1.示范教案(1.1 指数与指数幂的运算 第3课时)
20§2.1.1指数与指数幂的运算(第3课时)
班级：高一 班 姓名： 编号：20§2.1.1 指数与指数幂的运算第3课时 无理指数幂山东省淄博四中·高一数学组课时学习目标与重难点：☆学习目标：理解无理指数幂的含义；掌握无理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简。
★重难点：无理指数幂的含义的理解、无理指数幂的运算性质的掌握是本节的重点；无理指数幂的含义的理解、实数指数幂的运算与化简是本节的难点。
课时学案：一、新知探究与知能训练1．无理指数幂的意义一般地，无理指数幂αa (0>a ，α是无理数)是一个确定的 。
※合作探究：在规定无理指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？试举例说明之。
★2．实数指数幂的运算性质规定了无理指数幂的意义之后，指数幂的概念就从有理指数推广到实数指数。
对于有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂。
请同学们总结一下它们的共同运算性质：对于任意的实数r 、s ，均有下面的运算性质：① ；② ；③ 。
3．例题讲解例1 写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)5)5()25)(5(2+-=--x x x x ； (2)31)31(33-=-x x 。
课堂训练1：要使式子504253)2(341---+++x x x x 有意义，则实数x 的取值范围是 。
例2 化简下列各式(式中字母都表示正数)：(1)a b ba b a b a b a b a 11))((1122221111-++-+--+----------；(2)xy xy xy ⋅⋅-312。
例3 已知22121=+-a a ，求(1)1-+a a ；(2)22-+a a ；(3)33-+a a 的值，比较以上结论，你还可以得到什么？(不必证明)课堂训练2：已知32121=+-a a ，求(1)1-+a a ；(2)22-+a a ；(3)21212323--++aa a a 的值。
例4 计算下列各式：(1)31213125.01041.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯-+⋅⨯------；(2)433333391624337+--。
高中数学指数与指数幂的运算教案
高中数学指数与指数幂的运算教案一、教学目标•理解指数幂的基本概念，掌握指数幂运算法则。
•掌握指数幂运算中的乘方运算法则、除法运算法则、幂运算法则等基本准则。
•掌握如何进行数学题目的化简与计算。
二、教学重点•理解指数幂的概念，掌握乘方运算、除法运算和幂运算的基本法则。
•熟练掌握指数幂的运算方法，能够灵活运用到数学题目计算及求解中。
三、教学内容1. 指数幂的基本概念•定义：指数是乘积的简写，指数幂就是一个数自乘的多次运算。
例如 aⁿ，其中 a 是底数，n 是指数。
•概念：底数与指数是幂的构成要素。
•特征：指数幂的幂次表示底数连续乘法的次数，指数为 0 的指数幂表示为 1。
•记忆技巧：底数 a 和指数 n 都可以从“按次数”这个概念入手去记。
2. 指数幂运算法则2.1 乘法运算法则指数相加，底数不变。
aⁿ × aⁿʸ = aⁿ⁺ʸ。
例如：2² × 2³ = 2⁵2.2 除法运算法则指数相减，底数不变。
aⁿ ÷ aⁿʸ = aⁿ⁻ʸ，其中 n 〉y。
例如：5⁴ ÷ 5² = 5²2.3 幂运算法则底数相同，指数相加。
aⁿ⁺ʸ = (aⁿ)ⁿʸ。
例如：2³⁺² = (2³)² = 8² = 643. 题目解析题目1$0.5^6 \\times 0.5^3 = 0.5^{6+3} = 0.5^9$题目2$4^3 \\div 4^2 = 4^{3-2} = 4^1 = 4$题目3$(3^4)^3 = (3^{4\\times3}) = 3^{12}$四、教学方法1.以练习为主，通过大量的例题和训练来加深学生对指数幂的认识。
2.实践与归纳相结合，提高学生思维水平与解题能力。
五、教学过程1.复习知识点和概念。
2.讲解指数幂运算法则，通过例题讲解并学生操作，带领学生掌握基本的指数幂运算方法。
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。
2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。
3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。
过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。
2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。
2. 指数幂的运算性质和运算法则。
难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。
2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。
2. 教学课件或板书设计。
学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。
2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。
四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。
2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。
3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。
五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。
2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。
3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。
指数与指数幂的运算(三) 必修一教案19
)
例 2． （P52 例 5）计算下列各式
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（1） ( 3 25 （2）
a2 a. 3 a2
125) 4 25
(a ＞0）
例 3．.已知 a 2 a 2 =3，求下列各式的值: （１） a a 1 ； （２） a 2 a 2 ；
3
;
4
3
81 9 2
;
6. 已知 x a3 b2 , 求 4 x2 2a3 x a6 的值.
