2007年高考数学(理科)模拟试题(五)

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2007年山东省高考数学试卷(理科)

2007年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}3．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）4．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，35．（5分）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）A．π，1 B． C．2π，1 D．6．（5分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx7．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞08．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，459．（5分）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．（2）；q：y=f（x）是偶函数．（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．（4）p：A∩B=A；q：∁U B⊆∁U A．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）10．（5分）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，255011．（5分）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．12．（5分）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．14．（4分）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是．15．（4分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．16．（4分）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．19．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD ⊥DC，AB∥DC．（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．20．（12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？21．（12分）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．22．（14分）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．请修改新增的标题2007年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•山东）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出Z2，再利用复数相等的概念得到三角函数的等式，将答案代入验证即可．【解答】解：z=cosθ+isinθ，所以Z2=cos2θ+2icosθsinθ﹣sin2θ=﹣1．所以，将答案选项中的数值代入验证知D符合．故选D2．（5分）（2007•山东）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B3．（5分）（2007•山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）【分析】法一排除法，从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案．法二直接法，把每一个几何体的三视图都找出来，然后可得答案．【解答】解：法一：由于正方体的三视图都是相同图形，所以排除（1），由于A、B、C中都含有（1），因而选项A、B、C都错误，可知选D．故选D．法二：正方体的三视图都是相同的正方形；圆锥的三视图中正视图、侧视图相同是三角形，俯视图是圆；三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；四棱锥的正视图与侧视图相同，是三角形，俯视图是有对角线的正方形．故选D．4．（5分）（2007•山东）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3【分析】分别验证a=﹣1，1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R 且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．5．（5分）（2007•山东）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）A．π，1 B． C．2π，1 D．【分析】化成y=Asin（ωx+φ）的形式，即y=cos2x进行判断．【解答】解：∵==cos2x∴原函数的最小正周期是=π，最大值是1故选A．6．（5分）（2007•山东）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f （x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx【分析】依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B7．（5分）（2007•山东）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．8．（5分）（2007•山东）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．【解答】解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9，y=50×（0.36+0.34）=35，故选：A9．（5分）（2007•山东）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．（2）；q：y=f（x）是偶函数．（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．（4）p：A∩B=A；q：∁U B⊆∁U A．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【分析】（1）中求出q的范围，可得p是q的充要条件，排除B，C，再判断（2），p中为分式，应考虑分母不等于0．（3）中注意正切函数的定义域，（4）中，由A∩B=A可知A⊆B，由韦恩图可判．【解答】解：（1）q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，△＞0，得m＜﹣2或m ＞6，即为p；排除B，C，（2）由可得f（﹣x）=f（x）⇒q，反之，若y=f（x）是偶函数，可以有f（0）=0，p不成立；故选D10．（5分）（2007•山东）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，2550【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加循环变量n的值，并将其保存在S、T中．【解答】解：依据框图可得：S=100+98+96+…+2=2550，T=99+97+95+…+1=2500故答案选A11．（5分）（2007•山东）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．【解答】解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选C．12．（5分）（2007•山东）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A．B．C．D．【分析】从条件知质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，本题考查的是独立重复试验，因此质点P移动5次后位于点（2，3）质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．【解答】解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为故选B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．【分析】先过A作AD⊥x轴于D，构造直角三角形，再根据与x轴正向的夹角为60°求出FA的长度，可得到A的坐标，最后根据两点间的距离公式可得答案．【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，令FD=m，则FA=2m，p+m=2m，m=p．∴．故答案为：14．（4分）（2007•山东）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=104．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==4，则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于4，故答案为：4．15．（4分）（2007•山东）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．16．（4分）（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．【分析】根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），故答案为8．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•山东）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式作差求出数列{a n}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{b n}的通项．再用错位相减法求和即可．【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．18．（12分）（2007•山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．【分析】（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，对于c的取值进行列举，得到事件数，根据概率公式得到结果．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0，1，2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率，写出分布列和期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x2+bx+c=0有实根的概率，根据条件概率的公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，即．下面针对于c的取值进行讨论当c=1时，b=2，3，4，5，6；当c=2时，b=3，4，5，6；当c=3时，b=4，5，6；当c=4时，b=4，5，6；当c=5时，b=5，6；当c=6时，b=5，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2根据第一问做出的结果得到则，，，∴ξ的分布列为ξ012P∴ξ的数学期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，则，，∴．19．（12分）（2007•山东）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．【分析】（1）由题意及图形所给的线段大小之间的关系，利用线线平行进而得到线面平行；（2）利用图形中两两垂直的线和题中所给的线段的大小，建立空间直角坐标系，利用向量的知识求出二面角的大小．【解答】解：（I）连接BE，则四边形DABE为正方形，∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1，∴四边形A1D1EB为平行四边形，∴D1E∥A1B．∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD．（II）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）．∴．设为平面A1BD的一个法向量，由得取z=1，则设为平面C1BD的一个法向量，由得，取z1=1，则∵.．由于该二面角A1﹣BD﹣C1为锐角，所以所求的二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为．20．（12分）（2007•山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【分析】连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．【解答】解：如图，连接A1B2，，，△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°=，．因此乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．21．（12分）（2007•山东）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【分析】（Ⅰ）由题设条件可知解得，由此能够推导出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，则解得∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由题意：△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0整理得：3+4k2﹣m2＞0 ①设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0也即整理得：7m2+16mk+4k2=0解得：m=﹣2k或，均满足①当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去当时，直线l的方程为，过定点，故直线l过定点，且定点的坐标为．22．（14分）（2007•山东）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【分析】（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出函数f（x）的导函数，利用二次函数的性质判定导函数的符号，从而确定函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）需要分类讨论，由（Ⅰ）可知分类标准为b≥，0＜b＜，b≤0或f'（x）＜0．参数取某些特定值时，可只管作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”．（Ⅲ）先构造函数h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令，即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域在（﹣1，+∞）令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在上递增，在上递减，g（x）=2x2+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，所以f'（x）＞0即当，函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时函数f（x）无极值点（2）当时，，∴，∴时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点（3）当时，解f'（x）=0得两个不同解当b＜0时，，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f'（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f'（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点．（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1）．令上恒正∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3，对任意正整数n，取请修改新增的标题参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；qiss；zlzhan；wsj1012；minqi5；豫汝王世崇；涨停；zhiyuan；庞会丽；邢新丽；zhwsd（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。

2007届高考数学模拟试题理

2007届江苏省高考数学模拟试题（理科）10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

等于（4.已知函数yf (x)的反函数f 1(x)log 1 (x21-），则方程 2f （x ） 1的解集是 A. {1} B.{2} C . {3}D . { 4}5.设等比数列｛ a n ｝的前n 项和为s ，若S 6 : S 3 1:2，则 S 9 :S 3( )A. 1:2 B .2:3 C. 3:4D. 1:3充要条件 .既不充分又不必要条件C. D在等差数列｛a n ｝中, n 项和s n 的最小值为6 . S8,则前 )a 1、选择题：本大题共 1. 满足条件 1, 2M = 1,2,3 的所有集合 M 的个数是（A.如果复数 2 bi(b R ）的实部和虚部互为相反数，则 b 的值等于（A.若条件p : x 1 条件 q ：X 2 5x 6，则 p 是 q 的（） A. 必要不充分条件.充分不必要条件25, S 3A.80767574 已知|a|2、、2 ,a 与b 的夹角为一，如果p42b , q2aA. 2.13.,53.3.6 490,a1),若f(4)g( 4)0,则 yf (x), y g(x)在同一坐标系内的图象大致是（)Jy1 1・ I111f■ n A2 xoB12 ' xlog |x| (aa 8 .已知 f (x) a x 2,g(x)9•设函数f(x)是奇函数，并且在R上为增函数，若0 < w—时，f (m sin )+ f (1—2m >0恒成立，则实数m的取值范围是 ( )1A(0，1) B.(―汽0) C. (—3 1) D. (21 x10•关于函数f (x) lg ，有下列三个命题：1 x①对于任意x ( 1,1)，都有f (x) f( x) 0 ;② f (x)在(1,1)上是减函数；③对于任意x1, x2 ( 1,1)，都有f (x-1 ) f (x2) f( 一)；1 x1x2其中正确命题的个数是( )A • 0B • 1C • 2D • 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2007年高考数学(理科)模拟试题(三)

