2012年广东省高考全真模拟考试文科数学试题(一)

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2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、单项选择题,共10 题,每题5分1、设i为虚数单位,则复数=()(A) -4-3i(B) -4+3i(C) 4+3i(D) 4-3i【答案】D;2、设集合U={1,2,3 ,4,5,6},M={1,3,5} 则(A) {2,4,6}(B) {1,3,5}(C) {1,2,4}(D) U【答案】A;3、若向量=(1,2),=(3,4),则=()(A) (4,6)(B) (-4,-6)(C) (-2,-2)(D) (2,2)【答案】A;4、下列函数为偶函数的是()(A) y=sinx(B) y= (C) y= (D) y=ln【答案】D;5、已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为(0(A) 3(B) 1(C) -5(D) -6【答案】C;6、在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=,则AC=()(A) (B) (C) (D)【答案】B;7、某几何体的三视图如图1所示,它的体积为()(A) 72π(B) 48π(C) 30π(D) 24π【答案】C;8、在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x²+y²=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于()(A) (B) (C) (D) 1【答案】B;9、执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为()(A) 105(B) 16(C) 15(D) 1【答案】C;10、对任意两个非零的平面向量α和β,定义.若两个非零的平面向量和,满足与的夹角,且和都在集合中,则=()(A) (B) (C) 1(D)【答案】D;二、填空题,共 5 题,每题5分1、函数的定义域为__________【答案】;2、若等比数列{a n}满足a2a4= ,则=__________【答案】;3、由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为__________。

2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年广东省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2012•广东)设i为虚数单位,则复数=()A.﹣4﹣3i B.﹣4+3i C.4+3i D.4﹣3i2.(5分)(2012•广东)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁U M=()A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U3.(5分)(2012•广东)若向量=(1,2),=(3,4),则=()A.(4,6)B.(﹣4,﹣6)C.(﹣2,﹣2)D.(2,2)4.(5分)(2012•广东)下列函数为偶函数的是()A.y=sinx B.y=x3C.y=e x D.5.(5分)(2012•广东)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为()A.3B.1C.﹣5 D.﹣66.(5分)(2012•广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=()A.B.C.D.7.(5分)(2012•广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()A.72πB.48πC.30πD.24π8.(5分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于()A.3B.2C.D.19.(5分)(2012•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为()A.105 B.16 C.15 D.110.(5分)(2012•广东)对任意两个非零的平面向量和,定义°=.若两个非零的平面向量,满足与的夹角,且•和•都在集合中,则•=()A.B.C.1D.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)11.(5分)(2012•广东)函数的定义域是.12.(5分)(2012•广东)若等比数列{a n}满足a2a4=,则a1a32a5=.13.(5分)(2012•广东)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为.(从小到大排列)14.(5分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数,)和(t为参数),则曲线C1和C2的交点坐标为.15.(2012•广东)如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)(2012•广东)已知函数,x∈R,且(1)求A的值;(2)设,,,求cos(α+β)的值.17.(13分)(2012•广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x:y 1:1 2:1 3:4 4:518.(13分)(2012•广东)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD;(2)若PH=1,,FC=1,求三棱锥E﹣BCF的体积;(3)证明:EF⊥平面PAB.19.(14分)(2012•广东)设数列{a n}前n项和为S n,数列{S n}的前n项和为T n,满足T n=2S n ﹣n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式.20.(14分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:(a>b>0)的左焦点为F1(﹣1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.21.(14分)(2012•广东)设0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a >0},D=A∩B.(1)求集合D(用区间表示)(2)求函数f(x)=2x3﹣3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.2012年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2012•广东)设i为虚数单位,则复数=()A.﹣4﹣3i B.﹣4+3i C.4+3i D.4﹣3i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:利用两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,以及虚数单位i的幂运算性质,运算求得结果.解答:解:∵,故选D.点评:本题主要考查两个复数代数形式的除法,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.2.(5分)(2012•广东)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁U M=()A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U考点:补集及其运算.专题:集合.分析:直接根据集合的补集的定义以及条件,求出∁U M.解答:解:∵集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁U M={2,4,6},故选A.点评:本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集,属于基础题.3.(5分)(2012•广东)若向量=(1,2),=(3,4),则=()A.(4,6)B.(﹣4,﹣6)C.(﹣2,﹣2)D.(2,2)考点:平面向量的坐标运算.专题:平面向量及应用.分析:由,,利用能求出.解答:解:∵,,∴.故选A.点评:本题考查平面向量的坐标运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.4.(5分)(2012•广东)下列函数为偶函数的是()A.y=sinx B.y=x3C.y=e x D.考点:函数奇偶性的判断.专题:函数的性质及应用.分析:结合选项,逐项检验是否满足f(﹣x)=f(x),即可判断解答:解:A:y=sinx,则有f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sinx为奇函数B:y=x3,则有f(﹣x)=(﹣x)3=﹣x3=﹣f(x)为奇函数,C:y=e x,则有f(﹣x)=,为非奇非偶函数.D:y=ln,则有F(﹣x)=ln=f(x)为偶函数故选D点评:本题主要考查了函数的奇偶行的判断,解题的关键是熟练掌握基本定义5.(5分)(2012•广东)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为()A.3B.1C.﹣5 D.﹣6考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:先画出线性约束条件的可行域,再将目标函数赋予几何意义,数形结合即可得目标函数的最值解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=x+2y得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.由,解得,即B(﹣1,﹣2),代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×(﹣2)=﹣5.即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5.故选:C.点评:本题主要考查了线性规划的思想和方法,二元一次不等式表示平面区域的知识,数形结合解决问题的思想方法,属基础题6.(5分)(2012•广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=()A.B.C.D.考点:正弦定理.专题:解三角形.分析:结合已知,根据正弦定理,可求AC解答:解:根据正弦定理,,则故选B点评:本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题7.(5分)(2012•广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()A.72πB.48πC.30πD.24π考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:由题意,结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体,根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项解答:解:由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是3,圆锥底面圆的半径是3,圆锥母线长为5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4,则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选C点评:本题考查由三视图求体积,解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据,熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键8.(5分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于()A.3B.2C.D.1考点:直线与圆相交的性质.专题:直线与圆.分析:由直线与圆相交的性质可知,,要求AB,只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离解答:解:由题意可得,圆心(0,0)到直线3x+4y﹣5=0的距离,则由圆的性质可得,,即.故选B点评:本题主要考查了直线与圆相交性质的应用,点到直线的距离公式的应用,属于基础试题9.(5分)(2012•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为()A.105 B.16 C.15 D.1考点:循环结构.专题:算法和程序框图.分析:本循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为s=1×3×5×…×(2i﹣1),由此能够求出结果.解答:解:如图所示的循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为s=1×3×5×…×(2i﹣1)∴输入n的值为6时,输出s的值s=1×3×5=15.故选C.点评:本题考查当型循环结构的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.10.(5分)(2012•广东)对任意两个非零的平面向量和,定义°=.若两个非零的平面向量,满足与的夹角,且•和•都在集合中,则•=()A.B.C.1D.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:先求出•=,n∈N,•=,m∈N,再由cos2θ=∈(0,),故m=n=1,从而求得•=的值.解答:解:∵°•=====,n∈N.同理可得°•====,m∈N.再由与的夹角,可得cosθ∈(0,),∴cos2θ=∈(0,),故m=n=1,∴•==,故选:D.点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义,求得m=n=1,是解题的关键,属于中档题.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)11.(5分)(2012•广东)函数的定义域是[﹣1,0)∪(0,+∞).考点:函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:根据影响定义域的因素知,分母不为零,且被开方式非负,即,解此不等式组即可求得函数的定义域.解答:解:要使函数有意义,须,解得x≥﹣1且x≠0∴函数的定义域是[﹣1,0)∪(0,+∞).故答案为[﹣1,0)∪(0,+∞).点评:此题是个基础题.考查函数定义域及其求法,注意影响函数定义域的因素有:分母不等于零,偶次方根的被开方式非负,对数的真数大于零等.12.(5分)(2012•广东)若等比数列{a n}满足a2a4=,则a1a32a5=.考点:等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:由等比数列{a n}的性质可得=,再次利用等比数列的定义和性质可得.解答:解:∵等比数列{a n}满足=,则,故答案为.点评:本题主要考查等比数列的定义和性质,属于基础题.13.(5分)(2012•广东)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为1,1,3,3.(从小到大排列)考点:极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析:由题意,可设x1≤x2≤x3≤x4,,根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8,,再结合中位数是2,即可得出这组数据的值.解答:解:不妨设x1≤x2≤x3≤x4,,依题意得x1+x2+x3+x4=8,,即,所以(x4﹣2)2<4,则x4<4,结合x1+x2+x3+x4=8,及中位数是2,只能x1=x2=1,x3=x4=3,则这组数据为1,1,3,3.故答案为:1,1,3,3.点评:本题考查中位数,平均数,标准差,解题的关键是利用相关公式建立方程,作了正确判断.14.(5分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数,)和(t为参数),则曲线C1和C2的交点坐标为(2,1).考点:圆的参数方程;直线与圆相交的性质;直线的参数方程.专题:坐标系和参数方程.分析:先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程,然后联立直线与曲线方程可求交点坐标解答:解:曲线C1的普通方程为x2+y2=5(),曲线C2的普通方程为y=x﹣1 联立方程x=2或x=﹣1(舍去),则曲线C1和C2的交点坐标为(2,1).故答案为:(2,1)点评:本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解,解题的关键是要把参数方程化为普通方程15.(2012•广东)如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=.考点:弦切角;与圆有关的比例线段.专题:直线与圆.分析:利用题设条件,由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA,故△ABD∽△ACB,,由此能求出结果.解答:解:如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∵∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA,∴△ABD∽△ACB,∴,∴AB2=AC•AD=mn,即.故答案为:.点评:本题考查与圆有关的线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意弦切角定理的合理运用.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)(2012•广东)已知函数,x∈R,且(1)求A的值;(2)设,,,求cos(α+β)的值.考点:两角和与差的余弦函数;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:三角函数的求值.分析:(1)将代入函数解析式,利用特殊角三角函数值即可解得A的值;(2)先将,代入函数解析式,利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值,再利用同角三角函数基本关系式,即可求得cosα、sinβ的值,最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可解答:解:(1),解得A=2(2),即,即因为,所以,,所以.点评:本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用,诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用,特殊角三角函数值的运用,属基础题17.(13分)(2012•广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x:y 1:1 2:1 3:4 4:5考点:用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析:(1)由频率分布直方图的性质可10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到a的值;(2)由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出结果即得;(3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50,90)之外的人数.解答:解:(1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005;(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分);(3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5,数学成绩在[60,70)的人数为:,数学成绩在[70,80)的人数为:,数学成绩在[80,90)的人数为:,所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10.点评:本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图的性质,且能根据所给的数据建立恰当的方程求解.18.(13分)(2012•广东)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD;(2)若PH=1,,FC=1,求三棱锥E﹣BCF的体积;(3)证明:EF⊥平面PAB.考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:(1)因为AB⊥平面PAD,所以PH⊥AB,因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD,由此能够证明PH⊥平面ABCD.(2)连接BH,取BH中点G,连接EG,因为E是PB的中点,所以EG∥PH,因为PH⊥平面ABCD,所以EG⊥平面ABCD,由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积.(3)取PA中点M,连接MD,ME,因为E是PB的中点,所以,因为ME,所以ME DF,故四边形MEDF是平行四边形.由此能够证明EF⊥平面PAB.解答:解:(1)证明:∵AB⊥平面PAD,∴PH⊥AB,∵PH为△PAD中AD边上的高,∴PH⊥AD,∵AB∩AD=A,∴PH⊥平面ABCD.(2)如图,连接BH,取BH中点G,连接EG,∵E是PB的中点,∴EG∥PH,∵PH⊥平面ABCD,∴EG⊥平面ABCD,则,∴=(3)证明:如图,取PA中点M,连接MD,ME,∵E是PB的中点,∴ME,∵,∴ME DF,∴四边形MEDF是平行四边形,∴EF∥MD,∵PD=AD,∴MD⊥PA,∵AB⊥平面PAD,∴MD⊥AB,∵PA∩AB=A,∴MD⊥平面PAB,∴EF⊥平面PAB.点评:本题考查直线与平面垂直的证明,求三棱锥的体积,解题时要认真审题,注意合理地化立体几何问题为平面几何问题.19.(14分)(2012•广东)设数列{a n}前n项和为S n,数列{S n}的前n项和为T n,满足T n=2S n ﹣n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式.考点:数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)当n=1时,T1=2S1﹣1.由T1=S1=a1,所以a1=2a1﹣1,能求出a1.(2)当n≥2时,S n=T n﹣T n﹣1=2S n﹣n2﹣[2S n﹣1﹣(n﹣1)2]=2S n﹣2S n﹣1﹣2n+1,所以S n=2S n﹣1+2n﹣1,S n+1=2S n+2n+1,故a n+1=2a n+2,所以=2(n≥2),由此能求出数列{a n}的通项公式.解答:解:(1)当n=1时,T1=2S1﹣1因为T1=S1=a1,所以a1=2a1﹣1,求得a1=1(2)当n≥2时,所以S n=2S n﹣1+2n﹣1①所以S n+1=2S n+2n+1②②﹣①得a n+1=2a n+2所以a n+1+2=2(a n+2),即(n≥2)求得a1+2=3,a2+2=6,则所以{a n+2}是以3为首项,2为公比的等比数列所以所以,n∈N*.点评:本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意迭代法的合理运用.20.(14分)(2012•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:(a>b>0)的左焦点为F1(﹣1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(﹣1,0),所以c=1,点P(0,1)代入椭圆,得b=1,由此能求出椭圆C1的方程.(2)设直线l的方程为y=kx+m,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0.由此能求出直线l的方程.解答:解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(﹣1,0),所以c=1,点P(0,1)代入椭圆,得,即b=1,所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为.(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,由,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,因为直线l与椭圆C1相切,所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0整理得2k2﹣m2+1=0①由,消去y并整理得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切,所以△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②,解得或所以直线l的方程为或.点评:本题考查椭圆方程的求法,考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.21.(14分)(2012•广东)设0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a >0},D=A∩B.(1)求集合D(用区间表示)(2)求函数f(x)=2x3﹣3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.考点:利用导数研究函数的极值;交集及其运算;一元二次不等式的解法.专题:导数的综合应用;集合.分析:(1)根据题意先求不等式2x2﹣3(1+a)x+6a>0的解集,判别式△=9(1+a)2﹣48a=9a2﹣30a+9=3(3a﹣1)(a﹣3),通过讨论△>0,△=0,△<0分别进行求解.(2)对函数f(x)求导可得f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=6(x﹣a)(x﹣1),由f′(x)=0,可得x=a或x=1,结合(1)中的a的范围的讨论可分别求D,然后由导数的符号判定函数f(x)的单调性,进而可求极值解答:解:(1)令g(x)=2x2﹣3(1+a)x+6a,△=9(1+a)2﹣48a=9a2﹣30a+9=3(3a﹣1)(a﹣3).①当时,△≥0,方程g(x)=0的两个根分别为,所以g(x)>0的解集为因为x1,x2>0,所以D=A∩B=②当时,△<0,则g(x)>0恒成立,所以D=A∩B=(0,+∞)综上所述,当时,D=;当时,D=(0,+∞).(2)f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=6(x﹣a)(x﹣1),令f′(x)=0,得x=a或x=1,①当时,由(1)知D=(0,x1)∪(x2,+∞)因为g(a)=2a2﹣3(1+a)a+6a=a(3﹣a)>0,g(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1≤0 所以0<a<x1<1≤x2,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:x (0,a) a (a,x1)(x2,+∞)f′(x)+ 0 ﹣+f(x)↗极大值↘↗所以f(x)的极大值点为x=a,没有极小值点.②当时,由(1)知D=(0,+∞)所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)f′(x)+ 0 ﹣0 +f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值点为x=a,极小值点为x=1综上所述,当时,f(x)有一个极大值点x=a,没有极小值点;当时,f(x)有一个极大值点x=a,一个极小值点x=1.点评:本题主要考查了一元二次不等式与二次不等式关系的相互转化,体现了分类讨论思想的应用,函数的导数与函数的单调性、函数的极值的关系的应用.。

