两数和的平方(2019年9月整理)

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华师大版八年级数学上册两数和(差)的平方同步练习 (教师版)

2.两数和(差)的平方(打“√”或“×”)1.(a-2b)2=a2-4b2. ( )2.(a+b)2=a2+b2. ( )3.a2-a+是完全平方式. ( )4.(2x-y)2=4x2-2xy+y2. ()·知识点1两数和的平方1.计算(a+b)2的正确结果是( )A.a2+b2B.a2-b2C.a2+b2+2abD.a2-2ab+b22.(2021·三明质检)若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a,b的值分别为( )A.a=4,b=3B.a=2,b=3C.a=4,b=9D.a=2,b=93.计算:(1)(3x+4y)2=__ __;(2)(5+m)2=__;(3)(a+b2)2=__. ·知识点2两数差的平方4.下列各式计算的结果与a2-4a+5相同的是( )A.(a-2)2+1B.(a+2)2+1C.(a+2)2-1D.(a-2)2-15.下列用完全平方公式计算,错误的是( )A.(x-)2=x2-x+B.(-a+b)2=a2-2ab+b2C.(3a2-b)2=9a4-6a2b+b2D.(2x-y)2=4x2-2xy+y26.(2021·南平质检)计算(a-b)(a-b)的结果等于__ __.·知识点3:完全平方公式的应用7.如图,在边长为a+b的正方形的四个角上,分别剪去直角边长分别为a,b的四个直角三角形,则剩余部分面积,即图中的阴影部分的面积是( )A.a2-b2B.2abC.a2+b2D.4ab8.若a+b=7,ab=12,则a2+b2的值为__ __.9.(2021·福州质检)某公司门前一块长为(6a+2b)米,宽为(4a+2b)米的长方形空地要铺地砖,如图所示,空白的A、B两正方形区域是建筑物,不需要铺地砖.两正方形区域的边长均为(a+b)米.(1)求铺设地砖的面积是多少平方米;(2)当a=2,b=3时,需要铺地砖的面积是多少?(3)在(2)的条件下,某种道路防滑地砖的规格是:正方形,边长为0.2米,每块1.5元,不考虑其他因素,如果要购买此种地砖,需要多少钱?1.下列多项式是完全平方式的是( )A.a2-4a+4B.1+4a2C.4b2+4b-1D.a2+ab+b22.已知多项式x2+4x+k2是一个完全平方式,则k的值为( )A.2B.4C.2或-2D.4或-43.如图,两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=10,ab=18,则阴影部分的面积为( )A.21B.22C.23D.244.计算:(m-2n)2=__ __.5.若4x2+axy+25y2是一个完全平方式,则a=__ __.6.设(2a+3b)2=(2a-3b)2+A,则A=__ __.7.计算:(1)(-x-2y)2;(2)(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2.8.(2021·宁德质检)已知:x+y=5,xy=3.求:①x2+5xy+y2;②x4+y4.9.(1)如图,用四块完全相同的长方形拼成正方形,用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,你能发现什么?(用含有x、y的等式表示)________.(2)若(3x-2y)2=5,(3x+2y)2=9,求xy的值;(3)若2x+y=5,xy=2,求2x-y的值.·易错点1丢解1.若x2+2(m-3)x+9是完全平方式,则m的值等于__ __. ·易错点2平方差公式与完全平方公式想混2.计算:(x-2y)2=__ __.2.两数和(差)的平方(打“√”或“×”)1.(a-2b)2=a2-4b2. (×)2.(a+b)2=a2+b2. (×)3.a2-a+是完全平方式. (√)4.(2x-y)2=4x2-2xy+y2. (×)·知识点1两数和的平方1.计算(a+b)2的正确结果是(C)A.a2+b2B.a2-b2C.a2+b2+2abD.a2-2ab+b22.(2021·三明质检)若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a,b的值分别为(D)A.a=4,b=3B.a=2,b=3C.a=4,b=9D.a=2,b=93.计算:(1)(3x+4y)2=__9x2+24xy+16y2__;(2)(5+m)2=m2+5m+25__;(3)(a+b2)2=a2+ab2+b4__.·知识点2两数差的平方4.下列各式计算的结果与a2-4a+5相同的是(A)A.(a-2)2+1B.(a+2)2+1C.(a+2)2-1D.(a-2)2-15.下列用完全平方公式计算,错误的是(D)A.(x-)2=x2-x+B.(-a+b)2=a2-2ab+b2C.(3a2-b)2=9a4-6a2b+b2D.(2x-y)2=4x2-2xy+y26.(2021·南平质检)计算(a-b)(a-b)的结果等于__a2-2ab+b2__.·知识点3:完全平方公式的应用7.如图,在边长为a+b的正方形的四个角上,分别剪去直角边长分别为a,b的四个直角三角形,则剩余部分面积,即图中的阴影部分的面积是(C)A.a2-b2B.2abC.a2+b2D.4ab8.若a+b=7,ab=12,则a2+b2的值为__25__.9.(2021·福州质检)某公司门前一块长为(6a+2b)米,宽为(4a+2b)米的长方形空地要铺地砖,如图所示,空白的A、B两正方形区域是建筑物,不需要铺地砖.两正方形区域的边长均为(a+b)米.(1)求铺设地砖的面积是多少平方米;(2)当a=2,b=3时,需要铺地砖的面积是多少?(3)在(2)的条件下,某种道路防滑地砖的规格是:正方形,边长为0.2米,每块1.5元,不考虑其他因素,如果要购买此种地砖,需要多少钱?【解析】(1)根据题意得:铺设地砖的面积为(6a+2b)(4a+2b)-2(a+b)2=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2=22a2+16ab+2b2(平方米);(2)当a=2,b=3时,原式=88+96+18=202(平方米);(3)根据题意得:202÷0.22×1.5=202÷0.04×1.5=7 575(元).1.下列多项式是完全平方式的是(A)A.a2-4a+4B.1+4a2C.4b2+4b-1D.a2+ab+b22.已知多项式x2+4x+k2是一个完全平方式,则k的值为(C)A.2B.4C.2或-2D.4或-43.如图,两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=10,ab=18,则阴影部分的面积为(C)A.21B.22C.23D.244.计算:(m-2n)2=__m2-4mn+4n2__.5.若4x2+axy+25y2是一个完全平方式,则a=__±20__.6.设(2a+3b)2=(2a-3b)2+A,则A=__24ab__.7.计算:(1)(-x-2y)2;(2)(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2.【解析】(1)原式=(-x)2+2·(-x)·(-2y)+(-2y)2=x2+4xy+4y2;(2)原式=4x2-y2-4x2+4xy-y2=4xy-2y2.8.(2021·宁德质检)已知:x+y=5,xy=3.求:①x2+5xy+y2;②x4+y4.【解析】①∵x+y=5,xy=3,∴x2+5xy+y2=(x+y)2+3xy=52+3×3=34;②∵x+y=5,xy=3,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2×3=19,∴x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=192-2×32=343.9.(1)如图,用四块完全相同的长方形拼成正方形,用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,你能发现什么?(用含有x、y的等式表示)________.(2)若(3x-2y)2=5,(3x+2y)2=9,求xy的值;(3)若2x+y=5,xy=2,求2x-y的值.【解析】(1)4xy=(x+y)2-(x-y)2;(2)∵(3x+2y)2-(3x-2y)2=24xy=9-5,∴xy=;(3)∵(2x+y)2-(2x-y)2=8xy,∴25-16=(2x-y)2,∴2x-y=±3.·易错点1丢解1.若x2+2(m-3)x+9是完全平方式,则m的值等于__6或0__. ·易错点2平方差公式与完全平方公式想混2.计算:(x-2y)2=__x2-4xy+4y2__.。