2007年高考数学（理科）模拟试题（三）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。

1．若U ＝｛1，2，3，4，5｝，M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝，则U （M ∩N ）＝（ D ）（A ）｛4｝（B ）｛1，2，3｝（C ）｛1，3，4｝（D ）｛1，2，3，5｝2．2211lim 21x x x x →-=--（ B ）（A ）12 （B ）23（C ）0 （D ）23．设复数1,z i z=那么等于（ B ）（A ）144i （B ）144i + （C ）144i （D ）144i + 4．直线y ＝m 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则m 的值是（ C ）（A ）1 （B ）3 （C ）1或3 （D ）2或4 5．在等差数列｛a n ｝中，,3321=++a a a 165302928=++a a a 则此数列前30项和等于（ B ）（A ）810 （B ）840 （C ）870 （D ）900 6．方程lg 30x x +-=的根所在的区间是（ B ）（A ）（1，2）（B ）（25， 411）（C ）（49，25）（D ）（3，134） 7．已知定义在R 上的偶函数f （x ）的单调递减区间为［0，+∞)，则不等式()(2)f x f x <-的解集是（ B ）（A ）(1,2) （B ）(1,)+∞ （C ）(2,)+∞ （D ）(,1)-∞8．实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y W x x y ≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩,则有（ D ）(A)-1≤W31(B) 3121≤≤-W(C)W ≥21- (D)121<≤W二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若向量a 、的坐标满足)1,2(--=+，)3,4(-=-，则·等于 -5 10．设函数2(01)()(1)53(1)x x f x a x x x ≤<⎧⎪==⎨⎪->⎩在区间[0,)+∞上连续，则实数a 的值为 211．编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m &n = k , m &(n + 1) = k + 2，则 1&2005 的输出结果为 4010 12．39(x -的展开式中常数项是 8411．正六棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，则侧棱与底面所成的角为 3π曲线x y sin =与直线,2π-=x ,45π=x 0=y 围成的图形的面积是224-=y 12——13：（以下三个小题任选两题）（1）半径为5cm 的圆内有两条平行弦，其长分别是6cm 和8cm ，则两条平行弦之间的距离是（2）已知c b a ,,都是正数，且,1=++c b a 则cb a 111++的最小值是 9（3）在极坐标中，直线,1)3cos(=-πθρ2)3sin(=-πθρ的位置关系是14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 42n + 块。

2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第♊卷（选择题）和第♋卷（非选择题）两部分．第♊卷至页．第♋卷至页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：．答题前，考生在答题卡上务必用直径 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．．每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．本卷共 小题，每小题分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（）✌．15 ．15- ．513 ．513- （）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（） ✌．12 ．1 ．32．2（）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （）✌．垂直．不垂直也不平行．平行且同向．平行且反向（）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）✌．221412x y -= ．221124x y -= ．221106x y -= ．221610x y -= （）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（） ✌．1 ．1- ．2 ．2-（）下面给出的四个点中，到直线10x y-+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）✌．(11)，．(11)-，．(11)--，．(11)-，（）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（） ✌．15 ．25 ．35 ．45（）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（）✌ ．2．．4（）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（）✌．充要条件．充分而不必要的条件．必要而不充分的条件．既不充分也不必要的条件AB 1B1A1D 1C CD（ ）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（）✌．3 ．4 ．5 ．6（ ）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（）✌．4 ．．．8 （ ）函数22()cos 2cos2xf x x =-的一个单调增区间是（） ✌．233ππ⎛⎫⎪⎝⎭，．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第♋卷注意事项：．答题前，考生先在答题卡上用直径 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．．第♋卷共页，请用直径 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．本卷共 题，共 分．二、填空题：本大题共小题，每小题分，共 分．把答案填在横线上．（ ）从班委会名成员中选出名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）（ ）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（ ）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．（ ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为，则该三角形的斜边长为．三、解答题：本大题共小题，共 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ ）（本小题满分 分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（♊）求B 的大小；（♋）求cos sin A C +的取值范围．（ ）（本小题满分 分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用期付款，其利润为 元；分期或期付款，其利润为 元；分期或期付款，其利润为 元．η表示经销一件该商品的利润．（♊）求事件A ：“购买该商品的位顾客中，至少有位采用期付款”的概率()P A ；（♋）求η的分布列及期望E η．（ ）（本小题满分 分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（♊）证明SA BC ⊥；（♋）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（ ）（本小题满分 分）设函数()e e x xf x -=-．（♊）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（♋）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（ ）（本小题满分 分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（♊）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（♋）求四边形ABCD 的面积的最小值．（ ）（本小题满分 分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（♊）求{}n a 的通项公式；（♋）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修选修♋）参考答案一、选择题：（）（）（）✌ （）✌ （）（）（）（）（）（ ）（ ）（ ）✌ 二、填空题：（ ）36 （ ）3()xx ∈R （ ）13（ ）三、解答题：（ ）解：（♊）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（♋）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．（ ）解：（♊）由A 表示事件“购买该商品的位顾客中至少有位采用期付款”．知A 表示事件“购买该商品的位顾客中无人采用期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（♋）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（ ）解法一：（♊）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =． SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD ==✌设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S=，解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（♋）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11．（ ）解：（♊）()f x 的导数()ee x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（♋）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（☐）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（❑）若2a>，方程()0g x '=的正根为1ln x =此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．（ ）证明：（♊）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221221)(1)()432k BD x x kx x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+．四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k=或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S=．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．（ ）解：（♊）由题设：11)(2)n na a +=+1)(1)(2n a =+ 1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a ，年课改实验区中考语文模拟试卷 页脚内容即n a的通项公式为1)1n n a ⎤=+⎦，123n =，，，…．（♋）用数学归纳法证明．（☐）当1n =2<，112b a==，所以11b a <≤，结论成立．（❑）假设当nk =43k k b a -≤，也即430k k b a -<．当1n k=+时，13423k k k b b b ++-=-+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007届广东深圳市学高考数学(理科)模拟试题参考答案

2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题参考答案一、选择题： 1. 答案：C. {}A |0,U x x C A =<∴=｛x | x ≥0｝,故选C.2.C3. （理）对于(1)2n n +中，当n ＝６时，有6721,2⨯=所以第２５项是７．选C. 4.D5.Ａ． ∵)4cos()4sin(2ππ-+=x x y＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ++=-+=+， ∴根据题意作出函数图象即得．选A ．6. 答案：Ｄ．当x=1时，y ＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．7.A8.C二、填空题： 9.810 10．答案：12． 11. 答案：),2()2,(21---∞ . 12.na13. （2）、（3）14.22(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 15．（本题满分12分）已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x， ………………………2分3421222tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x x x ． …………………5分（Ⅱ）原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--x xx sin sin cos +=…………………10分1)43(+-= 41=． …………………12分16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）x 、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分因此，随机变量ξ的最大值为3．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ．答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． …………11分则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分 17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD与侧面11BB C C 所成的角为45．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角C BD A --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． ……………2分在AED Rt ∆中，tan 45AEED==，解得x = …………3分∴此正三棱柱的侧棱长为 ……………………4分注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又1,sin CD BE EBF BD =∠=== ∴EF =．又AE∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==． …………………………8分故二面角C BD A --的大小为arctan 3． …………………………9分解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ． …………10分在AEF Rt ∆中，AE EFEG AF⨯===． …………12分 E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为210EG =． …………13分解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥A BD1A 1B 1C EF G H I平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021n AB n 得0y y ⎧=⎪-+=取1(6,).n =- …………6分又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n = …………7分∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ． …………8分结合图形可知，二面角C BD A --的大小为． …………9分（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,),n =-(0,1CA =-…………10分∴点C 到平面ABD 的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分 18．（本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．1解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分解得52,59=-=n m ，因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义，得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分（Ⅲ）22=ca ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ，当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34-=t ，0)(='t f ．∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率． 19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ．当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ；当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-．因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n na n n ．（Ⅱ） nn n b )21()12(⋅-=，n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴- ……（1） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(121+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S …（2）（1）、（2）两式相减，得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ．nn n S )21()32(3⋅+-=∴．20．（本题满分14分）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-，又切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x tx t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2）由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴.,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分 ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数， ∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21nn g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分 )64(20)n 6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n 64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，． 1664≥+n n ， 3136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件．因此，m 的最大值为6． ……………………………14分解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值． 1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ． ……………………………13分后面解题步骤与解法1相同（略）．。

天君一中2007年高考数学模拟试题(含答案)(

2007年高考数学模拟试卷（理科）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那 34π3V R =么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)kkn kn n P k C p p -=-第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数i 215+的共轭复数为A.－31035-iB.－i 31035+ C.1－2iD.1+2i2、过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A.y =3xB.y =－3xC.y =33x D.y =－33x3、已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>)0(3)0(log 2x x x x ，则f ［f （41）］的值是A.9B.91 C.－9 D.－914、数列{a n }中，a 1=1,S n 是其前n 项和.当n ≥2时，a n =3S n ，则31lim1-++∞→n n n S S 的值是A.－31B.－2C.1D.－545、若nx x )2(-二项展开式的第5项是常数项，则自然数n 的值为A.6B.10C.12D.156、已知α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线。

有下列三个条件：①a //γ，b ⊂β ②a //γ，b //β ③b ⊂β，a ⊂γ若命题“α∩β= a ，b ⊂γ且，则a //b ”为真命题，则可以填在横线上的条件是A ．①B ．①或②C ．①或③D ．② 7、已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值为A ．-3B ．3C ．-5D ． 5 8、记函数x x x f sin 3)(2+=在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M + m 的值为A.0B.3C.6D.89、某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 A ．6191B ．2591C ．391D ．339110、设函数)(x f 的定义域为D ，如果对于任意的1x ∈D ，存在唯一的2x ∈D ，使2)()(21x f x f +＝C(C 为常数)成立，则称函数y ＝)(x f 在D 上的均值为C ，下面给出四个函数：①y ＝3x ， ②y ＝4sin x ，③y ＝lg x ，④y ＝2x .则满足在其定义域上均值为2的所有函数是 A.①② B.③④ C.①③④ D.①③第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 11、设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f (a ＋b )的值为．12、．将边长为1的正三角形ABC 沿高AD 折叠成直二面角B-AD-C ，则直线AC 与直线AB 所成角的余弦值是。

