x）、 h（ x）是定域R 的三个函数，于命：① f（ x）+g（x）、 f（x）+h（ x）、g（x）+h（x）均增函数， f （x）、g（x）、h（ x）中起码有一个增函数；②若 f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x） +h（x）均是以 T 周期的函数， f （x）、 g（ x）、h（x）均是以 T周期的函数，以下判断正确的选项是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（ 74 分）19．（ 12 分）（ 2016?上海）将边长为 1 的正方形 AA1O1 O（及其内部）绕OO1旋AA1O1O 转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，此中B1与 C在平面的同侧．（1）求三棱锥 C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线 B1C 与 AA1所成的角的大小．20．（ 14 分）（ 2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河畔运走．于是，菜地分别为两个地区S1和 S2，此中 S1中的蔬菜运到河畔较近，S2中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内S1和 S2的分界线 C 上的点到河畔与到 F 点的距离相等，现成立平面直角坐标系，此中原点 O 为 EF的中点，点 F 的坐标为（ 1， 0），如图（1）求菜地内的分界限 C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量预计出 S1面积是 S2面积的两倍，由此获得 S1面积的经验值为．设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH的面积，并判断哪一个更靠近于 S1面积的“经验值”．．（14分）（上海）双曲线x2﹣（＞）的左、右焦点分别为，F ，212016?=1 b0F1 2直线 l 过 F2且与双曲线交于A，B 两点．（ 1）直线 l 的倾斜角为，△ F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（ 2）设 b=，若 l 的斜率存在，且（+）?，求l 的斜率．=022．（ 16 分）（ 2016?上海）已知 a∈ R，函数 f（x）=log2（ +a）．（1）当 a=5 时，解不等式 f（x）＞ 0；（2）若对于 x 的方程 f（ x）﹣ log2[ （a﹣ 4） x+2a﹣ 5] =0 的解集中恰巧有一个元素，求 a 的取值范围．（3）设 a＞0，若对随意 t∈[ ，1] ，函数 f（x）在区间 [ t ，t +1] 上的最大值与最小值的差不超出 1，求 a 的取值范围．23．（ 18 分）（ 2016?上海）若无量数列 { a n} 知足：只需 a p=a q（ p，q∈ N*），必有a p+1=a q+1，则称 { a n} 拥有性质 P．（1）若 { a n } 拥有性质 P，且 a1=1，a2=2，a4=3， a5=2，a6+a7+a8=21，求 a3；（ 2）若无量数列{ b n} 是等差数列，无量数列{ c n } 是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81， a n =b n+c n，判断 { a n} 能否拥有性质P，并说明原因；（ 3）设 { b n } 是无量数列，已知a n+1=b n+sina n（ n∈ N*），求证：“对随意 a1，{ a n} 都拥有性质 P”的充要条件为“{b n} 是常数列”．。
(完整word版)2016年上海市高考数学试题答卷(理科)
2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．4．（4分）（2016?上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于．7．（4分）（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．．（4分）（2016?上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．9．（4分）（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则?的取值范围是．13．（4分）（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ17．（5分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.718．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．20．（14分）（2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016?上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）?=0，求l的斜率．22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23．（18分）（2016?上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z====2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．故答案为：．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．4．（4分）（2016?上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76（米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．故答案为：1.76．【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．5．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）（x＞1）．【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2．