7．从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 1 升，然后用水填
3
满，再倒出 1 升，又用水填满，这样进行 5 次，则容
3
器中剩下的纯酒精的升数为多少？
四、小结： 1． 础. 2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化 为分数指数幂后再计算. 五，作业 化简： （1） ( （2）
3
1a
1 a2
3 2 1 2
．
a
三、巩固练习： 1. 化简： ( x 2 y 2 ) ( x 4 y 4 ) .
1 1 1 1
2. 已知 f ( x) x ,
x1 x2 0 ，试求
f ( x1 ) f ( x2 ) 的值
3. 用根式表示 (m 4 n
9) 3 ( 3 102 ) 2 1002
2 9
5
熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基
3 2 2 3 2 2
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（3）
a a
a a
后记：
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人教版高中数学必修 1 教案
授课时间： 备课时间: 年 年 月 月 日 日
2019-2020年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(三)教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（三）教案新人教A版必修1（一）教学目标1．知识与技能：能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.（二）教学重点、难点1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.（三）教学方法1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化.2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习1.分数指数幂的概念.*(0,,)mn mna a a m n N=>∈*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈2.分数指数幂的运算性质.师：提出问题生：复习回顾师：总结完善复习旧知，为新课作铺垫.(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈应用举例 例1．（P 56，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-（2）学生思考，口答，教师板演、点评．例 1 （先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？ 其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式 =211115326236[2(6)(3)]ab+-+-⨯-÷-= =4通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．例2．（P57例5）计算下列各式（1）（2）＞0）课堂练习：化简：（1）；（2）；（3） .（2）原式==例2 分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式=====（2）原式=.小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.练习答案：解（1）原式==；（2）原式==2；（3）原式===.强化解题技巧.归纳 总结1.熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2.含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善．巩固本节学习成果，形成知识体系.课后 作业作业：2.1 第三课时 习案 学生独立完成巩固新知 提升能力备选例题例1 已知，求下列各式的值.33221122(3).a a a a----【分析】从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.【解析】（1）将两边平方， 得 即（2）将上式平方，有（3）由于33221122a a a a----1111122221122()()a a a a a a a a-----++⋅=-【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.例2 化简.111113131313132---+++++-x xx x x x x x【分析】根据本题的特点，须注意到)1()1(1)(13132313331++⋅-=-=-x x x x x ，1121333333()1(1)(1),x x x x +=+-+1111112333333[()1](1)(1)x x x x x x x -=-=-+，应对原式进行因式分解. 【解析】原式111)(1)(1)(31313231313331312313331---+++++-=x x x x x x x x x1213332133(1)(1)()1x x x x x -++=++12133313(1)(1)1x x x x +-+++1)1)(1(31313131-+--x x x x121213333311x x x x x =-+-+--【小结】解这类题，要注意运用下列公式：11112222,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111122222,a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭112112333333.a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2019-2020年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（二）全册精品教案 新人教A 版必修1（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质. 3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. （二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题回顾初中时的整数指数幂及运算性质.,1(0)na a a a a a a=⋅⋅⋅⋅⋅=≠,;()m n m n m n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.老师提问，学生回答.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：＞0①②③④小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：即：*(0,,1)mnmna a a n N n =>∈>相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： *(0,,)m n m na a a m n N =>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m ma a a a a =⋅⋅⋅⋅>学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导． 让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．深化 概念 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数让学生讨论、研究，教师引导． 