教育最新K122018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理

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江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第59练椭圆的定义与标准方程练习文

由x2
＋y2b2＝1，
x2＝41－y2
2，令T＝x2＋2y，
T＝4－4y2
2＋2y.
T＝－4
2y－b242＋b2
＋4(－b≤y≤b)．当b24≤b，即0＜b≤4，y＝b24时，
(b)＝b2
＋4；当b24＞b，即b＞4，y＝b时，f(b)＝2b.所以f(b)＝ b24＋4，0＜b≤4，
b，b＞4.
.
．已知焦点在y轴上的椭圆x2
＋y2m＝1的长轴长为8，则m＝________.
．椭圆x2
＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为
PF
＝______.
．设F
，F2分别是椭圆E：x2＋y2
2＝1(0＜b＜1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，
AF
＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为______________________．
x2
＋y24＝1
由题意可设斜率存在的切线的方程为
1
＝k(x－1)(k为切线的斜率)，
2kx－2y－2k＋1＝0，
|－2k＋1|
k2＋4＝1，解得k＝－34，
x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，
A(3
，45)，易知另一切点为B(1,0)，
AB的方程为y＝－2x＋2.
y＝0得右焦点为(1,0)，即c＝1，
设A(x
，y1)，B(x2，y2)，
A，B在椭圆上，
x21a2＋y21b2＝1， ①
2
2＋y22b2＝1， ②
x1＋x2x1－x2
2
y1＋y2y1－y2
2＝0,

精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题9 平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理1．设椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP→＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析 1.33解析由题意知sin 30°＝PF 2PF 1＝12， ∴PF 1＝2PF 2.又∵PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a3.∴tan 30°＝PF 2F 1F 2＝2a 32c ＝33. ∴c a ＝33. 2.63解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO →|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c2，|MN →|2＝|MO →|2－c24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x .在Rt△MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63. 3.15解析不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.4.32解析设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b 2)＝a 2×b 2－y 20b2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝ 3b 24b2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x，y )，点B 为点A在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12× 16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 216＋y 1－y 2y 1＋y 29＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0. 7．±34解析由离心率为12可得c 2a 2＝14，可得a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ，则M (c ，±34a )，直线MF 1的斜率为kMF 1＝±3a 8c ＝±38×2＝±34.8.57解析设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.9．(0，－1)解析设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1， QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)． 10. 2解析由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24，∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1，F (32a,0)．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF →＝3FB →， ∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ，即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得 9x 2B －x 2Aa2＝8，x B ＋x Ax B －x Aa2＝8，∴3x B －x A ＝433a ，∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a＝ 2. 11.57解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)．设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，由正弦定理得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.12.23或38解析依题设，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，可得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.13．(2－1,1)解析由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2. 又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ，即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．14．[38，34]解析由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。

(加练半小时)2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9_平面解析几何_第64练_(有解析)

1．x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP→＝4FQ →，则QF ＝____________. 3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值为________．4．(2016·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AFBF ＝________.5．(2016·无锡模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是______________．6．(2016·黑龙江哈尔滨三中一模)直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则l 过定点________．7．(2016·常州模拟)如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的投影为N ，则∠ONB ＝________.8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．9．(2016·福建质检)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛线物的准线于P1，Q1，若PQ＝2，则四边形PP1Q1Q 的面积是________．10．(2016·镇江模拟)已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，AF＝2，则BF＝______，△OAB的面积是________．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．12．(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B 两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点．若tan∠AMB＝22，则AB＝________.13．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝8，AF＜BF，则BF＝________. 14．(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，并且△ABC的重心是抛物线的焦点，BC边所在的直线方程为4x＋y－20＝0，则抛物线的方程为__________．答案精析1.92 2.3 3.5 4.13解析设抛物线的准线为l ：x ＝－p2，设FB ＝m ，F A ＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ，由抛物线定义知AC ＝F A ＝n ，BD ＝FB ＝m ，过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足， AE ＝CE －AC ＝BD －AC ＝m －n ， AB ＝F A ＋FB ＝n ＋m .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝60°， cos60°＝AE AB ＝m －n m ＋n ＝12，即m ＝3n . 故AF BF ＝n m ＝m3m ＝13. 5．y 2＝3x解析分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则BF ＝BD ， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BD ， ∴∠BCD ＝30°，又AE ＝AF ＝3，∴AC ＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32， ∴抛物线的方程是y 2＝3x . 6．(－3,0)解析设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋(2kb －2)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb －2k 2，x 1x 2＝b 2k 2.由k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝23，得2x 1x 2－3y 1y 2＝2x 1x 2－3(kx 1＋b )·(kx 2＋b )＝(2－3k 2)x 1x 2－3kb (x 1＋x 2)－3b 2＝0，代入可得b ＝3k ，所以y ＝kx ＋3k ＝k (x ＋3)，所以直线l 一定过点(－3,0)． 7．30°解析因为点A 到抛物线C 的准线的距离为AN ＋p 2，点A 到焦点F 的距离为AB ＋p2，所以AN ＝AB ，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°. 8．2解析由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则MM 1＝AA 1＋BB 12.因为AB ≤AF ＋BF (F 为抛物线的焦点)，即AF ＋BF ≥6，所以AA 1＋BB 1≥6,2MM 1≥6，MM 1≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2. 9．1解析由题意得，四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，PP 1＋QQ 1＝PQ ＝2，P 1Q 1＝PQ ·sin30°＝1，∴S ＝PP 1＋QQ 12·P 1Q 1＝1. 10．2 2解析设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴BF ＝AF ＝2，AB ＝4.故△OAB 的面积S ＝12AB ·OF ＝12×4×1＝2. 11．2 6解析如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．12．8解析根据对称性，如图所示，不妨设l ：x ＝my ＋1(m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )， ∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝22，即y 1(my 2＋2)－y 2(my 1＋2)(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝22，解得y 1－y 2＝42m 2， ∴4m 2＋1＝42m 2，解得m 2＝1(负值舍去)，∴AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝4m 2＋4＝8.13．4＋2 2解析由y 2＝4x ，得焦点F (1,0)．又AB ＝8，故AB 的斜率存在(否则AB ＝4)．设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，故x 1＋x 2＝2＋4k 2，由AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝2＋4k 2＝6，即k 2＝1，则x 2－6x ＋1＝0，又AF ＜BF ，所以x 1＝3－22，x 2＝3＋22，故BF ＝x 2＋1＝3＋22＋1＝4＋2 2. 14．y 2＝16x解析设抛物线的方程为y 2＝2px ，由⎩⎨⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ，可得2y 2＋py －20p ＝0，由Δ＞0，得p ＞0或p ＜－160，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－p2，所以x 1＋x 2＝5－y 14＋5－y 24 ＝10－14(y 1＋y 2)＝10＋p8，设A (x 3，y 3)，由三角形重心为F (p2，0)，可得x 1＋x 2＋x 33＝p 2，y 1＋y 2＋y 33＝0，所以x 3＝11p 8－10，y 3＝p2，因为A 在抛物线上，所以(p 2)2＝2p (118p －10)，从而p ＝8，所以所求抛物线的方程为 y 2＝16x .。

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类平面解析几何(圆锥曲线之椭圆)练习(附答案)

