奥数新讲义-一次函数-4师

第十一讲 一次函数4
关于一次函数的解析式 例1. 已知函数23
(2)(3)m y m x
m +=---是一次函数，则此函数的解析式为____________；
例2. 已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图像经过A(1,2)、B （－1，－4）两点，求这个一次函数的解析
式；
例3. 直线l 与直线21y x =+的交点的横坐标是2，与直线2y x =-+的交点的纵坐标为1，求直线l 对应
的函数解析式；
例4. 正比例函数11y k x =与一次函数22y k x b =+的图像如下图，它们的交点P 的坐标是（4,3）点Q 在y
轴的负半轴上且OQ ＝OP ，求这两个函数的解析式；
例5. 试确定k 的范围，使一次函数(3)(2)y k x k =-+-的图像
○
1和方程24x y -=表示的直线平行；
○
2y 随x 的增大而减小； ○
3通过第1、2、3象限
.
关于一次函数的图像 例6. 已知一次函数y mx n =+，且m<0，mn>0，则其图像大致是直线（ ） A ． a B. b
C ． c
D. d
例7. （99年全国竞赛）设b>a ，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图像画在平面直角坐标系内，则有
一组a,b 的取值，使得下列四个图中的一个为正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
奥数教程，初三年级P52，例2；或初中数学竞赛同步辅导，初三P99，例2
例8. (14届江苏省初中数学竞赛)已知一次函数,0y kx b kb =+<，则这样的一次函数的图像必经过的公
共象限有_____个，即第_______象限.
例9. （98年全国竞赛）已知0abc ≠，且
a b b c c a
p c a b
+++===，那么直线y ＝px+p 一定通过（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限
C ．第三、四象限
D ．第一、四象限 初中数学竞赛同步辅导，初三P99，例1
例10. 如果一条直线l 经过不同的三点A （a,b ）,B(b,a),C(a-b,b-a),那么直线l 经过（ ） A ．第二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 奥数教程，初三年级P51，例1
一次函数图像的特殊点以及面积问题
例11. （15届江苏省数学竞赛）函数32y x =--的图像如图所示，则点A 和B 的坐标分别是
A_______,B_______；
例12. （2000年全国初中数学联赛）在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15,6），直线
1
3
y x b =
+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b ＝________；
例13. （2001年河北省竞赛）设直线(1)2nx n y ++=
（n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积
为n S （n=1,2,3…,2000），则122000...S S S +++的值为多少？
例14. (2001全国初中数学竞赛天津赛区初赛)如图,直线3
13
y x =
-
+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC ＝90°.如果在第二象限内有一点P 1(,)2
a ,且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等,求a 的值.
例15. （北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）在直角坐标系中，有两个点
)3,6(-A ,)5,2(-B
.
（1）在y 轴上找一个点C ，在x 轴上找一个点D ，画出四边形ABCD ，使其周长最短（保留作图痕迹）； （2）在（1）的情况下，求出D C ,两点的坐标. 解答：（1）D C ,两点应落在过点)5,2(),3,6(B A '--'的直线上，如图所示.
（2）过点)5,2(),3,6(B A '--'的直线的解析式为3+=x y ，故C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（-3，0） 例16. （怀柔区八年级下学期期末质量检测数学试卷）已知一次函数(3)2y m x =-+的函数值 随着x 的增大而减小，且一次函数(23)3y m x =+-的函数值随着x 的增大而增大，则同 时满足上述条件的m 的取值范围是（ ）
A. 13
m <- B. 3m > C. 3
32
m -<< D . 3m <-
解答：C
例17. （北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）如图，边长为2的正方形ABCD 中，顶
点A 的坐标是（0，2），一次函数t x y +=的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积（阴影部分）为S . （1） 当t 取何值时，3=S ；
（2） 在l 移动过程中，写出S 与t 的函数关系式（其中40<<t ）.
解答：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤--<<=)42(,)4(214)20(,2
122
t t t t S
当24-=t 时，3=S .
例18. （北京市中考模拟题）根据下列条件，求一次函数的解析式. （1）一次函数的图像经过点A （2，0），B （0，2）；
（2）一次函数y=kx+b 的图像平行于直线y=2x ，且与y 轴交于点（0，-3）； （3）直线y=kx+b 经过点（
25，0）且与坐标轴围成的直角三角形的面积为4
25
. 解答：（1）设一次函数的解析式为)0(≠+=k b kx y 则
⎩⎨⎧==+.2,02b b k 解得⎩
⎨
⎧=-=.2,
1b k 所以一次函数解析式为.2+-=x y
（2）因为一次函数b kx y +=图像平行于直线x y 2=，所以2=k .
（3）由题意，得02
5
=+b k 故k b 2
5-
=. x b kx y 与+=轴交点坐标（，2
5
0），与y 轴交点坐标（0，b ）.
所以4
25
2521=⨯⨯=b S
故.2,5 =±=k b
例19. （北京市竞赛题）以A （0，2），B （2，0）O （0，0）为顶点的三角形被直线)
0(:≠-=a a ax y L 分成两部分，设靠近原点O 一侧那部分的面积为S ，写出用a 表示的S 的函数式. 解答：设直线AB 的方程为b kx y +=.因为它过A （0，2）及B （2，0）,所以
1,2-==k b
)20(2≤≤+-=∴x x y .
下面分两种情况进行论讨：
（1）直线L 与线段OA 相交于E 点，在方程O OE a y x a ax y >=-==-=得令中,0,，所以
2
21a OE OC S -=⨯=
02,20<≤-≤<a OE 所以 ，即
)02(2
<≤--=a a
S
（2）直线L 与线段AB 相交于D 点，则
⎩⎨
⎧+-=-=.2,x y a ax y 解之，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=++=.1,12a a y a
a x D ∴点的坐标为（
a
a
a a +++1,
12）. BDC OAB S S S ∆∆-=
=.)
1(23411212a a a a ++=+⨯⨯-
由于D 在AB 上，所以它的横纵坐标要适合；
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤+<<++≤2102120a a a
a 解①、②得a<-2或a>0.所以
)02()
1(234>-<++=
a
a a a
S 或.
综合（1）、（2），可知：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-<++<≤-
-=)02()1(234)02(2a a a a a a
S 或
一、 练习题
1．（2000年全国初中数学竞赛）一个一次函数的图像与直线595
4
4
y x =
+平行，与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1,－25），则在线段AB 上（包括端点A ，B ），横、纵坐标均为整数的点有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个 答案：B
2．（1999年湖北省黄冈市初中数学竞赛）如图，直线210y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，把⊿AOB 沿AB 翻折，点O 落在C 处，则点C 的坐标是________；
答案
3．（2001年TI 杯）在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M(x, 0)到定点P(5, 5)、Q(2, 1)的距离分别为MP 和MQ ，当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝________；
4．(第12届江苏数学竞赛)求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图像恒过一定点；
5．（2000年湖北省初中数学竞赛选拔题）设直线(1)1kx k y ++=（k 为自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为k S （k=1,2,3…,2000），则122000...S S S +++等于多少？
①
②
6．（1994年天津中招）直线(1)3y m x =+-与(23)5y m x =-+及y 轴围成的三角形面积为16，求m 的值
.
7．已知直线111y k x b =+过点（－1, －4）、（2, 2），直线222y k x b =+过点（8，9），且在y 轴上的截距为3.
（1）求两直线交点的坐标；
（2）当21y y ≥时，求x 的范围
.。