平面向量的数量积及运算律

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平面向量的数量积及其运算律

平面向量的数量积及其运算律在物理课中，我们学过功的概念：即一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功：W =|F ||S |cos θ.即功等于运动距离乘以力在运动方向上的投影.如图1.4—1.由此我们引出向量数量积的概念.一.数量积【向量的夹角】已知两非零向量a 和b .在平面上任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab.则∠AOB =θ(0≤θ≤π).叫做向量a 与b 的夹角．想一想:你能指出下列图中两向量的夹角吗？参考答案:①的夹角为0，②OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π，③OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是∠AOB ，④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是θ.两向量夹角的取值范围[0，π]．注：如果向量a 与b 的夹角是 π2，就称a 与b 垂直，记作a ⊥b .【平面向量的数量积】已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作：a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ. 并规定0∙a =0.这里“·”表示向量的一种乘法运算，称为点乘.【数量积的几何意义】我们把|b|cos θ (|a |cos θa 叫做向量b 在a 方向上(a 在b 方向上)的投影.你能从图中作出|b |cos θ的几何图形吗？①投影不是向量,是数量，它可以是任意的实数. ②当θ为锐角时投影为正值，数量积为正值.当θ为钝角时投影为负值，数量积为负值；当θ为直角时投影为0，数量积为0；当θ = 0时，a 与b 同向，投影为|b |，a ·b =|a ||b |，当θ=π时，a 与b 反向，投影为 -|b |，a ·b = -|a ||b |.a ·b 的几何意义：向量a 与b 的数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影(|b |cos θ的积．【数量积的性质】 ①a ⊥b ⇔a ⋅b =0.②当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b = -|a ||b |.特别地a ·a=|aaa|2. ③|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.图1.4—1 图1.4—2图1.4—3④设a 是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ⋅a =a ⋅e =|a |cos θ. ⑤cos θ=a·b|a ||b|.【数量积的运算律】已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①a·b = b·a .(交换律). ②(λa ·b =λ(a·b )=a·(λb ).③(a +b ·c=a·c+b·c . (分配律).注意:在实数中，乘法运算满足结合律.向量的数量积没有结合律可言.原因是(a·b )·c 包含的是两种不同的运算，即a· b 是数量积，再乘以c 为实数与向量的积.对于数量积的运算律，其中①、②读者可自证.下面就③给出相应的证明：过a 、b ，a +b 的终点分别向c 引垂线，垂足分别是A 、B 、D. 如图1.4—4.a 、b ，a +b 在c 上的投影分别为OA 、OB 、OD. 又 OD=OB+BD.现证 BD=OA.过a +b 的终点引c 的平行线交BE 于F.易知ΔEFG ≅ΔHAO ,⇒OA=FG,而FG=BD, 故OA=BD.⇒ OD=OA+OB,⇒ (a +b ·c=a·c+b·c .【特别提醒】从实数的运算到向量的数量积运算，发生了如下几个主要变化: (1)在实数运算中，若a ⋅b=0，则a=0或b=0；在数量积中，若a ⋅b=0，则a=0或a b=0或b a ⊥. (2)在实数运算中，已知实数a 、b 、c(b ≠0)，则ab=bc,⇒ a=c.在数量积中，若b 0≠，且a ⋅ba=ab ⋅c 则 aa=aca 吗？如右图1.4—5：a ⋅ba=a|a||b|c os β = |b||OA|， b ⋅ca=a|b||c|cos α = |b||OA| ⇒aa ⋅ba=ab ⋅c ，但a ≠ac .(3)在实数运算中，乘法运算满足结合律(a ⋅b)c = a(b ⋅c). 在数量积中，没有结合律可言.a (4)在实数运算中，|ab|=|a||b|. 在数量积中，|a ⋅b |≤|a |⋅|b |.想一想①:已知向量|a |=2，|b |=1，a 、b 的夹角为600，则|a +b ||a -b |=|a 2-b 2|=3吗?【数量积的坐标形式】设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2+y 1y 2.二.数量积性质的应用平面向量的数量积及性质的应用是非常广泛的，利用它们可以解决许多问题.【性质2的应用】与两非零向量a 、b 垂直的问题可通过a ·b =0来处理.例1.(1)已知向量a ⊥b ，且|a |=2，|b |=3，若(3a +2b )·(k a -b )=0，求k 的值.EOGH A BD Fc baa+b图1.4—4O 图1.4—5 a b cA(2)设c 、d 是非零的向量，d =(b ·c ）·a -(a ·c ）·b ，则c ∥d ，还是c ⊥d ？ (3)已知a 、b 、c 为非零的向量，若|b -a -c |=|a -b -c |且|a +b +c |=|a +b -c |.求证：a ⊥c . 解(1) ∵ a ⊥b ， ∴ a ·b =0 . 由(3a +2b )·(k a -b )=0，⇒3k a 2-2b 2=0.∵ |a |=2，|b |=3 ，得k= 32.(2) ∵ d =(b ·c )·a -(a ·c )·b ，⇒a d ·c =[(b ·c )·a -(a ·c )·b ]·c =(b ·c ·a ·c -(a ·c ·b·c =0.⊥ d ⊥c.(3) ∵ |b -a -c |=|a -b -c | ⇒(b -a -c 2=(a -b -c 2，⇒a ·c -b·c =0. ①由|a +b +c |=|a +b -c | 类似地，⇒a a ·c +ab·c =0. ② ⊥ 由①、② ⇒a a ·c =0 ⇒a ⊥c .例2.