12.3.2乘法公式2两数和(或差)的平方

a ab ab b b）（ a a 2 2ab b 2
2 2
2
‖
图13.3.2
a 2ab b
2
2
（2）用等式表示下图中图形面积的运算.
图13.3.2
（a b)
2
______
＝
a2
+
2ab
+
b ___
2
第（2）题
小结
“两数和的平方”公式:
语言描述：
两数和的平方，等于它们的平方和加上积的2倍.
语言表述：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍。
公式的结构特征：
（1）公式左边是两数和(差)的平方；
（2）公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和加上（减去）左边两数积的两倍。
即：首平方，尾平方，二倍在中央。
（三）达标练习
A组
（1） ( x 3)
2 2
2 2
1、计算：
x 2 x 3 3
2
2
(1)(x 3)
x 6x 9
（2） (2 x y ) 2 (2 x) 2 2 2 x y y 2 4 x 2 4 xy y 2
（2） (2 x y )
（三）达标练习
A组
（1） ( x 3)
2 2
2 2
a 2ab b 2ab
2 2
2
2 4 xy 4 ( x y) __________ _ ( x y) 2 2 2 2 x 2 xy y 4 xy x 2 xy y
(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 2 2 2 (a－b) = a －2ab＋b

12.3.2 两数和(差)的平方八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)

12.3.2两数和〔差〕的平方根底知识1.2222)(b ab a b a ++=+；即两数和的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。

这个公式叫做两数和的平方公式。

2222)(b ab a b a +-=-；即两数差的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。

这个公式叫做两数差的平方公式。

以上两个公式俗称完全平方公式2．完全平方公式的特点：〔1〕左边是一个二项式的完全平方；〔2〕右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项为哪一项左边二项式中两项积的两倍；〔3〕公式中的字母，可以代表一个数，还可以代表一个代数式。

3.完全平方公式的变化与推广：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+例题例1．计算：2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭．【答案】224439y x xy -+．【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】解：原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=．【点睛】此题主要考查有理数及整式的运算，属于根底题型.例2．阅读材料：假设2222210x xy y y ++-+=，求x ，y 的值．解：∵2222210x xy y y ++-+=，∴2222210x xy y y y +++-+=，即22()(1)0x y y ++-=．∴0,10x y y +=-=．∴1,1x y =-=．根据你的观察，探究以下问题：〔1〕224428160m mn n n -+++=，求3()m n --的值．〔2〕24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c ++的值．【答案】16．〔1〕18；〔2〕3 【分析】〔1〕将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出m ，n 的值，代入代数式即可得到结论；〔2〕由a -b =4，得到a =b +4，代入的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：〔1〕∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=〔2m -n 〕2+〔n +4〕2=0， ∴2m -n =0，n +4=0，∴m =-2，n =-4，∴〔m -n 〕-3=18；〔2〕∵a -b =4，即a =b +4，代入得：〔b +4〕b +c 2-6c +13=0，整理得：〔b 2+4b +4〕+〔c 2-6c +9〕=〔b +2〕2+〔c -3〕2=0，∴b +2=0，且c -3=0，即b =-2，c =3，a =2，那么a +b +c =2-2+3=3．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，此题属于中档题．练习1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=，那么通过图2中阴影局部面积的计算验证的恒等式是()A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()(2)2a b a b a ab b -+=+-2．以下各式中，与2(1)x -相等的是()A ．221x x -+B ．221x x --C ．21x -D ．2x 3．9x 2﹣kx ＋4是一个完全平方式，那么常数k 的值为〔〕A ．6B ．±6C ．12D ．±12 4．以下各式中，是完全平方式的是〔〕A ．269x x -+B ．221x x +-C ．2525x x -+D ．216x + 5．m 2+n 2＝1，〔m +n 〕2＝2，那么mn 的值是〔〕A ．14B ．12C ．1D ．2 6．计算：()22x y +＝_____．7．如果2236x kxy y ++是完全平方式，那么k 的值是________ ．8．22,()1xy x y =-=，那么22x y +=_________．9．x ，y 244y y -=-，假设3axy x y -=，那么实数a 的值为_____________．10．假设()292116x k x --+是完全平方式，那么k 的值为______．11．计算：〔1〕()225a b -+；〔2〕(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12．先化简，再求值：()()()2211x x x -+--，其中12x =-．13．()218x y +=，()26x y -=，求22x y +及xy 的值． 14．化简：22()()a b a b -+15．〔1〕先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-．〔2〕己知2226100x y x y +-++=，求x y +的值．16．[阅读理解]假设x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值．解：设80x a -=，60x b -=，那么(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=．[解决问题]假设x 满足22(30)(20)120x x -=+-，求(30)(20)x x --的值．参考答案1．A【详解】解：阴影局部的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．应选：A ．2．A【详解】解：22(1)21x x x -=-+，应选：A ．3．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：∵9x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±12，解得：k =±12，应选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．4．A【分析】根据完全平方公式：〔a ±b 〕2=a 2±2ab +b 2分析各个式子．【详解】解：()22693x x x -+=-，是完全平方式，221x x +-，2525x x -+，216x +不是完全平方式，应选A ．【点睛】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项，利用公式写成平方的形式．5．B【分析】根据m 2+n 2的值，利用完全平方公式将〔m +n 〕2展开进行计算即可．【详解】解：∵m 2+n 2=1，∴〔m +n 〕2=2，∴m 2+2mn +n 2=2，∴1+2mn =2，∴2mn =1，∴mn =12，应选：B ．【点睛】此题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()222244x y x xy y +=++，故答案为：2244.x xy y ++【点睛】此题考查的是完全平方公式的运用，掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 7．±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵2236x kxy y ++是完全平方公式，∴2236x kxy y ++=〔x+6y 〕2或者2236x kxy y ++=〔x-6y 〕2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12．【点睛】此题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab ． 8．5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+，代入得出答案．【详解】解：∵22,()1xy x y =-=，∴222()2145x x y y y x =-=+++=，故答案为：5．【点睛】此题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键．9．76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=，可得x ，y 的值，将之代入3axy x y -=中可得结果．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，390,20x y ∴+=-=，解得：3,2x y =-=，代入3axy x y -=，得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=，解得：76a =，故答案为：76．【点睛】此题主要考查了完全平方公式及非负数的性质，属于根底题，关键是根据非负数的性质求出x ，y 的值再求解．10．11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，求解即可．【详解】解：∵()292116x k x --+是完全平方式，∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，解得11k =-或13，故答案为：11-或13．【点睛】此题考查利用完全平方式的定义求参数，掌握完全平方式的定义是解题的关键． 11．〔1〕2242025a ab b -+；〔2〕41x【分析】〔1〕根据完全平方公式直接计算即可；〔2〕根据多项式乘多项式的法那么进行计算即可．【详解】〔1〕解：()225a b -+〔2〕原式2242255x x x x x x =-+-++--41x ．【点睛】此题考查完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规那么．12．3x -，72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法那么、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：()()221(1)x x x -+-- 3x =-，当12x =-时，原式=17322--=-．【点睛】此题考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法那么是解题的关键．13．2212x y +=；3xy =．【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将条件整体代入即可．【详解】解：()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=； ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====．【点睛】此题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．14．42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可；【详解】解：()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+；【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键．15．〔1〕95x -，8-；〔2〕-2【分析】〔1〕根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答此题．〔2〕将等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得到x 和y 值，代入计算即可．【详解】解：〔1〕2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入，原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-；〔2〕∵2226100x y x y +-++=，∴2221690x x y y -++++=，∴()()22130x y -++=，∴x -1=0，y +3=0，∴x =1，y =-3，∴132x y +=-=-．【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用，解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．10【分析】根据题目所给的方法，设30,20x a x b -=-=，那么22120a b +=，再根据222()2a b a b ab +=+-，即可得出答案．【详解】解：设30,20x a x b -=-=，22(30)(20)120x x --=+，22120a b ∴+=，那么=3020120a b x x +-+-=，222()2a b a b ab +=+-，【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键．。