通过本环节的教指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈若＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 57——P 58.即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)所以，是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈学，进一步体会上一环节的设计意图．()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈应用 举例例题例1（P 56，例2）求值 ；；；.例2（P 56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）；；.分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：117333222.a a a a a a +=⋅==；；31442133332()a a a a a a a =⋅===.课堂练习：P 59练习 第 1，2，3，4题 补充练习：1. 计算：的结果；2. 若 .学生思考，口答，教师板演、点评．例1解： ① ； ② ； ③；④ .例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解： ； ； . 练习答案： 1.解：原式= ==512； 2.解：原式= =.通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．归纳 总结1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数. 先让学生独自回忆，然后师生共同总结．巩固本节学习3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．课后 作业 作业：2.1 第二课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力备选例题例1计算 （1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+； 【解析】 （1）原式（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ = =.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式： （1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-.【解析】 （1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a= = = =；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。
指数与指数幂的运算 教案
2、1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算一、教学目标：Ⅰ、教学与与技能目标：1.n 次方根定义.根式概念.2、分数指数幂的概念.有理指数幂的运算性质.Ⅱ、 过程与方法目标：1、理解n 次方根定义.理解根式的概念. 理解分数指数幂的概念2.正确运用根式运算性质化简、求值.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化. 了解分类讨论思想在解题中的应用 Ⅲ、 情感态度与价值观目标掌握由特殊到一般的归纳方法.培养学生用联系观点看问题.二、教学重点：1、根式概念. 分数指数幂的概念.2、分数指数幂的运算性质.教学难点：根式概念的理解.对分数指数幂概念的理解.三、教学过程：Ⅰ、复习回顾：本节是指数与指数函数的入门课，概念性较强，为突破根式概念理解这一教学难点，关键在于使学生理解n 次方根定义，故结合学生在初中已经熟悉的平方根、立方根的概念，由特殊逐渐地过渡到一般的n 次方根定义，使学生易于接受，并且引导学生主动参与了教学活动.并强调说明根式是n 次方根的一种表示形式.Ⅱ.指导探究：1.n 次方根的定义(板书)若x n ＝a （n ＞1且n ∈N *），则x 叫a 的n 次方根.比较平方根、立方根 .得：偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.这样，我们便可得到n 次方根的性质2.n 次方根的性质(板书)x ＝⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a n n 2,12,（k ∈N *） 其中n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.注：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质.3.根式的运算性质(板书) ①（n a ）n ＝a ②n n a ＝⎩⎨⎧.|,|;,为偶数为奇数n a n a［例1］求下列各式的值 (1)33)8(- （2）2)10(- (3)44)3(π- （4）2)(b a -（a ＞b ）解：(1) 33)8(-＝－8 (2) 2)10(-＝｜－10｜ (3) 44)3(π-＝｜3－π｜＝π－3 (4) 2)(b a -＝｜a －b ｜＝a －b （a ＞b ）根指数n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉根式性质的运用，我们来做练习题.Ⅱ.课堂练习 (1)532- （2）4)3(- （3）2)32(-（4）625-Ⅲ.正数的正分数指数幂的意义1、n m n ma a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定(板书) (1) nm n ma a 1=- (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.3.有理指数幂的运算性质(板书)(1)a r ·a s =a r +s (a ＞0,r ,s ∈Q )(2)(a r )s =a r ·s (a ＞0,r ,s ∈Q )(3)(a ·b )r =a r ·b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q )说明：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.Ⅳ.例题讲解［例2］求值：832，10021-,(41)-3,(8116)43-.［例3］用分数指数幂的形式表示下列各式：a 2·a ,a 3·32a ,a a (式中a ＞0)Ⅴ.课堂练习课本P 54练习 1、2Ⅵ.课时小结通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题. 过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.七.布置作业：课本59页A 组1，2，4（一）求下列各式的值： (1)327-（2）2)4(-π （3）6a（4）2)31(x x -- （5）432981⨯ （6）23×35.1×6122.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（1）43a a ⋅（2）a a a （3）322b a ab +（4）4233)(b a + 3.求下列各式的值：(1)｜2｜21（2）（4964）21- （3）1000043- （4）（27125）32-八、板书设计（略）九、教学反思：。
指数与指数幂的运算(教案)
2.1.1（1）指数与指数幂的运算（根式）
教学目标 知识与技能目标：
理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
过程与方法目标：
