1.1 探索勾股定理(3)勾股定理的应用-分类讨论

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探索勾股定理ppt课件

A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
自主探究任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦勾
股
我国古代把直角三角形中的直角边称为，的直角边称为，称为，“勾股定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学任务二：熟练运用勾股定理进

面向未来：探索利用勾股定理教案培养学生的实践能力和创新思维

面向未来：探索利用勾股定理教案培养学生的实践能力和创新思维数学是一门与生俱来的科学。

它不仅仅是理论的探究，更是人类生活不可或缺的一部分。

面对现代社会，数学教育应当以实践为主，充分发挥学生在思考、研究和创新方面的能力。

本篇文章将探讨如何利用勾股定理教案来培养学生的实践能力和创新思维。

一、勾股定理勾股定理是数学中较为经典的定理之一，在中国古代被称为勾三股四弦五定理。

勾股定理的表述比较简单，即直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理是现代西方数学的基础之一，不仅成为中学数学教育和应用数学中的必修内容，同时在全球范围内得到广泛运用。

二、勾股定理与实践勾股定理在实际应用中的作用是非常重要的。

比如，建筑学中已经应用很久，设计师需要准确计算建筑物的不同部位的角度和长度；同样，在物理、计算机科学、航空航天等领域中也大量使用勾股定理。

这些应用运用到数学知识的实际最优解，具有较强的现实意义。

三、勾股定理与创新思维勾股定理教学不仅能够提高学生的数学思维和运算能力，还能培养学生创新思维。

勾股定理教学可以不断创新教学形式和内容，增强学生的学习兴趣和动力。

例如，在教学过程中，可以设计勾股定理的究竟，半圆、平行线、圆的内切圆、外接圆等等，引导学生发挥想象和创造力。

四、勾股定理教案为了更好地实践勾股定理的教学，下面介绍一份可供参考的勾股定理教案。

1、课前预习（15分钟）教师要求学生提前了解勾股定理的基本概念和一些基本公式，并要求学生准备好纸笔和计算器等工具。

2、数学探究实践（45分钟）教师设计实践课程内容，要求学生运用勾股定理解决实际问题，如计算三角形的不同角度和长度，探究勾股定理实际应用和优化等。

3、小组讨论（10分钟）教师要求学生分成小组，共同讨论合理利用勾股定理解决实际问题，找出问题所在，并从中提出解决方案。

4、课后答疑（10分钟）教师安排时间，解答学生在课堂实践中遇到的问题，并帮助学生巩固所学的内容。

五、总结通过本篇文章的讨论，我们可以看出勾股定理在数学教学中的重要性和应用。

1.1-探索勾股定理-(第二课时)立峰

总统证法
c a
b
cb
面积法
a
S梯形
1 (a b)(a b) 2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
1 (a b)(a b) 1 (ab ab c2)
2
2
化简得 a2 b2 c2.
环节三：合作探究—拼图验证 c
a
右图有四个全等的直角三
b
角形，
c a
用这四个三角形拼一拼、摆一摆, 看看是否得到 a
b c
一个含有以斜边c为边长的正方形, 你能利用它说明勾
b c
股定理吗? 小组合作交流. a
b
环节三：层层设问，完成验证一
b
利
用a c 面
积
法
c
b
a
c
b
(a+b)2
= C2+4×
1
2 ab
a2+b2+2ab=c2+2ab
c
a 可得:a2+b2=c2
a
b
这四个直角三角形还能怎样拼？
环节三：自主探究—完成验证二
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
复习旧知
上节课学习了勾股定理,它的内容是什么? 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方.
c
a
b
a2+b2=c2
环节一：目标定位
1、在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 2、掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 3、在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.

初中数学八年级上册学情分析

第一章探索勾股定理一知识点1. 掌握勾股定理，2了解利用拼图验证勾股定理的方法，3.运用勾股定理解决一些实际问题。

4. 知道什么叫勾股数，并能记住一些常见的勾股数..5. 会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形二易错点：（1）忽略勾股定理的前提条件：直角三角形中，有时不是直角三角形也应用勾股定理。

