第14讲4算符的矩阵表示例子
算符的矩阵表示_
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵 厄密算符的矩阵 是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行 转置矩阵： 转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换， 的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm
量子力学的矩阵形式和表象变换
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
§量子力学的矩阵表示
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ﻩ
§４.2量子力学的矩阵表示
一、态的表示
二、算符的表示
三、量子力学公式的矩阵表示
用力学量完全集 的正交、归一和完备的本征态矢量的集合 作基底的表象,称为 表象。
4.算符在坐标和动量表象上的表示
（1）在坐标表象上的表示
例如Ｈａmiltoｎ量表示为
注意，式中的 函数代表“矩阵”是对角的,只在积分运算中起作用。
上述动量的表示可作如下理解
将上式中的被积函数 写成
则原式为
即
为什么被积函数不写成 的形式呢？这完全是为了符合基本假定 ．
为导出算符 在坐标表象上的表示,首先把 按 和 作展开。如果二元函数 在 附近可作展开
为书写简便,用 代表 ，用 代表 ，用 代表本征值谱 .把 表象简称为 表象。以分立谱为例
本征方程:
基底：
正交归一化：
封闭关系:
一、态的表示
态 在 表象上的表示为一个列矩阵
矩阵元 代表态 在基底 上的投影,或称为展开系数。它可在坐标表象上计算
态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到
其中
, .
这是因为
若 ，则称态 和 正交。而 则是指态 是归一化的。
矩阵 是算符 在 表象上的表示
矩阵元为
可以在坐标表象上计算。下面会看到,在坐标表象上矩阵元 的计算公式为
式中 .
【例】用包括Hamiｌton量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象,称为能量表象。在一维谐振子的能量表象上，计算坐标 ，动量 和 本身的表示矩阵。
线性代数四阶知识点总结
线性代数四阶知识点总结1. 向量和矩阵•向量：向量是一种有序集合，可以表示为n x 1 的矩阵。
向量的加法、减法和数量乘法满足特定的运算规则。
•矩阵：矩阵是二维数组，具有行和列的结构。
可以表示为 m x n 的形式，其中 m 是矩阵的行数，n 是列数。
2. 线性方程组•线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合。
每个方程都可以写成如下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, …, an 是已知常数，x1, x2, …, xn 是未知变量，b 是常数。
•线性方程组的解：一个线性方程组可能有无穷多个解、唯一解或者无解。
通过高斯消元法、矩阵求逆或克拉默法则等方法可以求解线性方程组。
3. 矩阵运算•矩阵加法：两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
•矩阵减法：两个矩阵的减法是将对应位置的元素相减得到新的矩阵。
•矩阵数量乘法：将矩阵的每个元素都乘以一个常数得到新的矩阵。
•矩阵乘法：矩阵乘法是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算得到新的矩阵。
4. 线性变换•线性变换：线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法的性质。
•线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换，可以找到一个矩阵使得将原向量空间中的向量乘以该矩阵得到新的向量空间中的向量。
•线性变换的特性：线性变换保持向量的线性组合和零向量不变。
5. 特征值和特征向量•特征值和特征向量：对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得Av = λv，则λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。
•特征值和特征向量的计算：通过求解线性方程组 (A - λI)v = 0 可以得到特征值和特征向量。
6. 行列式•行列式：行列式是一个标量值，用于判断一个矩阵的线性相关性和可逆性。
