高中数学1-1(文)第二章圆锥曲线与方程学案2.1.1椭圆及其标准方程

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选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)

高三数学复习学案
北大附中广州实验学校
王生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用（2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3．（2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9

(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.1.1

满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢？ [提示] 到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹是椭圆．
数学选修1-1
第二章圆锥曲线与方程
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
椭圆的定义
定义焦点
平面内与两个定点F1，F2的_距__离__之__和__等__于__定__值___( 大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆两个_定__点___叫做椭圆的焦点
第二章圆锥曲线与方程
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4．已知椭圆的焦点在 x 轴上，且焦距为 4，P 为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程； (2)若△PF1F2 的面积为 2 3，求 P 点坐标．
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解析： (1)由题意知，2c＝4，c＝2. 且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，即 2a＝8， ∴a＝4. ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在 x 轴上， ∴椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
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第二章圆锥曲线与方程
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(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.
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第二章圆锥曲线与方程

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程导学案新人教A版选修1-1(202

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椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆的过程和其标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程．重点:椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．难点：椭圆标准方程的建立和推导．方法：合作探究一新知导学椭圆的定义1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为____________________，那么平面内到两定点距离的和（或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？2．平面内与两个定点F1、F2的距离的________等于常数（大于|F1F2｜）的点的轨迹（或集合）,叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，__________间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于｜F1 F2|时轨迹为____________，当常数小于｜ F1 F2｜时，轨迹__________．牛刀小试11．已知F1、F2是两点,｜F1F2|＝8,1）动点M满足｜MF1｜＋|MF2｜＝10，则点M的轨迹是______________.2）动点M满足|MF1|＋｜MF2|＝8，则点M的轨迹是____________。

