高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.3 课时1 坐标系 理
高考数学第一轮章节复习课件 第十四章 坐标系与参数方程
2．求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步建立适当的极坐标系； 第二步在曲线上任取一点P(ρ，θ)； 第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式； 第四步用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程； 第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程．
设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，直线l过点P且与极 轴所成的角为α，求直线l的极坐标方程．
所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利 用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的 问题．
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1、⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式； (2)联立两圆方程求交点或两圆方程相减均可求
1．解决该类问题时，要注意变换时点的坐标之间的对应 关系．
2．平面坐标系中几种常见变换 (1)平移变换
在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)， 向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x， y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示为
(2)伸缩变换
一般地，由
所确定的伸缩变换，是按伸
缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当
0<k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，
P′(x′，y′) 是变换后的点)．
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换
后的图形．
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.
直线、圆和圆锥曲线的 圆、椭圆的参数
参数方程
摆线在实际中的 的转化.
高三数学一轮复习资料第十四编系列4选讲14.2坐标系与参数方程教案理
高三数学（理）一轮复习教案第十四编系列4选讲总第70期§14.2坐标系与参数方程訂基础自测1._____________________________________________________曲线的极坐标方程q二4sin&化为直角坐标方程为________________________________________.答案x=+（y-2）==42•直线厂（t为参数）上到点A （1, 2）的距离•为4迈的点的坐标为__________________ ・y = 2 + V2r答案（-3, 6）或（5, -2）3 •过点A （2, 3）的直线的参数方程? =（t为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交y = 3 + 2/于点B,则ABj= _________ •答案2込4.直线F = J + f （t为参数）被圆（x_3） =+（y+l）==25所截得的弦长为v = 1-r 答案辰5.若直线x+y=m与圆[“密8S%为参数,応。
）相切，则m为______________ .[v = y/m sin©答案2怎例题精讲例1将极坐标方程sin。
二+化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线.解由sin^ = —, p 二+十,得sin。
二丄二「' 二;.则y>0,平方得x:+y:=9y\P p 7^7 3即因此，它表示端点除外的两条射线：y二空x （x>0）和尸-虽Hx S 8 8 8 V0）・例2在极坐标系中，求过点* 6.彳卜并且平行于极轴的直线1的极坐标方程.解如图所示，设M（P，&）为直线1上的任意一点，则0M二Q,ZM0C P.过点A, M作极轴的垂线AB, MC交极轴与B, C两点.•••l〃0x, •••MC=AB •则0A=6, ZA0B=-・所以 MOAB 二3.由 sine 二篇■二*,得p sin 。
二3. 所以q sine 二3为所求的直线1的极坐标方程.例3把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线:⑶（t为参数）;⑷f x=i sin t （&为参数）.1 v = 5cos^ v =——t解 （1）由x=l+lt 得，t 二2x-2・ •••『二2+斗（2x-2）・••• Qx -y+2-血二0,此方程表示直线.2 2（2） 由 y 二2+t 得,t=y-2, Ax=l+ （y-2）〔即（y-2）==x-l,方程表示抛物线.1x = / + -（3）由 z ① y = --t ②I f•••⑪-前得，xS ：=4,方程表示双曲线. ⑷产伽&・得「"冷①〔y = 5cos& cos& =，②5 ①*②=,得骨+£■二1表示椭圆.X =1 + £例4 （2008 •盐城调研）（10分）求直线J I （t 为参数）被曲线P 二运cosje + t .3V 4y = -l 〒 所截的弦长.5分圆心c! 1,-1 半径为聾,圆心到直线的距离d=l 弦 长二2心-〃2=2（t 为参数）:解：x = 1 +土/ 将方程5P 二运cos” +召分别化为普通方程:3x+4y+l=0, x^+y^-x+y^O,(t 为参数)：(2) [v = 1 + r[y = 2 + 了10分E3巩固练习1.在极坐标系中,已知三点 屮.-彳卜N （2, 0）、（1） 将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标： （2） 判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.解 ⑴由公式F*8S 餐得M 的直角坐标为（1,-^）； y = psinG N 的直角坐标为（2, 0）； P 的直角坐标为（3, V?）・（2） •••咗二空-二石，爲二土£二少.•••kxFkxp, ••』、N 、P 三点在一条直线上.2-1 3-2 2. 求圆心在j （a>0）,半径为a 的圆的极坐标方程.解 如图所示，设M8）为圆上的任意一点（点0, B 除外），则0H 二P ，ZM0x=&. 连结 BH, 0B 二2/ ZM0B 二0-仝・6所以p =2acos （。
2018版高考数学理一轮复习课件：选修系列 第十四章 14-1 第1课时 精品
跟踪训练1
(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，
解答
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程. 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0， 得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.