广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案

广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案

广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案广东省2012届高三全真模拟卷数学文科6一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图所示,U表示全集,则用A、B表示阴影部分正确的是()A.B.C.D.2.若复数是实数(是虚数单位),则实数的值为()A.-2B.-1C.1D.23.已知向量=()A.B.C.D.4.已知数列是公差为的等差数列,且成等比数列,则的前项和为()A.B.C.D.5.下面说法正确的是()A.命题“使得”的否定是“使得”;B.实数是成立的充要条件;C.设为简单命题,若“”为假命题,则“”也为假命题;D.命题“若则”的逆否命题为假命题.6.已知、是两个不同平面,是两条不同直线,则下列命题不正确的是() A.则B.m∥n,m⊥α,则n⊥αC.n∥α,n⊥β,则α⊥βD.m∥β,m⊥n,则n⊥β7.一只小蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.B.C.D.8.阅读如图所示的算法框图,输出的结果S的值为()A.B.C.0D.9.已知△中,,,分别是,的等差中项与等比中项,则△的面积等于()A.B.C.或D.或10.已知为椭圆上的一点,分别为圆和圆上的点,则的最小值为()A.5B.7C.13D.15二、填空题:(本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分)(一)必做题(11~13题)11.一个容量为的样本,数据的分组及各组的频数如下表:(其中)分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数2x3y24则样本在区间10,50)上的频率为.12.已知函数那么不等式的解集为.13.若目标函数在约束条件下的最大值是,则直线截圆所得的弦长的范围是______________.(二)选做题:请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线被曲线:所截得弦的中点的极坐标为.15.(几何证明选讲选做题)如图所示,AB是半径等于的⊙的直径,CD是⊙的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则___________.三、解答题(共80分)16.(本题满分12分)已知向量,且满足.(1)求函数的解析式;(2)求函数的最大值及其对应的值;(3)若,求的值.17.(本题满分12分)某学校共有高一、高二、高三学生名,各年级男、女生人数如下图:已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.(1)求的值;(2)现用分层抽样的方法在全校抽取名学生,问应在高三年级抽取多少名?(3)已知,求高三年级中女生比男生多的概率.18.(本题满分14分)如图:、是以为直径的圆上两点,,,是上一点,且,将圆沿直径折起,使点在平面的射影在上,已知.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求三棱锥的体积.19.(本题满分14分)设曲线在点处的切线与y轴交于点.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,猜测的最大值并证明你的结论.20.(本题满分14分)已知椭圆的离心率,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上的动点,为椭圆的右焦点,以为圆心,长为半径作圆,过点作圆的两条切线,(,为切点),求点的坐标,使得四边形的面积最大.21.(本题满分14分)已知函数.(1)若,试确定函数的单调区间;(2)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;(3)设函数,求证:.参考答案一.选择题(每小题5分,共50分)题号12345678910答案ACBCDDBACB二、填空题:(每小题5分,共20分)11.12.13.14.15.(或三、解答题:(共80分)16.解:(1),即,所以所以…………………………………………4分(2)当,即时,………………8分(3),即……………………………………………………9分两边平方得:,所以…………………………10分…………………………12分17.解:(1)由已知有;3分(2)由(1)知高二男女生一起人,又高一学生人,所以高三男女生一起人,按分层抽样,高三年级应抽取人;7分(3)因为,所以基本事件有:一共11个基本事件.9分其中女生比男生多,即的基本事件有:共5个基本事件,11分故女生必男生多的事件的概率为12分18解:(1)证明:依题意:…………………………2分平面∴……………2分∴平面.……………………………5分(2)证明:中,,∴………………………………6分中,,∴.……………………………………………………………………7分∴.…………………………………………………………8分∴在平面外∴平面.…………………………………………………………10分(3)解:由(2)知,,且∴到的距离等于到的距离为1.………………………………11分∴.……………………………………………………12分平面∴.……………14分19.解:(1),…………………………1分∴点P处的切线斜率,…………………………2分∴切线方程为:,…………………………4分令得:,故数列的通项公式为:.…………………………………6分(2)------①…………………7分两边同乘得:------②①②得:………8分∴……………………10分其中,,,猜测的最大值为.证明如下:…………………11分(i)当为奇数时,;…………………12分(ii)当为偶数时,,设,则.,∴.…………13分故的最大值为,即的最大值为.………………14分20.解:(1)依题意得,………………………………3分解得,………………………………4分所以椭圆的方程为.………………………………5分(2)设,圆:,其中,…………7分…………8分又在椭圆上,则………………………………9分所以,………………………………10分令,,………………………11分当时,,当时,………………………12分所以当时,有最大值,即时,四边形面积取得最大值……13分此时点的坐标为或………………………………………14分21.解:(1)由得,所以.由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间是.……………4分(2)由可知是偶函数.于是对任意成立等价于对任意成立.由得.……………………………………6分①当时,.此时在上单调递增.故,符合题意.……………………………………8分②当时,.当变化时的变化情况如下表:单调递减极小值单调递增由此可得,在上,.依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.………………………10分【(方法二)由对任意成立等价于恒成立当,恒成立,则,又,所以此时………6分当,恒成立,则,令,则,……7分易知为上偶函数,考察,,,当时,,当时,,所以当时,,所以……………………………9分综上…………………………………………………………10分】(3),,…………………………………………………………11分,……………………………………12分由此得,………………………………………13分故.…………………………14分。

