分式方程的概念及解法
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是含有分式的方程,其基本形式为$ \frac{A}{B} = C $,其中A、B、C均为代数表达式。
解决分式方程的关键在于消除分母,求得方程的解。
本文将介绍两种常见的分式方程解法:通分法和代入法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法。
首先,我们需要找到方程中分式的公共分母,然后将方程两边的分式通分,最终得到一个简单的方程。
例1:解方程$ \frac{x+1}{2} + \frac{x-2}{3} = \frac{x-1}{6} $解:首先,我们发现分式$ \frac{x+1}{2} $、$ \frac{x-2}{3} $、$ \frac{x-1}{6} $的公共分母为6。
因此,我们可以将方程两边的分式通分,得到:$ \frac{3(x+1)}{6} + \frac{2(x-2)}{6} = \frac{x-1}{6} $接下来,我们将分子相加,并且令等式两边相等:$ \frac{3x+3+2x-4}{6} = \frac{x-1}{6} $化简后得到:$ \frac{5x-1}{6} = \frac{x-1}{6} $由于等式两边的分式相等,我们可以得到:$ 5x-1 = x-1 $继续化简,我们得到:$ 4x = 0 $最终解得:$ x = 0 $二、代入法代入法是另一种解决分式方程的方法。
通过代入合适的值来验证方程的解,从而求得方程的解。
例2:解方程$ \frac{x+3}{2x-1} = \frac{4x+5}{3x+2} $解:首先,我们假设一个数值代入方程,例如x=1。
将该值代入方程中,计算等式两边的结果。
当x=1时,方程变为:$ \frac{1+3}{2(1)-1} = \frac{4(1)+5}{3(1)+2} $化简后得到:$ \frac{4}{1} = \frac{9}{5} $由于等式两边不相等,我们可以推断x=1不是方程的解。
接下来,我们尝试另一个值,例如x=2。
分式方程的解法总结
分式方程的解法总结分式方程是数学中常见的一类方程,其基本形式为分子为一个多项式,分母为一个多项式的等式。
解决分式方程的过程可以通过多种方法来进行,本文将总结几种常见的解法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
当分式方程中存在多个分母时,我们需要找到一个公共分母,将分数转化为分子为多项式的等式。
例如,对于分式方程1/(x+3) + 3/(x-2) = 2/(x+1),我们可以通过找到(x+3)(x-2)(x+1)作为公共分母,将分母展开,得到方程:(x-2)(x+1) + 3(x+3) = 2(x+3)(x-2)然后,我们可以进一步展开方程,化简后解得x的值。
二、消元法消元法也是解决分式方程的一种常见方法。
当分式方程中存在多个分子或分母含有相同变量的项时,我们可以通过消元的方式简化方程。
举个例子,对于分式方程(x-1)/(x+3) + (2x+3)/(x+1) = 3/(x-1),我们可以通过乘以(x+1)(x-1)来消除分母:(x-1)(x+1)(x+3) + (2x+3)(x+1)(x-1) = 3(x+1)(x-1)然后,我们展开方程,化简后解得x的值。
三、代换法代换法是解决分式方程的另一种常见方法。
当方程中存在复杂的分式表达式时,我们可以通过代换的方式将方程转化为更简单的形式。
例如,对于分式方程1/(x-1) + 2/(x^2-1) = 3/(x+1),我们可以令y = x^2-1,将x的平方项替换为y,得到:1/(y+2) + 2/y = 3/(y+2)然后,我们将方程中的分子通分,消去分母,并整理方程,解得y 的值,再代回x,得到x的解。
四、贝尔努利变量替换法贝尔努利变量替换法是解决一类特殊的分式方程的方法。
当方程中出现形如y'/y的分式时,我们可以通过引入一个新的变量来替换原方程,使得方程变得更简单。
举个例子,对于分式方程y'/(y^2+y) = x,我们可以令z = y^2+y来代替分母,得到:y'/z = x然后,我们将y'转化为dz/dx,并将方程转化为dz/dx = xz的形式。
分式方程及其解法课件
高阶分式方程的解法实例
总结词
通过降阶、变量代换等方法,将高阶分式方 程转化为低阶或可直接求解的分式方程。
详细描述
高阶分式方程可以通过降阶、变量代换等方 法,将其转化为低阶或可直接求解的分式方
程。例如,对于形如 "a1x1+a2x2+...+anxn/b1x1+b2x2+...+b nxn=c" 的高阶分式方程,可以先将高阶项 进行降阶或变量代换,将其转化为可直接求
分式方程及其解法课件
目
CONTENCT
录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的解法 • 分式方程的解法技巧 • 分式方程的解法实例 • 分式方程的解法总结与反思
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
总结词
分式方程是数学中一类带有分式的等式,用于描述某些特定情况 下的数量关系。
详细描述
分式方程是数学中一类带有分式的等式,通常用来描述两个或多 个量之间的关系。分式方程中的分母不能为零,因为分母代表一 个量所占的比例或份额。
适用范围
分式方程的解法适用于解决涉及分数 、比例、百分数等实际问题的数学问 题,同时也可以用于解决一些代数和 几何问题。
不适用范围
对于一些过于复杂或抽象的分式方程 ,分式方程的解法可能无法解决,或 者解决起来非常困难。
解法的改进与展望
改进
在解分式方程时,可以尝试引入更多的数学工具和方法,例Байду номын сангаас使用分数运算规则、因式 分解、变量替换等技巧,以提高解题效率和准确性。
通过约分、通分、消去分母等方法,将 分式方程转化为整式方程进行求解。
VS
详细描述
一元分式方程通常可以通过约分、通分和 消去分母的方法,将方程转化为整式方程 ,然后利用整式方程的解法求解。例如, 对于形如 "ax+b/cx+d=e" 的分式方程, 可以先通分,然后移项、合并同类项,最 后求解整式方程。
分式方程的解法
