第四章弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
材料力学第4章弯曲内力
对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例3 补充实例：作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
F A
x B l
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例4 补充实例：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和 弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
y
q
M ＝0， M ＝0
A B
A
FAY
x
B C
l
x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FBY
FS ql / 2
M 3ql 2 / 32
CB 段：
M Fs x RA a x l l M M x RA x M l x a x l l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
3）绘剪力图和弯矩图
由剪力方程和弯矩方程可绘出Fs、M 图：
Fs Fs x M M x
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 剪力图和弯矩图 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形 分别称为剪力图和弯矩图。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
例4.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图
解：1）求支座反力
Pa M A 0, Pa RB l 0, RB l Pb Fy 0, RA RB P 0, RA l
§4.3 剪力和弯矩—实例2
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
第四章 弯曲内力(土建)
qdx dFS
dFS q dx
28
q
A
x dx
C
B M FS C dx M + dM FS + dFS
1 FSdx q(dx) 2 M [M dM ] 0 2 dM FS 略去高阶微量得： dx
dFS d 2 M q 2 dx dx
29
M
0,
(1) 当q = 0 ，FS =常数， FS 图为水平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
即可画出剪力图和弯矩图。
30
不同载荷q作用下剪力图和弯矩图的特征
31
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方
向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。
2、集中力偶作用处，M图发生
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
32
根据M、FS与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤 1. 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 2. 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布载荷 两端，支座处都应取作分段点； 3. 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由FS = 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯 矩值；
的弯矩为正，反之为负。
12
FS ⊕
FS FS
－ ○
FS M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x A D FSD MD C
弯矩正负的规定
F M
y
0; FAy FSD 0,
FSD FAy
FAy
C
0; M D FAy x 0,
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(3) 载荷简化 ②分布力 q — 均布力 均布力 q(x) — 分布力
③集中力偶、分布力偶 集中力偶、 M — 集中力偶 m — 分布力偶
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(4) 支座简化
A
① 固定铰支座 2个约束，1个自由度. 个约束， 个自由度. 如：桥梁下的固定支座，止 桥梁下的固定支座， 推滚珠轴承等. 推滚珠轴承等.
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 剪力、 §4–4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系
第四章 弯曲内力
【本章学习目的】
1. 了解平面弯曲的概念 2. 能够列出剪力方程和弯矩方程 掌握剪力、 3. 掌握剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系 4. 熟练绘制剪力图和弯矩图
F FA = FB = 2
（2）列内力方程 ）
F FS1 = FA = 2 F M1 = FA x1 = x1 2
内力图对称中垂线. 内力图对称中垂线
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a )
M max Fl = 4
FS max
F = 2
§4–3 剪力图和弯矩图 简支梁，受集中力偶M 作用，作内力图. 例4-5 简支梁，受集中力偶 e作用，作内力图 解： （1）求支座反力 ）
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a ) ( 0 < x2 < b ) ( 0 ≤ x2 ≤ b )
Fa Fab = M max = l l
（3）根据方程作内力图 FS max ）
工程力学 材料力学 M4弯曲内力
二、梁的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为 了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算 简图。 1. 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三 种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化
《材料力学》 第4章 弯曲内力 14
M(+) M(+) M(–)
《材料力学》 第4章 弯曲内力
M(–)
39
弯曲内力—剪力和弯矩
4.分别取截面左右为研究对象进行计算（验证）
l
a
A
F B A
a
YA
F
B
x
C
x
l
FB
M
YA
x
M
F
Q
F C
y
0 : YA Q 0 Q YA
M
FB
C
0 : M YA x 0 M YA x
第4章 弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
《材料力学》
第4章 弯曲内力
1
第4章 弯曲内力
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
《材料力学》 第4章 弯曲内力
例题：计算约束力 q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
0.5m
F F
x
0, 0,
A
FAx 0
工程力学4第四章弯曲内力
M=±ΣM(Fi)左或右
例1： 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3
截面上的内力。
y MA FA
1 1 2m 2 2
q
3
1m 31m
x
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m
2-2 截面：FS = 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 3-3 截面：FS = 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m
第四章 弯曲内力
主讲:符春生
§4-1 概述
一、平面弯曲
外力特点:外力是垂直于杆轴线的 力,或作用在包含轴线在 内的平面内力偶。
变形特点:轴线弯成曲线。横截面 轴线
绕垂直于轴线的轴作相 对转动。
轴线
以弯曲为主要变形的杆——梁。
若外力或外力偶作用在纵向对称
面内，杆的轴线在此平面内弯成一平
面曲线——平面弯曲（对称弯曲）。
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
M
§4－4剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第4章 材料力学—弯曲内力
第四章 弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩§4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例1．实例()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴桥式起重机大梁4321 2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。
3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧曲线向对称面内的一条平面弯曲变形后轴线成为纵对称面内所有外力都作用于纵向称轴的纵向对称面整个杆件有一个包含对横截面有一根对称轴4321§4.2 受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。
