知识点09 分式方程及其应用2018-2019领军中考数学(原卷版)

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2019中考数学知识点：分式方程

2019中考数学知识点：分式方程各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢5、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

6、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将”分式方程”转化为”整式方程”。

它的一般解法是：去分母，方程两边都乘以最简公分母解所得的整式方程验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

7、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

注意．方程的增根与遗根在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．8、常用的相等关系1．行程问题基本关系：s=vt⑴相遇问题：+=；⑵追及问题：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B 处追上甲，则⑶水中航行：；⑷配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂⑸．增长率问题：⑹．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间。

⑺．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

注意语言与解析式的互化如，”多”、”少”、”增加了”、”增加为”、”同时”、”扩大为”、”扩大了”、......又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如，x与y的差为3，则x-y=3。

㈤注意单位换算如，”小时”“分钟”的换算；s、v、t 单位的一致等。

列方程解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元。

①直接未知数②间接未知数。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

知识点09 分式方程及其应用2018-2019领军中考数学(解析版)

专题九分式方程及其应用瞄准中考一、选择题1. （2018黑龙江省龙东地区，16，3分）已知关于x 的分式方程211m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是（） A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2 C ．m ＜3 D ．m ＜3且m ≠2【答案】D【解析】解211m x -=+得x ＝m －3，∵方程的解是负数，∴m －3＜0，∴m ＜3，∵当x ＋1＝0即x ＝－1时方程有增根，∴m －3≠－1，即m≠2．∴m ＜3且m≠2．故选D ．2. (2018甘肃省兰州市,10,4分) 关于x 的分式方程112=++x ax 的解为负数,则a 的取值范围为 A. a >1 B .a <1 C .a <1且a ≠-2 D .a >1且a ≠2 【答案】D【解析】解分式方程得x=1-a,因为分式方程的解为负数,所以1-a<0,所以a>1,又x+1≠0,所以1-a≠-1,a≠2,故选D ｡3. （2018黑龙江绥化，8，3分）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x 件电子产品，可列方程为（） A ．30020030x x =+ B ．30020030x x =- C.30020030x x =+ D ．30020030x x =- 【答案】C.【解析】解：根据题意可得甲工人每小时搬运(x+30)件，根据甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同可列出方程30020030x x =+. 故选C.4. （2018湖南省怀化市，9，4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h ，它以最大航速沿江顺流航行100km 所用时间，与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等，设江水的流速为v km/h ，则可列方程为（） A ．30100+v ＝3080-v B ．v v +=-308030100 C ．v v -=+308030100 D ．308030100+=-v v【答案】C5. （2018贵州省毕节市，13，3分）某商厦进货员预测一种应季衬衫国畅销市场，就用10 000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22 000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x 元，则所列方程正确的是( ) A ．422000100002+=⨯x x B ．422000210000+⨯=x x C ．422000100002-=⨯x x D ．422000210000-⨯=x x【答案】A ．【思路分析】（1）根据公式“总价＝单价×数量” ，“所购数量是第一批购进量的2倍，单价贵了4元”列出分式方程，也可以根据3行4列的表格列出分式方程．【解题过程】解：由题意可列如下的表格：则422000100002+=⨯x x ，故选A ．考点（知识点）讲解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

专题03 分式方程及其应用-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题03 分式方程及其应用一、基础知识1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法:（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;（3）验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).二、本专题典型题考法及解析【例题1】解方程：2-x 12x 24-x x 2=++. 【例题2】遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为（）A ．36369201.5x x +-= B ．3636201.5x x-= C ．36936201.5x x +-= D ．36369201.5x x ++= 【例题3】某绿色食品有限公司准备购进A 和B 两种蔬菜，B 种蔬菜每吨的进价比A 中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A 种蔬菜的吨数与用6万元购进的B 种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：（1）求A ，B 两种蔬菜每吨的进价；（2）该公司计划用14万元同时购进A ，B 两种蔬菜，若A 种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B 种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W （万元）与购买A 种蔬菜的资金a （万元）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，要求A 种蔬菜的吨数不低于B 种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．三、分式方程问题训练题及其答案和解析1．解方程：．2．分式方程=1的解是（）A ．x=1B ．x=﹣1C ．x=3D ．x=﹣3 3.解方程：+=1；4．关于x 的分式方程﹣=0无解，则m= ． 5.2019年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？6．若关于x 的分式方程=2的解为非负数，则m 的取值范围是（）A ． m ＞﹣1B ． m ≥1C ． m ＞﹣1且m ≠1D ． m ≥﹣1且m ≠17．关于x 的方程x 2﹣4x+3=0与=有一个解相同，则a= ． 8．若关于x 的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（）A ．1，2，3B ．1，2C ．1，3D ．2，39. xx -=--13211 解上面给出的分式方程去分母得（）A.1-2（x-1）=-3B.1-2（x-1）=3C.1-2x-2=-3D.1-2x+2=310.解分式方程：2311x x x x +=--． 11．方程=1的解是．12．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x 个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A ．=B ． =C ． =D ． =13．济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．14.为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________.15．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同．设A 类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为（）A． B．C． D．16.在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（）A．11538x x=- B．11538x x=+ C．1853xx=- D．1853xx=+17.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？18．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？。

专题05 分式方程(原卷版)

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘【考点1】解分式方程【例1】（2019•上海）解方程： 1【变式1-1】（2019•宁夏）解方程：1．【变式1-2】（2019•广安）解分式方程：1．【考点2】已知分式方程的解，求字母参数的值【例2】（2019•株洲）关于x的分式方程解为x＝4，则常数a的值为（）A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10【变式2-1】（2019•张家界）若关于x的分式方程1的解为x＝2，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点3】分式方程的特殊解问题【例3】（2019•鸡西）已知关于x的分式方程1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3【变式3-1】（2019•荆州）已知关于x的分式方程2的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【变式3-2】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程3的解为非负数，则a的取值范围为．【考点4】分式方程的无解（增根）问题【例4】（2019•烟台）若关于x的分式方程1有增根，则m的值为．【变式4-1】（2019•巴中）若关于x的分式方程2m有增根，则m的值为．【考点5】分式方程的应用问题【例5】（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．【变式5-1】（2019•铁岭）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？【变式5-2】（2019•南通）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．1．（2019•海南）分式方程1的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣22．（2019•益阳）解分式方程3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3 B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3（2x﹣1）D．x+2＝3（2x﹣1）3．（2019•遂宁）关于x的方程1的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4 4．（2019•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．6．5．（2018•阿坝州）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣46．（2018•巴中）若分式方程有增根，则实数a的取值是（）A．0或2 B．4 C．8 D．4或87．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为．8．（2019•永州）方程的解为x＝．9．（2019•锦州）甲、乙两地相距1000km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用3h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为．10．（2019•铜仁市）分式方程的解为y＝．11．（2019•襄阳）定义：a*b，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．12．（2019•宿迁）关于x的分式方程1的解为正数，则a的取值范围是．13．（2018•齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为．14．（2019•随州）解关于x的分式方程：．15．（2019•朝阳）佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？16.（2019•西藏）列方程（组）解应用题绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树多少棵？17．（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．（1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？18．（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．19．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？20．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？。

专题09分式方程及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题09 分式方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、分式方程及其解法：1.分式方程：（1）定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；（2）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程。

2.解分式方程的一般方法：（1）解分式方程的基本思想：将“分式方程”转化为“整式方程”；（2）解分式方程的一般方法和步骤：一化，二解，三检验①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；（或交叉相乘）②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；③检验：将整式方程的解代入最简公分母；A.如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；B.若等于0，就是增根，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。

3.增根：使分式方程的最简公分母为0的根；（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了；（2）分式方程的增根与无解的区别：①分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；②分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根。

3.分式方程的特殊解法——换元法：（1）概念：就是引进新的变量，把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系；（2）适用条件：有相同的部分；例如：解方程0615)1(2=++++x x x x ；可设1+=x xt 【例题1】下列各式中为分式方程的是( ) A.1x x+ B.C. D. 【答案】B【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． A.1x x +不是方程，故本选项错误；B.方程11123x x =+-的分母中含未知数x ，所以它是分式方程．故本选项正确； C.方程253x +=分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；D.方程10x π+=的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；故选B 。

【变式练习1】(2020•呼和浩特)分式22x x -与282x x-的最简公分母是，方程228122x x x x-=--的解是．【答案】最简公分母是x(x-2)；方程的解为：x=-4。

2019年数学中考真题知识点汇编09--分式方程及其应用(含解析)

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】一、选择题6．（2019·苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本．设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（）A ．15243x x =+ B ．15243x x =- C ．15243x x =+ D ．15243x x=- 【答案】A【解析】“小明5．（2019·株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以x(x-3)得， 2（x-3)-5x=0,解得，x=-2，所以答案为B 。