2012广州一模文科数学试题及答案

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2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)2012.3一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数y =A .(],1-∞-B .(),1-∞-C .[)1,-+∞D .()1,-+∞ 2.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为A .2-B .1-C .0D .23.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π,则ω的值为 A .1 B .2 C .4 D .84.在△ABC 中,60ABC ∠=,2AB =,3BC =,在BC 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为 A .16 B .13 C .12 D .235.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积...为 AB.C .8 D .126.在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4,则实数t 的值为A .1B .2C .3D .4 7.已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为A .3B .2C .2或3D .2-或3-图1俯视正(主)视侧(左)视8.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为A .8-B .6-C .6D .89.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.已知圆O :222x y r +=,点()P a b ,(0ab ≠)是圆O 内一点,过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ,直线2l 的方程为20ax by r ++=,那么 A .12l l ∥,且2l 与圆O 相离 B .12l l ⊥,且2l 与圆O 相切 C .12l l ∥,且2l 与圆O 相交 D .12l l ⊥,且2l 与圆O 相离 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数,则实数a 的值为 .12.已知集合{}13A x x =≤≤,{}3B x a x a =+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,…,若按此规律继续下去,则5a = ,若145n a =,则n = .512122图2(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为5cm ,点P 是弦AB 3OP =cm ,弦CD 过点P ,且13CP CD =,则CD 的长为 cm . 15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩(s 为参数)和C :22,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数), 若l 与C 相交于A 、B 两点,则AB = . 三、解答题:16.(12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos2α的值. 17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[)50,40,[)60,50,…,[]100,90后得到如图4的频率分布直方图. (1)求图中实数a 的值; (2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率.分图图3如图5所示,在三棱锥ABC P -中,AB BC ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D , 1AD =,3CD =,2=PD .(1)求三棱锥ABC P -的体积; (2)证明△PBC 为直角三角形.19.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的前n 项和为n S ,若570S =,且2a ,7a ,22a 成 等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:1368n T <≤.图5P AD已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R .(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围. 21.(本小题满分14分)已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 两点为顶点,P 在第一象限且在曲线C 上,直线AP 与椭圆相交于另一点T .(1)求曲线C 的方程;(2)设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=;(3)设TAB ∆与POB ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且PA PB uu r uu rg ≤15,求2212S S - 的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题仅填对1个,则给3分.11.0 12.[]0,1 13.35,1014. 15 三、解答题: 16.(1)解:9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-……………………………3分 2==-4分(2)解法1:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………5分()tan α=+π……………………6分tan 2α==.…………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ① 因为22sin cos 1αα+=, ② 由①、②解得21cos 5α=.……………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………11分132155=⨯-=-.…………………………12分解法2:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………5分()tan α=+πtan 2α==.……………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+………………………10分 221tan 1tan αα-=+…………………11分 143145-==-+.……………………………………12分 17.(本小题满分12分)(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=.…………………1分 解得0.03a =.………………………2分(2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=.…………3分由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人. ……………………5分(3)解:成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人,分别记为A ,B .………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人,分别记为C ,D ,E ,F .…7分 若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),A F ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),B F ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共15种.………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内,另一个成绩在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ,则事件M 包含的基本事件有:(),A B ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共7种.………11分所以所求概率为()715P M =.………………12分 18.(本小题满分14分)(1)证明:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以PD ⊥平面ABC .…………………………2分记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为AB BC =, 所以AC BE ⊥.因为AB BC ==4=AC ,所以BE ===4分所以△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ,所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯1233=⨯=7分 (2)证法1:因为PD ⊥AC ,所以△PCD 为直角三角形.因为2PD =,3CD =,所以PC ===9分连接BD ,在Rt △BDE 中, 因为90BED ∠=o,BE =,1DE =,所以BD ===10分由(1)知PD ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC , 所以PD ⊥BD .在Rt △PBD 中,因为90PDB ∠=o,2PD =,BD =PADE所以PB ===12分在PBC∆中,因为BC =PB=PC =,所以222BC PB PC +=.………………………13分 所以PBC ∆为直角三角形.………………………14分证法2:连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o ,BE =,1DE =,所以BD ===8分在△BCD 中,3CD=,BC =,BD =,所以222BC BD CD +=,所以BC BD ⊥.………………10分 由(1)知PD ⊥平面ABC , 因为BC ⊂平面ABC , 所以BC PD ⊥. 因为BD PD D = ,所以BC ⊥平面PBD .………………12分 因为PB ⊂平面PBD ,所以BC PB ⊥.所以PBC ∆为直角三角形.……………………14分 19.(本小题满分14分) (1)解:因为数列{}n a 是等差数列,所以()11n a a n d =+-,()112n n n S na d -=+.……………1分依题意,有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩…………………3分 解得16a =,4d =.………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+(*n ∈N ).…………………6分(2)证明:由(1)可得224n S n n =+.……………………7分PACD E所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.……………………8分 所以123111111n n n T S S S S S -=+++++L 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭.………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭,所以38n T <.…………………11分 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭,所以数列{}n T 是递增数列.……………12分所以116n T T ≥=. 所以1368n T ≤<.………………………14分 20.(本小题满分14分)(1)解:因为32()f x x ax b =-++,所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭.……1分 当0a =时,()0f x '≤,函数()f x 没有单调递增区间;……………2分 当0a >时,令()0f x '>,得203ax <<. 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭;……………3分 当0a <时,令()0f x '>,得203ax <<. 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.………………4分 综上所述,当0a =时,函数()f x 没有单调递增区间;当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭; 当0a <时,函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.…………5分 (2)解:,由(1)知,[]3,4a ∈时,()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭,单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭.………6分 所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =,………………7分函数()f x 在23a x =处取得极大值324327a a fb ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……………8分 由于对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,所以()00,20.3f a f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩………………10分 解得34027a b -<<.………………11分 因为对任意[]3,4a ∈,3427a b >-恒成立,所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭.…13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-.…………………14分 21.(本小题满分14分)(1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,1=,即2b=.所以双曲线C的方程为2214yx-=.…………………3分(2)证法1:设点11(,)P x y、22(,)T x y(0ix>,0iy>,1,2i=),直线AP的斜率为k(0k>),则直线AP的方程为(1)y k x=+,…………………4分联立方程组()221,1.4y k xyx⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………5分整理,得()22224240k x k x k+++-=,解得1x=-或2244kxk-=+.所以22244kxk-=+.………………6分同理可得,21244kxk+=-.……………………7分所以121x x⋅=.………………………8分证法2:设点11(,)P x y、22(,)T x y(0ix>,0iy>,1,2i=),则111APykx=+,221ATykx=+.………………………4分因为AP ATk k=,所以121211y yx x=++,即()()2212221211y yx x=++.………………5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上,所以221114yx-=,222214yx+=.即()221141y x=-,()222241y x=-.……………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++,即12121111x x x x --=++.……………………7分 所以121x x ⋅=.………………………8分 证法3:设点11(,)P x y ,直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++,…………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………5分整理,得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦,解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++.……………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++,得11x x =,即211x x =. 所以121x x ⋅=.…………………8分(3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =--- ,()111,PB x y =--.因为15PA PB ⋅≤ ,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.………9分 因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤. 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………10分因为1221||||||2S AB y y ==,21111||||||22S OB y y ==, 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--.…………11分由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =. 设21t x =,则14t <≤,221245S S t t-=--. 设()45t tf t =--,则()()()222241t t f t t t -+'=-+=, 当12t <<时,()0f t '>,当24t <≤时,()0f t '<, 所以函数()f t 在()1,2上单调递增,在(]2,4上单调递减. 因为()21f =,()()140f f ==, 所以当4t =,即12x =时,()()2212min40S S f -==.………………12分当2t =,即1x =()()2212max21S S f -==.……………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1.…………………14分 说明:由()222212121254541S S x x x x-=-+≤-=,得()2212max1S S -=,给1分.。

