线性方程组的解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
线性方程组解的结构(重要知识)
3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3
x2 x3
k1 4k2 5k3
x2 k1, x4 k2 , x5 k3
x4
k2
x5
k3
2
1
3
说明:
1
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
1
2
3
2
3 2
,2,
5 2
,3
T
0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
-13-
例6
x
1
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0, 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解
A~
1 1
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2,
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解
（B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解
线性方程组解的结构
性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs
r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2
1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0
0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )
线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
线性方程组解的结构(课堂PPT)
0
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
0
0
1
1
2
3
1,2 ,3 是解吗? 1,2,3 线性无关吗?
任一解都 可由 1,2 ,3 表示吗? 1 ,2 ,3是基础解系吗?
基础解系所含向量的个数 = ?
-7-
例3 设 AmnBnl O ,证明 r( A) r(B) n 重要结论
证 记 B [1, 2 , , l ] 则由 AB O A i 0(i 1, , l) 说明 i (i 1, , l) 都是 Ax 0 的解 因此 r[1, 2 , , l ] r( N ( A)) n r( A)
齐次方程组解的结构定理
齐次方程组 Amn X 0 的基础解系所含向量个数为 n r ( r R( A) )
设一个基础解系为: 1 ,2 , ,n r 则通解为: x k11 k22 kn rn r (ki R)
例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和 为零，写出ＡＸ＝０的通解． 解： Ann X 0 的基础解系所含向量个数为 n R( A) 1
对于齐次方程组 Amn x 0
只有零解 r( A) n (有非零解即有无限多解 r( A) n)
-3-
第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
-4-
§4.2 齐次线性方程组解的结构
设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x x 是 (2)的解,从而存在 ki 使得 x k11 k22 kn rn r x k11 k22 knrnr 其中1,2, ,nr为（2）的基础解系， 由此得:
线性方程组的解结构
通过迭代更新雅可比矩阵和常数项，逐步逼近方程的解。
03
线性方程组的解的结构
解的唯一性
唯一性定理
对于给定的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该 方程组有唯一解。
唯一性条件
线性方程组有唯一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩。
唯一性判定
可以通过计算系数矩阵的行列式值或比较系数矩阵与增广矩阵的 秩来判断线性方程组是否有唯一解。
03
其中 (a_1, a_2, ..., a_n) 是已知数，(x_1, x_2, ..., x_n) 是未知 数，b是常数项。
线性方程组解的存在性
无解
01
当方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。
有唯一解
02
当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一
解。
有无穷多解
03
当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组有无数多个解。
VS
在物理学中，线性方程组还可以用来 描述波动现象、热传导、量子力学等 领域的问题。通过建立物理模型，将 实际问题转化为线性方程组，可以更 好地理解和解决物理问题。
在经济中的应用
在经济学中，线性方程组也被广泛应用，用 于描述各种经济现象和问题。例如，在微观 经济学中，线性方程组可以用来描述消费者 行为和生产者行为；在宏观经济学中，线性 方程组可以用来描述国民收入、货币供应量 等经济指标的变化规律。
在经济分析中，线性方程组还可以用来解决 最优决策、最优化资源配置等问题。通过建 立经济模型，将实际问题转化为线性方程组
，可以更好地理解和解决经济问题。
05
线性方程组解的数值稳定 性
解的误差分析
舍入误差
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构11111221n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+ 22112222n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+ 33113223n n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+…………………………………1122n n n nn n b a x a x a x =++⋅⋅⋅+表示从变量12,n x x x ⋅⋅⋅到变量12,n b b b ⋅⋅⋅的线性变换，其中ij a 是常数。
确定了线性变换，它的系数所构成的矩阵（系数矩阵）也就确定，线性变换根矩阵是一一对应的关系。