4．（2019·益阳）解分式方程321212=-+-xx x 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（） A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 【答案】C【解析】两边同时乘以（2x-1），得x-2=3(2x-1) .故选C.1. （2019·济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 【答案】A【解析】由题意知：设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 兆数据，4G 传输500兆数据用的时间是500x ，5G 传输500兆数据用的时间是50010x，5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=．2. （2019·淄博）解分式方程11222x x x-=---时，去分母变形正确的是（） A .112(2)x x -+=--- B .112(2)x x -=--C .112(2)x x -+=+-D .112(2)x x -=---【答案】D .【解析】方程两边同乘以x －2，得112(2)x x -=---，故选D .二、填空题 11．（2019·江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的班马线路段A-B-C 横穿双向行驶车道，其中AB ＝BC ＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度.设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得： .【答案】112.166=+xx 【解析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，则通过BC 的速度是通1.2x 米/秒，根据题意列方程得112.166=+xx .1. （2019·岳阳）分式方程121x x =+的解为x = . 【答案】1【解析】去分母，得：x +1=2x ，解得x =1，经检验x =1是原方程的解．2. （2019·滨州）方程+1＝的解是____________．【答案】x=1【解析】去分母，得x －3+x －2=－3，解得x=1．当x=1时，x －2=－1，所以x=1是分式方程的解．3. (2019·巴中)若关于x 的分式方程2222xmm x x有增根,则m 的值为________.【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得:x －2m ＝2m(x －2),若原分式方程有增根,则x ＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m ＝2m(2－2),解之得,m ＝1.4. （2019·凉山）方程1121122=-+--xx x 解是 . 【答案】x =-2【解析】原方程可化为1)1)(1(2112=-+---x x x x ，去分母得（2x -1）(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2，经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x =-2.故答案为x =-2.11．（2019·淮安）方程121=+x 的解是 . 【答案】-1【解析】两边同时乘以（x+2），得x+2=1，解得x=-1.5. （2019·重庆B 卷）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的34 和83.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是【答案】1819【解析】设第一车间每天生产的产品数量为12m ，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m 、32m; 设甲、乙两组检验员的人数分别为x ，y 人；检查前每个车间原有成品为n.∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完 ∴每个甲检验员的速度=1212126m m m n n nx6（）+++++∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完∴每个乙检验员的速度=1292m m n ny2（）+++∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品∴每个乙检验员的速度=324m ny6⨯+∵每个检验员的检验速度一样∴1212122(129)632624m m m n n n m m n n m nx y y 6（）++++++++⨯+==∴1819x y =.三、解答题19．（2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n ﹣3）2＝0．【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷•＝••＝﹣．∵+（n ﹣3）2＝0．∴m +1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣＝﹣＝．∴原式的值为．18.（2019·遂宁）先化简，再求值ba a ab a b a b ab a +--÷-+-2222222 ，其中a,b 满足01)22=++-b a （解：b a a b a a b a b a b a +--÷-+-=2)())(2）（（原式=b a b a b a b a +--⨯+-21=b a +-1∵01)22=++-b a （∴a=2,b=-1,∴原式=-117．(2)(2019·泰州,17题,8分)【解题过程】去分母:2x －5+3(x －2)＝3x －3,去括号:2x －5+3x －6＝3x －3,移项,合并:2x ＝8,系数化为1:x ＝4,经检验,x ＝4是原分式方程的解.21．（2019山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（－）÷，其中x 是不等式组的整数解．【解题过程】解：原式＝[－]•＝•＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤x ＜3，…………………………………………………………7分则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分当x=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分当x ＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分17. （2）（2019·温州）224133x x x x x+-++．【解题过程】原式=24-13x x x ++=233x x x ++=3(3)x x x ++=1x .19．（2019山东威海，19，7）列方程解应用题小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1200米，300米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度. 【解题过程】设小明的速度为x 米/分钟，则小刚的速度为3x 米/分钟，根据题意，得，解得x ＝50经检验，得x ＝50是分式方程的解，所以，3x ＝150.答：小明和小刚两人的速度分别是50x 米/分钟，小刚的速度为150米/分钟. 20．（2019山东省青岛市，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天. （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲加工了多少天？【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x=+ 化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x = 1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①② 由①得75 1.5y x =-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +- 解得40x ，答：甲至少加工了40天． 24．（2019·衡阳）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等. （1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需多少元：（2）商店准备购买A 、B 两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？1000300043x x-=解：（1）设买一个B 商品为x 元，则买一个A 商品为(x +10)元，则30010010x x=+，解得x ＝5元．所以买一个A 商品为需要15元，买一个B 商品需要5元．（2）设买A 商品为y 个，则买B 商品（80－y ）由题意得4(80)1000155(80)1050y y y y ≥-⎧⎨≤+-≤⎩，解得64≤y ≤65；所以两种方案：①买A 商品64个，B 商品16个；②买A 商品65个，B 商品15个．20．（2019·黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作.行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达.分别求九（l ）班、其他班步行的平均速度. 【解题过程】1. （2019·自贡)解方程：xx−1−2x =1. 解：方程两边乘以x (x -1)得， x 2-2(x -1)=x (x -1) 解得，x =2.检验：当x =2时，x (x -1)≠0， ∴x =2是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x =2.2. （2019·眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm 2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm 2，根据题意，得：60060062x x-=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，∴2x=100. 答：甲队每天能完成的绿化面积为100m 2，乙队每天能完成的绿化面积为50m 2.（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则a=722b-=1362b -+，根据题意，得：1.2×722b-+0.5b ≤40，解得：b ≥32.答：至少应安排乙工程队绿化32天.3. （2019·乐山）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1+x x，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.解：根据题意得：21=+x x，去分母，得)1(2+=x x ，去括号，得22+=x x ，解得2-=x经检验，2-=x 是原方程的解.4. （2019·达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子，节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？解：设粽子的标价是x 元，则节后价格为0.6x, 根据题意得：276.07296=+x x ,57.6+72=16.2x,x=8,经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意. 答：这种粽子的标价是8元.5. (2019·巴中)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. ①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?解：(1)设甲物品x 元,则乙物品单价为(x －10)元,根据题意得:50045010x x ,解之,得x ＝100,经检验,x ＝100是原分式方程的解,所以x －10＝90,答:甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案.6.(2019·泰安)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍. (1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子最多能购进多少个?BA解：(1)设B 种粽子单价为x 元,则A 种粽子单价为1.2x 元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500150011001.2x x+=,解之,得x ＝2.5,经检验,x ＝2.5是原分式方程的解,∴1.2x ＝3,答:A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得:3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得:y ≤1000,∴y 的最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个.7. （2019·无锡）解方程：（2）1421+=-x x .解：去分母得x +1=4（x -2），解得 x =3，经检验 x = 3是方程的解.。

中考数学知识点：分式方程及其应用

中考数学知识点：分式方程及其应用
分式方程及其应用
中考考点要求：
1、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。

2、了解分式方程增根的定义。

3、能够根据具体问题中的数量关系列出分式方程，解决简单的实际问题。

考点一、分式方程及解法：
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程，即分式方程去分母→转化→整式方程
3、解分式方程的一般步骤
(1)方程两边同乘以最简公分母，转化成整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根。

2018年中考数学试题分类汇编知识点09 分式方程及其应用

知识点09 分式方程及其应用一、选择题1. （2018四川省成都市，8，3）分式方程1xx+＋12x-＝1的解是（）A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3 【答案】A【解题过程】解：1xx+＋12x-＝1，去分母（x－2）（x＋1）＋x＝x（x－2），解得x＝1，检验：把x＝1代入x（x－2）≠0，∴x＝1是原方程的解．故选择A．【知识点】分式方程；分式方程的解法2.（2018·重庆B卷，12，4）若数a使关于x的不等式组111(1)3223(1)x xx a x⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程312122y ay y++=--有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．－10 B．－12 C．－16 D．－18 【答案】B．【解析】解不等式组，得－3≤x ≤35a +，由该不等式组有且仅有三个整数解，得－1≤35a +＜0，从而－8≤a ＜－3．解方程312122y a y y ++=--，得y ＝2a＋5．又∵y ≠2，即2a＋5≠2， ∴a ≠－6．又∵y 为整数，∴满足条件的整数a 为－8和－4，其和为－12．故选B ．【知识点】一元一次不等式组的解法分式方程的解法万千克，为了满足市万千克，种万千克，根据题意，列【答案】A.【解析】解：设原来平均每亩产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为3036101.5x x-=，故选A. 【知识点】分式方程的应用、根据实际问题列分式方程4. （2018山东临沂，10，3分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元.今年1－5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%.今年1－5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1－5月份每辆车的销售价格为x 万元根据题意.列方程正确的是( )A ．()5000120%50001x x -=+ B ．()50001+20%50001x x =+ C .()5000120%50001x x -=- D ．()50001+20%50001x x=- 【答案】A【解析】去年一整年的销售数量用代数式1x +5000辆表示，今年1－5月份的销售数量用代数式x-%)2015000（⨯辆表示，根据相等关系“今年1－5月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程1x +5000=x-%)2015000（⨯，故选A.【知识点】分式方程应用题5. （2018山东省淄博市，10，4分）“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%.结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（A ）606030(125%)x x -=+ （B ） 606030(125%)x x -=+ （C ）60(125%)6030x x ⨯+-= （D ）6060(125%)30x x⨯+-=【答案】C【思路分析】设的未知量为工作效率，已知的是工作总量，因此用工作效率和工作总量表示出时间，利用时间做等量关系列方程求解.【解题过程】实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划为125%x+，从而可得原计划时间为()60125%x ⨯+，实际时间为60x ，再根据提前30天完成任务可列方程为60(125%)6030x x⨯+-=，故选C.【知识点】分式方程的应用1. （2018湖南益阳，9，4分）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（） A ．40×1．25x －40x =800B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x-= D ．800800401.25x x-= 【答案】C【思路分析】设小俊的速度是x 米/秒，则小进的速度为1.25x ，分别列出两人所用的时间，根据“小进比小俊少用了40秒”列方程即可．【解析】解：设小俊的速度是x 米/秒，则小进的速度为1.25x ，小俊所用时间为800x ，小进所用时间为8001.25x，所列方程为800800401.25x x-=，故选择C ．【知识点】分式方程的应用2. （2018山东德州，8，3分）） A ．1x = B ．2x = C.【答案】D【解析】去分母，得()()(2)123x x x x +--+=，所以1x =，此时()()120x x -+=，所以原方程无解. 故选D.【知识点】解分式方程3. （2018广东广州，13，3分）方程146x x =+的解是_______．【答案】x=2【解析】方程两边同乘以x (x ＋6)，得x ＋6＝4x ，解得，x ＝2．检验：当 x ＝2时，x (x ＋6)≠0，所以x ＝2是原方程的解．【知识点】分式方程的解法4. （2018湖北荆州，T5，F3）解分式方程14322x x-=--时，去分母可得（） A.()132 4x --= B.()1324x --=- C. ()1324x ---=- D.()1324x --= 【答案】B【解析】解：原方程为x x -=--24321，即24321--=--x x 两边同时乘以(x －2)，得1－3（x -2）=-4，故选择B ．【知识点】分式方程5. （2018 湖南张家界，2，3分）若关于x 的分式方程113=--x m 的解为2=x ，则m 的值为( ) A 5 B 4 C 3 D 2【答案】C【解析】解：∵关于x 的分式方程113=--x m 的解为2=x ， ∴2=x 满足关于x 的分式方程113=--x m . ∴1123=--m ，解得m=3. 故答案是3.【知识点】分式方程的解.二、填空题1. （2018江苏无锡，13，3分）方程31x xx x-=+的解是 .【答案】32 x=-【解析】两边同时乘以x（x+1），得()()231x x x-+=，即-2x-3=0，解得32x=-.检验：当32x=-时，x（x+1）=33313(1)()022224-⨯-+=-⨯-=≠，∴32x=-是原方程的解.【知识点】可化为一元一次方程的分式方程解法2. （2018山东潍坊，14，3分）会出现增根．【答案】2【解析】方程两边同乘以(x－3),得：x－5=－mx=5－m若方程会产生增根，则增根为x=3,所以5－m=3.解得m=2.【知识点】分式方程3. （2018四川省达州市，13，3分）若关于x 的分式方程3233x a a x x+=--无解，则a 的值为___________．【答案】1．【解析】去分母将分式方程转化为整式方程，由分式方程无解，得到x ＝3，代入整式方程求出a 的值即可．注意：要考虑分母不为0．解：去分母得：x －3a =2a （x －3），由分式方程无解，得到x ＝3，把x ＝3代入整式方程得：3－3a =2a （3－3），解得：a =1．故答案为：1．【知识点】分式方程的解1. （2018四川遂宁，14，5分）A ，B 两市相距200千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地，若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程．【答案】2115200200=+-x x 【解析】解：根据题意可得甲车的速度为(x+15)千米/小时，根据甲车比乙车早半小时到达目的地，可列出方程2115200200=+-x x . 故答案为2115200200=+-x x . 【知识点】分式方程的应用2. （2018湖南省湘潭市，11，3分）分式方程34xx + =1的解为_______. 【答案】x=2【解析】去分母得：3x=x+4，解得x=2，经检验x=2是原分式方程的解，故方程的解为x=2. 【知识点】分式方程的解法3. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，14，5）某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支，则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是元．【答案】4．【解析】设第一次购进的铅笔每支进价为x 元，则第二次购进的铅笔每支进价为54x 元，根据题意，得6006003054x x =+，解得x ＝4，并经检验x ＝4是原方程的解且符合题意，因此答案为4．【知识点】分式方程的应用4. （2018江苏省宿迁市，15，3）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵树是．【答案】120【解析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树2x 棵．根据题意列方程为：＝4．解得x ＝120．故填120．【知识点】分式方程三、解答题1. （2018四川泸州，21题，7分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本. (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?【思路分析】（1）根据甲乙图书价格和数量的等量关系可列分式方程；（2）设出乙图书的数量，根据费用的要求，列出不等式，进一步进行求解【解题过程】（1）设乙图书每本价格为x 元，则甲图书每本价格为2.5x 元，根据题意得245.2800800=-xx ，解得，x=20，经检验得，x=20是原分式方程的解，2.5x=50，因此，甲乙两种图书每本价格分别为50元、20元。