•行列式的计算：对于一个 n x n 的矩阵，行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合并进行运算。
高量14-哈密顿算符对称性群.ppt
5重简并的能级分裂为两个能级，分别为2重和3重简并。
( 3 ) D T T T 2 4 5
7重简并的能级分裂为3个能级，分别为1，3，3重简并。
( 5 ) D T T T T 1 3 4 5
9重简并的能级分裂为4个能级，分别为1，2，3，3重简并。
23
§20-4 动力学对称性 一、守恒量LRL矢量
h D ( Q ) D ( Q ) ij n Q j
( i ) (j )
取和对一切群元进行， h为群的阶（群元的数目），
n j 为 D ( j ) 的维数。
7
4．特征标：
群 Q 的一个表示 D(Q) 的特征标 (Q) ① 定义：
( Q ) tr ( D ( Q )) D ( Q ) 是表示矩阵的迹： aa
a
群中属于同一类的各元，其特征标相同; ② 特征标的性质： a. 互相等价的两个表示的两组特征标完全相同。 b. 一个可约表示的特征标等于约化后各不可约 表示的特征标之和。
因此可以由特征标判断一个表示是否可约。
8
③特征标的正交性定理： a. 群 Q 的两个不可约幺正表示 D( j) (Q) 和 D(i) (Q)的特征标
对谐振子，SO(3)→SU(3)
几何学对称性：空间转动等空间变换的对称性。
16
§20-3 微扰对能级简并的影响 一、微扰对对称性的影响
若所加微扰不影响系统的对称性，即微扰的对称性群大于 或等于的对称性群，则新哈密顿的对称性与原来的一样，尽管 能级的数值会发生变化，但各能级的简并情况并不会改变。 若微扰的对称性小于原来系统的对称性，即微扰的对称性群 是原来系统的对称性群的一个子群，那么，新哈密顿量的对称 性就要降低为微扰的对称性，各能级的量值和简并情况要发生 变化，根据对称性可以确切地知道简并度改变的情况。
高等代数第四章 矩阵
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
16
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2
（1）结合律 ABC ABC;
（2）分配律 AB C AB AC,
B C A BA CA;
第四章 矩阵
18
高等代数
东北大学秦皇岛分校
4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB BA
例如 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
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高等代数
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
第四章 矩阵
2
高等代数
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化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
3
高等代数
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矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2,
§4.2量子力学的矩阵表示
§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。
为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。
以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。
它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数)(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm n ˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L 矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。
算符和矩阵的关系
算符和矩阵的关系
算符和矩阵之间存在密切的关系。
算符是抽象定义的，而矩阵是算符的具体数值表示。
对于线性算符，它的一个天然的表示就是矩阵。
为了表征一个算符，我们需要知道把这个算符作用到所有可能的态上所能产生的结果。
然而，态的个数是无穷多的，所以我们不可能真的把算符作用到所有的态上。
然而，大部分情况下，所有可能的态都可以通过一组基线性表出。