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类平面解析几何（圆锥曲线之椭圆）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A B C ．12D ．132．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=3．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．65．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A ．3B ．6C ．8D ．126．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=7．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．148．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-9．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知椭圆C ：2221(0)4x y a a+=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．2D ．310．（2018ꞏ全国ꞏ专题练习）（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B ．3C 3D ．1311．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b二、多选题12．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、填空题13．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．14．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.四、解答题15．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．16．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．17．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足BF AB(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN18．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点，M N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围． 19．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =20．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF = （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．21．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．22．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．23．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.24．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.25．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 26．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.27．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2 POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.28．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |ꞏ|ON |=2，求证：直线l 经过定点.29．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.30．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．31．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.32．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .五、双空题33．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.参考答案1．A【要点分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b +=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【答案详解】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率c e a === A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a === A.2．B【要点分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【答案详解】解：因为离心率13c e a ==，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -， B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B. 3．C【要点分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【答案详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 02e <≤；当32b b c->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【名师点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 4．C【要点分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【名师点睛】 5．B【要点分析】根据椭圆中,,a b c 的关系即可求解. 【答案详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以210a =，28c =，可得5a =，4c =，所以22225169b a c =-=-=，可得3b =，所以该椭圆的短轴长26b =，故选：B. 6．B【要点分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得2n =，从而可求解.【答案详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 7．D【答案详解】要点分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 答案详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 名师点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8．D【答案详解】要点分析：设2||PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率.答案详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2||PF m =，则1212||2,||c F F m PF ==，又由椭圆定义可知122||||1)a PF PF m =+=+则离心率212c ce a a ====-，故选D.名师点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 9．C【答案详解】要点分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得a =最后利用椭圆离心率的公式求得结果.答案详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率为e =C. 名师点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．A【答案详解】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===故选A.【名师名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．B【要点分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.【答案详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.12．ACD【要点分析】结合选项进行逐项要点分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【答案详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线Cn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【名师点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13．13【要点分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =. 【答案详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率倒数直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴12226461313cDE y y =-=⨯=⨯⨯⨯=， ∴138c =，得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==. 故答案为：13.14．(【要点分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.【答案详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，又M 为C 上一点且在第一象限,12MF F △为等腰三角形，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M ∴的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．15．(1)22143y x +=(2)(0,2)-【要点分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【答案详解】（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M，(1,)3N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,)3T+-，由MT TH=得到(5,3H--.求得HN方程：(22y x=-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234ky ykk ky yk⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【名师点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.16．(1)2214xy+=(2)4k=-【要点分析】（1）依题意可得22212bcc a b=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y、()22,C x y，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可；【答案详解】（1）解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k++=-+，2122161614k kx x k +⋅=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M xx y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x xMN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414kk k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得4k =，解得4k =-17．(1)e =(2)22162x y +=【要点分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由Δ0=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程. 【答案详解】（1）解：()222224332BF a b a a b AB===⇒=+⇒=，离心率为3c e a ==. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由OMN S =可得31213km m k ⋅=+③ 联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．18．（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【要点分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【答案详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b ⨯⨯=，即a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令=3y -，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.19．（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【要点分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN = 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解.【答案详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =ce a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:MN yk x =-即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k=±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x-+=，所以1212324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==213k =+ 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=-或y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN = 【名师点睛】关键点名师点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.20．（1）2215x y +=；（2）0x y -=.【要点分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点()00,M x y ，要点分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【答案详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为c e a==2c =，1b =，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故06y =，06x =-，所以，直线l的方程为166x y -+=，即0x y -=. 【名师点睛】结论名师点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.21．（1）221612525x y +=；（2）52. 【要点分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得 PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，从而求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.【答案详解】（1） 222:1(05)25x y C m m+=<<∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=．（2）［方法一］：通性通法不妨设P ,Q 在x 轴上方，过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设直线6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ===根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ △面积为：15252⨯=； ②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ △面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52. ［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PE x ⊥轴，垂足为E ．设(6,0)D ，由题知，PEB BDQ ≌．故131p BP PE PEPE x QB BD ==⇒=⇒=±， ①因为(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -，如图，所以，52APQAQD PEDQ PEA S S S S =--=．②因为(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --，如图，所以52APQAQD PEDQ PEA S S S S =--=．综上有52APQ S =△ ［方法三］：由已知可得()5,0B ，直线,BP BQ 的斜率一定存在，设直线BP 的方程为()5y k x =-，由对称性可设0k <，联立方程22(5),161,2525y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221161601625250k x k x k +-+⨯-=，由韦达定理得221625255116P k x k ⨯-=+，所以22805116P k x k -=+，将其代入直线BP 的方程得210116P ky k -=+，所以22280510,116116k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则||BP == 因为BP BQ ⊥，则直线BQ 的方程为1(5)y x k=--，则16,,||Q BQ k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭因为||||BP BQ ==，422566810k k -+=，即()()22641410k k --=，故2164k =或214k =，即18k =-或12k =-．当18k =-时，点P ，Q 的坐标分别为(3,1),(6,8),||P Q PQ -=直线PQ 的方程为71093y x =+，点A 到直线PQ故APQ △的面积为1522=．当12k =-时，点P ，Q 的坐标分别为(3,1),(6,2),||P Q PQ =直线PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线PQ 的距离为2，故APQ △的面积为15222⨯=．综上所述，APQ △的面积为52．［方法四］：由（1）知椭圆的方程为221612525x y +=，(5,0),(5,0)A B -．不妨设()00,P x y 在x 轴上方，如图．设直线:(5)(0)AP y k x k =+>．因为||||,BP BQ BP BQ =⊥，所以00||1,||5Q y BN y BM x ====-．由点P 在椭圆上得201612525x +=，所以209x =．由点P 在直线AP 上得()015k x =+，所以015k x k -=．所以2159k k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简得216101k k =-．所以0110155516k x k k k -⎛⎫-=--== ⎪⎝⎭，即(6,16)Q k ．所以，点Q 到直线AP 的距离d ==．又)0||5AP x k==+=．故115222APQS AP d =⋅== ．即APQ △的面积为52．［方法五］：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，设(6,0)D ，由题知PCB BDQ ≌，所以131p BP PC PCPC x QB BD==⇒=⇒=±．（1）(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -．则1221115|82111|222APQ S x y x y ==-=⨯-⨯= ．（其中()()1122,,,AP x y AQ x y ==）．（2）(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --．同理，1221115|28111|222APQ S x y x y ==-=⨯-⨯= ．（其中()()1122,,,AP x y AQ x y == ）综上，APQ △的面积为52．【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求APQ △的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线BP 的方程()5y k x =-与椭圆的方程联立，求出点P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线AP 的方程:(5)(0)AP y k x k =+>，通过平面知识求出点P 的坐标，表示出点Q ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出．22．（1）22163x y +=；（2）详见解析.【要点分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程. （2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【答案详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以ꞏ0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x k m ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由ꞏ0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）. 此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ?-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．23．（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【要点分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出1C 的方程为2222143x yc c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【答案详解】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第九章平面解析几何 9.3 含答案精品

圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆.( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1.(教材改编)圆心是(－2,3)，且经过原点的圆的标准方程为______________. 答案 (x ＋2)2＋(y －3)2＝13 解析易得r ＝13.2.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________. 答案 6解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离. 因为OC ＝32＋42＝5，所以(OP )max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.3.(2016·扬州检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的方程为______________. 答案 x 2＋y 2＋2x －4y ＝0解析将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0得交点为(－1，2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______. 答案 x 2＋y 2－4x －6＝0 解析设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴CA ＝CB ，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径CA ＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10，即x 2＋y 2－4x －6＝0.5.(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.答案 (1)x 2＋y 2－4x －5＝0 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－4x －5＝0.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.(2016·苏北四市联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43.题型二与圆有关的最值问题例2 (2016·盐城检测)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值. 解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在例2的条件下，求yx的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233. 2.在例2的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题.(2016·扬州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值.解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆.设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值. 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝(OC ′)2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝OB 2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·盐城模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， PN ＝BN .设O 为坐标原点，连结ON ，则ON ⊥PQ ，所以OP 2＝ON 2＋PN 2＝ON 2＋BN 2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况).21.利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程.思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题. 规范解答解一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0).故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.1.(2017·南京检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是______. 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2.已知圆M 的圆心M 在y 轴上，半径为1，直线l ：y ＝2x ＋2被圆M 所截得的弦长为455，且圆心M 在直线l 的下方，则圆M 的标准方程是__________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1 解析点M 到l 的距离d ＝ 1－(255)2＝55.设M (0，a )，所以|2－a |5＝55，所以a ＝1或a ＝3.又因为a <2×0＋2＝2，所以a ＝1. 所以圆M 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为________. 答案 3＋2 2解析由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2ab＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的标准方程为______________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)，半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6.(2016·淮安模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是__________. 答案3解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当PC 最小时，四边形P ACB 的面积最小， (PC )min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时P A ＝PB ＝ 3.所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12×3×1＝ 3.7.(2016·常州模拟)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________________. 答案 x －y ＋3＝0解析设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a <0)，因为圆C 过点(－1,0)，且直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－a )2＝r 2，(|a ＋1|2)2＋(2)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝4，即圆心坐标为(－3,0)，则所求直线为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0.8.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________. 答案 x ＋y －2＝0解析当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9.已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________. 答案 π2解析作出可行域D 及圆x2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求. 易知图中两直线的斜率分别为12，－13，即tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，故弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径).10.在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________. 答案7＋1解析设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值.∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为d ＝(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.11.已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝(23)2＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意.故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2).由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3).(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值. 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又QC ＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.所以(MQ )max ＝42＋22＝62，(MQ )min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第九章解析几何9.5 椭圆含解析

1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝｛M ｜|MF 1|＋｜MF 2｜＝2a ｝，｜F 1F 2|＝2c ，其中a 〉0，c 〉0，且a ，c 为常数:(1）若a 〉c ，则集合P 为椭圆; (2)若a ＝c ，则集合P 为线段；（3）若a 〈c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1 （a >b 〉0）错误!＋错误!＝1（a 〉b >0)图形【知识拓展】点P(x0，y0）和椭圆的关系（1)点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!〈1。

(2)点P(x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝1。

(3）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!〉1。

【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ×)（2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c（其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．( √）（3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（×）（4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n〉0，m≠n）表示的曲线是椭圆．( √)（5）错误!＋错误!＝1（a≠b）表示焦点在y轴上的椭圆．( ×)（6）错误!＋错误!＝1(a〉b>0)与错误!＋错误!＝1(a>b>0）的焦距相等．( √）1．（教材改编）椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为4,则m等于( ) A．4 B．8 C．4或8 D．12答案C解析由题意知错误!或错误!解得m ＝4或m ＝8.2．（2015·广东）已知椭圆错误!＋错误!＝1（m >0）的左焦点为F 1（－4,0），则m 等于( ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 答案 B解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9,又m >0，所以m ＝3。