中考数学一轮复习课件分式方程及其应用

（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找共享单车共用了5 min，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：小张跑步到家所需时间为2 520÷210＝12（min），小张骑车所用时间为12－4＝8（min），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（min）.∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.
答：甲每小时做零件45个，乙每小时做零件60个.
A.1＋3＝3x（1－x）
B.1＋3（x－1）＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3（x－1）＝3x
B
巩固训练
A.x＝－2
B.x＝2
C.x＝－4
D.x＝4
3.（2023·遵义模拟）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物，且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x t货物，则所列方程正确的是（ B ）
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解.
【自主解答】
答：小琪步行的速度为3 km/h.
【夺分宝典】
【对点训练】
1.某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
【自主解答】
解得a＝100.经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意.
答：足球的单价为100元.
（3）小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度.

2019年中考备战数学专题复习精品资料第九讲《分式方程》(含详细参考答案和教师用书)

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！2019年中考备战数学专题复习精品资料第二章方程与不等式第九讲分式方程★★★核心知识回顾★★★知识点一、分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。

（2）解分式方程的一般步骤：第二步：解整式方程；00a x a a ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩①分式方程的分母不为，则是分式方程的解；即：分式方程整式方程②分式方程的分母为，则不是分式方程去分母解整式方程。

检验的解（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。

知识点三、分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。

★★★中考典例剖析★★★考点一：分式方程的解A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得A．5 B．4 C．3 D．2考点三：由分式方程解的情况求参数的值或取值范围A．-10 B．-12 C．-16 D．-18【思路分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2考点四、由实际问题抽象出分式方程例5 （2018•昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．18012066x x=+-B．18012066x x=-+C．1801206x x=+D．1801206x x=-A ．0051x x -=- B ．1005x x-=- C ．9100000100005x x --= D ．1000900050010x x =-- 考点五：分式方程的应用例6 （2018•云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方【跟踪训练】6．（2018•包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量★★★真题达标演练★★★一、选择题A．-1 B．2 C．4 D．A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=4A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3A．0或2 B．4 C．8 D．4或8A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠-2 D．a＞1且a≠2 6．（2018•临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（）A．500050(0010%)21x x-=+B．500050(0010%)21x x+=+C．500050(0010%)21x x-=-D．500050(0010%)21x x+=-A．-3 B．-2 C．1 D．2A．-6 B．-1 C．-3 D．-4 二、填空题三、解答题♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！2019年中考备战数学专题复习精品资料第二章方程与不等式第九讲分式方程★★★核心知识回顾★★★知识点一、分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是去分母把分式方程转化为整式方程。

中考数学三轮真题集训冲刺知识点09分式方程及其应用pdf含解析

一、选择题1．（2019·苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本．设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（）A ．15243x x =+ B ．15243x x =− C ．15243x x =+ D ．15243x x =− 【答案】A【解析】2．（2019·株洲）关于x 的分式方程250x −x −3=的解为（） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以x(x-3)得，2（x-3)-5x=0,解得，x=-2，所以答案为B 。