如果算符是线性算符，而且这组基是完备的，也就是任意一个态都可以用这组基线性表示出来，那么只要我们知道算符在这些基上的作用，我们就可以知道算符在所有可能态上的作用。
也就是说，算符在这组基上的作用就可以将这个算符完全表征。
同一个算符在不同基底（即不同表象）下可以表示为不同的矩阵，这些矩阵之间是相似矩阵的关系。
通过这些矩阵，我们可以深入理解算符的性质和行为。
因此，矩阵作为算符的具体数值表示，是理解和研究算符的重要工具。
以上内容仅供参考，建议查阅专业书籍或者咨询专业人士以获取更准确的信息。
角动量算符的矩阵表示
角动量算符的矩阵表示1.引言1.1 概述角动量是量子力学中一个重要的物理量，描述了旋转对称性在系统中的表现。
它不仅在原子物理和分子物理中具有重要的应用，也在凝聚态物理、高能物理和相对论性量子力学等领域发挥着关键的作用。
本文旨在探讨角动量算符的矩阵表示，即将角动量算符以矩阵的形式进行表述。
矩阵表示是量子力学中一种常用的数学工具，通过将物理量抽象为矩阵，可以简化计算过程，并提供了更直观的物理图像。
在文章的正文部分，我们将首先介绍角动量算符的定义，探讨它是如何描述旋转对称性的。
随后，我们将详细讨论角动量算符的一些基本性质，包括它们的代数关系和守恒性质。
这些性质将为后面的矩阵表示提供基础。
在结论部分，我们将强调矩阵表示的重要性，并详细讨论角动量算符的矩阵表示方法。
通过将角动量算符表示为矩阵，我们可以更方便地进行计算，并直观地理解角动量的物理含义。
此外，矩阵表示还可以与实验结果进行比较，从而验证理论模型的准确性。
总之，本文将通过深入探讨角动量算符的矩阵表示，帮助读者进一步理解角动量的概念和性质。
我们相信，通过本文的阅读，读者将能够更加深入地了解量子力学中角动量的重要意义，以及矩阵表示在物理理论研究中的应用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构进行简要介绍，让读者对文章的组织框架有一个清晰的了解。
以下是一种可能的写作方式:2. 正文2.1 角动量算符的定义本节将介绍角动量算符的基本定义和物理意义。
首先，我们将回顾经典力学中关于角动量的定义，并引出量子力学中对角动量的量子化要求。
然后，我们将介绍角动量算符的数学表达以及其与经典角动量的对应关系。
最后，我们将讨论角动量算符在量子力学中的重要性和应用。
2.2 角动量算符的性质本节将详细介绍角动量算符的一些基本性质。
首先，我们将讨论角动量算符的对易关系以及其对应的物理意义。
接着，我们将介绍角动量算符的升降算符，它们可以将角动量量子数增加或减少一个单位。
量子力学的矩阵形式与表象变换
练习，求证U是么正矩阵。
么正变换小结
基矢变换： (e 1 ,e 2 ) (e 1 ,e 2 )U ()
基矢变换：Ψ´＝ΨS-1，＜－ Ψ a = Ψ ´ a´ = Ψ ´ Sa
Δ 有关矩阵知识 (参考周世勋书P250－255）
1．对角矩阵 Anm=amδnm. 2. 转置矩阵 (A ~)nmAmn
3．厄米共轭矩阵 (或称共轭矩阵) (A )nm (A ~ ) nm A m 运算规则：(AB) BA (A) A
A 1 A A2
A 3
A1 A A2
A3
以二维坐标系间变换为例。
设新坐标系 (e1,e2)相对原坐标系 (e1,e2) 顺时针 转过θ角。则
e1 c1e1c2e2,
e2 d1e1d2e2,
r (r )(r r )
动量表象
i
p x
px,
, i p
p
Fˆ(ip, p)
r (p )(12)3/2e ip r
p (r )(12)3/2e ip r
p (p )(p p )
(列矩阵的本征矢正交定义: XiXj 0 .)
C. 厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。XiXj ij
（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性 组合,变为正交的k个本征矢）.
Δ.本征矢的归一化: XiXi 1
1
Δ.未归一的归一化系数C:
C
X
i
X
i
Δ.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开
算符的矩阵表示
2.ξ算符的矩阵表示1. 平面矢量的旋转及变换矩阵。
（上节是同一矢量，坐标系旋转）如上左图 ，A →逆时针转θ得B →在12x x 坐标系中()()11221122.......,A A e A e B B e B e B R A R θθ→→→→→→→→=+=+=①令，具有类似“算符”的性质。
