圆周角(1)

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圆周角定理.2.2圆周角(1)

圆周角第1课时圆周角(1)【教学目标】1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.【教学重点】理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系,能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.【教学难点】分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.【教学过程】一、导1.圆心角的定义?顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?相等.3、判断题：(1)相等的圆心角所对的弧相等。

×(2)等弦对等弧。

×(3)等弧对等弦。

√二、学（一）学习目标：1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.（二）自学指导：阅读教材P49-50，回答下列问题：问题1 AB所对的圆周角有几个？问题2 度量下这些圆周角的关系.问题3 这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.①AB所对的圆周角的个数有无数个.②通过度量,这些圆周角相等.③通过度量,同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半. 完成下列问题：1.如图所示的角中，哪些是圆周角？2.顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.3.在同圆或等圆中,_____或_______所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的______的一半.4.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也_______. 三、教、1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交.2还可以得出下面推论:同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等;四、练1.如图，在⊙O 中，AD=DC ，则图中相等的圆周角的对数是（） A.5对B.6对C.7对D.8对2.如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A=65°,求∠D 的度数.第2题图第3题图3.如图所示,已知圆心角∠BOC=100°,点A 为优弧BC 上一点，求圆周角∠BAC 的度数.4.如图所示,在⊙O 中，∠AOB=100°,C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数.【分析】在圆中利用同弧所对的圆周角相等推得角相等是灵活对角进行等量转换的关键,要特别注意等弧所对的圆心角也相等.五、师生互动，课堂小结1 、这节课主要学习了两个知识点：（1）圆周角定义。

圆周角(1)教案

课题：圆周角（1）教学目标（一）知识目标1、掌握圆周角的概念.2、体会圆周角与圆心角关系的探索过程，发现、验证圆周角与圆心角的关系.3、能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情的推理意识，逐步掌握说理的基本方法，从而提高数学素养.（二）能力目标1、通过学生的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索与合作交流的能力.2、培养学生的表达能力，让学生的个性得到充分的展示.（三）情感目标通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神，培养学生学习数学的兴趣.教学重点、难点重点：探索圆周角与圆心角的关系.难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”. （“分类”、“化归”也是九年级学生的思维难点）.教学课型新授课教学方法为了体现教师为主导，学生为主体，知识为主线，育人为主旨的教学原则，本节课主要采用探究式教学法为主线，多媒体直观演示、启发式设疑诱导为辅的教学方法.学法指导知识是通过学生自己动口、动手、动脑，积极思考、主动探索获得．我将课堂交给学生，让学生自己去探索，发现验证知识.自主探索，研讨发现，得出结论是本节课主要的学习方法.教具准备教师：多媒体、课件、圆规、三角板等学生：圆形硬纸片若干、直尺、圆规、量角器等教学过程教学流程设计创设情境呈现问题合作探究验证猜想简单应用一．情境创设导入新课问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图（1），甲、乙两名运动员分别在C 、D 两处，他们争论不休，都说在自己所在位置对球门AB 的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB 的张角大？图（1）设计意图：联系生活中喜闻乐见的足球射门，创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中.二、呈现问题合作探究问题1、图中的∠C 、∠D 与我们前面所学的圆心角有什么区别？(角的顶点在圆上).问题2、你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? 设计意图：1.选择新旧知识的切入点，既复习上节课的内容，又激发学生学习新知识的兴趣，加强各知识点之间的联系.2.让学生给圆周角下定义，提高学生的概括能力.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交. 随堂练习：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.问题3、画弧BC 所对的圆心角，然后再画同弧BC 所对的圆周角，你能画多少个同一条弧所对的圆心角？多少个圆周角？三、合作探究小组讨论交流ABCD四人一小组，根据下面的四个问题互相交流。

圆周角(1)

3.推论推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
二、思想方法
1.从特殊到一般研究问题的方法。
2.分类、化归思想。
A A
. 转化
O
转化
O
A
B
C
BC
B
C
分类
课本习题25.4 第1、2题。
O.
A
B
下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
你能画一个圆周角吗？试试看！
圆心在圆周角的一边上
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角的外部
弧BC所对的圆周角你能画出多少个？
B · ·C
A1
·O
A2 A3 ……
同一条弧所对圆周角有无数个。
圆心在圆周角的一边上
解 : 连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD
=90°- 60° =30° ∵∠BAD=∠DCB=30° ∴∠APC=∠BAD+∠ADC =30°+70° =100°
一、知识要点
（1）顶点在圆上； 1.圆周角的定义：
（2）角的两边都与圆还各有一个交点.
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
连接AO并延长交⊙O于点D. 由(1)可得:
∠DAB = 1∠DOB,∠DAC = 1∠DOC,
2
2
D
∠DAC- ∠DAB = 1 ∠DOC- 1 ∠DOB
2
2
∴ ∠BAC = 1 ∠BOC. 2
思考题：已知⊙O中弦AB等于半径,求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数.