1.分式方程的定义:分母里含有未知数的方程叫分式方程.2.解分式方程的基本思想是:去分母,化为整式方程.3.解分式方程的一般步骤是:去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验.4.分式方程增根:使最简公分母为0的未知数的值叫做分式方程的增根.二、基础夯实1.解下列分式方程:(1)x x x -=--23124 (2)1)2)(1(21++-=-x x x x2.当m 为何值时,分式方程131212-=--+x x x m 会产生增根?三、经典例题例1.我们容易求得分式方程2211+=+x x 的解为2=x 或21=x (口头检验一下). (1)方程3311+=+x x 的解为 ; (2)以x 为未知数的方程c cx x +=+11的解为 ; (3)解方程:526423234=+-+-+x x x x例2.解方程45342312++-++=++-++x x x x x x x x 分式方程的解法例3.解方程x x x x x x x 11)1999)(1998(1...)2)(1(1)1(1+=++++++++.例4.当a 为何值时,以x 为未知数的方程324=+-x ax 无解?例5.解方程组(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+514131a c ca c b bc b a ab (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++4311127116511y x x z x z z y z y y x四、方法归纳1.解分式方程常用的方法:去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、换元法、倒置变换法等,还可以巧妙应用“c cx x +=+11”型的解是c x =或c x 1=. 2.利用增根的意义解题是一类重要题型,其方法为:(1)先将分式方程转化为整式方程;(2)从原分式方程中求出使分母为零的增根;(3)把增根代入所得到的整式方程中.3.方程无解与方程有增根不是一回事.如例4方程无解时a 有2个值,但方程有增根时a 只 有1个值.五、考题演练1.解关于x 的方程1111-+=-+a a x x .2.解方程x x x x x x x x 29211217219215217211213--+--=--+--3.解方程214127165123112222=++++++++++x x x x x x x x4.当a 为何值时,未知数为x 的方程)2)(1()1(2211--+=---x x a x a x 无解?5.已知1=+y x xy ,2=+z y yz ,3=+xz zx ,求y 的值.6.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==1284325107z y x z y x7.已知0142=++a a ,且53312324=++++a ma a ma a ,求m 的值.。
分式方程意义与解法是什么
分式方程意义与解法是什么分式方程意义与解法是什么分式方程是方程中的一种,是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程,该部分知识属于初等数学知识。
下面是店铺给大家整理的分式方程意义与解法简介,希望能帮到大家!分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂),将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤(移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).一般地验根,只需把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根,否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根,则原方程无解。
如果分式本身约分了,也要代进去检验。
分式方程的解题步骤去分母方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号。
(最简公分母:①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂)移项移项,若有括号应先去括号,注意变号,合并同类项,把系数化为1 求出未知数的值;验根求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的'过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根。
验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根。
否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根都是增根,则原方程无解。
如果分式本身约分了,也要代入进去检验。
在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。
一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.注意(1)注意去分母时,不要漏乘整式项。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.注: 解分式方程必须检验,验根时把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤:(1)去分母(两边同时乘以最简公分母)(2)去括号(3)移项(一般般含未知数的项移到左边,常数项移到右边) (4)合并同类项(5)系数化一(两边同时除以未知数的系数) (6)检验(将所求的未知数的值代入最简公分母) (7)做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;(2)最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根;(2)验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.例题讲解:1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数,求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零,则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造.原计划每天修x 米,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的2倍还多35米,那么修这条路实际用了 天.5. 若方程322x mx x-=--无解,则m =______. 解下列分式方程:14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知:关于x 的方程xx x a --=-+3431无解,求a 的值。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程,其中包含了分数的加减乘除运算。
解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧,以及理解分式方程在实际生活中的应用。