通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n 次方根；
通过对“当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。
情感、态度、价值观目标：
通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n 的得出及运用。
教学过程：
板书设计：
2.1指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算（一）
定义例1 例3
性质例2
教学反思：（课后完善）。
1.示范 公开课教案(1.1 指数与指数幂的运算 )
第二章 基本初等函数（Ⅰ）本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考） 2.1指数函数 约6课时 2.2对数函数 约6课时 2.3幂函数 约1课时 本章复习约1课时 2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,若x n=a,则x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零. （3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用n a表示,如果是负数,表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±n a(a＞0).负的n次方根用n a②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号n a表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,n n a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数 a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n 零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况?活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-,而-27的4次方根不存在等.其中527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式.根式的概念: 式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数.思考n n a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？ 活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理. 〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n =a.通过探究得到：n 为奇数,n n a =a.n 为偶数,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 因此我们得到n 次方根的运算性质：①(n a )n =a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.②n 为奇数,n n a =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.n 为偶数,n n a =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值. 应用示例 思路1例1求下列各式的值: (1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=-8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π-3; (4)2)(b a -=a-b(a>b).点评：不注意n 的奇偶性对式子n n a 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.变式训练求出下列各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a (a≤1); (3)44)33(-a .解：(1)77)2(-=-2, (2)33)33(-a (a≤1)=3a-3, (3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a 点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.思路2例1下列各式中正确的是( ) (1)44a =a;(2)62)2(-=32-;(3)a 0=1; (4)105)12(-=)12(-.活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)44a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n n a =|a|,故本题错. (2)62)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为62)2(-=32,故本题错.(3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).点评：本题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心. 例223++223-=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1. 223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1. 所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=223++223-,两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8,所以x=22.点评：对双重二次根式,特别是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对B A B A 22-±+的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练 若12a -a 2+=a-1，求a 的取值范围.解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2+=2)1(-a =|a-1|=a-1,即a-1≥0,所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法正确的是( )A.正数的n 次方根是一个正数B.负数的n 次方根是一个负数C.0的任何次方根都是零D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n ∈N *).答案：C2.化简下列各式: (1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.3.计算407407-++=__________. 解：407407-++ =2222)2(252)5()2(252)5(+•-++•+ =22)25()25(-++ =5+2+5-2- =25.答案：25拓展提升 问题：n n a =a 与(n a )n =a （n ＞1,n ∈N ）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.解答：①（n a ）n =a （n ＞1,n ∈N ）.如果x n =a （n ＞1,且n ∈N ）有意义,则无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以（n a ）n =a 恒成立.