如图1.4—6. AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 交于一点H.证明：设BE,CF 交于一点H ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a b ，AH ⃗⃗⃗⃗⃗ =a h .则BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -a ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =h -b ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a . ∵ BH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴ (h -a )a·b =0，且(h -b )a·a =0，⇒ (h -a )a·b =(h -b )a·a ，⇒(b -a )a·h =0. ∴ AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又∵ 点D 在AH 的延长线上，∴ AD 、BE 、CF 相交于一点.例3. 已知a =(√3，-1)，b =(12，√32).设存在实数k 、t 使得x =a +(t 2-3)b ，y = -k a +t b ，且x ⊥y ，试求k+t 2t的值域.解：∵ a =(√3，-1)，b =(12，√32) ， ∴ a ·b =0且|a |=2，|b |=1.a又∵ x ⊥y ，∴x ·y =0，⇒-k a 2+t(t 2-3)b 2=0，⇒k =t(t 2−3)4，⇒k+t 2t=t 2+4t−34=(t+2)2−74(t ≠0). ⇒k+t 2t∈[−74，−34)∪(−34，+∞).说明：此题若采用坐标运算来处理，而不注意灵活地利用a ·b =0，则计算量会增加许多.一般来说，当题设条件中有|a |、|b |为定值，且a ·b =0时.还是采用本题的解法为好.想一想②：设向量a 、b 、c 的模均为1，它们两两间的夹角均为1200，求证：(a -b ⊥c.【性质3的应用】与模有关的问题可通过a 2=|a|2，|a|=√a 2=√x 2+y 2来处理.例4.利用向量证明：平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.已知：已知平行四边形ABCD.如图1.4—7.求证：2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.证明：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =aa -b ， ∴ AC 2+BD 2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a+b )2+(a -b )2=2(|a |2+|b |2)=2(AB 2+DA 2)， ∴ 2(AB 2+AD 2)=AC 2+BD 2.例5.利用向量证明余弦定理：在△ABC 中，求证：a 2=b 2+c 2-2bc·cosA .证明：如图1.4—8. ∵ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ cosA |AB ||AC |2AC )AB -AC (BC 2222-+==AB ，即：a 2=b 2 +c 2-2bccosA. 同理可得： b 2= a 2+c 2-2accosB ； c 2= a 2+b 2-2abcosC.AB CD E F H 图1.4—6 A BC D 图1.4—7ABCc ab图1.4—8例6.已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.求证：△ABC 是正三角形. 思路1.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⇒四边形OADB 是菱形，⇒△AOD 是正三角形， ⇒∠AOB=1200，同理可得：∠AOC=∠BOC=1200，⇒△ABC 是正三角形.思路2.由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，⇒ O 为重心. 由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1，⇒O 为外心. ∴ △ABC 是正三角形. 思路3.由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1及|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2)， ⇒|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，⇒ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=3，⇒AB =√3. 同理可得：BC=AC=.√3 ⇒ △ABC 是正三角形. 思路4.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，⇒ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ， ⇒ cos ∠AOB=−12，⇒ ∠AOB=1200. 同理可得：∠AOC=∠BOC=1200.⇒△ABC 是正三角形.想一想③：a a aa a a 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.若a·b=b ·c=a·c ，求证：△ABC 是正三角形.【性质4的应用】与两向量的夹角有关的问题.可通过cos θ=a⋅b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12√x 22+y 22来处理.例7.已知向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3.求向量a +b+c 的模及a +b+c 与a 的夹角.解：∵ 向量a 、b 、c 两两所成的角都相等，∴ a 、b 、c 两两所成的角为1200或00. ①若a 、b 、c 两两所成的角为00，则|a +b+c |=|a |+|b|+|c|=6.a +b+c 与a 的夹角的夹角为00.②若a 、b 、c 两两所成的角为1200，∵| a +b+c |2=a 2+b 2+c 2+2(a·b+b ·c+a·c )=1+4+9-(131322⨯+⨯+⨯)=3. ∴|aa +b+c |=√3.设a +b+c 与a 的夹角为θ，则cos θ=a⋅(a+b+c)|a||a+b+c|=1−1−32√3=−√32. ∴ a +b+c 与a 的夹角为1500.