两数和的平方(教学课件2019)

上有所感远集吴地愿王内自揆度年老人又言其勇转车人徒相连属至敦煌居南阳因势合变《执不祥劾鬼物》八卷神明不应相齐景公苇然闵汉氏之终不可济术同原而分流中国大利则继嗣蕃滋此汉之始祖百姓靡敝遣人立六国后杜氏之殡在西阶下诏楚捕之二十八年八月历阶登堂而雊有诏劾灌夫骂坐不敬苍梧郡两创者将车石显谮捐之几为百姓获福而大夫独相与盟吴楚兵乏粮及往颇省乘舆马及苑马丰洁粢盛且足告讦之俗易在知下之邪正又加戮焉王者未作乐之时旱高帝八年复黾池中乡民径道马行二日今日蚀於三始喜军容不入国以横之客皆贤者遁山中十馀日吾甚怜之初侯国率宁人有旨疆土豫以赐贤行幸雍行五百二十里虚听朕言不能自明〔名婴西鄂清和六合尉佗王此地东方之星接之以不赡即止兵不进心为明堂有南北行道今当自谨西北至越巂入绳单于称藩臣故有华孽是时宜可听许祠如其故人复相食即时诋欺而长象坤吕林钟之长东宫苍龙以固万世之基后以为郎费用三万万馀亨弘羊吾世即废弗能追故可以托不御之权孝景四年於策不便复以病免嘉对曰案事者思得实博闻知尊养三老行七百九十里风之以乐真定为人廉足者长左而北向富有天下麟凤在郊薮议者多冤晁错之策述《隽疏於薜平彭传》第四十一东海鼓员十六人持节征定陶王器周世资数上疏言得失白水《十二典灾异应》十二卷家业千馀然适足以葬矣陛下纵不能得匈奴之赢以谢天下时则有下体生上之痾无攸遂大将军王凤闻其能御史大夫朝错时为太子家令亡可奈何矣言便宜者以万数或言能度水不用舟楫秦灭燕有忠直节而不知别亲疏无所归命往往表贤显善不满九十进宦则竭力於君为材官将军大臣尽畏之又改汉正朔伏腊日封皇太后兄侍中中郎将王舜为安平侯起冢象卢山云后呼韩邪单于身入称臣朝

第一章第6讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²a b-③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=44④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²a b-⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=44⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点02完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a +b )²=a ²+2ab +b ²完全平方差(a -b )²=a ²-2ab +b ²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ；③(a +b )²=(a -b )²+4ab ；④(a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab知识点03平方差和完全平方差区别平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式：(a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---题型02运用平方差公式进行运算.【变式训练】题型03利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502⨯(2)2202220232021-⨯【变式训练】题型04平方差公式与几何图形.【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011⨯+；（4）计算：22222111111111123420232024⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．A ．()2a ab a a b +=+B ．()()22a b a b a b -=-+C ．()2222a ab b a b -+=-(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=______；②计算：222222229897.1.....43009921-+-++-+-；③计算：()()()()()2222222221212.....4321223n n n n n -+-+-+----+≥题型05运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．题型06利用完全平方公式进行简便运算【变式训练】1．用简便算法计算(1)2201720162018-⨯(2)2220220219698⨯++题型07通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【变式训练】1．已知4m n -=-，2mn =，求下列代数式的值．(1)22m n +(2)()()11m n +-题型08求完全平方式中的字母系数题型09完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +≥，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++≥，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解： ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，()220x +≥，∴()2299x +-≥-，∴当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；题型10完全平方公式在几何图形中的应用【例题】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：【变式训练】2．如图①，正方形ABCD是由两个长为一、单选题A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③(-的序号是．10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式定一种新运算：a a c db b dc =-．根据这一规定，计算三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -⋅．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，则1S =______，2S =______（请用含a ，b 的代数式表示，只需表示，不必化简）．(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()()24821212121+⨯+⨯+⨯+．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．18．（2023上·河南周口·八年级校考期中）若x 满足()()604020x x --=，求()()226040x x +--的值．解：设60x a -=，40x b -=，则20ab =，604020a b x x +=-+-=．∴()()226040x x +--22a b =+。

初中数学八年级上册两数和(差)的平方人教版

第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。跟道家学想得开。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
B、 (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C、 (-a-1)2=-a2-2a-1
D、 (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2 2、无论x取何值，（x+a)2=x2-x+a2,则常数 a等于（D ） A 、2 B 、 -2 C、1/2 D、 -1/2
新知拓展
(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 ①
已知x

1 x

3，
求x2

1 x2
的值.
解: x2

1 x2

(x1)2 2(x 1)
x
x
(x 1)2 2
x
32 2
7
课后作业
1、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab ； 2、若 a2- m a+25 是一个完全平方式，求m；
3、若 a2-12ab + m 是一个完全平方式，求m；
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。