2007年四川省高考数学试卷(理科)及解析

2007年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．i2．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．3．（5分）=（）A．0 B．1 C．D．4．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°5．（5分）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）A．B．C．D．6．（5分）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B﹣OA﹣C的大小是，则从A点沿球面经B、C 两点再回到A点的最短距离是（）A． B． C． D．7．（5分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=148．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．3 B．4 C．D．9．（5分）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）A．36万元B．31.2万元C．30.4万元D．24万元10．（5分）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．288个B．240个C．144个D．126个11．（5分）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（）A．B．C．D．12．（5分）已知一组抛物线y=ax2+bx+1，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若函数f（x）=（e是自然对数的底数）的最大值是m，且f（x）是偶函数，则m+μ=．14．（4分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是．15．（4分）已知⊙O的方程是x2+y2﹣2=0，⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是．16．（4分）下面有5个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．18．（12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望Eξ，并求该商家拒收这批产品的概率．19．（12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MAC的体积．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线与x轴的交点为（x n，0）（n∈N*），其中x1为正实数．+1（Ⅰ）用x n表示x n+1；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，x n≤x n的充要条件是x1≥2+1（Ⅲ）若x1=4，记，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{x n}的通项公式．22．（14分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．2007年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•四川）复数的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．i【分析】复数的分母实数化，就是分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化简即可．【解答】解：．故选A．2．（5分）（2007•四川）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除D故选C3．（5分）（2007•四川）=（）A．0 B．1 C．D．【分析】通过因式分解，把分子分母同时消除零因子x﹣1，然后把x=1直接代入求解就能得到最后结果．【解答】解：原式=，故选D．4．（5分）（2007•四川）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D5．（5分）（2007•四川）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）A．B．C．D．【分析】根据点P到双曲线右焦点的距离判断点P在右支上，再根据双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离和有准线方程，进而得到点P到y轴的距离．【解答】解：由点P到双曲线右焦点的距离是2知P在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点P到y轴的距离是．故选A．6．（5分）（2007•四川）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B﹣OA﹣C的大小是，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（）A． B． C． D．【分析】结合图形，求出三个球面距离即可．【解答】解：．故选C．7．（5分）（2007•四川）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5=8+5b，∴4a﹣5b=3故选：A．8．（5分）（2007•四川）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．3 B．4 C．D．【分析】先设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而可求AB中M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．【解答】解：设直线AB的方程为y=x+b，由⇒x2+x+b﹣3=0⇒x1+x2=﹣1，进而可求出AB的中点，又∵在直线x+y=0上，代入可得，b=1，∴x2+x﹣2=0，由弦长公式可求出．故选：C．9．（5分）（2007•四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）A．36万元B．31.2万元C．30.4万元D．24万元【分析】这是一个简单的投资分析，因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍），尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍可获最大利润．这是最优解法．【解答】解：因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍可获最大利润．这是最优解法．即对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．故选B．10．（5分）（2007•四川）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．288个B．240个C．144个D．126个【分析】根据题意，对个位是0和个位不是0两类情形分别讨论，即用加法原理；对每一类情形按“个位﹣最高位﹣中间三位”分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分个位是0和个位不是0两类情形讨论；①个位是0时，比20000大的五位偶数有1×4×A43=96个；②个位不是0时，比20000大的五位偶数有2×3×A43=144个；故共有96+144=240个；故选B．11．（5分）（2007•四川）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（）A．B．C．D．【分析】根据题意作高AE，BG，CF（如图）．根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD=x，则AC=3x，求出DG，BG根据三角形相似根据其相似比可求出DF，DE的长，再根据勾股定理即可解答．【解答】解：作高AE，BG，CF（如图），设AD=x，则AC=3x，于是DG=x﹣x=，BG=•3x=x，∵∠BDG=∠CDF，∠BGD=∠CFD=90°，∴Rt△BDG∽Rt△CDF，∴，即，∴DF=，∴DE=，∵AD2=AE2+DE2=1+=，∴AD=，∴AC=3x=3×=．故选：D．12．（5分）（2007•四川）已知一组抛物线y=ax2+bx+1，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．【分析】这一组抛物线共4×4条，从中任意抽取两条共有C162种不同的方法．它们在与直线x=1交点处的切线的斜率k=y'|x=1=a+b．讨论a+b=5，a+b=7，a+b=9，a+b=11，a+b=13，由分类计数原理知任取两条切线平行的情形，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知这一组抛物线共4×4=16条，从中任意抽取两条共有C162=120种不同的方法．它们在与直线x=1交点处的切线的斜率k=y'|x=1=a+b．∵若a+b=5，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法；若a+b=7，有三种情形，从中取出两条，有C32种取法；若a+b=9，有四种情形，从中取出两条，有C42种取法；若a+b=11，有三种情形，从中取出两条，有C32种取法；若a+b=13，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有C22+C32+C42+C32+C22=14种，∴所求概率为．故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•四川）若函数f（x）=（e是自然对数的底数）的最大值是m，且f（x）是偶函数，则m+μ=1．【分析】由f（x）是偶函数可知f（﹣1）=f（1），代入可求u=0，所以f（x）=，所以当x=0时函数f（x）取得最大值，从而可求．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣1）=f（1），∴u=0∴f（x）=，∴当x=0时函数f（x）取得最大值，且最大值为1，∴m+μ=1．故答案为：1．14．（4分）（2007•四川）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是30°．【分析】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC的中点E，连接BE，C1E，证明BE ⊥面ACC1A1，则∴∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，解直角三角形BC1E 即可．【解答】解：取AC的中点E，连接BE，C1E，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴BE⊥面ACC1A1，∴∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，，BE=，∴，θ=30°．故答案为30°．15．（4分）（2007•四川）已知⊙O的方程是x2+y2﹣2=0，⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是x=．【分析】首先由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示出圆心（﹣，﹣），半径；再由勾股定理分别表示出切线长|PA|=、|PB|=，然后建立方程，整理即可．【解答】解：⊙O：圆心O（0，0），半径r=；⊙O'：圆心O'（4，0），半径r'=．设P（x，y），由切线长相等得x2+y2﹣2=x2+y2﹣8x+10，即．所以动点P的轨迹方程是．16．（4分）（2007•四川）下面有5个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0其中，真命题的编号是①④（写出所有真命题的编号）【分析】①化简函数y=sin4x﹣cos4x为﹣cos2x，说明它的最小正周期是π，判断正误；②通过k的取值，判断终边在y轴上的角的集合是的正误；③利用单位圆及三角函数线，当时，sinx＜x＜tanx，判断在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；是错误的．④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；判断正确．⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0【解答】解：①y=sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，它的最小正周期为π，正确；②k是偶数时，α的终边落在x轴上，所以②错误；③可以借助单位圆证明当时，sinx＜x＜tanx，故y=sinx，y=tanx和y=x在第一象限无交点，错误；④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象，这是正确的；⑤角θ为第二象限角，sinθ＞0也成立．所以⑤错误，故答案为：①④．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•四川）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．【分析】（1）欲求tan2α的值，由二倍角公式知，只须求tanα，欲求tanα，由同角公式知，只须求出sinα即可，故先由题中cosα的求出sinα 即可；（2）欲求角，可通过求其三角函数值结合角的范围得到，这里将角β配成β=α﹣（α﹣β），利用三角函数的差角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．18．（12分）（2007•四川）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望Eξ，并求该商家拒收这批产品的概率．【分析】（1）由对立事件概率公式，及产品合格的概率为0.8，我们易得从产品中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；（2）根据（1）的结论，根据分布列及数学期望的计算公式，易得到最终结果．【解答】解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算，有（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，，ξ012P记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率所以商家拒收这批产品的概率为．19．（12分）（2007•四川）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MAC的体积．【分析】法一（Ⅰ）通过证明PC⊥平面ABC，证明平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明∠MHN为二面角M﹣AC ﹣B的平面角，解三角形求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）三棱锥P﹣MAC的体积，转化V P=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN，求出底面ACN﹣MAC的面积，求出高MN即可．法二（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出平面MAC的一个法向量为，平面ABC的法向量取为=（{0，0，1}）利用，解答即可．（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为=（{1，0，0}），则点A到平面PCM的距离，求出体积即可．【解答】解法一：（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，∵PM CN，∴MN PC，从而MN⊥平面ABC作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，从而∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角直线AM与直线PC所成的角为600∴∠AMN=60°在△ACN中，由余弦定理得AN=；在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN==1；在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×；在△MNH中，MN=tan∠MHN=；故二面角M﹣AC﹣B的平面角大小为arctan．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN=∴V P﹣MAC解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）由题意有，设P（0，0，z0）（z0＞0），则M（0，1，z0），由直线AM与直线PC所成的解为60°，得，即z02=，解得z0=1∴，设平面MAC的一个法向量为，则，取x1=1，得，平面ABC的法向量取为，设与所成的角为θ，则cosθ=，显然，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角大小为arccos．（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为，则点A到平面PCM的距离h=，=V A﹣PCM═∵|=1，∴V P﹣MAC．20．（12分）（2007•四川）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF1•PF2的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．（Ⅱ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意易知所以，设P（x，y），则=因为x∈[﹣2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值﹣2当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，整理得：∴由得：或，…①又∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==∵，即k2＜4，∴﹣2＜k＜2…②故由①、②得：或．21．（12分）（2007•四川）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（x n，f （x n））处的切线与x轴的交点为（x n+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．（Ⅰ）用x n表示x n+1；≤x n的充要条件是x1≥2（Ⅱ）证明：对一切正整数n，x n+1（Ⅲ）若x1=4，记，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{x n}的通项公式．【分析】（1）先对函数f（x）=x2﹣4进行求导，进而可得到过曲线上点（x0，f （x0））的切线方程，然后令y=0得到关系式x n2+4=2x n x n+1，整理即可得到答案．≤x n得到x2≤x1，再结合（1）中的结果可得到，最后（2）先由x n+1根据x1＞0可得到必要性的证明；≤x n对一切正整数n成立．由用数学归纳法可证明x n+1（3）先由得到和，然后两式相除可得到后再两边取对数，求得a n=2a n，进而可知数列+1{a n}成等比数列，根据等比数列的通项公式求得a n，代入即可求得数列{x n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x所以过曲线上点（x0，f（x0））的切线方程为y﹣f（x n）=f′（x n）（x﹣x n），即y﹣（x n﹣4）=2x n（x﹣x n）令y=0，得﹣（x n2﹣4）=2x n（x n+1﹣x n），即x n2+4=2x n x n+1显然x n≠0∴（Ⅱ）证明：（必要性）若对一切正整数n，x n≤x n，则x2≤x1，即，而x1＞0，∴x12≥4，+1即有x1≥2（充分性）若x1≥2＞0，由用数学归纳法易得x n＞0，从而，即x n≥2（n ≥2）又x1≥2∴x n≥2（n≥2）于是=，即x n≤x n对一切正整数n成立+1（Ⅲ）由，知，同理，故=2a n从而，即a n+1所以，数列{a n}成等比数列，故，即，从而=所以．22．（14分）（2007•四川）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二项式系数的特点，找到展开式系数最大的项，即第四项；（2）利用基本不等式适当放缩进行证明或函数思想进行转化与证明；（3）探究性问题处理不等式问题，要注意对展开式系数进行适当放缩从而达到证明的目的．【解答】解：（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因=证法二：因=而故只需对和进行比较．令g（x）=x﹣lnx（x≥1），有由，得x=1因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x=1处g（x）有极小值1故当x＞1时，g（x）＞g（1）=1，从而有x﹣lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx故有恒成立．所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．（Ⅲ）对m∈N，且m＞1有==＜=＜3；又因＞0（k=2，3，…，m），故∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．。