(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程. 解答 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，
x＝ρcos θ， ∵ y＝ρsin θ，
∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 1 即 ρ＝ . cos θ＋sin θ ∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)， π ∴0≤θ≤2.
(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角 坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标. 解答 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ， 所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位
和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
点O称为极点，射线Ox称为极轴.
平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从
射线 Ox到射线 OM 的角度 θ 来刻画 ( 如图所示 ).这两个
数组成的有序数对 (ρ ，θ)称为点 M的极坐标.ρ 称为点
3.在以为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B 两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.
解答
高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.3 坐标系与参数方程 第2课时 参数方程教师用书 理
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第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2）如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f （t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么错误!就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0）错误!（t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2错误!（θ为参数) 椭圆错误!＋错误!＝1(a >b >0） 错误!（φ为参数)双曲线错误!－错误!＝1 ，(a 〉0，b >0）⎩⎨⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数）抛物线y 2＝2px （p 〉0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数）1．直线l 的参数方程为错误!(t 为参数），求直线l 的斜率． 解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3。
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
高考数学一轮复习讲义选修4-4 第1讲 坐标系
第1讲坐标系[最新考纲]1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知识梳理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；(3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.诊 断 自 测1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________． 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π42．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ， 即x 2＋y 2－2y －4x ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝03．(2014·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π44．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________．解析 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2. 答案 25．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． 解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为 |0－3×2|3＋9＝ 3.答案3考点一 极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52， ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33， 又因为点在第四象限，得θ＝11π6. 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境． 【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解 以极点的原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0. (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0. ②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程．考点三 曲线极坐标方程的应用【例3】 (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.故所求弦长为4 3.规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．【训练3】 (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P (ρ，θ)的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，求以⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2为坐标的不同的点的极坐标．[错解展示]甲：解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23)，故该点与原点的中点坐标为(－1，3)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.乙：解 ∵ρ＝4，θ＝2π3，故ρ2＝2，θ2＝π3，因此所求极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. [规范解答] ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3为点P (ρ，θ)的一个极坐标．∴ρ＝4或ρ＝－4. (2分)当ρ＝4时，θ＝2k π＋2π3(k ∈Z )， ∴ρ2＝2，θ2＝k π＋π3(k ∈Z )． (4分)当ρ＝－4时，θ＝2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴ρ2＝－2，θ2＝k π＋5π6(k ∈Z )． (6分)∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2有四个不同的点： P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋4π3(k ∈Z )， P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋5π6，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋11π6(k ∈Z ) (10分) [反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的关系并不是点(ρ，θ)与极点的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2，从几何意义上讲点⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2应满足该点的极角为θ的12，极径为ρ的12.乙生解法中满足⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行讨论． 【自主体验】下列各点中与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标是________．①⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6 ②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－7π6 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13π6 解析 因为与⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6表示同一点的坐标有⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6＋2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋(2k ＋1)π，其中k ∈Z ，所以易得只有②不同． 答案 ②一、填空题1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2；③(1,0)；④(1，π) 解析 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心为(0，－1)， 化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.答案 ②2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)． ①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线． 解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线． 答案 ③3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，3)到圆心(1,0)的距离为 3. 答案34．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π25．(2014·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 36．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析 由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0，将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3. 答案 ρcos θ＝37．(2014·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2.答案 28．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎨⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案29．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析 θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB ，S ＝3－34.答案3－34二、解答题10．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．11．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，(－3≤y ≤3) 法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
全国版高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程课件理
课标
要求
考题取样
理解 202X全国Ⅲ,T22
2.参数方程 了解 202X全国Ⅰ,T22
情境
载体
课程
学习
课程
学习
对应
考法
考法2
考法1，3，5
预测
热度
核心
素养
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学运算
考情解读
从近几年的高考情况来看,坐标系与参数方程是历年高考选做题
之一,一般是两小问,主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,
(2)解法一(参数法)
将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0 ③.因为曲线C截直线l所得线段的
中点(1,2)在C内,所以③有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由③得t1+t2=
4(2cos+sin)
,故2cos
(x≠0)即可.在[0,2π)范围内,由tan
θ= (x≠0)求θ时,要根据直角坐标的符
号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R,再根据终边相同的角的意义,
表示为θ+2kπ(k∈Z)即可.