【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD=，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，∴BD=3，∴正四棱柱的高=3×=2，故答案为：2．【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．7．（4分）（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．8．（4分）（2016?上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8．在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8，∴（﹣）8中，T r+1==，∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（4分）（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴≠，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=，则a+b=a+，则设f（a）=a+，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣=，当0＜a＜1时，f′（a）=＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）=＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则?的取值范围是[0，1+]．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出?的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴?的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．13．（4分）（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论．【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值，只有D满足上述条件．故选：D．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，故B成立，D不成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h （x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h （x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【分析】（1）连结O 1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C ﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）（2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y0），则y0=1，∴x0==，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2016?上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）?=0，求l的斜率．【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．【解答】解：（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4=0，b＞0，解得b2=2．所求双曲线方程为：x2﹣=1，其渐近线方程为y=±x．（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x﹣2），由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，△=36（1+k2）＞0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）?=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）?（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+?k=0可得：k2=，解得k=±．l的斜率为：±．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．23．（18分）（2016?上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，转化求解a3即可．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b n，c n得到a n的表达式，推出a2≠a6，说明{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n=C，通过a n+1=C+sina n，证明a p+1=a q+1，得到{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，得到a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，说明b n+1=b n，即可说明{b n}是常数列．【解答】解：（1）∵a2=a5=2，∴a3=a6，a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，b5﹣b1=4d=80，∴d=20，∴b n=20n﹣19，=q4=，∴q=，∴c n=∴a n=b n+c n=20n﹣19+．∵a1=a5=82，而a2=21+27=48，a6=101=．a1=a5，但是a2≠a6，{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n=C，则a n+1=C+sina n，若存在p，q使得a p=a q，则a p+1=C+sina p=C+sina q=a q+1，故{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，则a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，∴a2=b1+sina1=a1，∴a n=a n+1，故b n+1=a n+2﹣sina n+1=a n+1﹣sina n=b n，∴{b n}是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．菁优网2016年6月12日。
