高中数学人教B版必修5学案：1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课堂探究学案(含答案)
【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)
对任意三角形,这个等式都会成立吗 对任意三角形 这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗 怎么证明这个结论？ 怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明 方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角 形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二： 等积法) 在任意斜 ABC当中 作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和 例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在 中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系： 、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 ）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形 ）在直角三角形ABC中,C=90 则 中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题： 请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解； 当 时 有几个解 几个解； 几个解；当a=3时C有几个解 时 有几个解
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
高中数学人教b版必修5学案：1.1.1 正弦定理(二)(数理化网 为您收集整理)
1.1.1正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在△ABC中，(1)若A>B，求证：sin A>sin B；(2)若sin A>sin B，求证：A>B.对点讲练知识点一 三角形面积公式的运用例1已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．总结 注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．借助该公式顺利解出外接圆半径R .变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4知识点二 利用正弦定理证明恒等式例2在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.总结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .知识点三 利用正弦定理判断三角形形状例3已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．变式训练3已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在△ABC 中，有以下结论： (1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶64．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 二、填空题6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B2＝255，求△ABC 的面积S .1．1.1 正弦定理(二)知识梳理1．(1)a ∶b ∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C(4)a 2R b 2R c 2R 2.12ab sin C 12bc sin A 12ca sin B 3.c 2 a ＋b －c 2 自主探究证明 (1)在△ABC 中，由大角对大边定理 A >B ⇒a >b ⇒2R sin A >2R sin B ⇒sin A >sin B . (2)在△ABC 中，由正弦定理sin A >sin B ⇒a 2R >b2R⇒a >b ⇒A >B .对点讲练例1解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2，∴C 为钝角．∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C＝2R 2×35×55×255＝1.∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆面积为2512π.∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153，c ＝2R sin C ＝2153.变式训练1 A [设三角形外接圆半径为R ， 则由πR 2＝π，∴R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.]例2 证明 因为a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立． 变式训练2 证明 左边＝4R 2sin 2 A ·sin 2B ＋4R 2sin 2 B ·sin 2A ＝8R 2sin 2 A sin B cos B ＋8R 2sin 2 B sin A cos A＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C ＝2ab sin C ＝右边． ∴等式成立．例3解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3， ∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1. ∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2. ∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形． 变式训练3 解 设方程的两根为x 1、x 2， 由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝b cos A x 1x 2＝a cos B， ∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π.∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．课时作业1．D2．B [由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .]3．C [设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.]4．A [由正弦定理：sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .] 5．C [设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴c a ＝sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32·cos A sin A ＋12＝32＋12， ∴cos A sin A ＝1.∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.]6．2 3解析 ∵cos C ＝1，∴sin C ＝22， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0,180°)，∴sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB ＝BC ·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 8．12 6解析a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝18 3. ∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A＝12，∴c ＝6. 9．解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A . 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 10．解 因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第一章1.1.2习题课
题型一
本 课 时 栏 目 开 关
利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2
证明 方法一 sin A cos A sin Acos B 因为左边＝ sin B ＝sin Bcos A cos B
a2＋c2－b2 a2＋c2－b2 2ac a ＝ ·2 2 ＝ ＝右边， b b ＋c －a2 b2＋c2－a2 2bc
sin A cos B tan A ＝cos A· B ＝tan B＝左边， sin
2 2 2 tan A a ＋c －b 所以 ＝ . tan B b2＋c2－a2
小结
证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差
异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
