02第二章测量学的基本知识

三、平面直角坐标
在小区域内进行测量工作若采用大地坐标来表 示地面点位置是不方便的，通常是采用平面直 角坐标。某点用大地坐标表示的位置，是该点 在球面上的投影位置。测量工作中所用的平面 直角坐标与解析几何中所介绍的基本相同，只 是测量工作以 X 轴为纵轴，一般用它表示南北 方向，以 y 轴为横轴，表示东西方向，全部平 面三角学公式都同样能在测量计算中应用。 为实用方便，测量上用的平面直角坐标的 原点有时是假设的。假设原点的位置应使测区 内各点的x、y值为正。
椭球面是一个曲面，在几何上称为不可展面。 投影变形有长度变形、角度变形和面积变形三种。
对于这些变形，任何投影方法都不能使它们全部
消除，而只能使其中一种变形为零，其余变形控 制在一定范围内。控制相应变形的投影方法有等 距离投影、等角度投影和等面积投影等。对于测 图来说，保持角度不变是很重要的，这是因为角
由于参考椭球体的扁率很小，在普通测量中可把地球作 为圆球看待，其半径为：
二、大地坐标系和高程 地面上的物体大多具有空间形状，例如丘陵、山地、河 谷、洼地等。为了研究空间物体的位置，数学上采用投 影的方法加以处理。一个点在空间的位置，需要三个量 来确定。在测量工作中，这三个量通常用该点在基准面 （参考椭球面）上的投影位置和该点沿投影方向到基准 面（一般实用上是大地水准面）的距离来表示。
度不变就意味着在小范围内的图形是相似的。这
种角度保持不变的投影又称为正形投影。目前，
我国采用高斯正形投影。
设想有一个空心的椭圆柱横切于椭球面上某 一子午线NMHS。这条相切的子午线称为轴子午 线或中央子午线。此时，柱体的中心轴Z1Z2位于 赤道面内，并通过椭球体中心O。现把轴子午线 附近的椭球面上的图形元素，先按等角条件 （正形）投影到横椭圆柱面上，然后将该椭圆 柱面沿过南、北极的母线K1K2、L1L2剪开、展平。
大地坐标。由此可见，大地经度与大地纬度是以法线 为依据的，就是说，以参考椭球面作为基准面。
为求得P点的位置，可在该点上安置仪器，用天文测 量的方法来测定。这时，仪器的水准面相垂直。因此，
用天文观测所得的数据是以铅垂线为准，也就是说以大 地水准面为依据。由天文测量求得的某点位置，可用天 文经度λ 和天文纬度ψ 表示。由于铅垂线与法线并不重 合，所以λ ≠L，ψ ≠B。依据铅垂线相对于法线的关系 （称为垂线偏差），可以将λ 、L改算为L、B。 用经度、纬线表示 P 点位置的坐标系是在球面上建立的， 故称为球面坐标，亦称为地理坐标。
N
格 林 尼 治 59 60 1 2 3 4 5 6 7 赤0° 6° 道 12° 18°
S
6°带从起始子午线开始，自西向东每隔6°为一 带，将椭球面分成60个经差相等的投影带，依次用 阿拉伯数字1~60进行编号，即东经0°~6°为第一带， 6°~12°为第二带，……，如图。
6°的带号与其相应的轴子午线的经度有下列关系： L6=6°n6 -3° 式中： L6 —6 °带的轴子午线经度； n6 —6°带的带号。 我国境内6 °带带号最西的一带为13，最东的一带为23，全国共 11个6 °。 问题：3°带和6°带的第1带的中央经线同一纵轴，问其轴子午线 经度与带号的关系式如何？
四 高斯—克吕格平面直角坐标系
一、高斯投影基本原理 测量工作是在椭球面面上进行的。在椭球面上， 点的位置以经纬度表示，而要测算地面点的经纬度， 其工作是很繁杂的。为了简化计算，如果在一定范 围内，把球面当平面看待，那么，在平面上处理测 量数据，地面点的位置就可用平面直角坐标x，y表 示。实际工作中，由于点的平面直角坐标x，y求算 长度、夹角、面积等等也很方便。因此，测量上， 尤其是测绘地形图时，通用的还是平面直角坐标。 这样，就产生了一个将椭球面上的点位转换到平面 上的问题。研究这个问题的学科，称为地图投影学。
在图2－4中，NS为椭球的旋 转轴，N表示北极，S表示南 极。通过椭球旋转轴的平面 称为子午面，而其中通过原 格林尼治天文台的子午面称 为起始子午面。子午面与椭 球面的交线称为子午圈，也 称子午线。通过椭球中心且
与椭球旋转轴正交的平面称赤道面，它与椭球面相截所得 曲线称为赤道。其他平面与椭球旋转轴正交，但不通过球 心，这些平面与椭球面相截所得曲线称为平行圈或纬圈。 起始子午面和赤道面，是在椭球面上确定某一点投影位置 的两个基本平面。在测量工作中，点在椭球面上的位置用 大地经度L和大地纬度B表示。
图2 －4
所谓某点的大地经度，就是通过该点（如图2－4中的
P 点）的子午面与起始子午面的夹角；大地纬度就是 在椭球面上的P点作一与椭球体相切的平面，过P点作 一垂直于此平面的直线，这条直线称为 P 点的法线 （此法线不通过椭球中心点 O ），它与赤道面的交角
就是P点的大地纬度。大地经度L和大地纬度B统称为