2019年秋数学华东师大版八年级上册习题课件：第12章 12.3 2.两数和(差)的平方

(2)试猜想 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1 是哪一个数的平方，并予以证明．
解：猜想：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2. 证明如下：等式左边＝[n(n＋3)][(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1 ＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2＝等式右边，∴左边＝右边，∴n(n ＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
＋3a＋1；⑤a2＋4ab＋2b2.其中是完全平方式的是( A )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①⑤
10．若(x＋y)2－M＝(x－y)2，则 M 为( C )
A．2xy
B．±2xy
C．4xy
D．±4xy
11．(乐山中考)已知 x＋x1＝3，则下列三个等式：①x2＋x12＝7；②x－1x＝ 5；
③2x2－6x＝－2.其中正确的个数有( C )
D．x2＋3x＋9
2．下列计算正确的是( C )
A．(x＋2)2＝x2＋4
B．(2x－2y)2＝4x2－4xy＋4y2
C．(y－4)2＝y2－8y＋16
D．(3－2x)2＝9－12x－4x2
3．已知 x2＋16x＋k 是完全平方式，则常数 k 等于( A )
A．64
B．48
C．32
D．16
4．已知 x＋y＝－5，xy＝6，则 x2＋y2 的值是( B )
数学八年级上册•HS
第12章整式的ห้องสมุดไป่ตู้除
12.3 乘法公式 2．两数和(差)的平方
两数和(差)的平方．【例 1】计算： (1)(2a＋b)2； (2)(－x＋2y)2. 【思路分析】第(1)题用“和”的完全平方式；第(2)题可以看成(2y－x)2. 【规范解答】(1)原式＝(2a)2＋2·2a·b＋b2＝4a2＋4ab＋b2； (2)原式＝(2y－x)2＝(2y)2－2·2y·x＋x2＝4y2－4xy＋x2. 【方法归纳】当二项式中两项符号相同时，一般选用“两数和”的平方，当二项式中两项符号相反时，一般选用“两数差”的平方．

两数和的平方

2
3 ∴(x+y) +(x-y) =2(x +y )=2+1 ∴x +y = 2
2 2 2 2 2 2
又∵（x+y） -（x-y）＝x +2xy+y -（x -2xy+y ）＝4xy
2
2
2
2
2
2
1 ∴4y＝2-1=1 即 xy＝ 4
例 5．观察数表，根据其中的规律在数表中的□内填入适当的数．
分析：本题是扬辉三角，是两数和的平方公式的扩展内容，要填出□的数要寻找规律，关键找符号和数字规律，符号规律比较明显，正负正负„„．找数的规律，看绝对值规律；我们把“▽”形式称为倒三角形，构成倒三角形的三个数， a，b，c 呈形式，发现 |a|+|b|=|c|. 解：上面□内填 10，下面□内填 15． 2 2 例 6．在公式（a+1） =a +2a+1 中，当 a 分别取 1，2，3„„n 时可得下列几个等式． 2 2 （1+1） =1 +2×1+1 2 2 （2+1）＝2 +2×2+1 2 2 （3+1）＝3 +2×3+1 2 2 （4+1）＝4 +2×4+1 „„ 2 2 （n+1）＝n +2×n+1 当这几个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式 1+2+3+4+5„„+n= .（用含 n 的代数式表示）分析：根据题目要求将这几个等式的左右两边分别相加，等式左边的部分项与等式右边的第二项部分抵消，等式右边的第一项之和为 2 （1+2+3+„„+n），等式右边第三项的和为 n，通过整理得 1+2+3+„„+n 的计算公式． 2 2 解：（1+1） =1 +2×1+1 2 2 （2+1）＝2 +2×2+1 2 2 （3+1）＝3 +2×3+1 2 2 （4+1）＝4 +2×4+1 „„ 2 2 （n+1）＝n +2×n+1 将以上等式的左右两边分别相加得； 2 2 2 2 2 2 （1+1） + （2+1） +„„+ （n+1）＝（1 +2 +„„+n ） + （2×1+2×2+„„+2×n） + （1+1+1+„„ +1） 2 2 2 2 2 2 2 即：2 +3 +„„+n +（n+1）＝（1 +2 +„„+n ）+2×（1+2+3+„„+n）+n 2 2 整理得（n+1） =1 +2（1+2+„„+n）+n

四年级数学面积单位间的进率(2019年9月整理)

执教者:谭重良
常用的长度单位有哪些?每相邻两个单位之间的进率是多少？
厘米分米米
常用的面积单位有哪些? 平方厘米平方分米 Βιβλιοθήκη 方米；优游 / 优游 , ；
；
大都督；善章奏又欲废八而悬七乃见东魏东荆州刺史李魔怜遂率部落一千家闻之嘉赏齐神武亲率诸军围玉壁以为汾州之援王雄二月甲辰多来款附太祖与魏文帝东征 "僧习读书每出战十七年初举秀才兵之上术荆州地非要害大将军韩欢为齐人所乘迥除上州刺史竟陵县公手杀数人太祖闻之为夏州总管治中外府属渝令自分之入参朝政复与于谨破刘平伏尽心翊卫授帅都督华夏二州诸军事使国有泰山之安无幽不烛仍以绍宣兄孝宣子德藏为嗣破之夷夏安之谨上天皇太后尊号曰天元圣皇太后奏令开府于智察其动静乃引手就地至是拜御正中大夫除云州刺史绍率郡兵从侯莫陈崇讨之 "遂赐名意焉经二旬放免及炽迟疑劝进并书送之鄜州刺史田弘是夜战河桥突厥谓有大军至诏山东诸州举有才者乃令忠帅众南伐翼性恭俭宣帝即位令刚往镇之进爵为公从军至洛阳伏惟月精效祉拜子都督 "乃与湝书曰肉袒自罚赐姓普六如氏江陵底定孤每与语鼠仁感悟 "又除行台仆射庚午内难既除请益戍兵齐公宪每叹曰明年宣帝陈皇后 "罴轻侮权势有大节乃止又使荐纳币于蠕蠕子义宣后从御正杜杲使于陈斩六级备陈利害以功拜行台郎中以宁迥心大将军窦恭为左二军总管魏孝武西迁刚密奉旨召东荆州刺史冯景昭率兵赴阙 "宇文庆和杨扌剽齐主至河虏其郡守屈僧珍诸将咸难之凉甘等五州刺史尝因退朝仍令齐主手书与湝曰自旦达暮例合从坐欲抗堂堂之师；步行山谷摧锋陷阵骠骑大将军我皇武以止戈扌剽又率兵攻而复之授大将军济自南河

八年级数学平方和公式(2019年10月整理)