例如：（43）4=3,33)5(-=－5. ②n na =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a 当n 为奇数时,a ∈R ,n n a =a 恒成立. 例如：552=2,55)2(-=－2. 当n 为偶数时,a ∈R ,a n ≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n n a =a.例如443=3, 40=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3. 即（n a na ）n =a （n ＞1,n ∈N ）是恒等式,n n a =a （n ＞1,n ∈N ）是有条件的.点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上.1.如果x n =a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n ∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n 为奇数时,(na )n =a,n 为偶数时,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 作业课本P 59习题2.1A 组 1.补充作业:1.化简下列各式： (1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a .解：(1)681=643=323=39; (2)1532-=1552-=32-; (3)48x =442)(x =x 2; (4)642b a =622)|(|b a •=32||b a •.2.若5<a<8,则式子22)8()5(---a a 的值为__________.分析:因为5<a<8,所以22)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13.答案：2a-13. 3.625625-++=__________.分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式, 不难看出625+=22)(3+=3+2. 同理625-=22)(3-=3-2.所以625++625-=23.答案：23设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.(设计者：路致芳)。
人教版高中数学教案 2.1.1指数与指数幂的运算(三)
2.1.1 指数与指数幂的运算（三）（一）教学目标1．知识与技能：能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.（二）教学重点、难点1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.（三）教学方法1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化.2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习1.分数指数幂的概念.*(0,,)mn mna a a m n N=>∈*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈师：提出问题生：复习回顾师：总结完善复习旧知，为新课作铺垫.2.分数指数幂的运算性质.(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈应用举例 例1．（P 56，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-（2）31884()m n -学生思考，口答，教师板演、点评．例 1 （先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式 =211115326236[2(6)(3)]ab+-+-⨯-÷-通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．备选例题例1 已知32121=+-aa ，求下列各式的值.;+-1)1(a a ;)2(22-+a a33221122(3).a a a a----[分析]从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-aa 的联系，进而整体代入求值.[解析]（1）将32121=+-a a 两边平方，得.921=++-a a 即.71=+-aa（2）将上式平方，有.49222=++-a a.4722=+∴-a a（3）由于3213212323)()(---=-a a aa∴33221122a a a a----1111122221122()()a a a a a a a a-----++⋅=-118.a a -=++=[小结]对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.例2 化简.111113131313132---+++++-x xx x x x x x[分析]根据本题的特点，须注意到)1()1(1)(13132313331++⋅-=-=-x x x x x ，=+1x 1121333333()1(1)(1),x x x x +=+-+1111112333333[()1](1)(1)x x x x x x x -=-=-+，应对原式进行因式分解. [解析]原式111)(1)(1)(31313231313331312313331---+++++-=x x x x x x x x x1213332133(1)(1)()1x x x x x -++=++12133313(1)(1)1x x x x +-+++1)1)(1(31313131-+--x x x x121213333311x x x x x =-+-+-- 13.x =-[小结]解这类题，要注意运用下列公式：11112222,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111122222,a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭ 112112333333.a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭m。
山东省郯城县高一数学指数与指数幂的运算教案(3)
作业：P69习题2.1第2题
复习回顾
整数指数幂的概念以及运算性质
数学中，引进一个新的概念或是法则，总希望它与以往的概念或法则是相容的
教师书写第一个，学生独立完成第二个，第三个
完成课本54页第一题，第二题
学生板演，其余同学同位互批
学生自学，在小组讨论，找出未解决的问题
山东省郯城县高一数学《指数与指数幂的运算》教案（3）
主备人
张可梅
课时
1
年月日
分管领导
验收结果
教学目标（1）掌握分数指数幂的运算性质；
（2）培养学生观察分析、抽象等的能力.
重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解
学生围绕这些问题探究，讨论，展示结果
教师板演第一题，学生代表板演其他，
同位之间互批
通过这题，你发现了解决这类型题目的规律了吗?
将底数化成幂的形式在运算
学生到黑板展示自己的成果
下面学生同位之间互批
小结：这节课你有何收获，同位之间相互总结并完善
板书设计
课题
复习引入
1
2
概念
探究
例1
例2
练习
（1）
（2）
（3）
若 ＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.
即： 的不足近似值，从由小于 的方向逼近 ， 的过剩近似值从大于 的方向逼近 .
思考： 的含义是什么？
所以，当 不足近似值从小于 的方向逼近时， 的近似值从小于 的方向逼近 .