圆周角(一)

圆周角（一）1. 介绍圆周角是指圆的弧所对的圆心角，它是圆周上任意两条弧所对的圆心角的度量。

在几何学中，圆周角是一项基本概念，对于理解和计算与圆相关的问题非常重要。

2. 定义圆周角的定义如下：定义1：圆周角是一个以圆心为顶点的角。

圆周角通常用字母表示，例如A、B、C等。

下图是一个圆周角的示例：B/\\/ \\A/____\\C在上图中，B是圆周角的顶点，弧AC和弧AB是圆周角的两边。

3. 单位圆周角的单位通常有两种：弧度（radian）和度（degree）。

弧度是一种单位，用弧长与半径之比来度量一个圆周角。

一个圆的一周对应的弧长是2πr（其中r是半径），所以一个圆周角所对应的弧长与圆周长之比就是弧度的度量。

度是一种常见的度量角的单位，它将一个圆周平均分为360份，每份称为一度。

一个圆周角等于360度。

4. 圆周角的计算圆周角的计算可以用上述定义和单位来进行。

4.1 弧度的计算如果知道一个圆弧的弧长线段L和半径r，可以通过下式计算弧度：弧度 = 弧长 / r4.2 度的计算如果知道一个圆周角的弧度r，可以通过下式计算度：度= r * 180 / π4.3 示例假设有一个圆的半径r为5，弧长L为12，则可以按以下步骤计算弧度和度数：1.计算弧度：弧度 = 弧长/ r = 12 / 5 ≈2.42.计算度数：度数 = 弧度* 180 / π ≈ 137.5因此，给定半径为5的圆弧，其弧长为12的圆周角，弧度约为2.4弧度，度数约为137.5度。

5. 结论圆周角是圆的弧所对的圆心角，它可以用弧度或度来度量。

弧度是一个圆弧的弧长与半径之比，度是一个圆周角等于360度。

圆周角的计算可以通过弧度和度之间的转换进行。

实际应用中，我们经常需要在弧度和度之间进行转换以满足不同的计算需求。

以上是关于圆周角的基本介绍和计算方法。

在后续的文档中，我们将继续讨论与圆周角相关的更深入的概念和应用。

圆周角(1)

课题圆周角（1）教学目标1.简单应用；理解圆周角定理的推论并会应用2.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法教学重点掌握圆周角定理及推论教学难点理解圆周角定理的推论教学教程集体备课思路个人补充调整（一）圆周角的概念1、复习：（1）什么是圆心角？（2）圆心角的度数定理是什么？（如右图）2、什么是圆周角？如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如右图）定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角（二）圆周角的定理1、提出圆周角的度数问题问题：圆周角的度数与什么相关系？引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相对应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.必须用严格的数学方法去证明.证明：(圆心在圆周角上)（2）其它情况，圆周角与相对应圆心角的关系：当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而使用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相对应的圆心角的结论.证明：作出过O的直径（自己完成）能够发现同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对等于它所对圆心角的一半.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.说明：这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想. （三）、自学检测1、概念辨析判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点------- ；②两边都和圆 -------- . .2、思考下列问题：问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能。

圆周角(1) 学科信息：数学-沪科版-九年级下

B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
3：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。圆心角为 60度
O
圆周角为 30 度或 150 度。
A
B
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°, 求∠A
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°, 求∠A
.O
C B
P
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ D ） O B A、50°； B、80°； C、90°； D、100° 2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
C
A
C
B P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ACD=20 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ） A、70°； B、110°； B C、90°； D、120°
A E D O C
C O
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是。 2 A
A
A E B D
C
E
●
O C
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
B 规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半 D
在同圆和等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论1：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。

34圆周角(1)

3.4圆周角(1)教学目标:1.理解圆周角的概念.2.经历探索圆周角定理的过程.3.掌握圆周角定理和它的推论.4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.教学重点:圆周角定理教学难点:圆周角定理的证明要分三种情况讨论,有一定的难度是本节的教学难点.教法:探索式,启发式,合作学习,直观法学法:动手实验,合作学习教学过程:一. 复习旧知,引出新知.1. 什么圆心角呢?圆心角与弧的度数相等吗?2.延长AO交⊙O于点C，连结OB，则∠C与圆心角∠AOB有什么不同呢？引出新课3.4 圆周角二.新课探究:1..圆周角的定义(用类比的方法得出定义)顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.(说明相交指的是角边与圆除了顶点外还有公共点)练习:Ⅰ、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

Ⅱ、找一找：找出课本74页图3—27中有哪些圆周角？（概念的教学设置了辨析，从正反两方面加深了对圆周角特征的理解，同时，让学生认识●O到同弧所对圆周角的有无数个，为定理证明的分类做好铺垫。

