中国科学院数学与系统科学研究院2005数分

中国科学院数学与系统科学研究院2005年硕士研究生招生初试试题及其解答 ----博士家园 计算xx xx x +-+--+>-1121313340lim解：L ’Hospital 法则得原式=.621311)1(21)1(31)21(12)31(3121322133240lim-=-=+-+-+⋅+----→x x x x x x 1、 设,,0,b a b a ≠>证明.1ln ln 2abb a b a b a <--<+ 证：令 bax =(不妨设 b a >)，则所证明的不等式可写成)1(1ln 1)1(2>-<<+-x xx x x x设 ,1)1(2ln )(+--=x x x x f 则有 )1(0)1()1()('22>>+-=x x x x x f因此)(x f 在1≥x 上严格递增,从而对任意1>x ,有0)1()(=>f x f ,即1)1(2ln +->x x x 设,ln 1)(x xx x g --=则 )1(,02)1()('2>>-=x xx x x g 因此对任意,1>x 有0)1()(=>g x g 即 )1(ln 1>>-x x xx .2、 求)21111(limnn n x ++++→ 解：)11211111(1212111nn n n n n n n ++++++=+++++ ,考虑函数x x f +=11)(,它在[0,1]上连续，把[0,1]分成n 等份，分点为),,2,1(n i ni=,在每一小区间],1[nin i -中取nii =ζ,则有ni f i +=11)(ζ.于是,原式 =n nn n n n n 1)11111(1lim lim∞→∞→+++++ =)11111(1limnn n n n ++++∞→=2ln 1110=+⎰dx x4、判断级数∑∞=-1ln )1(n n n n 的收敛性.解：令nv nn u n n 1,ln ==,+∞==∞→∞→n v u n n nn ln lim lim而∑n v 发散,因而∑nn ln 发散。

又当3≥n 时, 数列}{n u 单调递减,且趋于0.因此由Leibniz 判别法知nn nln )1(∑-收敛.所以该级数条件收敛.5.设),(y x f 在点)0,0(的某个邻域中连续,⎰⎰≤+=222),()(t y x dxdy y x f t F ,求tt F t )('0lim+→. 解:利用极坐标变换可得⎰⎰⎰⎰==≤+πϕϕϕ20)sin ,cos (),()(222tt y x rdr r r f d dxdy y x f t F由于),(y x f 在点)0,0(邻域连续，所以dtdt F =)('⎰⎰πϕϕϕ20)sin ,cos (trdr r r f d =⎰⎰πϕϕϕ20)sin ,cos (trdr r r f dt dd=⎰πϕϕϕ20)sin ,cos (d t t f则lim lim'0)(→→=+t t t t F ⎰πϕϕϕ20)sin ,cos (d t t f =⎰→πϕϕϕ20)sin ,cos (limd t t f t=).0,0(2f π6.求2222a z y x =++球面包含在柱面)(,12222a b by a x ≤=+内的那部分面积。

解:在球面坐标ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===下,所给的球面方程22a r =，于是球面的参数方程为ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos sin a z a y a x ===其中20,20πϕπθ≤≤≤≤.那么,cos sin ),(),(22θϕθϕa z y =∂∂ ,s i n s i n ),(),(22θϕθϕa x z =∂∂ ,c o s s i n ),(),(2ϕϕθϕa y x =∂∂所以 ϕ242sin a F EG =- 又球面的面积为它在第一卦限部分面积的4倍，所以⎰⎰⎰⎰===≤≤≤≤πππϕπθπϕϕθθϕϕ202022202028sin 4sin 4a d d ad d a S .7. 设|)(|),(xy y x f ϕ=,其中0)0(=ϕ,且)(u ϕ在0=u 的某个邻域中满足)21(|||)(|>≤αϕαu u .证明),(y x f 在)0,0(处可微,但函数||),(xy y x g =在(0,0)处不可微.(),(y x f 在)0,0(处可微性未证明) 证：0)0,()0,0(==x g dx d g x , 0)0,()0,0(==y g dyd g y 考察极限ρρyg x g g y x g y x )0,0()0,0()0,0(),(lim 0---+→ =22||lim yx xy ++→ρ当动点(x,y)沿直线kx y =趣于)0,0(时，显然对不同的k 有不同的极限值22||yx xy + 。

因此上述极限不存在，即在点)0,0(,),(y x g 不能表成)(),()0,0()0,0()0,0(22y x o y g x g g y x +=+++ρρ故||),(xy y x g =在点)0,0(不可微分。

8.设)(x ϕ在),0[∞上有连续导数，并且1)0(=ϕ,令⎰⎰⎰≤++≥++=2222)0()()(222r z y x r dxdydz z y x r f ϕ证明)(r f 在0=r 处三次可微，并求 )0('''f （右导数）证：利用球面坐标变换得⎰⎰⎰≤++++=2222)()(222r z y x dxdydz z y x r f ϕ=⎰⎰⎰ππϕααθ002220)(sin r dt t t d d =⎰rdt t t 022)(4ϕπ又)(x ϕ在),0[∞上有连续导数,则 )(x ϕ也连续，因此有22')(4)(r r r f πϕ=, )]()([8)(232'''r r r r r f ϕϕπ+=且在),0[∞上连续,则有0)(lim )0(''0''==→r f f r 。

那么由导数定义知)(r f 在0=r 处三阶可导，且rr r r r r f r f f r r 0)]()([8lim )0()(lim )0(22'30''''0'''-+=-=++→→+ϕϕπ=ππκϕϕπ8)0(8)]()([8lim 22'20==++→r r r r . 9.设)(x f 在有限区间],[b a 上可微，且满足0)()(''<b f a f （此处)('a f 和)('b f 分别表示)(x f 在a 和b 处的右导数和左导数）,则存在 0)(),,('=∍∈c f b a c 。

证:设C x f x F -=)()(则)(x F 在],[b a 上可微,且0)()()()(''''<=-+-+b f a f b F a F不妨设0)(,0)(''<>-+b F a F ,则存在),(01a U x +∈),(02b U x -∈且∍<,21x x)1()()(),()(21b F x F a F x F >>因)(x F 在],[b a 上可导,所以连续.由最值定理知,存在一点)(],,[ξξF b a ∍∈最大. 由(1)式可知b a ,≠ξ 则ξ是F 的极大值点,所以有0)('=ξF 即 ),(0)('b a f ∈=ξξ.10. 设∑∞==n nn e xa e x,求,,,,3210a a a a ,并证明)2()ln (≥≥-n n r e a nn 其中r 是某个大于e 的常数. (未给出证明) 解:令0=x 有e a =0.在0=x 处分别对等式两边求一,二,三阶导数可得1'0|)(a e e x e x===e a a e e e e e x x x e x e xx=⇒==+===2202''022|)(|)(e a a e e e ee e x x x xe x e xx6565|)3(|)(33023'''0=⇒==++===。