()R θ表示沿逆时针方向把矢量旋转θ角的操作，用分量形式写出，即为： （① 式右边也用()R θ起作用，1RAe →相当于将1Ae →旋转）112211221211112121221212221111121221,0,,cos ,,x B e B e A R e A R e e e B A e R e A e R e e e B A e R e A e R e e R e e R e e R e B B eR e μσθ→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→-+=+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭ 分别用和点乘，得：，，，，，即：122212,cos sin sin cos A A e R e A A θθθθ→→⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此式即为()B R A θ→→=的矩阵表示上式表示，将矢量逆时针方向旋转θ角的操作可用矩阵()cos sin sin cos R θθθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭表示，它的矩阵元是描述基矢在旋转下的变化如第1列元素11112121cos sin R e R e R e R e θθ→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是基矢1e →经旋转后（变成1Re →）在各基矢方向的投影。
所以，一旦矩阵R 给定，则所有基矢在旋转下的变化就完全确定了，所以任何矢量（即基矢的线性迭加）在旋转下的变化就完全确定了（如()R θ定了后，A →旋转后得到B →=R A →也定了）2. 算符的矩阵表示与上类比，设量子态ψ经算符,F x p ∧∧⎛⎫ ⎪⎝⎭作用后变成另一个态Φ，即： ()(),,,....x t x t F x i x ∧∂⎛⎫Φ=ψ ⎪∂⎝⎭①现要考虑，此式在任一θ表象中的表示先设θ只有分立本征值12,,.........n θθθ与算符F ∧的完备本征函数组(){}n x μ对应。
4.2算符的矩阵表示
a n (t ) = bn (t ) =
∫ u n ( x )ψ ( x , t ) dx
*
∑
n
∫ u n ( x )ϕ ( x , t ) dx
*
∑
n
ˆ bn (t )u n ( x ) = F
∑
n
a n ( t )u n ( x )
乘以上式并积分， 以 um* 乘以上式并积分，得
∗ ∗ ˆ bn ∫ um ( x)un ( x)dx = ∑ an ∫ um ( x) Fun ( x)dx ∑ n n ∗ ˆ bnδ mn = bm = ∑ an ∫ um ( x) Fun ( x)dx ∑ n n
讨论 ∧ ∂ F ( x,−ih ) 在 Q 表象中的矩阵元Fnm 依赖于 Q （1）力学量算符 ） ∂x * 表象基矢 u n ( x), u m ( x) ∧ （2）厄米算符 F 在 Q 表象中的矩阵 F ，其对角矩阵元互为 ） 共轭复数 * Fnm = Fmn （4.2-8） ） 当 m = n 时 对角元
(4.2 − 2) (4.2 − 3)
即
令 则
ˆ Fmn = ∫ um* ( x) Fun ( x)dx bm = ∑ an Fmn = ∑ Fmn an
n n
(4.2 − 4) (m = 1, 2,L) (4.2 − 5)
b1 = F11 a 1 + F12 a 2 + F13 a 3 + L b 2 = F 21 a 1 + F 22 a 2 + F 23 a 3 + L b 3 = F 31 a 1 + F 32 a 2 + F 33 a 3 + L LL
* Fmm = Fmm
双电子体系自旋算符及其本征矢的矩阵表示
第卷第期喀什师范学院学报年月双电子体系自旋算符及其本征矢的矩阵表示王建伟喀什师范学院数理系新疆喀什摘要运用表象理论讨论了双电子体系自旋角动量算符及其本征矢分别在和表象的相互转化得到了简洁实用的表达形式关键词自旋算符表象理论坐标表象自身表象中图分类号文献标识码文章编号研究和讨论两个电子的自旋算符及其本征矢在解决双电子体系如氦原子氢分子等的问题时具有重要意义在不考虑两个电子自旋相互作用并且注意两个电子是全同粒子的情况下文献给出了双电子体系的总自旋角动量平方算符这里和总角动量在轴上的投影算符以及双电子体系的自旋波函数算符的共同本征矢我们知道是第一个第二个电子的自旋算符它只作用在第一个第二个电子的自旋本征矢上而单电子自旋算符及其本征矢的矩阵表示为因而有利用和式很容易求出在三个对称自旋态中的本征值都是的本征值依次为在反对称自旋态中和的本征值都是零根据量子力学的表象理论任何一个力学量的算符和算符的本征矢在自身表象中的表示是最简洁的利用表象理论和我们可以得出双电子体系的自旋角动量算符和自旋角动量分量算符及其本征矢的矩阵表示同时我们还可以求出及其本征矢的具体形式收稿日期作者简介王建伟男教授主要研究方向为量子力学和量子光学的理论和应用和及其共同本征矢在自身表象中的矩阵表示和共同表象基矢的矩阵表示我们把的共同本征矢作为和共同表象的基矢令则和在和共同表象中的矩阵表示可以写成矩阵元的计算用到了的正交归一化条件