2007年江西省高考数学试卷(理科)及解析

2007年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i2．（5分）（）A．等于0 B．等于1 C．等于3 D．不存在3．（5分）若，则cotα等于（）A．﹣2 B．C．D．24．（5分）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）若，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．6．（5分）若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x﹣2y+1≥0且x﹣2y﹣1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（）A．9 B．6 C．4 D．27．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°8．（5分）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h19．（5分）设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在（）A．圆x2+y2=2内B．圆x2+y2=2上C．圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能10．（5分）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（）A．B．0 C．D．512．（5分）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设函数y=4+log2（x﹣1）（x≥3），则其反函数的定义域为．14．（4分）已知数列{a n}对于任意p，q∈N*，有a p+a q=a p+q，若，则a36=．15．（4分）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为．16．（4分）设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数f（x）=满足f（c2）=．（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）＞．18．（12分）如图，函数的图象与y轴交于点，且在该点处切线的斜率为﹣2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点，点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当，时，求x0的值．19．（12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．20．（12分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的大小；（3）求此几何体的体积．21．（12分）设动点P到点A（﹣1，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使，其中点O为坐标原点．22．（14分）设正整数数列{a n}满足：a2=4，且对于任何n∈N*，有2+；（1）求a1，a3；（2）求数列{a n}的通项a n．2007年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•江西）化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【分析】先化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b ∈R）．【解答】解：=，故选C2．（5分）（2007•江西）（）A．等于0 B．等于1 C．等于3 D．不存在【分析】先化简再代入即可．【解答】解：=，故选B．3．（5分）（2007•江西）若，则cotα等于（）A．﹣2 B．C．D．2【分析】用两角差的正切公式变形，整理，得到关于tanα的一元一次方程，解方程，得到正切值，根据正切和余切之间的关系，求出余切值．【解答】解：由得，∴cotα=﹣2，故选A4．（5分）（2007•江西）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2n，最后通过比值关系为64即可求出n的值是6．【解答】解：展开式中，令x=1可得各项系数的和为（1+3）n=4n又由二项式系数公式得各项二项式系数的和为2n，所以=64，从而得2n=64，所以n=6所以选C5．（5分）（2007•江西）若，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【分析】用特殊值法，取x=可排除B、C，取x=可排除A【解答】解：取x=可排除B、C，取x=可排除A，故选D．6．（5分）（2007•江西）若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x﹣2y+1≥0且x﹣2y﹣1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（）A．9 B．6 C．4 D．2【分析】本题主要考查集合中元素的个数，要用线性规划求出符合条件的整点，在可行域中找整点，要先找出关键点然后挨个列举【解答】解：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，故选C7．（5分）（2007•江西）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．8．（5分）（2007•江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1【分析】可根据几何体的图形特征，结合题目，选择答案．【解答】解：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A9．（5分）（2007•江西）设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在（）A．圆x2+y2=2内B．圆x2+y2=2上C．圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能【分析】先根据x1+x2=﹣，x1x2=﹣表示出x12+x22，再由e==得到a与c的关系，从而可表示出b与c的关系，然后代入到x12+x22的关系式中可得到x12+x22的范围，从而可确定答案．【解答】解：∵x1+x2=﹣，x1x2=﹣x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=e==∴a=2cb2=a2﹣c2=3c2所以x12+x22=＜2所以在圆内故选A．10．（5分）（2007•江西）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A．B．C．D．【分析】将一骰子扔一次有6种不同的结果，则将一骰子连续抛掷三次有63个结果，这样做出了所有的事件数，而符合条件的为等差数列有三类：公差为0的有6个；公差为1或﹣1的有8个；公差为2或﹣2的有4个，共有18个成等差数列的，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：∵一骰子连续抛掷三次得到的数列共有63个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或﹣1的有8个；（3）公差为2或﹣2的有4个，∴共有18个成等差数列的概率为，故选B11．（5分）（2007•江西）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（）A．B．0 C．D．5【分析】偶函数的图象关于y轴对称，x=0为极值点，f（x）是R上以5为周期，x=5也是极值点，极值点处导数为零【解答】解：∵f（x）是R上可导偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）在x=0处取得极值，即f′（0）=0，又∵f（x）的周期为5，∴f′（5）=0，即曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率0，故选项为B12．（5分）（2007•江西）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围．【解答】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•江西）设函数y=4+log2（x﹣1）（x≥3），则其反函数的定义域为[5，+∞）．【分析】欲求反函数的定义域，可不求出反函数，通过反函数的定义域即为原函数的值域求解即可．【解答】解：反函数的定义域即为原函数的值域，由x≥3得x﹣1≥2，所以log2（x﹣1）≥1，所以y≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）．14．（4分）（2007•江西）已知数列{a n}对于任意p，q∈N*，有a p+a q=a p+q，若，则a36=4．【分析】由题设知，按递推公式先求出a2，再导出a4，然后求出a8，再导出a16，进而求出a32，由此可求出a36．【解答】解：由题意得，．故答案为4．15．（4分）（2007•江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为2．【分析】三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．【解答】解：=（）=+，∵M、O、N三点共线，∴+=1，∴m+n=2．故答案：216．（4分）（2007•江西）设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是②④（写出所有真命题的代号）．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确．【解答】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•江西）已知函数f（x）=满足f（c2）=．（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）＞．【分析】（1）先判定c2的大小，从而断定代入哪一个解析式，建立等量关系，解之即可；（2）根据分段函数的分类标准进行分类讨论，分别在每一段上求解不等式，注意解集与前提求交集，最后将两种情形求并集即可．【解答】解（1）依题意0＜c＜1，∴c2＜c，∵f（c2）=，c=（2）由（1）得f（x）=由f（x）＞得当0＜x＜时，∴当时，，∴综上所述：∴f（x）＞的解集为{x|}18．（12分）（2007•江西）如图，函数的图象与y轴交于点，且在该点处切线的斜率为﹣2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点，点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当，时，求x0的值．【分析】（1）根据（0，）以及θ的范围，求θ，利用导数和斜率的关系求ω的值；（2）利用点，点Q（x0，y0）求出P，点P是该函数图象上一点，代入表达式，利用，，求x0的值．【解答】解：（1）将x=0，代入函数y=2cos（ωx+θ）得，因为，所以．又因为y'=﹣2ωsin（ωx+θ），y'|x=0=﹣2，，所以ω=2，因此．（2）因为点，Q（x0，y0）是PA的中点，，所以点P的坐标为．又因为点P在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．19．（12分）（2007•江西）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．【分析】对于（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率，故分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出3种情况的概率，相加即可得到答案．对于（2）求经过两次烧制后，合格工艺品的个数ξ的期望．根据已知很容易可以求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，因为概率相同，可以把它们看成3次重复试验发生k次的概率，然后根据二项分布期望公式直接求得．【解答】解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3，（1）设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．（2）：因为容易求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以ξ～B（3，0.3），故Eξ=np=3×0.3=0.9．20．（12分）（2007•江西）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的大小；（3）求此几何体的体积．【分析】（1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为O为中点连接OD，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明OC∥平面A1B1C1；（2）由题意利用三垂线定理找到二面角的平面角，在三角形中进行求解二面角的大小；（3）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解．【解答】（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．则OD∥BB1∥CC1．因为O是AB的中点，所以OD=．则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，则OC∥面A1B1C1．（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．作BH⊥A2C2于H，连CH．因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．又因为AB=，BC=，AC=．所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．因为BH=，所以sin∠BCH=，故∠BCH=30°，即：所求二面角的大小为30°．（3）因为BH=，所以=．=•2=1．所求几何体体积为=．21．（12分）（2007•江西）设动点P到点A（﹣1，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使，其中点O为坐标原点．【分析】（1）首先利用余弦定理写出d1和d2的等量关系式，然后把它变形为（d1﹣d2）2=*的形式，即|d1﹣d2|=*的形式，此时满足双曲线的定义，则问题得证，最后由双曲线的标准方程形式即可写出其方程．（2）首先根据直线MN是否垂直于x轴进行讨论，若直线MN垂直于x轴，则直线方程为x=1，又=0可得M、N的坐标，代入双曲线方程即得λ的值；若直线MN不垂直于x轴，则设其点斜式方程，并与双曲线方程联立方程组，可消y得x的一元二次方程，再由根与系数的关系用k与λ的代数式表示出x1+x2和x1x2，进而由=0及x1+x2＞0，x1x2＞0通过整理消去k得到λ的不等式，此时解不等式即可，最后把两种情况综合之．【解答】（1）证明：在△PAB中，|AB|=2，即22=d12+d22﹣2d1d2cos2θ，4=（d1﹣d2）2+4d1d2sin2θ，即（常数），所以点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长的双曲线．又b2=1﹣（1﹣λ），所以C的方程为：．（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M（1，1），N（1，﹣1）在双曲线上．即，因为0＜λ＜1，所以．②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x﹣1）．由得：[λ﹣（1﹣λ）k2]x2+2（1﹣λ）k2x﹣（1﹣λ）（k2+λ）=0，由题意知：[λ﹣（1﹣λ）k2]≠0，所以，．于是：．因为，且M，N在双曲线右支上，所以．由①②知，λ的取值范围是：．22．（14分）（2007•江西）设正整数数列{a n}满足：a2=4，且对于任何n∈N*，有2+；（1）求a1，a3；（2）求数列{a n}的通项a n．【分析】（1）令n=1，根据2+可得到，再由a1为正整数可得到a1的值，当n=2时同样根据2+可得到2+进而可得到a3的范围，最后根据数列{a n}是正整数数列求出a3的值．（2）先根据a1=1，a2=4，a3=9可猜想a n=n2，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）据条件得2+①当n=1时，由，即有2+＜，解得．因为a1为正整数，故a1=1．当n=2时，由2+，解得8＜a3＜10，所以a3=9．（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：a n=n2．下面用数学归纳法证明．①当n=1，2时，由（1）知a n=n2均成立；②假设n=k（k≥2）成立，则a k=k2，则n=k+1时由（1）得2+∴，即∴因为k≥2时，（k3+1）﹣（k+1）2=k（k+1）（k﹣2）≥0，所以．k﹣1≥1，所以．又a k+1∈N*，所以（k+1）2≤a k+1≤（k+1）2．故a k=（k+1）2，即n=k+1时，a n=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，+1a n=n2．。