上式可以表示为以向量x 为未知元的向量方程：Ax=b线性方程组如果是有解的，称它是相容的，否则称为不相容。
一、 定理4：N 元线性方程组Ax=b（1) 无解的充要条件是R(A)<R(A.B)（2) 有唯一解的充要条件是R （A ）=R(A.b)=n （3) 有无限多个解的充要条件是R(A)=R(A. b)<n二、 非齐次线性方程组求解步骤：Ax=b （1)对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵化为行阶梯型矩阵，从而根据定理4 判断其解的结构。
（2) 若R(A)=R(B)，则进一步把B 化成最简型，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A 化成最简型。
（3) 设R(A)=R(B)=r ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。
带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式。
三、 齐次线性方程组求解步骤：Ax=0（1) 根据R(A)与n (变量个数)来判断解的结构：A. R(A)<n 有非0解B. R(A)=n 只有0解（2) 设R(A)<n ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。
带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式： 自由未知量赋值的步骤（写成向量组形式）： i.例如：112523x c c =+212423x c c =-+31x c =42x c =向量形式：1212123142523423c c x x c c x c x c ⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=12210c ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+2534301c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3) 可写出基础解系：12210η⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2534301η⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （4) 写出通解：1122c c ηηη=+ i c R ∈。
问题：什么是线性方程组的解的结构？
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：ξ1, ξ2, ..., ξr 如果满足 ① ξ1，ξ2，...，ξr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示ξ1, ξ2, ..., ξr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为
称为方程组的解向量．
ξ11 ξ 21 ξ= M ξ n1
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = ξ1， x = ξ2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = ξ1 + ξ2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1+ Aξ2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kξ 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0 ．
令
− b11 − b12 − b1,n− r M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r ξ1 = 1 , ξ 2 = 1 ,L , ξ n − r = 0 0 0 0 M M M 0 0 1
齐次线性方 程组的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
− b11 − b12 − b1,n − r x1 − b11c1 − L − b1,n− r cn − r M M M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r xr − br 1c1 − L − br ,n− r cn − r = = c1 1 + c1 1 + L + cn − r 0 xr +1 c1 0 0 0 M O M M M x c n− r n 0 0 1
线性代数线性方程组解的结构
例3.10 设
1 1 1 1 1
α1
0 2
,
α2
1 3
,
α3
1 a2
,
α4
2 4
, β
1
b 3
3
5
1
a
8
5
试问
(1) 当a,b取何值时, b不能由1,2,3,4线性
表示?
(2) 当a,b取何值时, b可由1,2,3,4唯一线
19
证明 如果方程组AX=0的系数矩阵的秩 为r, 可以通过交换系数矩阵中某些行的 位置，使得位于系数矩阵的左上角的r阶 子式不为零, 这样原方程组就等于下面的 方程组:
多解. 而解法二是用Cramer法则来考虑(1), 系数 行列式列和相等，而(2)和(3)的解法一样.
11
例3.12 试判断线性方程组
x1 x2 x3 1,
121xx11
2 x2 22 x2
3 x3 32 x3
4, 42 ,
13x1 23x2 33x3 43
是否有解, 其中1,2,3,4为互不相同的
性表示?
5
解 b能不能由1,2,3,4(唯一)线性表示,
就看是否存在(唯一的)一组数x1,x2,x3,x4使
得
x1
β
x1α1
x2α2
x3α3
x4α4
(α1
,
Байду номын сангаас
α2
,
α3
,
α4
)
x2 x3
x4
于是问题(1)就是a,b取何值时, 线性方程组
AX=b无解? 而问题(2)转化为a,b取何值时, AX=b有唯一解?其中A=(1,2,3,4)
第三章 第三讲 线性方程组的解的结构
1 1 − 1 − 1 1 0 − 2 7 − 3 7 A = 2 − 5 3 2 ~ 0 1 − 5 7 − 4 7 , 7 − 7 3 1 0 0 0 0 2 3 x1 = 7 x 3 + 7 x 4 , x3 1 0 便得 令 = 及 , 5 4 x2 = x3 + x4 . x4 0 1 7 7
解系, 如果 (1)η 1 ,η 2 , L ,η t 是 Ax = 0的一组线性无关 的解 ; ( 2 ) Ax = 0的任一解都可由 η 1 ,η 2 , L ,η t 线性表
出.