(2)将点的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)时,运用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ
即可.
考法1 极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化
2.求解以极坐标为背景的三角形面积、距离、线段长等几何问题时,常常
利用极径的几何意义找到突破口,注意极坐标方程的建立过程中数形结
合思想的具体应用.
考法3 参数方程与普通方程的互化
示例3 [202X全国卷Ⅱ,22,10分][理]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方
高考数学一轮复习教案(含答案)：选修4-4第1节坐标系
逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标 ①极径：设 M 是平面内一点， 极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的极径， 记为 ρ. ②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角， 记为 θ. ③极坐标：有序数对 (ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ， θ)．一般不作特 殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ可取任意实数．
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3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x，y)，极坐标是 (ρ，θ)，则它们
x＝ρcos θ， 之间的关系为：
y＝ρsin θ；
ρ2＝ x2＋y2， y
tan θ＝x x≠0 .
4．简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为 r 的圆
ρ＝ r(0≤θ＜2π）
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．
()
(4)极坐标方程 θ＝πρ（≥0)表示的曲线是一条直线．
()
[答案 ] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编 )在极坐标系中，圆 ρ＝－ 2sin θ的圆心的极坐标是 ( )
π A. 1， 2
π B. 1，－ 2
C．(1,0)
D．(1， π）
则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为 ________．
(1,1) [由 ρsin2θ＝cos θ? ρ2sin2θ＝ρcos θ? y2＝x，又由 ρsin θ＝ 1? y＝1，联
y2＝ x，
x＝1，
立
?
故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 (1,1)．]
y＝1
y＝1.
π 5．在极坐标系中，圆 ρ＝ 8sin θ上的点到直线 θ＝3(ρ∈R)距离的最大值是
近年届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲14.1第1课时坐标系学案理北师大版(2021年整理)
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第1课时坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。
会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1．平面直角坐标系设点P（x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:错误!的作用下，点P(x,y）对应到点P′（x′,y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1）极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画（如图所示）．这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0。
当极角θ的取值范围是［0,2π）时，平面上的点(除去极点）就与极坐标(ρ，θ）(ρ≠0）建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0,极角θ可取任意角．（2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x,y），极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：错误!或错误!这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r（0≤θ<2π）圆心为(r,0），半径为r的圆ρ＝2r cos θ错误!圆心为错误!，半径为r的圆ρ＝2r sin θ(0≤θ〈π）过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R）或θ＝π＋α（ρ∈R）过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a错误!过点错误!，与极轴平行的直线ρsin θ＝a(0〈θ〈π)题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．（×)（2）若点P的直角坐标为（1,－3)，则点P的一个极坐标是错误!。
2022年高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 Word版含答案
学问点考纲下载坐标系1.理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况． 3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区分，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简洁图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区分． 参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 4．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．极坐标与直角坐标的互化(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．(2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．极坐标与直角坐标互化的留意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围．要留意转化的等价性．(2022·高考北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.求曲线的极坐标方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 如图所示，由于圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.曲线极坐标方程的应用(2022·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，假如不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．(2021·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 解得x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.3．(2021·山西省其次次四校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．(1)由于曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)由于直线的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线的距离为d ＝322，所以弦长为210－92＝22.4．(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . (1)消去参数t 得到C 1的一般方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.5．(2021·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．(1)C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)由于M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两间点的距离为1.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离d ＝|－1－2|2＝32＞1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点，亦即曲线C 1和C 2的公共点的个数为0. (2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 由于点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上，所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2021·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．(1)由题意，得曲线C 是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆．l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，由直线l 与圆C 相切可得|2a －8|2＝2a ，解得a ＝43(舍负)．(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值1633.8．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2 θ)＝4.曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． (1)由于C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，所以ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以该曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。
高考数学一轮复习 第1节 坐标系教学案 理(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高三选修4-4数
