(7-4)图的矩阵表示

e1 1 1 0 1
e2 0 0 1 0
e3 0 1 0 1
e4 1 0 1 0
e5 1 0 1 0
课堂练习2
2、写出下图所示有向图的关联矩阵
v2
e2
v3
e1
e5
e3
v1
e4
v4
无向图的邻接矩阵
设无向图G=<V,E>的结点集V={v1,v2, …,vn} ， 则n阶方阵A(G)=(aij)n×n称为G的邻接矩阵， 其中
v
1
v
2
v
3
v
v
v
课堂练习3
P193——7-11题
v1 v2 v3
v4
v5
v6
有向图的邻接矩阵
设有向图D=<V,E>的结点集V={v1,v2, …,vn} ， 则n阶方阵A(D)=(aij)n×n称为D的邻接矩阵， 其中
a ij
1 0
( v i , v j E ) ( v i , v j E )
无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>的结点集为V={v1,v2, …,vn} 边集为E={e1,e2, …,em} ，则矩M(G)=(mij)n×m 称为G的关联矩阵，其中
m ij
1, 0,
若 v i 关联 e j 若 v i 不关联 e j
求无向图的关联矩阵例
e1
v1
e2 e6
第四节
图的矩阵表示
本节的教学内容
无向图的关联矩阵
有向图的关联矩阵
无向图的邻接矩阵 有向图的邻接矩阵
一个图可以用数学定义来描述，也可以用图形 来表示。现在介绍一种代数表示图的方法，图的矩 阵表示法。矩阵是研究图的最有效工具之一，它便 于用代数知识研究图的性质，特别便于计算机存储。 利用矩阵将图的问题转化为数字计算问题从而对图 的研究可借助于计算机来进行。 由于矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵 表示图之前，必须将图的结点和边编号，才能写出有 关矩阵。
1 , 若结点 v i 是 e j的起点 1 , 若结点 v i 是 e j的终点 0， 若结点 v 与 e 不关联 i j
m ij
求有向图的关联矩阵例
v1
e1 e5 e3
v2
e4
v4
e2
v3
有向图的关联矩阵也有类似于无向图的 一些性质，读者可自己归纳。
v1 M (G ) v 2 v3 v4
•矩阵的运算是否会有相应的图的变化?
•反过来,图的哪些变化对应着关联矩阵的哪些变化?
课堂练习1
1、写出下图所示无向图的关联矩阵
v2 e1 v1 e2 e5 v3 e3 v4
e4
有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>的结点集为V={v1,v2, …,vn} 边集为E={e1,e2, …,em} ，则矩阵 M(D)=(mij)n×m称为D的关联矩阵，其中
v1
v2
v4
v3
0 1 A (G ) 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 1 0
未 必 是 对 称 的
课堂练习4
4、写出下图所示有向图的邻接矩阵
v2 e2 e5 v3
e1
e3
v1
e4
v4
a ij
1 0
(( v i , v j ) E ) (( v i , v j ) E )
v1 v2
v4
v3
0 1 A (G ) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
无 向 图 的 邻 接 矩 阵 是 对 称 的
Example
0 1 0 A (G ) 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1
已知无向图的邻接矩阵为
1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0
试画出相应的无向图。
解
画法： 先确定结点再用行确定边。 无向图如右图
e1 1 1 0 0 0
e2 1 1 0 0 0
e3 0 1 1 0 0
e4 0 0 1 1 0
e5 1 0 0 1 0
e6 1 0 1 0 0
•一个图的关联矩阵是不是唯一的? •关联矩阵是不是唯一的确定一个图?
•用关联矩阵来表示图有什么好处?
•图的哪些性质可以从关联矩阵上一目了然?
v2
பைடு நூலகம்
e5
v4
e3
v3
从关联矩阵中，可以看出图形的一些性质： 1） 图中每一边关联两个结点，故M(G)的每一列中 只有两个1； 2） 每一行中元素的和数是对应结点的度数； 3） 一行中元素全为0，其对应的结点为孤立结点； 4） 两个平行边其对应的两列元素相同。
e4
v5
v1 v 2 M (G ) v3 v 4 v 5