学习要求 1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用． 2．提高对正、余弦定理应用范围的认识． 3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问 题．
习题课
学法指导 解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形． 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用 三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边， 注意判断解的个数． (2)已知三角形的两角和任一边，解三角形． 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定 理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定 理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和 定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
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1.1.2 余弦定理
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1.2 应用举例
最新人教版高三数学必修5(B版)电 子课本课件【全册】
2.2.2 等差数列的前n项和
ห้องสมุดไป่ตู้
2.3.2 等比数列的前n项和
阅读与欣赏
级数趣题
第三章 不等式
3.1.2 不等式的性质
3.3 一元二次不等式及其解法
3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
本章小结
后记
第一章 解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
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0002页 0057页 0111页 0131页 0145页 0192页 0237页 0283页 0285页 0321页 0390页 0461页 0500页 0557页
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理
本章小结
第二章 数列
2.1.2 数列的递推公式（选学）
本章小结
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阅读与欣赏
亚历山大
时期的三角测量
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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第一课时正弦定理课件 新人教B版必修5
(2)根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理 C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°， ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ ， 根据正弦定理， 根据正弦定理， 1 2× × 2 asinB 2sin30° b＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2， ， sinA sin45° 2 2 6＋ 2 ＋ 2× × 4 asinC 2sin105° 2sin75° c＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sinA sin45° sin45° 2 2 3＋1. ＋
分析】 【分析】 我们可先确定满足条件的三角形的 个数，然后再求解． 个数，然后再求解．
是钝角， 【解】 (1)∵A＝107°是钝角，且 a＞b， ∵ ＝ 是钝角 ＞ ， 这样的三角形有且只有一个． ∴这样的三角形有且只有一个． 26sin107° ∵sinB＝ ＝ ≈0.507， ， 49 ∴B≈30°，∴C≈43°. ≈ ， ≈ a c 49 c 又∵ ＝ ，∴ ＝ ， sinA sinC sin107° sin43° 49sin43° ∴c＝ ＝ ≈35(cm)． ． sin107° 故 B≈30°，C≈43°，c≈35 cm. ≈ ， ≈ ， ≈
π ∴sinB＋sinC＝sinB＋sin( －B) ＋ ＝ ＋ 3 3 π 1 ＝ sinB＋ cosB＝sin(B＋ )． ＋ ＝ ＋ ． 2 3 2 π π π 2π 又 0＜B＜ ，∴ ＜B＋ ＜ . ＜ ＜ ＋ 3 3 3 3 π 3 ∴ ＜sin(B＋ )≤1. ＋ ≤ 3 2 3 的取值范围是( 故 sinB＋sinC 的取值范围是 ，1]． ＋ ． 2
正弦定理的简单应用
例3
如图， 平分∠ 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠
DAB. BC sinD 求证： . 求证：CD＝ sinB
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5
梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把 边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使 用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C， 则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C， 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.2(一)
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.2（一）
1．余弦定理
平方 平方 三角形中任何一边的______等于其他两边的______和减去这两
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夹角 b ＋c 两倍 边与它们______的余弦的积的______．即a2＝____________ 2 2 －2bccos A a2＋b2 a2＋c2－2accos B ___________，b ＝______________________，c ＝_________
解 ∵c>a，c>b，∴角 C 最大．由余弦定理，
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得 c2＝a2＋b2－2abcosC，
1 即 37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－2，
∵0° <C<180° ，∴C＝120° .
∴△ABC 的最大内角为 120° . 小结 已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦 值是负值时，角是钝角．
我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边
定理及其应用．
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探究点一 问题 利用向量法证明余弦定理
1.1.2（一）
如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角
形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三
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角形.如何利用已知的两边和夹角计算出三角形的另一边呢? 探究 如图所示,设 CB ＝a， CA ＝b, AB ＝c，
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1.1.2（一）
跟踪训练 3 在△ABC 中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角 形的形状．
解 由余弦定理知 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cosA＝ ，cosB＝ ， 2bc 2ca a2＋b2－c2 cosC＝ ， 2ab 代入已知条件得 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 c2－a2－b2 a· ＋b· ＋c· ＝0， 2bc 2ca 2ab
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叫做 的过程
• 画三角形使得a＝14，b＝16，∠A＝45°，你 能画出几个？
• 【提示】 作45°角为∠A，在∠A的一边上 取一点C，使AC＝16，以点C为圆心，以14为 半径画弧，因为16sin 45°＝8＜14，所以能作 出两个三角形．
• 已知两角和一边解三角形
• 已知在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝ 30°，求a，b和∠B.(精确到1)
• ④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.
• 其中正确的个数是( )
• A．1
B．2
• 2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是
()
• A．直角三角形
B．等腰三角形
• C．锐角三角形
D．钝角三角形
• 【答案】 B
• 3．在△ABC中，a＝2，b＝6，∠A＝30°，则 ∠A＝________.