）2.探索圆心与圆周角的位置关系:让学生动手画圆周角，讨论圆心和圆周角位置关系。

一个圆的圆心与圆周角的位置可能有几种关系？(1)圆心在角的边上;(2)圆心在角的内部 ,(3)圆心在角的外部在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？3.探索研究：圆周角和圆心角的关系如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？（创设实验情景，让学生自主探索，形成猜想。

学生大胆假设，人人动手，敢于猜想，善于归纳。

）命题：(圆周角定理)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

⏹(1).首先考虑一种特殊情况：⏹当圆心(o)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AoC的大小关系.⏹如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?⏹(2).当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?⏹(3).当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?证明略(要会分类讨论)（学生在多种情况中找到特殊的解决办法，在用这种方法解决与它类似又稍难的一般情况，这种探索激发了学生的思维，提到了他们解决问题的能力，学会数学地思考问题，也渗透了从特殊到一般，从一般到特殊的思想。

3.5圆周角(1)

O
E
A
B
图1 同弧所对的圆周角相等！
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， A 你能确定∠BAC的度数吗?
∠BAC=90º
B
O
图2
C
问题3：如图3，圆周角∠BAC=90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？ A
B
●
O
C
图3
C
A
O
B
推论：
半圆或直径所对的圆周角是直角, 90°的圆周角的所对的弦是直径。
做一做:判别下列各图中的角是不是圆角，并说明理由。
①
②
③
④
圆周角的定义
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的
角叫圆周角.
A
Z.x.x. K
O B 特征： ① 角的顶点在圆上. C
.
② 角的两边都与圆相交.
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
做一做：找出图中的所有圆周角.
D A
0
练一练：
2、如图,∠A是⊙O的圆周角。
0 0 (1)若∠A=40 ,则∠BOC的度数为_______
80
0 0 0 (2)若∠B=20 ,∠C=25 ,则∠BOC的度数为_____
90
A
O
B C
问题 1 、如图 1, 在⊙ O 中,∠C,∠D,∠E的大小有什么关
系?为什么?
D
C
●
∠C =∠D=∠E
图中的圆周角有: ∠ABD, ∠ADB, ∠DAC, ∠DAB, ∠BAC
B
C
如图：
BC 所对的圆心角为
∠ BAC
∠ BOC
，所对
的圆周角为
。

圆周角(1)

E
由此你能得出什么结论?
新知探究2
AB 和⌒ EF的大小如图,圆中∠C=∠G,那么 ⌒ 有什么关系?为什么? C
G
A B
O F E
由此你又能得出什么结论?
圆周角定理的推论1：
用于找相等的角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相等的弧
问题讨论 1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？
（3）圆心在∠BAC的外部.
A
证明:作直径AD. O 1 ∵∠DAB= ∠DOB 2 C D 1 ∠DAC= ∠DOC B 2 1 ∴ ∠DAC-∠DAB= （∠DOC-∠DOB） 2 1 即: ∠BAC= ∠BOC 2
结论
同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该
弧所对的圆心角的一半；
练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
8 7
解： ∠1＝∠4 ∠3＝∠6
∠2＝∠7 ∠5＝∠8
A
1 2 3 4 6 5
B
C
新知探究1
⌒ 如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么? ⌒ ⌒ 如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么? C
A
G
E
●
O
B D
C
A B
O F
图2
图1
C
1、如图，已知∠ACB = 20º ，则∠AOB = 40º ___ ∠OAB ＝ 70º .

3.3 圆周角(1)

议一议
5
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周 A D 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 ?C

老师提示:能否转化为1的情况?

过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
●
O
= 1∠COD,
小结
拓展
小结与作业
本节课我们学习了哪些知识？
结束寄语
下课了!
•盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.
议一议
4
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时, A 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C

●
∵∠AOC是△ABO的外角，老师期望: ∴∠AOC=∠B+∠A. 你可要理 O ∵OA=OB，解并掌握 ∴∠A=∠B. 这个模型. B ∴∠AOC=2∠B. 1 一条弧所对的圆周角等于它所即 ∠ABC = ∠AOC. 对的圆心角的一半. 2 你能写出这个命题吗?
九年级数学(上)第三章：对圆的进一步认识
3.3 圆周角(1)
读一读
1
圆周角
• 在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门 AC的张角(∠ABC)有关.
A

A
C
B
●
O
B
圆周角顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点, 像这样的角 , 叫做圆周角 . C 圆周角也可以看作两条有公共端点的弦所夹的角.
2
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

(201907)九年级数学圆周角1

23.1圆的认识——圆周角（1）
学习目标
理解并掌握圆周角的定义。掌握圆周角的性质。
自学指导
认真阅读P49-51.并思考下列问题： 1.什么叫圆周角？ 2.P50的“试一试”的三种情况你能理解吗？ 3.圆周角有什么性质？ 4.你能做例2吗？；hΒιβλιοθήκη tp:// 6090青苹果影院；
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