2007届东莞市高三理科数学五月高考模拟题

2007届东莞市高三理科数学五月高考模拟题考生注意：满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.一、选择题（每小题5分，共40分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.） 1．满足条件}2,1{⋃M =}{3,2,1的所有集合M 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 2．复数i215+的共轭复数是 .A i 31035-- .B i 31035+- .C i 21- .D i 21+3. 若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p ⌝是q ⌝的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4. 工人制造零件的尺寸在正常情况下服从正态分布()2,σμN，在一次正常的试验中，取1000个零件，不属于()σμσμ3,3+-这个尺寸范围的零件个数可能为 A ． 7个 B ． 10个 C ． 3个 D ．6个5. 阅读右图所示的流程图，输出的结果为 A ．24 B ．12 C ．6 D ．46. 已知直线n m ,，平面βα,，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ； ②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；④若异面直线n m ,互相垂直，则存在过m 的平面与n 垂直．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①③ C ．②④ D ．③④7. 设椭圆12222=+ny m x ，双曲线12222=-n y m x ，抛物线)0()(22>>+=n m x n m y 其中的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则A ．321e e e >B ．321e e e <C ．321e e e =D ．21e e 与3e 的大小关系不能确定 8. 正方体的直观图如右下图所示，则其展开图是二、填空题（请按要求答题，每小题5分，共２０分.请把答案填在题中的横线上.） 9．1010221052)1(x a x a x a a x x ++++=-+ ，则2x 的系数2a 的值为___________． 10．表示右图中阴影部分的二元一次不等式组为______________． 11．曲线y=x 3在点(a,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61，则a= 12．当210,,a a a 成等差数列时，有3210210,,,,02a a a a a a a 当=+-成等差数列时，有432103210,,,,,033a a a a a a a a a 当=-+-成等差数列时，有046443210=+-+-a a a a a ，由此归纳：当n a a a a 210,,成等差数列时有n nn n n n n a c a c a c a c )1(221100-+-+- =0．如果n a a a a ,,,,210 成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为考生可从下面第14、15两道题中任选一道做答，若两道题全做答，则只按前一题计算得分．13．从不在圆上的一点A 做直线交⊙O 于B 、C 两点，且AB ·AC=60，OA=8，则⊙O 的半径等于． 14．点P （3，0）到直线⎩⎨⎧-==12t y tx （其中参数t 是任意实数）上的点的距离的最小值是．15．已知222,632z y x z y x ++=++则：的最小值是．三、解答题（共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知.53sin ),,2(=∈αππ且a （I ）求)4cos(πα-的值；（II ）求)4tan(2sin2παα++的值.17. （本小题满分13分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，侧面PAD 垂直底面ABCD ，且ΔPAD 为正三角形，E 为侧棱PD 的中点．（I ）求证：AE ⊥平面PCD ；（II ）求平面PAB 与平面PDC 所成二面角的大小；（III ）求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. （本小题满分13分）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球：（I ）求取出的红球数ξ的概率分布列和数学期望；（II ）若取出一个红球得2分，取出一个黑球得1分，求总得分不超过5分的概率．19. （本小题满分14分）设正项等比数列}{n a 的首项1a =21，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S ．（I ）求}{n a 的通项公式；（II ）求数列}{n nS 的前n 项和n T ． 20．（本小题满分14分）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，若x 轴上的定点M ，总能使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”①求椭圆1522=+y x 的“左特征点”M 的坐标；②试根据①中的结论猜测：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的“左特征点”M 是一个怎样的点？并证明你的结论21．（本小题满分14分）已知函数2()ln44x xf x x -=+-. （I ）求()f x 的极值；（II ）求证()f x 的图象是中心对称图形；（III ）设()f x 的定义域为D ,是否存在[],a b D ⊆.当[],x a b ∈时，()f x 的取值范围是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在,求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：DDBC CDBD二、填空题：9．5- 10．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y x 11．1± 12． .1)1(210210=⋅⋅⋅⋅--n nn m n n C n C c C a a a a13． 2或312 14．5 15． 718 三、解答题：16、（1）102-（2） 707317. 证明：（I ）在正PAD ∆中，E 是PD 的中点，所以PD AE ⊥．又ABCD PAD 面面⊥，AD ABCD PAD =面面，AD CD ⊥，所以PAD CD 面⊥．而PAD AE 面⊂，所以AE CD ⊥．所以由D CD PD = ，有PDC AE 面⊥．（II ）取正PAD ∆的底边AD 的中点O ，连接PO ，则AD PO ⊥．又ABCD PAD 面面⊥，所以ABCD PO 面⊥．如图，以点O 为坐标原点， DA 为x 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系．设a AD 2=，则有)00(，，a A ， )300(a P ，，，)02(，，a a B ，)0,0,(a D -，)23,0,2(aa E -，)3,0,(a a -=，)0,2,0(a =．再设),,(z y x n =是面PAB 的法向量，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==+-0203ay az ax ，可设)1,0,3(=．又)23,0,23(a a -=是面PDC 的法向量，因此 21||||,cos -=⋅>=<n AE ，所以 120,>=<，即平面PAB 与平面PDC 所成二面角为60．（Ⅲ）由（II ）知)3,2,(a a a -=，设与面PDC 所成角为θ，则46sin ==θ 所以PB 与面PDC 所成角的正弦值为46． 18．解：（I ） 351)0(4744===C C P ξ，3512)1(471334===C C C P ξ， 3518)2(472324===C C C P ξ，354)3(473314===C C C P ξ， ∴ξ的分布列为：xz∴7353352351350=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．（II ）当且仅当取出4个黑球，或3个黑球、1个红球时总得分不超过5分．∴35134713344744=+=C C C C C P ． 19．解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++⋅ 因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n qa a nn n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故 .2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2nn nn T +++-+++=).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n ，即 .22212)1(1-+++=-n n n nn n T 20．解：（1）设()0,m M 为椭圆1522=+y x 的左特征点，由椭圆的左焦点为()0,2-F ，可设直线AB 的方程为()02≠-=k ky x ，代入1522=+y x 得()55222=+-y ky 即()014522=--+ky y k 设()()2211,,,y x B y x A ，则51,5422122+-=+=+k y y k ky yAMB ∠ 被x 轴平分0=+∴BM AM k k 02211=-+-∴mx y m x y()()01221=-+-m x y m x y即 ()()()022211221=+--+-m y y ky y ky y ()()0222121=++-∴m y y y ky于是 ()025451222=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅m k k k k ()0221,0=++∴≠m k ，即25-=m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴0,25M （2）对于椭圆2,1,5,1522====+c b a y x ca 225-=-∴ 于是猜想：椭圆12222=+by a x 的“左特征点”是椭圆的左准线与x 轴的交点证明：设椭圆的左准线l 与x 轴相交于M 点，过A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为C 、D ，据椭圆的第二定义：||||||||BD BF AC AF =即||||||||BD AC BF AF =||||||||,////DM CM BF AF BD FM AC =∴于是||||||||DM CM BD AC =，即||||||||DM BD CM AC =BMF AMF BMD AMC ∠=∠⇒∠=∠∴ MF ∴为AMB ∠的平分线，故M 为椭圆的“左特征点” 21．解：(I) /(6)()4(2)(4)x x f x x x -=-- .注意到204x x ->-，即(,2)(4,)x ∈-∞⋃+∞，解(6)04(2)(4)x x x x -=--得6x =或0x =．所以当x 变化时，/(),()f x f x 的变化情况如下表：所以1(0)ln2f =是()f x 的一个极大值,3(6)ln 22f =+ 是()f x 的一个极大值.. (II) 点()0,(0),(6,(6))f f 的中点是3(3,)4,所以()f x 的图象的对称中心只可能是3(3,)4.设(,())P x f x 为()f x 的图象上一点,P 关于3(3,)4的对称点是3(6,())2Q x f x --.463(6)ln ()242x x f x f x x ---=+=-- .Q ∴也在()f x 的图象上, 因而()f x 的图象是中心对称图形.(III) 假设存在实数a 、b . [],a b D ⊆,2b ∴<或4a >.若02b ≤<, 当[],x a b ∈时, 1()(0)ln 02f x f ≤=<,而04b ≥()4bf x ∴≠.故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若46a <≤,当[],x a b ∈时, 33()(6)ln 222f x f ≥=+>,而342a ≤()4af x ∴≠.故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若06a b a b <<<<或,由()g x 的单调递增区间是()(),0,6,-∞+∞,知,a b 是()4xf x =的两个解.而2()ln 044x x f x x --==-无解. 故此时()f x 的取值范围是不可能是,44a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 综上所述,假设错误,满足条件的实数a 、b 不存在.。