例8.已知|a |=√2，|b |=3，a 、b 的夹角为450，求使a +λb 与λa +b 的夹角为钝角时，λ的取值范围.解：由a +λb 与λa +b 的夹角为钝角，⇒ (a +λb ·(λa+b )＜0，且a +λb 与λa +b 不共线，⇒λa 2+(1+λ2)a ⋅b +λb 2＜0且λ≠±1，⇒−11+√856<λ<−11+√856，且λ≠−1.想一想④：1.已知|a |=2|b |≠0.关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根，求a 、b 的夹角的取值范围.2.已知a =(λ，2)，b =(-3，5).若a 、b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.【性质5的应用】与不等式、最值有关的问题通常可通过|a ·b |≤|a ||b |(x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12⋅√x 22+y 22) 或||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |来处理.例9.利用向量证明：(1)若a 、b 、c 、d ∈R ，则ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2. (2)设a 、b ∈R ，则 |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.O ADB x yC 图1.4—9证明：(1) 设m =(a ，b)，n =(c ，d).由|m ·n|≤|m ||n |， | ac+bd|≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2，又∵ x≤|x ，|⇒ ac+bd≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2.(2) 设m =(1，b)，n =(1，a). 由||n |-|m ||≤|n -m |，⇒ |√1+a 2−√1+b 2|≤|a -b|.想一想⑤：1.设向量a =(1，-1)，b =(3，-4)，x =a +λb ，试证：使|x |最小的向量x ，垂直于向量b .2..求函数y =√x 2+a +√(x −c)2+b 的最小值.（其中a 、b 、c 是正实数）【数量积计算的几个形式】与向量数量积计算的相关试题可谓是千变万化，林林总总，不一而足.表面看来似乎纷繁杂陈，眼花缭乱.但是，假若我们静心品味，拨云驱雾，就会发现：这“万变”还是“不离其宗”的.归纳起来,其实主要是围绕如下三个方面展开的： ①直接形式——利用数量积的定义式(包括坐标形式)进行计算；②间接形式——通过变形将所求数量积转化到与已知条件有直接关系后进行计算； ③几何意义——利用数量积的几何意义进行计算.下面，我们将就此展开一些探讨.(1)紧扣定义，直接计算利用数量积的定义式进行计算时，通常要分别确定两向量的模和夹角.若题设条件没有明确给出，就必须根据其它关系式将其导出.例10.如图1.4—10.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ). A.-4+√2. B. -3+√2. C. -4+2√2. D.-3+2√2.解：设|PA|=|PB|=x ，∵ PA ⃗⃗⃗⃗ ∙PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2cos ∠APB=x 2(1-2sin 2∠APC) =x 2(1−21+x 2)=x 2−2x 21+x 2=−3+(21+x 2+1+x 2)≥−3+2√2.故应选D.例11.对于两个非零的平面向量α，β.定义α⊙β=α∙ββ∙β .若两个非零的平面向量a ，b ，满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2).当a ⊙b 和b ⊙a 都在集合{n 2|n ∈Z }中时，a ⊙b =( ).A.52.B. 32.C.1.D. 12. 解：由定义知，a ⊙b =|a||b|cos θ|b|2=|a|cos θ|b|. ∴(a ⊙b (b ⊙a )=cos 2θ.又由已知可设a ⊙b= n12，n 1∈Z ，b ⊙a =n 22，n 2∈Z ， ∴(a ⊙b (b ⊙a )=n 1n 24，又∵ θ∈(π4，π2)， ∴cos 2θ∈(0，12). 则0<n 1n 2<2,因此，n 1、n 2只能在{-1，1}中取值，故应选D.想一想⑥：1.如图1.4—11，在∆ABC 中，AD ⊥AB,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,| AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.已知A ，B ，C 是圆O ：x 2+y 2=1上的三点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 当所涉数量积计算的图形是直角三角形或矩形(正方形)时，应考虑通过建立平面直角坐P A B C x 图1.4—10_ BAD C 图1.4—11标系，利用数量积的坐标形式来进行.例12.在Rt ∆ABC 中，∠C=900，若∆ABC 所在平面内的一点P 满足PA → +PB →+λPC → =0. 则(1)当λ=1时，|PA|2+|PB|2|PC|2= ( ). (2)|PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为 .解：建立如图1.4—12所示的平面直角坐标系. (1)设等腰直角三角形的边长为a ，当λ=1时，由PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0，知P 是∆ABC 的重心.设A(0，a)，B(a ，0)，得P(a3，a3).从而可得|PA|2+|PB|2|PC|2=(a 29+4a 29)+(4a 29+a 29)a 29+a 29=5.对于填空题，也可用特值法.即设两直角边长为3，则计算要方便得多. (2)设P(x ，y)，∵|PA|2+|PB|2|PC|2=x 2+(y−a)2+(x−a)2+y 2x 2+y 2=2(x 2+y 2+a 2)−2(ax+ay)x 2+y 2≥2(x 2+y 2+a 2)−(a 2+x 2+a 2+y 2)x 2+y 2=1，当且仅当x=y=a 时取等号.∴ |PA|2+|PB|2|PC|2的最小值为1.想一想⑦：已知Rt ∆ABC 的三边CB ，BA ，AC 成等差数列.