人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用

选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》§2.1.1 椭圆及其标准方程【知识要点】● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12FF >）的点的轨迹．● 标准方程：（1）()222210x y a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；（2）()222210y x a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．【例题精讲】【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．【基础达标】1．椭圆221259x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102．椭圆2211312x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（） A ．26 B ．24 C ．2 D ．2133．已知 F 1，F 2是椭圆221259x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（）A ．10B ．16C ．20D ．324．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为（）A ．2212012x y += B ．22140036x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=5．椭圆2214x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．166．椭圆221169x y +=的焦距是，焦点坐标为． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点()533，-的椭圆方程是．1～5 ADCCA【能力提高】8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b =3，焦点在x 轴；（2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【知识要点】● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．【例题精讲】【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．【例 3】椭圆22110036x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．【例 4】设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．【基础达标】1．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345，则P 点到椭圆左焦点的距离是（） A ．165 B ．665 C ．758D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则 m =（）A ．3B ．32 C ．83 D ．233．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（）A ．221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（）A ．14 B ．22 C ．24D ．12 6．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于． 7．离心率12e =，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为．1～5 BBDDD【能力提高】8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169x y+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e=，短轴长为85，求椭圆的方程．10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该卫星与地球的最近距离．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．【例题精讲】【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率255e =，求这个椭圆的方程．【例 3】已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．【例 4】如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F PF +45++P F P F67+P F P F = ．【基础达标】1．椭圆22110036x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（） A ．15 B ．12 C ．10 D ．82．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长为（）A ．10B ．20C ．241D ．4413．椭圆221259x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的面积为（） A ．9 B ．12 C ．10 D ．84．椭圆221164x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（） A ．3 B ．11 C ．22 D ．105．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=06．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是． 7．离心率53e =，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是． F1～5 DDBAD 【能力提高】8．已知椭圆22194x y+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标．9．过椭圆22194x y+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．10．椭圆221164x y+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为14-．求证22OP OQ+为定值．§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．【例题精讲】【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()13,42P -、29,54P ⎛⎫⎪⎝⎭在此双曲线上，求双曲线的标准方程．【例 3】点 A 位于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【基础达标】1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关2．椭圆222+134x y n =和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．93．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22221x y a b-=有（） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点4．过双曲线221169x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（）A ．1B ．55C ．2D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是．7．方程22+111x y k k=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是．1～5 CBDAB【能力提高】8．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．10．已知点()3,0A -和()3,0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）【知识要点】● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．【例题精讲】【例 1】求双曲线2214y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．【例 3】求与双曲线221169x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =12sin A ，求点 A 的轨迹．【基础达标】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（）A ．221164x y -= B ．221416x y -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（）A ．()0m n ±-，B ．()0n m ±-，C ．()0m n ±-，D ．()0n m ±-，5．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．16．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．9．求以椭圆22+16416x y=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程．10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =，那么它的离心率是（）A ．63B ．4C ．2D ．3【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB的长．【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．【基础达标】1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（） A ．32 B ．3 C ．43D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（）A B C D6．双曲线22197x y -=的右焦点到右顶点的距离为． 7．与椭圆22+11625x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为． 1～5 DDCBC【能力提高】8．设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线lyox yox yox yox的距离为34c ，求此双曲线的离心率．9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程．10．设双曲线 C 1的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．§2.3.1 抛物线及其标准方程【知识要点】● 掌握抛物线的定义．● 标准方程的不同形式及其推导过程．● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．【例题精讲】【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．【基础达标】1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是（） A ．4a x =-B ．4ax = C ．4a x =- D ．4a x = 2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（）A ．（0，－1）B ．（0，1）C ．（0，－2）D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（） A ．42 B ．4 C ．8 D ．26．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）【知识要点】● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．【例题精讲】【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()2,22M -，求它的标准方程．xy O【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0p>上，求这个正三角形的边长．【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．【基础达标】1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（）A ．10B ．8C ．6D ．42．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=12y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．45．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是．7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于．1～5 BABAD【能力提高】8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求二者的方程．9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点 M 的坐标；（3）求 B C 所在直线的方程．【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（）A ．43 B ．75 C ．85D ．3【基础达标】1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方程是（）A ．y 2=16xB ．x 2=－12yC ．y 2=8x 或x 2=－6yD ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（）A ．12B ．14C ．16D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（）A ．（2，2）B ．（0，0）C ．（－2，－2）D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程是．7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为．1～5 DABBA【能力提高】8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．10．已知抛物线C：y=x2+4x+72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为12-，求点M的坐标（x0，y0）．第二章圆锥曲线复习（一）【知识要点】●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．●抛物线定义，抛物线的几何性质．【例题精讲】【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105-，求椭圆方程．【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22+14x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．【基础达标】1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）A．18B．132C．2D．3163．椭圆22+1259x y=上的点M到焦点F1的距离是2，N是M F1的中点，则ON为（）A．4 B．2 C．8 D．3 24．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A．32B．62C．32D．25．椭圆22+1259x y=的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．5 B．15 C．10 D．206．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．1～5 BBACD【能力提高】8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．第二章圆锥曲线复习（二）【例题精讲】【例 1】已知直线 l 交椭圆22+12016x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．【例 2】已知倾斜角为4π的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P为FB 的中点．（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．【基础达标】1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22+1364x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22+1169x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（）A ．3B ．8C ．13D ．164．曲线()()22346225x y x y ---+-=的离心率为（） A ．110 B ．12C ．2D ．无法确定5．抛物线y2=14x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．116⎛⎫⎪⎝⎭，C．（0，1）D．116⎛⎫⎪⎝⎭，6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．7．以双曲线22145x y-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．1～5 C CABD 【能力提高】8．设F1，F2为双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．10．设椭圆22+162x y=和双曲线2213xy-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程

答案：(1) x2 y2 1 16
② a 4, c 15，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10， c 2 5。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
课堂小结：
1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 F1, F2 的距
(1)取一条一定长的细绳 (2)把它的两端用图钉固定在纸板F1和F2上 (3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形
F1
F2
M M
F1 F1
F2 F2
问题5:
①. 在画图过程中，绳子长度变化了吗？
②. 在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
(2)已知椭圆的方程为：x2 y2 1 ,则
45
F2
a=___5__，b=___2____，c=___1____， P
焦点坐标为：__(0_,-_1_)、__(_0_,1_) ，焦距
F1
等于___2______;
若曲线上一点P到一个焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_2___5___3_，
则∆F1PF2的周长为___2__5___2___
|PF1|+|PF2|=2a
自我提升
（1）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离
之和为8，则P点的轨迹为
（ B）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①a=4，b=1，焦点在x轴上；
(-c,0F) 1
y M (x,y)