江苏2018版高考数学复习第九章平面解析几何9

9.5椭圆1.椭圆的概念平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a <c ，则集合P 为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2y 2＋＝1(a >b >0)a 2b 2y 2x 2＋＝1(a >b >0)a 2b2图形范围对称性顶点轴焦距离心率－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称轴：坐标轴对称中心：原点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)性质长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2bF 1F 2＝2c ce ＝∈(0,1)a a 2＝b 2＋c 2a ，b ，c 的关系【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系x 2y 200(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内2＋2<1.a bx2y200(2)点P(x，y)在椭圆上⇔2＋2＝1.a bx2y200(3)点P(x，y)在椭圆外⇔2＋2>1.a b【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×)(4)方程mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(√)22y2x2(5)2＋2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.(×)a bx2y2y2x2(6)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相等.(√)a b a b1.(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.10－m m－2答案4或8⎧⎪10－m>m－2>0，解析由题意知⎨⎪⎩10－m－m－2x2y2＝4⎧⎪m－2>10－m>0，或⎨⎪⎩m－2－10－m＝4，解得m＝4或m＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为__________.答案12x2y24＋＝13解析设点P(x，y)，由题意知化简得3x＋4y＝12，22x＋12＋y21＝，|x＋4|2所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.433.(2016·全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为1其短轴长的，则该椭圆的离心率为________.4x2y21答案211解析如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝·2b＝b.421在Rt△FOB中，OF·OB＝BF·OD，即cb＝a·b，2c1解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝.a214.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是__________.2答案x2y24＋＝13c1x2y2222解析由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝a－c＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.a2435.(教材改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的54三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________.答案x2y2⎛15⎫⎛15⎫，1⎪或，－1⎪⎝2⎭⎝2⎭222解析设P(x，y)，由题意知c＝a－b＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y1515⎛15⎫＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为，1⎪或5422⎝2⎭x2y2⎛15⎫，－1⎪.⎝2⎭题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1(2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P 的轨迹是________.答案椭圆解析由条件知PM ＝PF ，∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF .∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆.命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为___________________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为_____________________________________.答案(1)＋y ＝1或＋＝19819(2)＋＝193解析(1)若焦点在x 轴上，x 22y 2x 2x 2y 2x 2y 2设方程为2＋2＝1(a >b >0).a b30∵椭圆过P (3,0)，∴2＋2＝1，即a ＝3，22a b又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，∴椭圆方程为＋y ＝1.9x 22y 2x 2若焦点在y 轴上，设方程为2＋2＝1(a >b >0).a b03∵椭圆过点P (3,0)，∴2＋2＝1，即b ＝3.22a b又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴椭圆方程为＋＝1.819∴所求椭圆的方程为＋y ＝1或＋＝1.9819(2)设椭圆方程为mx ＋ny ＝1(m >0，n >0且m ≠n ).∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.⎧6m ＋n ＝1，①⎪即⎨⎪⎩3m ＋2n ＝1，②22y 2x 2x 22y 2x 21m ＝，⎧⎪9①②两式联立，解得⎨1n ＝⎪⎩3.∴所求椭圆方程为＋＝1.93命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题x 2y 2x 2y 2→→例3已知F 1，F 2是椭圆C ：2＋2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2.a b若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案3解析设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，则⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，⎪222⎪⎩r 1＋r 2＝4c ，222222因为2r 1r 2＝(r 1＋r 2)－(r 1＋r 2)＝4a －4c ＝4b ，又因为S△PF 1F 2=所以b ＝3.引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程.解由原题得b ＝a －c ＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆方程为＋＝1.259→→2.在例3中，若将条件“PF 1⊥PF 2”“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“S△PF 1F 2=33”，结果如何？解PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 1＋PF 2－2PF 1·PF 2cos 60°＝F 1F 2，即(PF 1＋PF 2)－3PF 1·PF 2＝4c ，所以3PF 1·PF 2＝4a －4c ＝4b ，42所以PF 1·PF 2＝b ，3又因为S△PF 1F 2=2222222222212rr 12=b =9,2x 2y 21PF 1·PF 2·sin 60︒2142332＝·b ·＝b ＝33，2323所以b ＝3.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx ＋ny ＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF 1·PF 2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)＋y ＝169，C 2：(x ＋4)＋y ＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_________.(2)(2016·镇江模拟)设F 1、F 2分别是椭圆＋y ＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使4→→→(OP ＋OF 2)·PF 2＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是______.答案(1)＋＝1(2)16448解析(1)设圆M 的半径为r ，则MC 1＋MC 2＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝C 1C 2，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.6448→→→→→→→→(2)∵(OP ＋OF 2)·PF 2＝(OP ＋F 1O )·PF 2＝F 1P ·PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m ＋n ＝12,2mn ＝4，22222222x 22x 2y 2x 2y 21∴S △F 1PF 2=mn =1.2题型二椭圆的几何性质例4(1)已知点F 1，F 2是椭圆x ＋2y ＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么→→|PF 1＋PF 2|的最小值是________.22x 2y 2(2)(2016·全国丙卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：2＋2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，a bB 分别为椭圆C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________.1答案(1)2(2)3→→解析(1)设P (x 0，y 0)，则PF 1＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2＝(1－x 0，－y 0)，→→∴PF 1＋PF 2＝(－2x 0，－2y 0)，→→22∴|PF 1＋PF 2|＝4x 0＋4y 0＝22－2y 0＋y 0＝2－y 0＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 0≤1，→→2∴当y 0＝1时，|PF 1＋PF 2|取最小值2.(2)设M (－c ，m )，则E 0，又B ，D ，M 三点共线，所以22222⎛⎝am ⎫am ⎛⎫，，OE 的中点为D ，则D 0，⎪⎪a －c ⎭⎝2a －c ⎭m m 1＝，a ＝3c ，e ＝.a －c a ＋c 3思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系.②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.x 2y 2(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2＋2＝1(a ＞b ＞0)的a b右焦点，直线y ＝与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.2b答案63⎧⎪解析联立方程组⎨b y ＝⎪⎩2，x 2y 2＋＝1，a 2b 2解得B ，C 两点坐标为B －⎛⎝3b ⎫⎛3b ⎫a ，⎪，C a ，⎪，22⎭2⎭⎝23b ⎫→⎛3a b ⎫→⎛又F (c,0)，则FB ＝－a －c ，⎪，FC ＝－c ，⎪，2⎭2⎭⎝2⎝2→→又由∠BFC ＝90°，可得FB ·FC ＝0，代入坐标可得3b c －a 2＋＝0，4422①又因为b ＝a －c .222c 22代入①式可化简为2＝，a 3则椭圆离心率为e ＝＝题型三直线与椭圆ca26＝.33x 2y 2113e例5(2016·天津)设椭圆2＋＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知＋＝，其a 3OF OA FA中O 为原点，e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率.113e解(1)设F (c,0)，由＋＝，OF OA FA11即＋＝22c a a 3c222，可得a －c ＝3c .a －c222又a －c ＝b ＝3，所以c ＝1，因此a ＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.43(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).x 2y 2x y ⎧⎪＋＝1，设B (x B ，y B )，由方程组⎨43⎪⎩y ＝k x －2222222消去y ，整理得(4k ＋3)x －16k x ＋16k －12＝0，8k －6解得x ＝2或x ＝2.4k ＋38k －6－12k由题意，得x B ＝2，从而y B ＝2.4k ＋34k ＋3由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，12k ⎫→→⎛9－4k 有FH ＝(－1，y H )，BF ＝ 2，2⎪.⎝4k ＋34k ＋3⎭→→由BF ⊥HF ，得BF ·FH ＝0，4k －912ky H 9－4k 所以2＋2＝0，解得yH ＝.4k ＋34k ＋312k 9－4k 因此直线MH 的方程为y ＝－x ＋.k 12k1222222y ＝k x －2，⎧⎪2设M (x M ，y M )，由方程组⎨19－4k y ＝－x ＋⎪k 12k⎩20k ＋9解得x M ＝.212k ＋1在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO MA ＝MO ，即(x M －2)＋y M ＝x M ＋y M，20k ＋9化简得x M ＝1，即＝1，212k ＋1解得k ＝－66或k ＝.4466或.44222222消去y ，所以直线l 的斜率为－思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝＝1＋121＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]k[y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆O ：＋y ＝1的右焦点为F ，B ，C 分别为椭圆O 的上，下顶点，4x 22P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆O 于另一点M .(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；→→②求PB·PM的取值范围.(1)解由题意知B(0,1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM过椭圆O的右焦点F时，直线PM的方程为x3＋3＝1，即y＝x－1.－13y⎧⎪4＋y＝1，联立⎨3y＝⎪⎩3x－1，2x283⎧x＝⎪7，解得⎨1y＝⎪⎩7⎧⎪x＝0，或⎨⎪y＝－1⎩(舍去)，831即点M的坐标为(，).77连结BF，则直线BF的方程为x＋＝1，31y即x＋3y－3＝0.又BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为83123|＋3×－3|7773d＝＝＝，22271＋31133故△FBM的面积为S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.2277－1－－21 (2)方法一①证明设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，0－m m1则直线PM 的方程为y ＝－x －1.m1y ＝－x －1，⎧⎪m 联立⎨x ⎪⎩4＋y ＝1，22428消去y ，得(1＋2)x ＋x ＝0，m m8m 4－m 解得点M 的坐标为(－2，2)，m ＋4m ＋44－m －12m 2＋4－2m 11－－23所以k 1＝＝＝m ，k 2＝＝－，8m －8m 40－mm －2m ＋4313所以k 1·k 2＝－·m ＝－为定值.m 44→②解由①知，PB ＝(－m,3)，→8m 4－m PM ＝(－2－m ，2＋2)m ＋4m ＋4－m －12m m ＋12＝(2，2)，m ＋4m ＋432222m ＋12m m ＋12→→所以PB ·PM ＝(－m,3)·(－2，2)m ＋4m ＋4m 2＋12m 2＋3＝.m 2＋4令m ＋4＝t >4，→→则PB ·PM ＝232t ＋8tt －1t 2＋7t －88＝＝t －＋7.t t8因为y ＝t －＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，t88→→所以PB ·PM ＝t －＋7>4－＋7＝9，t 4→→故PB ·PM 的取值范围为(9，＋∞).