如果 η 1 ,η 2 ,L ,η t 为齐次线性方程组 Ax = 0
的一组基础解系 , 那么, Ax = 0 的通解可表示为 x = k1η1 + k2η2 + L+ ktηt 其中 k1 , k 2 ,L, k n− r 是任意常数 .
（2）若 x = ξ1 为 Ax = 0的解， k 为实数，则 的解， 为实数， x = kξ1 也是 Ax = 0 的解． 的解． 证明
A(kξ1 ) = kA(ξ1 ) = k 0 = 0.
证毕. 证毕.
三、基础解系及其求法 １．基础解系的定义
η1 ,η 2 ,L ,η t 称为齐次线性方程组 Ax = 0的基础
3、 求非齐次线性方程组AX=b的通解的步骤 、 求非齐次线性方程组 的通解的步骤
第一步： 第一步：对AX=b的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵, 的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵, 根据阶梯阵判断AX=b是否有解． 是否有解． 若有无穷多个解， 若有无穷多个解，先写出AX=b的一个特解 γ 0 . 第二步：求出AX=b的导出组 AX=0 的一个基础解系 第二步：
4.3 线性方程组解的结构
9
1 A 2 7
1 5 7
1 3 3
1 2 1
~
1 0 0
0 1 0
2 7 5 7 0
3 7 4 7 , 0
便得
2 3 x1 7 x 3 7 x 4 , x 5 x 4 x . 3 4 2 7 7
注 :齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的, 它的通解的形式也不是唯一的
求 n 元 齐 次 线 性 方 程 组 A x 0的 基 础 解 系 及 通 解 的 方 法 , 具体求法如下:
第 一 ,对 系 数 矩 阵 施 行 初 等 行 变 换 (必 要 时 可 以 重 新 排 列 未 知 量 的 顺 序 ),可 得 1 0 A 0 0 0 b1 1
0 1
b1 1 br 1
b1 , n r b r ,n r 0 0
从 而 求 得 原 方 程 组 的 n r个 解 ：
b1 1 br 1 1 1 0 0 , b1 2 br 2 2 0 1 0 , b1 , n r b r ,n r 0 0 1 .
0 0 1 0 , ， . 0 1 b1 , n r , . , b r ,n r
5
1 0 0 0
线性方程组的解的结构
(A)T x (A) x 0 A x 0
2x2
x3
2x4
0
x1 11x2 2x3 x4 0
x1－x2 5 x3 x4 0
x1 3 x1
x2 2x3 3x4 x2 8x3 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
-22-
例3 重要结论 证明 r(A )r(A TA )r(AT)A
证 设 Amn, 首先证明
又形如(3)的向量( k i 任取)都是(1)的解. 由此得: 注：非齐次方程组的解集不是空间。
-26-
定理4.3.1
设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为
x k 1 1 k 2 2 k n r n r ( k i R )
例4
xx11xx22xx333xx440,1,
因 n r ( A ) 此 n r ( A T A ) r ( A ) r ( A T A ) 利用这一结论 r ( A T ) A r (A T ( ) T A T ) r ( A T ) r ( A )
-23-
第四章 线性方程组的解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
线性方程组的解的结构
在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程 组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深 入研究解的性质和解的结构。
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。
本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。
一、基本概念（1） 齐次线性方程组：，形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）的方程组称为数域上的n 元齐次线性方程组，它的系数矩阵是n m ij a A ⨯=)(，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则0X A = (1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
（2）非齐次线性方程组：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的方程组成为数域上的n 元非齐次线性方程组，它的系数矩阵为mn ij a A )(=,增广矩阵为),,,,(),(~21βαααβn A A ==，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则X=βA (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
称齐次线性方程组0X A =是线性方程组的导出组。
二、 线性方程组有解的判定定理我们将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2.1）写成向量形式：1122.n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+= （2.2）其中()j 1,2,,j n α=⋅⋅⋅是系数矩阵A 的第j 个列向量，β是常数向量。
4.4线性方程组解的结构(一)
特别地，1、若A为n阶方阵，则AX=0有非零解
detA=0 2、若AX=0，方程的个数小于未知量的个数 则齐次方程组必有非零解。 （即欠定齐次方程组必有非零解），
2、非齐次线性方程组解的存在性