点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，若AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且CE ⊥BD ，则λ= .(2)有效转换，方便计算有许多数量积的计算题，其所求式与题设条件之间没有直接的关联.这时，我们就必须通过转换与变形，将所求式变为与题设条件有密切关系的式子.我们常用的转换方式有两种：①利用向量加(减)法的三角形法则或平行四边形法则，变形后进行计算；②利用定比分点的向量形式OP → =OA → +λOB→1+λ (其中AP → =λPB → )转换后进行计算.例13.在边长为1的正∆ABC 中，设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ . 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．解:法1.AD → ⋅BE → =(AB → +BC → 2)⋅(CA →3+BC → )=16(2AB → +BC → )⋅(−AB → +2BC → )=16(−2+2+3AB → ⋅BC → )=12cos 1200=−14.法2.由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗ ，得 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，⇒BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(−3+2−12)=−14. 说明：一般地，处理此类问题时，可由已知条件出发，将需要求数量积的两个向量，通过向量加法或减法的三角形法则，用已知模和夹角的向量表示出来后，再求值即可.例14.如图1.4—13，P 是∆AOB 所在平面上的一点.向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ac .且点P 在线段AB 的中垂线上.若|a |=2，|b |=1.，则c·(a -b )= ( ). A. 12. B.1. C. 32. D.2. 解析：∵ BA → =a -b ，c =OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b ) AC B xy 图1.4—12又DP → ⊥BA → .∴ c·(a -b )=ac=[DP⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa +b )]·(a -b = 12(aa +b a·(a -b = 12(a 2-b 2 = 32. 故应选 C.想一想⑻：1.在∆ABC 中，M 是BC 的中点.AM=3，BC=10.则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 2.在∆ABC 中，∠BAC=1200，AB=2，AC=1.点D 在BC 边上，且DC=2BD.则AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.如图1.4—14.已知圆M :(x -3)2+(y -4)2=4.四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点.当正方形ABCD绕圆心M 转动时，ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .(3)厘清意义，简化计算两向量a ，b 的数量积a·b 的几何意义是：一个向量a 的模|a |，与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影的积.如图1.4—15.aa·b =|a |·OD.利用几何意义，我们在处理与三角形的外心或等腰三角形底边上的中线(实质是与线段的中垂线)有关的问题时，常常会收到奇效. 例15.(1)等腰∆ABC 中，若BC=4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)在∆ABC 中，若AB=3，AC=4，BC=5，AM ⊥BC 于M.点N 为∆ABC 的内部或边上的点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( ). A..25144 B.2. C.9. D.16..解：(1)AB → ⋅BC → =|AB → |⋅|BC → |cos(π−B)=−|AB → |⋅|BC → |cos B =−12|BC →|2=−8. (2)由条件知∆ABC 为直角三角形，且角A 为直角.易求得AM=125由数量积的几何意义知，当点N 落在BC 上时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值14425故应选A.例16.(1)已知O 是∆ABC 的外心，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10√2.若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25，求|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |. (2)已知O 是锐角三角形ABC 的外心，若cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ . 求证：m=2sinA. 解(1)如图1.4—15.∵ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且32x+25y=25， ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2= (xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4(32x+25y)=100，可得 |AO⃗⃗⃗⃗⃗ |=10. (2) 设∆ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理c=2RsinC ，b=2RsinB.∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO⃗⃗⃗⃗⃗ =m|AO|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=mR 2，又∵ cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 22sinC cosB +AC 22sinBcosC =2R 2(sinCcosB+sinBcosC) A BO PD 图1.4—13CA BO 。

