奥数新讲义-一次函数-4师

第十一讲 一次函数4

关于一次函数的解析式 例1. 已知函数23

(2)(3)m y m x

m +=---是一次函数，则此函数的解析式为____________；

例2. 已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图像经过A(1,2)、B （－1，－4）两点，求这个一次函数的解析

式；

例3. 直线l 与直线21y x =+的交点的横坐标是2，与直线2y x =-+的交点的纵坐标为1，求直线l 对应

的函数解析式；

例4. 正比例函数11y k x =与一次函数22y k x b =+的图像如下图，它们的交点P 的坐标是（4,3）点Q 在y

轴的负半轴上且OQ ＝OP ，求这两个函数的解析式；

例5. 试确定k 的范围，使一次函数(3)(2)y k x k =-+-的图像

○

1和方程24x y -=表示的直线平行；

○

2y 随x 的增大而减小； ○

3通过第1、2、3象限

.

关于一次函数的图像 例6. 已知一次函数y mx n =+，且m<0，mn>0，则其图像大致是直线（ ） A ． a B. b

C ． c

D. d

例7. （99年全国竞赛）设b>a ，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图像画在平面直角坐标系内，则有

一组a,b 的取值，使得下列四个图中的一个为正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

奥数教程，初三年级P52，例2；或初中数学竞赛同步辅导，初三P99，例2

例8. (14届江苏省初中数学竞赛)已知一次函数,0y kx b kb =+<，则这样的一次函数的图像必经过的公

共象限有_____个，即第_______象限.

例9. （98年全国竞赛）已知0abc ≠，且

a b b c c a

p c a b

+++===，那么直线y ＝px+p 一定通过（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限

C ．第三、四象限

D ．第一、四象限 初中数学竞赛同步辅导，初三P99，例1

例10. 如果一条直线l 经过不同的三点A （a,b ）,B(b,a),C(a-b,b-a),那么直线l 经过（ ） A ．第二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 奥数教程，初三年级P51，例1

一次函数图像的特殊点以及面积问题

例11. （15届江苏省数学竞赛）函数32y x =--的图像如图所示，则点A 和B 的坐标分别是

A_______,B_______；

例12. （2000年全国初中数学联赛）在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15,6），直线

1

3

y x b =

+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b ＝________；

例13. （2001年河北省竞赛）设直线(1)2nx n y ++=

（n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积

为n S （n=1,2,3…,2000），则122000...S S S +++的值为多少？

例14. (2001全国初中数学竞赛天津赛区初赛)如图,直线3

13

y x =

-

+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC ＝90°.如果在第二象限内有一点P 1(,)2

a ,且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等,求a 的值.

例15. （北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）在直角坐标系中，有两个点

)3,6(-A ,)5,2(-B

.

（1）在y 轴上找一个点C ，在x 轴上找一个点D ，画出四边形ABCD ，使其周长最短（保留作图痕迹）； （2）在（1）的情况下，求出D C ,两点的坐标. 解答：（1）D C ,两点应落在过点)5,2(),3,6(B A '--'的直线上，如图所示.

（2）过点)5,2(),3,6(B A '--'的直线的解析式为3+=x y ，故C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（-3，0） 例16. （怀柔区八年级下学期期末质量检测数学试卷）已知一次函数(3)2y m x =-+的函数值 随着x 的增大而减小，且一次函数(23)3y m x =+-的函数值随着x 的增大而增大，则同 时满足上述条件的m 的取值范围是（ ）

A. 13

m <- B. 3m > C. 3

32

m -<< D . 3m <-

解答：C

例17. （北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）如图，边长为2的正方形ABCD 中，顶

点A 的坐标是（0，2），一次函数t x y +=的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积（阴影部分）为S . （1） 当t 取何值时，3=S ；

（2） 在l 移动过程中，写出S 与t 的函数关系式（其中40<

解答：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<≤--<<=)42(,)4(214)20(,2

122

t t t t S

当24-=t 时，3=S .

例18. （北京市中考模拟题）根据下列条件，求一次函数的解析式. （1）一次函数的图像经过点A （2，0），B （0，2）；

（2）一次函数y=kx+b 的图像平行于直线y=2x ，且与y 轴交于点（0，-3）； （3）直线y=kx+b 经过点（

25，0）且与坐标轴围成的直角三角形的面积为4

25

. 解答：（1）设一次函数的解析式为)0(≠+=k b kx y 则

⎩⎨⎧==+.2,02b b k 解得⎩

⎨

⎧=-=.2,

1b k 所以一次函数解析式为.2+-=x y

（2）因为一次函数b kx y +=图像平行于直线x y 2=，所以2=k .