MXT-2016年高考真题——理科数学(上海卷含解析)
2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】22【解析】32BD =, 12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2n x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是____________【答案】[0,12]+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r , (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,12]sin 12)14BP BA ααα⋅=++=+∈++u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠== ∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ= ∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2016年高考真题——理科数学(上海卷) Word版含答案
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设ii Z 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ） （A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
高考上海理科数学试题及答案word解析版
a2 1 2 0 ，此时函数为减函数，此时
a
a2 1
f a f 1 2 ，当 a 1 时， f a
2 0 ，此时函数为增函数， f a f 1 2 ，综上 f a
a
即 a b的取值范围是 2,+ ．
1， 2，
【点评】 本题主要考查直线平行的应用以及构造函数， 求函数的导数， 利用导数和函数单调性之间的关系进行求
|q | 1) 对一切正整数恒成立，当
a1
0 时 qn
1 不恒成立，
2
舍去；当 a1 0 时 qn 1
q2
1 ，故选 B ．
2
2解法 2：∵ Sn Nhomakorabeaa1 1 qn
1q
，S
lim
n
Sn
a1 ， 1 q 1 ， 2Sn 1q
S ，∴ a1 2qn 1
0，
若 a1
0 ，则
n
q
1 ，故 A 与 C 不可能成立；若
解法 2：∵关于 x ， y 的方程
组无解，∴直线 ax y 1 与 x by 1平行，∵ a 0 ， b 0 ，
x by 1
∴ a 1 1 ，即 a 1， b 1，且 ab 1，则 b 1 ，则 a b a 1 ，则设 f a
a
1 a
0且 a
1b1
a
a
a
则函数的导数 f a
1 12
a
a2 1 2 ，当 0 a 1 时， f a
a2 b2
22 12
5
【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
（ 4）【 2016 年上海， 理 4，4 分】某次体检， 6 位同学的身高 （单位： 米）分别为 1.72 ，1.78 ，1.75，1.80， 1.69，
2016年上海高考数学(理科)真题
ABDCA 1B 1D 1C 12016年上海高考数学（理科）1.设R x，则不等式1|3|x 的解集为____________.2.设iiz23，其中i 为虚数单位，则z Im ____________.3.已知平行直线012:,012:21y x l y x l ，则21l l 与的距离是_________.4.某次体检，6为同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80.1.69,1.77，则这组数据的中位数是_________米.5.已知点（3,9）在函数x a x f 1)(的图像上，则)(x f 的反函数)(1x f_________.6.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD,底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成的角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于__________.7.方程x x 2cos 1sin 3在区间]2,0[上的解为_________.8.在nxx)2(3的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________. 9.已知ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于__________.10.设0,0b a ，若关于y x,的方程组11by xy ax 无解，则b a 的取值范围是_________.11.无穷数列}{n a 由k 个不同的数组成，n S 为}{n a 的前n 项和，若对任意}3,2{,nS N n，则k 的最大值为____4____.考点：数列前n 项和专题：数列前n 项和n S 与n a 的关系x yO A 2A 8A 4A 6A 5A 1A 3A 7分析：利用2111n S S nS a n nn关系进行求解解答：利用2111nS S nS a nnn知3211or S a （1）21a 时，}3,2{,1n n S S ，则)2(1n S S a n n n 只有三种可能取值1,1,0（2）31a 时，}3,2{,1nn S S ，则)2(1nS S a n nn只有三种可能取值1,1,0综上，4maxk 点评：本题难度中等，考察学生的逻辑分析能力。
2016年高考上海理科数学试题与答案(word解析版)
解法2：∵
S
n
n
a11q
1q
，
SlimS
n
n
a
1
1q
n
，1q1，2
SS，∴a12q10，
n
若a10，则
1