方法二①证明设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x －1，x 0x 0y 0＋1，－2)，令y ＝－2，得点P 的坐标为(－所以k 1＝y 0－1－2－13y 0＋1，k 2＝＝，x 0x 0x 0－y 0＋12y 0－13y 0＋13y 0－1所以k 1·k 2＝·＝x 0x 0x 23y 0－13＝＝－为定值.241－y 042x 0→②解由①知，PB ＝(，3)，y 0＋1→x 0PM ＝(x 0＋，y 0＋2)，y 0＋1x 0x 0→→所以PB ·PM ＝(x 0＋)＋3(y 0＋2)y 0＋1y 0＋1x 2y 0＋20＝＋3(y 0＋2)y 0＋12＝＝41－y 02y 0＋22y 0＋17－y 0＋3(y 0＋2).y 0＋2y 0＋1令t ＝y 0＋1∈(0,2)，→→则PB ·PM ＝8－tt ＋1t8＝－t ＋＋7.t8因为y ＝－t ＋＋7在t ∈(0,2)上单调递减，t88→→所以PB ·PM ＝－t ＋＋7>－2＋＋7＝9，t 2→→故PB ·PM 的取值范围为(9，＋∞).8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.x 2y 2典例1(2015·福建改编)已知椭圆E ：2＋2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点a b4为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是__________.解析左焦点F，连结FA，FB，则四边形AFBF为平行四边形.∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF＝4，∴a＝2.4b4设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.55c离心率e＝＝a答案 0，c2＝a2a2－b2＝a24－b⎛3⎤∈ 0，⎥.42⎦⎝2⎛⎝3⎤⎥2⎦x22典例2(14分)(2016·浙江)如图，设椭圆2＋y＝1(a＞1).a(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.规范解答解(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，y＝kx＋1，⎧⎪2由⎨x22＋y＝1，⎪⎩a2得(1＋a k)x＋2a kx＝0，22222a k故x1＝0，x2＝－22，1＋a k2a|k|2因此AM＝1＋k|x1－x2|＝1＋k.22·1＋a k22[6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足AP＝AQ.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.2a|k1|1＋k12a|k2|1＋k2由(1)知AP＝，AQ＝，22221＋a k11＋a k22222[8分]2a|k1|1＋k12a|k2|1＋k2故＝，22221＋a k11＋a k2所以(k1－k2)[1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2]＝0.由k1≠k2，k1，k2＞0，得1＋k1＋k2＋a(2－a)k1k2＝0，222222222222222222⎛1⎫⎛1⎫22因此2＋1⎪2＋1⎪＝1＋a(a－2)，⎝k1⎭⎝k2⎭22①因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a(a－2)＞1，所以a＞ 2.[12分]因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤2，c a2－12由e＝＝，得0<e≤.a a2所以离心率的取值范围是(0，2].2[14分]x2y21.(2016·盐城模拟)已知椭圆C：＋＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l3m2m交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为________.答案x2y23＋＝12解析∵△AF1B的周长＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a，∴4a＝43，故a＝3，即3m＝(3)，∴m＝1.∴椭圆的方程为＋＝1.322x2y2x2y22.(2016·苏北四市一模)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，点A、B1、B2、F依次为其左顶点、下a ba2顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x＝上，则椭圆的离心率为c____.1答案2解析由题意知直线AB2：－＋＝1，直线B1F：－＝1，联立解得x＝2x ya bx yc b2ac，若交点在椭a－c2ac a1222圆的右准线上，则＝，即2c＋ac－a＝0，所以2e＋e－1＝0，解得e＝.a－c c2x 2y 23.若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是2m__________.答案[1,2)∪(2，＋∞)解析联立直线与椭圆的方程，消去y 得(2k ＋m )x ＋4kx ＋2－2m ＝0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以Δ＝16k －4(2k ＋m )(2－2m )≥0，即2k ＋m －1≥0恒成立，因为k ∈R ，所以k ≥0，则222222m －1≥0，所以m ≥1，又m ≠2，所以实数m 的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞).1124.(2016·南昌模拟)已知椭圆：＋x ＝1，过点P (，)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且922弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________________.答案9x ＋y －5＝0＋x ＝1，⎧⎪9y解析设A (x ，y )，B (x ，y )，因为A ，B 在椭圆＋x ＝1上，所以⎨9y ⎪⎩9＋x ＝1，221211222222y 2y 21两式相减，得即2y 21－y 29＋x 1－x 2＝0，＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，22y 1－y 29y 1＋y 211又弦AB 被点P (，)平分，22所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式，得得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝－9，x 1－x 2即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －＝－9(x －)，即9x ＋y －5＝0.5.(2016·宿迁模拟)已知F 1、F 2是椭圆＋y ＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 24取得最大值的点P 为__________.答案(0,1)或(0，－1)解析由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4，1212x 22∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)＝4，2当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，PF 1·PF 2取得最大值.6.已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________.答案226132解析由题意知，椭圆C 的离心率e ＝，a求e 的最大值，即求a 的最小值.由于A ，B 两点是椭圆的焦点，所以PA ＋PB ＝2a ，即在直线l 上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，设点A (－2,0)关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点为Q (x 0，y 0)，y ⎧⎪x ＋2＝－1，则⎨y x －2⎪⎩2＝2＋3，000解得⎨⎧x 0＝－3，⎪⎪⎩y 0＝1，即Q (－3,1)，则PA ＋PB ≥QB ＝[－3－2]＋21－026，22＝26，即2a ≥26，∴a ≥24226∴e ＝≤＝.a 1326x 2y 2227.若椭圆2＋2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x ＋y ＝4的切线，切点分别a b为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________.答案＋＝12016x 2y 2解析设切点坐标为(m ，n )，则n －1n ·＝－1，m －2m22即m ＋n －n －2m ＝0.∵m ＋n ＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.22∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，∴a ＝b ＋c ＝20，∴椭圆方程为＋＝1.20168.已知P 为椭圆＋＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)＋y ＝1和圆(x －3)＋y ＝4上2516的点，则PM ＋PN 的最小值为________.答案7解析由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.9.(2017·连云港质检)椭圆＋y ＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若4∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________.2626答案(－，)33解析设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，→→则F 1P ＝(x ＋3，y )，F 2P ＝(x －3，y ).→→∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P ·F 2P <0，即x －3＋y <0，222222x 2y 2x 2y 22222x 22①23228∵y ＝1－，代入①，得x －3＋1－<0，x <2，∴x <.444326262626解得－<x <，∴x ∈(－，).3333x 2x 2x 2y 2110.已知椭圆2＋2＝1(a >b >0)的离心率等于，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端a b 3sin A ＋sin B点的任意一点，则在△ABC 中，＝________.sin C 答案3sin A ＋sin B CB ＋CA解析在△ABC 中，由正弦定理得＝，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆sin C AB sin A ＋sin B 2a 1定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以＝＝＝3.sin C 2c ex 2y 211.(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：2＋2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别a b为A ，B ，且AB ＝5BF .2(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程.解(1)由已知AB ＝222,255BF ，即a 2＋b 2＝a ，222224a ＋4b ＝5a 4a ＋4(a －c )＝5a ，∴e ＝＝c a 3.222x 2y 2(2)由(1)知a ＝4b ，∴椭圆C ：2＋2＝1.4b b设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.2x －y ＋2＝0，⎧⎪2由⎨x y 22＋2＝1⎪⎩4b b 2222消去y ，得x ＋4(2x ＋2)－4b ＝0，即17x ＋32x ＋16－4b ＝0.2Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >3216－4b x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.1717→→∵OP ⊥OQ ，∴OP ·OQ ＝0，2217.17即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.5从而16－4b 172－128＋4＝0，17217解得b ＝1，满足b >.17∴椭圆C 的方程为＋y ＝1.4x 22x 2y 212.(2015·安徽)设椭圆E 的方程为2＋2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，a b点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为(1)求E 的离心率e ；5.107(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为，2求E 的方程.⎛21⎫解(1)由题设条件知，点M 的坐标为 a ，b ⎪，⎝33⎭又k OM ＝5b 5，从而＝，102a 10c 2522进而得a ＝5b ，c ＝a －b ＝2b ，故e ＝＝.a 5(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为1⎫⎛5 b ，－b ⎪.2⎭⎝27⎫⎛设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为 x 1，⎪，2⎭⎝则线段NS 的中点T 的坐标为 17⎫⎛5x 1b ＋，－b ＋⎪.244⎭⎝4x5b ＋＝1，点N 的坐标为yb又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，⎧⎪5b 从而有⎨71＋b22⎪x －5b＝⎩215x 1b ＋4217－b ＋44＋＝1，b 5.y 2解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为＋＝1.459x 2x 2y 2213.(2016·南京市学情调研)如图，已知椭圆2＋2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝，一条准线a b 2方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数.2c 2a 解(1)因为＝，＝2，a 2c所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a －c ＝1.故椭圆的方程为＋y ＝1.2(2)方法一设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1).因为k AP ＝22x 22y 1－1y 1－1＝，x 1－0x 1y 1－1x ＋1.x 1.所以直线AP 的方程为y ＝令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1－y 1－1y 1＋1因为k AQ ＝＝－，x 1－0x 1所以直线AQ 的方程为y ＝－令y ＝0，解得n ＝y 1＋1x ＋1.x 1x 1y 1＋1.2－x 1x 1x 1所以mn ＝·＝2.y 1－1y 1＋11－y 1又因为(x 1，y 1)在椭圆＋y ＝1上，2所以＋y ＝1，即1－y ＝，22所以2＝2，即mn ＝2，1－y 1所以mn 为常数，且常数为2.方法二设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，1令y ＝0得m ＝－.x 22x 212121x 21x 21ky ＝kx ＋1，⎧⎪2联立方程组⎨x 2＋y ＝1，⎪⎩222消去y 得(1＋2k )x ＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k 2，1＋2k 21－2k 所以y P ＝k ·x P ＋1＝2，1＋2k 4k 1－2k 则Q 点的坐标为(－2，－2)，1＋2k 1＋2k 1－2k －2－11＋2k 1所以k AQ ＝＝，4k 2k －21＋2k 1故直线AQ 的方程为y ＝x ＋1.2k令y ＝0得n ＝－2k ，1所以mn ＝(－)·(－2k )＝2，22k所以mn 为常数，且常数为2.。