本文将介绍分式方程的解法和应用,并讨论其在数学和日常生活中的重要性。
一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法,以下是其中常见的几种:1. 清除分母法:当分式方程中存在分母时,可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法,将方程的分母消除,从而转化为含有整数或多项式的方程。
通过进行这样的清除分母操作,可以简化方程的求解过程。
2. 相同分母法:当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时,可以通过将这些分式相加或相减,生成一个分子相加或相减的新分式,从而将分式方程转化为一个更简单的方程。
然后,可以继续使用其他解方程的方法求解。
3. 倒数法:当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时,可以通过倒数的方式,将方程进行转化。
将方程的分母转化为分子,分子转化为分母,然后利用等式的性质进行化简,最后得到一个更为简单的方程。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景:1. 比例问题:比例问题是分式方程的常见应用之一。
在计算比例时,常常需要解决分式方程。
例如,在商业领域中,计算销售增长率、成本与利润的关系等问题,都需要运用分式方程进行计算。
2. 涉及面积和体积的问题:分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。
例如,计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。
3. 财务问题:在处理财务问题时,分式方程同样发挥着重要的作用。
例如,在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时,常常需要解决分式方程来进行计算。
总结:分式方程是一种特殊的方程类型,运用特定的解法和技巧可以解决。
掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要,也在实际生活中具有广泛的应用。
通过应用不同的解法,我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题,提高解决实际问题的能力。
第6讲分式方程(讲义)解析版
第6讲分式方程模块一:分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程,再求解.3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中,整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0,那么这个解就是方程的增根.4、解分式方程的一般步骤(1)方程两边都乘以最简公分母,去分母,化成整式方程;(2)解这个整式方程,求出整式方程的根;(3)检验.有两种方法:①将求得的整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,则这个根为增根,方程无解;如果最简公分母不等于0,则这个根为原方程的根,从而解出原方程的解;②直接代入原方程中,看其是否成立.如果成立,则这个根为原方程的根,从而解出原方程的解;如果不成立,则这个根为增根,方程无解.5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组.6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元,将分式方程组转化为整式方程组,解方程组,然后进行检验.例题解析例1.(1)下列方程中,是分式方程的为( )A .12x -=B 1=C 10-=D 1=【答案】C【分析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.【详解】A. 是整式方程,故选项错误;B. 是整式方程,故选项错误;分母中含有未知数x ,所以是分式方程,故选项正确;D. 是整式方程,故选项错误.故选C.【点睛】此题考查分式方程的判定,掌握分式方程的定义是解题的关键.(2)在3253x +=;11(1)(1)432x x ++-=;21x -=;2371x x x ++=-;1(37)x x-中,分式方程有().A .1个B .2个C .3个D .4个【难度】★【答案】B【解析】根据分式方程的定义,分母中含有未知数的方程是分式方程,(1)(2)两个方程分 母中不含未知数,(5)不是方程,(3)(4)满足定义,故选B .【总结】考查分式方程的定义,注意前提是方程,且方程分母中必含有字母.例2.(1)用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0,如果设21x x +=y ,那么原方程可以化为( )A .2+y y -5=0B .2y -5y+1=0C .25y y 10++=D .25y 10y +-=【答案】D【分析】直接把21xx +换成y ,整理即可.【详解】解:设21xy x =+,则原方程化为1510y y -+=,去分母得,25y 10y +-=,故选:D .【点睛】本题考查的是换元法解分式方程,换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.(2).用换元法解方程221165380x x x x æöæö+++-=ç÷ç÷èøèø,设1y x x =+,则方程变为()A .265380y y +-=B .265400y y +-=C .265260y y +-=D .265500y y +-=【难度】★【答案】D【解析】1y x x =+,则有22221122x x y x x æö+=+-=-ç÷èø,原方程即为()2625380y y -+-=,展开整理即为265500y y +-=,故选D .【总结】考查分式方程中换元法的应用,注意含有未知数部分的恒等变形转化.例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________.【难度】★【答案】3x x -.【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +,2x x -,21x -,分解因式的结果分别为()1x x +,()1x x -,()()11x x +-,由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-.【总结】考查分式方程的最简公分母,将每个分母因式分解,取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母.