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 —— 一般形式 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
x1 x3 x4 5x5 , x2 2 x3 2 x4 6 x5
基础解系为
1 2 ξ1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 1 5 1 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0
求解齐次线性方程组AX=0：
1、 A
行初等变换
B （行阶梯阵） 行初等变换 C
简化行阶梯阵
2、由C写出与AX=0同解的齐次方程组； （确定自由未知量）
3、求出基础解系1, 2, …, n-r (r = R(A)) ； 4、写出通解 X = k11+ … + kn-rn-r ,
其中k1 , …, kn-r为任意常数
性质2
若 为齐次方程组AX=0的解，则k 也
（齐次方程组的解对数乘封闭）. 是AX=0的解。(k为任意实数）
， s 为 AX=0的解，则 由性质1,2得: 若 1，k2，
k11 k1 2 ks s 也是AX=0的解。
即
齐次方程组AX=0解向量的线性组合 仍为AX=0的解.
W { X R n AX 0} 则W 为 Rn 的一个子空间，称之为AX=0的解空间。 解空间的任一组基（即最大无关组）称为AX=0的 一组基础解系。
4.4-线性方程组解的结构
cr brr1cr1 brr2cr2 cr1 1 cr1
ccrn2
1 cr2
写成向量形式即为：
b1ncn b2ncn
brncn b1ncn
b2ncn brncn 1 cn
b1r1
b1r2
b1n
c r 1
brr1 1
b1n
b2n
A
行
0
0
1 brr1 brr2
brn
0 0
00 0
0
0 0
00 0
0
于是，齐次线性方程AX=0组的同解方程组为
x1 b1r1xr1 b1r2xr2 b1
b2r2 xr2
b2n xn
xr brr1xr1 brr2xr2 brn xn
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维 向量。
b1r1
b2r
1
b1r2
b2r
2
1
brr1 1
,
2
brr2 0
,
0 1
0
0
b1n
b2n
, nr
brn 0
0
1
现证1,2, ,nr就是线性方程组AX=0的
x1 x3
x2
4x5 x5
x4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝c11 c22 c1,c2 R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解 系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系 证明矩阵的秩。
补充： 线性方程组解的结构
§3.4线性方程组解的结构对于线性方程组,当时, 中不为零的阶子式所含的个列以外的个列对应的未知量称为自由未知量;当时, 中不为零的阶子式所含的个行所对应的个方程以外的个方程是多余的,可删去而不影响方程组的解.又时,方程组无穷多个解,为什么代表了它的全部解?(一) 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为其中,方程的解有下列性质:1、如果是齐次线性方程组的两个解,则也是它的解.2、如果是齐次线性方程组的解,则也是它的解（是常数）.3、如果都是齐次线性方程组的解,则其线性组合也是它的解.其中都是任意常数.由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多解，这无穷多解就构成了一个维向量组.如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组，就能用它的线性组合来表示它的全部解.定义3.9如果是齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组,则称是方程组的一个基础解系.定理3.12如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩数,则方程组的基础解系存在,且每个基础解系中,恰含有个解.定理的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.例1如下齐次线性方程组的一个基础解系.解：对增广矩阵施以如下的初等行变换:即原方程组与下面方程组同解，其中为自由未知量.让自由未知量取值，分别得方程组的解为就是所给方程组的一个基础解系.例2用基础解系表示如下线性方程组的全部解.解：, , ,因此所给方程组有无穷多个解.对增广矩阵施以初等行变换：即原方程组与方程组同解，其中为自由未知量.让自由未知量取值分别得方程组的解为就是所组方程组的一个基础解系.因此，方程组的全部解为其中为任意常数.(二) 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组可以表示为，取,得到的齐次线性方程组，称为非齐次线性方程组的导出组.非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有下列性质：1、如果是非齐次线性方程组（3.1）的一个解，是其导出组的一个解，则也是方程组（3.1）的一个解.2、如果是非齐次线性方程组的两个解，则是其导出组的解.定理3.13如果是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的全部解，则也是方程组的全部解.例：用基础解系表示如下线性方组的全部解.解：作方程组的增广矩阵，并对它放以初等行变换：即原方程组与方程组同解，其中为自由未知量.让自由未知量取值，得方程组的一个解原方程组的导出组与方程组同解，其中为自由未知量.对自由未知量取值，，即得导出组的基础解系因此所组方程组的通解为其中为任意常数.。
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[4] 蔡 光 兴 著 .线 性 代 数 [M].北 京 :科 学 出 版 社 ,2002.