广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学

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广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题:邓军民(广州市第二中学) 中国高考吧:.net一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分).1. 若集合2{|4}M x x =>,{|13}N x x =<≤,则()R N M =I ð( )A .{|21}x x -≤<B .{|22}x x -≤≤C .{|12}x x <≤D .{|2}x x <2.在复平面内,与复数i+11对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A . 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C . 充要条件D .既不充分也不必要条件4. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A . lg y x =B .tan y x =C .3xy = D .13y x =5.已知长方形ABCD 中,AB=4,BC=1,M 为AB 的中点,则在此长方形内随机取一点P ,P 与M的距离小于1的概率为( )A .4π B .1-4π C .8π D .18π-6.若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间11[,]42内,则输入的实数x 的取值范围是( )A .(,2]-∞-B .[2,1]--C .[1,2]-D .[2,)+∞8. 已知θ为锐角,向量(sin ,cos )a θθ=r ,(cos ,sin )b θθ=r,若a b r rP ,则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( )A .x π=B .2x π=C .4x π=D .78x π=13211正(主)视侧(左)视俯视图9.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2211216x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC 边上,则ABC ∆的周长是( )A .3B .3C .8D .1610.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()37712012(1)1a a -+-=,()32006200612012(1)1a a -+-=-,则下列结论正确的是( )A .20122012S =,20127a a <B .20122012S =,20127a a >C .20122012S =-,20127a a <D .20122012S =-,20127a a >二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).11.已知1(,2)2a λλ→=+,(3,2)b λ→=,如果→a ⊥→b ,则实数λ= .12.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则这个四棱锥的体积 .13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案, 则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块.【选做题】(请在下列两题中任选一题作答)14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=,则曲线C 上的点到直线t ty tx (21⎩⎨⎧=+-=为参数)的距离的最小值为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图,半径为2的⊙O 中,90AOB ∠=︒,D 为OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点E ,则线段DE 的长为 .A BODE二、解答题(本大题共6小题,共80分). 16.(本小题满分12分)在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边,已知222b c a bc +=+. (Ⅰ)求角A 的大小: (Ⅱ)若222sin 2sin 122B C+=,判断ABC ∆的形状.17.(本小题满分12分)某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.附:独立性检验的随机变量2K 的计算公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++为样本容量.独立性检验的随机变量2K 临界值参考表如下:18. (本小题满分14分)如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB ,将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF .(Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体NFEC 体积的最大值.ABCDEF19.(本小题满分14分) 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . K s 5u (Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行,求a 的值;(Ⅱ) 求()f x 的单调区间;(Ⅲ) 设2()2g x x x =-,若对任意1(0,2]x ∈,均存在2(0,2]x ∈,使得12()()f x g x <,求a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切,,A B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆C 上的动点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若P 与,A B 均不重合,设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ,证明:12k k g 为定值; (Ⅲ)M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,若OPOMλ=,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.已知函数2()f x x x =+,'()f x 为函数()f x 的导函数.(Ⅰ)若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=,且11a =,求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足1b b =,1()n n b f b +=.(ⅰ)是否存在实数b ,使得数列{}n b 是等差数列?若存在,求出b 的值;若不存在,请说明理由; (ⅱ)若b>0,求证:111ni i i b b b =+<∑.广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题:邓军民(广州市第二中学) 中国高考吧:.net一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).11.113--或 12. 2 13. 100 14.5554- ; 15. .三、解答题(本大题共6小题,共80分). 16.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)在ABC ∆中,2222cos b c a bc A +-=,又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 (Ⅱ)∵222sin 2sin 122B C+=,∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=,∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=,∴1sin cos 122B B +=,∴sin()16B π+=, ∵0B π<<,∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形.……………………12分17.(本小题满分12分)解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人,而总人数为50人,则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==; ……………………5分 (2)由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>;………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系,即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作.……………………12分 18.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)证明:因为四边形MNEF ,EFDC 都是矩形,所以 MN ∥EF ∥CD ,MN EF CD ==.所以 四边形MNCD 是平行四边形,所以 NC ∥MD , ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ,所以 NC ∥平面MFD . ………………4分 (Ⅱ)证明:连接ED ,设ED FC O =I .因为平面⊥MNEF 平面ECDF ,且EF NE ⊥,所以 ⊥NE 平面ECDF ,所以 FC NE ⊥. ………………6分又 EC CD =, 所以四边形ECDF 为正方形,所以 FC ED ⊥. ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ,所以 FC ND ⊥.………………9分 (Ⅲ)解:设x NE =,则x EC -=4,其中04x <<.由(Ⅰ)得⊥NE 平面FEC , 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-. ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=. ………………13分 当且仅当x x -=4,即2=x 时,四面体NFEC 的体积最大. ………………14分19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >,(1)(3)f f ''=,解得23a =. ……………3分 (Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ……………………5分①当0a ≤时,0x >,10ax -<, 在区间(0,2)上,()0f x '>;在区间(2,)+∞上()0f x '<, 故()f x 的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,)+∞. ……………………6分 ②当102a <<时,12a >, 在区间(0,2)和1(,)a +∞上,()0f x '>;在区间1(2,)a上()0f x '<, 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞,单调递减区间是1(2,)a. …………………7分K s 5u③当12a =时,2(2)()2x f x x -'=, 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ……………………8分④当12a >时,102a <<, 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上,()0f x '>;在区间1(,2)a上()0f x '<, 故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞,单调递减区间是1(,2)a.……………………9分 (Ⅲ)由已知,在(0,2]上有max max ()()f x g x <.……………………10分 由已知,max ()0g x =,由(Ⅱ)可知,①当12a ≤时,()f x 在(0,2]上单调递增, 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+,所以,222ln 20a --+<,解得ln 21a >-,故1ln 212a -<≤.……………………11分 ②当12a >时,()f x 在1(0,]a 上单调递增,在1[,2]a上单调递减, 故max 11()()22ln 2f x f a a a ==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-,2ln 2a >-,2ln 2a -<, 所以,22ln 0a --<,max ()0f x <, ……………………13分综上所述,ln 21a >-. ……………………14分20.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为222x y b +=,∵直线20x y -+=与圆相切,∴d b ==,即b =,又3c e a ==,即a =,222a b c =+,解得a =1c =, 所以椭圆方程为22132x y +=. ……………………3分 (Ⅱ)设000(,)(0)P x y y ≠,(A,B , 则2200132x y +=,即2200223y x =-,则1k =2k =K s 5u 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----, ∴12k k g 为定值23-. ……………………6分 (Ⅲ)设(,)M x y,其中[x ∈. 由已知222OPOM λ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++, 整理得2222(31)36x y λλ-+=,其中[x ∈.……………………8分①当λ=26y =,所以点M的轨迹方程为y x =≤≤,轨迹是两条平行于x 轴的线段;②当3λ≠时,方程变形为2222166313x y λλ+=-,其中[x ∈,当03λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆.……………………14分21.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为 2()f x x x =+, 所以 '()21f x x =+.所以 121n n a a +=+,所以 112(1)n n a a ++=+,且11112a +=+=,所以数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列.所以 11222n n n a -+=⋅=, 即21n n a =-. ……………………4分(Ⅱ)(ⅰ)假设存在实数b ,使数列{}n b 为等差数列,则必有2132b b b =+,且1b b =,221()b f b b b ==+,22232()()()b f b b b b b ==+++.所以 22222()()()b b b b b b b +=++++,解得 0b =或2b =-.当0b =时,10b =,1()0n n b f b +==,所以数列{}n b 为等差数列;当2b =-时,12b =-,22b =,36b =,442b =,显然不是等差数列.所以,当0b =时,数列{}n b 为等差数列. ……………………9分(ⅱ)10b b =>,1()n n b f b +=,则21()n n n n b f b b b +==+; 所以 21n n n b b b +=-;所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅. 因为 210n n n b b b +=->,所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>L ;所以 11122311*********()()()n i i i n n n b b b b b b b b b b b =+++=-+-++-=-<∑L .……………………14分。

广东省2012年高考数学仿真模拟试题文科数学

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广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题命题:邓军民(广州市第二中学) 中国高考吧:www .gaokao8.net一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分). 1. 若集合2{|4}M x x =>,{|13}N x x =<≤,则()R NM =ð( )A .{|21}x x -≤<B .{|22}x x -≤≤C .{|12}x x <≤D .{|2}x x <2.在复平面内,与复数i+11对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A . 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C . 充要条件D .既不充分也不必要条件4. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A . lg y x =B .tan y x =C .3xy = D .13y x =5.已知长方形ABCD 中,AB=4,BC=1,M 为AB 的中点,则在此长方形内随机取一点P ,P 与M 的距离小于1的概率为( )A .4π B .1-4π C .8π D .18π-6.若变量y x ,满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则y x z 2-=的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间11[,]42内,则输入的实数x 的取值范围是( )A .(,2]-∞-B .[2,1]--C .[1,2]-D .[2,)+∞ 8. 已知θ为锐角,向量(sin ,cos )a θθ=,(cos ,sin )b θθ=, 若a b ,则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是( ) A .x π=B .2x π=C .4x π=D .78x π=9.已知ABC ∆的顶点B 、C在椭圆2211216x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC 边上,则ABC ∆的周长是( )A .B .C .8D .16正(主)视侧(左)视俯视图10.设等差数列{}n a的前n项和为n S,已知()37712012(1)1a a-+-=,()32006200612012(1)1a a-+-=-,则下列结论正确的是( )A.20122012S=,20127a a<B.20122012S=,20127a a>C.20122012S=-,20127a a<D.20122012S=-,20127a a>二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).11.已知1(,22aλλ→=+,(3,2)bλ→=,如果→a⊥→b,则实数λ= .12.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积.13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖___________块.【选做题】(请在下列两题中任选一题作答)14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为θρcos2=,则曲线C上的点到直线tttx(21⎧=+-=为参数)的距离的最小值为.15.(几何证明选讲选做题)如图,半径为2的⊙O中,90AOB∠=︒,D为OB的中点,AD的延长线交⊙O于点E,则线段DE的长为.二、解答题(本大题共6小题,共80分).16.(本小题满分12分)在ABC∆中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对应的三边,已知222b c a bc+=+.(Ⅰ)求角A的大小:(Ⅱ)若222sin2sin122B C+=,判断ABC∆的形状.17.(本小题满分12分)(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由. 附:独立性检验的随机变量2K的计算公式:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++为样本容量.独立性检验的随机变量2K临界值参考表如下:如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB ,将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF .(Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体NFEC 体积的最大值. 19.(本小题满分14分) 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ) 若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行,求a 的值;(Ⅱ) 求()f x 的单调区间;(Ⅲ) 设2()2g x x x =-,若对任意1(0,2]x ∈,均存在2(0,2]x ∈,使得12()()f x g x <,求a 的取值范围.20. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切,,A B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆C 上的动点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若P 与,A B 均不重合,设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ,证明:12k k 为定值; (Ⅲ)M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,若OPOMλ=,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.21. (本小题满分14分)已知函数2()f x x x =+,'()f x 为函数()f x 的导函数.(Ⅰ)若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=,且11a =,求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足1b b =,1()n n b f b +=.(ⅰ)是否存在实数b ,使得数列{}n b 是等差数列?若存在,求出b 的值;若不存在,请说明理由; (ⅱ)若b>0,求证:111ni i i b b b =+<∑.广东省2012年高考文科数学仿真模拟试题答案命题:邓军民(广州市第二中学) 中国高考吧:www .gaokao8.net一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).11.113--或 12. 2 13. 100 14.5554- ; 15. .三、解答题(本大题共6小题,共80分). 16.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)在ABC ∆中,2222cos b c a bc A +-=,又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π== ……………………………5分 (Ⅱ)∵222sin 2sin 122B C+=,∴1cos 1cos 1B C -+-= ……………………7分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=,∴22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=,1cos 12B B +=,∴sin()16B π+=, ∵0B π<<,∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形.……………………12分17.(本小题满分12分)解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人,而总人数为50人,则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==; ……………………5分 (2)由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>;………………10分所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系,即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作.……………………12分 18.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)证明:因为四边形MNEF ,EFDC 都是矩形,所以 MN ∥EF ∥CD ,MN EF CD ==.所以 四边形MNCD 是平行四边形,所以 NC ∥MD , ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ,所以 NC ∥平面MFD . ………………4分 (Ⅱ)证明:连接ED ,设EDFC O =.因为平面⊥MNEF 平面ECDF ,且EF NE ⊥,所以 ⊥NE 平面ECDF ,所以 FC NE ⊥. ………………6分又 EC CD =, 所以四边形ECDF 为正方形,所以 FC ED ⊥. ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ,所以 FC ND ⊥.………………9分 (Ⅲ)解:设x NE =,则x EC -=4,其中04x <<.由(Ⅰ)得⊥NE 平面FEC , 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-. ………………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=. ………………13分 当且仅当x x -=4,即2=x 时,四面体NFEC 的体积最大. ………………14分19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >,(1)(3)f f ''=,解得23a =. ……………3分 (Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ……………………5分①当0a ≤时,0x >,10ax -<, 在区间(0,2)上,()0f x '>;在区间(2,)+∞上()0f x '<, 故()f x 的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,)+∞. ……………………6分 ②当102a <<时,12a >, 在区间(0,2)和1(,)a +∞上,()0f x '>;在区间1(2,)a上()0f x '<, 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞,单调递减区间是1(2,)a. …………………7分③当12a =时,2(2)()2x f x x -'=, 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ……………………8分④当12a >时,102a <<, 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上,()0f x '>;在区间1(,2)a上()0f x '<, 故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞,单调递减区间是1(,2)a.……………………9分 (Ⅲ)由已知,在(0,2]上有max max ()()f x g x <.……………………10分 由已知,max ()0g x =,由(Ⅱ)可知,①当12a ≤时,()f x 在(0,2]上单调递增, 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+, 所以,222ln 20a --+<,解得ln 21a >-,故1ln 212a -<≤.……………………11分 ②当12a >时,()f x 在1(0,]a 上单调递增,在1[,2]a上单调递减, 故max 11()()22ln 2f x f a aa==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-,2ln 2a >-,2ln 2a -<, 所以,22ln 0a --<,max ()0f x <, ……………………13分 综上所述,ln 21a >-. ……………………14分 20.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为222x y b +=, ∵直线20x y -+=与圆相切,∴d b ==,即b =,又3c e a ==,即a =,222a b c =+,解得a =1c =, 所以椭圆方程为22132x y +=. ……………………3分 (Ⅱ)设000(,)(0)P x y y ≠,(A,B ,则2200132x y +=,即2200223y x =-,则1k =2k = 即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----, ∴12k k 为定值23-. ……………………6分 (Ⅲ)设(,)M x y,其中[x ∈.由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++, 整理得2222(31)36x y λλ-+=,其中[x ∈.……………………8分①当λ=26y =,所以点M的轨迹方程为y x =≤≤,轨迹是两条平行于x 轴的线段;②当3λ≠时,方程变形为2222166313x y λλ+=-,其中[x ∈,当03λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆.……………………14分 21.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为 2()f x x x =+, 所以 '()21f x x =+.所以 121n n a a +=+, 所以 112(1)n n a a ++=+,且11112a +=+=, 所以数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列.所以 11222n n n a -+=⋅=, 即21nn a =-. ……………………4分(Ⅱ)(ⅰ)假设存在实数b ,使数列{}n b 为等差数列,则必有2132b b b =+,且1b b =,221()b f b b b ==+,22232()()()b f b b b b b ==+++.所以 22222()()()b b b b b b b +=++++, 解得 0b =或2b =-.当0b =时,10b =,1()0n n b f b +==,所以数列{}n b 为等差数列; 当2b =-时,12b =-,22b =,36b =,442b =,显然不是等差数列. 所以,当0b =时,数列{}n b 为等差数列. ……………………9分(ⅱ)10b b =>,1()n n b f b +=,则21()n n n n b f b b b +==+;所以 21n n n b b b +=-;所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅. 因为 210n n n b b b +=->,所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>;所以11122311*********()()()ni i i n n n b b b b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑.……………………14分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (文科) 解析版