3．（2019·益阳）解分式方程312212=−+−xx x时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1)【答案】C【解析】两边同时乘以（2x-1），得x-2=3(2x-1) .故选C.4. （2019·济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A ．5005004510x x −= B ．5005004510x x −= C ．500050045x x−= D ．500500045x x −= 【答案】A【解析】由题意知：设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 兆数据，4G 传输500兆数据用的时间是500x ，5G 传输500兆数据用的时间是50010x，5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x−=．5. （2019·淄博）解分式方程11222x x x−=−−−时，去分母变形正确的是（） A .112(2)x x −+=−−− B .112(2)x x −=−−知识点09——分式方程及其应用C .112(2)x x −+=+−D .112(2)x x −=−−−【答案】D .【解析】方程两边同乘以x －2，得112(2)x x −=−−−，故选D .二、填空题1．（2019·江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的班马线路段A-B-C 横穿双向行驶车道，其中AB ＝BC ＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度.设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得： .【答案】112.166=+xx 【解析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，则通过BC 的速度是通1.2x 米/秒，根据题意列方程得112.166=+xx .2. （2019·岳阳）分式方程121x x =+的解为x = . 【答案】1【解析】去分母，得：x +1=2x ，解得x =1，经检验x =1是原方程的解．3. （2019·滨州）方程+1＝的解是____________．【答案】x=1【解析】去分母，得x －3+x －2=－3，解得x=1．当x=1时，x －2=－1，所以x=1是分式方程的解．4. (2019·巴中)若关于x 的分式方程222x mm x x+=--有增根,则m 的值为________. 【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得:x －2m ＝2m(x －2),若原分式方程有增根,则x ＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m ＝2m(2－2),解之得,m ＝1.5. （2019·凉山）方程1121122=−+−−xx x 解是 . 【答案】x =-2【解析】原方程可化为1)1)(1(2112=−+−−−x x x x ，去分母得（2x -1）(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2，经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x =-2.故答案为x =-2.6．（2019·淮安）方程121=+x 的解是 . 【答案】-1【解析】两边同时乘以（x+2），得x+2=1，解得x=-1.7. （2019·重庆B 卷）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的43 和83 .甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是（）【答案】1819【解析】设第一车间每天生产的产品数量为12m ，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m 、32m; 设甲、乙两组检验员的人数分别为x ，y 人；检查前每个车间原有成品为n.∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完 ∴每个甲检验员的速度=1212126m m m n n nx6（）+++++∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完∴每个乙检验员的速度=1292m m n ny2（）+++∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品∴每个乙检验员的速度=324m ny6×+∵每个检验员的检验速度一样∴1212122(129)632624m m m n n n m m n n m n x y y 6（）++++++++×+==∴1819x y =三、解答题1．（2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）（•++2），其中+（n ﹣3）2＝0．【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷•＝••＝﹣．∵+（n ﹣3）2＝0．∴m +1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣＝﹣＝．∴原式的值为．2.（2019·遂宁）先化简，再求值ba a ab a b a b ab a +−−÷−+−2222222 ，其中a,b 满足01)22=++−b a （解：b a a b a a b a b a b a +−−÷−+−=2)())(2）（（原式=b a b a b a b a +−−×+−21=b a +−1 ∵01)22=++−b a （∴a=2,b=-1,∴原式=-13．(2)(2019·泰州,17题,8分)解方程2x x −−25+3=3x x −−23【解题过程】去分母:2x －5+3(x －2)＝3x －3,去括号:2x －5+3x －6＝3x －3,移项,合并:2x ＝8,系数化为1:x＝4,经检验,x ＝4是原分式方程的解.4．（2019山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（－）÷，其中x 是不等式组的整数解．【解题过程】解：原式＝[－]•＝•＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤x ＜3，…………………………………………………………7分则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分当x=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分当x ＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分5. （2）（2019·温州）241233x x x x x+−++．【解题过程】原式=24-13x x x ++=233x x x ++=3(3)x x x ++=1x .6．（2019山东威海，19，7）列方程解应用题小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1200米，300米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度.【解题过程】设小明的速度为x 米/分钟，则小刚的速度为3x 米/分钟，根据题意，得，解得x ＝50经检验，得x ＝50是分式方程的解，所以，3x ＝150.答：小明和小刚两人的速度分别是50x 米/分钟，小刚的速度为150米/分钟. 7．（2019山东省青岛市，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天.（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲加工了多少天？【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x =+化简得600 1.56005 1.5x ×=+×解得40x = 1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．1000300043x x−=（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=+①②… 由①得y =75−1.5x ③将③代入②得150x +120(75−1.5x )…7800解得x …40，答：甲至少加工了40天．8．（2019·衡阳）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等.（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需多少元：（2）商店准备购买A 、B 两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？解：（1）设买一个B 商品为x 元，则买一个A 商品为(x +10)元，则30010010x x=+，解得x ＝5元．所以买一个A 商品为需要15元，买一个B 商品需要5元．（2）设买A 商品为y 个，则买B 商品（80－y ）由题意得4(80)1000155(80)1050y y y y ≥−≤+−≤ ，解得64≤y ≤65；所以两种方案：①买A 商品64个，B 商品16个；②买A 商品65个，B 商品15个．9．（2019·黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作.行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达.分别求九（l ）班、其他班步行的平均速度.【解题过程】10. （2019·自贡)解方程：xxxx−1−2xx=1.解：方程两边乘以x (x -1)得， x 2-2(x -1)=x (x -1) 解得，x =2.检验：当x =2时，x (x -1)≠0，∴x =2是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x =2.11. （2019·眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm 2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm 2，根据题意，得：60060062x x−=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，∴2x=100. 答：甲队每天能完成的绿化面积为100m 2，乙队每天能完成的绿化面积为50m 2.（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则a=722b −=1362b −+，根据题意，得：1.2×722b −+0.5b ≤40，解得：b ≥32.答：至少应安排乙工程队绿化32天.12. （2019·乐山）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为−2，1+x x，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.解：根据题意得：21=+x x，去分母，得)1(2+=x x ，去括号，得22+=x x ，解得2−=x经检验，2−=x 是原方程的解.13. （2019·达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子，节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？解：设粽子的标价是x 元，则节后价格为0.6x,根据题意得：270.67296=+x x ,-2BA57.6+72=16.2x, x=8,经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意. 答：这种粽子的标价是8元.14. (2019·巴中)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同.①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?解：(1)设甲物品x 元,则乙物品单价为(x －10)元,根据题意得:50045010x x =-,解之,得x ＝100,经检验,x ＝100是原分式方程的解,所以x －10＝90,答:甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案.15.(2019·泰安)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.(1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子最多能购进多少个?解：(1)设B 种粽子单价为x 元,则A 种粽子单价为1.2x 元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500150011001.2x x+=,解之,得x ＝2.5,经检验,x ＝2.5是原分式方程的解,∴1.2x ＝3,答:A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得:3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得:y ≤1000,∴y 的最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个.16. （2019·无锡）解方程：（2）1421+=−x x .解：去分母得x +1=4（x -2），解得 x =3，经检验 x = 3是方程的解.。