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1数学教案

2．1.1 椭圆及其标准方程预习课本P32～36，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2．椭圆的标准方程是什么？[新知初探]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb的平方和，并且分母为不相等的正值.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆( )(3)方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．若椭圆x 25＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案：C3．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D4．若椭圆的焦距为6，a －b ＝1，则椭圆的标准方程为________________．答案：x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1求椭圆的标准方程[典例](1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52；(3)椭圆的焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝ 6.[解] (1)椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义，知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (3)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①得4b 2－b 2＝6， ∴b 2＝2，∴a 2＝8.又∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．解：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以－52a2＋32b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 y 220＋x 24＝1. 椭圆的定义及其应用[典例] (1)已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441(2)如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] (1)∵a >5，∴椭圆的焦点在x 轴上．又c ＝4， ∴a 2－25＝42，∴a ＝41.由椭圆的定义知△ABF 2的周长＝|BA |＋|F 2B |＋|F 2A |＝|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 1|＋|AF 2|＝4a ＝441.(2)由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是335.[答案] (1)D (2)335[活学活用]1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，则椭圆的标准方程为____________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝12．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.解析：由题意，得a 2＝9，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27.∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1||PF 2|＝42＋22－2722×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：120°与椭圆有关的轨迹问题[典例] (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．[解析] (1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x P2，y ＝yP2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝2x ，y P ＝2y ，又点P 在椭圆x 24＋y 28＝1上，所以2x24＋2y 28＝1，即x 2＋y 22＝1.答案：x 2＋y 22＝1(2)解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径为R ＝10.设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10.又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10.可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a ＝10，所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.层级一学业水平达标1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C 由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.当m >4时，m ＝4＋1＝5；当m <4时，4＝m ＋1，∴m ＝3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由直线AB 过椭圆的一个焦点F 1，知|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |，∴在△F 2AB 中，|F 2A |＋|F 2B |＋|AB |＝4a ＝20，又|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝8.答案：87．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时 △PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫632＋n ·32＝1，m ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.层级二应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为5＋42＋32＋5－42＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C.2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1―→·PF 2―→＝0，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．9 B ．12 C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ②②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9.3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cosα＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2.4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k－12k ＝16，解得k ＝132. 答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意有b 2a＝3，得b 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.8. 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析新人教A版选修1

学习资料第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2。

1.1椭圆及其标准方程内容标准学科素养1。

了解椭圆标准方程的推导．2。

理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．3。

掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程。

利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点一椭圆的定义错误!在现实生活中，我们经常看到香皂盒、浴盆、体育场的跑道，油罐车的横切面，橄榄球等，这些物品都给我们以椭圆形的印象,那么如何设计出这些椭圆形的物品呢？（1)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？提示：圆．（2）如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1,F2处，套上铅笔，拉紧绳子,移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示:椭圆．（3）在问题（2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数．知识梳理把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．几点说明：(1)F1，F2是两个不同的定点．(2）M是椭圆上任意一点，且|MF1|＋|MF2|＝常数．(3)通常这个常数记为2a,焦距记为2c且2a〉2c.（4)如果2a＝2c，则M的轨迹是线段F1F2。

（5）如果2a〈2c，则点M的轨迹不存在．（由三角形的性质知）知识点二椭圆的标准方程错误!观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？提示：椭圆是对称图形，以两焦点F1，F2所在直线为一条坐标轴,F1F2的中点为原点建立直角坐标系方程简单．知识梳理椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程错误!＋错误!＝1（a〉b>0）错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）焦点(－c,0)与(c，0)（0，－c）与（0，c）a,b，c的关系c2＝a2－b21．下列说法中，正确的是（）A．到点M（－3，0)，N(3,0）的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N（0，3）的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N（3,0）的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M（0，－3)，N（0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案：C2．若椭圆方程为错误!＋错误!＝1,则其焦点在________轴上，焦点坐标为____________．答案：x(－2，0)，(2，0）授课提示:对应学生用书第21页探究一求椭圆的标准方程[阅读教材P34例1］已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0），（2,0),并且经过点错误!，求它的标准方程．题型：待定系数法求椭圆的标准方程．方法步骤：①根据条件设出所求椭圆的标准方程．②根据已知条件建立a，b，c的方程(组）．③解出a，b的值即可得出椭圆的标准方程．[例1]根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和（4,0），且椭圆经过点（5,0)；（2)焦点在y轴上，且经过两个点（0，2)和（1，0）．［解析](1）法一:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为错误!＋错误!＝1（a〉b>0)．因为2a＝错误!＋错误!＝10,所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1。