例4.直接写出下列分式方程的根:(1)11211x x x -=---:_________________;(2)11111x x x -=---:_________________;(3)2121x x -=-:_________________;(4)2111x x -=-:_________________.【难度】★【答案】(1)2x =;(2)无解;(3)无解;(4)0x =.【解析】(1)根据等式性质,两边同时加上分式部分,即得2x =, 检验得2x =是原分式方程的根;(2)根据等式性质,两边同时加上分式部分,即得1x =,检验得1x =为方程的增根, 即方程无解;(3)约分得12x +=,解得1x =,检验得1x =为方程的增根,即方程无解;(4)约分得11x +=,解得0x =,检验得0x =是原分式方程的根.【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程,注意求解结果是否是增根.例5.解方程:(1)3363142x x -=-+;(2)43252x xx x =++;(3)23312222x x x x x ++=--+-.【难度】★★【答案】(1)123x =,29x =-;(2)10x =,267x =-;(3)无解.【解析】(1)方程两边同乘()()43123x x -+,得()()()()42312831x x x x +--+=-,整理得2325180x x +-=,解得123x =,29x =-,经检验,123x =,29x =-都是原方程的根;(2)方程两边同乘()()3252x x ++,得()()52432x x x x +=+,整理得2760x x +=,解得:10x =,267x =-,经检验,10x =,267x =-都是原方程的根;(3)方程两边同乘()()212x x +-,得()()()63221x x x ++-=+,整理得220x x --=,解得:11x =-,22x =,经检验,11x =-,22x =都是原方程的增根,即原方程无解.例6.解方程:(1)2213211x x x x -=+--; (2)24221422x x x x =++--+;(3)23211214124x x x x++=+--.【难度】★★【答案】(1)13x =-;(2)6x =;(3)54x =.【解析】(1)方程两边同乘21x -,得()221213x x x x +=-+-,整理得23210x x --=, 解得:113x =-,21x =,经检验,21x =是原方程的增根,即原方程的根为13x =-;(2)方程两边同乘24x -,得()()2442222x x x x =--++-,整理得24120x x --=,解得:16x =,22x =-,经检验,22x =-是原方程的增根,即原方程的根为6x =;(3)两边同乘()2241x -,得()()()2621421241x x x x -+-+=-,整理得281450x x -+=,解得:112x =,254x =,经检验,112x =是原方程的增根,即原方程的根为54x =.【总结】考查分式方程的解法,注意检验所求是否为增根.例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根,求m 的值.【难度】★★【答案】12m =或3m =.【解析】分式方程两边同乘22x x +-,得()223x m +=-,分式方程有增根,由220x x +-=,解得:11x =,22x =-,即为原分式方程的增根,代入相应整式方程得39m -=或30m -=,解得12m =或3m =.【总结】考查分式方程的增根,代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值.例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解,求m 的值.【难度】★★【答案】3m =.【解析】分式方程两边同乘5x -,得()75x x m x -=---,整理解得:2x m =+,因为原分式方程无解,则相应解应为分式方程的增根,即得25x m =+=,解得3m =.【总结】考查分式方程的无解,即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根.例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数,求a 的取值范围.【难度】★★【答案】3a <且1a ≠.【解析】分式方程两边同乘1x +,得()310a x x +-+=,整理解得:32a x -=,方程的根是 负数,则有302a x -=<,得3a <,同时分式方程的根不能为相应增根,即312a x -=≠-, 得1a ≠,由此即得3a <且1a ≠.【总结】考查分式方程的解满足条件的求解,注意方程的解不能为相应的增根.例10.解方程:(1)2220383x x x x+-=+;(2)2191502x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø.【难度】★★【答案】(1)15x =-,22x =,31x =-,42x =-;(2)11x =,22x =,312x =.【解析】(1)令23x x a +=,原方程即为208a a-=,两边同乘a 整理得28200a a --=,解得:110a =,22a =-;由2310x x +=,解得:15x =-,22x =;由232x x +=-,解得:11x =-,22x =-;经检验,15x =-,22x =,31x =-,42x =-都是原方程的根;(2)令1x a x +=,原方程即为29502a a -+=,解得12a =,252a =;由12x x+=,整理得2210x x -+=,解得:121x x ==;由152x x +=,整理得22520x x -+=,解得12x =,212x =;经检验,11x =,22x =,312x =都是原方程的根.【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程,注意对方法的总结.例11.解方程:(1)225(16(1)1711x x x x +++=++);(2)2216104()933x x x x+=-.【难度】★★【答案】(1)1x =2x =(2)13x =,23x =,32x =-,46x =.