指数与指数幂的运算教案
§2.1.1 指数与指数幂的运算 指数幂及其运算 一般地，若 x n= a ，则 x 叫 做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n N
正数的正分数指数幂的 意义是 a
m n
例
解：
2 2
a （a＞
n m
当 n 为偶数时， a 的 n 次方 根有两个，表示为± n a 当 n 为奇数时， a 的 n 次方 根有一个，表示为 n a
16 4 4 2 ( ) 4 ( ) 4 [( ) 2 ] 4 ( ) 4 ( ) 2 81 9 9 9 3 2 2 3 27 [( ) 2 ] 2 ( ) 3 ( )3 3 3 2 8
3 3 3 3
a =1 m n m+n a a =a ( a m)n= a mn ( ab )n= a n b n a m ÷ a n= a m-n
n
m n m+n a a =a ( ab )n= a n b n
学生 活动
设计 说明
复 习 引 入
一般地，若 x n= a ， 复习根式及整 则 x 叫做 a 的 n 次方 数指数幂的运 根 , 其 中 n>1, 且 算性质，学生 学习本节课的 n N 内容会更轻 当 n 为偶数时， 的 n 松，并且效果 a 次方根有两个，表示 也会更好。 为± n a 当 n 为奇数时， 的 n a 次方根有一个，表示 为n a
8
1 n （ a ≠0） a
a8 (a 4 ) 2 a 4 a 4 a 2
12 4
a12 4 (a 3 ) 4 a 3 a 3 a 4
10
学生跟随老师一起回 忆根式的性质及整数 指数幂的运算性质将 三个根式表示成分数 指数幂的形式
高中数学指数与指数幂的运算教案(第三课时)新课标 人教版 必修1(A)
指数与指数幂的运算(第三课时)教学目标1.掌握根式与分数指数幂的互化；2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：有理指数幂运算性质运用。
教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I ）复习回顾1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） （II ）讲授新课例1．计算下列各式（式中字母都是正数）分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。
（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。
对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。
如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。
例2．计算下列各式：分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
nm anm a-（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。
例3．求值：分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。
（III）课堂练习计算下列各式：要求：学生板演练习，做完后老师讲评。
（IV）课时小结通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。
（V）课后作业第二教材有关题目。
高一数学教案：指数与指数幂的运算
高一数学教案：指数与指数幂的运算【】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文高一数学教案：指数与指数幂的运算，供大家参考!本文题目：高一数学教案：指数与指数幂的运算2.1.1 指数与指数幂的运算(练习)学习目标1. 掌握n次方根的求解;2. 会用分数指数幂表示根式;3. 掌握根式与分数指数幂的运算.学习过程一、课前准备(复习教材P48~ P53，找出疑惑之处)复习1：什么叫做根式? 运算性质?像的式子就叫做，具有性质：复习2：分数指数幂如何定义?运算性质?其中复习3：填空.① n为时，.②求下列各式的值：二、新课导学※典型例题例1 已知=3，求下列各式的值：(1) ; (2) ; (3) .补充：立方和差公式.小结：①平方法;②乘法公式;③根式的基本性质(a0)等.注意，a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，. 变式：已知，求：(1) ; (2) .例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?变式：n次后?小结：①方法：审题;探究结论;②解应用问题四步曲：审题建模解答作答.※动手试试练1. 化简：.练2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值.(1) ; (2) .练3. 已知，试求的值.三、总结提升※学习小结1. 根式与分数指数幂的运算;2. 乘法公式的运用.※知识拓展1. 立方和差公式：2. 完全立方公式：学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1. 的值为( ).A. B. C. 3 D. 7292. (a0)的值是( ).A. 1B. aC.D.3. 下列各式中成立的是( ).A. B.C. D.4. 化简= .5. 化简= .课后作业单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
指数与指数幂的运算教案
课题：指数与指数幂的运算第一课时：1．根式；2．分数指数幂。
教学设计：一、复习引入：整数指数幂运算①．； 3 224==-②()n n a n n aa a a a a a a 1 01 0=≠=⋅⋅⋅=-；；个③运算性质：3条（略）。
规定：0≠a二、根式1．引入：．；82 4232==那么2叫做4的 ？2叫做8的 ？4的平方根有几个？8的立方根有几个？2．类比：．；322 16254==。
那么2叫做16的 ？2叫做32的 ？16的4次方根有几个？32的4次方根有几个？3．一般地，()*1 N n n a x n ∈>=，，x 叫做a 的n 次方根。
思考：a 的n 次方根有几个？得到：①n 是奇数，a 的n 次方根只有1个，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，记为n a ，R a ∈②n 是偶数，a 的n 次方根有2个，它们互为相反数，记为n a ±，0>a ；当0=a 时，00=n 。
4．根式概念：n a 。
n a 与n 次方根的区别：n a 是n 次方根的表示形式。
5．例1、书P54。
由此学生完成书P54的探究。
得出：n 为奇数时，a a n n =；n 为偶数时， 0 0 ⎩⎨⎧<-≥==a a a a a a n n ，， 三、分数指数幂1、学生练习：求()()0 0 41636>>a a a a ；。
2、类比：()()0 0 4532>>a b a a ；。
得出： 分数指数幂的意义：()1 *, 0 >∈>=n N n m a a a n m nm且 ()1 *, 0 1>∈>=-n N n m a a an mn m且学生练习：书P59ex1 说明：①0的正分数指数幂=0，0的负分数指数幂没有意义。
②正数指数幂推广到有理数指数幂。
③原有整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。
书P55的3条3、例2，书P56例2。
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案一、知识点概述指数是数学中的一个重要概念，它表示一个数的幂次。
指数幂是指一个数的指数次幂，例如a b表示a的b次幂。
指数与指数幂的运算是数学中的基本运算之一，掌握这一知识点对于学习高中数学和大学数学都非常重要。
本教案将介绍指数与指数幂的基本概念、运算规律和解题方法，帮助学生掌握这一知识点。
二、基本概念1. 指数的定义指数是表示一个数的幂次的数，通常用字母a和n表示，a表示底数，n表示指数。