2.1.1椭圆及其标准方程

x2 2 1 2 a b
2
y2 x 2 ＋＝1. 169 144
类型二
椭圆的定义及其应用
【典例】(2015·济宁高二检测)如图所示,已知椭圆的方程为
x 2 y2 ＋＝1，求△ 4 PF 3 1F2的面积.
若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,
【解题探究】本题中求△PF1F2的面积需要用哪个公式?椭圆可以提供哪些条件?如何求解本题? 提示:求△PF1F2的面积需要用
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos120°,
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|= .
【解析】由已知得a=2,b= 所以c=
3
,
在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos120°, 即4=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|·|PF2|.
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,
提示:当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和
小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
2.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨
迹是

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1-1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，到 F1，F2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆．( ) (2)到 F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆．( ) (3)到 F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( ) 【解析】 (1)×.因为到两定点距离之和小于|F1F2|，动点的轨迹不存在，故(1)错． (2)√.由椭圆定义知，(2)对． (3)×.其动点轨迹是线段 F1F2 的中垂线，故(3)错．【答案】 (1)× (2)√应用 (1)椭圆2x52 ＋y92＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个
焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．4
D．10
(2)椭圆x92＋2y52 ＝1 的焦点为 F1，F2，AB 是椭圆过焦点 F1 的弦，则△ABF2
的周长是( )
【导学号：26160029】
[构建·体系]
1．已知椭圆ax22＋y22＝1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(
)
A.x42＋y22＝1
B.x32＋y22＝1
C．x2＋y22＝1
D.x62＋y22＝1
【解析】由题意知，椭圆焦点在 x 轴上，且 c＝2，由 a2＝b2＋c2，得 a2
＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x62＋y22＝1，故选 D. 【答案】 D
A．20
B．12
C．10
D．6
在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决．
求椭圆的标准方程
根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点； (3)焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P(0，－10)，P 到离它较近的一个焦点的距离等于 2. 【精彩点拨】本题考查椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出 a 和 b 即可．

人教B版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1.1 椭圆及其标准方程教学设计

椭圆及其标准方程（第一课时）教学目标：1.知识与技能:(1)理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程;(2)能根据已知条件求椭圆的标准方程.2.过程与方法(1)让学生经历椭圆概念的形成过程,培养学生动手能力和合作学习能力,锻炼学生观察分析和归纳概括能力;(2)通过椭圆标准方程的推导过程,使学生进一步理解曲线与方程的概念,体会建立曲线方程的基本方法------坐标法,渗透数形结合思想,培养计算能力;(3)在求解椭圆标准方程的过程,使学生掌握待定系数法,并渗透分类讨论思想.3.情感态度与价值观(1)亲身经历椭圆标准方程的获得过程,感受数学美(对称美、简洁美)的熏陶；（2）通过主动探究，合作交流，体会数学的理性与严谨;(3)通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的专研精神，养成扎实严谨的科学态度.教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导——比较复杂的根式的化简。

教学方法：引导式教学教学思路：创设情境,以实例引入课题---实验探究椭圆的定义与形成过程---标准方程推导---例题精讲---当堂检测---课堂小结---作业布置教具：多媒体PPT课件，绳子、钉子若干。

教学过程：一、创设情境，实例引入播放神舟十号发射视频————师说：同学们请看大屏幕，————，这时神舟十号飞船升空的片段，那飞船进入太空后的运行轨迹是？生（齐答）：椭圆师说：是的，同学们再看，太阳系中八大行星绕日运行轨迹也是——，椭圆是大自然的基本规律中所自然选用的曲线，早在2000多年前，我们的数学家就开始研究椭圆，古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，并在其著作中使用纯几何方法就已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