n
q，故A与C不可能成立；若a10，则
2
1
n
q，故B成立，D不成立．
2
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
（18）【2016年上海，理18，5分】设fx、gx、hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①若fxgx、
3
C，若b3，则
3
2
C，
3
综上满足条件的有序实数组a,b,c为2,3,
5
3
，2,3,
4
3
，2,3,
3
，
2,3,
2
3
，共有4组．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱
导公式进行转化是解决本题的关键．
（14）【2016年上海，理14，4分】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对
得5分，否则一律得零分．
（15）【2016年上海，理15，5分】设aR，则“a1”是“21
a”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
22
[f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)]
f(x)必为周期为的函数，所以②正确；增函
[上海卷]2016年上海卷理科数学(全解析)
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D 1C 1 B 1A 1D CB A2016年上海卷理科数学试题逐题详解考试时间:2016年 6月 7日(星期二)15:00～17:00 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.1. 设x ÎR ,则不等式 1 3 < - x 的解集为_______. 【解析】( ) 2,4 ；由题意得 131 x -<-< ,解得24 x << .2. 设 32iiz + =,其中i 为虚数单位,则Im z = _______. 【解析】 3 - ； 32i23i iz + ==- ,Imz 3 =- .3. 已知平行直线 1 l :210 x y +-= , 2 l :210 x y ++= ,则 2 1 ,l l 的距离为________.【解析】255 ；利用两平行线间距离公式得 22 11 255 21d -- ==+ . 4. 某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是______(米)【解析】1.76；将这6位同学的身高按照从矮到高排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76.5. 已知点( ) 3,9 在函数 ( ) 1 xf x a =+ 的图像上,则 ( ) f x 的反函数 ( ) 1fx - =___________.【解析】 ( ) 2 log 1 x - ；依题意 ( ) 339 1 f a =+ = ,解得 2 a = ,所以 ( ) 12 x f x =+ ,所以 ( ) 2 log 1 x y =- ,所以 ( ) ( ) 12 log 1 f x x - =- .6. 如图,在正四棱柱 1111 ABCD A B C D - 中,底面 ABCD 的边长为3, 1 BD 与底面所成角的大小为 2arctan 3,则该正四棱柱的高等于______. 【解析】22 ；依题意得 11 2 tan 3 DD DBD BD Ð== ,即 1 2 3 32DD = ,解得 1 22 DD = . 7. 方程3sin 1cos 2 x x =+ 在区间[ ] 0,2p 上的解为________. 【解析】 6 p或5 6 p ；依题意得 23sin 22sin x x =- ,解得 1 sin 2x = 或 2 - (舍去),所以在区间[ ] 0,2p 上的解 为 6 p或5 6p . 8. 在 3 2 nx x æö - ç÷ èø 的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_______.【解析】 112； 由题意得2256 n = ,所以 8 n = ,故 ( )( ) 848 333188 2 2 rrr r rr r T C x C x x - - + æö =-=- ç÷ èø,令 84 0 33 r -= , 所以 2 r = ,所以常数项 3 112 T = .9. 已知 ABC D 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.【解析】 733 ；利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为 222 35712352+- =- ´´ ,所以此角的正弦值详解提供: 南海中学 钱耀周y xA 8A 7A 6A 5A 4 A 3A 2A 1 O 为3 2 ,由正弦定理得 7 2 32R = ,所以该三角形的外接圆半径 733 R = . 10.设 0,0 a b >> ,若关于 , x y 的方程组 1 1 ax y x by += ìí += î无解,则a b + 的取值范围是_________.【解析】( ) 2,+¥ ；将方程组中的(1)式化简得 1 y ax =- ,代入(2)式整理得( ) 11 ab x b -=- ,方程组无解应该满足10 ab -= 且10 b -¹ ,所以 1 ab = 且 1 b ¹ ,所以由基本不等式得 22 a b ab +>= . 11.无穷数列{ } n a 由k 个不同的数组成, n S 为{ } n a 的前n 项和.若对任意n *ÎN , { } 2,3 n S Î,则k 的最大 值为________.【解析】4；当 1 n = 时, 1 2 a = 或 1 3 a = ；当 2 n ³ 时,若 2 n S = ,则 1 2 n S - = ,于是 0 n a = ,若 3n S = ,则 1 3 n S - = ,于是 0 n a = .从而存在k *ÎN ,当n k ³ 时, 0 k a = ,其中数列{ }n a :2,1, 1 - ,0,0 ,…,满足 条件,所以 max 4 k = .12.在平面直角坐标系中,已知 ( ) 1,0 A , ( ) 0,1 B - ,P 是曲线 21 y x =- 上一个动点,则BP BA × uuu r uuu r 的取值范围是 ____ .