【解析】(1)令211x a x +=+,原方程即为6517a a +=,两边同乘a 整理得251760a a -+=,解得:125a =,23a =;由21215x x +=+,整理得25230x x -+=,方程无解;由2131x x +=+,整理得2320x x --=,解得:1x 2x =经检验,1x =2x = (2)令43x a x -=,则有2222164889333x x a x x æö+=-+=+ç÷èø,原方程即为281033a a +=,整理得231080a a -+=,解得:12a =,243a =;由423x x-=,整理得26120x x --=,解得:13x =,23x =;由4433x x -=,整理得24120x x --=,解得:12x =-,26x =;经检验,13x =+23x =-,32x =-,46x =都是原方程的根.【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程.例12.解方程组:(1)413538x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î;(2)132013251x y x y ì+=ï-ïíï-=-ï-î.【难度】★★【答案】(1)01x y =ìí=î;(2)565x y =ìïí=ïî.【解析】(1)令1a x y =+,1b x y =-,原方程组即为43538a b a b +=ìí-=î,解得:11a b =ìí=-î,由此可得11x y =+,11x y =--,由此得11x y x y +=ìí-=-î,解得:01x y =ìí=î,经检验,01x y =ìí=î是原分式方程的根;(2)令11a y =-,原方程组即为320235x a x a +=ìí-=-î,解得:55x a =ìí=î,由此可得:151y =-, 解得:65y =, ∴565x y =ìïí=ïî, 经检验,565x y =ìïí=ïî是原分式方程的根.【总结】考查利用换元法求分式方程组的解,注意解完之后要检验.例13.解方程组:(1)253489156x x x x +=+++++;(2)11212736x x x x x x ++-=-++++.【难度】★★【答案】(1)16x =,2334x =-;(2)92x =-.【解析】(1)对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++,展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++,由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++,解得:16x =,2334x =-, 经检验,16x =,2334x =-都是原分式方程的根; (2)对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++,由此得11112736x x x x +=+++++,两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++, 两边分母不同,则必有290x +=,解得92x =-,经检验,92x =-是原分式方程的根.【总结】考查特殊形式分式方程的解法,注意相应分母的关系,分组两边分别通分计算.例14.解方程:226205x x +-=+.【难度】★★【答案】11x =,21x =-.【解析】令25x a +=,则有25x a =-,原方程即为6520a a+--=,两边同乘a 整理,得2760a a -+=,解得:11a =,26a =;由251x +=,方程无解; 由256x +=,解得:11x =,21x =-;经检验,11x =,21x =-都是原方程的根.【总结】考查用换元法解分式方程,注意取值范围和增根.例15.a 为何值时,关于x 的方程211a a x +=+无解?【难度】★★【答案】12a =-或0a =.【解析】分式方程两边同乘1x +,得:()211a a x +=+,展开移项得1ax a =+,当0a =时,方程无解; 当0a ≠时,1a x a +=,方程无解,即得11a x a+==-,解得12a =-;综上,12a =-或0a =.【总结】考查分式方程的无解,即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根,注意考虑未知项系数为0的情况.例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解,求k 的值及这个解.【难度】★★★【答案】72k =-时,1212x x ==或4k =-时,1x =或8k =-时,1x =-.【解析】方程两边同乘22x x -,得()22220x x x k +-++=,展开整理得:22240x x k -++=,分式方程可能产生增根,即当相应整式方程有两解时,分式方程仅有一解,由此需进行 分类讨论:①当整式方程有两相等实数根时,()()224240k ∆=--⨯+=,解得:72k =-,此时方程为212202x x -+=,解得:1212x x ==,此时分式方程只有一个解,符合题意;②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时,此时有40k +=,解得:4k =-,此时方程为2220x x -=,解得:10x =,21x =,此时分式方程只有一个解1x =,符合题意;③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时,此时有2222240k ⨯-⨯++=,解得:8k =-,此时方程为22240x x --=,解得:12x =,21x =-,此时分式方程只有一个解1x =-,符合题意; 综上,72k =-或4k =-或8k =-.【总结】考查分式方程只有一个解的情况,方程为二次方程时,注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形.例17.解关于x 的方程:22112(3()1x x x x+-+= 【难度】★★★【答案】12x =,212x =.【解析】令1x a x +=,则有22221122x x a x x æö+=+-=-ç÷èø,原方程即为()22231a a --=,展开整理得22350a a --=,解得:11a =-,252a =;由11x x+=-,整理得210x x ++=,方程无解;由152x x +=,整理得22520x x -+=,解得:12x =,212x =; 经检验,12x =,212x =都是原方程的根.【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程,注意解完之后进行检验.例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-.【难度】★★★【答案】12a b x -=,245a bx -=.