今天这节课我们就踩着前人的足迹来学习《椭圆及其标准方程》教师板书：课题：椭圆及其标准方程师说：初中时，我们学过圆，同学们还记得圆的定义吗？二、实验探究，归纳概念提出问题：圆是满足到定点的距离等于定长的点的集合或轨迹，椭圆是满足什么条件的点的轨迹师说：如果将定点分成两定点，动点到定点的距离变成动点到两定点的距离之和，则动点轨迹是什么曲线？我们一起来完成这个数学实验：取一条细绳，把它两端固定在板上的两定点F1、F2处，用笔尖把细绳拉紧，在板上移动看看画出的图形.学生活动:拿出事先准备的学具，动手合作操作，画出椭圆.（预习时准备学具）师活动：学生完成后，取两张较好的在黑板上展示，并在电脑中展示画椭圆过程；师提问1：1、两点的位置是固定的么？2、绳长变了么？3、绳长与两定点距离的大小关系？为什么？师提问2：请同学们回忆自已画椭圆的过程，试着归纳椭圆定义？学生归纳椭圆定义，老师补充概括，给出椭圆的定义，并引导学生注意定义中的关键条件.板书：一、椭圆定义平面内到两个定点F1、F2距离之和等于常数(>|F1F2|)的点的轨迹是椭圆，两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距强调：1、平面内2、常数>|F1F2|师说：有了椭圆定义，就可以探究椭圆的方程二、师生互动，构建方程师提问3:如何求椭圆方程，求解步骤？生答：建系——找动点满足条件——代入坐标——化简整理——证明师提问4：我们如何建立适当的坐标系呢？生答：师在黑板展示建系过程，并在电脑中展示求方程过程师问5：这个方程如何化简？请同学们拿出课前的预习作业，说说自己的化简过程学生活动：两位同学举手回答，并拿出自己的化简过程，教师在展板上展示比较，并总结一般遇到这样的方程都采用移项两边平方的方法来化简.师说：这个方程形式上还不够简洁对称，我们设b 2=a 2-c 2，联想到勾股定理，师提问6：如果把a,c,22-c a 看作一个直角三角形的三边，你能从椭圆图形中找出这样的直角三角形吗？（师需说明从图形观察分析，明确b 有几何意义）四．类比推导，归纳总结总结：焦点在x 轴上椭圆标准方程，以及a,b,c 之间关系并板书.焦点在x 轴上，12222=+by a x ()0>>b a ，焦点F 1(-c,0)，F 2(c,0)且c 2=a 2-b 2师提问7：如果焦点F 1，F 2在y 轴上，椭圆的方程是什么？生答：x,y 互换，得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程.师提问8：对比归纳两种标准方程的特征？意图：通过对比总结，加深对椭圆标准方程的理解.快速反应：判定下列椭圆焦点在那个坐标轴，并写出焦点坐标.（口答）（1）1162522=+y x （2）116914422=+y x （3））（01122>=++a a y a x师提问9：如何通过椭圆方程判断焦点位置？五、例题精讲例：已知椭圆两焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（2，3），求它的标准方程.教师提问10：解决方法（学生口述方法后上黑板板演）提示：两种方法练习：已知椭圆的焦距为8，椭圆上一点M 到两焦点距离之和等于10，椭圆的标准方程为____.教师提问11：练习（直接口答）教师提问12：求椭圆标准方程的步骤？学生总结：先定位后定量思考题：方程122=+a y x （a>0）表示什么曲线？师提问13：思考题师提问14：变式变式：若条件换成”a ≠0“，其余条件不变，则又表示什么曲线？七、课堂小结：很高兴和同学们一起认识和学习了椭圆，请同学们回忆我们这节课的学习过程，谈谈有哪些收获？师提问15：八、作业布置：1、必做题：2、选做题：3、查阅资料，看看椭圆有没有其他的定义？九、板书设计十、教学反馈。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程导学案北师大版选修1-1