（2）利用勾股定理时，分不清直角边、斜边，求直角边时，有时会把直角边当成斜=+431h h222边求。

如图所示，求。

有些同学错解为：，正确的解法为：=-=。

h222437图1（3）利用勾股定理得到的是边的平方，有些同学往往误认为是边的长度。

如图2所示，正方形的面积为172－152＝64，而有些同学认为正方形的面积为642。

（4）利用图形证明勾股定理的推导第二章实数一知识点1. 了解无理数、实数、算术平方根、平方根（二次根式）、立方根、开平方、开立方的概念2.找出一组数中的无理数3.会求一个数的算术平方根、平方根、立方根4.估算无理数的大小5. 通过估算比较数的大小6. 会对实数进行分类7. 会在数轴上表示实数以及利用数轴比较大小8．掌握二次根式的乘法和除法运算公式9．简单的二次根式的化简10．实数范围的四则运算11．会用计算器进行数的开方运算二易错点：（1）求平方跟丢解。

如：1. 8的平方根是_____.2. 平方根等于本身的数是_____.（2）估算大小时精确度把握不好7如: 估算的大小(误差小于0.1)（3）二次根式的化简不彻如: 把根号8、根号4.2、根号45等数作为化简题的最后结果。

（4）二次根式计算错误。

主要体现在公式不熟练，特别是在根号a方的化简上掌握不好.第三章生活中的平移与旋转一．知识点：1.平移的概念及性质；旋转的概念及性质。

2.平移和旋转做图。

3.图形之间的变换关系。

4.会运用轴对称，平移和旋转的组合进行图案设计。

二．学生掌握较好处1.平移和旋转的基本概念及性质。

2.有关于平移和旋转的计算。

探索勾股定理(第1课时)课件

9，12，求最大正方形 E 的面积.
知
探
索
新
知
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，
得E = M + N ，
而M = A + B ，N = C + D ，
∴ E = A + B + C + D
= 122 + 162 + 92 + 122 = 625.
知
二利用勾股定理进行计算
例1：分别以直角三角形三边为边长的正方形的面积如下
图，问另外一个正方形的面积.
81
∟
625
A
∟
400
144
B
225
225
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积
和等于以斜边长的正方形面积。
探
索
新
例2：如图，图中所有的三角形都是直
角三角形，四边形都是正方形.已知正方
形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，
你是如何得到呢？
探
索
新
知
思考：等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
斜边的平方等于两直
a
b
c
角边的平方和.
c2=a2+b2
你能说一形有上述性质，其他的直角三角形也有这
个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，
请分别算出图中正方形A，B，C，
A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13,
∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52,
∵CD=5.BC=14,

八年级数学上册1_1探索勾股定理导学案2无答案新版北师大版

第1节探索勾股定理【学习目标】1、会用勾股定理进行简单的计算。

2、树立数形结合的思想、分类讨论思想。

3、培养思维意识，发展数学理念，理会勾股定理的应用价值。

【学习方法】引导——探究——应用.【学习重难点】重点：勾股定理的简单计算。

难点：勾股定理的灵活运用。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的．即：2、勾股定理有以下应用：（1）已知直角三角形的两边，求；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的。

3、应用勾股定理时该注意些什么? 。

二、自主学习1、观察下面图形：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？S解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？解：（3）你还能利用图2验证勾股定理吗？解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2S实践练习：利用右图验证勾股定理：解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2S 因为：1S 2S2、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？解：模块二合作探究1、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？模块三小结评价一、本课知识：1、勾股定理的验证方法：利用图形面积相等（用不同方法表示同一图形面积）。

2、将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理解决．模块四形成提升1、锐角△ABC中，A B＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为。

2、如图，一棵大树在离地面9米处断裂，树顶部落在离树底12米处，则树断裂之前的高度为( )A．9米B．15米C．24米D．无法确定3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.【拓展延伸】一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米．（1）此时轮船离出点多少千米？（2）若轮船每航行1千米需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？组长评价：你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒 ( B)一般 (C) 没发挥出来 (D)还需努力.家长签名：。

2023探索《勾股定理》说课稿范文(精选5篇)

2023探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）2023探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。

从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。

根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。

其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。

（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。

限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。

二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。

"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。

学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。

三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。

首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。

让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。

第二步追溯历史解密真相勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。

从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。

学生很容易发现，在等腰三角形中存在如下关系。

北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)

= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使站到，
两村的距离相等.你知道应该把站建在距点多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点作 ⊥ 于点，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知

1.1 探索勾股定理课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

拨
［答案］ B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
［解题思路］设 AC=b，BC=a，AB=c，易得 AB⊥DE，所
考
点