【解析】令a x kb x -=+,原方程即为45k k=-,两边同乘k 整理,得2540k k -+=,解得:11k =,24k =; 由1a x b x -=+,又0a b +≠,可解得:2a bx -=;由4a x b x -=+,又0a b +≠,可解得:45a bx -=;经检验,12a b x -=,245a bx -=都是原方程的根.【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程.例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根,求实数a 的取值范围.【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠.【解析】展开得()()22222222121x ax a ax a a x a +--+++=+,根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+,即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦,由此得()0xa x a x a+-=+, 移项得()2a x a x +=,展开整理得()223210ax a x a +-+=,当0a =时,方程有实数根0x =是分式方程的增根,应舍去;当0a ≠时,方程为一元二次方程,此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-,可知1x 、2x 不可能同时为a -,分式方程有实数根,则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥,得1122a -≤≤;综上,实数a 的取值范围为:1122a -≤≤且0a ≠.【总结】考查分式方程有实数根的情形,对分式方程整理变形满足相应的条件即可.模块二分式方程应用题知识精讲1、列方程(组)解应用题时,如何找“相等关系”(1)利用题目中的关键语句寻找相等关系;(2)利用公式、定理寻找相等关系;(3)从生活、生产实际经验中寻找相等关系.例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程,如甲队单独做,刚好按期完成;如乙队单独做,则要超过规定时间3天才能完成;甲、乙两队合作2天,剩下的工程由乙队单独做,则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是().A.2213xx x-+=+B.233x x=+C.2213xx x++=+D.213xx x+=+【难度】★【答案】D【解析】设工作总量为“1”,则甲工作量+乙工作量=1,根据工作总量=工作效率×工作天数,乙工作天数为x天,由此可知选D.【总结】考查工程问题中的单位“1”,注意分清对应的工作效率和工作时间.例2.某车间加工300个零件,在加工80个以后,改进了操作方法,每天能多加工15个,一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件,那么下列根据题意列出的方程中,错误的是()A.8030080615x x-+=-B.30080615x-=-C.80(6)8030015xx-+=-D.8015300806xx-=--【难度】★【答案】B 【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用,根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用.例3.甲、乙两个工程队合做一项工程,6天可以完成.如果单独工作,甲队比乙队少用5天完成.两队单独工作各需多少天完成?【难度】★★【答案】甲单独需10天完成,乙单独需15天完成.【解析】设甲单独需用x天完成,则乙单独需用()5x+天完成,依题意可得11615x xæö+=ç÷+èø,整理得27300x x--=,解得:13x=-,210x=,经检验,13x=-,210x=都是原方程的根,但13x=-不合题意应舍去,即得10x=,即甲单独需10天完成,乙单独需10515+=天完成.【总结】考查工程问题中的列方程解应用题,把工作总量当作单位“1”解题.例4.登山比赛时,小明上山时的速度为a米/分,下山的速度是b米/分,已知上山和下山的路径是一样的,求小明在全程中的平均速度?【难度】★★【答案】2aba b+.【解析】设小明上山的路程为sm,则整个过程中小明总行程为2sm,根据平均速度=总行程÷总时间,即得平均速度22s abvs s a ba b==++.【总结】考查平均速度的求取,平均速度==总行程÷总时间,与行程远近无关,注意平均速度的求法.例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发,相向而行,1小时后相遇.相遇后,各自继续以原有的速度前进,已知甲到B地比乙到A地早27分钟,求两人的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为5/km h,乙速度为4/km h.【解析】设甲速度为/xkm h,则乙速度为()9/x km h-,927min20h=,依题意可得999920x x-=-,整理得2311800x x+-=,解得:136x=-,25x=,经检验,136x=-,25x=都是原方程的根,但136x=-不合题意应舍去,即得5x=,即甲速度为5/km h,乙速度为954/km h-=.【总结】考查行程问题中的列方程解应用题,根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解.例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地,结果甲车比乙车早到了60分钟;第二次,乙车提速30千米/时,结果比甲车早到了20分钟,求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为80/km h,乙速度为60/km h.【解析】设甲车xh到达B地,60min1h=,120min3h=,依题意可得24024030113xx-=+-,整理得232330x x+-=,解得1113x=-,23x=,经检验,111 3x=-,23x=都是原方程的根,但111 3x=-不合题意应舍去,即得3x=,可得甲速度为24080/3km h=,乙速度为24060/31km h=+.【总结】考查行程问题中的列方程解应用题,根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解,注意本题中用时间作设速度列式解题更方便.例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务,在生产了4万套后,接到了买方急需货物的通知,为满足买方的要求,该厂改进了操作方法,每月能多生产1万套,一共5个月完成了这宗业务.