第一节 坐标系[考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞0，y ′＝μ·yμ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.4．简单曲线的极坐标方程1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C ．(1,0)D ．(1，π)B [法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.]3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]4．在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．(1,1) [由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．]5．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________．6 [圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3，则tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.]平面直角坐标系中的伸缩变换(题组呈现)1．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′. ①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 2．将圆x2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝axa ＞0，Y ＝byb ＞0，求a ，b 的值．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1aX ，y ＝1bY ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2. [规律方法] 平面上的曲线y ＝f x在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0，y ′＝μy μ＞0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f x ，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h x ′，即为所求变换之后的方程.易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标x ，y 与变换后的点的坐标x ′，y ′.极坐标系与直角坐标系的互化(例题对讲)【例1】 (2019·某某质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解](1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．[规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以或同除以ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解](1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，即ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2.所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.极坐标方程的应用(例题对讲)【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解](1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.(2019·某某调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．[解] 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16， 圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解](1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解](1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解](1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。
2019年高考一轮复习第十四章选修内容
第十四章选考内容一、考试说明：1.坐标系与参数方程(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(4)了解参数方程，了解参数的意义．(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．2．不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．14．1 坐标系与参数方程 考点梳理1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．极坐标系(1)在平面内取一个定点O ，叫做)极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(2)一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为同一个点θ∈R )．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．3．极坐标和直角坐标的互化(1)把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．从图中可以得出它们之间的关系：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ．由上式又得到下面的关系式：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x（x ≠0）这就是极坐标与直角坐标的互化公式．(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般只要取θ∈[0，2π)就可以了．4．简单曲线的极坐标方程(1)曲线的极坐标方程的定义一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． （2）常用简单曲线的极坐标方程5．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α．(2)直线的参数方程中参数t 的几何意义是：t 的绝对值等于直线上的动点M 到定点M 0的距离.当M 0M →与e (直线的方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.6．圆的参数方程圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．7．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．基础自测14．1 坐标系与参数方程1. 在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线的方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2解：极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2.故选D.2. 在同一平面直角坐标系中，直线2x － y ＝4变成x ′－y ′＝2的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝4y解：设其伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），则λx －μy ＝2，2λx －2μy ＝4，于是⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2，－2μ＝－1，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝12. 所以φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y . 故选C.3. (2015·安徽六校联考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A. 3B ．2 C.1＋π29D.4＋2π29解：极坐标系中的点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3在直角坐标系下的坐标为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ在直角坐标系下的方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，点到圆心的距离为（1－1）2＋（3－0）2＝ 3.故选A .4. 直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为____________．解：直线的方程为2x ＝1，即x ＝12，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝12.设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.故填 3.5. (2015·重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C的交点的极坐标为________．解：由题意得直线l 的普通方程为x －y ＋ 2＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤ －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x 2－y 2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，所以直线l 与曲线C 的交点的极坐标为(2，π)．故填(2，π)．关键知识点及典型题型类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换例1.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.(*) (1)将(*)代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是x ′＋y ′＝0.因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ′＋y ′＝0.(2)将(*)代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′24＋y ′29＝1.因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，圆x 2＋y 2＝1变成椭圆x ′24＋y ′29＝1.【总结反思】(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．(2)在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系(即变换公式)．另外还要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，变换公式也不同．例2. 