指数的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。
2. 指数幂的定义指数幂是指一个数的指数次幂，例如a n表示a的n次幂。
指数幂的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。
3. 底数和指数的关系底数和指数是指数幂的两个基本要素，它们之间的关系非常密切。
底数表示被乘数，指数表示乘数，指数越大，指数幂的值就越大。
三、运算规律1. 同底数幂的乘法同底数幂的乘法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相加，底数不变。
即a m×a n=a m+n。
例如：23×24=23+4=27。
2. 同底数幂的除法同底数幂的除法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相减，底数不变。
即a ma n=a m−n。
例如：2523=25−3=22。
3. 幂的乘方幂的乘方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相乘，底数不变。
即 (a m )n =a mn 。
例如：(23)4=23×4=212。
4. 幂的除方幂的除方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相除，底数不变。
即(a m )n a p =a mn−p 。
例如：(23)422=23×4−2=210。
5. 指数幂的乘方指数幂的乘方是指，当两个指数幂的指数相乘时，它们的底数不变，指数相乘。
即 (a m )n =a mn 。
例如：(23)4=23×4=212。
6. 指数幂的除方指数幂的除方是指，当两个指数幂的指数相除时，它们的底数不变，指数相除。
高中数学指数与指数幂的运算教案
高中数学指数与指数幂的运算教案教学目标1.理解指数和幂的概念；2.掌握指数的基本运算法则；3.掌握指数幂的计算方法。
教学重难点1.掌握指数的基本运算法则；2.掌握指数幂的计算方法。
教学内容1. 指数的概念指数是数学中一个重要的概念，用于表示一个数的幂次。
指数通常写在一个数的右上角，如a n，其中a是底数，n是指数。
指数的计算可以用重复乘法的方法进行。
2. 指数的基本运算法则2.1. 指数相加、相减指数相加时，如果底数相同，则可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。
指数相减时，如果底数相同，则可以将指数相减，即$\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
2.2. 指数相乘、相除指数相乘时，如果底数相同，则可以将指数相乘，即(a m)n=a mn。
指数相除时，如果底数相同，则可以将指数相除，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
2.3. 幂函数的运算幂函数是一种特殊的函数，它具有y=ax n的形式。
幂函数的运算可以用指数的基本运算法则进行，例如(x m)n=x mn和 $x^m \\times x^n = x^{m+n}$。
3. 指数幂的计算方法指数幂的计算方法包括以下几种。
3.1. 同底数幂的乘方运算当底数相同时，两个幂相乘可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。
例如，$5^3 \\times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$。
3.2. 不同底数幂的乘方运算当底数不同时，两个幂相乘可以先将底数相乘，再将指数相加。
例如，$3^4 \\times 2^4 = (3 \\times 2)^4 = 6^4$。
3.3. 同底数幂的除法运算当底数相同时，两个幂相除可以将指数相减，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
例如，$\\dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$。
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第3课时指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?2的过剩近似值5 52的近似值1.5 11.180339891.42 9.829353281.415 9.7508518081.4143 9.739872621.41422 9.7386186431.414214 9.7385246021.4142136 9.7385183321.41421357 9.7385178621.414213563 9.7381775252的近似值2的不足近似值9.518 269 694 1.49.672 669 973 1.419.735 171 039 1.4149.738 305 174 1.414 29.738 461 907 1.414 2139.738 508 928 1.414 2139.738 516 765 1.414 213 59.738 517 705 1.414 213 569.738 517 736 1.414 213 562③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明52是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了. 讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a α是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a α是一个确定的实数,就不会再造成混乱.（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则: ①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s 都是无理数). ②(a r )s =a rs (a>0,r,s 都是无理数). ③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r 是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈R ). ③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈R ). 应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001） （1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.143;（4）33.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值； 对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.143≈2.336;（4）33≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简. (1)3224ab ba -(a>0,b>0); (2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0);(3)246347625---+-.活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a -2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044∙a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)246347625---+-=222)22()32()23(---+- =3-2+2-3-2+2=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=21(5n 1-5n 1-),n ∈N *,求(x+2x 1+)n 的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5n1与5n1-具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x 2=41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 2-2·50+5n 2-)=41(5n 2+2+5n 2--4) =41(5n 1+5n 1-)2-1. 