科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
３３
引 理 3设 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)满 足 r(A) = r(A% ) = r < n , γ1,γ 2 ,L,γ n−r+1 是 它 的 n − r +1个线性无关解,那么非齐次线性方
程 组 (1)的 任 意 一 个 解 γ 都 是 γ1,γ 2 ,L,γ n−r+1
的 线 性 组 合 : γ = k1γ1 + k2γ 2 +L + kn−r+1γ n−r+1 , 其 中 k1 + k2 +L+ kn−r+1 = 1。
表示全部的解。从而使非齐次线性方程组解的结构更加完善。
关键词:线性方程组 线性无关 解的结构
中图分类号: G 6 4 2
文献标识码: A
文章编号:1674-098X(2009)12(b)-0033-01
线性方程组理论是线性代数最基本的 内容之一,它在数学的各个领域及其他学 科 的 各 个 分 支 都 有 着 广 泛 的 应 用 。研 究 线 性方程组解之间的关系及解的结构是线性 方 程 组 理 论 的 核 心 内 容 。齐 次 线 性 方 程 组 解的结构可以通过自身的有限个解来表示 其 全 部 解 。而 在 一 般 的 线 性 代 数 教 材 中 关 于非齐次线性方程组解的结构则是借助于 它的导出方程组的基础解系和它自身的一 个 解 来 表 示 。那 么 ,非 齐 次 线 性 方 程 组 能 否 也像齐次线性方程组一样也用其自身的解 来 表 示 全 部 解 呢 ？这 是 我 们 要 讨 论 的 问 题 。
r( A) = r( A% ) = r < n ,
如果 γ1,γ 2 ,L,γ n−r+1 是 它 的 n − r +1个线 性 无 关 解 ,那 么 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)的 全 部 解 为 : γ = k1γ1 + k2γ 2 +L + kn−r+1γ n−r+1 , 其 中 k1 + k2 +L + kn−r+1 = 1。
设数域 P 上的线性方程组为
AX = B
(1)
对应齐次方程组可表为
其 中 k1, k2 ,L, kn−r ∈ P 。 上述3个定理在一般的线性代数教材 中都有叙述,在此我们不再证明。 现在,我们比较上述两种情况,齐次线 性方程组解的结构是通过自身有限个解来 表示全部解的,而非齐次线性方程组解的 结构则是通过导出方程组的基础解系和它 自 身 的 一 个 解 来 表 示 的 。那 么 ,非 齐 次 线 性 方程组是否也可以用自身的有限个解表示 全 部 解 呢 ？我 们 构 想 非 齐 次 线 性 方 程 组(1) 在有无穷多解时的另一种解的结构。 引 理 1设 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)有 无 穷
次线性方程组(1)的全部解为
, γ 0 + k1η1 + k2η2 +L + kn−rηn−r
r(A) = r( A% ) = r < n ,
如 果 γ1,γ 2 ,L,γ n−r+1 是 它 的 n − r +1个 线 性 无 关 解 , 则 当 k1 + k2 +L + kn−r+1 = 1 时 , γ = k1γ1 + k2γ 2 +L+ kn−r+1γ n−r+1 是 非 齐 次 线 性 方程组(1)的一个解。
2. B≠O
定理3(非齐次线性方程组解的结构定
理 )设 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)中 ,
r( A) = r( A% ) = r < n ,