清以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=

单
解

2
读 AB·（DG+EG）= AB·DE= c ，四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
）b+
+S△EFB=
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［答案］解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
所以∠ADB=∠ADC=90°．
设 BD=x，则 CD=21-x，
在 Rt△ABD 中，AD2=102-x2，
在 Rt△ADC 中，AD2=172-（21-x）2，
解得 x=6，所以 AD2=102-62=64，
所以 AD=8，即 BC 边上的高为 8．
（1）已知∠C=90°，a=6，b=8，求 c；
（2）已知∠B=90°，a=15，b=25，求 c.
1.1 探索勾股定理
考
点
清

2024-2025学年北师版中学数学八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教学课件

400 m
500 m
解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶的距离为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10 答：敌方汽车速度为108 km /h.
15
10
152 x2 102 （25 x)2
C
解得：x 10
D
答：E站应建在距A站10千米处.
你是如何做的？与同伴交流.
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表示出来吗？
毕达哥拉斯证法
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为：
____4_×__12_a_b_+_c2__或者__(_a__+__b_)2__
可得等式_4_×__12_a_b_+_c2_=_(_a+_b_)_2 ____
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
1 ×
2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2.
∴a2 +b2 =c2.
当堂检测
1.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、 B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．

第一章《勾股定理》(全章)

第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理（一）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

（勾3，股4，弦5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。

(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等，即_________________________化简可得_______________________三、合作探究bbbccccaabbbaaccaabcc1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c= 。