第7讲分式方程及其应用 2019各省市中考数学优选知识点题型汇编

第7讲分式方程及其应用一、考点知识梳理【考点1 分式方程的概念及解分式方程】1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．解法步骤：(1)去分母：将方程两边都乘以最简公分母，把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；3．检验方法：(1)利用方程的解的概念进行检验；(2)将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；(3)增根：当分母的值为0时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根．【考点2 分式方程的应用】列分式方程解应用题的六个步骤：(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：双检验．①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；(6)答：写出答案．二、考点分析【考点1 分式方程的概念及解分式方程】【解题技巧】找最简公分母的方法：(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．【例1】（2019•哈尔滨）方程＝的解为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【答案】C．【分析】将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解；【解答】解：＝，，∴2x＝9x﹣3，∴x＝；将检验x＝是方程的根，∴方程的解为x＝；故选：x＝﹣1【一领三通1-1】（2019 湖北黄石中考）分式方程：﹣＝1的解为．【答案】C．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0，解得：x＝4或x＝﹣1，经检验x＝4是增根，分式方程的解为x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1【一领三通1-2】（2019 河北中考）已知方程1x－1＝1的解是k，求关于x的方程x2＋kx＝0的解．【分析】先解方程，然后将x=k代入，即得.【解答】由1x－1＝1，解得x＝2，经检验x＝2是原方程的解，∴k＝2，∴x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝－2.【一领三通1-3】（2019 云南中考）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．【分析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x 千米/小时，由时间关系“甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地”列出方程，解方程即可．【解答】解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时，由题意得：，解得：x＝60，经检验，x＝60是所列方程的解，则1.5x＝90，答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时．【一领三通1-4】（2019•广西）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？【分析】（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，即可求解；（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b＝2：1，即可求解；（3）如果没有折扣，W＝，分别求出a与b即可求解．【解答】解：（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，解得x＝15，经检验x＝15时方程的解，∴每袋小红旗为15+5＝20元；答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b＝2：1，解得b ＝a ，答：购买小红旗a 袋恰好配套；（3）如果没有折扣，则W ＝15a +20×a ＝40a ，依题意得40a ≤800，解得a ≤20，当a ＞20时，则W ＝800+0.8（40a ﹣800）＝32a +160，即W ＝，国旗贴纸需要：1200×2＝2400张，小红旗需要：1200×1＝1200面，则a ＝＝48袋，b ＝＝60袋，总费用W ＝32×48+160＝1696元．【考点2 分式方程的应用】【解题技巧】（一）常见关系：分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．如：工作时间＝__工作量工作效率__，时间＝__路程速度__．（二）列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．【例2】（2019•济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A 种图书花费了3000元，购买B 种图书花费了1600元，A 种图书的单价是B 种图书的1.5倍，购买A 种图书的数量比B 种图书多20本．（1）求A 和B 两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A 种图书20本和B 种图书25本，共花费多少元？【分析】（1）设B 种图书的单价为x 元，则A 种图书的单价为1.5x 元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买的A 种图书比花1600元购买的B 种图书多20本，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝20，经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝30．答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．答：共花费880元．【一领三通2-1】（2019【答案】2.【分析】按照解分式方程的步骤解方程即可.【解答】去分母得：3x-3-x-1=0，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2.【一领三通2-2】（2019 辽宁大连中考模拟）使得关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解的所有整数a的和为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣6【答案】A．【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可．【解答】解：+＝﹣2，去分母得：1﹣ax+3＝﹣2（x﹣4），4﹣ax＝﹣2x+8，（a﹣2）x＝﹣4，x＝﹣＞0，且a≠2，x≠4，∴a＜2，不等式组整理得：，由不等式组有解，得到0＜x≤a+3，∴a+3＞0，a＞﹣3，∴﹣3＜a＜2，当a＝﹣2时，x＝1；当a＝0时，x＝2；当a＝1时，x＝4，不符合题意；则满足题意a的值之和为﹣2+0＝﹣2，故选：A．【一领三通2-3】（2019•威海）列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：﹣4＝，解得：x＝50，经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．三、【达标测试】（一）选择题1.（2019 河北衡水中考模拟）关于x的方程有增根，则m的值（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】C．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．【解答】解：去分母得：2x2﹣mx+m﹣1＝0，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或2x﹣1＝0，即x＝1或x＝，把x＝1代入整式方程，不合题意，把x＝代入整式方程，可得m＝1，故选：C．2.（2019 辽宁锦州中考模拟）如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B．【分析】表示出不等式组的解集，确定出m的范围，根据分式方程有非负整数解确定出m的值，即可得到符合条件的m的所有值的和．【解答】解：解不等式组，可得，∵该不等式组的解集为x＜1，∴m≥1，解关于x的分式方程+＝3，可得x＝，∵该分式方程有非负整数解，∴≥0，且≠1，∴m≤5，m≠3，∵当m＝5或1时，是非负整数，∴符合条件的m的所有值的和是6，故选：B．3.（2019 黑龙江五常中考模拟）小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度骑车慢50%．如果他骑车从A 城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要（）分钟．A．45 B．48 C．56 D．60【答案】B．【分析】此题可设骑车速度为x，则跑步速度为（1﹣50%）x，步行的速度为（1﹣50%）（1﹣50%）x，根据骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时列出分式方程解答即可．【解答】解：设骑车速度为x，则跑步的速度为（1﹣50%）x，步行的速度为（1﹣50%）（1﹣50%）x，根据题意列方程得+，解得x＝，跑步的速度为，小王跑步从A城到B城需要1÷＝小时＝48分钟．故选：B．4.（2019 山东淄博中考模拟）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟．在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟．问：在无风的时候，他跑100米要用（）秒．A．12.5 B．10 C．D．【答案】A．【分析】设无风时的速度是x，风速是y，根据顺风跑90米用了10秒钟．在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟可列出方程求解．【解答】解：设无风时的速度是x米/秒，风速是y米/秒，＝，x＝8y．又∵＝10＝10∴y＝1，∴x＝8．100÷8＝12.5（秒）．跑100米用的时间是12.5秒．故选：A．5.（2019 河南郑州中考模拟）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1【答案】B．【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版权所有【分析】如果设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v，AB两地相距s，那么根据时间＝路程÷速度，可知骑摩托车者从B地直接驶往A地原计划所用时间为，而实际他在途中所用的时间可看作三段时间的和．当他骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去，与步行者在途中相遇用去时间；他把步行者送到B 地又用去时间；他再向A地驶去又用去时间，这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍，即，根据这个等量关系列出方程，求出v的值即可．【解答】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v，AB两地相距s．由题意，有+＝，∴＝，解得v＝3，∴v：1＝3：1．即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是3：1．故选：B．6.（2019 河北唐山中考模拟）一轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间的和等于逆流航行80千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（）A．9：1 B．5：4 C．4：1 D．5：1【答案】B．【分析】本题的等量关系为：顺流100千米的时间+逆流64千米的时间＝顺流80千米的时间+逆流80千米的时间．【解答】解：可直接设船在静水中的速度与水流速度之比为x，由于静水中的速度和水流速度都是未知数，可设水流速度为1，则静水速度就为x．则．解得x＝9．所以船在静水中的速度与水流速度之比为9：1．经检验x ＝9是方程的根，故选A ．7.(2008,山西省太原市)帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．该校第二次捐款（）人．A ．240B ．220C ．200D ．180 【答案】C ．【分析】根据两次人均捐款额相等列方程求解,设第二次捐款人数为x 人,则第一次捐款人数为(x-50)人,两次人均捐款分别为9000x-50元、12000x元. 【解答】解:设第二次捐款的人数为x 人,则第一次捐款人数为(x-50)人,依题意,得9000x-50=12000x,解得x=200, 经检验,x=200是原方程的解,且符合题意.故选C ．8. （2018，四川成都模拟）今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是（）元？A ．10B ．15C ．20D ．25 【答案】A ．【分析】设今年1月份的一级猪肉每斤x 元,则5月份一级猪肉的价格为1.25x 元/斤,那么20元分别购进5月份,1月份的猪肉斤数为201.25x 斤、20x斤,然后根据20元钱在5月份购一级猪肉比1月份购进的一级猪肉少0.4斤,列方程即可求解.【解答】设今年1月份的一级猪肉每斤x 元,则5月份的一级猪肉每斤1.25x 元,依题意,得20x =201.25x+0.4,解得x=10元. 故选A ．（二）填空题1. （2019 湖北孝感中考）方程＝的解为．【答案】x ＝1．【分析】观察可得方程最简公分母为2x （x +3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：两边同时乘2x（x+3），得x+3＝4x，解得x＝1．经检验x＝1是原分式方程的根．故答案是x＝1：2.（2019 辽宁沈阳中考模拟）已知：，则（y﹣x）的值是．【答案】4．【分析】先将原分式方程，化为一个二元一次方程组，解出可求出x、y的值，进一步代入原代数式即可求解．【解答】解：∵，∴，则有；方程组可化为：，解得．经检验：是原方程的解．∴（y﹣x）＝4．故答案为：4．3.（2019 山东东营中考模拟）①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝；②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝．【答案】①a＝3．②k＝﹣1．【分析】①中有两个未知数，但x的值是已知的，只需把x的值代入即可．②增根是由整式方程解出的不适合分式方程的根，所以要把x＝1代入化为整式方程的方程来求解．【解答】解：①把x＝3代入原方程，得，解得a＝3，经检验，a＝3是分式方程的解．②方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），把x＝1代入得，k＝﹣1．4.（2019 山东烟台中考模拟）当时，分式的值为1．【答案】x＝﹣2【分析】本题考查解分式方程的能力，根据题意可列方程为：＝1，去分母，化为整式方程求解．【解答】解：根据题意可列方程为：＝1，去分母，得x2﹣1＝x2+x+1．解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是方程的解．5.（2019 河北张家口中考模拟）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣6且m≠﹣3．【分析】先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且x﹣3≠0即可求得m的范围．【解答】解：去分母，得x﹣2（x﹣3）＝﹣m，解得：x＝m+6，根据题意得：m+6﹣3≠0且m+6＞0，解得：m＞﹣6且m≠﹣3．故答案是：m＞﹣6且m≠﹣3．6.（2019 河北沧州中考模拟）已知关于x的分式方程＝2+无解，则k的值为．【答案】4．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣4＝0求出x的值，代入整式方程求出k 的值即可．【解答】解：分式方程去分母得：x＝2x﹣8+k，即x＝8﹣k，由分式方程无解得到x﹣4＝0，即x＝4，代入整式方程得：4＝8﹣k，解得：k＝4，故答案为：4．7.（2019 福建福州中考模拟）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后来客户要求提前5天交货，为保证按时完成任务，则每天应多做件．【答案】24．【分析】设每天应多做x件．根据实际所用的时间比原计划所用的时间提前5天列方程求解．【解答】解：设每天应多做x件，则依题意得：﹣＝5，解得：x＝24．经检验x＝24是方程的根，答：每天应多做24件，故答案为24．9.（2019 河北邯郸中考模拟）小明在解方程后得到，他不解方程：发现，请你以解方程为例（要写过程），并猜出方程的解是．（其中a、b、c、d为常数，且a+d＝b+c）【答案】x＝＝．【分析】先根据解分式方程的步骤求出方程的解，然后观察找出规律：方程的解正好等于7+3+6+2之和的四分之一，又因为7+2＝6+3，所以方程的解x＝＝，因此方程的解x＝＝．【解答】解：方程两边通分得：＝，＝，（x﹣7）（x﹣3）＝（x﹣6）（x﹣2），x2﹣10x+21＝x2﹣8x+12，解得x＝；经检验x＝是元方程的解．观察方程可得：x＝＝＝，所以方程的解为：x＝＝．（三）解答题1.（2019 上海中考）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．2.（2019 山东威海中考模拟）阅读下列材料：∵，，，…，∴＝＝＝．解答下列问题：（1）在和式中，第6项为，第n项是．（2）上述求和的想法是通过逆用法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以，从而达到求和的目的．（3）受此启发，请你解下面的方程：．【分析】此题是阅读分析题，解此题的关键是认真审题，找到规律（两个连续奇数的积的倒数等于它们的倒数差的一半），再依据规律解题即可．【解答】解：（1）；（2）分式减法，对消；（3）将分式方程变形为＝．整理得，方程两边都乘以2x（x+9），得2（x+9）﹣2x＝9x，解得x＝2．经检验，x＝2是原分式方程的根．3.（2019•日照）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？【分析】设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，根据“按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元”建立方程，解方程即可．【解答】解：设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，由题意，得＝．解得x＝160．经检验x＝160是原方程的解，且符合题意．答：每件产品的实际定价是160元．4.（2019 宁夏中考）解方程：+1＝．【分析】方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得x＝4；【解答】解：+1＝，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2），∴x＝4，经检验x＝4是方程的解；∴方程的解为x＝4；5.（2019•河北张家口模拟）在2018年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意和第（1）问中的结果可以分别求得三种方式的费用，从而可以解答本题．【解答】解：（1）设甲车单独完成任务需要x天，则乙车单独完成任务需要2x天，（）×10＝1解得，x＝15∴2x＝30即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；（2）设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天（a﹣1500）元，[a+（a﹣1500）]×10＝65000解得，a＝4000∴a﹣1500＝2500当单独租甲车时，租金为：15×4000＝60000，当单独租乙车时，租金为：30×2500＝75000，∵60000＜65000＜75000，∴单独租甲车租金最少．6.（2019•青岛）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5化简得600×1.5＝600+5×1.5x解得x＝40∴1.5x＝60经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得由①得y＝75﹣1.5x③将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800解得x≥40，当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．7.（2019•南通）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．【分析】设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．【解答】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，依题意，得：＝2×，解得：x＝80，经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．答：每套《三国演义》的价格为80元．8.（2019•台湾）市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率＝×100%，其中SPF≥1．请回答下列问题：（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？（2）某防晒产品文宣内容如图所示．请根据SPF与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．【分析】（1）根据公式列出方程进行计算便可；（2）根据公式计算两个的防护率，再比较可知结果．【解答】解：（1）根据题意得，，解得，SPF＝10，答：该产品的SPF应标示为10；（2）文宣内容不合理．理由如下：当SPF＝25时，其防护率为：；当SPF＝50时，其防护率为：；98%﹣96%＝2%，∴第二代防晒乳液比第一代防晒乳液的防护率提高了2%，不是提高了一倍．∴文宣内容不合理．。

知识点09 分式方程及其应用2019

一、选择题 6．（2019·苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本．设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（）A ．15243x x =+ B ．15243x x =- C ．15243x x =+ D ．15243x x=- 【答案】A【解析】“小明5．（2019·株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以x(x-3)得， 2（x-3)-5x=0,解得，x=-2，所以答案为B 。