已知曲线C ：x 2＋y 2＝1，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到曲线C ′；以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρ(2cos θ＋ sin θ)＝10. (1)写出曲线C ′和直线l 的普通方程；(2)求曲线C ′上的点M 到直线l 的距离的最大值及此时点M 的坐标．解：(1)C ′：x 24＋y 29＝1，l ：2x ＋y －10＝0.(2)设曲线C ′上的点M (2cos φ，3sin φ)，则点M 到直线l 的距离 d ＝|4cos φ＋3sin φ－10|5＝|5sin （φ＋φ0）－10|5.其中φ0为锐角，且tan φ0＝43，当sin(φ＋φ0)＝－1时，d 取最大值35，即距离的最大值为35，此时易得cos φ＝－45，sin φ＝－35，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－95.类型二 极坐标与直角坐标的互化例3 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程．解：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0， 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 【总结】(1)直角坐标方程化为极坐标方程时，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．例4. 将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x ； ②θ＝π3(ρ∈R )；③ρ＝12－cos θ.解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x .③因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.类型三 直线、圆的极坐标方程例5 (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， |MN |＝ρ1－ρ2＝2，因为C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.例6. [2016·陕西安康三联] 在极坐标中，直线l 的方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝m (m >0)．(1)求直线l 与极轴的交点到极点的距离；(2)若曲线C 上恰好有两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围．解：(1)令θ＝0，可得ρ(3cos 0－4sin 0)＝2，∴直线l 与极轴的交点到极点的距离为ρ＝23.(2)直线l 的直角坐标方程为3x －4y －2＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝m 2，曲线C 表示以原点为圆心，m 为半径的圆，且原点到直线l 的距离为25.若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，则15<m <35.【总结】(1) 极坐标与直角坐标互化公式成立的三个前提条件：①取直角坐标系的原点为极点．②以x 轴的 非负半轴为极轴．③两种坐标系规定相同的长度单位．(2) (2)本题中，将θ＝π4代入ρ2－ 2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0即可求出|MN |，利用三角形面积公式即可求出△C 2MN 的面积．例7. 圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，且圆C 经过极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．解：(1)圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．(2) 在圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－22(x ＋y )＝0中，令y ＝0，得x 2－22x ＝0，解得x ＝0或22，于是得到圆C 与x 轴的交点坐标(0，0)，(22，0)，由于直线过圆心C (2，2)和点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y －0＝ 2－02－22(x －22)，即x ＋y －22＝0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－22＝0.例8. 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5，点P (2cos α，2sin α＋2)，参数α∈[]0，2π. (1)求点P 轨迹的直角坐标方程；(2)求点P 到直线l 的距离的最大值；解：(1)设点P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋2，且参数α∈[0，2π]，∴点P 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)∵ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5， ∴12ρsin θ－32ρcos θ＝5，即ρsin θ－3ρcos θ＝10， ∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋10＝0.由(1)知点P 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝4，是圆心为(0，2)，半径为2的圆， ∴圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋10|（3）2＋12＝4，∴点P 到直线l 的距离的最大值为4＋2＝6.14.2参数方程考点梳理1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(*)，并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫作这条曲线的 参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称参数2．直线、圆、椭圆的参数方程(θ 3.直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数).若M 1，M 2是l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)； (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝t1＋t22，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝|t1＋t2|2；(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.4.几种常见曲线参数方程几种常见曲线的参数方程： (1)直线的参数方程．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的参数方程．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(5)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．关键知识点及典型题型类型一 参数方程和普通方程的互化例1. 把下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0，2π))． 解：(1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)，即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1)． 【总结】(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致．．例2. (2015·福建)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：(1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.类型二 直线的参数方程例3. [2016·江西新余一中调研] 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，圆C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若P 点的直角坐标为(2，1)，求||PA |－|PB ||的值．解析：(1)利用互化公式进行两种方程之间的转化；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义和韦达定理求解． 解：(1)易得直线l 的普通方程为y ＝x －1.因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0(或写成(x －2)2＋(y －2)2＝8)．(2)点P (2，1)在直线l 上，且在圆C 内，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t 代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，得t 2－2t －7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－7<0，即t 1，t 2异号．所以||PA |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝ 2.【总结】(1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t 的绝对值表示对应的点到定点的距离．(2)根据直线的参数方程的标准形式中t 的几何意义，有如下常用结论：①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|；②若定点M 0是线段M 1M 2(点M 1，M 2对应的参数分别为t 1，t 2，下同)的中点，则t 1＋t 2＝0；③设线段M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22.例4. 在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ，求线段AB 的长度．解：由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，得C 的普通方程是x24＋y 2＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则线段AB 的长度|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56132－4×4813＝81013.类型三 圆、圆锥曲线的参数方程及应用 例5. [2016·山西长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中一联] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.(1)由代入消元或加减消元，将直线l 的参数方程化为普通方程，由ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)求直线被圆所截得的弦长，可利用垂径定理，即|AB |＝2r 2－d 2，先根据圆心到直线的距离公式求得d ，再代入计算|AB |.