2.4.1平面向量的数量积及运算律(3)

硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三）仅靠大脑复述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考，合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了，说明还没有掌握，需要继续回顾。
2. 求证：直径所对的圆周角为直角．
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小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑，上课认真，笔记认真，小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩，上课没事儿还调皮气老师，笔记有时让人看不懂，但一考试就挺好…… 小B
目录/contents
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也是因为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制在7组之内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。

高考数学一轮复习讲义平面向量数量积

变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)，且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.

平面向量的数量积与运算律公开课课件

平面向量的数量积及运算律复习新课例题练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小结
总结:
掌握平面向量数量积的运算律,体会平面向量数量积运算与数与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律复习新课例题练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律复习新课例题练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律复习新课例题练习
平面向量的数量积及运算律复习新课例题练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。

高二数学向量数量积的运算律

ab
a b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
22
a b
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
小结：平面向量数量积运算规律
作业：（1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人，行动的矮子
；网客多拓客获客软件系统网客多拓客获客软件系统；
互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直，根据向量垂直的性质，则
（a kb）（ a kb）=0
（a

k
b）（ a

k
b）
a2
-
k
a

b

k
a

b
-
k
2
2
b
∣a∣2 -k 2∣b∣2 9 16k 2 0
解得 : k 3 或k 3
44ຫໍສະໝຸດ 平面向量数量积运算律所以（a b) （ a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b

平面向量的数量积及运算律(一)教案

●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。

思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。

我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。

因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。

●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。

1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。

★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。

1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律(1)教学目的：1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4. 掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教学过程：、引入：力做的功：W = | F ||s |cos ，是F 与s 的夹角已知非零向量a 与b ，作OA = a , OB = b ，则Z AOB = 9 (0< 9 < n ) 叫 a 与b 的夹角.说明：(1) 当9 = 0时，a 与b 同向；(2) 当9 = n 时，a 与b 反向；(3) 当9 =—时，a 与b 垂直，记a 丄b ；2(4)厶注意在两向量的夹角疋义中，两向量必须是同起点的.范围 0 < < 1802. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a 与b,它们的夹角是9 ,则数量| a ||b |cos 叫a 与b 的数量积，记作ab,即有a b = |a ||b |cos ,(0< 9 < n ).并规定0与任何向量的数量积为0。