【解析】 0,12 éù + ëû；依题意知 21 y x =- 表示以原点为圆心,半径为1的上半圆,设 ( ) cos ,sin P a a ,[ ] 0, a p Î , ( ) 1,1 BA = uuu r , ( ) cos ,sin 1 BA a a =+ uuu r ,所以BP BA × uuu r uuu r cos sin 12sin 1 4 p a a a æö =++=++ ç÷ èø ,又 [ ] 0, a p Î ,所以 4 p a +Î 5,44 p p éù êú ëû ,故 2 sin ,1 42 p a éùæö +Î- êú ç÷ èø ëû,所以 2sin 10,12 4 p a æö éù ++Î+ ç÷ ëû èø . 13.设 , a b ÎR , [ ) 0,2 c p Î ,若对任意实数x 都有 ( ) c bx a x + = ÷ øöç èæ- sin 3 3sin 2 p ,则满足条件的有序实数 组( ) c b a , , 的组数为.【解析】4；因为对于任意实数x 都有 ( ) c bx a x + = ÷ øöç èæ- sin 3 3sin 2 p ,故函数的最值相等,所以 2 a =± ；且 周期相同,所以 3 b =± .若 2 a = , 3 b = ,此时 ( ) sin 3sin 3 3 x x c p æö -=+ ç÷ èø ,故 5 2 33 c p p p =-+= ； 同理 可知满足题意的实数组共有4组( 2 a =± , 3 b =± ,当 , a b 确定时,c 唯一确定!).14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形 8 2 1 A A A L 的中心, () 0 , 1 1 A . 任取不同的两点 j i A A , ,点P 满足 i j OP OA OA ++=0uuu r uuur uuuu r ,则点P 落在第一象 限的概率是_______.【解析】 5 28；共有 2 8 28 C = 种基本事件,其中使点P 落在第一象限共有 2 3 2C + 5 = 种基本事件,故概率为 528.二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.15.设a ÎR ,则“ 1 > a ”是“ 1 2 > a ”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件OxCB 1OO 1AA 1BA 1AO 1O B 1C【解析】A ； 21 a >Û 1 a <- 或 1 a > ,所以“ 1 > a ”是“ 12 > a ”的充分非必要条件. 16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是()A ． 65cos r q =+B ． 65sin r q =+C ． 65cos r q=- D ． 65sin r q=- 【解析】D ；依次取 0 q = , 2 p,p ,3 2p,结合图形可知只有 65sin r q =- 满足. 17.已知无穷等比数列{ } n a 的公比为q ,前n 项和为 n S ,且lim n n S S ®¥= .下列条件中,使得2 n S S < (n *ÎN ) 恒成立的是()A ． 1 0 a > ,0.60.7 q <<B ． 1 0 a < , 0.70.6 q -<<-C ． 1 0 a > ,0.70.8 q <<D ． 1 0 a < , 0.80.7q -<<- 【解析】B ；依题意,() 1 12111 na q a qq - <-- (01 q << )对一切正整数恒成立,当 1 0 a > 时, 1 2n q > 不恒成立, 舍去；当 1 0 a < 时, 1 2 nq < ,所以 21 2q < ,因此选B .18.设 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若 ( ) ( ) f x g x + 、 ( ) ( ) f x h x + 、( ) ( ) g x h x + 均为增函数,则 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 中至少有一个增函数；②若 ( ) ( ) f x g x + 、 ( ) f x + ( ) h x 、 ( ) ( ) g x h x + 均是以T 为周期的函数,则 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是()A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题,②为假命题D ．①为假命题,②为真命题【解析】D ；因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g 2f x x f x h x x h x f x +++-+ éùéùéù ëûëûëû =,同理可得其它,在②的条件下,三个函数必为周期为T 的函数,所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本小题满分 14分)将边长为1的正方形 11 AA O O (及其内部)绕的 1 OO 旋转一周形成圆柱,如图, » AC 长为 23 p , ¼ 11 A B 长为 3p ,其中 1 B 与C 在平面 11 AA O O 的同侧.(Ⅰ) 求三棱锥 111 C O A B - 的体积；(Ⅱ) 求异面直线 1 B C 与 1 AA 所成的角的大小.【解析】(Ⅰ)由题意可知,圆柱的高 1 h = ,底面半径 1 r = ,由 ¼ 11 A B 的长为 3p,可知 1113A OB pÐ= ,1111111111 13sin 24O A B S O A O B A O B D =××Ð= , 11111113312C O A B O A B V S h -D =×= . (Ⅱ)设过点 1 B 的母线与下底面交于点B ,则 11 // BB AA ,所以 1 CB B Ð 或其补角为直线 1 B C 与 1 AA 所成的角.由 » AC 长为2 3 p ,可知 2 3AOC pÐ= ,S 2M HyFGE OxS 1又 111 3AOB A O B pÐ=Ð=,所以 3COB pÐ=,从而 COB D 为等边三角形,得 1 CB = ．因为 1 B B ^平面 AOC ,所以 1 B B CB ^ ,在 1 CB B D 中,因为 1 2B BC pÐ= , 1 CB = , 1 1 B B = ,所以 1 4CB B pÐ=,从而直线 1 B C 与 1 AA 所成的角的大小为4p. 20.