解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)方法一：曲线C ：x 2＋(y －2)2＝4是以点(0，2)为圆心，2为半径的圆，易得圆心(0，2)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝24－12＝14. 方法二：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B . 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t(t为参数)代入x 2＋y 2－4y ＝0并化简整理可得t 2＋2t －3＝0，从而⎩⎨⎧t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝（t A ＋t B ）2－4t A t B ＝14. [总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题． 例6. [2016·陕西汉中二模] 已知在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．变式题 解：(1)∵圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2，∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)圆心C (3，－4)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|3－4－2|2＝322＞2，即直线与圆C 相离．由于M 是直线上任意一点，则|MC |≥d ＝322.∴四边形AMBC 的面积S ＝2×12·|AC |·|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2.∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.例7 (2016·河南二模)在直角坐标系xOy 中，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32且倾斜角为α的直线l 与曲线(x －1)2＋(y－2)2＝1相交于不同的两点M ，N .求1|PM |＋1|PN |的取值范围．解：依题意得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝32＋t sin α(t 为参数)，(*) 将(*)代入曲线(x －1)2＋(y －2)2＝1得t 2－(2cos α＋sin α)t ＋14＝0.由Δ＝(2cos α＋sin α)2－1>0得|2cos α＋sin α|>1.又t 1＋t 2＝2cos α＋sin α，t 1t 2＝14，所以1|PM |＋1|PN |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝4|2cos α＋sin α|＝45|cos(α－α0)|∈(4，45]．【总结】 已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.例8 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)消去t 得x －y －2＝0.所以曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)代入y 2＝2ax (a >0)，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )，因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，所以8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，所以a ＝1.例9 (2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 【总结】圆与椭圆的参数方程的异同点：①圆与椭圆的参数方程，实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．②圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．例11.(2014·新课标Ⅰ)已知曲线C ： x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.例12 (2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin α，C 3：ρ＝ 23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.【总结】：本题主要考查极坐标方程与参数方程的相关知识，具体涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容，意在考查方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．例13.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． 解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ.又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2 3y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2 3y ＝0. (2)方法一：设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －2 3y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．方法二：直线l 的参数方程化成普通方程为x ＋3y ＝2. 由⎩⎨⎧x ＋3y ＝2，（x ＋1）2＋（y －3）2＝4，解得P 1(－1－3，3＋1)，P 2(－1＋3，3－1)．因为P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点， 所以点P 在线段P 1P 2上，所以3x ＋y 的最大值是3×(－1＋3)＋(3－1)＝2， 最小值是3×(－1－3)＋(3＋1)＝－2， 所以3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．类型五 利用参数方程求轨迹例14 (2014·江苏无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，如图，曲线C 与x 轴交于O ，B 两点，P 是曲线C 在x 轴上方图象上任意一点，连接OP 并延长至M ，使PM ＝PB ，当P 变化时，求动点M 的轨迹的长度．解：设M (ρ′，θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则OP ＝2cos θ，PB ＝2sin θ.所以ρ′＝OP ＋PM ＝OP ＋PB ＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ′2＝2ρ′cos θ＋2ρ′sin θ，化为普通方程：x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2(x >0，y >0)． 可知M 的轨迹为一个半圆弧， 所以点M 的轨迹长度为2π.【总结】用参数法求轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，然后再消去参数，化为普通方程．很多与直线、圆、圆锥曲线有关的求轨迹的题目中，参数法更简捷．例15. 已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋ y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程，并指出它是什么曲线．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．点Q 轨迹的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，去掉(0，0)点． 故点Q 的轨迹是圆心为(1，1)，半径为2的圆，去掉(0，0)点．章节归纳小结1．极坐标系(1)极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，则||P 1P 2＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）. 特例：当θ1＝θ2时，||P 1P 2＝||ρ1－ρ2. (2)极坐标方程与直角坐标方程的互化 ①直角坐标方程化为极坐标方程，只须将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程，则往往要通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．②通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角．在这里要注意：当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.2．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解||OM 与θ的关系；(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．3．参数方程与普通方程的互化(1)参数方程化为普通方程——消去参数． 消去参数的常用方法有：①先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程，即代入法；②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin 2α＋cos 2α＝1，即三角公式法； ③整体观察，对两式进行四则运算(运用较多的是两式整体相除)，或先分离参数再运算． 总的来说，消参无定法，只要能消参，方法可灵活多样，多法齐用． (2)普通方程化为参数方程——选参数． 一般来说，选择参数时应考虑以下两点：①曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来； ②参数与x ，y 的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．在二者互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线．课时作业14.1-14.2极坐标与参数方程1．若直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－t (t ∈R )，则l 的方向向量d 可能是( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(－2，1)D ．(1，－2)解：易求出直线方程为x ＋2y －5＝0，方向向量(a ，b )满足b a ＝－12，检验知(－2，1)满足．故选C.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最短距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最短距离为1.故选A .3．在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得 4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以 x＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.故选A.4．(2014·安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解：圆ρ＝4cos θ在直角坐标系下的方程为(x －2)2＋y 2＝4，直线的普通方程为x －y －4＝0，圆心到直线的距离是|2－0－4|2＝2，弦长为222－（2）2＝2 2.故选D.5．(2016·皖南八校联考)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 为( )A ．－4或6B ．－6或4C ．－1或9D ．－9或1解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.6．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线。