高考数学专题09 椭圆解答题解题方法总结(解析版)

专题09椭圆解答题解题方法总结一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点（三）定值问题（四）角相等的转化（五）距离问题的在转化（六）相切问题的解决方法（七）向量与椭圆的综合（八）点差法的应用（九）对称问题（十）求轨迹的方法四．【题型方法】；（一）三角形的面积问题例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】由2c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=，由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x =-=，又点O 到直线y kx m =+的距离d =，122OPQS d PQ m ∆=⋅⋅=由于2121212121214y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，故2212OPQS m m∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=，故OPQ ∆的面积为定值1.练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F，且过点(1,2和2.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（22【解析】（1）根据题意得，将点2⎛⎝⎭和23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222111213124a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1S 2222=⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， ()22222212122242214142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭221221k k +=+，点O 到直线AB 的距离21k d k -=+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d=所以2ΔABC2111S22221dkkAB⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC∆.（二）定点问题例2. 已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线20x y+-=相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得EA EB⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）定点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b cab c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11bac=⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C的方程是2212xy+=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k=-≠联立()22121xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k+-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第九章

1.椭圆的概念平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a <c ，则集合P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >m －2>0，(10－m )－(m －2)＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点F (－1,0)的距离与P 到定直线x ＝－4的距离的比值为12.则动点P 的轨迹C 的方程为__________.答案 x 24＋y 23＝1解析设点P (x ，y )，由题意知(x ＋1)2＋y 2|x ＋4|＝12，化简得3x 2＋4y 2＝12，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________.答案 12解析如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14·2b ＝12b .在Rt △FOB 中，OF ·OB ＝BF ·OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.4.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是__________.答案 x 24＋y 23＝1解析由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________.答案椭圆解析由条件知PM ＝PF ， ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为___________________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为_____________________________________. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0)，∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.即⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，因为2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又因为1221219,2PF F S rr b ===△ 所以b ＝3. 引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程. 解由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2.在例3中，若将条件“PF 1→⊥PF 2→”“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“12PF F S =△，结果如何？解 PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝F 1F 22，即(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2＝4c 2，所以3PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以PF 1·PF 2＝43b 2，又因为12121··sin 602PF F S PF PF =︒△＝12·43b 2·32＝33b 2＝33，所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF 1·PF 2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_________. (2)(2016·镇江模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是______. 答案 (1)x 264＋y 248＝1 (2)1解析 (1)设圆M 的半径为r ，则MC 1＋MC 2＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝C 1C 2，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，121= 1.2F PF S mn ∴=△题型二椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________.(2)(2016·全国丙卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为椭圆C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________. 答案 (1)2 (2)13解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.(2)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.答案63解析联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2. 代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca ＝23＝63. 题型三直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OF ＋1OA ＝3eF A ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率. 解 (1)设F (c,0)，由1OF ＋1OA ＝3e F A，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意，得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得yH ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔MA ＝MO ，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912(k 2＋1)＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，B ，C 分别为椭圆O 的上，下顶点，P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆O 于另一点M .(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2)①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围.(1)解由题意知B (0,1)，C (0，－1)，焦点F (3，0)，当直线PM 过椭圆O 的右焦点F 时，直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1.联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍去)，即点M 的坐标为(837，17).连结BF ，则直线BF 的方程为x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0.又BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝|837＋3×17－3|12＋(3)2＝2372＝37，故△FBM 的面积为S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(2)方法一 ①证明设P (m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－(－2)0－m ＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1.联立⎩⎨⎧y ＝－1mx －1，x24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＝0，解得点M 的坐标为(－8mm 2＋4，4－m 2m 2＋4)，所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－(－2)0－m ＝－3m ，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值.②解由①知，PB →＝(－m,3)， PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝(－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)，所以PB →·PM →＝(－m,3)·(－m 3＋12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)＝(m 2＋12)(m 2＋3)m 2＋4.令m 2＋4＝t >4，则PB →·PM →＝(t ＋8)(t －1)t＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7.因为y ＝t －8t ＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).方法二 ①证明设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，令y ＝－2，得点P 的坐标为(－x 0y 0＋1，－2)，所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝3(y 0＋1)x 0，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3(y 0＋1)x 0＝3(y 20－1)x 20＝3(y 20－1)4(1－y 20)＝－34为定值. ②解由①知，PB →＝(x 0y 0＋1，3)，PM →＝(x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2)，所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1(x 0＋x 0y 0＋1)＋3(y 0＋2)＝x 20(y 0＋2)(y 0＋1)2＋3(y 0＋2) ＝4(1－y 20)(y 0＋2)(y 0＋1)2＋3(y 0＋2)＝(7－y 0)(y 0＋2)y 0＋1.令t ＝y 0＋1∈(0,2)，则PB →·PM →＝(8－t )(t ＋1)t ＝－t ＋8t ＋7.因为y ＝－t ＋8t ＋7在t ∈(0,2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________.解析左焦点F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32典例2 (14分)(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此AM ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. [6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. [8分]由(1)知AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)， ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.[12分]因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22]. [14分]1.(2016·盐城模拟)已知椭圆C ：x 23m ＋y 22m ＝1(m >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为________. 答案 x 23＋y 22＝1解析 ∵△AF 1B 的周长＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2＝4a ，∴4a ＝43，故a ＝3，即3m ＝(3)2，∴m ＝1. ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A 、B 1、B 2、F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在直线x ＝a 2c 上，则椭圆的离心率为____.答案 12解析由题意知直线AB 2：－x a ＋y b ＝1，直线B 1F ：x c －y b ＝1，联立解得x ＝2aca －c ，若交点在椭圆的右准线上，则2ac a －c ＝a 2c，即2c 2＋ac －a 2＝0，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.3.若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 22＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是__________.答案 [1,2)∪(2，＋∞)解析联立直线与椭圆的方程，消去y 得(2k 2＋m )x 2＋4kx ＋2－2m ＝0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以Δ＝16k 2－4(2k 2＋m )(2－2m )≥0，即2k 2＋m －1≥0恒成立，因为k ∈R ，所以k 2≥0，则m －1≥0，所以m ≥1，又m ≠2，所以实数m 的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞).4.(2016·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________________. 答案 9x ＋y －5＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1，两式相减，得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P (12，12)平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式，得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为 y －12＝－9(x －12)，即9x ＋y －5＝0. 5.(2016·宿迁模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取得最大值的点P 为__________. 答案 (0,1)或(0，－1)解析由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，PF 1·PF 2取得最大值.6.已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________. 答案22613解析由题意知，椭圆C 的离心率e ＝2a ，求e 的最大值，即求a 的最小值. 由于A ，B 两点是椭圆的焦点，所以P A ＋PB ＝2a ，即在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 的值最小，设点A (－2,0)关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点为Q (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＋2＝－1，y 02＝x 0－22＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝1，即Q (－3,1)，则P A ＋PB ≥QB ＝[(－3)－2]2＋(1－0)2＝26，即2a ≥26，∴a ≥262， ∴e ＝2a ≤426＝22613.7.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________. 答案 x 220＋y 216＝1解析设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.8.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________. 答案 7解析由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.9.(2017·连云港质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (－263，263)解析设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①，得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263).10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C ＝________.答案 3解析在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CAAB ，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.11.(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且AB ＝52BF .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程. 解 (1)由已知AB ＝52BF ，即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12.(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.13.(2016·南京市学情调研)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数. 解 (1)因为c a ＝22，a 2c＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)方法一设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1). 因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1.因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1. 令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1.所以mn ＝－x 1y 1－1·x 1y 1＋1＝x 211－y 21.又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 212，所以x 211－y 21＝2，即mn ＝2，所以mn 为常数，且常数为2.方法二设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，令y ＝0得m ＝－1k .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k 2，所以y P ＝k ·x P ＋1＝1－2k 21＋2k 2，则Q 点的坐标为(－4k1＋2k 2，－1－2k 21＋2k 2)，所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1.令y ＝0得n ＝－2k ，所以mn ＝(－1k )·(－2k )＝2，所以mn 为常数，且常数为2.。

