江苏省通州高级中学等五校2015届高三第一次联合考试

江苏省通州高级中学等五校2015届高三第一次联考数学试卷参考学校：通州高级中学；镇江第一中学；太仓高级中学；建湖高级中学；阜宁中学数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷纸相应的位置上． 1. 若集合{23},{14}A x x B x x x =-≤≤=<->或，则集合A B = ▲ ．2. 设i 是虚数单位，复数12aii++为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3. 函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为 ▲ ．4. 直线l经过2(,2)()A B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ▲ ．5. 在ABC ∆中，90A ∠=，且1AB BC ⋅=-,则边AB 的长为 ▲ ．6. 已知7(0,),sin cos 13απαα∈+=,则tan α= ▲ ． 7. 直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的 ▲ 条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)8．设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ” 为真命题的是 ▲ ． （填所正确条件的代号）①,,x y z 为直线；②,,x y z 为平面；③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面.9. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为 ▲ ．10. 长方体1111ABCD A B C D -中，13,2AB BC AA ===，则四面体11A BC D 的体积为 ▲ ． 11. 在△ABC 中，已知5AB =，2BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为 ▲ ．12．不等式22()a mb b a b λ+≥+对于任意的,a b ∈R ，存在R λ∈成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13. 函数2()(2)(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤恒成立，求2()3f = ▲ ．14. 数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，当3n ≤时，n n b a n -=，若数列{}n a 唯一，则1a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知函数()()cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（１）求()f x 的最小正周期；（２）若将()f x 的图像向左平移4π个单位，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．A C 如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =， E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .（１）证明：PA ∥平面EDB ；（２）证明：PB ⊥平面EFD .17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈*N )名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．（１）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（２）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ． （１）求圆H 的方程；（２）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（３）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．19．(本小题满分16分)函数()(1)(ln 1)f x mx x =+-．（１）若1m =，求曲线()y f x =在1x =的切线方程；（２）若函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，求实数m 的取值范围；（３）设点(,0)P m ，11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足1212ln ln ln()x x x x ⋅=⋅12()x x ≠，判断是否存在实数m ，使得APB ∠为直角？说明理由．A 若数列{}n a 的各项均为正数，*212,n n n n N a a a t ++∀∈=+，t 为常数，且3242a a a =+.（１）求132a aa +的值；（２）证明：数列{}n a 为等差数列；（３）若11a t ==，对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k <p <r )使1a k ，1a p ，1a r成等差数列？若存在，用k 分别表示一组p 和r ；若不存在，请说明理由．江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试数学试卷数学II （附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交 AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （１）求袋中原有白球的个数；（２）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本题满分10分）已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数. （１）求1(1)2mx +展开式的中间项； （２）当2n ≥时，试比较2121111n n n n a a a a ++++++与13的大小.AC 江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试数学试卷参考答案 Ⅰ卷一、填空题（每小题5分，共70分） 1. [2,1)-- 2. 2-3.（0,1]4. 5(0,]6π5. 16. 125-7. 充分而不必要 8．③ 9.3210. 6 11. 12． [1,)-+∞ 13. 19- 14. 13二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15． (本题满分14分)解 (1) ()()cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22π⎛⎫++⎪⎝⎭x x sin 2=x x 2sin 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ……5分22ππ∴==T .………………7分 (2)由已知得()2sin 2443g x f x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2=2cos(2)233x x πππ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭………………………………………9分0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， ………………11分故当23x ππ+=即3x π=时，()min 23g x g π⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当233x ππ+=即0x =时，()max 13g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ………………14分16．(本题满分14分)证明：(1)连结AC 交BD 与O ，连结EO . ∵底面ABCD 是矩形， ∴点O 是AC 的中点.