∵A→C＝A→B＋B→C， ∴i·A→C＝i·(A→B＋B→C) ＝i·A→B＋i·B→C＝i·B→C， ∴bcos(90°－∠CAB)
＝acos(90°－B)，得 bsin∠CAB＝asinB， 即sin∠aCAB＝sibnB.同理可证sibnB＝sincC， ∴sin∠aCAB＝sibnB＝sincC， ∴对于锐角三角形 ABC，有sianA＝sibnB＝sincC， 当△ABC 为钝角三角形时，类似地可证．
2．正弦定理的变形形式 设三角形的三边长为 a，b，c，外接圆半径为 R，正弦 定理有如下变形： (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (2)sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. (4)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC.
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.1.2(二)
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1.1.2（二）
解
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5 a＋c＝ ， 4 (1)由题设并由正弦定理，得 ac＝1， 4 1 a＝ ， 或 4 c＝1.
a＝1， 解得 1 c＝4
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(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB 1 2 1 2 2 2 2 ＝(a＋c) －2ac－2accosB＝p b － b － b cosB， 2 2 3 1 2 即p ＝ ＋ cosB. 2 2 3 2 因为0<cosB<1，所以p ∈ ，2， 2 6 由题设知p>0，所以 <p< 2. 2
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跟踪训练1 已知△ABC的三边a、b、c，且△ABC的面积S＝ c2－a2－b2 ，求C. 4 3 1 解 ∵S＝ absinC，a2＋b2－c2＝2abcosC， 2
－2abcos C 1 ∴ absinC＝ ，∴ 3sinC＝－cosC. 2 4 3 3 5 ∴tanC＝－ .∵0＜C＜π，∴C＝ π. 3 6
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同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA.
方法二 (1)由余弦定理得 a2＋c2－b2 cosB＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cosC＝ ， 2ab ∴bcosC＋ccosB a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 ＝b· ＋c· 2ab 2ac a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 2a2 ＝ ＋ ＝ ＝a. 2a 2a 2a
当C＝60° 时， c2＝a2＋b2－2abcosC ＝42＋52－2×4×5×cos60° ＝21， ∴c＝ 21.
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人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)
1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。
三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
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0002页 0018页 0060页 0102页 0178页 0209页 0254页 0317页 0319页 0389页 0405页 0441页 0521页 0.2 余弦定理
本章小结
第二章 数列
2.1.2 数列的递推公式（选学）
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2.2.2 等差数列的前n项和
2.3.2 等比数列的前n项和
阅读与欣赏
级数趣题
第三章 不等式
3.1.2 不等式的性质
3.3 一元二次不等式及其解法
3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
本章小结
后记
第一章 解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一 正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ， 则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二 已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？ 解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个． 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边． 跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 B解析 由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 C解析 易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 π3或2π3解析 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32， 又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 A解析 根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 D解析 由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点 用正弦定理解三角形 题点 正弦定理解三角形综合 答案 D解析 如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 (1,2)解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立． 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立． 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ， 同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析 因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。
(人教B版必修5)1.1.1正弦定理(2)学案(含答案)
1.1.1 正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在△ABC中，(1)若A>B，求证：sin A>sin B；(2)若sin A>sin B，求证：A>B.对点讲练知识点一三角形面积公式的运用例1已知△ABC的面积为1，tan B＝12，tan C＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．总结注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S△ABC＝2R2sin Asin Bsin C．借助该公式顺利解出外接圆半径R.变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A．1 B．2 C.12D．4知识点二利用正弦定理证明恒等式例2 在△ABC 中，求证：a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A.总结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2absin C.知识点三 利用正弦定理判断三角形形状例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．变式训练3 已知方程x 2－(bcos A)x ＋acos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2； (4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，(b ＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C 等于( )A ．4∶5∶6B ．6∶5∶4C ．7∶5∶3D ．7∶5∶64．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.1．