求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】★★★【答案】3万套.【解析】设改进操作方案后每月能生产x 万套衣服,则改进之前每月生产()1x -万套,依题意可得413451x x -+=-,整理得251890x x -+=,解得:135x =,23x =,经检验,135x =,23x =都是原方程的根,但135x =不合题意应舍去,即得:3x =,即改进操作方案后每月能生产3万套衣服.【总结】考查工作总量问题,一个条件作设一个条件列式进行求解.随堂检测1.已知方程:(1)2412x x -=-;(2)221x x =-;(3)11x x x æö-=ç÷èø;(43x -=,其中是分式方程的有_____________.【难度】★【答案】(1)、(2)、(3).【解析】根据分式方程的定义,分母中含有未知数的方程是分式方程,(1)、(2)、(3)满足 条件,(4)方程中不含有分式,故答案为(1)、(2)、(3).【总结】考查分式方程的定义,注意前提是方程,且方程分母中必含有字母.2.当x 取何值时,分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【难度】★【答案】1x =或2x =.【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --,最简公分母值为0,即()()120x x --=,解得:1x =或2x =.【总结】考查分式方程的最简公分母,将每个分母因式分解,取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母.3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+,如果设2221x xy x +=-,那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 .【难度】★【答案】281130y y -+=.【解析】2221x x y x +=-,则有22112x x x y-=+,原方程即为3811y y +=,整理化作关于y 的整式方 程即为281130y y -+=.【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化,注意最终要化成整式方程的形式.4.解方程:(1)26531111x x x x =++--+;(2)22161242x x x x +-=--+; (3)243455121760x x x x x x --+=---+.【难度】★★【答案】(1)9x =;(2)5x =-;(3)12x =,29x =.【解析】(1)方程两边同乘21x -,得()()2615131x x x x =--++-,整理得2890x x --=,解得:11x =-,29x =,经检验,11x =-是原方程的增根,即原方程的根为9x =;(2)方程两边同乘24x -,得()22162x x +-=-,整理得23100x x +-=,解得:12x =,25x =-,经检验,12x =是原方程的增根,即原方程的根为5x =-;(3)两边同乘21760x x -+,得()()()4123545x x x x ----=-,整理得211180x x -+=,解得“”12x =,29x =,经检验,12x =,29x =都是原方程的根.【总结】考查分式方程的解法,注意检验所求是否为增根.5.解方程:221313x x x x ++=+.【难度】★★【答案】11x =,21x =+.【解析】令1x a x =+,原方程即为2133a a +=,整理即为231060a a -+=,解得:1a =2a =由1x x =+,解得:1x =;由1x x =+,解得:1x =+经检验11x =,21x =【总结】考查利用换元法解分式方程.6.解方程组311332412463324x y x y x y y x ì+=ï+-ïíï-=ï+-î【难度】★★【答案】1011711x y ì=ïïíï=ïî.【解析】令132a x y =+,14b x y =-,原方程组即为13312463a b a b ì+=ïíï+=î,解得:1413a b ì=ïïíï=ïî,由此可得113241143x y x y ì=ï+ïíï=ï-î, 去分母得32443x y x y +=ìí-=î,解得:1011711x y ì=ïïíï=ïî,经检验,1011711x y ì=ïïíï=ïî是原分式方程的根.【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组,注意验根.7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根,求m 的值.【难度】★★【答案】2m =-或1m =.【解析】方程两边同乘2x x +,得()()22211x m x -+=+,展开整理得2220x x m ---=,分式方程产生增根,即当相应整式方程有两解时,分式方程仅有一解,由此需进行分类 讨论:①整式方程有一根为分式方程增根0x =时,此时有20m --=,解得:2m =-;②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时,此时有()()212120m --⨯---=,解得:1m =;综上,2m =-或1m =.【总结】考查分式方程有增根的情况,即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根.8.甲、乙两地间铁路长400千米,现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米,因此,火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时.求火车原来的速度.【难度】★★【答案】75/km h .【解析】设火车原来的速度为/xkm h ,依题意可得400400245x x -=+,整理得24590000x x +-=,解得:1120x =-,275x =,经检验,1120x =-,275x =都是原方程的根,但1120x =-不合题意应舍去,即得75x =,即可得火车原来速度为75/km h .【总结】考查行程问题中的列方程解应用题,根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解.9.某市为了美化环境,计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务,后来市政府调整了原定计划,不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%,而且要提前1年完成任务.经测算,要完成新的计划,平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩,求原计划平均每年的绿化面积.