2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一椭圆的定义思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？答案固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.思考2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？答案笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半.a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.思考2 椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?答案只有当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在.梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2类型一求椭圆的标准方程命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6； (2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点. 解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2，∴a 2＝8. 又∵焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4，0)和(4，0)，由椭圆的定义可得 2a ＝3＋42＋15－02＋3－42＋15－02，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1，将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋1529＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程.跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2，0)和(0，1).解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).由椭圆的定义知， 2a ＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).又椭圆经过点(2，0)和(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程例2 求经过(2，－2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142两点的椭圆的标准方程. 解方法一若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).同理，得a 2＝4，b 2＝8，而a 2<b 2，与焦点在y 轴上矛盾. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.方法二设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B ). 将点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.反思与感悟如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答.跟踪训练2 求经过A (0，2)和B (12，3)两点的椭圆的标准方程.解方法一当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4b 2＝1，122a 2＋32b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去.当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4a 2＝1，32a 2＋122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.方法二设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ). ∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1.类型二椭圆方程中参数的取值范围例3 “方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )A.1<m <32B.1<m <2C.2<m <3D.1<m <3答案 A 解析要使方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2， ∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，故选A.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 已知x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆.求α的取值范围.解 x 2sin α＋y 2cos α＝1，可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.类型三椭圆定义的应用例4 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积.解在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25， ①由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4， ②①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20， ③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3).∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3.引申探究在例4中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长.解由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.反思与感悟 (1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量.(2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练 4 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.解由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.1.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2.已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0，1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.3.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆.若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.4.已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________. 答案y 216＋x 2＝1 解析由已知得2a ＝8，2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.5.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100，即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.40分钟课时作业一、选择题1.已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|. ∴点P 的轨迹应是以F 1，F 2为焦点的椭圆. ∵c ＝1，a ＝2.∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y2cos α＝1是表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( ) A.(0，π4]B.(π4，π2)C.(0，π4)D.[π4，π2)答案 C解析 ∵焦点在y 轴上，∴cos α>sin α，即sin(π2－α)>sin α，又α∈(0，π2)，∴π2－α>α，即α∈(0，π4).3.曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( ) A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对答案 B解析曲线x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上. 对于曲线x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴25－k >9－k >0， ∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同.∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，即两者焦距相等.故选B.4.椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A.2B.4C.8D.32 答案 B解析如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.5.设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2 a ·9a ＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆.6.已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3 答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，① 又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②由①与②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ， h ＝223＝33. 二、填空题7.若椭圆的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________.答案 x 225＋y 216＝1 解析如图，∵△ABF 2的周长等于20，∴4a ＝20，即a ＝5，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 8.已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________________________________. 答案 4或8解析 (1)当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4，解得m ＝4.(2)当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4，解得m ＝8，∴m ＝4或8.9.若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (8，25)解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8<m <25. 10.已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3 解析由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S V ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题 11.P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程.解由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 点在椭圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b2＝1 (a >b >0). 12.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.解设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0). ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0).∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝－4＋52＋32＋－4－52＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 13.已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0，1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值. 解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝522＋322－222×52×32＝35.。

高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)

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【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长？
【解】设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝＝22xy＋，5，代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1，所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
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【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
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1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．

(完整)2.1.1-椭圆及其标准方程

与两焦点的距离的和等于 10;
(2)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 2);
14
(3)经过两点(2,- 2), -1,
.
2
思路分析:(1)由已知可得 a,c 的值,由 b2=a2-c2 可求出 b,再根
据焦点位置写出椭圆的方程.
(2)利用两点间的距离公式求出 2a,再写方程;也可用待定系
点的距离
答案:A
解析:点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10,10-5=5.
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x2 y2
(2)已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭
16
9
圆于 A,B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度
为
.
思路分析:结合图形,利用定义求第三边.
先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△F1PF2 称为焦点
三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定
义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识,对于求焦点三角形
1
的面积,若已知∠F1PF2,可利用 S=2absin C 把|PF1||PF2|看成一个整
目录
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1.椭圆的定义
把平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的定义用集合语言表示为
P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
预习交流 1
(1)已知 F1,F2 是平面内的两个定点,且平面内动点 M 满足

北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.1.1椭圆及其标准方程导学案

高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.1.1椭圆及其标准方程导学案
北师大版选修1-1
学习目标：1、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；
2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
重点、难点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的
常用的方法
自主学习
合作探究 1.椭圆标准方程的推导过程（见教材）：
思考：（1）已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
（2）无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
（3）设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、c b a ，，的关系有明显的几何意义．
（4）类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()0122
22>>=+b a b
x a y ．
2.如何用几何图形解释 b2=a2－c2 ？在椭圆中分别表示哪些线段的长？
3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
练习反馈
1.如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
图2-1-1
2.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课堂导学案新人教B版选修1-1