1.1 正弦定理(二)知识梳理1．(1)a∶b∶c (2)2R (3)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C(4)a 2R b 2R c 2R2.12absin C 12bcsin A 12casin B 3.c 2 a ＋b －c 2自主探究证明 (1)在△ABC 中，由大角对大边定理A>B ⇒a>b ⇒2Rsin A>2Rsin B ⇒sin A>sin B.(2)在△ABC 中，由正弦定理sin A>sin B ⇒a 2R >b 2R ⇒a>b ⇒A>B. 对点讲练例1 解 ∵tan B＝12>0，∴B 为锐角． ∴sin B＝55，cos B ＝255. ∵tan C＝－2，∴C 为钝角．∴sin C＝255，cos C ＝－55. ∴sin A＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12absin C ＝2R 2sin Asin Bsin C ＝2R 2×35×55×255＝1. ∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆面积为2512π. ∴a＝2Rsin A ＝3，b ＝2Rsin B ＝153，c ＝2Rsin C ＝2153. 变式训练1 A [设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，∴R＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc＝1.] 例2 证明 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以 左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B 2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立． 变式训练2 证明 左边＝4R 2sin 2 A·sin 2B＋4R 2sin 2 B·sin 2A＝8R 2sin 2 Asin Bcos B ＋8R 2sin 2 Bsin AcosA＝8R 2sin Asin B(sin Acos B ＋cos Asin B)＝8R 2sin Asin Bsin(A ＋B)＝8R 2sin Asin Bsin C＝2·(2Rsin A)·(2Rsin B)·sin C＝2absin C ＝右边．∴等式成立．例3 解 ∵2cos 2B－8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)． ∵0<B<π，∴B＝π3.∵a＋c ＝2b. 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3， ∴sin A＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. ∵0<A<π，∴A＋π6＝π2. ∴A＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形． 变式训练3 解 设方程的两根为x 1、x 2，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝bcos A x 1x 2＝acos B ， ∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴bcos A＝acos B.由正弦定理得：2Rsin Bcos A ＝2Rsin Acos B ，∴sin Acos B－cos Asin B ＝0，sin(A －B)＝0.∵A、B 为△ABC 的内角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A －B<π.∴A－B ＝0，即A ＝B.故△ABC 为等腰三角形．课时作业1．D2．B [由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A＝tan B ＝tan C ，∴A＝B ＝C.] 3．C [设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k(k>0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ， ∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3.]4．A [由正弦定理：sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C∴sin Bcos C＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.]5．C [设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴c a ＝sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A－cos 120°sin A sin A＝32·cos A sin A ＋12＝32＋12， ∴cos A sin A ＝1.∴tan A＝1，A ＝45°，C ＝75°.] 6．2 3解析 ∵cos C＝13，∴sin C＝223， ∴12absin C ＝43，∴b＝2 3. 7.102 解析 ∵tan A＝13，A∈(0,180°)，∴sin A＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB＝BC·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 8．12 6解析a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C＝18 3. ∴sin C＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c＝6. 9．解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin Acos A ＝sin Bcos B ，∴sin 2A＝sin 2B.又∵a≠b，∴2A＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 10．解 因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107， 所以S ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.。
正弦定理
必修五第一章解三角形1.1.1正弦定理一、教材分析正弦定理是高中新教材人教B版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形：（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标1.知识与技能：(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题2.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
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1.1.1 正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数 剖析：(1)代数法在△ABC 中，已知a ，b ，∠A ，由正弦定理可得sin B ＝b asin A ＝m ． ①当sin B >1时，这样的∠B 不存在，即三角形无解．②当sin B ＝1时，∠B ＝90°，若∠A <90°，则三角形有一解，否则无解．③当sin B <1时，满足sin B ＝m 的角有两个，其中设锐角为α，钝角为β，则当∠A ＋α>180°时，三角形无解；当∠A ＋α<180°，且∠A ＋β<180°时，有两解；当∠A ＋α<180°且∠A ＋β>180°时有一解．(2)几何法根据条件中∠A 的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况．作出已知∠A ，以A 为圆心，边长b 为半径画弧交∠A 的一边于C ．使未知的边AB 水平，顶点C 在边AB 上方，以点C 为圆心，边长a 为半径作圆，该圆与射线AB 交点的个数，即为解的个数，如下表所示：①②在正弦定理中，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ．请研究常数k 与△ABC 外接圆的半径R 的关系．(提示：先考察直角三角形)剖析：(1)如图1，当△ABC 为直角三角形时，直接得到a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，R 为外接圆半径)．(2)如图2，当△ABC 为锐角三角形时，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ．因为∠A ＝∠D ，所以a sin A ＝a sin D ＝2R ，同理bsin B ＝csin C ＝2R ，即a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ． (3)如图3，当△ABC 为钝角三角形且∠A 为钝角时，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，∠A ＝180°－∠D ，所以a sin A ＝a sin(180°－∠D )＝asin D＝2R ． 由(2)知bsin B ＝csin C ＝2R ，即a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ． 综上所述，对于任意△ABC ，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 恒成立． 归纳总结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式： (1)a sin B ＝b sin A ；a sin C ＝c sin A ；b sin C ＝c sin B ． (2)a ＝b sin A sin B ；sin B ＝b sin Aa． (3)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．(5)边化角公式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ． (6)角化边公式：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ．题型一 解三角形【例1】 已知在△ABC 中，c ＝10，∠A ＝45°，∠C ＝30°，求a ，b 和∠B ．分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一．当知道两个角时，即可知道第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形． 解：∵a sin A ＝csin C，∠A ＝45°，∠C ＝30°，∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102， ∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝180°－(45°＋30°)＝105°． 又b sin B ＝csin C， ∴b ＝c ·sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边．【例2】 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，∠B ＝45°，求∠A ，∠C 和c ．分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数．解：由正弦定理a sin A ＝bsin B，知sin A ＝a sin Bb ＝32． ∵a sin B <b <a ， ∴∠A 有两个解，∴∠A ＝60°或∠A ＝120°．(1)当∠A ＝60°时，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°， ∴c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22． (2)当∠A ＝120°时，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝15°， ∴c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22． 故∠A ＝60°，∠C ＝75°，c ＝6＋22或∠A ＝120°，∠C ＝15°，c ＝6－22． 反思：本题给出了解三角形第二类问题(即已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的角和边)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知边的对角，然后利用内角和公式求得第三角，再求得第三边．解答此类问题应注意对解的个数的讨论． 题型二 判断三角形的形状【例3】 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．分析：将式中的a ，b ，c 分别用2R sin A ，2R sin B ，2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)来代替是解决本题的关键．解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos A ＝b cos B ＝ccos C 中，可得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin Ccos C ， 所以tan A ＝tan B ＝tan C ．又因为∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角， 所以∠A ＝∠B ＝∠C ， 所以△ABC 是等边三角形．反思：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一，化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系；其二，化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系．【互动探究】 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，试判断△ABC 的形状． 解：由a sin A ＝b sin B ＝csin C ，sin A a ＝cos B b ＝cos Cc得sin B b ＝cos B b ，sin C c ＝cos Cc，∴sin B ＝cos B ，即2sin(∠B －45°)＝0， ∴∠B ＝45°，同理，∠C ＝45°． ∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝90°． ∴△ABC 为等腰直角三角形． 题型三 用正弦定理证明 【例4】 在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A．分析：求证的等式左边既含有边又含有角，而右边只有角，可利用正弦定理将左边的边化成角．证明：由正弦定理得左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin(B ＋C )－sin C cos B sin(A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C ＋cos B sin C －sin C cos B sin A cos C ＋cos A sin C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．故原等式成立．反思：在含有边角关系的等式中，若含有a ，b ，c 及sin A ，sin B ，sin C 形式，可利用正弦定理完成边角关系的统一．题型四 易错辨析【例5】 在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 错解：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32，所以∠C ＝60°，所以∠A ＝90°，所以S △ABC＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝23， 即△ABC 的面积是23．错因分析：利用正弦定理求角C 时漏解了，实际上由AB >AC ，得满足sin C ＝32的角C 有两个．正解：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32． 因为AB >AC ，所以∠C ＝60°或120°．当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当∠C ＝120°时，∠A＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝3．所以△ABC 的面积为23或3．【例6】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝6＋2，∠C ＝30°，求a ＋b 的最大值．错解：因为∠C ＝30°，所以∠A ＋∠B ＝150°，即∠B ＝150°－∠A ．由正弦定理，得a sin A ＝b sin(150°－∠A )＝6＋2sin 30°．又因为sin A ≤1，sin(150°－∠A )≤1，所以a ＋b ≤2(6＋2)＋2(6＋2)＝4(6＋2)． 故a ＋b 的最大值为4(6＋2)．错因分析：上述解法错误的原因是未弄清∠A 与150°－∠A 之间的关系，这里∠A 与150°－∠A 是相互制约的，不是相互独立的量，sin A 与sin(150°－∠A )不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的．正解：因为C ＝30°，所以∠A ＋∠B ＝150°．由正弦定理，得a sin A ＝b sin(150°－∠A )＝6＋2sin 30°．因此，a ＋b ＝2(6＋2)·[sin A ＋sin(150°－∠A )] ＝(8＋43)cos(∠A －75°)≤8＋43．故a ＋b 的最大值为8＋43．。