2007年广东省高考数学试卷(理科)及解析

2007年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知函数f（x）=定义域为M，g（x）=ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅2．（5分）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数4．（5分）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k＜8，则k等于（）A．9 B．8 C．7 D．66．（5分）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．（5分）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．188．（5分）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）9．（5分）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示）10．（5分）若向量a，b满足||=||=1，的夹角为60°，则=．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．12．（5分）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=；f（n）=．（答案用数字或n的解析式表示）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为．14．（5分）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）=；若f（x）≤5，则x 的取值范围是．15．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC 为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．17．（12分）．x3456y2 . 5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O ．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图所示，等腰△ABC 的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．20．（14分）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有a n＞α；（3）记（n=1，2，…），求数列{b n}的前n项和S n．2007年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2007•广东）已知函数f（x）=定义域为M，g（x）=ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅【分析】根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．2．（5分）（2007•广东）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2 B．C．D．﹣2【分析】本题主要考查复数的乘法运算以及纯虚数的概念等基础知识，属容易档次．【解答】解：（1+bi）（2+i）=（2﹣b）+（1+2b）i，则，∴b=2选A．3．（5分）（2007•广东）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【分析】本题主要考查三角函数的最小正周期和奇偶性，也涉及到对简单三角变换能力的考查．见到三角函数平方形式，要用二倍角公式降幂，变为可以研究三角函数性质的形式y=Asin（ωx+φ）的形式．【解答】解：∵f（x）=，∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，故选D4．（5分）（2007•广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的常规方法建立实际问题中的分段函数模型，然后研究分段函数的图象．其实，客观题往往有打破常规的捷径，如此题抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），则很容易地得到答案B，体现了描点法的精细思考．【解答】解：由题意得；，抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），对照选项选B．故选：B．5．（5分）（2007•广东）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k ＜8，则k等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足5＜a k＜8，求出k．【解答】解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣10，∴a n=2n﹣10．∵5＜a k＜8，∴5＜2k﹣10＜8，，∴k=8，∴＜k＜9，又∵k∈N+故选B．6．（5分）（2007•广东）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．7．（5分）（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】本题主要考查解决实际问题的能力，研究生活中的最优化模型，体现了对创新思维能力的考查．根据已知，现在要将A，B两个维修点的零件调往C、D 两个维修点，由于A、D两个维修点相邻，且D维修点的零件缺口最大，故要首先考虑从A点调零件到D点．【解答】解：D处的零件要从A、C或B处移来调整，且次数最少．方案一：从A处调10个零件到D处，从B处调5个零件到C处，从C外调1个零件到D处，共调动16件次；方案二：从B处调1个零件到A处，从A处调11个零件到D处，从B外调4个零件到C处，共调动16件次．故选B．8．（5分）（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b【分析】本题主要考查应用新定义解决数学问题的能力，体现了对创新思维能力的考查力度．根据已知中a*（b*a）=b，对四个答案的结论逐一进行论证，不难得到正确的结论．【解答】解：根据条件“对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b”，则：选项B中，[a*（b*a）]*（a*b）]=b*（a*b）=a，一定成立．选项C中，b*（b*b）=b，一定成立．选项D中，（a*b）*[b*（a*b）]=b，一定成立．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）9．（5分）（2007•广东）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示）【分析】本题是一个古典概型，从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球表示从甲袋中取得一个红球且从乙袋中取得一个红球，试验发生的总事件数是C61C61，满足条件的事件数是C41C51+C21C11，由古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，记“从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球”，为事件A试验发生的总事件数是C61C61=36，满足条件的事件数是C41C11=4，由古典概型公式得到P（A）==，故答案为：．10．（5分）（2007•广东）若向量a，b满足||=||=1，的夹角为60°，则=．【分析】利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用向量的模的平方等于向量的平方，将求出的值代入代数式即得．【解答】解：∵，∴=1+=．故答案为11．（5分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是x=﹣．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．【解答】解：依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y﹣5=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=，从而得到准线方程x=﹣．故答案为：x=﹣．12．（5分）（2007•广东）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=12；f（n）=．（答案用数字或n的解析式表示）【分析】本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线．【解答】解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．13．（5分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为（0，2），圆心到直线l的距离为．【分析】先利用两式相加消去t将直线的参数方程化成普通方程，然后利用sin2θ+cos2θ=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，求出圆心和半径，最后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可．【解答】解：直线l的参数方程为（参数t∈R），∴直线的普通方程为x+y﹣6=0圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π]），∴圆C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4∴圆C的圆心为（0，2），d=故答案为：（0，2），14．（5分）（2007•广东）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）=6；若f （x）≤5，则x的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】直接代入﹣2求出函数值f（﹣2），f（x）≤5，去掉绝对值符号，对x 分类讨论，即x≥，和x分别解不等式组即可．【解答】解：f（﹣2）=|2•（﹣2）﹣1|+（﹣2）+3=6，将f（x）=|2x﹣1|+x+3≤5变形为或，解得或，即﹣1≤x≤1．所以，x的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：6；[﹣1，1]．15．（2007•广东）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为9 ．【分析】连接EC，EO．根据梯形的面积等于梯形的中位线长乘以高，显然中位线即是半圆的半径，即为3．故只需求得该梯形的高．根据梯形的中位线，只需求得DE的长，首先根据30度的直角三角形BCE求得CE的长，再根据弦切角定理求得∠CED=30°，进一步根据锐角三角函数求得DE的长，再根据梯形的面积公式进行计算．【解答】解：如图连接EC，∵BC为半圆O的直径，∴BE⊥EC（1分）∵∠EBC=30°，∴EC=BC=×6=3连接OE，∴OE=OB=3，∠BEO=30°∵AD与⊙O相切于点E，∴OE⊥AD∴∠OEC=60°，∴∠DEC=30°∴DC=EC=∴DE=（3分）∵OE∥DC∥AB，OC=OB，∴OE是梯形的中位线∴AE=DE=（5分）∴AD=2DE=3∵AD⊥AB，∴DA为梯形ABCD的高∴S=OE•AD=3×3 ．（7分）梯形ABCD故答案为：9．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2007•广东）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．【解答】解：（1）根据题意，，，若c=5，则，∴，∴sin∠A=；（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；17．（12分）（2007•广东）．x3456y2344. 5. 5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【分析】（1）依据描点一一描点画图即可；（2）先算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求a和b的值，从而求出线性回归方程；（3）将x=100时代入线性方程得到y的值，就能预测生产100吨甲产品的生产能耗情况．【解答】解：（1）根据题意，作图可得，（2）由系数公式可知，，，，所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；（3）x=100时，y=0.7x+0.35=70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．18．（14分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解．（2）要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为2的圆（x─4）2+y2=8与（1）所求的圆的交点数．【解答】解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），则该圆的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即|m﹣n|=4①又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得故圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=8；（2）|a|=5，∴a2=25，则椭圆的方程为=1其焦距c==4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．通过联立两圆的方程，解得x=，y=．即存在异于原点的点Q（，），使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．19．（14分）（2007•广东）如图所示，等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．【分析】（1）先求底面面积，再求出高，即可求V（x）的表达式；（2）利用导数，来求V（x）的最大值，（3）过F作MF∥AC交AD于M，得到异面直线所成的角，然后求异面直线AC 与PF所成角的余弦值．【解答】解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，V（x）=（）（2），所以x∈（0，6）时，v'（x）＞0，V（x）单调递增；时v'（x）＜0，V（x）单调递减；因此x=6时，V（x）取得最大值；（3）过F作MF∥AC交AD与M，则，PM=，，在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为．20．（14分）（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．【分析】y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点转化为（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数在[﹣1，1]上的值域，再用分离常数法求函数在[﹣1，1]的值域即可．【解答】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数[﹣1，1]上的值域；设t=3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x=3﹣t，t∈[1，5]，，设，时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解⇔∈⇔a≥1或．故a≥1或a≤﹣．21．（14分）（2007•广东）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有a n＞α；（3）记（n=1，2，…），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）可求得；（2）由f'（x）=2x+1，=，由基本不等式可知，依此有（3），，数列{b n}是等比数列，由其前n项和公式求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴；（2）f'（x）=2x+1，=，∵a1=1，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴，同样，（n=1，2），（3）而α+β=﹣1，即α+1=﹣β，，同理，又。