2.1.1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10；(2)两个焦点的坐标是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点(25,23). 解析：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0). ∴2a =10,2c =8,∴a =5,c =4.∴b 2=a 2-c 2=52-42=9. ∴所求椭圆的标准方程为92522y x +=1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为2222bx a y +=1(a ＞b ＞0). 由椭圆的定义知，2a =,102)225()23()225()23(2222=-+-+++- ∴a =10.又c =2,∴b 2=a 2-c 2=10-4=6. ∴所求椭圆的标准方程为61022x y +=1. 温馨提示求椭圆的标准方程就是求a 2及b 2(a ＞b ＞0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为2222b y a x +=1;当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为2222bx a y +=1. 二、应用椭圆的定义解题【例2】一动圆与已知圆O 1：(x +3)2+y 2=1外切与圆O 2：(x -3)2+y 2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解析：两定圆的圆心、半径分别为O 1(-3,0),r 1=1;O 2(3,0)，r 2=9.设动圆圆心为M (x ,y )，半径为R由题设条件知：｜MO 1｜=1+R ，｜MO 2｜=9-R∴｜MO 1｜+｜MO 2｜=10由椭圆的定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a =5,c =3,∴b 2=a 2-c 2=25-9=16 故动圆圆心的轨迹方程为162522y x +=1 温馨提示两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例3】椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点为(0，2)，则k =________.解析：将椭圆方程化为标准方程可得x 2+k y 52=1，由一个焦点为(0，2)知，a 2=k5,b 2=1且a 2-b 2=c 2,即k5-1=4得k =1 温馨提示将椭圆方程化为标准形式可得x 2+k y 52=1,由其中一个焦点为(0，2)可确定a 2-b 2，通过a ,b ,c 之间的关系确定k 的值.各个击破类题演练1求经过两点P 1(31,31),P 2(0,-21)的椭圆的标准方程解法一：因为焦点位置不确定，故可考虑两种情形.(1)焦点在x 轴上时：设椭圆的方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0). 依题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+.41,51,1)21(,1)31()31(22222222b a b b a 解得 ∵4151<,∴方程组无解. (2)焦点在y 轴上时：设椭圆的方程为2222bx a y +=1(a ＞b ＞0).依题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+.51,41,1)21(,1)31()31(22222222b a ab a 解得 ∴所求椭圆的标准方程为1514122=+x y 解法二：设所求椭圆方程的一般式为Ax 2+By 2=1(A ＞0,B ＞0). 依题意可得⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+ 4.5,,1)21(,1)31()31(222B A B B A 解得∴所求椭圆的方程为5x 2+4y 2=1. ∴标准方程为.1514122=+x y 变式提升1 椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，求此椭圆的标准方程.解析：由题意知：⎩⎨⎧=-=32c a c a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==332c a ∴b 2=9 ∴所求椭圆的标准方程为112919122222=+=+y x y x 或类题演练2若一个动点P (x ,y )到两个定点A (-1，0)，A ′(1，0)的距离之和为定值m ，试求P 点的轨迹方程.解析：∵｜PA ｜+｜PA ′｜=m ,｜AA ′｜=2,｜PA ｜+｜PA ′｜≥｜AA ′｜,∴m ≥2.(1)当m =2时，P 点的轨迹就是线段AA ′.∴其方程为y =0(-1≤x ≤1).(2)当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A′为焦点的椭圆.∵2c =2,2a =m ,∴a =2m ,c =1,b 2=a 2-c 2=42m -1. ∴点P 的轨迹方程为.11442222=--m y m x 变式提升2已知B 、C 是两个定点，｜BC ｜=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 解析：如图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知｜AB ｜+｜AC ｜+｜BC ｜=16，｜BC ｜=6，有｜AB ｜+｜AC ｜=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c =6,2a =16-6=10.∴c =3,a =5,b 2=52-32=16.但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，∴点A 的轨迹方程是1162522=+y x (y ≠0) 类题演练3 方程x =231y -所表示的曲线为_________.解析：由x =231y -得x 2+3y 2=1 即x 2+312y =1,此方程表示焦点为(36，0)，(-36，0)的椭圆，然而，由题意必须x ≥0,所以x =231y -表示椭圆在y 轴右侧的部分(包括端点)变式提升3 椭圆ky k x y x -+-=+25919252222与=1(0＜k ＜9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点答案：B。