又∵E 是PC 的中点∴在△PAC 中，EO 为中位线∴PA ∥EO .而EO ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB . ……7分(2)由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC . ∵底面ABCD 是正方形， ∴DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC . 而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE .①∵PD DC =，E 是PC 的中点，∴△PDC 是等腰三角形， DE ⊥PC .② 由①和②得DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB . 又EF ⊥PB 且DE EF =E ，∴PB ⊥平面EFD . ……14分17. (本题满分14分)解：（1）由题意，得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000，即2x －500x ≤0， 又x ＞0，所以0＜x ≤500．即最多调整500名员工从事第三产业． ……5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭万元， 则310500x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤110(1000)1500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ……8分 所以ax －23500x ≤1000＋2x －x －21500x ，所以ax ≤22500x ＋1000＋x ，即a ≤2x ＋1000x＋1恒成立． ……11分因为2500x ＋1000x ≥4，当且仅当2500x ＝1000x， 即x ＝500时等号成立，所以a ≤5，又a ＞0，所以0＜a ≤5．所以a 的取值范围为(0，5]． ……14分 18. (本题满分16分)解：(1)22(3)10x y +-= ……………4分(2)3x =或4360x y --=………10分（缺少一个方程扣3分） (3)02CP r r <-≤，即3r CP r <≤恒成立，min max 3r CP r CP CH ⎧<⎪∴⎨⎪≥=⎩r ≤< …16分 注：多等号扣2分，其它方法类似. 19. (本题满分16分)解（1）30x y --=． ……………3分（2）ln 1()0mx x f x x+'=≥在(0,)+∞恒成立， ……………5分设()ln h x x x =， ()h x 值域1[,)e --+∞，即10mt +≥在1[,)t e -∈-+∞恒成立，110m e m -≥⎧⎨-+≥⎩，0m e ≤≤． ……………10分 （3）1122(,()),(,())PA x m f x PB x m f x =-=-， 1212()()()()PA PB x m x m f x f x ⋅=--+121212()()(1)(1)(ln 1)(ln 1)x m x m mx mx x x =--+++--1212()()(1)(1)x m x m mx mx =--+++212(1)(1)0m x x =++>∴不存在实数m ，使得APB ∠为直角． ……………16分20. (本题满分16分)解：（1）由条件，设*212,n n n n N a a a t ++∀∈=+令2n =，得2324a a a t +=①，令1n =，得2213a a a t =+ ② ①—②，得 22322413a a a a a a -=-， 331224()()a a a a a a +=+， 132423 2.a a a a a a ++∴== ……………………………………4分（2）212n n n a a a t ++=+③， 2213n n n a a a t +++=+④，④—③，得 13221n n n n n n a a a a a a +++++++=……………………………7分 ∴数列21n n n a a a ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列，213122.n n n a a a a a a ++++∴== 212n n n a a a ++∴+=， ∴数列{}n a 为等差数列. ……………10分（3）由（2）知，数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由条件2121n n n a a a a ++=-，得21111()()n n n a a d a d a +++--+=211d a ∴==，又数列{}n a 的各项为正数，0d ∴>，1d ∴=，n a n ∴=.……………………………………12分当k ＝1时，若存在p ，r 使1a k ，1a p ，1a r 成等差数列，则1r ＝2p －1＝2－p p≤0.与1r>0矛盾．因此，当k ＝1时，不存在． ………………… 14分 当k ≥2时，则1k ＋1r ＝2p ，所以r ＝kp2k －p.令p ＝2k －1得r ＝kp ＝k (2k －1)，满足k <p <r ． 综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k ≥2时，存在一组p ＝2k －1，r ＝k (2k －1)满足题意． …… 16分（II ）卷21、 A ．证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°． 所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ． 因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ．B ．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32.C ．解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x ++=，222:220C x y x y +--=即()()222:112C x y -+-=， 圆心到直线的距离d >，∴曲线12C C 与相离． D ．证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6.（2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所求数学期望为E （X ）=1⨯3+2⨯4+3⨯14+4⨯84=.723．解：（Ⅰ）122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++依题意11a =，212a m =，3(1)8m m a -=，由2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m = …………………2分 所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为：44458135()28T C x x ==；…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32n a n =-,当2n =时，212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=>当3n =时，212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++>猜测：当2n ≥时，2121111n n n n a a a a ++++++13> …………………6分 以下用数学归纳法加以证明： ①3n =时，结论成立， ②设当n k =时，212111113k k k k a a a a ++++++>， 则1n k =+时，2(1)(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++-- 由3k ≥可知，23730k k -->即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得，当2n ≥时，212111113n n n n a a a a ++++++> …………………10分。