2007年高考理科数学摸拟试题解析样本5

2007年高考理科数学摸拟试题解析样本5本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ卷(非选择题共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合A ={x |x =2k ,k ∈Z },B ={x |x =2k +1,k ∈Z },C ={x |x =4k +1,k ∈Z },又a ∈A ,b ∈B ,则有 A.a +b ∈A B.a +b ∈B C.a +b ∈CD.a +b 不属于A ，B ，C 中的任意一个2.已知f (x )=sin(x +2π,g (x )=cos(x －2π),则f (x )的图象 A.与g (x )的图象相同B.与g (x )的图象关于y 轴对称C.向左平移2π个单位，得到g (x )的图象 D.向右平移2π个单位，得到g (x )的图象3.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A.y =3xB.y =－3xC.y =33x D.y =－33x 4.函数y =1－11-x , 则下列说法正确的是 A.y 在(－1,+∞)内单调递增 B.y 在(－1,+∞)内单调递减 C.y 在(1,+∞)内单调递增 D.y 在(1,+∞)内单调递减 5.已知直线m ,n 和平面α，那么m ∥n 的一个必要但非充分条件是 A.m ∥α,n ∥α B.m ⊥α,n ⊥α C.m ∥α且n ⊂α D.m ,n 与α成等角6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51 B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，③并非如此 C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，②并非如此D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同 7.曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ，当k =3时的P 点坐标为A.(－2,－8)B.(－1,－1),(1,1)C.(2,8)D.(－21,－81) 8.已知y =log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞)9.已知lg3,lg(sin x －21),lg(1－y )顺次成等差数列，则 A.y 有最小值1211，无最大值 B.y 有最大值1，无最小值 C.y 有最小值1211，最大值1D.y 有最小值－1，最大值110.若=a ，=b ，则∠AOB 平分线上的向量OM 为 A.||||b b a a +B.λ(||||b b a a +)，λ由OM 决定 C.||b a ba ++D.||||||||b a ba ab ++11.一对共轭双曲线的离心率分别是e 1和e 2,则e 1+e 2的最小值为 A.2 B.2 C.22D.412.式子2n2322222C C C 321lim +++++++∞→ n n 的值为A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.从A ={a 1,a 2,a 3,a 4}到B ={b 1,b 2,b 3,b 4}的一一映射中，限定a 1的象不能是b 1，且b 4的原象不能是a 4的映射有___________个.14.椭圆5x 2－ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =___________.15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围为___________.16.已知a n 是(1+x )n 的展开式中x 2的系数，则)111(lim 32nn a a a +++∞→ =___________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=x-22，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=f (1),当n ≥2时，S n －21)(2=n a f (n 2+5n －2).(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4;(2)求出数列{a n }的通项公式，并给予证明. 18.(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，满足sin C =BA BA cos cos sin sin ++.(1)判断△ABC 的形状；(2)设三边a ,b ,c 成等差数列且S △ABC =6 cm 2，求△ABC 三边的长. 19.(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB =1，P A =h ，AD =y .(1)试求y 关于h 的函数解析式；(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径. 20.(本小题满分12分)某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(4≤v ≤20)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 、y 小时.(1)作图表示满足上述条件x 、y 的范围；(2)如果已知所需的经费p =100+3(5－x )+2(8－y )(元)，那么v 、w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？21.(本小题满分12分) 已知f (x )=log a (x +1)，点P 是函数y =f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数y =g (x )的图象，当a ＞1,x ∈［0,1)时，总有2f (x )+g (x )≥m 恒成立.(1)求出g (x )的表达式； (2)求m 的取值范围. 22.(本小题满分14分)直线l :ax －y －1=0与曲线C ：x 2－2y 2=1交于P 、Q 两点， (1)当实数a 为何值时，|PQ |=221a +?(2)是否存在a 的值，使得以PQ 为直径的圆经过原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：由已知得a 是偶数，b 是奇数，则a +b 是奇数，又b ∈B ，B ⊃C ，∴a +b ∈B ,选B. 答案：B2.解析：f (x )的图象向右平移2π个单位，得sin ［(x －2π)+2π］=sin x ，又g (x )=cos(x －2π=cos(2π－x )=sin x ,故选D.答案：D3.解析：设直线为y =kx .由⎩⎨⎧==+++kxy x y x 03422消去y ，得 (1+k 2)x 2+4x +3=0,由Δ=16－4×3(1+k 2)=0,k =±33. 又知切点在第三象限，∴k =33，选C. 答案：C4.解析：令x －1=X ,y －1=Y ,则Y =－X1. X ∈(0,+∞)是单调增函数，由X =x －1,得x ∈(1,+∞)，y =1－11-x 为单调增函数,故选C. 答案：C5.解析：若m ∥n ,则m ,n 与平面α成相等的角，反之，若m ,n 与平面α成等角，不一定有m ∥n ,故选D.答案：D6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是51，故选A. 答案：A7.解析：由y =x 3，得y ′=3x 2.由已知得3x 2=3，x =±1. 当x =1时，y =1,当x =－1时，y =－1，故P 点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B. 答案：B8.解析：由已知log a (2－a ·0)＞log a (2－a )，即log a 2＞log a (2－a )，当0＜a ＜1时，有⎩⎨⎧>--<0222a a无解，当a ＞1时，有⎩⎨⎧>-->0222a a，得1＜a ＜2,选B.答案：B9.解析：由已知得2lg(sin x －21)=lg3+lg(1－y )，且⎪⎩⎪⎨⎧<>121sin y x ,得(sin x －21)2=3(1－y ) 得y =1－3)21(sin 2-x , 当sin x =1时，y min =1211，无最大值，选A.答案：A 10.答案：B11.解析：设双曲线2222b y a x -=1的离心率e 1=a b a 22+，则共轭双曲线2222a x b y -=1的离心率e 2=b b a 22+.e 1+e 2=bb a a b a 2222+++ ≥2·abb a b a 2222+⋅+ (a =b 时取等号)=2·abb a 22+≥2·2 (a =b 时取等号).∴e 1+e 2的最小值为22，选C. 答案：C12.解析：原式=31C )12)(1(61lim +∞→++n n n n n=6)1()1()12)(1(61lim -⋅+++∞→n n n n n n n =2,选C. 答案：C二、填空题(每小题4分，共16分) 13.解析：A 44－2A 33+A 22=14. 答案：1414.解析：由已知得x 2+ky 52-=1,k ＜0,由焦点坐标(0，2)知长轴在y 轴上，得(－k5)－1=4,得k =－1. 答案：－115.解析：由题意得S =q-12,－1＜q ＜0. 由q =S S 2-得－1＜SS 2-＜0,解不等式得1＜S ＜2. 答案：1＜S ＜216.解析：由已知得x 2的系数为C 2n ，即a n =C 2n =2)1(-n n , ∴a 2=1,21a =1=122⨯,23213⨯=a ,…,)1(21-=n n a n ,∴)]111()3121()211[(2lim )111(lim 32nn a a a n n n --++-+-=+++∞→∞→=2)11(2lim =-∞→nn .答案：2三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分) 17.解：(1)由已知，当n ≥2时，f (a n )=na -22, ∵S n －)25(21)(22-+=n n a f n ， ∴S n －21222=-na (n 2+5n －2), 即S n +a n =21(n 2+5n +2). 又a 1=f (1)=2, 由S 2+a 2=a 1+2a 2=21(22+5×2+2), 得a 2=3;由S 3+a 3=a 1+a 2+2a 3=21(32+5×3+2), 解得a 3=4;由S 4+a 4=a 1+a 2+a 3+2a 4=21(42+5×4+2),解得a 4=5. 6分 (2)则a 1=2,a 2=3,a 3=4,a 4=5,于是猜想：a n =n +1(n ∈N ).8分以下用数学归纳法证明： (a )当n =1时命题成立.(b )设n =k 时，a k =k +1(k ∈N ).由S k +1+a k +1=21［(k +1)2+5(k +1)+2］, a 1+a 2+…+a k +2a k +1=21(k 2+7k +8),2a k +1=21(k 2+7k +8)－(2+3+…+k +1)=21(k 2+7k +8)－2)3(+k k =21(k 2+7k +8－k 2－3k ) =2k +4.a k +1=(k +1)+1,即当n =k +1时命题也成立.故由(a )、(b )知对一切n ∈N 均有a n =n +1.12分18.(1)解法一：sin C =2cos2cos 22cos 2sin2B A B A BA B A -+-+ =tan2BA +=C CB A B A cos 1sin )cos(1)sin(-=+++.∵sin C ≠0,∴cos C =0,0°＜C ＜180°,∴C =90°,∴△ABC 为直角三角形.6分解法二：∵cos A +cos B =CBA sin sin sin +,∴cba acb ac bc a c b +=-++-+22222222.化简整理得：(a +b )(c 2－a 2－b 2)=0,∴a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形.6分(2)解：由已知得：a 2+b 2=c 2,a +c =2b ,21ab =6, 解得：a =3 cm,b =4 cm,c =5 cm.12分19.解：(1)显然h ＞1，连接AQ ，∵平面ABCD ⊥平面ADQP ,P A ⊥AD ， ∴P A ⊥平面ABCD ，由已知PQ ⊥DQ , ∴AQ ⊥DQ ,AQ =y 2－h 2.∵Rt △ABQ ∽Rt △QCD ,CQ =12-h ,∴ABCQAQ DQ =,即11222-=-h hy h . ∴y =122-h h (h ＞1).4分(2)y =122-h h =11)1(22-+-h h=12-h +112-h ≥2,6分当且仅当11122-=-h h ,即h =2时，等号成立.此时CQ =1,即Q 为BC 的中点，于是由DQ ⊥平面P AQ ，知平面PDQ ⊥平面P AQ ,PQ 是其交线，则过A 作AE ⊥平面PDQ ,∴∠ADE 就是AD 与平面PDQ 所成的角，由已知得AQ =2,PQ =AD =2,∴AE =1,sin ADE =21=AD AE ,∠ADE =30°. 8分(3)设三棱锥P －ADQ 的内切球半径为r , 则31(S △P AD +S △P AQ +S △PDQ +S △ADQ )·r =V P －ADQ . ∵V P －ADQ =31S △ADQ ·P A =32,S △P AQ =1,S △P AD =2,S △QAD =1,S △PDQ =2, ∴r =2222222-=+. 12分20.解：(1)由题意得：v =y 50,w =x300,4≤v ≤20,30≤w ≤100, 3分∴3≤x ≤10,25≤y ≤225.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x +y 应在9至14小时之间，即9≤x +y ≤14,②因此满足①②的点(x ,y )的存在范围是图中阴影部分(包括边界). 6分 (2)因为p =100+3(5－x )+2(8－y ),所以3x +2y =131－p ,设131－p =k ,那么当k 最大时，p 最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点(10,4)，即当y =4时，p 最小，此时x =10,v =12.5,w =30,p 的最小值为93元. 12分21.解：(1)设Q (x ,y )⇒P (－x ,－y ),代入f (x )方程得，g (x )=－log a (－x +1).4分(2)2f (x )+g (x )≥m 恒成立⇔2log a (x +1)－log a (1－x )≥m 恒成立⇔log ax x -+1)1(2≥m 恒成立,即m 小于等于log a x x -+1)1(2的最小值. 令h (x )=xxx x x -+-=-+14)1(1)1(22=414)1(14)1(4)1(2--+-=-+---xx x x x .8分易证h (x )在x ∈［0,1)上单调递增，∴h (x )min =h (0)=1,又∵a ＞1,∴log a x x -+1)1(2≥log a 1=0,即log a xx -+1)1(2的最小值为0，∴m 的取值范围是m ≤0.12分22.解：(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),⎩⎨⎧=-=--120122y x y ax , ∴(1－2a 2)x 2+4ax －3=0. 若1－2a 2=0,即a =±22时，l 与C 的渐近线平行，l 与C 只有一个交点，与题意不合， ∴1－2a 2≠0,Δ=(4a )2－4(1－2a 2)(－3)＞0, ∴－26＜a ＜26. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅--=+221221213,214a x x aa x x (*) ∴｜PQ ｜=21a +｜x 1－x 2｜=221a +. ∴(x 1－x 2)2=4,∴(x 1+x 2)2－4x 1x 2=4.∴(－2214a a -)2－4221)3(a--=4. ∴a =±1∈(－26,26). ∴所求的实数a 的值为a =±1. 5分(2)假设存在实数a ,使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，则由OP ⊥OQ ，得y 1·y 2=－x 1·x 2. ∴(ax 1－1)·(ax 2－1)=－x 1·x 2, ∴(1+a 2)x 1·x 2－a (x 1+x 2)+1=0. 9分把(*)式代入得：a 2=－2与a 为实数矛盾，∴不存在实数a 使得以PQ 为直径的圆经过原点. 14分。