和算符在其自身表象中的矩阵表示根据表象理论我们容易算出算符在其自身表象中的矩阵表示是一个对角厄米矩阵该矩阵的对角元素就是的本征值和算符及其本征矢在表象中的矩阵表示算符在表象中的矩阵表示根据角动量耦合理论利用式我们可以得到利用式计算矩阵元我们可以得到算符的本征矢在表象中的矩阵表示我们知道算符的本征值分别为设算符的本征矢为通过分别求解算符的四个本征方程喀什师范学院学报第卷并考虑归一化条件得到设算符的本征矢为同理可以得到算符的本征矢还可以表象的基矢表示所认两式可以写成表象和表象任何一个力学量算符的本征矢都可以作为自身表象的基矢我们可以构造幺正变换矩阵将在表象中算符及其本征矢分别变换为表象和表象的算符和基矢表象根据表象理论表象变换的实质是基矢的变换关键是构造幺正变换矩阵从而有是的共轭矩阵由和式及式可得由于在幺正变换中力学量算符的本征值是不变量所以同理容易得到算符及其本征矢在表象中的矩阵表示表象由和式和式构造幺正变换矩阵及其共扼矩阵第期王建伟双电子体系自旋算符及其本征矢的矩阵表示从而得到算符及其本征矢在自身表象的矩阵表示算符的本征值同理容易得到算符及其本征矢在表象中的矩阵表示结语在双电子体系自旋角动量算符的自身表象中自旋角动量算符的表示为方矩阵自旋角动量算符本征矢的表示为列矩阵其中表示双电子体系自旋角动量算符的矩阵为厄米矩阵通过幺正变换可以把表象中算符及其本征矢分别变换为表象和表象的算符和基矢我们得到力学量算符及其本征矢在自身表象中的表示为计算带来了方便求解算符的本征方程已不再是求解微分方程解的问题而转化为求解久期方程的根的问题但物理本质并没有改变只不过将求解微分方程解的问题简化为求解代数方程的问题为研究问题提供了方便参考文献周世勋量子力学教程北京高等教育出版社倪光炯陈苏卿高等量子力学上海复旦大学出版社苏汝铿量子力学北京高等教育出版社喀什师范学院学报第卷。
算符的表示方法
算符的表示方法一、算符的基本概念在数学和编程领域，算符（Operator）是一种用来表示特定操作的符号。
它们用于表示对数值或表达式进行特定操作，如加法、减法、乘法、除法等。
算符是数学和编程基础中的重要组成部分，掌握各种算符的使用方法对于解决实际问题具有重要意义。
二、算符的分类1.算术算符：主要用于完成数值运算，包括加法、减法、乘法、除法等。
如：+、-、*、/等。
2.逻辑算符：主要用于组合逻辑运算，包括布尔代数中的AND、OR、NOT等。
如：&&、||、!等。
3.关系算符：主要用于比较数值或表达式的大小，如：<、>、<=、>=等。
三、常见算符的使用方法1.算术算符：在使用算术算符时，需要注意运算符的优先级和结合性。
如乘法和除法的优先级高于加法和减法，且乘法和除法具有左结合性，加法和减法具有右结合性。
2.逻辑算符：逻辑运算符中，AND和OR运算符具有相同的优先级，且两者都具有左结合性。
NOT运算符具有右结合性。
3.关系算符：关系运算符的优先级较低，从高到低依次为：大于（>）、小于（<）、大于等于（>=）、小于等于（<=）。
四、算符在编程语言中的应用在编程语言中，算符不仅可以用于基本的数值运算，还可以用于控制结构、访问属性、操作符重载等。
如C++中的+运算符可以用于字符串连接，Java中的==运算符可以用于比较对象引用等。
五、算符的优先级与结合性算符的优先级和结合性决定了在表达式求值过程中，如何按照一定的顺序进行运算。
了解算符的优先级和结合性，可以避免因错误地编写表达式而导致的结果错误。
六、总结与展望算符是数学和编程领域的基础知识，掌握各种算符的用法对于解决实际问题具有重要意义。
熟练运用各种算符，可以提高编程能力和解决复杂问题的效率。
高二物理竞赛课件：量子力学之Schrodinger方程的矩阵形式
一下，这里求得的本征值与前面使用本征值方程求得的本征值 是完全相同的。我们只不过是另一表象下求解相同的问题。
将求得的求其方程的根 i , i 1, 2,3, n, 分别代入原齐
次线性方程组
F11 i a1
F21a1
Fn1a1
F12a2
Schrodinger方程的矩阵形式
Schrodinger方程的矩阵形式
i (x, t) Hˆ (x, t) t
按力学量算符 Q的本征函数展开
(x, t) an (t)un (x)
n
i
t
an (t)un (x) Hˆ an (t)un (x)
n
n
左乘 um*(t) 对 x 整个空间积分
1 x,2 x,3 x, n x,
本征值 1, 2 , 3, n ,
Q表象
久期 方程
F11 F12
F21
F22
F1n F2n
a1
a2
a1
a2
Fn1 Fn2
Fnn
an
本征代数方程组
an
求解线
性代数
方程组
a11
a22
a12
a23
a13
1
0
0
Y11
0
,
Y10
1
,
Y11
0
0
0
1
我们还知道Lx在这个共同表象下的矩阵形式
0 1 0
Lx
2
1 0
0 1
1
0
因此在这个共同表象下，Lx的本征方程为：
0 1
2
1 0
0 1