计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧悬臂梁外伸梁简支梁梁的基本形式321:l 称为梁的跨度§4.3 剪力和弯矩（1）求反力：BA AB F F 00=∑M =∑M（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力F S 和弯矩M （为平衡）001=--=∑s A y F F F F1F F F A S -=（a ）()0010=⋅--+=∑x F a x F M M A()a x F x F M--=（b ）（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力F S 和弯矩M ，从式（a ）式（b ）可以看出，在数值上，剪力F S 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==左左ni i ni iS M M F F 11 同理，取截面右侧部分为研究对象：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==右右ni i ni iS M M F F 11 （4）剪力F S 和弯矩M 符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力F S 和弯矩M ，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。
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y
0 FN y ql / 2 0
0 y l
ql
M y 0
M y qy y / 2 qly 0
M y qly qy 2 / 2
0 y l
目录
平面刚架的内力
B
横杆CB：C点向左为x
x
y
ql 2 2
F
F
目录
FBy
M
A
0
§4-3 剪力和弯矩
FSE O FAy ME FSE O FBy ME 分析右段得到： FBy
F 5F FBy FAy 3 3
F FSE FBy 3 3a M o 0 M E FBy 2 Fa 3Fa ME 2
目录
F
y
0
FSE FBy 0
ql / 8
2
ql / 2
3ql 2 / 32
x
M x ＝qlx / 2 qx 2 / 2
目录
FS x ＝ql / 2 qx 0 x l
0 x l
3.依方程画出剪力图和弯矩图。
平面刚架的内力
B
ql 2 2
例题4-6
y
ql
B FN(y) M(y) F S (y )
x
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
目录
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
a
M
b
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
FBY
例题4-4 图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
第四章
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4
弯曲内力
§4-5 §4-6
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
目录
§4-1
起重机大梁
弯曲的概念和实例
目录
§4-1
车削工件
弯曲的概念和实例
目录
4. 集中力作用处，剪力图突变；
集中力偶作用处，弯矩图突变
目录
§4-5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下） 突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上 （下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没 有变化。 5、也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。 dFS dM q dFS qdx dM FSdx FS dx dx
§4-3 剪力和弯矩
FBy
FAy FBy
F 3
FAy
5F 3
FSE
FAy 2F FSE
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
5F F FSE 2F 3 3
目录
§4-3 剪力和弯矩
F FBy 3
FAy ME FAy 2F FBy
5F FAy 3
截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
ME
a 5F 3a 3 2F Fa ME 2 2 3 2
目录
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
x q
l
例题4-2
x
FS
M x
FS x
悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。 解：任选一截面 x ，写出 剪力和弯矩方程
ql
FS x ＝qx M x ＝qx 2 / 2
M 弯矩，垂直于
FBy
横截面的内力系的 合力偶矩
目录
§4-3 剪力和弯矩
M FS FN FN M
FAy
FS
FBy
截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正； 反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
+
目录
_
左顺右逆为正；反之为负
§4-3 剪力和弯矩
1.5m
1.5m
解：1．确定约束力 根据力矩平衡方程
M ＝0 ， M ＝0
A B
求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN 2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
§4-5
A
0.89 kN= FAY
FAx FAy FAx FAy FAx MA FAy
目录
简支梁
FBy
外伸梁
FBy
悬臂梁
§4-3 剪力和弯矩
M FS
F
FN
x
0
FN 0
F M
y c
0 0
FS FAy F1
M FAy x F1 ( x a)
FAy
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
FN
M FS
1.11
（+）
Fs（ kN）
（ -）
0.89
目录
§4-5
A
FAY
1.5m
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。
从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
从D右到B左 从B左到B右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
dF
a S
b
b
a
qdx
b
b
a
dM FSdx
a
b
FS b FS a Aq a
M b M a AFS a
b
目录
§4-5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控 制面。
应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q < 0），抛物线呈凸形。 3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
y
q
例题4-5 简支梁受均布载荷作用
B
x
A
FAY
x
C
l
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力
FBY
FS ql / 2
M ＝0， M ＝0
A B
M 3ql 2 / 32 x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
建立 F S 一 x 和 M 一 x 坐标系，并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
应用平衡微分方程确定各段控制面之间 的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图 与弯矩图。
目录
§4-5
A
FAY
1.5m
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
C
D
E
F
2kN
B
FBY
例题4-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。
AC
2．写出剪力和弯矩方程 FS x1 ＝M / l 0 x1 a
FS x2 ＝M / l
Mb / l
CB
M x1 ＝Mx1 / l
M x2 ＝ Mx2 / l
目录
0 x2 b
0 x1 a 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
2．确定控制面
由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。
目录
§4-5
A
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C B
D
9 qa FAy 4 FS 9qa / 4
ql
ql 2 2
FN x 0
y
x
0
0 x l
FS x ql / 2 0
0
M (x ) B FN(x) F S (x )
FS x ql / 2
0 x l
x
ql 2 2
M x 0
M x qlx / 2 0
M x qlx / 2
§4-1
火车轮轴
弯曲的概念和实例
目录
§4-1
弯曲特点
弯曲的概念和实例
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
§4-1
平面弯曲
弯曲的概念和实例
对称弯曲
平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-1
弯曲的概念和实例
常见弯曲构件截面
目录
§4-2
梁的载荷与支座
受弯杆件的简化
ql 2 ql 2
M x qlx / 2
－
＋