2007年高考试题——数学仿真试题五(理)

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学仿真试题五（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号对应填在答题卷上的表格内；答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：事件A 、B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+. 台体的体积公式h (V ）下下上上S S S S 31++=，其中上S 、下S 分别是台体的上、下底面面积，h 是台体的高.球的表面积公式24S R π=、体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的选项填涂在答题卡上． 1. 若}3,2{},2,1{},4,3,2,1{===N M I 则=⋃)(N M C I （）A.}3,2,1{B.}2{C.}4,3,1{D.}4{ 2. 函数)10(|2|<<-=a a y x的大致图象是（）A B C D 3. 下列常用的代数式用BAISIC 语言表达正确的有（）))()()((:))()(()4(2/))42((:24)3(214159.3:)2()42(:4)1(222c p b p a p p SQR c p b p a p p ac a b SQR b aac b b r r c a b SQR ac b -*-*-*---***------***--ΛΛΛπA.1个B.2个C.3个D.4个 4. 在下列各量的关系中，是相关关系的是（）（1）正方体的体积与棱长的关系；（2）一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系. (3)人的身高与体重；（4）家庭的支出与收入之间的关系；（5）某户家庭用电量与电价之间的关系A.（2）（3）B.（3）（4）C.（4）（5）D.（2）（3）（4） 5. 若干水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中量得水面的高度为6cm 。

2007年高考数学(理科)大预测卷

2007年高考数学(理科)大预测卷第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π= (其中R 表示球的半径) 球的体积公式334R V π=(其中R 表示球的半径)一．选择题1．集合},2|{R x y y M x ∈==，}1|{-==x y x P ，则=⋂P M ( ) A ．),1(+∞ B ．),1[+∞ C ．),0(+∞ D ．),0[+∞ 2．i iia z -+++=312，若z 为纯虚数，则a ＝（） A ．0 B ．－4 C ．－6 D ．－83．记二项式n x )21(+ 展开式的各项系数和为n a ，其二项式系数和为n b ，则nn nn n a b a b +-∞→lim ＝（）A ．1B ．－1C ．0D ．不存在4．设向量)20cos ,20(sin ),25sin ,25(cos ==，若t 是实数，且t +=，则||的最小值是（）A ．2B ．1C ．22D ．215．若双曲线)0(116222>=-b by x 的一条准线恰好为圆0222=++x y x 的一条切线，则b 的值为（）A ．4B ．8C ．24D ．346．球面上有A 、B 、C 三点，AB ＝AC ＝2，BC ＝22，球心到平面ABC 的距离为1，则球的表面积为（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．34π7．已知等比数列}{n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得1S ＝8，2S ＝20，3S ＝36，4S ＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为（）A ．1SB ．2SC ．3SD ．4S8．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平状况，它的计算公式y x n /=（x ：人均食品支出总额，y ：人均消费支出总额），且4752+=x y ，各种类张先生居住地2006年比2002年食品价格下降了，该家庭在2006年购买食品和2002年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2006年属于（） A ．贫困 B ．温饱 C ．小康 D ．富裕9．为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学。