探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos 的符号所决定。

(2) 两个向量的数量积称为内积，写成 ab ；今后要学到两个向量的外积 a x b ,而ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。

符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“x”代替.3. “投影”的概念：作图、讲解新课：1 •两个非零向量夹角的概(3) 在实数中，若a 推出b =0o 因为其中cos (4) 已知实数a 、b 、c(b 如右图:a b = |a ||b |cos =a b = be 但 a 0,且a b=0,则b=0；但是在数量积中，若有可能为0o0),贝U ab=bc =■ a=c 。

2.4.1平面向量数量积及运算律

b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b )
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、 c是任意三个向量， R
(a b) c a (b c)
例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。思（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？考数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？
（2）“a •b ”能不能写成“a b ”或a者b “ 记”法的“ a形·式b ”？中间的“· ”不可以省略，也不可
以用“ ”代替.
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－式：
1、若 | a || b | 1, a b且2a 3b与ka 4b也互相垂直，求k的值。
K=6
练习三：
1、已知 a 8，e为单位向量，当它们的夹角为时，求a 在 e方向上的投影及 a • e、e • a ；4 3
=5×4×（-1/2）= －10
P书106.1.2
思考4：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影. 那么该投影一定是正数吗？向量b在a方

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律1. 引言平面向量是在平面上具有大小和方向的量。

在研究平面向量的运算中，数量积是一个重要的概念。

本文将介绍平面向量的数量积及其运算律。

2. 数量积的定义给定两个平面向量A和B，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为 |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量A和B的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。

3. 数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个向量A和B，有A ·B = B ·A。

3.2 分配律对于任意三个向量A，B和C，有A · (B + C) = A ·B + A ·C。

3.3 结合律对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C。

3.4 数量积与运算顺序无关对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C和A · (B + C) = A ·B + A ·C。

3.5 平行向量的数量积如果两个向量A和B平行（即夹角θ=0°或180°），则它们的数量积为 |A| |B|。

3.6 垂直向量的数量积如果两个向量A和B垂直（即夹角θ=90°），则它们的数量积为0。

4. 应用举例4.1 判断两个向量的关系通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角、平行性和垂直性。

例如，如果两个向量的数量积为0，则它们垂直；如果数量积为正数，则它们夹角小于90°；如果数量积为负数，则它们夹角大于90°。

4.2 计算向量的模长通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以计算一个向量的模长。

例如，如果已知向量A和它与另一个向量的夹角θ，以及另一个向量的模长，则可以利用数量积计算出A的模长。

4.3 求解平面向量的夹角通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以求解两个向量之间的夹角θ。

平面向量的数量积

平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。

它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。

在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。

一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。

设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。

二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。

假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。

三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。

四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。

五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。

2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。

数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)

功率
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时间的比值。在平面向量中，速度可以表示为向量，其模即为线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与时间的比值。在平面向量中，加速度可以表示为速度向量的变化率，其模即为速度变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速度的乘积。平面向量数量积可以用来描述动量，即物体的动量等于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘积。平面向量数量积可以用来描述冲量，即冲量等于力向量与时间向量的模的乘积。
功与功率
功

平面向量的数量积

平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。

2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)

专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积．二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ．三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤．四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算题型二：平面向量的夹角题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量题型五：平面向量的垂直问题题型六：建立坐标系解决向量问题【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=，所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方，得2222a a b b c +⋅+=，因为134a b c ===，，，所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________．【答案】1或14【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-，即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________．【答案】94【解析】【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-，又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内，所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°，所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果．【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11 【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =，所以()2225x x +=，解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ，故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==，故答案为：4．【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用．题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______．【答案】4π##45 【解析】【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭，所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=，向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角，当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==，所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠，所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________．【答案】12-【解析】【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-，因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==，又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-，所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-，因为[],0,πa b a -∈，所以π,4a b a -=，故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（）A B C D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-，所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=，所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______．【答案】3 【解析】【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=，即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系，则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+，即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（）AB C D ．3【答案】C 【解析】【分析】由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值．【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯，所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=，扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0，所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭，向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可．【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=，所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=，故答案为：54．例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=；所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==，所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】【分析】利用向量的投影公式直接计算即可．【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-，故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =，所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=，所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______．【答案】-2 【解析】【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =，又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-．故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____．【答案】12±【解析】【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=，又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量，所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________．【答案】1 【解析】【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=，故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ，又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =，则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭，则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，用向量法即可【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=，故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-，所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确；根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确；故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =，圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，，由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥，又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==，作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______．【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心，所以()13=+AO AB AC ，因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△，即1134522AD ⨯⨯=⨯，所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =．方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ，所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ．方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-，当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