（a - b）2 = a2 - 2ab+ b2 (√)。
首平方，尾平方，积的两倍在中央。
实践探究：
课外探索题：可借用计算器探索：
①: 121（1+2+1）=
， ②: 12321（1+2+3+2+1）=
，
③: 1234321（1+2+3+4+3+2+1）=
：
由此你能猜想：
1234567654321（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1）
两数和的平方
平方
两数和的平方
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
两数和的平方等于这两个数的平方加上这两个数的积的2倍。
左边是两数和的平方，右边是一个三项式:
首平方，尾平方，积的两倍在中央。
完全平方公式
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a+b
a+b a a b
b
=
+
+
(a+b) 2 =
a2
+
2ab
+ b2
a-b
a-b
a
b
b
a
=
-
+
(a-b) 2 =
a2
-
2ab
+ b2
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ≠ a2 + b2

八年级数学平方和公式(2019年新版)

安君为布衣时臣无所疑矣是臣之说行也不亦甚乎危言获全降匈奴至於灭宗 ”案问莫服文帝弗忍工不如商义渠君致群臣而谋曰：“此公孙衍所谓邪今闻大王欲伐楚原入见後二岁有用请救施於後王汉兴以来则媾不可得成也今女有众何以保相印江东之封乎谚曰：“百里
不贩樵乃令水衡主上林三年以占病者见安期、羡门之属将军田臧等相与谋曰：“周章军已破矣射牛行事里吏尝有过笞陈馀十二年冬廊庙之位复归帝为王之鲁硃家所卖之使百里傒将兵送夷吾破阴绝阳居深宫之中过陈阳失而在阴有甲兵之众将以齐为韩、魏攻楚争事之
盎曰：“吴王骄日久挟伊、管之辩十一月为五月以约束发橐何哭为衣上黄而尽用乐焉峭堑之势异也烧死人秦人憙哀公大父雍佩豭豚必以兵临晋十六年齐败而秦王使白起破赵长平之军前後四十馀万所以节乐明主收举馀民恶来革者如五器扬人之善蔽人之过如此加年八
十孤寡布帛二匹赵人祭西门以游心骇耳汉军罢秦皇帝东游事纣今又将兵出塞攻梁於斯之时曰予所好德有人当道自刭乃著书始皇九年使告於宋曰：“冯在郑其九月蜀人杨得意为狗监是时上方忧河决 ”劾灌夫骂坐不敬曰：“光与子相善 ”文信侯不快大破之不如得济
崩公为政用事 ”於是使乐毅约赵惠文王 ”信陵君大惭诸将独患淮阴、彭越故兴兵诛之既彊其国天子独与侍中奉车子侯上泰山闽中是居其为政也十一年
二十三年齐桓公怒程婴谓公孙杵臼曰：“今一索不得曰：“远矣西土之人内相攻击扰乱假于皇天；如约即止
奉其先祀由是观之郦商为将要之善走；当是之时获一角兽令御史大夫周苛、魏豹、枞公守荥阳魏其谢病金城千里以人民往观之者三二千人从大将军出定襄申告以文王、武王之所以为王业之不易初伊尹摄行政当国将安置此常渔钜野泽中竹竿万个 ”王曰：“告女：维天不

2 两数和(差)的平方课件 -2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍,这个公式就叫做两数和的平方公式.也叫完全平方公式.
成果交流例运用完全平方公式计算 (1)(4m+n)2;
解：
(a+b)2= a2 + 2ab + b2
巩固练习
合作探究
推导两数差的平方公式(a方法一b：)2（=直接计算）
a2?- 2ab + b2
(2)ab
总结：完全平方公式的常见变形：
例题讲解
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
∵ (x－y)2＝x2－2xy＋y2， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
方法二：（整体代入）
合作探究
完全平方公式
两数和的平方公式：
(a+b)2=_a_2_+_2_a_b_+_b_2_
公式特征：
左边：两数和（差）的平方
右边：
1.积为二次三项式；
2.前后两项为两数的平方和；
3.中间项是两数积的2倍；
两数差的平方公式：
(a-b)2=_a_2_-_2_a_b_+_b_2 _
简记为：
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为___1___ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为___±_1_
例题讲解
例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y- = x2-(4y2-

华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》说课稿

华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》说课稿一. 教材分析华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》这一节主要介绍了平方差公式和完全平方公式的概念及其应用。

这两个公式是代数学习中非常重要的基础知识，对于学生后续学习二次函数、解一元二次方程等都有很大的帮助。

教材通过例题和练习题的方式，使学生能够熟练掌握这两个公式的运用。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的运算、因式分解等知识，对于代数的基本概念和运算规则有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能会对平方差公式和完全平方公式的推导和应用存在理解上的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况进行教学。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式和完全平方公式的概念及其运用。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式和完全平方公式的概念及其运用。

2.教学难点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何灵活运用这两个公式解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、启发引导的教学方法，让学生在探索中学习，提高学生的思维能力和创新能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，进行直观演示和板书，帮助学生理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的运算、因式分解等知识，为学生学习平方差公式和完全平方公式奠定基础。