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绝密★启用前 试卷类型:B2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB =,(3,4)BC =,则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2) 3. A. (4,6)AC AB BC =+=.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数,选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ,y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分,2z x y =+可化为直线1122y x z =-+,则当该直线过点(1,2)A --时,x +z 取得最小值,min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中,若60A ∠=,45B ∠=,BC =AC =A.B.C.D.6. B. 根据正弦定理,sin sin BC ACA B=,则sin sin BC B AC A ⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==,则222()32AB r d =-=,即AB =9. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=⋅⋅αβαβββ.若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭,图2图1正视图 俯视图侧视图且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中,则=a bA.52 B. 32 C. 1 D. 1210. D. =⋅⋅a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b,同理有cos θ=b b a a a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中,即2cos θa b 和2cos θb a 是整数, 取3πθ=,则a b和b a是整数,则1==a b ba,则=a b 12.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11 ~ 13题)11. 函数y =的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞. 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且,即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞.12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==,则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .(从小到大排列)13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤,*1234,,,x x x x ∈N ,依题意得12348x x x x +++=,1s ==, 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=,所以43x ≤则只能121x x ==,343x x ==,则这组数据为1,1,3,3(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数),则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=(0x ≤≤),曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-(舍去),则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.(几何证明选讲选做题)如图3所示,直线PB 与圆O 相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠. 若AD m =,AC n =,则AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠,则△ABD ∽△ACB,AB AD AC AB=,则2AB AC AD mn =⋅=,即AB =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求A 的值; (2)设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求cos()αβ+的值.16. 解:(1)cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2A = (2)43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即15s i n 17α= 图3PABCDO。

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绝密★启用前 试卷类型:B2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB =u u u r ,(3,4)BC =u u u r,则AC =u u u rA. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数,选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ,y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分,2z x y =+可化为直线1122y x z =-+,则当该直线过点(1,2)A --时,x +z 取得最小值,min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中,若60A ∠=o ,45B ∠=o,BC =AC =A.B.C.D.6. B. 根据正弦定理,sin sin BC ACA B=,则sin sin BC B AC A ⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==,则222()32AB r d =-=,即AB =9. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=⋅⋅o αβαβββ.若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭,图2图1正视图 俯视图侧视图且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中,则=o a bA.52 B. 32 C. 1 D. 1210. D. =⋅⋅o a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b,同理有cos θ=o b b a a o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中,即2cos θa b 和2cos θb a 是整数, 取3πθ=,则a b和b a是整数,则1==a b ba,则=o a b 12.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11 ~ 13题)11. 函数y x=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞U . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且,即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞U .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==,则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .(从小到大排列)13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤,*1234,,,x x x x ∈N ,依题意得12348x x x x +++=,1s ==, 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=,所以43x ≤则只能121x x ==,343x x ==,则这组数据为1,1,3,3(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=(0x ≤≤),曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-(舍去),则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.(几何证明选讲选做题)如图3所示,直线PB 与圆O 相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠. 若AD m =,AC n =,则 AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠,则△ABD ∽△ACB ,AB AD AC AB=,则2AB AC AD mn =⋅=,即AB =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求A 的值; (2)设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求cos()αβ+的值.16. 解:(1)cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2A = (2)43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即15sin 17α= 图3gPABCD O2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦,所以8cos 17α==,3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.(本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a 的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成 绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x ) 与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示,求 数学成绩在[50,90)之外的人数.17. 解:(1)依题意得,10(20.020.030.04)1a +++=,解得0.005a = (2)这100名学生语文成绩的平均分为:550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分)(3)数学成绩在[50,60)的人数为:1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为:11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为:41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为:51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100520402510----=图4PABCH FED 图518.(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且12DFAB =,PH 为△PAD 中AD 边上的高. (1)证明:PH ⊥平面ABCD ; (2)若1PH =,AD =1FC =,求三棱锥E BCF -的体积;(3)证明:EF ⊥平面PAB .18. 解:(1)证明:因为AB ⊥平面PAD ,所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =I所以PH ⊥平面ABCD(2)连结BH ,取BH 中点G ,连结EG 因为E 是PB 的中点, 所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E BCFBCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12 (3)证明:取PA 中点M ,连结MD ,ME因为E 是PB 的中点所以1//2ME AB = 因为1//2DF AB =所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形 所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥因为AB ⊥平面PAD , 所以MD AB ⊥ 因为PA AB A =I所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PABPABCH F E DGM19. (本小题满分14分)设数列{}n a 前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足22n n T S n =-,*n ∈N .(1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式. 19. 解:(1)当1n =时,1121T S =-因为111T S a ==,所以1121a a =-,求得11a =(2)当2n ≥时,221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+,即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=,226a +=,则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项,2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-,*n ∈N20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上. (1)求椭圆1C 的方程;(2)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切,求直线l 的方程. 20. 解:(1)因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -,所以1c =,点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=,得211b=,即1b =,所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. (2)直线l 的斜率显然存在,设直线l 的方程为y kx m =+,2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切,所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩,消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切,所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②,解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线l的方程为y x =或y x =-21.(本小题满分14分)设01a <<,集合{|0}A x x =∈>R ,2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ,D A B =I .(1)求集合D (用区间表示)(2)求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解:(1)令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时,0∆≥,方程()0g x =的两个根分别为1334a x +-=,2334a x ++=所以()0g x >的解集为3333(,()44a a ++-∞+∞U因为12,0x x >,所以D A B ==I 3333(0,()44a a +++∞U ② 当113a <<时,0∆<,则()0g x >恒成立,所以D A B ==I (0,)+∞ 综上所述,当103a <≤时,D =3333(0,()44a a +-+++∞U ; 当113a <<时,D =(0,)+∞ (2)2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--, 令()0f x '=,得x a =或1x =① 当103a <≤时,由(1)知D =12(0,)(,)x x +∞U 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->,(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤,所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:所以()f x 的极大值点为x a =,没有极小值点 ② 当113a <<时,由(1)知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:所以()f x 的极大值点为x a =,极小值点为1x = 综上所述,当103a <≤时,()f x 有一个极大值点x a =,没有极小值点; 当113a <<时,()f x 有一个极大值点x a =,一个极小值点1x =。

广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷1

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广东省2012届高三数学文科仿真模拟卷1第Ⅰ卷(选择题 共50分)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若复数(1)(1)i ai ++(,a R i ∈是虚数单位)是纯虚数,则a =A .1-B .0C .1D .2 2.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若515S =,则3a =A. 3B. 4C. 5D.63.双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为A .x y 2±=B .y x 2±=C .x y 22±= D .y x 22±=4.给出下列四个命题,其中假命题是A .命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为:“若方程20x x m +-=无实数根,则0m ≤”.B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C .若命题p :,10x R x x ∈++<2存在使得,:,10p x R x x ⌝∈++≥2则存在都有. D .若“p q 且”为假命题,则,p q 中至少有一个为假命题.5.设,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面。

有下列四个命题:①若,,m m βαβα⊂⊥⊥则; ②若//,,//m m αβαβ⊂则; ③若,,,n n m m αβαβ⊥⊥⊥⊥则; ④若,,αγβγαβ⊥⊥⊥则. 其中正确命题的序号是A .①③B .①②C .③④D .②③6.某公司2006~2011年的年利润x (单位:百万元)与年广告支出y (单位:百万元)的统计资料支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料,则A.利润中位数是16,x 与y 有正线性相关关系B.利润中位数是17,x 与y 有正线性相关关系C.利润中位数是17,x 与y 有负线性相关关系D.利润中位数是18,x 与y 有负线性相关关系7.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿. 可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是直径为3cm 的圆,中间有边长为1cm 的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴正好落入孔中的概率是A. π94B. 43πC. 94πD. 34π8.若右边的程序框图输出的S 是30,则条件①可为 A .3n ≤ B .4n ≤C .5n ≤D .6n ≤9.已知变量,x y 满足条件10290x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,若目标函数z ax y =+仅在点(3,3)处取得最小值,则a 的取值范围是A .10a -<<B .01a <<C .1a <-D .1a <-或1a >10.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)32,过右焦点F 且斜率为k (0k >)的直线与C 相交于A 、B 两点,若3AF FB =.则k = A 2 B .1 C .3 D . 2第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二.填空题(本题5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置) 11.若三点(1,3),(,0),(0,1)A B a C 共线,则a 的值等于 .12.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知2,3a b ==,则sin sin()AA C =+ .13.已知奇函数()f x 满足(2)(),(0,1)f x f x x +=-∈且当时,()2xf x =,则72()f 的值为 .14.给出下列六种图象变换方法:①图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变; ②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变; ③图象向右平移个单位; ④图象向左平移个单位; ⑤图象向右平移个单位; ⑥图象向左平移个单位.请用上述变换中的两种变换,将函数sin y x =的图象变换到函数y =sin(2x+)的图象,那么这两种变换的序号依次是 (填上一种你认为正确的答案即可). 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,若多做,按所做的第一题评分)A .(不等式选做题)若不等式121a x x -≤+对一切非零实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . B .(几何证明选做题)如图,圆O 的直径AB =8,C 为圆 周上一点,BC =4,过C 作圆的切线,过A 作直线的 垂线AD ,D 为垂足,AD 与圆O 交于点E ,则线段 AE 的长为 .C .(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆5cos 1:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)和直线46:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩(为参数),则直线截圆C所得弦长为 .三.解答题(本题6小题,共75分。