教育最新K122019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第2课时分层演练文

第5讲椭圆第2课时一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，12解析：选C ．如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12．2．设A 1、A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得kPA 1·kPA 2>－12，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(0，22) C ．(22，1) D ．(12，1)解析：选C ．椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)，设P (x 0，y 0)，根据题意，kPA 1·kPA 2＝y 20x 20－a 2>－12，而x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以a 2－x 20＝a 2y 20b 2，于是b 2a 2<12，即a 2－c2a 2<12，1－e 2<12，所以e >22，又e <1，故22<e <1，选C ． 3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A ．设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋y m＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2和B (a ，0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13． 4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A ．32B ．332C ．94D ．154解析：选B ．设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ．由条件知|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cosθ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332，即F 1P →·F 2A →的最大值为332．二、填空题5．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0a －x 0＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b2a 2＝14，从而e ＝1－b 2a 2＝32．答案：326．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆C 的右顶点A 的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N ，则直线MN 恒过的定点为________．解析：直线MN 过定点D ．当直线MN 的斜率存在时，设MN ：y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．根据已知可知y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14，即4y 1y 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝0，即(1＋4k 2)x 1x 2＋(4km －2)(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0，所以(1＋4k 2)·4m 2－41＋4k 2＋(4km －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2＋4m 2＋4＝0，即(4km －2)(－8km )＋8m 2(1＋4k 2)＝0，即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k ．当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D (0，0)．由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点(2，0)，故不可能．当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为12，－12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点(0，0)．综上可知，直线MN 过定点D (0，0)．答案：(0，0) 三、解答题7．已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433．(1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解：(1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163．由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|·(1＋cos 60°)，解得|MF 1|＋|MF 2|＝42．从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22．由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2．从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)·4k （k －2）2k 2－8k＝4．当直线l 的斜率不存在时，可得A (－1，142)， B (－1，－142)，得k 1＋k 2＝4．综上，k 1＋k 2为定值．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，且|AF |＝1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，是否存在点M (t ，0)使MP →·MQ →＝0成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，所以b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2．设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k ＝－4km ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m ．因为M (t ，0)，Q (4，4k ＋m )，所以MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )，所以MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1．所以存在点M (1，0)符合题意．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →．(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3．所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，所以λ1＝m y 1－1．同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1．因为λ1＋λ2＝－3，所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②，得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点．10．如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0．因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0．①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2．②由①②得m <－63或m >63． (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1．设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝c ＝1．故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1．(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)， MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t 9且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9且－3<t <3，由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159，又－3<t <3，可得－73<y 4<－1，因此点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝32．(1)求椭圆的方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．解：(1)由题意知，e ＝c a ＝22，则a ＝2c ，b ＝c ．当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝2a ＋2b2a＝22c ＋2c ＝32，所以c ＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条的斜率为0时，另一条的斜率不存在．由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2．②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程，并整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·2 2 k 2＋11＋2k 2＝22（k 2＋1）1＋2k2．同理，|CD |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋11＋2k2＝22（k 2＋1）k 2＋2．所以S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22（k 2＋1）1＋2k 2·22（k 2＋1）k 2＋2 ＝4（k 2＋1）22k 4＋2＋5k2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 22⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k2＋1．因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎪⎫2k ·1k 2＋1＝9，当且仅当k ＝±1时取等号，所以S 四边形∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫169，2．综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤169，2．。

2018版高考数学全国用,理科专题复习：专题9 平面解析几何第62练精品

1．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0 2．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．23．已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( )A. 3B ．2C ．2 3D ．44．已知直线l ：x －3y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则AB →在x 轴正方向上投影的绝对值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 26．已知点M (－2,0)，N (2,0)，若圆x 2＋y 2－6x ＋9－r 2＝0(r >0)上存在点P (不同于M ，N )，使得PM ⊥PN ，则实数r 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[1,3]7．(2016·西安西北工业大学附中训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π4B.⎣⎡⎦⎤π12，5π12C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤0，π2 二、填空题9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________________．10．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．三、解答题11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．答案精析1．B [以PO 为直径的圆(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝134与圆x 2＋y 2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x ＋3y －1＝0.]2．B [由题意知，圆心⎝⎛⎭⎫1，－m 2在直线2x ＋y ＝0上，∴2－12m ＝0，解得m ＝4， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆的半径为3.]3．B [当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝4－d 2·d ＝ 4－d 2 d 2≤4－d 2＋d 22＝2，当且仅当4－d 2＝d 2，即d ＝2时等号成立，所以△OAB 面积的最大值是2.]4．C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →在x 轴正方向上投影的绝对值为|x 2－x 1|.联立直线和圆的方程⎩⎨⎧x －3y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，消去y 得x 2＋x －2＝0，解得两根为－2，1，故|x 2－x 1|＝3.] 5．B [圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)，故EF ＝ 5.∴BD ＝210－(5)2＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.] 6．A [依题意得以AB 为直径的圆和圆x 2＋y 2－6x ＋9－r 2＝0(r >0)有交点，圆x 2＋y 2－6x ＋9－r 2＝0化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝r 2.两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，两圆的圆心距为3，故|r －2|<3<r ＋2，解得1<r <5，故选A.]7．B [圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，表示以C (1，－1)为圆心、3为半径的圆．圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 9－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．]8．B [由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π12，5π12.] 9．x －y ＋3＝0解析易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB |最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 10．±1解析因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离 d ＝r sin 45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1. 11．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3，解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，|PB |＋|PQ |最小，故|PB |＋|PQ |的最小值为|B ′C |－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)，故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3，此时点P 的坐标为(32，12)．。