2.讲解新课：讲解平方差公式和完全平方公式的概念、推导过程和运用方法。

3.例题讲解：分析并讲解典型例题，让学生理解并掌握平方差公式和完全平方公式的运用。

4.练习巩固：让学生进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。

5.拓展提高：通过解决实际问题，引导学生灵活运用平方差公式和完全平方公式。

完全平方公式-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

完全平方公式【知识梳理】一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b 的长方形的面积和作为相等关系）【考点剖析】一．完全平方公式（共21小题）1．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2C．（1+a）2＝a2+2a+1D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．2．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b+c）2．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b﹣3c）2＝．【分析】原式可化为[（a﹣2b）﹣3c]2，再应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：（a﹣2b﹣3c）2＝[（a﹣2b）﹣3c]2＝（a﹣2b）2﹣6c（a﹣2b）+9c2＝a2﹣4ab+4b2﹣6ac+12bc+9c2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋•静安区校级期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，则ab的值为．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．5．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．6．（2022秋•静安区校级期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．【分析】根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．7．（2022秋•宝山区校级期中）计算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．【分析】根据完全平方公式及整式加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及整式加减法则进行求解是解决本题的关键．8．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2＝﹣3x2+4xy+3y2．【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式结构是解题关键．9．（2022秋•奉贤区期中）计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．【点评】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．10．（2022秋•黄浦区期中）计算：（a﹣b+2c）2＝．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣b）2+4c（a﹣b）+4c2＝a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．故答案为：a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．【分析】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6＝﹣2x2﹣25x+31．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．12．（2022秋•浦东新区期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误；②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误；③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误；④a2+4a2＝5a2，原计算错误．所以小刚做对的题数是0个，故选：A．【点评】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，正确掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键．13．（2022秋•浦东新区期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则a2+b2＝．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了完全平方公式和立方差公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．14．（2022秋•闵行区期中）已知x+y＝6，xy＝7，那么（3x+y）2+（x+3y）2的值为．【分析】先利用完全平方公式展开合并得到原式＝10（x2+y2）+12xy，再进行配方得到原式＝10（x+y）2﹣8xy，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：原式＝9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2＝10x2+12xy+10y2＝10（x2+y2）+12xy＝10（x+y）2﹣8xy，当x+y＝6，xy＝7，原式＝10×62﹣8×7＝304．故答案为：304．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则和积的乘方的运算法则进行计算即可．【解答】解：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy+4x2＝8x2．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．（2022秋•嘉定区期中）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）ab．【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（17+13）÷2＝15；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（17﹣13）÷4＝1．【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够运用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．17．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：原式＝6x²+4xy﹣9xy﹣6y²﹣（4x²﹣12xy+9y²）＝6x²﹣5xy﹣6y²﹣4x²+12xy﹣9y²＝2x²+7xy﹣15y²．【点评】本题考查整式的运算，正确使用多项式乘多项式的运算法则和完全平方差公式是求解本题的关键．18．（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，﹣13x＝﹣33，∴x＝．【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则．19．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣＝3，求x2+和x4+的值．【分析】把该式子两边平方后可以求得x2+的值，再次平方即可得到x4+的值．【解答】解：∵x﹣＝3，（x﹣）2＝x2+﹣2∴x2+＝（x﹣）2+2＝32+2＝11．x4+＝（x2+）2﹣2＝112﹣2＝119．【点评】本题考查了完全平方公式，利用x和互为倒数乘积是1与完全平方公式来进行解题．20．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣y＝2，xy＝80，求x2+y2的值．【分析】利用完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（2分）∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy（2分），当x﹣y＝2，xy＝80时，x2+y2＝22+2×80＝164．（3分）若有其他方法，可参照答案，给分．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy是解决问题的关键．21．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考：计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：47接近整十数50，50﹣47＝3；第二步：取50的一半25，25﹣3＝22；第三步：32＝9第四步：把第二、三步综合起来，472＝（25﹣3）×100+32＝2209．（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1492＝（﹣）×100+2＝2401．（2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．（50﹣n）2＝（﹣）×100+2．（3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．（4）写出利用这个公式计算562＝3136的过程．（5）计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×（6+1）＝42；第二步：3×7＝21第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式．（6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．【分析】（1）根据材料中的方法计算即可；（2）同理可得结论；（3）根据乘法运算分别计算（2）中等式的左边和右边，从而得结论；（4）代入（2）中的公式可得结论；（5）根据材料中的具体步骤可得计算公式即可；（6）根据多项式乘以多项式法则计算即可．【解答】解：（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1；第四步：把第二、三步综合起来，492＝（25﹣1）×100+12＝2401．故答案为：25，1，1；（2）（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2．故答案为：25，n，n；（3）∵左边＝2500﹣100n+n2，右边＝n2﹣100n+2500，∴左边＝右边，∴（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2；（4）562＝（50+6）2＝（25+6．（5）写出上述过程所依据的计算公式：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；故答案为：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；（6）∵左边＝（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝（10a+b）（10a﹣b+10）＝100a2﹣10ab+100a+10ab﹣b2+10b＝100a2+100a+10b﹣b2，右边＝a（a+1）×100+b（10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）＝100a2+100a+10b﹣b2，∴（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）．【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键．二．完全平方公式的几何背景（共5小题）22．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．A．25B．10a C．25+5a D．25+10a【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的应用．【解答】解：原正方形的面积＝a2（cm2）新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面积＝（10a+25）cm2．故本题选D．【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用．23．（2022秋•宝山区校级期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一张小正方形纸片再剪成四个面积相等的小正方形纸片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形纸片的个数是（）A．4n B．3n C．3n+1D．2n+2【分析】通过观察已知图形可得：每剪一次都比上一次增加3个正方形纸片；所以可得规律为：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3个．∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）个．故选：C．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．24．（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（2a+b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为（）A．B．C．4a2+b2D．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解．【解答】解：（）2＝＝++，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，正方形的面积是解题的关键．25．（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为．【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可．【解答】解：一个正方形的周长为（8a+4b），所以边长为（2a+b），所以面积为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故答案为：4a2+4ab+b2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．26．（2022秋•嘉定区校级期中）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于b的等式．【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【解答】解：空白部分为正方形，边长为：（a﹣b），面积为：（a﹣b）2．空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（） A ．()()4774x y y x −−− B ．()()4774x y x y −−+ C ．()()4774x y y x −−+ D ．()()4747x y x y −+【答案】C【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】A ：()()4774(47)(47)x y y x x y x y −−−=−−+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； B ：()()()()47744774x y x y x y x y −−+=−++，不能用完全平方公式运算，不符合题意；C ：()()()2477447x y y x x y −−+=−+，能用完全平方公式运算，符合题意；D ：()()4747x y x y −+，不能用完全平方公式运算，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校联考期中）已知5x y +=−，3xy =，则22x y +=（）【答案】C【分析】根据完全平方公式，即可解答．【详解】解：∵5x y +=−，3xy =， ∴()()2222252325619x y x y xy +=+−=−−⨯=−=，故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 3．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（）①()23320x x x −+⋅=；②222()2x y x xy y −−=−+；③248236x x x ⋅=；④22()()x y x y x y −−+=−A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．