平面向量的数量积和向量夹角

平面向量的数量积和向量夹角平面向量是研究平面上的物理量时常用到的工具。

平面向量有两个重要的运算：数量积和向量夹角。

本文将详细介绍平面向量的数量积和向量夹角，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。

记作 A·B 或A∙B。

对于平面向量 A=(x₁, y₁) 和 B=(x₂, y₂)，它们的数量积定义为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂数量积有以下几个重要的性质：1. 对换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中 k 是任意实数数量积可以用于计算向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直或平行，以及计算向量的模长等。

二、平面向量的向量夹角平面向量的向量夹角是指两个向量之间的夹角。

记作θ。

假设向量A 和向量 B 的夹角为θ，则有以下关系：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B 是向量 A 和向量 B 的数量积，|A| 和 |B| 分别是向量 A和向量 B 的模长。

根据夹角的余弦值可以判断两个向量之间的关系：1. 若cosθ = 1，夹角θ = 0°，则 A 和 B 方向相同；2. 若cosθ = -1，夹角θ = 180°，则 A 和 B 方向相反；3. 若cosθ = 0，夹角θ = 90°，则 A 和 B 垂直。

三、平面向量的数量积和向量夹角的应用1. 判断两个向量是否垂直或平行：根据数量积的性质，如果两个向量的数量积为零，则这两个向量一定是垂直的；如果两个向量的数量积非零且模长比例相同，则这两个向量一定是平行的。

2. 计算向量的模长：根据向量的数量积定义可以得到以下公式：|A| = √(A·A)即向量的模长等于它自己与自己的数量积的平方根。

平面向量的数量积和向量积的模长

平面向量的数量积和向量积的模长在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，用于描述平面上的位移、速度、力等物理量。

平面向量有很多重要的性质和运算规律，其中最常用的两个运算是数量积和向量积。

本文将介绍平面向量的数量积和向量积，并讨论它们的模长性质。

一、数量积数量积，也称为点积或内积，是平面向量的一种运算。

给定平面上两个向量a=(a_1,a_2)和a=(a_1,a_2)，它们的数量积定义为：a⋅a=a_1⋅a_1+a_2⋅a_2数量积有以下几个重要的性质：1. a⋅a=a⋅a数量积具有交换律，即对于任意两个向量a和a，它们的数量积相等。

2. a⋅(a+a)=a⋅a+a⋅a数量积具有分配律，即对于任意三个向量a、a和a，它们的数量积满足这个等式。

3. a⋅a=||a||^2向量的数量积等于向量的模长的平方。

二、向量积向量积，也称为叉积或外积，是另一种平面向量的运算。

给定平面上两个向量a=(a_1,a_2)和a=(a_1,a_2)，它们的向量积定义为：a×a=a_1a_2−a_2a_1向量积有以下几个重要的性质：1. a×a=−a×a向量积具有反交换律，即两个向量的向量积是互相相反的。