2012 广一模数学 文 解析版

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1 6
1 3
C.
1 2
D.
2 3
B 解析:当 ADB 90 时, BD AB cos ABC 2cos 60 1;所以
P(ADB 90 ) BD 1 (画图分析) BC 3
2 2 正(主)视图 B. 4 3 2 D.12 2 2 2 侧(左)视图 2
5.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积 为 ... ( A. )
1 a 又过点 P(a, b) , 故用点斜式可得 l1 方程为 ax by a 2 b 2 , , kOP b
与 l2 : ax by r 平行;因圆心到 l2 的距离 d
2
r2 a b
2 2

r2 r
2
r (a 2 b 2 r 2 ) ,故 l2 与圆相离。

. 4 2 ,求 cos 2 的值. 3 4
(1)求 f
的值; 9
(2)若 f
(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查 化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)
tan 3 4 3 1 2 3 . (1)解: f tan 1 3 3 4 1 tan tan 9 3 4 tan
A.1 B.2 C.3 D.4
)
1 B 作图可知该区域为三角形,则面积为 t[(t 2) (2 t )] 4, t 0 ,解得 t 2 ; 2
7.已知幂函数 y m 5m 7 x
2


m2 6
在区间 0, 上单调递增,则实数 m 的值为( C.2 或 3 D. 2 或 3

2012广州一模试题及参考答案(文科数学)WORD(doc格式)

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试卷类型:A2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)2012.3 本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数1y =A .(],1-∞-B .(),1-∞-C .[)1,-+∞D .()1,-+∞2.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为A .2-B .1-C .0D .23.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π,则ω的值为 A .1 B .2 C .4 D .84.在△ABC 中,60ABC ∠=,2A B =,3B C =,在B C 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为A .16B .13C .12D .235.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积...为 A.3B.C .8 D .126.在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4,则实数t 的值为A .1B .2C .3D .4 7.已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为A .3B .2C .2或3D .2-或3- 8.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为A .8-B .6-C .6D .89.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.已知圆O :222x y r +=,点()P a b ,(0ab ≠)是圆O 内一点,过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ,直线2l 的方程为20ax by r ++=,那么A .12l l ∥,且2l 与圆O 相离B .12l l ⊥,且2l 与圆O 相切C .12l l ∥,且2l 与圆O 相交D .12l l ⊥,且2l 与圆O 相离二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)图1俯视图正(主)视图侧(左)视图11.若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数,则实数a 的值为 .12.已知集合{}13A x x =≤≤,{}3B x a x a =+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,…,若按此规律继续下去,则5a = ,若145n a =,则n = .(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为5cm ,点P 是弦AB 的中点,3O P =cm ,弦C D 过点P ,且13C P C D=,则C D 的长为 cm .15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩(s 为参数)和C :22,x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数), 若l 与C 相交于A 、B 两点,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos 2α的值. 5 121 22 图2 图317.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分 成六段:[)50,40,[)60,50,…,[]100,90后得到如图4的频率分布直方图.(1)求图中实数a 的值; (2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数; (3)若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.18.(本小题满分14分)如图5所示,在三棱锥ABC P -中,A B B C ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D , 1AD =,3C D =,2=PD .(1)求三棱锥ABC P -的体积;(2)证明△PBC 为直角三角形.19.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的前n 项和为n S ,若570S =,且2a ,7a ,22a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:1368n T <≤.20.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R .(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围.图5BPACD图421.(本小题满分14分)已知椭圆2214yx +=的左、右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 两点为顶点,设点P 在第一象限且在曲线C 上,直线AP 与椭圆相交于另一点T .(1)求曲线C 的方程;(2)设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=; (3)设T A B∆与P O B ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且PA PB uu r uurg ≤15,求2212S S - 的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题仅填对1个,则给3分.11.0 12.[]0,1 13.35,10 14.15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分t a n t a n341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==--.………………………………………………………………………4分 (2)解法1:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ①因为22sin cos 1αα+=, ② 由①、②解得21cos 5α=.………………………………………………………………………………9分所以2coαα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-.………………………………………………………………………12分解法2:因为3ta n 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分221t a n 1t a n αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+.……………………………………………………………………………12分 17.(本小题满分12分)(本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以1⨯+a+.………………………………………………1分解得a =.……………………………………………………………………………………………2分(2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=.…………3分由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.⨯=人. …………………………………………………………………5分(3)解:成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人,分别记为A ,B .……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人,分别记为C ,D ,E ,F .…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),A F ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),B F ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共15种.…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内,另一个成绩在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ,则事件M 包含的基本事件有:(),A B ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共7种.……………………所以所求概率为()715P M=.…………………………………………………………………………12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面A B C A C =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以P D ⊥平面ABC .…………………………………………………………………………………2分记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为A B B C =,所以AC BE ⊥.因为AB BC ==4=AC ,所以2BE =-…4分所以△ABC 的面积12A B C S A C B E ∆=⨯⨯=5分因为2=PD ,所以三棱锥ABC P -的体积13P ABCB C V S -∆=⨯⨯142233=⨯=7分 (2)证法1:因为P D⊥AC ,所以△PC D为直角三角形.因为2PD =,3C D =,所以PC ===9分连接BD ,在R t △BD E 中,因为90BED∠=o,BE =,1D E =,所以BD ===10分由(1)知P D ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC ,所以P D ⊥BD.在R t △PBD 中,因为90PDB ∠=o,2P D =,BD =,所以2PB =+.……………………………………………………BPACDE在PBC ∆中,因为BC =,PB =PC =,所以2BC+=.………………………………………………………………………………13分所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分证法2:连接BD ,在R t △BD E 中,因为90BED ∠=o,BE =,1D E =,所以BD ===8分在△BC D 中,3CD =,BC =BD =,所以222BC BD CD +=,所以BC BD ⊥.………………10分 由(1)知P D ⊥平面ABC , 因为B C ⊂平面ABC , 所以BC PD ⊥. 因为BD PD D = ,所以B C ⊥平面PBD .…………………………………………………………………………………12分 因为PB ⊂平面PBD ,所以B C P B ⊥.所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列{}n a 是等差数列,所以()11n a a n =+-,()112n n n S na d -=+.……………………………………………………1分依题意,有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =,BPACDE4d =.……………………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+(*n ∈N ).…………………………………………………6分 (2)证明:由(1)可得224n S n n =+.……………………………………………………………………7分所以()21124nS n ==++142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.…………………………………………………8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. (10)分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+<⎪++⎝⎭,所以38n T <.………………………………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=->⎪++⎝⎭,所以数列{}n T 是递增数列.………………………………12分所以116n T T ≥=.………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<.…………………………………………………………………………………………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:因为32()f x x ax b=-++,所以22()3233a f x x a x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭.……………………1分 当0a =时,()f x '≤,函数()f x 没有单调递增区间;……………………………………………2分当0a >时,令()0f x '>,得203a x <<.故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭;…………………………………………………………………3分 当0a <时,令()0f x '>,得203a x <<.故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………………………………4分 综上所述,当0a =时,函数()f x 没有单调递增区间;当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭; 当a <时,函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………………5分(2)解:,由(1)知,[]3,4a ∈时,()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭,单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =,……………………………………………………7分函数()f x 在23a x =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………………………8分 由于对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,所以()00,20.3f a f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b ab <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027ab -<<.……………………………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈,3427ab >-恒成立,所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭.………………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-.……………………………………………………………………14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,1=,即2b =.所以双曲线C的方程为2214yx -=.……………………………………………………………………3分(2)证法1:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),直线AP 的斜率为k (0k >),则直线AP 的方程为(y k x=+,………………………………………………………………………4分 联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理,得()22224240k x k x k +++-=,解得1x =-或2244k x k-=+.所以22244k x k-=+.…………………………………………………………6分同理可得,21244k x k+=-.…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法2:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =), 则111AP y k x =+,221AT y k x =+.…………………………………………………………………………4分因为A Pk k=,所以121211y y x x =++,即()()2212221211y y x x =++.……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上,所以221114y x -=,222214y x +=.即()221141y x =-,()222241y x =-.…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++,即12121111x x x x --=++.……………………………………………………7分所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法3:设点11(,)P x y ,直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++,………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理,得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦, 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++.…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++,得11x x =,即211x x =.所以121x x ⋅=.…………………………………………………………………………………………8分(3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =--- ,()111,PB x y =--.因为15PA PB ⋅≤,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.…………………………9分因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤.因为点P是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………………………………………10分因为1221||||||2S A B y y ==,21111||||||22S O B y y ==,所以()()2212144S S -=.……………………………11分由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =.设21t x =,则14t <≤,221245S S t t-=--.设()45t tf t =--,则()()()222241t t f t tt-+'=-+=,当12t <<时,()0f t '>,当24t <≤时,()0f t '<, 所以函数()f t 在()1,2上单调递增,在(]2,4上单调递减. 因为()21f =,()()140f f ==, 所以当4t =,即12x =时,()()2212min40SS f -==.……………………………………………12分当2t =,即1x =时,()()2212max21SS f -==.………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1.……………………………………………………………………14分说明:由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=,得()2212max1S S -=,给1分.。