2018版高考数学文北师大版大一轮复习讲义教师版文档

1．椭圆的概念把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a <c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )1．(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12 答案 C 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >m －2>0，(10－m )－(m －2)＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.2．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.3．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 B 解析如图，由题意得|BF |＝a ，|OF |＝c ，|OB |＝b ，|OD |＝14×2b ＝12b .在Rt △FOB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12，故选B.4．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________．答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_______________________________________．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为_______________________________________．答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)，∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵12PF F S ∆＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. 引申探究1．在例3中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2．在例3中将条件“PF 1→⊥PF 2→”、“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”、“12PF F S ∆＝33”，结果如何？解 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝|F 1F 2|2，即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×43b 2×32 ＝33b 2＝33，所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式． (3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 (2)(2016·大庆质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 (1)D (2)D解析 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4， ∴12F PF S ＝12mn ＝1.题型二椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2(2)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 (1)C (2)A解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆的离心率为e ＝ca＝23＝63. 题型三直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H4k 2＋3＝0，解得yH ＝9－4k 212k.因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912(k 2＋1)＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(2016·唐山模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.8．高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．典例1 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 解析左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A. 答案 A典例2 (12分)(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，[2分] 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2.[4分] (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，[5分] 且k 1>0，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.[7分] 由k 1≠k 2，k 1>0，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，[10分] 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22]．[12分]1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或－21 答案 D解析当9>4－k >0，即4>k >－5时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ， ∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9<4－k ，即k <－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， ∴－k －54－k ＝45，解得k ＝－21，故选D. 3．(2016·沈阳质检)若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 22＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．[1,2)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析联立直线与椭圆的方程，消去y 得(2k 2＋m )x 2＋4kx ＋2－2m ＝0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以Δ＝16k 2－4(2k 2＋m )(2－2m )≥0，即2k 2＋m －1≥0恒成立，因为k ∈R ，所以k 2≥0，则m －1≥0，所以m ≥1，又m ≠2，所以实数m 的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞)．4．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 D解析观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2，即④式正确，③式不正确．故选D.5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝2 2 (当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.6.(2016·合肥模拟)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.2613 B.22613 C.21313 D.41313答案 B解析由题意知，椭圆C 的离心率e ＝2a ，求e 的最大值，即求a 的最小值，由于A ，B 两点是椭圆的焦点，所以|P A |＋|PB |＝2a ，即在直线l 上找一点P ，使|P A |＋|PB |的值最小，设点A (－2,0)关于直线l ： y ＝x ＋3的对称点为Q (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＋2＝－1，y 02＝x 0－22＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝1，即Q (－3,1)，则|P A |＋|PB |≥|QB | ＝[(－3)－2]2＋(1－0)2＝26，即2a ≥26，∴a ≥262， ∴e ＝2a ≤426＝22613，故选B.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．答案 x 220＋y 216＝1解析设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.8．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 7解析由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.9．(2017·石家庄质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．答案 (－263，263)解析设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________．答案 3解析在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.11．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12．(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果，可得直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.13.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标为(3，1)，AB 所在直线的斜率为33.(1)求椭圆M 的方程；(2)当△ABC 的面积最大时，求直线AB 的方程．解 (1)由椭圆的定义知2a ＝(－2－3)2＋(0－1)2＋(2－3)2＋(0－1)2，所以a 2＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意设直线AB 的方程为y ＝33x ＋m ，由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1，y ＝33x ＋m消去y ，得2x 2＋23mx ＋3m 2－6＝0，因为直线AB 与椭圆M 交于不同的两点A ，B ，且点C 不在直线AB 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12m 2－24(m 2－2)>0，1≠33×3＋m ，解得－2<m <2且m ≠0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝3m 2－62，y 1＝33x 1＋m ，y 2＝33x 2＋m . 所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝43[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24－m 2. 点C (3，1)到直线y ＝33x ＋m 的距离d ＝3|m |2. 于是△ABC 的面积S ＝12|AB |·d ＝32|m |·4－m 2≤32·m 2＋(4－m 2)2＝3，当且仅当|m |＝4－m 2，即m ＝±2时“＝”成立．所以当m ＝±2时，△ABC 的面积最大，此时直线AB 的方程为y ＝33x ±2，即x －3y ±6＝0.。

2018版高考数学理科专题复习：专题9 平面解析几何第61练含解析

x2 y2 10．已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB a b 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为________________． x2 11．(2016·y＝k(x＋ 3)交于点 A，B，则△ABM 4 的周长为________． 12．(2016·豫北六校联考)如图所示，A，B 是椭圆的两个顶点，C 是 AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点 M，且 OF＝ 2，若 MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．
答案精析
1．16 2.4
3 3．x2＋ y2＝1 2 解析如图，设 F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c＝ 1－b2.
又设 A(c，b2)，B(x0，y0)．由 AF1＝3F1B， → → 得AF1＝3F1B，即(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0) ＝(3x0＋3c,3y0)， 5 5 ∴x0＝－ c＝－ 1－b2， 3 3 1 y0＝－ b2. 3 251－b2 b2 代入椭圆方程，得＋＝1， 9 9 2 解得 b2＝ . 3 故椭圆 E 的方程为 x2＋ 4. 2 2
所以 b＝ a2－c2＝ 3c，则方程 ax2＋2bx＋c＝0 为 2x2＋2 3x＋1＝0， 1 所以 x1＋x2＝－ 3，x1x2＝， 2 则点 P(x1，x2)到原点的距离
2 2 d＝ x2 1＋x2＝ x1＋x2 －2x1x2
＝ 3－1＝ 2. 10. x2 y2 ＋＝1 18 9 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2 y2 7．已知椭圆 C：＋＝1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B， 9 4 线段 MN 的中点在 C 上，则 AN＋BN＝________________. 8．(2016·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是椭圆上一点，且 PF1， F1F2，PF2 成等差数列，则椭圆的方程为________________． x2 y2 1 9．(2016·衡水冀州中学上学期第四次月考)若椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝，右焦点为 a b 2 F(c,0)，方程 ax2＋2bx＋c＝0 的两个实数根分别是 x1， x2，则点 P(x1，x2)到原点的距离为________．

精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练抛物线练习文

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题9 平面解析几何第62练抛物线练习文1．(2016·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．2．(2016·洛阳统考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝5，则BF ＝________.3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值为________．4．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________．5．(2016·无锡模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是______________．6．(2016·宁波质检)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．7．(2016·常州模拟)如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的投影为N ，则∠ONB ＝________.8．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________． 9．(2016·龙岩质检)已知抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线的方程为__________________．10．(2016·镇江模拟)已知过拋物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，AF ＝2，则BF ＝______，△OAB 的面积是________．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．12．(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点．若tan∠AMB ＝22，则AB ＝________. 13．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝8，AF ＜BF ，则BF ＝________.14．(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，并且△ABC 的重心是抛物线的焦点，BC 边所在的直线方程为4x ＋y －20＝0，则抛物线的方程为__________．答案精析 1.92 2.54 3.5 4．－18解析抛物线的标准方程为x 2＝1a y .由条件得2＝－14a ，a ＝－18.5．y 2＝3x解析分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则BF ＝BD ， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BD ， ∴∠BCD ＝30°，又AE ＝AF ＝3，∴AC ＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 6.172解析记抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值．结合图形不难得相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于122＋22＝172. 7．30°解析因为点A 到抛物线C 的准线的距离为AN ＋p 2，点A 到焦点F 的距离为AB ＋p2，所以AN＝AB ，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°. 8．2解析由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则MM 1＝AA 1＋BB 12.因为AB ≤AF ＋BF (F为抛物线的焦点)，即AF ＋BF ≥6，所以AA 1＋BB 1≥6,2MM 1≥6，MM 1≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2.9．y 2＝－45x解析由c 2＝9－4＝5，得抛物线的焦点坐标为(－5，0)，又抛物线的顶点坐标为(0,0)，∴抛物线方程为y 2＝－45x . 10．2 2解析设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴BF ＝AF ＝2，AB ＝4.故△OAB 的面积S ＝12AB ·OF ＝12×4×1＝2.11．2 6解析如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为2 6 米． 12．8解析根据对称性，如图所示，不妨设l ：x ＝my ＋1(m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∵tan∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )， ∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝22，即y 1my 2＋－y 2my 1＋my 1＋my 2＋＋y 1y 2＝22，解得y 1－y 2＝42m 2， ∴4m 2＋1＝42m 2，解得m 2＝1(负值舍去)，∴AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝4m 2＋4＝8.13．4＋2 2解析由y 2＝4x ，得焦点F (1,0)．又AB ＝8，故AB 的斜率存在(否则AB ＝4)．设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k2＋4)x ＋k 2＝0，故x 1＋x 2＝2＋4k 2，由AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝2＋4k2＝6，即k 2＝1，则x 2－6x ＋1＝0，又AF ＜BF ，所以x 1＝3－22，x 2＝3＋22，故BF ＝x 2＋1＝3＋22＋1＝4＋2 2. 14．y 2＝16x解析设抛物线的方程为y 2＝2px ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ，可得2y 2＋py －20p ＝0，由Δ＞0，得p ＞0或p ＜－160，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－p2，所以x 1＋x 2＝5－y 14＋5－y 24＝10－14(y 1＋y 2)＝10＋p8，设A (x 3，y 3)，由三角形重心为F (p2，0)，可得x 1＋x 2＋x 33＝p 2，y 1＋y 2＋y 33＝0，所以x 3＝11p 8－10，y 3＝p2，因为A 在抛物线上，所以(p 2)2＝2p (118p －10)，从而p ＝8，所以所求抛物线的方程为y 2＝16x .。

2018届高三数学理一轮温习第九章平面解析几何第五节椭圆含解析(供参考)