γ0是 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)的 一 个 特
解,
是 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)的
导 出η1方,η2程,L组,ηn(−2r )的 一 个 基 础 解 系 ,那 么 非 齐
线性无关且非齐次线性方程组(1)的任意解 可表示为:
n−r
∑ γ = k0γ 0 + ki (γ 0 +ηi ) , i =1
其 中 k0 + k1 +L + kn−r = 1 这并不是一个一般的结论。 现在,把上面这个结论进一步深化我 们就得到了非齐次线性方程组在有无穷多 解的时候如何用自身的有限个解来表示它 全部解的方法。 定理4 (非齐次线性方程组解的结构 定 理 )设 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)中 ,
Ｉ Ｔ 技 术
科技创新导报 ２００９ ＮＯ．３５
Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
线性方程组的解的结构
刘勇 (大连交通大学理学院 辽宁大连 116028)
摘 要:本文对非齐次线性方程组进行了深入的讨论,并给出了另一种刻画非齐次线性方程组解的结构的方法,即只用自身的有限个解来
这样,关于非齐次线性方程组解的结 构 我 们 有 定 理 3和 定 理 4两 种 表 达 形 式 。可 以证明两个定理是等价的。
参考文献
[1] 陈 志 杰 著 .高 等 代 数 与 解 析 几 何 [M].北 京:高 等 教 育 出 版 社 ,2001.
[2] 王 德 生 著 .高 等 代 数 与 解 析 几 何 习 题 解 析 [M].大 连 :辽 宁 师 范 大 学 出 版 社 , 2002.
在解决线性方程组有解的判定之后, 进 一 步 讨 论 线 性 方 程 组 解 的 结 构 问 题 。在 线性方程组解是唯一的情况下当然不存在 什 么 结 构 问 题 。有 许 多 解 的 情 况 下,所 谓 的 解的结构问题就是解与解之间的关系问 题 。同 样 分 两 种 情 况 :
1. B=O 定 理 1设 齐 次 线 性 方 程 组 (2)有 非 零 解 即 r( A) = r < n , 那 么 它 一 定 有 基 础 解 系 , 并 且基础解系所含解向量的个数为 n−r 。 定 理 2(齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构 定 理 ) 设 齐 次 线 性 方 程 组 ( 2 ) 中 , r( A) = r < n , η1,η2 ,L,ηn−r 是齐次线性方程组(2)的一个基 础 解 系 ,那 么 齐 次 线 性 方 程 组 (2)的 全 部 解 为 k1η1 + k2η2 +L + kn−rηn−r ,其 中 k1, k2 ,L, kn−r ∈ P 。
多 解 ,即 r( A) = r( A% ) = r < n ,则 方 程 组 (1)存 在 n − r +1个线性无关解。
引 理 2设 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)中
AX = 0
(2)
若 令 α1,α2,L,αn 为 A 的 列 向 量 则 (1)还 可 表 为 x1α1 + x2α2 +L + xnα n = B , 显 然 方 程 组(1)有解的充要条件是 B 可由 α1,α2 ,L,αn 线性表示。
从引理1与引理3可以得到以下的结论: 非 齐 次 线 性 方 程 组 (1)中 r( A) = r( A%) = r < n , 若 γ0是非齐次线性方程组(1)的一个特解, η1,η2 ,L,ηn−r 是齐次线性方程组(2)的一个基
础 解 系 ,, γ 0 +ηn−r