专题1-1 探索勾股定理-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.1 探索勾股定理-重难点题型【北师大版】【题型1 勾股定理的认识】【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝，b＝；（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝．【分析】（1）设a＝3k，则b＝4k，由勾股定理求出c＝5k，再根据c＝10求出k的值，进而得到a与b 的值；（2）首先根据勾股定理求得斜边c＝10；然后由面积法来求斜边上的高线．【解答】解：（1）设a＝3k，则b＝4k，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c=√a2+b2=√(3k)2+(4k)2=5k，∵c＝10，∴5k＝10，解得k＝2，∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8；（2）∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，∴c =√a 2+b 2=√62+82=10．设斜边上的高为h ，则12ab =12ch ， ∴h =ab c =6×810=4.8．故答案是：6，8；4.8．【点评】本题考查了勾股定理的运用，直角三角形面积的求法，需同学们灵活掌握．注意：（1）中可根据勾股定理求出已知边所占的份数，进一步求解；（2）中掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式1-1】（2020秋•本溪期末）在Rt △ABC 中，斜边AB ＝3，则AB 2+BC 2+CA 2＝．【分析】由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB 的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2＝AB 2，又AB ＝3，∴AC 2+BC 2＝AB 2＝9，则AB 2+BC 2+CA 2＝AB 2+（BC 2+CA 2）＝9+9＝18．故答案为：18【点评】此题考查了勾股定理，是一道基本题型．熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-2】（2021春•广州期中）在△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝65°，则下列式子成立的是（）A ．AC 2+AB 2＝BC 2B ．AB 2+BC 2＝AC 2 C ．AC 2﹣BC 2＝AB 2D ．AC 2+BC 2＝AB 2 【分析】根据在△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝65°，可以得到∠C 的度数，然后根据勾股定理，即可判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：在△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝65°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴AC 2+BC 2＝AB 2，故选项D 正确，选项A 、B 、C 错误，故选：D ．【点评】本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．【变式1-3】（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a ，b ，h ，则下列关系式成立的是（）A ．2a 2+2b 2=1ℎ2 B ．1a 2+1b 2=1ℎ2C ．h 2＝abD ．h 2＝a 2+b 2【分析】设斜边为c ，根据勾股定理得出c =√a 2+b 2，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设斜边为c ，根据勾股定理得出c =√a 2+b 2，∵12ab =12ch ， ∴ab =√a 2+b 2•h ，即a 2b 2＝a 2h 2+b 2h 2，∴a 2b 2a 2b 2ℎ2=a 2ℎ2a 2b 2ℎ2+b 2ℎ2a 2b 2ℎ2，即1a 2+1b 2=1ℎ2．故选：B ．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【题型2 利用勾股定理解勾股树问题】【例2】（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A ．16B ．25C ．144D ．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据勾股定理得出：AB=√AC2−BC2=√132−122=5，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64cm2B．81cm2C．128cm2D．192cm2【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．【变式2-2】（2021春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（）A．94B．26C．22D．16【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．【变式2-3】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S 1+S 2的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1＝π（AC 2）2×12，S 2＝π（BC 2）2×12，S 3＝π（AB 2）2×12， ∴S 1+S 2＝π（AC 2）2×12+π（BC 2）2×12=π（AB 2）2×12=S 3， ∵S 3＝9π， ∴S 1+S 2＝9π，故答案为：9π．【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【题型3 利用勾股定理求线段长度】【例3】（2020秋•新吴区期中）已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，则BC 的长是（）A ．21B ．15C ．6D ．21或9【分析】高线AH 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt △ABH 中，∵AB ＝17，AH ＝8，∴BH =√172−82=15；在Rt △ACH 中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH=√102−82=6，∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．【变式3-1】（2021春•庆云县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝．【分析】利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求法得出HC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据勾股定理可得：BC=√AB2−AC2=√252−152=20，∵Rt△ABC的面积=12×BC×AC=12×AB×CH，∴20×15＝25×CH，解得，CH＝12（cm）．答案为12cm．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式3-2】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到AE ＝BE ，再根据勾股定理，即可求得BE 的长．【解答】解：连接AE ，∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，设AE ＝BE ＝x ，∵AC ＝9，BC ＝12，∴CE ＝12﹣x ，∵∠ACE ＝90°，∴AC 2+CE 2＝AE 2，即92+（12﹣x ）2＝x 2，解得x =758，故答案为：758．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-3】（2020秋•上海期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC ＝6，AD ＝3，那么BD ＝．【分析】根据勾股定理求出CD ，再根据勾股定理用BD 表示出BC ，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=√62−32=3√3，在Rt △BCD 中，BC =√CD 2+BD 2=√27+BD 2，在Rt △ABC 中，BC =√AB 2−AC 2=√(3+BD)2−62，∴√27+BD 2=√(3+BD)2−62，解得，BD ＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【题型4 利用勾股定理求面积】【例4】（2020秋•青羊区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC 的角平分线，则三角形ADC 的面积为（）A ．3B ．10C ．12D ．15【分析】作DH ⊥AC 于H ，如图，先根据勾股定理计算出AC ＝10，再利用角平分线的性质得到DB ＝DH ，进行利用面积法得到12×AB ×CD =12DH ×AC ，则可求出DH ，然后根据三角形面积公式计算S △ADC ．【解答】解：作DH ⊥AC 于H ，如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC =√62+82=10，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴DB ＝DH ，∵12×AB ×CD =12DH ×AC ， ∴6（8﹣DH ）＝10DH ，解得DH ＝3，∴S △ADC =12×10×3＝15．故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．也考查了角平分线的性质．【变式4-1】（2020秋•肥西县期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．若BC ＝3，且BD ：DC ＝5：4，AB ＝5，则△ABD 的面积是．【分析】根据角平分线的性质，可以得到DE ＝DC ，然后根据BC ＝3，且BD ：DC ＝5：4，可以得到DC 的长，从而可以得到DE 的长，再根据AB 的长，即可计算出△ABD 的面积．【解答】解：作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DC ＝DE ，∵BC ＝3，且BD ：DC ＝5：4，∴DC ＝3×45+4=43， ∴DE =43，∵AB ＝5，DE ⊥AB ，∴△ABD 的面积是：AB⋅DE 2=5×432=103，故答案为：103．【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，解答本题的关键是求出DE的长，利用数形结合的思想解答．【变式4-2】（2020秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积、【分析】作AD⊥BC于D，设CD＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝21﹣x，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得，x＝6，即CD＝6，则AD=√AC2−CD2=√102−62=8，△ABC的面积=12×BC×AD=12×21×8＝84．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式4-3】（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABC的面积是（）A ．18B ．36C ．72D ．125【分析】先作辅助线，AE ⊥CD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，然后根据勾股定理，可以得到CF 的长，再根据等积法可以得到AE 的长，然后即可计算出△ABC 的面积．【解答】解：作AE ⊥CD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，∵AC ＝CD ＝5，AD ＝6，CF ⊥AD ，∴AF ＝3，∠AFC ＝90°，∴CF =√AC 2−AF 2=4，∵CD⋅AE 2=AD⋅CF 2， ∴5AE 2=6×42，解得．AE =245，∵BD =52，CD ＝5，∴BC =152，∴△ABC 的面积是：BC⋅AE 2=152×2452=18，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【题型5 勾股定理的验证】【例1】（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A 、∵12ab +12c 2+12ab =12（a +b ）（a +b ）， ∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、∵4×12ab +c 2＝（a +b ）2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、∵4×12ab +（b ﹣a ）2＝c 2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．【变式5-1】（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A ．S △EDA ＝S △CEBB ．S △EDA +S △CDE +S △CEB ＝S 四边形ABCDC ．S △EDA +S △CEB ＝S △CDED ．S 四边形AECD ＝S 四边形DEBC【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解答】解：根据勾股定理可得：S △EDA +S △CDE +S △CEB ＝S 四边形ABCD ．故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．【变式5-2】（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．【分析】（1）根据大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个直角三角形的面积，即可证明；（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y 的长方形组成；【解答】解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2；四个直角三角形面积和为：4×12ab；由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，即有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2；（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；【点评】此题考查勾股定理问题，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法．【变式5-3】（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c ），也可以表示为4×12ab +（a ﹣b ）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2＝c 2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB ＝4，AC ＝5，BC ＝6，设BD ＝x ，求x 的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a +b ）（a +2b ）＝a 2+3ab +2b 2，画在如图4的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）运用勾股定理在Rt △ABD 和Rt △ADC 中求出AD 2，列出方程求解即可；（3）画出边长为a +b 和a +2b 的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD 的面积为12(a +b)(a +b)=12a 2+ab +12b 2，也可以表示为12ab +12ab +12c 2，∴12ab +12ab +12c 2=12a 2+ab +12b 2，即a 2+b 2＝c 2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9 4；（3）如图，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．【题型6 勾股定理的应用】【例6】（2021春•涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．【分析】由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立平衡方程，进而求解即可．【解答】解：依题意得AC＝2，AE＝3，设原标杆的高为x，∵∠A＝90°，∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．∴原来标杆的高度为5米．【点评】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．【变式6-1】（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？【分析】在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO，在△A′OB′中，再利用勾股定理计算出B′O的长，进而可得BB′的长．【解答】解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，则根据勾股定理求得AO=√AB2−BO2=√2．52−0．72=2.4（米），∵A点下移0.4米，∴A′O＝2米，在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，则根据勾股定理B′O=√A′B′2−A′O2√2．52−22=1.5（米），∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），所以梯子向外平移0.8米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到AB＝A′B′的等量关系是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：不正确；理由：如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式6-3】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP ＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【解答】解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=√10002−6002=800（米），∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．。