第五节椭圆A 组基础题组1.已知方程x 22-x +x 22x -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( )A.(1,2)B.(1,+∞) C .(1,2) D.(1,1)2.(2017黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的核心在x 轴上,离心率为3,直线x+y-4=0与y 轴的交点为椭圆的一个极点,那么椭圆的方程为( ) A.x 225+x 29=1B.x 29+x 225=1C.x 225+x 216=1 D.x 216+x 225=13.矩形ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,那么以A,B 为核心,且过C,D 两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2√3B.2√6C.4√2D.4√34.设椭圆x 24+y 23=1的核心为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3B.3或32C.32D.6或35.已知椭圆x 24+y 2b=1(0<b<2)的左,右核心别离为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( ) A.1B.√2C.32D.√36.已知椭圆的中心在原点,核心在x 轴上,离心率为√55,且过点P(-5,4),那么椭圆的标准方程为 . 7.已知椭圆C 的中心在原点,一个核心为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶√3,那么椭圆C 的方程是 .8.椭圆x 29+y 22=1的左,右核心别离为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则∠F 1PF 2的大小为 .9.已知椭圆的两核心为F 1(-√3,0),F 2(√3,0),离心率e=√32. (1)求此椭圆的方程;(2)设直线l:y=x+m,若l 与此椭圆相交于P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.10.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2别离为椭圆的左,右核心,A 为椭圆的上极点,直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若=2,·=32,求椭圆的方程.B 组提升题组11.已知椭圆C:x 24+y 23=1的左,右核心别离为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2.假设点P 是椭圆C 上的动点,则·的最大值为( ) A.√32B.3√32C.94D.15412.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-2√5,0)为C 的左核心,P 为C 上一点,知足|OP|=|OF|,且|PF|=4,那么椭圆C 的方程为( )A.x 225+y 25=1B.x 236+y 216=1C.x 230+y 210=1D.x 245+y 225=113.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右核心,直线y=b 2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是 .14.设F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右核心,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,那么椭圆C 的离心率为 .15.(2016云南检测)已知核心在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O,离心率等于√32,以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5.直线l:y=kx+m 与y 轴交于点P,与椭圆E 相交于A 、B 两个点. (1)求椭圆E 的方程; (2)若=3,求m 2的取值范围.答案全解全析 A 组基础题组1.C ∵方程x 22-k +y 22k -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,因此{2-k >0,2k -1>0,2k -1>2-k,解得{k <2,k >12,k >1,故k 的取值范围为(1,2).2.C 设椭圆的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),由题意知{c a =35,b =4,a 2=b 2+c 2,解得{a =5,b =4,c =3,因此椭圆的方程为x 225+y 216=1.3.D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,因此短轴长2b=2√a 2-c 2=2√16-4=4√3.4.C 由椭圆的方程知a=2,b=√3,c=1,当点P 为短轴端点(0,√3)时,∠F 1PF 2=,△PF 1F 2是正三角形,若△PF 1F 2是直角三角形,那么直角极点不可能是点P,只能是核心F 1(或F 2),现在|PF 1|=b 2a =,=12×32×2=32.应选C.5.D 由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的概念可知,|AF 2|+|BF 2|+|AB|=4a=8,因此|AB|=8-(|AF 2|+|BF 2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆核心的弦中,垂直于核心所在座标轴的弦最短,则2b 2a=3.因此b 2=3,即b=√3.6.答案x 245+y 236=1解析由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0).由离心率e=√55可得a 2=5c 2,因此b 2=4c 2,故椭圆的方程为x 25c 2+y 24c 2=1,将P(-5,4)代入可得c 2=9,故椭圆的方程为x 245+y 236=1.7.答案x 216+y 212=1解析设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0).由题意知解得a 2=16,b 2=12.因此椭圆C 的方程为x 216+y 212=1. 8.答案 120° 解析由椭圆概念知,|PF 2|=2,|F 1F 2|=2×√9-2=2√7.在△PF 1F 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|?|PF 2|==-12,∴∠F 1PF 2=120°.9.解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知c=√3,ca =√32,因此a=2,则b=1,所求椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)由{x 24+y 2=1,y =x +m消去y,得5x 2+8mx+4(m 2-1)=0,则Δ=64m 2-4×5×4(m 2-1)>0,整理,得m 2<5(*). 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8m 5,x 1x 2=4(m 2-1)5,y 1-y 2=x 1-x 2,|PQ|=√2[(-8m 5)2-16(m 2-1)5]=2. 解得m=±√304,知足(*),因此m=±√304. 10.解析 (1)∠F 1AB=90°,则△AOF 2为等腰直角三角形,因此有OA=OF 2,即b=c.因此a=√2c,因此e=ca =√22. (2)由题知A(0,b),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=√a 2-b 2,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c 2,y=-b 2,即B (3c 2,-b2).将B 点坐标代入x 2a 2+y 2b 2=1,得94c 2a 2+b 24b 2=1,即9c 24a 2+14=1,解得a 2=3c 2①.又由·=(-c,-b)·(3c2,-3b2)=32,得b 2-c 2=1,即a 2-2c 2=1②. 由①②解得c 2=1,a 2=3,从而有b 2=2. 因此椭圆的方程为x 23+y 22=1.B 组提升题组11.B 由椭圆方程知c=√4-3=1,因此F 1(-1,0),F 2(1,0),因为椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2,因此可设A(1,y 0),代入椭圆方程可得y 02=94,因此y 0=±32.设P(x 1,y 1),则=(x 1+1,y 1),又=(0,y 0),因此·=y 1y 0,因为点P 是椭圆C 上的动点,因此-√3≤y 1≤√3,故·的最大值为3√32,选B.12.B 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),焦距为2c,右核心为F',连接PF',如下图.因为F(-2√5,0)为C 的左核心,因此c=2√5.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP ⊥PF'.在Rt △PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=√|FF'|2-|PF|2=√(4√5)2-42=8.由椭圆概念,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,因此a=6,a 2=36,于是b 2=a 2-c 2=36-(2√5)2=16,因此椭圆的方程为x 236+y 216=1.13.答案√63解析由已知条件易患B (-√32a,b 2),C (√32a,b2),F(c,0), ∴=(c +√32a,-b 2),=(c -√32a,-b 2), 由∠BFC=90°,可得·=0,因此(c -√32a)(c+√32a)+(-b 2)2=0, c 2-34a 2+14b 2=0, 即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0, 亦即3c 2=2a 2,因此c 2a2=23,则e=ca =√63.14.答案√33解析如图,设PF 1的中点为M,连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点,因此OM 为△PF 1F 2的中位线. 因此OM ∥PF 2,因此∠PF 2F 1=∠MOF 1=90°. 因为∠PF 1F 2=30°,因此|PF 1|=2|PF 2|. 由勾股定理得|F 1F 2|=√|PF 1|2-|PF 2|2=√3|PF 2|, 由椭圆概念得2a=|PF 1|+|PF 2|=3|PF 2|⇒a=3|PF 2|2,2c=|F 1F 2|=√3|PF 2|⇒c=√3|PF 2|2, 则e=ca =√3|PF 2|2·23|PF 2|=√33.15.解析 (1)依照已知设椭圆E 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0), 由已知得ca =√32, ∴c=√32a,b 2=a 2-c 2=a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5, ∴4√a 2+b 2=2√5a=4√5,∴a=2,∴b=1. ∴椭圆E 的方程为x 2+y 24=1.(2)依照已知得P(0,m),设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由{y =kx +m,4x 2+y 2-4=0得,(k 2+4)x 2+2mkx+m 2-4=0. 由已知得Δ=4m 2k 2-4(k 2+4)(m 2-4)>0, 即k 2-m 2+4>0,由一元二次方程的根与系数的关系知,x 1+x 2=-2kmk 2+4,x 1x 2=m 2-4k 2+4. 由=3得x 1=-3x 2,∴3(x 1+x 2)2+4x 1x 2=12x 22-12x 22=0.∴12k 2m 2(k 2+4)2+4(m 2-4)k 2+4=0,即m 2k 2+m 2-k 2-4=0.当m 2=1时,m 2k 2+m 2-k 2-4=0不成立,∴k 2=4-m 2m 2-1.由题意知k ≠0,m ≠0,结合m 2k 2+m 2-k 2-4=0,知k 2-m 2+4=m 2k 2>0, ∴4-m 2m 2-1-m 2+4>0,即(4-m 2)m 2m 2-1>0.∴1<m2<4.∴m2的取值范围为(1,4).。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.5 椭圆教师用书(2021年最新整理)

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圆教师用书1．椭圆的概念平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝｛M｜|MF1｜＋|MF2｜＝2a}，｜F1F2｜＝2c，其中a〉0，c〉0,且a，c为常数：(1)若a〉c，则集合P为椭圆；（2)若a＝c，则集合P为线段；（3)若a〈c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1 （a>b〉0)错误!＋错误!＝1 (a〉b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0），A2(a，0)B1(0，－b),B2(0，b)A1(0,－a）,A2(0，a)B1(－b，0），B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2｜＝2c离心率e＝ca∈(0，1）a，b,c的关系a2＝b2＋c2【知识拓展】点P(x0，y0）和椭圆的关系(1）点P(x0，y0)在椭圆内⇔错误!＋错误!<1。

（2）点P(x0，y0)在椭圆上⇔错误!＋错误!＝1。

（3）点P（x0，y0)在椭圆外⇔错误!＋错误!〉1.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ×)(2）椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c（其中a为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距)．（√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ×)(4）方程mx2＋ny2＝1（m>0,n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆．( √)(5)y2a2＋错误!＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( ×)（6）x2a2＋y2b2＝1(a>b>0）与错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的焦距相等．( √)1．(教材改编）椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为4,则m等于( ）A．4 B．8 C．4或8 D．12答案C解析由题意知错误!或错误!解得m＝4或m＝8。

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江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第59练椭圆的定义与标准方程练习文

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(加练半小时)2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9_平面解析几何_第64练_(有解析)

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