信号与线性系统五六章自测题(标准答案)

第五、六章自测题标准答案

1. 判断题

(1) 当且仅当一个连续时间线性时不变系统的阶跃响应是绝对可积的，则该系统是稳定的。 （ × ） (2) 若h (t )是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h(t)是周期的且非零，则系统是非稳定的。 （ √ ） (3) 对于一个因果稳定的系统，可以利用ωωj s s H j H ==|)()( 求系统的频率响应。 （ √ ） (4) 一个稳定的连续时间系统，其系统函数的零极点都必定在s 平面的左半平面。

（ × ） 2．填空题

（1）某二阶系统起始状态为2_)0(',1_)0(=-=r r ；初始条件为,1)0(',3)0(==++r r 则确定零输入响应待定系数的初始条件为)0(+zi r = -1 ，)0('+zi r = 2 ；而确定零状态响应待定系数的初始条件为 )0(+zs r = 4 ，)0('+zs r = -1 。

（2）2

3)(2++=-s s e s F s 的逆变换为 )(][ )1(2)1(t e e t t ε-----。

（3）)()sin(

)(t t t f εφα+=的拉普拉斯变换为2

22

2sin cos )(αφαα

φ+⋅

++⋅=s s

s s F 。

3．求图5-1中所示单边周期信号的拉氏变换。

图5-1 解： +---+-

-=)2

3()()2()()(T t T t T t t t f εεεε 4．一个单位冲激响应为h (t )的因果LTI 系统有下列性质：

（1）当系统的输入为t

e t x 2)(=时，对所有t 值，输出t

e t y 26

1)(=

。 （2）单位冲激响应h(t)满足微分方程

)()()(2)

(4t b t e t h dt

t dh t εε+=+-。这里b 为一个未知常数。

确定该系统的系统函数。

解：本题中用到了特征函数的概念。一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号为系统的特征函数。（请注意：上面所指的系统必须是线性时不变系统。）

因为t

e t x 2)(=是因果LTI 系统的特征函数，所以t

t

s e e

s H t y 2226

1|)()(=

⋅==。即

对所给的微分方程两边取拉普拉斯变换，得 将s=2代入上式，得 6

426261)2(⨯⨯+==b

H ， b=1 所以

5．已知系统微分方程为)()('2)(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++，输入为)(2)(3t e t f t ε-=，系统的起始条件为1)0(',1)0(==--y y ，

（1）求系统的系统函数和单位冲激响应；（2）求系统的零输入响应，零状态响应，完全响应，自由响应和强迫响应。 解：（1）1

1

232312)(2+-++=+++=

s s s s s s H

冲激响应)()3()(2t e e t h t t ε---=

（2）零输入响应

所以 )()32()(2t e e t r t t zi ε--+-= (3) 零状态响应

所以 )()56()(32t e e e t r t t t zs ε-----=

完全响应 )()524()()()(32t e e e t r t r t r t t t zs zi ε----+=+= 自由响应：)()24(2t e e

t t

ε--+

强迫响应：)(53t e

t

ε--

6．某反馈系统如图5-2所示，已知子系统的系统函数为6

5)(2++=s s s

s G 。试确定

（1）为使系统稳定，实系数k 应满足什么条件； （2）若系统为临界稳定，求k 及单位冲激响应h (t )。 解：

)(=

s H k=5

7. 系统如图5-3所示，激励为i 1(t),

响应为i 2(t). (1) 求系统函数H(s); (2)

若i 1(t)=2A,求i 2(t)。

已知R 1=R 2=1Ω,C=1F,L=1H .

解：（1）sL

R sC

R sC

R s I s I s H ++++

==

211121

1)

()

()(

（2）s

s s I s H s I 2

11)()()(12+==

8．已知一线性时不变系统激励为),()()(3t e e t f t t ε--+= 系统响应为)()22()(4t e e t y t t ε---=，求： (1)系统的单位冲激响应h (t); (2)系统激励-响应微分方程。

解答：（1）)4)(2(9

33

1114212)()()(+++=

++

++-

+==s s s s s s s s F s Y s H （2）系统的激励-响应微分方程

9．已知一LTI 系统函数H(s)的零点z=1,极点p=-1,且冲激响应初值2)0(=+h ，试求： （1）系统函数H(s);

(2)系统的幅频特性H(ω),相频特性φ(ω)；

（3）若激励)(3sin 3)(t t t e ε⋅=，求系统稳态响应。 解：（1）2)(lim )0(0

==→+s sH h s

（2）2

)1()

1(2)(+-=

ωωωj j j H

（3）将3=ω代入)(ωj H 和),(ωϕ 求得系统的稳态响应为t t y s 3sin 3)(=