4．（2019·益阳）解分式方程321212=-+-xx x 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（） A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 【答案】C【解析】两边同时乘以（2x-1），得x-2=3(2x-1) .故选C.1. （2019·济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 【答案】A【解析】由题意知：设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 兆数据，4G 传输500兆数据用的时间是500x ，5G 传输500兆数据用的时间是50010x，5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=．2. （2019·淄博）解分式方程11222x x x-=---时，去分母变形正确的是（） A .112(2)x x -+=--- B .112(2)x x -=-- C .112(2)x x -+=+- D .112(2)x x -=---【答案】D .【解析】方程两边同乘以x －2，得112(2)x x -=---，故选D .二、填空题 11．（2019·江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的班马线路段A-B-C 横穿双向行驶车道，其中AB ＝BC ＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度.设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得： .【答案】112.166=+xx 【解析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，则通过BC 的速度是通1.2x 米/秒，根据题意列方程得112.166=+xx .1. （2019·岳阳）分式方程121x x =+的解为x = . 【答案】1【解析】去分母，得：x +1=2x ，解得x =1，经检验x =1是原方程的解．2. （2019·滨州）方程+1＝的解是____________．【答案】x=1【解析】去分母，得x －3+x －2=－3，解得x=1．当x=1时，x －2=－1，所以x=1是分式方程的解．3. (2019·巴中)若关于x 的分式方程2222x m m x x+=--有增根,则m 的值为________. 【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得:x －2m ＝2m(x －2),若原分式方程有增根,则x ＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m ＝2m(2－2),解之得,m ＝1.4. （2019·凉山）方程1121122=-+--xx x 解是 . 【答案】x =-2 【解析】原方程可化为1)1)(1(2112=-+---x x x x ，去分母得（2x -1）(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2，经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x =-2.故答案为x =-2.11．（2019·淮安）方程121=+x 的解是 . 【答案】-1【解析】两边同时乘以（x+2），得x+2=1，解得x=-1.5. （2019·重庆B 卷）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的34 和83.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是【答案】1819【解析】设第一车间每天生产的产品数量为12m ，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m 、32m; 设甲、乙两组检验员的人数分别为x ，y 人；检查前每个车间原有成品为n.∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完 ∴每个甲检验员的速度=1212126m m m n n nx6（）+++++∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完∴每个乙检验员的速度=1292m m n ny2（）+++∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品∴每个乙检验员的速度=324m ny6⨯+∵每个检验员的检验速度一样∴1212122(129)632624m m m n n n m m n n m n x y y 6（）++++++++⨯+==∴1819x y =.三、解答题19．（2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n ﹣3）2＝0．【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷•＝••＝﹣．∵+（n ﹣3）2＝0．∴m +1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣＝﹣＝．∴原式的值为．18.（2019·遂宁）先化简，再求值ba a ab a b a b ab a +--÷-+-2222222 ，其中a,b 满足01)22=++-b a （解：b a a b a a b a b a b a +--÷-+-=2)())(2）（（原式=b a b a b a b a +--⨯+-21=b a +-1∵01)22=++-b a （∴a=2,b=-1,∴原式=-117．(2)(2019·泰州,17题,8分)【解题过程】去分母:2x －5+3(x －2)＝3x －3,去括号:2x －5+3x －6＝3x －3,移项,合并:2x ＝8,系数化为1:x ＝4,经检验,x ＝4是原分式方程的解.21．（2019山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（－）÷，其中x 是不等式组的整数解．【解题过程】解：原式＝[－]•＝•＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤x ＜3，…………………………………………………………7分则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分当x=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分当x ＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分17. （2）（2019·温州）224133x x x x x+-++．【解题过程】原式=24-13x x x ++=233x x x ++=3(3)x x x ++=1x .19．（2019山东威海，19，7）列方程解应用题小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1200米，300米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度. 【解题过程】设小明的速度为x 米/分钟，则小刚的速度为3x 米/分钟，根据题意，得， 1000300043x x-=解得x ＝50经检验，得x ＝50是分式方程的解，所以，3x ＝150.答：小明和小刚两人的速度分别是50x 米/分钟，小刚的速度为150米/分钟. 20．（2019山东省青岛市，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天. （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲加工了多少天？【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x=+ 化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x = 1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①②… 由①得75 1.5y x =-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +-… 解得40x …，答：甲至少加工了40天． 24．（2019·衡阳）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等. （1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需多少元：（2）商店准备购买A 、B 两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？解：（1）设买一个B 商品为x 元，则买一个A 商品为(x +10)元，则30010010x x=+，解得x ＝5元．所以买一个A 商品为需要15元，买一个B 商品需要5元．（2）设买A 商品为y 个，则买B 商品（80－y ）由题意得4(80)1000155(80)1050y y y y ≥-⎧⎨≤+-≤⎩，解得64≤y ≤65；所以两种方案：①买A 商品64个，B 商品16个；②买A 商品65个，B 商品15个．20．（2019·黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作.行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达.分别求九（l ）班、其他班步行的平均速度. 【解题过程】1. （2019·自贡)解方程：xx−1−2x =1. 解：方程两边乘以x (x -1)得， x 2-2(x -1)=x (x -1) 解得，x =2.检验：当x =2时，x (x -1)≠0， ∴x =2是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x =2.2. （2019·眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm 2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm 2，根据题意，得：60060062x x-=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，∴2x=100. 答：甲队每天能完成的绿化面积为100m 2，乙队每天能完成的绿化面积为50m 2.（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则a=722b-=1362b -+，根据题意，得：1.2×722b-+0.5b ≤40，解得：b ≥32. 答：至少应安排乙工程队绿化32天.3. （2019·乐山）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1+x x，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.解：根据题意得：21=+x x，去分母，得)1(2+=x x ，去括号，得22+=x x ，解得2-=xBA经检验，2-=x 是原方程的解.4. （2019·达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子，节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？解：设粽子的标价是x 元，则节后价格为0.6x, 根据题意得：276.07296=+x x ,57.6+72=16.2x,x=8,经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意. 答：这种粽子的标价是8元.5. (2019·巴中)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. ①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?解：(1)设甲物品x 元,则乙物品单价为(x －10)元,根据题意得:50045010x x =-,解之,得x ＝100,经检验,x ＝100是原分式方程的解,所以x －10＝90,答:甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案.6.(2019·泰安)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍. (1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子最多能购进多少个? 解：(1)设B 种粽子单价为x 元,则A 种粽子单价为1.2x 元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500150011001.2x x+=,解之,得x ＝2.5,经检验,x ＝2.5是原分式方程的解,∴1.2x ＝3,答:A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得:3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得:y ≤1000,∴y 的最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个.7. （2019·无锡）解方程：（2）1421+=-x x .解：去分母得x +1=4（x -2），解得 x =3，经检验 x = 3是方程的解.。

中考数学三轮真题集训冲刺知识点09分式方程及其应用pdf含解析

中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用

中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用复习目标1、了解分式方程的概念。

2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。

考点梳理一、分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.二、分式方程的解法去分母法，换元法．例1、解分式方程：=﹣．【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根．故原方程的解为：x=6．三、解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程：21233x x x -+=--．【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．四、解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【要点诠释】方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．综合训练1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x 天内铺设铁路120km ，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km ，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（） A ．12012032x x =+- B ．12012032x x=+- C ．12012032x x=++ D ．12012032x x =++ 【答案】B 【分析】表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km ，列出方程即可．【详解】解：原计划每天修建道路120xm ，则实际用了（x ﹣2）天，每天修建道路为1202x -m ，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km 得，12012032x x=+-．故选：B ．2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x 小时，据题意可列出方程为（） A ．1.2 1.216x+= B ．1.2 1.213x+= C ．1.2 1.2162x += D ．1.2 1.2132x += 【答案】C 【分析】根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．【详解】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半， ∴甲队的工作效率为16设乙队单独完成此项工程需要x 小时， ∴甲队的工作效率为1x由题意可得，1.2 1.2162x +=，故选：C ．3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A 【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2）， x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ， x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ，则方程50ss v xx++= 所表达的等量关系是（）A ．提速前列车行驶s km 与提速后行驶(s ＋50)km 的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B 【分析】根据题意可以知道s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案，【详解】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程， ∵某次列车平均提速v km/h ，路程=速度×时间 ∴方程50s s v xx++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km ，故选B.5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m xx+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（） A ．m ＝﹣2 B ．m ≠﹣2 C ．m ＝2 D ．m ≠2【答案】B 【分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠. 【详解】解：302m xx+-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m=-，∵分式方程有解，∴20x-≠，∴2x≠，∴68m-≠，∴2m≠-，故选B.6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是310，利用概率公式列出方程，解之可得．【详解】设白球有x个，由题意得：33 3210x=++，解得x=5．经检验，x=5是方程的解，故答案为：C．7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程2152x x =+-的解是______．【答案】9x = 【分析】方程两边都乘(5)(2)x x +-得出2(2)5x x -=+，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：2152x x =+-，方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+，去括号，得245x x -=+ 移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解，故答案为：9x =．8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x 的分式方程2x x -﹣2＝3mx -有增根，则m ＝___．【答案】0 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x ，代入求值即可；【详解】2x x -﹣2＝3mx -， ()()()()32232x x x x m x ----=-， 223210122x x x x mx m --+-=-，∴()271220x m x m -+--+=， ∵方程有增根， ∴()()230x x --=， ∴2x =或3x =，当2x =时，41421220m m -+--+=，不存在；当3x =时，92131220m m -+--+=，解得0m =；故答案是0．9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件A 、B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A 、B 型商品共160件进行试销，其中A 型商品的件数不小于B 型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？（3）已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）一件A 型商品的进价为160元，一件B 型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元【分析】（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x +10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，依题意得：160007500210x x=⨯+，解得：x=150，经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+10=160．答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，依题意得：160160150(160)24840m mm m≥-⎧⎨+-≤⎩，解得：80≤m≤84，又∵m为整数，∴m可以为80，81，82，83，84，∴共有5种进货方案，方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；方案4：购进83件A 型商品，77件B 型商品；方案5：购进84件A 型商品，76件B 型商品．（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，∴购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．10．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）解方程：（1）225x x +=；（2）14733x x x-+=--．【答案】（1）11x =-21x =-（2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=， ∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．。