广东省广州市2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题

广东省广州市2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数y =A .(],1-∞-B .(),1-∞-C .[)1,-+∞D .()1,-+∞2.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为A .2-B .1-C .0D .23.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π,则ω的值为 A .1 B .2 C .4 D .8 4.在△ABC 中,60ABC ∠=,2AB =,3BC =,在BC 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为 A .16 B .13 C .12 D .235.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积...为 AB. C .8 D .126.在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4,则实数t 的值为A .1B .2C .3D .4 7.已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为A .3B .2C .2或3D .2-或3-8.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =,()0,2b =,则⨯a b 的值为A .8-B .6-C .6D .89.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.已知圆O :222x y r +=,点()P a b ,(0ab ≠)是圆O 内一点,过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ,直线2l 的方程为20ax by r ++=,那么A .12l l ∥,且2l 与圆O 相离B .12l l ⊥,且2l 与圆O 相切C .12l l ∥,且2l 与圆O 相交D .12l l ⊥,且2l 与圆O 相离 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数,则实数a 的值为 .12.已知集合{}13A x x =≤≤,{}3B x a x a =+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,…,三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.(1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[)50,40,[)60,50,…,[]100,90后得到如图4的频率分布直方图.(1)求图中实数a 的值;(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率.18.(本小题满分14分)如图5所示,在三棱锥ABC P -中,AB BC ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D , 1AD =,3CD =,2=PD .(1)求三棱锥ABC P -的体积; (2)证明△PBC 为直角三角形.19.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的前n 项和为n S ,若570S =,且2a ,7a ,22a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:1368n T <≤.20.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R .(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围.参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题仅填对1个,则给3分.11.0 12.[]0,1 13.35,10 14. 15三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)()tan α=+π…………………………6分tan 2α==.…………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ① 因为22sin cos 1αα+=, ② 由①、②解得21cos 5α=.………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………11分132155=⨯-=-.…………………………12分解法2:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………5分()tan α=+π……………………6分tan 2α==.………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………11分 143145-==-+.…………………12分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人,分别记为C ,D ,E ,F .…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),A F ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),B F ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共15种.…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内,另一个成绩在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ,则事件M 包含的基本事件有:(),A B ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共7种.…11分所以所求概率为()715P M =.……………12分 18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以PD ⊥平面ABC .…………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为AB BC =, 所以AC BE ⊥.因为AB BC ==,4=AC ,所以BE ===4分所以△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ,在Rt △PBD 中,因为90PDB ∠=o ,2PD =,BD =,所以PB ===12分在PBC∆中,因为BC=PB =PC =,所以222BC PB PC +=.……………………13分所以PBC∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列{}n a 是等差数列,所以()11n a a n d =+-,()112n n n S na d -=+.………………1分 依题意,有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩……………3分 解得16a =,4d =.……………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+(*n ∈N ).…………………………6分 (2)证明:由(1)可得224n S n n =+.……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭.……8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭当0a =时,()0f x '≤,函数()f x 没有单调递增区间;……………………2分 当0a >时,令()0f x '>,得203a x <<. 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭;…………………3分 当0a <时,令()0f x '>,得203ax <<. 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………4分综上所述,当0a =时,函数()f x 没有单调递增区间;当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭; 当0a <时,函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分因为对任意[]3,4a ∈,3427a b >-恒成立,所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭.………………13分所以实数b 的取值范围是()4,0-.……………………………14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .…………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,=,即2b=.所以双曲线C的方程为2214yx-=.………………………3分证法2:设点11(,)P x y、22(,)T x y(0ix>,0iy>,1,2i=),则111APykx=+,221ATykx=+.……………………4分因为AP ATk k=,所以121211y yx x=++,即()()2212221211y yx x=++.…………5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上,所以221114yx-=,222214yx+=.即()221141y x=-,()222241y x=-.……………6分所以()()()()22122212414111x xx x--=++,即12121111x xx x--=++.…………7分所以121x x⋅=.………………………8分(3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =---,()111,PB x y =--. 因为15PA PB ⋅≤,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.…………………………9分因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤.因为点P 是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==,21111||||||22S OB y y ==, 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--.……………11分由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =. 设21t x =,则14t <≤,221245S S t t-=--.设()45t tf t =--,则()()()222241t t f t t t -+'=-+=,。

2012广东文科高考数学数学真题附答案(纯word版)

2012广东文科高考数学数学真题附答案(纯word版)

2012年广东文科数学参考答案本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,则复数34i i+= A .43i -- B .43i -+ C .43i + D .43i -2.设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =,则U C M =A .{}2,4,6B .{}1,3,5C .{}1,2,4D .U3.若向量(1,2),(3,4)AB BC ==,则AC =A . (4,6)B . (4,6)--C . (2,2)--D . (2,2)4.下列函数为偶函数的是A .sin y x =B .3y x =C .xy e = D.y = 5.已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A .3B .1C .5-D 6-6.在ABC ∆中,若°60A ∠=,°45B ∠=,BC =ACA .B .C .D .7.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为A . 72πB . 48πC . 30πD . 24π8.在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于A .B .C .D . 19.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为A . 105B . 16C . 15D . 110.对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅.若平面向量,a b 满足0a b ≥>,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = A . 52 B . 32 C . 1 D . 12选择题参考答案:1-5:BAADC 6-10:BCBCD第10解析:由定义知:因为),(2,4ππθ∈,取3πθ=,n 取1,即可得答案 21 二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.函数xx y 1+=的定义域为________________________. 12.若等比数列}{n a 满足2142=a a ,则=5231a a a _______________. 13.由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据位_______________________.(从小到大排列)(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中xoy 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x (θ为参数,20πθ≤≤)和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y t x (t 为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3,直线PB 与圆O 相切与点B ,D 是弦AC 上的点,DBA PBA ∠=∠,若,A D m A C n ==,则AB = .填空题答案:12:),0()0,1[+∞⋃- (注意,写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x 13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标:)1,2)(2,1(-- 几何证明选做题:mn 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf . (1) 求A 的值;(2) 设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ,58)324(=-πβf ,求)cos(βα+的值. 解:分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ(2):分分分分,由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f 17.(本小题满分13分)某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)60,50,[)70,60,[)80,70,[)90,80,[]100,90.(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示,求数学成绩在[)90,50之外的人数.解(1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为: 人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分60-70段语文成绩的人数为: 人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分70-80段语文成绩的人数为:人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为:分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯90-100段语文成绩的人数为:5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯(3):依题意:50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分 90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18.(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高. (1) 证明:PH ⊥平面ABCD ;(2) 若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF 的体积;(3) 证明:EF ⊥平面PAB .解:(1):A B C DPH PADPAD AB PAD 平面所以平面,面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB ABPH PH AD PH PH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ,垂足为⊥;连接HB,取HB 中点M ,连接EM ,则EM 是BPH ∆的中位线即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分 (3):取AB 中点N ,PA 中点Q ,连接EN ,FN ,EQ ,DQ …………………………………………………………………………………………………………………13分 19.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和n s ,数列{}n s 的前n 项和为{}n T ,满足2*2,n n T S n n N =-∈.(1) 求1a 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式.解:(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分(2)① ②…………………………6分①-②得:122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得:2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分)2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上. (1) 求椭圆1C 的方程;12221223131=⨯⨯=∙∙=-EM S V BCF BCF E22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n(2) 设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切,求直线l 的方程.解:(1):依题意:c=1,…………………………………………………………………………1分则:122+=b a ,…………………………………………………………………………2分 设椭圆方程为:112222=++b y b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入,解得:12=b …………………………………………………………4分所以 211122=+=+=b a 故椭圆方程为:1222=+y x …………………………………………………………………………5分 (2)设所求切线的方程为:m kx y +=……………………………………………6分消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得:1222=-k m ①………………………………………………………8分同理:联立直线方程和抛物线的方程得:消除y 得:04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得:1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得:01224=-+k k 解得:22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去),故 21,21-=-===m k m k 时,当时,当………………………………………………………12分 故切线方程为:222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21. (本小题满分14分)设01a <<,集合{}0A x R x =∈>,{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>,D A B =. (1) 求集合D (用区间表示);(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.解:(1)集合B 解集:令06)1(322=++-a x a x(1):当0<∆时,即:时131<<a ,B 的解集为:}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D(2)当)3(,310舍去时,解得===∆a a 此时,集合B 的二次不等式为:02422>+-x x ,0)1(2>-x ,此时,B 的解集为:}1,{≠∈x R x 且故:),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D(3)当时,0>∆即舍去)3(310><<a a 此时方程的两个根分别为: 很明显,0,31012>><<x x a 时 故此时的综上所述: 当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a (( 当31=a 时,),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 当时131<<a ,)0|{>∈=x R x D (2)极值点,即导函数的值为0的点。