(本小题满分 14分)有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜 地分为两个区域 1 S 和 2 S ,其中 1 S 中的蔬菜运到河边较近, 2 S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内 1 S 和 2 S 的 分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的 坐标为( ) 1,0 ,如图.(Ⅰ) 求菜地内的分界线C 的方程(Ⅱ) 菜农从蔬菜运量估计出 1 S 面积是 2 S 面积的两倍,由此得到 1 S 面积的 “经验值”为 83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 1 S 面积的经验值.【解析】(Ⅰ)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等,所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分,其方程为 2 4 y x = (02 y << ). (Ⅱ)依题意,点M 的坐标为 1 ,1 4 æöç÷ èø,所求的矩形面积为 5 2 ,而所求的五边形面积为 11 4 . 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-= ,而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为 11814312-= ,所以五边形面积更接近于 1 S 面积的“经验值”. 21.(本小题满分 14分)本题共有 2个小题,第 1 小题满分 6 分,第2 小题满分 8 分.双曲线 222 1 y x b-= ( 0 b > )的左、右焦点分别为 1 F 、 2 F ,直线l 过 2 F 且与双曲线交于A 、B 两点.(Ⅰ) 若l 的倾斜角为 2p, 1 F AB D 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(Ⅱ) 设 3 b = ,若l 的斜率存在,且( )11 0 F A F B AB +×= uuu r uuu r uuu r,求l 的斜率.【解析】(Ⅰ)依题意l ^ x 轴,令x c = ,得 ( ) 2224 1 y bcb =-= ,故 24A y b = ,因为 1 F AB D 是等边三角形,所以23 c y A = ,即 () 24413 b b+= ,解得 22 b = ． 故双曲线的渐近线方程为 2 y x =± .(Ⅱ)由已知, ( ) 1 2,0 F - , ( ) 2 2,0 F ,设 ( ) 11 , A x y , ( ) 22 , B x y ,直线: l ( ) 2 y k x =- ,显然 0 k ¹ . 由 ( ) 22 1 32 y x y k x ì -= ï í ï =- î,得( ) 222234430 k x k x k --++= ,因为l 与双曲线交于两点,所以 2 30 k -¹ ,且 ( ) 23610 k D =+> ,设 AB 的中点为 ( ) 00 , M x y ,由( )11 0 F A F B AB +×= uuu r uuu r uuu r 即 10 F M AB ×= uuuu r uuu r ,知 1 F M AB ^ ,故 11 F M k k ×=- ,而2 120 2 2 23 x x k x k + == - , ( ) 00 2 6 2 3 k y k x k =-= - , 12 3 23F Mk k k = - , 所以23 1 23 k k k ×=- - ,得 23 5 k = ,故l 的斜率为 155± . 22.(本小题满分 16分)本题共有 3个小题,第 1 小题满分 4 分,第2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.已知a ÎR ,函数 ( ) 2 1 log f x a x æö=+ ç÷ èø. (Ⅰ) 当 5 a = 时,解不等式 ( ) 0 f x > ；(Ⅱ) 若关于x 的方程 ( ) ( ) 2 log 4250 f x a x a --+-= éù ëû 的解集中恰好有一个元素,求a 的取值范 围；(Ⅲ) 设 0 a > ,若对任意 1 ,1 2 t éù Î êú ëû,函数 ( ) f x 在区间[ ] ,1 t t + 上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)由 2 1 log 50 x æö+> ç÷ èø,得 1 51 x +> ,即 41 0 x x + > ,解得 1 4 x <- 或 0 x > ,所以原不等式的解集为 ( ) 1 ,0, 4 æö-¥-+¥ ç÷ èøU . (Ⅱ)依题意得 ( ) 1 425 a a x a x+=-+- ,整理得( ) ( ) 2 4510 a x a x -+--= ,当 4 a = 时, 1 x =- ,经检验,满足题意； 当 3 a = 时, 12 1 x x ==-,经检验,满足题意； 当 3 a ¹ 且 4 a ¹ 时, 1 1 4 x a =- , 2 1 x =- , 12 x x ¹ , 1x 是原方程的解当且仅当 1 10 a x+> ,即 2 a > ； 2 x 是原方程的解当且仅当210 a x +> ,即 1 a > ,于是满足题意的 ( ] 1,2 a Î ． 综上,a 的取值范围为( ] { } 1,23,4 U . (Ⅲ)当 12 0 x x << 时,12 11a a x x +>+ , 22 12 11 log log a a x x æöæö +>+ ç÷ç÷ èøèø,所以 ( ) f x 在( ) 0,+¥ 上递减. 函数 ( ) f x 在区间[ ] ,1 t t + 上的最大值与最小值分别为 ( ) f t , ( ) 1 f t + .( ) ( ) 22 11 1log log 1 1 f t f t a a t t æöæö -+=+-+£ ç÷ç÷ + èøèø 即 ( ) 2 110 at a t ++-³ ,对任意 1 ,1 2 t éùÎ êú ëû成立. 因为 0 a > ,所以函数 ( ) 211 y at a t =++- 在区间 1 ,1 2 éùêú ëû上单调递增, 1 2 t = 时, y 有最小值 31 42a - ,由 31 0 42 a -³ ,得 2 3 a ³ ,故a 的取值范围为 2 ,3 éö +¥ ÷ ê ëø. 23.