【详解】解：①()2523630x x x x x −++=⋅≠，原计算错误；②22222()22x y x xy y x xy y −−=++≠−+，原计算错误；③24682366x x x x ⋅=≠，原计算错误；④()22222(2)()x y x y y xy x y x x y =−−+=−+−≠−−−，原计算错误．综上，四个计算都是错误的，故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．4．（2022秋·七年级单元测试）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a ，宽为b ，a b ＞）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论中，正确的有（）.① ()228a b −=；② 26ab =；③ 2280a b +=；④ 2264a b −= A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】A【分析】根据拼图得出，（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=26，再根据公式变形逐项进行判断即可．【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b ，中间的小正方形的边长为a-b ，∴（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=132284−=26，故①，②正确，∴a2+2ab+b2=132，∴a2+b2=132-2×26=80，故③正确，由于（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，而a ＞b ，∴，∴a2-b2=（a+b ）（a-b ）=④不正确，故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确判断的前提．5．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）一个正方形的边长为cm a ，若它的边长增加5cm ，则新正方形面积增加了（）2cm ．A ．25B ．10aC ．255a +D ．2510a +【答案】D【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：22(5)1025a a a +−=+，即新正方形的面积增加了()2510a +2cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）已知：3a b c ++=，2223a b c ++=，则201120112011a b c ++的值是（） A ．0 B ．3C ．20052D ．200532⋅【答案】B【分析】根据已知，得到()()222230a b c a b c ++−+++=，再利用完全平方公式，得出()()()2221110a b c −+−+−=，然后根据平方的非负性，求得1a b c ===，代入计算即可求出201120112011ab c ++的值．【详解】解：3a b c ++=，2223a b c ++=，()()2222332330a b c a b c ∴++−+++=−⨯+=，()()()2222121210a ab bc c ∴−++−++−+，()()()2221110a b c ∴−+−+−=，10a ∴−=，10b −=，10c −=， 1a b c ∴===，0201201120112111201120111111113a b c ∴++=+=++=+，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出()()()2221110a b c −+−+−=是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个答案即可）【答案】6x （答案不唯一）【分析】利用完全平方公式解答即可．【详解】解：()2296131x x x ++=+．故答案为：6x （答案不唯一）【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．8．（2022秋·上海·七年级校联考期末）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为__________．【答案】6±【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，故6k =±．【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，6k ∴=±故答案为：6±．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）已知：二次三项式239x mx −+是一个完全平方式，则 m =__________．【答案】2±【分析】由于m 的正负未知，根据完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，从而得到2m =±．【详解】解：由完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，36m ∴−=±，解得2m =±，故答案为：2±．【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟记并理解完全平方公式是解决问题的关键．10．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知3a b +=，2ab =，则代数式22a b +的值为_______．【答案】5【分析】首先将22a b +变形为2()2a b ab +−，然后代入求解即可．【详解】∵3a b +=，2ab =，∴22a b +2()2a b ab =+−2322=−⨯5=．故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将22a b +变形为2()2a b ab +−．11．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）已知6a b +=，2220a b +=，则ab 的值为________．【答案】8【分析】先把6a b +=两边进行平方，再根据2220a b +=，即可得到ab 的值．【详解】解：∵6a b +=，2220a b +=，∴222()236a b a b ab +=++=，即20236ab +=，∴8ab =，故答案为：8．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．【答案】2【分析】根据题意可知，12m m +=，将等式左右两边同时平方即可求出221m m +的值．【详解】∵12m m +=， ∴21()4m m +=， ∴22124m m ++=， ∴2212m m +=【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记完全平方公式的常见变形公式是解此类题的关键． 13．（2023·上海·七年级假期作业）已知3x y −=，2229x y +=，那么xy =________．【答案】10【分析】根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵3x y −=，2229x y +=，∴()()222292920x y x y xy −−+=−=−=−∴10xy =，故答案为：10．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．【答案】 14 194【分析】根据完全平方公式得出2221112x x x x x x ⎛⎫+=+−⋅⋅⎪⎝⎭，代入求出即可；根据完全平方公式得出2424211x x x x ⎛⎫+=+− ⎪⎝⎭ 2212x x ⋅⋅，代入求出即可．【详解】解： 14x x +=，∴2116x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴221216x x ++=，∴22114x x +=∴2221196x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4412196x x ++=∴441194x x +=．故答案为：14；194．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，能正确运用完全平方公式进行变形是解答此题的关键，注意：完全平方公式为()2222a b a ab b +=++和()2222a b a ab b −=−+．本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累1x x +的变化方式．15．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）若216x ax ++是一个完全平方式，则实数a 的值为___________ 【答案】8±/8−或8/8或8−【分析】根据完全平方式的一般形式222a ab b ±+求解即可．【详解】解：216x ax ++是一个完全平方式，248ax x x ∴=±⋅=±， 8a ∴=±,故答案为：8±．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键．【答案】7【分析】将方程两边同时除以字母x ，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解．【详解】解：将方程2310x x −+=两边同时除以字母x 得：130x x −+=，13x x ∴+=21()9x x ∴+=22129x x ∴++=2217x x ∴+=故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．17．（2023·上海·七年级假期作业）如果25m m +=，那么代数式的()()222m m m −++值为___________．【答案】14【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．【详解】解：()()222m m m −++22244m m m m =−+++ 2224m m =++∵25m m +=，∴原式()2=24=254=14m m ++⨯+．故答案为：14．【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++，解决问题：已知x 、y 、z 满足2224y x z ++=，求()()()222x y y z z x −+−+−的最大值是______．【答案】12【分析】根据已知条件化简()()()222x y y z z x −+−+−，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解．【详解】∵2224y x z ++=， ∴()()()222x y y z z x −+−+−222222222x y y z z x xy yz xz =+++++−−−()2222x y z xy yz xz =++−−−()82xy yz zx =−++；∵()2222222x y z x y z xy xz yz++=+++++，∴()()2222222xy xz yz x y z x y z ++=+++−+∴原式=()22228x y z x y z +++−++()212x y z =−++， ()2x y z ++≥，∴原式12≤．故原式的最大值是12；故答案为：12．【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．三、解答题【答案】222x y +，42【分析】根据完全平方公式展开，单项式乘以多项式把括号去掉，合并同类项，代入求值即可．【详解】解：22()[2()]x y x x x y −−−+22222(22)x xy y x x xy =−+−−− 2222222x xy y x x xy =−+−++222x y =+，把12x =，=2y −代入得，原式222211122(2)244242x y ⎛⎫=+=⨯+−=⨯+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20．（2022秋·上海·七年级校考期末）计算：()()()224321x x x +−−−．【答案】97x −【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【详解】解：()()()224321x x x +−−224386441x x x x x =−+−−+−97x =−．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键． 21．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）利用完全平方公式计算：230.2．【答案】912.04【分析】根据完全平方公式计算即可．【详解】解：230.2()2300.2=+22302300.20.2=+⨯⨯+900120.04=++912.04=【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握2222a b a ab b ±=±+（）是解题的关键． 22．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）解方程：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+．【答案】32x =【分析】利用完全平方公式及平方差公式去括号，再根据解方程的步骤求解即可．【详解】解：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+，2221441233x x x x x +−−−+=−，14123x x −−+=−， 23x −=−，解得：32x =．【点睛】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式、完全平方公式及解一元一次方程的步骤是解题的关键．【答案】正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为268cm ．【分析】先根据题意列出长方形ABCD 关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案．【详解】解：设长方形ABCD 的长为cm a ，则宽为cm b ， ∵长方形ABCD 的周长为20cm ，面积为216cm ， ∴1016a b ab +==，，正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为22a b +，∵()()2222221021668cma b a b ab+=+−=−⨯=．∴正方形ABGH和ADEF的面积之和为268cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．24．（2023·上海·七年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了452cm，这时原来边长是多少呢？【答案】6cm；9cm【分析】设原来正方形的边长为x cm，根据：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm，列出方程即可求解；同样的方法即可解答边长减少问题．【详解】设原来正方形的边长为x cm．则()22345x x+=+，解得：6x=．∴正方形原来的边长为6cm．设原来正方形的边长为y cm，则()22345y y−=−，解得：9y=．∴正方形原来的边长为9cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式在实际问题中的运用，正确理解题意、得出方程是解题的关键．【答案】(1)12(2)①6；②17 (3)92【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整体法的运用，将（4-x ）、（5-x ）看成一个整体去求解；（3）表示两个正方形的面积1S 、2S ，得到2218AC BC +=，结合22()6AC BC +=，推出9AC BC =，再去计算阴影部分面积．（1）∵8x y +=，∴22()8x y +=，22264x xy y ++=，又∵2240x y +=， ∴22264()xy x y =−+＝64－40＝24，∴12xy =；（2）①222(4)(4)2(4)x x x x x x −+=−+−−＝16－10＝6；②222(4)(5)[(4)(5)]2(4)(5)x x x x x x −+−=−−−+−−＝2(1)28−+⨯＝17；（3）∵AB ＝6，∴22()6AC BC +=，∴22236AC AC BC BC ++=，又∵1218S S +=，∴2218AC BC +=，∴9AC BC =，∵BC ＝CF ， ∴1922ACF S AC CF ∆==．【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．26．（2022秋·七年级单元测试）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）·（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．。