2022年初中数学精品教案《认识勾股定理》公开课专用

1．1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力；2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．(重点、难点) 一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的初步认识【类型一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD的长．解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC ·BC ，求出CD 的长．解：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC·BC AB ＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm. 方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【类型二】勾股定理与其他几何知识的综合运用如图，已知AD 是△ABC 的中线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC 于点E ，在△ABC 中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，Rt △ACE 、Rt △ABE 和Rt △ADE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，AC 2＝AE 2＋CE 2，AE 2＝AD 2－ED 2，∴AB 2＋AC 2＝(AE 2＋BE 2)＋(AE 2＋CE 2)＝2(AD 2－ED 2)＋(DB －DE)2＋(DC ＋DE)2＝2AD2－2ED 2＋DB 2－2DB·DE＋DE 2＋DC 2＋2DC·DE＋DE 2＝2AD 2＋DB 2＋DC 2＋2DE(DC －DB)．又∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴AB 2＋AC 2＝2AD 2＋2DC 2＝2(AD 2＋CD 2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型三】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，AD 为BC 边上的高，且AD ＝12，求△ABC 的周长．解析：应考虑高AD 在△ABC 内和△ABC 外的两种情形．解：当高AD 在△ABC 内部时，如图①.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝202－122＝162，∴BD ＝16；在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝81，∴CD ＝9.∴BC＝BD ＋CD ＝25，∴△ABC 的周长为25＋20＋15＝60.当高AD 在△ABC 外部时，如图②.同理可得BD ＝16，CD ＝9.∴BC＝BD －CD ＝7，∴△ABC ，△ABC 的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC 内的情形，忽视高AD 在△ABC 外的情形．探究点二：利用勾股定理求面积如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE ＝BE ，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×32＝92.故填94、92.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．三、板书设计勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2.让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠久文化历史，激励学生发奋学习．第1课时教学目标1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算． 2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．重点难点1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程一、创设情境，故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？【学生回答】多项式乘以多项式．【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．【问题牵引】计算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．二、范例学习，应用所学【教师讲述】平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．【例1】运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：【例2】计算：（1）103×97（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．三、随堂练习，巩固新知课本P108练习第1、2题．四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破课本P112第1、2题．板书设计。

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