Mathematica线性代数运算命令与例题

第五章 线性代数运算命令与例题

线性代数中常用的工具是矩阵(向量)和行列式。用这些工具可以表示工程技术，经济工

作中一些需要用若干个数量从整体上反映其数量关系的问题。用这些工具可以简明凝练而准确地把所要研究的问题描述出来，以提高研究的效率。在线性代数课程中我们看到了用这些工具研究齐次和非齐次线性方程组解的理论和解的结构，矩阵的对角化，二次型化标准形等问题的有力，便捷.

5.1向量与矩阵的定义

数学上矩阵是这样定义的:

由n m ⨯个数排成m 行n 列的数表

mn

m m n

n a a a a a a a a a

21222

21

11211

称为m 行n 列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。

记作: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 21

2222111211 两个n m ⨯矩阵称为同型矩阵。

线性代数中的运算对象是向量和矩阵，因此首先介绍向量和矩阵的输入。

5.1.1输入一个矩阵

命令形式1:Table[f[i,j]，{i ，m}，{j ，n}]

功能: 输入n m ⨯矩阵，其中f 是关于i 和j 的函数，给出[i ， j]项的值.

命令形式2:直接用表的形式来输入

功能:用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。

注意:

1.Mathematica 是采用一个二重表的形式来表示矩阵的，即用

{{…},{…},…,{…}}

其中表中的每个表元素都是等长的一维表，第一个表元素是矩阵的第一行，第二个表元素是矩阵的第二行，一般，第n 个表元素是矩阵的第n 行。要看通常的矩阵形式可以用命令:

MatrixForm[%]

2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为

Table[f[j]，{j,n}]或直接输入一个一维表{a1,a2,…,an}，这里a1,a2,…,an 是数或字母。

例题

例1.输入矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---4138163912145856120312、向量b={1,4,7,-3}。 解:Mathematica 命令

In[1]:= a={{12，-3，0，2，1}，{56，-8，-45，21，91}，{3，6，81，13，4}}

Out[1]:= {{12，-3，0，2，1}，{56，-8，-45，21，91}，{3，6，81，13，4}}

In[2]:=b={1, 4, 7, -3}

Out[2]:= {1, 4, 7, -3}

例2. 输入一个35⨯矩阵[][][][][][][][][][]

[][][][][]⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡8Sin 7Sin 6Sin 7Sin 6Sin 5Sin 6Sin 5Sin 4Sin 5Sin 4Sin 3Sin 4Sin 3Sin 2Sin 解:Mathematica 命令

In[3]:=Table[Sin[i+j]，{i ，5}，{j ，3}]

Out[3]:={{Sin[2]，Sin[3]，Sin[4]}，{Sin[3]，Sin[4]，Sin[5]}，{Sin[4]，Sin[5]，Sin[6]}，

{Sin[5]，Sin[6]，Sin[7]}，{Sin[6]，Sin[7]，Sin[8]}}

In[4]:=MatrixForm[%]

Out[4]:=

Sin[2] Sin[3] Sin[4]

Sin[3] Sin[4] Sin[5]

Sin[4] Sin[5] Sin[6]

Sin[5] Sin[6] Sin[7]

Sin[6] Sin[7] Sin[8]

5.1.2 几个特殊矩阵的输入

1. 生成0矩阵

命令形式: Table[0，{m}，{n}]

功能:产生一个n m ⨯的0矩阵

2. 生成随机数矩阵

命令形式: Table[Random[ ]，{m}，{n}]

功能: 产生一个n m ⨯的随机数矩阵

3.生成上三角矩阵

命令形式: Table[If[i<=j，a，0]，{i，m}，{j，n}]

功能:产生一个非0元全为数a的上三角矩阵

4.生成下三角矩阵

命令形式: Table[If[i>=j，a，0]，{i，m}，{j，n}]

m⨯下三角矩阵

功能:产生一个非0元全为数a的n

5.生成三对角矩阵

命令形式: Table[Switch[i-j，-1，a[[i]]，0，b[[i]]，1，c[[i-1]]，-，0]，{i，m}，{j，n}] m⨯的三对角矩阵

功能:产生一个n

6.生成对角矩阵

命令形式:DiagonalMatrix[list]

功能:使用列表中的元素生成一个对角矩阵.

7.生成单位矩阵

命令形式:IdentityMatrix[n]

功能:生成n阶单位阵

例题

4⨯的0矩阵。

例3. 构造3

解: Mathematica命令

In[5]:=Table[0，{4}，{3}]

Out[5]:= {{0，0，0}，{0，0，0}，{0，0，0}，{0，0，0}}

In[6]:= MatrixForm[%]

Out[6]:=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2⨯的随机数矩阵。

例4. 构造一个5

解: Mathematica命令

In[7]:=Table[Random[ ]，{2}，{5}]

Out[7]:={{0.46223，0.545335，0.423938，0.635765，0.792571}，

{0.802126，0.372146，0.114424，0660867，0.0163719}}

例5. 构造非0元全为2的4⨯5上三角矩阵。

解:Mathematica命令