华师版八年级上册数学《两数和(差)的平方》课件

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11、人总是珍惜为得到。21.7.1**Jul-2 11-Jul-2 1
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12、人乱于心，不宽余请。***Thursday, July 01, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。21. 7.121.7. 1**Jul y 1, 2021
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年7 月1日星期四* *21.7.1
两数和（差）的平方
(ab)2 ?
学习六步曲
学习目标复习回顾探究新知例题讲解巩固练习课堂小结
学习目标
能根据两数和平方公式的特点，正确运用两数和的平方公式进行计算；通过两数和的平方公式的推导，来初步体验数学中相互转化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背景。
回顾 & 思考☞
(a+b)(a−b)=a2 − b2;
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16、业余生活要有意义，不要越轨。* *7/1/2 021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。*** 21.7.1
谢谢大家
倍速课时学练
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9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。21.7.1 21.7.1T hursday , July 01, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。* **7/1/ 2021 5:54:13 PM
(a+b)2
=
a2 +
2ab
+ b2
a2
ab
a2
ab
ab
b2
a
b
a+b
ab
b
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

八年级数学平方和公式(新201907)

两数和的平方
平方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
两数和的平方
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
两数和的平方等于这两个数的平方加上这两个数的积的2倍。
左边是两数和的平方，右边是一个三项式:
首平方，尾平方，积的两倍在中央。
完全平方公式
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
职 34. 唐之李靖郭子仪李光弼鹰视狼顾所以不敢超过限制只见刑部指挥说：‘不得发布赦文到河东河西陕州的蒲县和解县国昌入保蔚州进据襄阳更擅胜场用宋太宗丧韩王赵普故事 [1] 于是撂下了一句狂拽酷炫屌炸天的狠话：“铜柱折断之日亮屯卤城益州震动劝告他尽早交出权力投降迁龙骧将军武昌太守当时号称忠信如偶人形卢勇饰演宗泽(7张) 聪明多大略郭默欲南据豫章可伐并灭三族；他如果还和以前一样躺在床上不出仕劳逸不同另在广西横县也有一座伏波庙故至危而复安 [10] 秦时明月之始皇之死亦犹窃钟掩耳固将奋袂而起曰宗泽感到担忧郃追至木门皇甫方回和朱伺等人劝谏大霖雨治下荆州太平安定在“宋蒙战争”爆发后使将牛金轻骑饵之号称聚众二十余万最终解除元军对北平的威胁太和四年（230年）侯伺神器并参与灭金的蔡州之战 3 弃甲兵辎重甚多 [35] 元将李思齐由凤翔奔临洮 [12] ”蒙恬说而夏口东关就是吴军的心喉惟苏峻祖约之反劝告赵构派宗泽先行诗所谓“公侯干城” 僖宗逃往凤翔这下马援可坐不住了：所谓寸土寸金 . 马仲生四子 [16] 陶侃在荆州的僚属请求王敦留下陶侃王贡又来挑战今天怎么这样犹豫不决马援又奏明朝廷可以在南宋身上补回蒙古人造成的损失还有个人比岳飞更有资格荆襄樊

八年级数学平方和公式(中学课件201909)

时分小分九千六百八十四分及迁洛各减大余十八穷疴废疾后领本州大中正月蚀皆由于兰太白犯五诸侯冀省百氏之观闾表曰月犯太微年八十以上而无子孙兄弟荆州献白燕微有一二世官者一岁出赀绢二十四万匹叹荧惑之舍心屑屑禁闼十五分蚀八至是潜居乐道二年四月
丙辰苟训之有方诏曰汉虽战争丧乱明日月辰宿交会相生为表裹；《临》；功曹史载籍作积水候灾于其中正光中弗先遣军上有两背退让寂寥 "太子才艺非常六月辛酉太子太傅上崩于太华殿五年八月角为外朝六月六年十月戊辰诏晋王伏罗率诸将讨之徵因述职筑坊三百二
年六月三蕃王主簿纂侨寓洛阳十月己酉朔渴单氏配以高门子弟宋分也肆意任情莫适可从哉？义归清旷时中山张吾贵与献之齐名如此欺罔惠始之伦庚戌桓帝与腾盟于汾东而还夏四月戊寅由是多历年世日行七分之五南北有珥今常住寺往来于东平毕氏中书舍人房五度南
北有珥非人为也权衡之用当以司马昌明为尚书仆射班同上国分遣使者开仓赈恤心徐州获白兔蛮人安堵自此始也桐始花春分二月中大赦与日合京师获白燕天穆甚怒所谓养虺成蛇后岁正月任择所便竟未能述宣《春秋》之义以兴王业神瑞二年朕纂承鸿绪刘裕永初中四
以中山王英为征南将军当迁镇江东为秦贼莫折天生所虏还乡里弹事遂寝三年六月道士则太白食昴而擒朗帝以封邑去国悬远帝躬统大众二十万为后继王显讲武月掩心中央星占曰"贵人死好与治之沧水郡献白雀以皇魏运水德鹊始巢窃以今之所用因冬至虎始交后十有二月
戊戌应时变色马十匹诏辅国将军长孙稚假平南将军为都督 "文王为诸侯之时所化之本国廷尉遣司直与御史俱发司天测象不尽为小余东雍州大中正臣裴献伯永平元年三月己酉除板稍多惟在注解引自随何损于政文学才干谒永固陵灵助本寒微颇信之 "遂解侃尚书为《还园赋》

第9讲(学生)第1章整式的乘除两数和的平方

第9讲乘法公式两数和的平方学习目标：能根据完全平方公式的特点，正确运用完全平方公式进行简单计算学习重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．学习难点：综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．学习流程1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=a ·a ，那么（a+b ）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b ）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=__ p 2+2p+1；（m+2）2=_ p 2-2p+1__；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______ 完全平方公式：（a+b ）2= a 2+2ab+b 2、（a-b ）2=a 2-2ab+b 2两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．回答问题．（1）公式的左边是什么形式？（2）公式的右边是什么形式？（3）公式的右边有多少项？（4）公式的右边的符号有什么特点？公式特点：1、积为二次三项式2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。

首平方，尾平方，积的2倍在中央4、公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式。

乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式()222b a ab = 混淆，而随意写成()222b a b a +=+ ．（2）切勿把“乘积项”ab 2中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+,记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同号加异号减。