近年高考数学一轮复习第十四章坐标系与参数方程练习文(2021年整理)
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第十四章坐标系与参数方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1。
坐标系1.了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换2。
了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化3。
能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程Ⅱ2017课标全国Ⅱ,22;2017课标全国Ⅲ，22;2016课标全国Ⅰ，23;2015课标Ⅰ,23解答题★★★2。
参数方程1.了解参数方程和参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程3.理解直线参数方程中参数的几何意义，并能用参数方程解决相关的问题Ⅰ2017课标全国Ⅰ,22；2016课标全国Ⅱ,23；2016课标全国Ⅲ,23;2015课标Ⅱ，232014课标Ⅰ,23填空题、★★★分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分，其中极坐标与直角坐标的互化，直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题，分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现。
本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.（1）消去参数t得l1的普通方程l1：y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2：y=（x+2）.设P(x,y）,由题设得消去k得x2-y2=4（y≠0)。
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答案
2
考点自测
1.求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程.
解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2).
∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y＝2. 即为ρsin θ＝2.
123
解析答案
2.在极坐标系中，已知两点 A、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求 △AOB(其中 O 为极点)的面积. 解 由题意知 A、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)， 则△AOB 的面积 S△AOB＝12OA·OB·sin∠AOB＝12×3×4×sin π6＝3.
123
解析答案
3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B 两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.
123
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐
标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程.
解
∵xy＝ ＝ρρscions
θ， θ，
∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即
ρ＝cos
1 θ＋sin
θ.
∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，
∴0≤θ≤π2.
解析答案
(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角 坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标. 解 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ， 所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x. 由ρsin θ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1. 由yy＝2＝1x， 得xy＝ ＝11， ， 故曲线 C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为(1,1).
解析答案
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍， 得曲线C. (1)写出曲线C的方程；
解 设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)， 依题意，得xy＝ ＝x21y，1. 由 x21＋y21＝1 得 x2＋(2y)2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
解析答案
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，Байду номын сангаас坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线
的极坐标方程.
解
由x2＋y42＝1， 2x＋y－2＝0，
解得xy＝ ＝10， ， 或xy＝ ＝02， .
不妨设 P1(1,0)，P2(0,2)，则线段 P1P2 的中点坐标为(12，1)， 所求直线斜率为 k＝12， 于是所求直线方程为 y－1＝12(x－12)，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即
ρ＝4sin
3 θ－2cos
θ.
思维升华
解析答案
在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P( 2，π4)，圆心为直线
跟踪训练2
ρsinθ－π3＝－ 23与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程. 解 在 ρsinθ－π3＝－ 23中，
令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0).
圆心为(r,0)，
半径为rπ的圆 圆心为(2r，)，
极坐标方程
ρ＝r(0≤θ<2π)
ρ＝2rcos θ (－π2≤θ<π2) ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
答案
过极点，倾斜 角为α的直线
过点(a,0)，与 极轴垂直的直
π
线2 过点(a， )，与
θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋ α(ρ∈R)
ρcos θ＝a (－π2<θ<π2)
答案
(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可 知下面关系式成立：
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
或
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝yxx≠0
.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
答案
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，
半径为r的圆
如图所示，因为圆 C 经过点 P
2，π4，
所以圆 C 的半径 PC＝ 22＋12－2×1× 2cos 4π＝1，
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程. 解 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0， 得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.
解析答案
(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程. 解 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0， 即(x－1)2＋y2＝1， 其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2， 相应的极坐标方程为 θ＝π2(ρ∈R)和 ρcos θ＝2.
§14.3 坐标系与参数方程
课时1 坐标系
内容 索引
基础知识 自主学 习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提 高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：xy′′＝＝λμ··xy
λ>0， μ>0
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系
中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
答案
2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定 一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为 正方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平 面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度 θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称 为点M的 极径 ，θ称为点M的 极角 .由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值 范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一 对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.