2019中考数学分类汇编汇总知识点09 分式方程及其应用(第一期) 解析版

一、选择题1. （2019山东省济宁市，6，3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 【答案】A【解析】由题意知：设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 兆数据，4G 传输500兆数据用的时间是500x ，5G 传输500兆数据用的时间是50010x，5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=．【知识点】分式方程的应用2. （2019山东淄博，5，4分）解分式方程11222x x x-=---时，去分母变形正确的是（） A .112(2)x x -+=--- B .112(2)x x -=-- C .112(2)x x -+=+- D .112(2)x x -=---【答案】D .【解析】方程两边同乘以x －2，得112(2)x x -=---，故选：D . 【知识点】解分式方程的步骤3. （2019广东广州，6，3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：设甲每小时做x 个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得方程：，故选：D ．【知识点】由实际问题抽象出分式方程4. （2019四川成都，7，3分）分式方程1的解为（）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝﹣2【答案】A【解析】解：方程两边同时乘以x （x ﹣1）得，x （x ﹣5）+2（x ﹣1）＝x （x ﹣1），解得x ＝﹣1，把x ＝﹣1代入原方程的分母均不为0，故x ＝﹣1是原方程的解．故选：A ．【知识点】解分式方程二、填空题1. （2019湖南省岳阳市，13，4分）分式方程121x x =+的解为x = . 【答案】1【解析】去分母，得：x +1=2x ，解得x =1，经检验x =1是原方程的解．【知识点】分式方程2. （2019山东滨州，14，5分）方程+1＝的解是____________．【答案】x=1【解析】去分母，得x －3+x －2=－3，解得x=1．当x=1时，x －2=－1，所以x=1是分式方程的解．【知识点】解分式方程3. (2019四川巴中,14,4分)若关于x 的分式方程2222x m m x x+=--有增根,则m 的值为________. 【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得:x －2m ＝2m(x －2),若原分式方程有增根,则x ＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m ＝2m(2－2),解之得,m ＝1. 【知识点】解分式方程,增根4. （2019四川省凉山市，14，4）方程1121122=-+--xx x 解是 ▲ . 【答案】x =-2【解析】解析：原方程可化为1)1)(1(2112=-+---x x x x ，去分母得（2x -1）(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2，经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x =-2.故答案为x =-2.【知识点】分式方程的解法5. （2019重庆市B 卷，18，4）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的34 和83.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是【答案】1819【思路分析】先设第一车间每天生产的产品数量为12m,用含有m 的式子表达出每个生产车间每天生产的产品数量；然后利用工作效率=工作总量÷工作时间表示出甲乙两组检验组的检验速度，根据甲乙检验速度一样列出方程.【解题过程】解：设第一车间每天生产的产品数量为12m，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m、32m;设甲、乙两组检验员的人数分别为x，y人；检查前每个车间原有成品为n.∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完∴每个甲检验员的速度=1212126m m m n n nx6（）+++++∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完∴每个乙检验员的速度=1292m m n ny2（）+++∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品∴每个乙检验员的速度=324m ny6⨯+∵每个检验员的检验速度一样∴1212122(129)632624 m m m n n n m m n n m n x y y6（）++++++++⨯+==∴1819 xy=【知识点】工作效率=工作总量÷工作时间列方程解决实际问题6.（2019甘肃天水，12，4分）分式方程0的解是．【答案】x＝2【解析】解：原式通分得：0去分母得：x﹣2（x﹣1）＝0去括号解得，x＝2经检验，x＝2为原分式方程的解故答案为x＝2【知识点】解分式方程7.（2019甘肃省，13，3分）分式方程3512x x=++的解为．【答案】1 2【解析】解：去分母，得3655x x+=+，解得12x=，经检验12x=是分式方程的解．故答案为12．【知识点】解分式方程8. （2019江苏宿迁，16，3分）关于x 的分式方程1的解为正数，则a 的取值范围是．【答案】a ＜5且a ≠3【解析】解：去分母得：1﹣a +2＝x ﹣2，解得：x ＝5﹣a ， 5﹣a ＞0，解得：a ＜5，当x ＝5﹣a ＝2时，a ＝3不合题意，故a ＜5且a ≠3．故答案为：a ＜5且a ≠3．【知识点】分式方程的解9.（2019山东德州，14，4分）方程631(1)(1)1x x x -=+--的解为．【答案】4x =- 【解析】解：631(1)(1)1x x x -=+--，63(1)1(1)(1)(1)(1)x x x x x +-=+--+，331(1)(1)xx x -=+-，311x -=+， 13x +=-， 4x =-，经检验4x =-是原方程的根；故答案为4x =-．【知识点】解分式方程10. （2019四川绵阳，16，3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为 km /h ．【答案】10【解析】解：设江水的流速为xkm /h ，根据题意可得：，解得：x ＝10，经检验得：x ＝10是原方程的根，答：江水的流速为10km /h ．故答案为：10．【知识点】分式方程的应用三、解答题1. （(2019四川省自贡市，20，8分)解方程：【思路分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可得到分式方程的解. 【解题过程】解：方程两边乘以x (x -1)得， x 2- (x -1)=x (x -1) 解得，x = .检验：当x = 时，x (x -1)≠0， ∴x = 是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x =2. 【知识点】分式方程的解法.2. （2019四川省眉山市，24，9分）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？【思路分析】（1）根据独立完成面积为600m 2的绿化时，甲队比乙队少用6天，列分式方程，解答即可；（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务，根据两队共同完成3600m 2，用含b 的式子表示出a 的值，再根据两队的总费用不超过40万元，列出不等式，求出解集即可. 【解题过程】解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm 2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm 2，根据题意，得：60060062x x-=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，∴2x=100. 答：甲队每天能完成的绿化面积为100m 2，乙队每天能完成的绿化面积为50m 2.（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则a=722b-=1362b -+，根据题意，得：1.2×722b-+0.5b ≤40，解得：b ≥32. 答：至少应安排乙工程队绿化32天.【知识点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用3. （2019四川省乐山市，18，9）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1+x x，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.第18题图【思路分析】A 到原点的距离为|-2|=2，那么B 到原点的距离为2，就可以转换为分式方程求解．【解题过程】解：根据题意得：21=+x x，去分母，得)1(2+=x x ，去括号，得22+=x x ，BA解得2-=x经检验，2-=x 是原方程的解.【知识点】绝对值；解分式方程．4. （2019四川达州，题号21，7分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子，节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？【思路分析】可根据节前和节后两次购买的粽子数量的和是27个，这个等量关系，列出分式方程求解. 【解题过程】解：设粽子的标价是x 元，则节后价格为0.6x 根据题意得：276.07296=+xx 57.6+72=16.2x x=8经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意. 答：这种粽子的标价是8元. 【知识点】分式方程的应用5. (2019四川巴中,20,8分)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. ①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?【思路分析】(1)设未知数表示两种物品单价,根据题意列出分式方程,可求得两个单价;(2)根据题意列出不等式,求得物品件数范围,从而得到方案数量.【解题过程】(1)设甲物品x 元,则乙物品单价为(x －10)元,根据题意得:50045010x x =-,解之,得x ＝100,经检验,x ＝100是原分式方程的解,所以x －10＝90,答:甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案. 【知识点】分式方程的应用,不等式的应用.6.(2019山东泰安,22题,11分)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.(1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子最多能购进多少个?【思路分析】(1)根据题意设B 的单价为x 元,利用等量关系列出分式方程进行求解;(2)根据题意列出不等式,求解,并取最大值.【解题过程】(1)设B 种粽子单价为x 元,则A 种粽子单价为1.2x 元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500150011001.2x x+=,解之,得x ＝2.5,经检验,x ＝2.5是原分式方程的解,∴1.2x ＝3,答:A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得:3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得:y ≤1000,∴y 的最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个.【知识点】分式方程的应用,不等式的应用7. （2019江苏省无锡市，20，8）解方程：（2）1421+=-x x 【思路分析】本题考查了利用分式方程的解法，先先转化为整式方程，再解整式方程,最后检验. 【解题过程】解：去分母得x +1=4（x -2），解得 x =3，经检验 x = 3是方程的解. 【知识点】分式方程的解法8. （2019江苏南京，18，7分）解方程：1．【思路分析】方程两边都乘以最简公分母（x +1）（x ﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．【解题过程】解：方程两边都乘以（x +1）（x ﹣1）去分母得， x （x +1）﹣（x 2﹣1）＝3，即x 2+x ﹣x 2+1＝3，解得x ＝2检验：当x ＝2时，（x +1）（x ﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0， ∴x ＝2是原方程的解，故原分式方程的解是x ＝2．【知识点】解分式方程9.（2019江苏泰州，17，12分）（1）计算：（）；（2）解方程：3．【思路分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；（2）先去分母得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．【解题过程】解：（1）原式＝4 ＝3 ；（2）去分母得2x ﹣5+3（x ﹣2）＝3x ﹣3，解得 x ＝4，检验：当x ＝4时，x ﹣2≠0，x ＝4为原方程的解．所以原方程的解为x ＝4．【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程10. （2019江苏扬州，23，10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？【思路分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，得出等式求出答案．【解题过程】解：设甲工程队每天修x 米，则乙工程队每天修(1500)x -米，根据题意可得：360024001500x x=-，解得900x =，经检验得：900x =是原方程的根，故1500900600()m -=，答：甲工程队每天修900米，乙工程队每天修600米．【知识点】分式方程的应用11. （2019山东菏泽，18，6分）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．【思路分析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x 千米/分钟，根据“行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟”列出方程并解答．【解题过程】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x 千米/分钟，由题意，得36．解得x ＝1．经检验，x ＝1是所列方程的根，且符合题意．所以1.8x ＝1.8（千米/分钟）．答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟．【知识点】分式方程的应用12. （2019山东菏泽，20，7分）解方程：．【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：5x ＝3x ﹣6，解得：x ＝﹣3，经检验x ＝﹣3是分式方程的解．【知识点】解分式方程13. （2019山东青岛，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【思路分析】（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x=+ 化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x = 1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①②… 由①得75 1.5y x =-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +-… 解得40x …，当40x =时，15y =，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的应用14. （2019四川广安，18，6分）解分式方程：241244x x x x -=--+．【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：241244x x x x -=--+，方程两边乘2(2)x -得：2(2)(2)4x x x ---=，解得：4x =，检验：当4x =时，2(2)0x -≠．所以原方程的解为4x =．【知识点】解分式方程15. （2019四川宜宾，20，8分）甲、乙两辆货车分别从A 、B 两城同时沿高速公路向C 城运送货物．已知A 、C 两城相距450千米，B 、C 两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C 城．求两车的速度．【思路分析】设乙车的速度为x 千米/时，则甲车的速度为(10)x +千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C 城，以时间做为等量关系列方程求解．【解题过程】解：设乙车的速度为x 千米/时，则甲车的速度为(10)x +千米/时．根据题意，得：4501440102x x+=+，解得：80x =，或110x =-（舍去），80x ∴=，经检验，x =，80是原方程的解，且符合题意．当80x =时，1090x +=．答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．【知识点】分式方程的应用16.（2019台湾省，27，分）市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF ，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率1100%SPF SPF-=⨯，其中1SPF …．请回答下列问题：（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF 应标示为多少？（2）某防晒产品文宣内容如图所示．请根据SPF 与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．【思路分析】（1）根据公式列出方程进行计算便可；（2）根据公式计算两个的防护率，再比较可知结果．【解题过程】解：（1）根据题意得，1100%90%SPF SPF-⨯=，解得，10SPF =，答：该产品的SPF 应标示为10；（2）文宣内容不合理．理由如下：当25SPF =时，其防护率为：251100%96%25-⨯=；当50SPF =时，其防护率为：501100%98%50-⨯=； 98%96%2%-=， ∴第二代防晒乳液比第一代防晒乳液的防护率提高了2%，不是提高了一倍． ∴文宣内容不合理．【知识点】分式方程的应用。