(本小题满分 18分)本题共有 3个小题,第 1 小题满分 4 分,第2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.若无穷数列{ } n a 满足:只要 p q a a = ( *, p q ÎN ),必有 11 p q a a ++ = ,则称{ }n a 具有性质P . (Ⅰ) 若{ } n a 具有性质P ,且 1245 1,2,3,2 a a a a ==== , 678 21 a a a ++= ,求 3 a ；(Ⅱ) 若无穷数列{ } n b 是等差数列,无穷数列{ }n c 是公比为正数的等比数列, 15 1 b c == , 51 81 b c == , n n n a b c =+ 判断{ }n a 是否具有性质P ,并说明理由； (Ⅲ) 设{ } n b 是无穷数列,已知 1 sin n n n a b a + =+ ( * n ÎN ).求证:“对任意 1 a ,{ }n a 都具有性质P ”的 充要条件为“{ }n b 是常数列”. 【解析】(Ⅰ)因为 52 a a = ,所以 63a a = , 74 3 a a == , 85 2 a a == ,于是 6783 32 a a a a ++=++ , 又因为 678 21 a a a ++= ,解得 3 16 a = ．(Ⅱ){ } n b 的公差为20,{ } n c 的公比为 1 3 ,所以 ( ) 12012019 n b n n =+-=- , 15 1 813 3 n n n c - - æö =×= ç÷ èø ．5 20193 n n n n a b c n - =+=-+ , 15 82 a a == ,但 2 48 a = ,6 3043a =, 26 a a ¹ ,所以{ } n a 不具有性质P . (Ⅲ)证充分性:当{ } n b 为常数列时, 11 sin n n a b a + =+ ,对任意给定的 1 a ,只要 p q a a = , 则由 11 sin sin p q b a b a +=+ ,必有 11 p q a a ++ = ,充分性得证.证必要性:用反证法证明.假设{ }n b 不是常数列,则存在 *k ÎN ,使得 12 k b b b b ==×××== ,而 1 k b b + ¹ ． 下面证明存在满足 1 sin n n n a b a + =+ 的{ } n a ,使得 121 k a a a + ==×××= ,但 21 k k a a ++ ¹ ．设 ( ) sin f x x x b =-- ,取 *m ÎN ,使得m b p > ,则 ( ) 0 f m m b p p =-> , ( ) 0 f m m b p p -=--< ,故存在c 使得 ( ) 0 f c = .取 1 a c = ,因为 1 sin n n a b a + =+ (1 n k ££ ),所以 21 sin a b c c a =+== , 依此类推,得 121 k a a a c + ==×××== ,但 2111 sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++ =+=+¹+ ,即 21 k k a a ++ ¹ . 所以{ }n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证． 综上,“对任意 1 a ,{ } n a 都具有性质P ”的充要条件为“{ }n b 是常数列”.。
2016年上海高考数学(理科)真题及解析word版本
2016年上海高考数学（理科）真题及解析word 版本一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C == 10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11a x y x b y +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=++=+∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
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2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d =4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=++=+∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧(1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则111113A O AB B π∠==∴111O A B 为正三角形∴111O A B S=∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π=∴3BC π=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
于是，菜 地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点， 点F 的坐标为(1,0)，如图(1) 求菜地内的分界线C 的方程(2) 菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83。