2. a×(a+a)=a×a+a×a向量积具有分配律，与数量积类似，对于任意三个向量a、a和a，它们的向量积满足这个等式。

3. a×a与向量a和a的夹角a相关向量积的模长等于向量a和a的模长乘以它们之间夹角a的正弦值，即 ||a×a||=||a||⋅||a||⋅aaaa。

通过向量积的模长公式，我们可以计算出两个向量的夹角a的正弦值。

这在解决几何问题中非常有用，例如确定两条直线的夹角或者判断三角形的形状等。

结语平面向量的数量积和向量积是数学中非常重要的运算，它们具有很多有用的性质和应用。

数量积可以用于计算向量之间的夹角和判断向量的正交性，而向量积则可以用于计算向量构成的平行四边形的面积和判断向量所在平面的法向量等。

平面向量的数量积及运算律

二、平面向量的数量积的几何意义是什么？
我们规定叫做向量在方向上的投影，当θ为锐角时，为正值；当θ为钝角时，
为负值；当θ=0°时，；当θ=90°时，=0；当θ=180°时，
。
由此我们得到的几何意义：数量积等于的长度 ||与在方向上的投影的乘积。
例1．已知, 当(1) ; (2)
2．选A。由得
。
3．60°。∵， ∴
代入已知求解。
4．。，∴。
5．(1)-37-(2)提示：(1)
代入已知求解。
(2).
6．提示：设BE、CF交于H，设，只须证明即H在AD上。
由，
即得证。
解:由向量的数量积的定义，得a·b=.
∵ m=2a+b, n=a-4b,∴ m2=4a2+4ab+b2=4×4+4+1=21,
∴ n2=a2-8ab+16b2=4-8+16=12,∴ |m|, |n|=.
设m与n的夹角为θ，则m·n=|m||n|cosθ.....①
(5) 当θ=时，cosθ=-1, |b|cosθ=-|b|.由于当θ∈[0，]时，cosθ∈[-1,1],
所以|b|cosθ∈[-|b|,|b|],即|b|cosθ∈[-3,3],又因为，
因此，的最大值为8（此时θ=），最小值为（此时θ=0）.
例4、已知一个与水平方向夹角为30°的力,的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数m=0.02的水平面上运动了20米，求、摩擦做的功分别为多少？
典型题目:
例1．已知向量与的夹角为120°，且||=4, ||=2,
求(1) |+|； (2)|3-4|； (3) (-2)(+).

向量的数量积的运算律

像十分夸张同时还隐现着几丝华丽，矮胖的暗橙色细小棕绳一样的胡须仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异。那一双瘦长的纯黑色轻盈似的眉毛，仿佛真是飘忽不定同时
还隐现着几丝小巧。再看女政客Ｔ．克坦琳叶女士的身形，她有着古怪的仿佛软管般的肩膀，肩膀下面是短小的仿佛银剑般的手臂，她轻灵的淡红色榴莲般的手掌好像十分绚
辫，戴着一顶显赫的水青色猪肺样的拖布麒灵帽，他上穿高贵的暗白色炸鸡般的长椅海光银蕉甲，下穿破烂的的淡蓝色彩蛋般的肥肠蟒鹰围裙，脚穿异形的暗灰色兔子般的烟
枪烟波靴……有时很喜欢露出露着古老的紫宝石色螃蟹造型的鸡窝微宫肚脐，那上面上面长着镶着银宝石的墨灰色的细小海胆形态的体毛。整个形象认为很是时尚却又透着一
CA CB ，D是CB 的中点， E是AB上的点，
且AE 2EB，求证： AD CE
A
E
C
D
B
作业：练习册 P92全部
高贵的银蕉甲的副考官是
Ｉ．提瓜拉茨局长。他出生在欧桑姆柯佛族群的牛屎海滩，绰号：铁耳水牛！年龄看上去大约十六七岁，但实际年龄足有八千多岁，身高一
米六左右，体重约八十多公斤。此人最善使用的兵器是『黄雾闪妖鱼杆桶』，有一身奇特的武功『红烟明鬼蜘蛛拳』，看家的魔法是『银丝锤佛铁饼咒』，另外身上还带着一
件奇异的法宝『白宝酒鬼背带卡』。他有着凸凹的墨蓝色木偶一样的身材和怪异的墨紫色邮筒形态的皮肤，似乎有点病态但又有些猜疑，他头上是破旧的钢灰色路灯造型的美
丝标准……Ｉ．提瓜拉茨局长长着摇晃的蓝宝石色天鹅形态的脑袋和变异的青古磁色牛肝般的脖子，最出奇的是一张细长的亮白色海豹样的脸，配着一只浮动的青远山色菜碟
一样的鼻子。鼻子上面是一对怪异的亮蓝色软盘一样的眼睛，两边是很大的紫罗兰色烟盒耳朵，鼻子下面是普通的海蓝色香蕉似的嘴唇，说话时露出彪悍的紫红色地痞样的牙