专题09 分式方程(归纳与讲解)(解析版)

专题09 分式方程【专题目录】技巧1：分式的意义及性质的四种题型技巧2：分式运算的八种技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围技巧4：分式求值的方法【题型】一、分式有意义的条件【题型】二、分式的运算【题型】三、分式的基本性质【题型】四、解分式方程【题型】五、分式方程的解【题型】六、列分式方程【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。

4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．【考点总结】一、分式形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．A A【考点总结】二、分式方程【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.【技巧归纳】分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a b ·c d ＝acbd .分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．技巧1：分式的意义及性质的四种题型【类型】一、分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个．【类型】二、分式有无意义的条件3．若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＝4B ．a>4C ．a<4D ．a≠4 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( )A ．x ＜－2B ．x ＜1C ．x ＞－2且x≠1D ．x ＞1 7．若分式3x －42－x 的值为负数，则x 的取值范围是________．8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．【类型】四、分式的基本性质及其应用 9．下列各式正确的是( )A .a b ＝a 2b 2B .a b ＝ab a ＋bC .a b ＝a ＋c b ＋cD .a b ＝ab b 2 10．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2 B ．x ＝－2 C ．x ＜－2 D ．x≠－2 11．已知 x 4＝y 6＝z7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．12．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值．参考答案1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式． 3．D 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1. 7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b≠±1.9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z7＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝3722.12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1. 值的分式消元求值．技巧2：分式运算的八种技巧【类型】一、约分计算法 1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.【类型】二、整体通分法 2．计算：a －2＋4a ＋2.【类型】三、顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.【类型】四、换元通分法4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m3m －2n －1.【类型】五、裂项相消法⎝⎛⎭⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.【类型】六、整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abcab ＋bc ＋ac 的值．【类型】七、倒数求值法7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．【类型】八、消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．参考答案1．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程． 2．解：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2 ＝a 2a ＋2. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减． 3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1＝x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x（x ＋1）（x －1）＝4n －6m（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）.5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）.点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项． 6．解：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115，所以1a ＋1b ＋1c ＝31180.易知abc≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031.7．解：由xx 2－3x ＋1＝－1，知x≠0，所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x ＝2.所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17.8．解：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.解得x ＝3z ，y ＝2z. 因为xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 22×9z 2－3×4z 2－10z 2＝－13.点拨：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝mx －3＋2有解，求m 的取值范围．【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值 3．如果解关于x 的分式方程m x －2－2x 2－x＝1时出现增根，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－44．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5．若关于x 的分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a ＝________.6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x 无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值．参考答案1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.经检验，x ＝3是该方程的解．将x ＝3代入2x ＋4＝mx ，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝⎛⎭⎫672－2×67＝－4849.2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解， ∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解． 3．D4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6；当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m ＝12.综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6；当x ＝－3时，m ＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解．综上所述，m 的值为－3或1.7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.(1)因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a)x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2.综上所述，a 的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．技巧4：分式求值的方法【类型】一、直接代入法求值 1．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.【类型】二、活用公式求值2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．【类型】三、整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．【类型】四、巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x 的值．【类型】五、设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．参考答案1．解：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝12.2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x≠0，∴x ＋1x＝5.∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23. ∴x 4＋1x 4＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527 点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答． 3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xyxy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9，所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712.4．解：因为x ＋y ＋z≠0，所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想． 5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1. ∴2x ＋12x ＝1＋11＝2.6．解：设x 2＝y 3＝z4＝k≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k 226k 2＝2726. 【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1x 的取值范围是（） A ．x≥4 B ．x ＞4C ．x≤4D ．x ＜4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．4﹣x ＞0，解得：x ＜4 即x 的取值范围是：x ＜4故选D ．【题型】二、分式的运算例2、分式222111a a a a++---化简后的结果为（） A ．11a a +-B ．31a a +-C ．1a a --D ．2231a a +--【答案】B【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．【详解】解：222111a a a a++--- ()()()()()21221111a a a a a a ++=-+--+ ()()()222111a a a a +++=+-()()2222111a a a a a ++++=+-()()()()3111a a a a +=++- 31a a +=- 故选：B ．【题型】三、分式的基本性质例3、若b a b -=14，则ab的值为（） A ．5B ．15C ．3D ．13【答案】A 【解析】因为b a b -=14，所以4b=a -b ．，解得a=5b① 所以a b ①55b b=. 故选A.【题型】四、解分式方程例4、方程2152x x =+-的解是（） A ．1x =- B ．5x =C ．7x =D ．9x =【答案】D【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．【详解】解：方程可化简为()225x x -=+ 245x x -=+9x =经检验9x =是原方程的解故选D【题型】五、分式方程的解例5、关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可．【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000420080x x=-B．3000420080x x+=C．4200300080x x=-D．3000420080x x=+【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：3000420080x x=+，故选：D．分式方程（达标训练）一、单选题1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程3122m xx x++=--有解，则实数m应满足的条件是（）A．m=-1B．m≠-1C．m=1D．m≠1【答案】D【分析】解分式方程得：m + x-3=2-x即x=52m，由题意可知x≠2，即可得到m．【详解】解：31 22m xx x++= --方程两边同时乘以2-x得：m+x-3=2-x, 2x=5-m，x=52m①分式方程有解① x ≠2，即52m≠2， ①m ≠1．故选D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键．2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程211x =+的解为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【分析】按照分式方程的解法求解判断即可．【详解】①211x =+，去分母，得2=x +1，移项，得 x =2-1=1，经检验，x =1是原方程的根故选C ．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 3．（2022·天津南开·二模）化简2222432x y x yx y y x -----的结果是（）A ．5x y- B ．5x y+ C ．225x y -D ．223x yx y +-【答案】B【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．【详解】解：2222432x y x yx y y x ----- 2222432x y x yx y x y --=+--55()()x yx y x y -=+-5()()()x y x y x y -=+-5x y=+，【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 4．（2022·贵州贵阳·三模）计算222m m m ---的结果是（） A ．2 B ．－2C ．1D ．－1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可．【详解】解：221222m m m m m --==---，故选：C ．【点睛】本题考查了分式的减法，正确运算是解题关键，注意运算后需要约分化简． 5．（2022·江苏淮安·一模）若分式2xx +有意义，则x 的取值范围是（） A ．0x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x ≥-【答案】B【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．【详解】要分式2xx +有意义，则20x +≠，解得：2x ≠-．故选：B【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程31311x x x -=-+的解为 ______．【答案】x =-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：3x (x +1)-(x -1)=3(x +1)(x -1)，解得：x =-2，经检验x =-2是分式方程的解，故答案为x =-2．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算52x x ++﹣32x +＝_____．【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．三、解答题8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：13233x x-=--．【答案】=5x【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论．【详解】两边同时乘以(3)x -，得132(3)x +=-，去括号，得426x =-，化简，得=5x ，检验：当=5x 时，30x -≠， ∴原分式方程的解为=5x ．【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键，但是要特别注意：检验是不可少的环节．分式方程（提升测评）一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x 元，则列出方程正确的是（）A ．60050010x x=+ B ．60050010x x =+ C ．60050010x x=- D ．60050010x x =- 【答案】D【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元，然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程．【详解】解：设“冰墩敏”的销售单价为x ，则 “雪容融”的销售单价为（x -10）元，根据题意，得60050010x x =-。

中考数学专题复习课件第9讲分式方程及应用

例题解析
通过具体例题解析，展示如何根据实际问题列分式方程并求解。
04
分式方程的拓展提高
分式方程的拓展知识及例题解析
基础知识回顾
分式方程的基本定义、解法及注意事项。
复杂分式方程的转化
介绍如何将复杂的分式方程转化为简单的整式方程或一元一次方程，通过移项、通分等方法简化计算。
分式方程的根的判别式
THANKS
在工程问题中，通常会有合作、交替、循环等不同情况，需要根据具体情况建立方程。
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（一）
• 例题1
甲、乙两队分别承担A、B两个项目的施工任务，甲队比乙队快，问甲队何时完成施工任务？
• 例题2
甲、乙两队合作承担一个项目的施工任务，问两队合作何时能完成施工任务？
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（二）
第9讲分式方程及应用
汇报人： 2023-12-11
目录
• 分式方程的概念及解法 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的拓展提高 • 中考真题及解析
01
分式方程的概念及解法
分式方程的定义及识别
定义
分式方程是一种含有未知数、分母中含有未知数或常数的方程。
识别
分式方程通常具有形式如“ax/b = c”，其中“a、b、c”是常数，“x”是未知数。
观察法
通过观察方程的形式和特点，直接得出方程的解。
实验法
通过尝试不同的解，观察解是否符合原方程，从而得出方程的解。
图象法
通过绘制函数的图象，观察函数的零点，从而得出方程的解。
02
分式方程的应用
列分式方程解应用题的基本思路和方法
设未知数

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