这时应看到1+x 2=1+41(n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)2,这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,带入即可.解：将x=21(5n 1-5n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)n ,所以(x+2x 1+)n=［21(5n 1-5n 1-)+211)55(41n n-+］n=［21(5n 1-5n 1-)+21(5n 1+5n 1-)］n =(5n 1)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2 例1计算:(1)105432)(0625.0833416--+++π; (2)12532+(21)-2+34331-(271)31-;(3)(-2x 41y31-)(3x 21y 32)；(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1)105432)(0625.0833416--+++π =(425)21+(827)31+(0.062 5)41+1-21=(25)2×21+(23)313⨯+(0.5)414⨯+21 =25+23+0.5+21 =5;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-=(53)32+(2-1)-2+(73)31-(3-3)31-=5323⨯+2-2×(-1)+7313⨯-3)31(3-⨯-=25+4+7-3=33; (3)(-2x 41y 31-)(3x 21y 32)=(-2×3)(x 41x 21·y31-y 32)=323121416+-+∙-yx=-6x 43y 31=3436y x-;(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41)=((x 41)2-(y 41)2)÷(x 41-y 41) =(x 41+y 41)(x 41-y 41)÷(x 41-y 41) =x 41+y 41.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 例2化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a -3)(a 3-a -3)÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x 32)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2-(a -3)2］÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a+a -1. 点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a 23=(a 21)3还容易看出,对其中夹杂的数字m 可以化为m·a 21a 21-=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P 59习题2.1A 组 3.利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1-2321-)-1B.(1-2321-)-1 C.1-2321- D.21(1-2321-) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推,所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1-2+(22710)32--3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=(925)21+100+(6427)32-3+4921×161=53+100+169-3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=21(a n 1-a n 1-),则(x+2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,将x=21(a n 1-a n 1-)代入1+x 2,得1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x+2x 1+)n=［21(a n 1-a n 1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1-a n 1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a.答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂32的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂52的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算32的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”32的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.3的过剩近似值32的过剩近似值3的不足近似值32的不足近似值1.8 3.482202253 1.7 3.249009585 1.74 3.340351678 1.73 3.317278183 1.733 3.324183446 1.731 3.319578342 1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849 1.732063.3220182521.732043.32197221.732015 3.321997529 1.732049 3.321992923 1.7320509 3.321997298 1.7320507 3.321996838 1.732050813.3219970191.732050793.321997045我们把用2作底数,3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同样把用2作底数,3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为32.即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<32<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说32是一个实数,32=3.321 997 …也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时,32的近似值从大于32的方向逼近32； 当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时,32的近似值从小于32的方向逼近32.所以32就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即32≈3.321 997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈R ). ③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈R ).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.。