设M 是C 上纵坐标为的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并 判断哪一个更接近于1S 面积的经验值【解析】(1) 设分界线上任一点为(,)x y ，依题意1x +=可得1)y x =≤≤(2) 设00(,)M x y ，则01y =∴200144y x ==∴设所表述的矩形面积为3S ，则315(1)422S ⨯+==设五边形EMOGH 面积为4S ，则43512113111144224OMPMGQS S S S=-+=-⨯⨯+⨯⨯= 13851326S S -=-=, 411181143126S S -=-=< ∴五边形EOMGH 的面积更接近1S 的面积21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线过2F 且与双曲线交于,A B 两点(1) 若的倾斜角为2π，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程(2) 设b =，若的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求的斜率【解析】(1)由已知1(F , 2F取x =，得2y b =12F F =∵12F F =, 22F A b =∴2=即4222344(32)(2)0b b b b --=+-=∴b =∴渐近线方程为y =(2)若b =2213y x -= ∴1(2,0)F -, 2(2,0)F设11(,)A x y , 22(,)B x y ，则111(2,)F A x y =+, 122(2,)F B x y =+, 2121(,)AB x x y y =--∴111212(4,)F A F B x x y y +=+++222211212121()4()0F A F B AB x x x x y y +⋅=-+-+-= (*) ∵22221212133y y x x -=-=∴222221213()y y x x -=-∴代入(*)式，可得2221214()4()0x x x x -+-= 直线的斜率存在，故21x x ≠ ∴121x x +=-设直线为(2)y k x =-，代入2233x y -= 得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=∴230k -≠，且4222164(3)(43)36(1)0k k k k ∆=+-+=+>2122413k x x k +=-=--∴235k =∴k =∴直线的斜率为22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+(1) 当5a =时，解不等式()0f x >(2) 若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围(3) 设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值和最小值的差不超过，求a的取值范围【解析】(1)21log (5)0x +>151x ⇔+>410(41)0x x x x+⇔>⇔+> ∴不等式的解为{|0x x >或1}4x <-(2)依题意，221log ()log [(4)25]a a x a x+=-+-∴1(4)250a a x a x+=-+-> ① 可得2(4)(5)10a x a x -+--= 即(1)[(4)1]0x a x +--= ②当4a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立 当3a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立当3a ≠且4a ≠时，方程②的解为11,4x a =--若1x =-为方程①的解，则110a a x+=->，即1a >若14x a =-为方程①的解，则1240a a x+=->，即2a >要使得方程①有且仅有一个解，则12a <≤综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为12a <≤或3a =或4a = (3)()f x 在[,1]t t +上单调递减 依题意，()(1)1f t f t -+≤即2211log ()log ()11a a t t +-+≤+ ∴112()1a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++设1t r -=，则1[0,]2r ∈21(1)(1)(2)32t r rt t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032rr r =-+ 当102r <≤时，212323r r r r r=-++- ∵函数2y x x=+在递减∴219422r r +≥+=∴112293332r r ≤=+--∴a 的取值范围为23a ≥23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若无穷数列{}n a 满足：只要*(),p q a a p q ∈=N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . (1) 若{}n a 具有性质P . 且11a =, 22a =, 43a =, 52a =, 67821a a a ++=，求3a ； (2) 若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；(3) 设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+*()n ∈N ，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条 件为“{}n b 是常数列”. 【解析】(1) 252a a ==∴36a a = ∴473a a ==∴582a a ==∴6782116a a a =--= ∴316a =(2)设{}n b 的公差为d ，{}n c 的公差为q ，则0q > 51480b b d -== ∴20d =∴2019n b n =- 451181c q c == ∴13q =∴51()3n n c -=∴512019()3n n n n a b c n -=+=-+∵182a =, 582a =而2212748a =+=, 6130410133a =+=15a a =但62a a ≠故{}n a 不具有性质P(3) 充分性：若{}n b 为常数列，设n b C = 则1sin n n a C a +=+若存在,p q 使得p q a a =，则11sin sin p p q q a C a C a a ++=+=+=, 故{}n a 具有性质P必要性：若对任意1a ，{}n a 具有性质P 则211sin a b a =+设函数1()f x x b =-, ()sin g x x =由(),()f x g x 图像可得，对任意的1b ，二者图像必有一个交点∴一定能找到一个1a ，使得111sin a b a -= ∴2111sin a b a a =+= ∴1n n a a +=故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-= ∴{}n b 是常数列精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案。