2012广州一模试题及答案(数学文)WORD版

2012广州一模试题及答案(数学文)WORD版

试卷类型:A2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)2012.3本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数y =A .(],1-∞-B .(),1-∞-C .[)1,-+∞D .()1,-+∞2.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为A .2-B .1-C .0D .23.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π,则ω的值为 A .1 B .2 C .4 D .84.在△ABC 中,60ABC ∠=,2AB =,3BC =,在BC 上任取一点D ,使△A B D 为钝角三角形的概率为 A .16B .13C .12D .235.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积...为A3B.C .8 D .126.在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4,则实数t 的值为A .1B .2C .3D .4 7.已知幂函数()22657my m m x -=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为A .3B .2C .2或3D .2-或3-8.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为A .8-B .6-C .6D .89.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.已知圆O :222x y r +=,点()P a b ,(0ab ≠)是圆O 内一点,过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ,直线2l 的方程为20ax by r ++=,那么A .12l l ∥,且2l 与圆O 相离B .12l l ⊥,且2l 与圆O 相切C .12l l ∥,且2l 与圆O 相交D .12l l ⊥,且2l 与圆O 相离二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数,则实数a 的值为 .12.已知集合{}13A x x =≤≤,{}3B x a x a =+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,…,若按此规律继续下去,则5a = ,若145n a =,则n = .(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为5cm ,点P 是弦A B 的中点, 3OP =cm ,弦CD 过点P ,且13C P C D=,则CD 的长为 cm .15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩(s 为参数)和C :22,x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数), 若l 与C 相交于A 、B 两点,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考 试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[)50,40,[)60,50,…,[]100,90后得到如图4的频率分布直方图.(1)求图中实数a 的值;(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数; (3)若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.18.(本小题满分14分)如图5所示,在三棱锥ABC P -中,AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D ,5 121 22 图2 P图4图31AD =,3CD =,2=PD .(1)求三棱锥ABC P -的体积; (2)证明△PBC 为直角三角形.19.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的前n 项和为n S ,若570S =,且2a ,7a ,22a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:1368n T <≤.20.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R . (1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围. 21.(本小题满分14分)已知椭圆2214yx +=的左、右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 两点为顶点,的双曲线.设点P 在第一象限且在曲线C 上,直线A P 与椭圆相交于另一点T .(1)求曲线C 的方程;(2)设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=;(3)设TAB ∆与POB ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且PA PB uu r uurg ≤15,求2212S S -的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共分,满分个,则给3分.11.0 12.[]0,1 13.35,10 14. 15三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tan tan 341tantan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分2==--……………4分 (2)解法1:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ① 因为22sin cos 1αα+=, ② 由①、②解得2cs .………………………………………………………………………………9分所以co-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-.………………………………………………………………………12分解法2:因为3ta n 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分221tan 1tan αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+.……………………………………………………………………………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以1⨯+a+.………………………………………………1分 解得a =.……………………………………………………………………………………………2分(2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=.…………3分由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.⨯=人. …………………………………………………………………5分(3)解:成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人,分别记为A ,B .……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人,分别记为C ,D ,E ,F .…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),A F ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),B F ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共15种.…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内,另一个成绩在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ,则事件M 包含的基本事件有:(),A B ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共7种.……………………11分所以所求概率为()715P M=.…………………………………………………………………………12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以P D ⊥平面ABC .…………………………………………………………………………………2分记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为AB BC =, 所以AC BE ⊥.因为AB BC ==4=AC ,所以2BE =-…4分所以△ABC 的面积12A B C S A C B E ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ,所以三棱锥A P -的体积13P ABC B CV S -∆=⨯⨯142233=⨯=7分 (2)证法1:因为P D ⊥AC ,所以△PCD 为直角三角形.因为2PD =,3CD =,PE所以PC ===9分连接B D ,在Rt △B D E 中, 因为90B E D ∠=o,BE =,1D E =,所以BD ===10分由(1)知P D ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC , 所以P D ⊥BD .在Rt △P B D 中,因为90PD B ∠=o,2PD=,BD =,所以2PB =+12分在PBC∆中,因为BC=PB=PC =,所以2BC +=.………………………………………………………………………………13分所以P∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分证法2:连接B D ,在Rt △B D E 中,因为90B E D ∠=o,BE =,1D E =,所以BD ===8分在△BCD 中,3CD=,BC =BD =,所以222BC BD C D +=,所以BC BD ⊥.………………10分 由(1)知P D ⊥平面ABC , 因为BC ⊂平面ABC , 所以BC PD ⊥. 因为BD PD D = ,所以BC ⊥平面P B D .…………………………………………………………………………………12分 因为PB ⊂平面P B D ,所以BC PB ⊥.所以P∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分BPACDE19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列{}n a 是等差数列,所以()11n a a n =+-,()112n n n S na d -=+.……………………………………………………1分依题意,有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =,4d =.……………………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+(*n ∈N ).…………………………………………………6分 (2)证明:由(1)可得224n S n n =+.……………………………………………………………………7分所以()21124nS n ==++142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.…………………………………………………8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. (10)分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭,所以38n T <.………………………………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=->⎪++⎝⎭,所以数列{}n T 是递增数列.………………………………12分所以n T ≥.………………………………………………………………………………………13分 所以168n T ≤<.…………………………………………………………………………………………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:因为32()f x x ax b=-++,所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭.……………………1分当0a =时,()f x '≤,函数()f x 没有单调递增区间;……………………………………………2分当0a >时,令()0f x '>,得203a x <<.故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭;…………………………………………………………………3分 当0a <时,令()0f x '>,得203a x <<.故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………………………………4分 综上所述,当0a =时,函数()f x 没有单调递增区间;当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭; 当a <时,函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………………5分(2)解:,由(1)知,[]3,4a ∈时,()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭,单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =,……………………………………………………7分函数()f x 在23a x =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………………………8分 由于对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,所以()00,20.3f a f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027ab -<<.……………………………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈,3427ab >-恒成立,所以33m ax44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭.………………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-.……………………………………………………………………14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,1=,即2b =.所以双曲线C 的方程为2214yx -=.……………………………………………………………………3分(2)证法1:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),直线A P 的斜率为k (0k >),则直线A P 的方程为(1)y k x =+,………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理,得()22224240kxk x k +++-=,解得1x =-或2244k x k-=+.所以22244k x k-=+.…………………………………………………………6分理可得,.…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法2:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =), 则111A P y k x =+,221A T y k x =+.…………………………………………………………………………4分因为A Pk k =,所以121211y y x x =++,即()()2212221211y y x x =++.……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上,所以221114y x -=,222214y x +=.即()221141y x =-,()222241y x =-.…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++,即12121111x x x x --=++.……………………………………………………7分所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法3:设点11(,)P x y ,直线A P 的方程为11(1)1y y x x =++,………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理,得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦,解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++.…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++,得11x x =,即211x x =.所以121x x ⋅=.…………………………………………………………………………………………8分(3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =--- ,()111,PB x y =--.因为15PA PB ⋅≤,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.…………………………9分因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤.因为点P是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==,21111||||||22S O B y y ==,所以)()2212S S -=.……………………………11分由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =.设21t x =,则14t <≤,221245S S t t-=--.设()45t tf t =--,则()()()222241t t f t tt-+'=-+=,当12t <<时,()0f t '>,当24t <≤时,()0f t '<, 所以函数()f t 在()1,2上单调递增,在(]2,4上单调递减. 因为()21f =,()()140f f ==, 所以当4t =,即12x =时,()()2212min40SS f -==.……………………………………………12分当2t =,即1x =时,()()2212max21SS f -==.………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1.……………………………………………………………………14分说明:由()222212121254541S S x x x x-=-+≤-=,得()2212max1S S -=,给1分.。

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ABA 1B 1D 1CDC 1P2012年广东高考全真模拟试卷文科数学(一)本试卷共4页,21小题, 满分150分. 考试用时120分钟.参考公式: 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合{}{}29,14M x x N x x =>=-<<,则M N 等于( )A. {}31x x -<<-B.{}34x x <<C. {}13x x -<<D. {}34x x -<< 2.函数44()cos sin f x x x =-是( )A.周期为π的奇函数B.周期为2π的奇函数 C. 周期为π的偶函数 D.非奇非偶函数 3. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减,则实数a 满足的条件是( )A. 8a ≥ B .8a ≤ C .4a ≥ D .4a ≥-4. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =,则数列{}n a 的公比q 的值为( )A. 2B. 3C. 2或-3D. 2或35. 已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =- , 且//a b , 则b = ( ) A.3 B. 5 C. 25 D. 22 6. 曲线3123y x =-在点(5(1,)3-处切线的倾斜角为( )A. 6πB. 4π C. 34π D. 56π7. 给出如下三个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若2x ≥且3y ≥,则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <,则5x y +<”; ③在ABC ∆中,“45A >”是“2sin 2A >”的充要条件。

其中不正确的命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 08. 若圆2266140x y x y +-++=关于直线:l 460ax y +-=对称,则直线l 的斜率是( )A .6B .23C .23-D .32-9. 如图,正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动,并且总是保持 1AP BD ⊥,则动点P 的轨迹是( )A .线段1BC B .线段1BCC .1BB 中点与1CC 中点连成的线段D .BC 中点与11B C 中点连成的线段10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生 成”函数。

给出下列函数: ①x x x f cos sin )(+=;②)cos (sin 2)(x x x f +=;③x x f sin )(=; ④2sin 2)(+=x x f 。

其中“互为生成”函数的是( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。

(一)必做题(11 13题) 11. 一个公司共有1000名员工,现正下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本,已知某部门有200名员工,那么从该部门抽取的工人数是.20()P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.01 0k2.7063.8415.0246.63512.在ABC ∆中,3B π=,且43BA BC ⋅=,则ABC ∆的面积是_____________13.右面是计算3331021+++ 的程序框图,图中的①、②分别是 和_____________.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图,已知Rt ABC ∆的两条直角边AC ,BC 的长分别为3cm ,4cm ,以AC 为直径的圆与AB 交于点D ,则BD = cm .15.(坐标系与参数方程选做题)直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)的弦长为___________三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题共12分)已知函数()4sin()cos f x x x π=- (Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=,求sin θ的值17.(本题满分14分)有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表.优秀 非优秀 总计甲班10 乙班30 合计 105 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27(Ⅰ)请完成上面的列联表;(Ⅱ)根据列联表的数据,若按95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系” .(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.18.(本题12分)如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中, DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点.(1)求证://11D B 面BD A 1;(2)求证:MD AC ⊥;19. (本题满分14分)为赢得2010年广州亚运会的商机,某商家最近进行了新科技产品的市场分析,调查显示,新产品每件成本9万元,售价为30万元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位:万元,030x ≤≤)的平方成正比,已知商品单价降低2万元时,一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?20. (本小题满分14分)已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ,左右顶点分别为A,C 上顶点为B ,过F,B,C三点作P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n .(1) 若FC 是P 的直径,求椭圆的离心率;(2)若P 的圆心在直线0x y +=上,求椭圆的方程.21.(本小题满分14分)设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ,记n D 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为))((*N n n f ∈(1)求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式;(2)记()(1)2n nf n f n T ⋅+=,试比较1n n T T +与的大小;若对于一切的正整数n ,总有m T n ≤成立,求实数m 的取值范围;(3)设n S 为数列{}n b 的前n 项的和,其中)(2n f n b =,问是否存在正整数t n ,,使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立?若存在,求出正整数t n ,;若不存在,说明理由。

2011年广东高考全真模拟试卷文科数学(一)答案一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BC A C C B BD A D选择题参考答案:1.(,3)(3,)M =-∞-⋃+∞,(1,4)N =-,(3,4)M N ⋂=选B2. 44()cos sin cos2f x x x x =-=,选C3. 2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上递减,对称轴为42ax =≥,故8a ≥ 选A 故 4. 由317S a = ,则12317,2a a a a 1+q+q =7++=故,选C5. 由 //a b,224m =-⨯=-,则()()222425b =-+-= ,选C6. 3123y x =-,则'2,1y x k ==则,故倾斜角为4π,选B 7. ①②正确,③错误,选B8. 圆2266140x y x y +-++=关于直线:l 460ax y +-=对称,则直线通过圆心33-(,),故331260,6,2a a k--===-斜率,选D 9. 正方体中,恒有11BD ACB ⊥面,则本题选A 10. ,函数图像在平移的过程中,大小不会发生变化,观察四个表达式只有①④的振幅相同,故选D二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.11.10 12. 6 13. 3i s s +=,1+=i i (顺序不能颠倒) 14.16515.85填空题参考答案: 11.假定抽取人数为x ,则501000200x=,则10x = 12. 由43BA BC ⋅= ,则cos 433ac π⋅=,则83ac =,故113sin 8362322ABC S ac π∆==⋅⋅= 13.略14.由切割线定理,2BC BD BA =⋅,则22161634,5BD BD =⋅+=15.曲线可化为22(1)1x y +-=,圆心到直线的距离04735916d +-==+,则弦长22825l r d =-=三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本题满分12分)本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识,主要考查基本运算能力.已知函数()4sin()cos f x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的最小正周期; 解(Ⅰ)∵()4sin()cos f x x x π=-, 4sin cos 2sin 2x x x ==………3分22T ππ==.....................5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π. (6)(Ⅱ)若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=, 求sin θ的值解:由2()43f πθ+=,∴22sin 2()43πθ+=,…………………7分化简可得1cos 23θ=,…………9分 则2112sin 3θ-=,化简∴21sin 3θ=…………………10分 由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故3sin 3θ=…………………12分17. (本题满分14分)有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表.优秀 非优秀 总计甲班10 乙班30 合计 105 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27(Ⅰ)请完成上面的列联表; 解:(Ⅰ)表格如下(Ⅱ)根据列联表的数据,若按95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系” . 解:根据列联表中的数据,得到2105(10302045)6.109 3.84155503075k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯…………………5分因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”。

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