平均海水面是代替海水静止时的水面，是一个 特定重力位的水准面，称为大地水准面。测量工 作取得重力方向的一般方法是，用细绳悬挂一个 垂球G（图2－1（b）），细绳即为悬挂点O的重 力方向，通常称它为垂线或铅垂线方向。
由于地球吸引力的大小与地球内部的质量有 关，而地球内部的质量分布又不均匀，这引起地 面上各点的铅垂线方向产生不规则的变化，因而 大地水准面实际上是一个有微小起伏的不规则曲 面。
不伦大地经度 L 或是天文经度 λ，都要从一个起始
子午面算起。在原格林尼治以东的点从起始子午
面向东计，由0º 到180º 称为东经。同样，在原格林
尼治以西的点则从起始子午面向西计，由0º 到180º 称为西经。实地上东经180º 与西经180º 是同一个子 午面。我国各地的经度都是东经。不论大地纬度B 或天文纬度ψ，都从赤道面起算。在赤道以北的点
为了使长度和面积的变形满足测量的精度要求，根 据上述第一条规律可知，投影带必需限制在轴子午 线两侧的一 定范围内。超出这个范围的部分，就 投影到相邻的一个投影带中去。为此，可将椭球体 在横椭圆柱内旋转一个角度，使相邻投影带的轴子 午线与椭圆柱面相切，再进行投影。对于中、小比 例尺测图，一般限制在轴子午 线两侧个3°，即 经差为6°的带状范围内，称为6°投影带，简称 6°带。6°带两条边界子午线之间最大宽度（ 在 赤道上），约667公里，即该 带离轴子午线最远不 超过334公里。经投影后的线段长度将会产生1/700 的误差，对于大比例尺测图及精度要求较高的工程 测量，这项误差是不能容许的，故要采用3°带甚 至1.5°带。
K1
M1 W
中央子午线
N
M O H
K2
M2 Z2 E L2
Z1
分带子午线
L1
S
K1
N
K2
中 央 子
W
赤
午 线
道
E
L1
图 b
S
L2
则椭球面上的经纬线网都转 换为平面上的经纬线网了， 如图b所示，称为横轴椭圆 柱正形投影。展开后的投影 区域是个以子午线为边界的 带状长条，称为 投影带，而 该投 影 平面 则称为高斯投 影平面，简称高斯平面。 从图上可以看出，椭球面 上的轴子午线投影到横椭圆 柱面上后，其长度不变。离 开了轴子午线的椭球面上的 距离投影后，长度就产生变 形，而且离开轴子午线越远， 其变形就越大。
地球上的任一质点，因受地球引力影响而不脱离地球。 同时，地球又在不停地自转，使质点受到离心力的作用。 因此，一个质点实际上所受到的力是地球引力与离心力 的合力；这个合力即重力（图2－1） 。 静止而不流动的水面上的 每一个分子，各自都受到重 力的作用，在重力位相同时 这些水分子便不流动而成静 止状态，形成一个重力等位 面，这个面被称为水准面。 由物理学知，等位面处处与 产生等位能的力的方向垂直， 即水准面是一个处处与重力 方向垂直的连续曲面。
横轴椭圆柱正形投影有下述三条规律： ⑴轴子午线投影后为直线，其长度 不变；其余子
午线的投影均为凹向轴子午线的曲线，且以轴子
午 线为对称轴；离轴子午线愈远， 其长度变形愈
大。
⑵赤道投影后亦为直线。平行赤道的纬线，其投 影均为凸向迟到的曲线，且赤道为对称轴。 ⑶经线和纬线在投影后，仍然保持互相正交的特 点。
第二章 测量学的基本知识
§2－1地球形状大小和测量坐标系的概念
一、地球的形状和大小 测量工作的主要研究对象是地球的自然表面，即岩石 圈的表面，但它是不规则的。珠穆朗玛峰高达8846.27m， 而在太平洋西部的马里亚纳海沟深达 11022m 。尽管有这 样大的高低起伏，但相对于地球庞大的体积来说仍可忽略 不计。地球的表面形状十分复杂，不便于用数学式来表达。 通过长期的测绘工作和科学调查，了解到地球表面上的海 洋面积约占 71%，陆地面积约占29%，因此人们把地球总 的形状看作是被海水包围的球体，也就是设想有一个静止 的海水面，向陆地延伸而形成一个封闭的曲面。由于海水 有潮汐，时高时低，所以取其平均的海水面作为地球形状 和大小的标准，它所包围的形体称为大地体。
经过常期的测量实践研究证明，大地体与一个以椭圆的短 轴为旋转轴的旋转椭球的形状十分近似（图2－2）；而旋 转椭球是可以用数学式严格表示的，所以测绘工作便取大 小与大地体很接近的旋转椭球作为地球的参考形状和大小； 一般称其外表面为参考椭球面（图2－3）。若对参考椭球 面的数学式加入地球重力异常变化参数的改正，便可得到 大地水准面的较为近似的数学式。这样，从严格的意义上 讲，测绘工作是取参考椭球面为测量的基准面，但在实际 工作中仍取的是大地水准面作为测量的基准面。当对测量 成果的要求不十分严格时，则不必改正到参考椭球面上。 另一方面，实际工作中又可以十分容易地得到水准面和铅 垂线，所以用大地水准面作为测量的基准面便大为简化了 操作和计算工作。因而水准面和铅垂线便成为实际测绘工
大地坐标则必须经过改化。在普通测量工作中，由于 要求的精确程度不必很高，所以可不考虑这种改化。
如上所述，仅说明了空间某点在基准面上的投影位置。
除此以外，还应确定该点沿投影方向到基准面的距离。
在一般测量工作中都以大地水准面作为基准面，因而