【难度】★★★【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩.【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩,则新计划每年()20x +万亩,依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+,整理得26040000x x +-=,解得:1100x =-,240x =,经检验,1100x =-,240x =都是原方程的根,但1100x =-不合题意应舍去,即得40x =,即原计划平均每年的绿化面积为40万亩.【总结】考查工作量的问题,根据相应的等量关系式列方程求解.10.解方程:221114(4)12()12433x x x -=-++.【难度】★★★【答案】11x =+,21x =,33x =+,43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+,根据等式的性质移项变形得2668120x x x x æöæö---+=ç÷ç÷èøèø,因式分解得:66260x x x x æöæö----=ç÷ç÷èøèø,由此可得620x x --=或660x x --=;由620x x--=,整理得2260x x --=,解得:11x =+21x =-;由660x x --=,整理得2660x x --=,解得:13x =+23x =经检验,11x =21x =-33x =43x =-都是原方程的根.【总结】考查用整体思想先对分式方程变形,然后求解分式方程的根,注意对方法的总结.11.解方程:596841922119968x x x x x x x x ----+=+----.【难度】★★★【答案】12314x =.【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----,根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----,两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+,由此可得22281711448x x x x -+=-+, 解得:12314x =,经检验,12314x =是原分式方程的根.【总结】考查特殊形式分式方程的解法,注意相应分母的关系,分组两边分别通分计算.12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根,求a .【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-.【解析】方程两边同乘232x x -+,得()2122x a x a -+-=+,展开整理得()134a x a +=+,当10a +≠,即1a ≠-时,得341a x a +=+,分式方程可能产生增根,由此进行分类讨论:①整式方程根为分式方程增根1x =时,此时有3411a a +=+,解得32a =-;②整式方程有一根为分式方程增根2x =时,此时有3421a a +=+,解得2a =-;综上,32a =-或2a =-.【总结】考查分式方程有增根的情况,即对应的整式方程根为分式方程的增根.13.已知:关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根,求a .【难度】★★★【答案】94a =或4a =.【解析】整理原方程得27120a a x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø,因式分解得340a a x x x x æöæö+-+-=ç÷ç÷èøèø,由此可得30a x x +-=或40a x x +-=,分别整理得:230x x a -+=和240x x a -+=,两方程根的判别式分别为194a ∆=-,2164a ∆=-.因为方程仅有一实数根,所以940a -=或1640a -=,解得:94a =或4a =.【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题,根据实际题目进行问题的分析转化,解决问题.。
分式方程的解法知识点总结
分式方程的解法知识点总结分式方程是指含有分式(也称为有理式)的方程,其中包含未知数。
解决分式方程的步骤主要包括消去分母、重整方程以及求解方程等。
一、消去分母对于分式方程,首先要进行的操作是消去分母。
通过乘以分母的倒数,可以将方程转化为整式方程,从而更容易求解。
消去分母的主要步骤如下:1. 找到方程中所有的分母,包括分式中的分母以及分式之间的分母。
2. 将每个分母的倒数乘到方程的每一项上,确保每一项都没有分母。
3. 简化方程,合并同类项。
二、重整方程在完成消去分母的操作后,接下来的步骤是重整方程。
通过将所有项移到方程的一侧,使方程等式两边都为零,方便解方程。
重整方程的步骤如下:1. 将方程中所有项移到方程的一边,使方程等式右边为零。
2. 合并同类项,简化方程。
三、求解方程重整方程之后,就可以通过各种方法求解方程了。
常见的求解分式方程的方法包括:1. 因式分解法:将方程进行因式分解,使方程的每个因式等于零,从而求得方程的解。
2. 通分法:对于方程中含有多个分式的情况,可以通过通分的方式将方程化简为整式方程,然后进行求解。
3. 变量代换法:将分式方程中的未知数进行变量代换,引入新的变量,并通过求解新的整式方程来得到原方程的解。
总结起来,解决分式方程的一般步骤为:1. 消去分母,将方程转化为整式方程。
2. 重整方程,归零方程等式右边。
3. 求解方程,采用因式分解、通分或变量代换等方法求得方程的解。
需要注意的是,在解决分式方程时,要注意方程的定义域,排除使分母为零的值,以确保解的可行性。
综上所述,分式方程的解法主要包括消去分母、重整方程以及求解方程等步骤。
通过掌握这些解法,可以有效地求解各种类型的分式方程。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式分式方程与分式不等式是高中数学中的重要内容,它们在代数方程与不等式的研究中起着重要的作用。
本文将介绍分式方程与分式不等式的基本概念、解法以及应用。
一、分式方程分式方程是一个含有分式的方程,它的解是使得方程两边的分式取相同值的数。
分式方程的基本形式为:$\frac{P(x)}{Q(x)}=c$其中,P(x)和Q(x)为多项式,c为常数。
解分式方程的关键是求出使得方程成立的x值。
解分式方程的步骤如下:1. 将分式方程中的所有分式转化为通分形式,即找到它们的最小公倍数,并将各个分式乘以使分母相同的因子。
2. 化简方程,合并同类项。
3. 将方程转化为多项式方程,通过去分母的操作,可以用等式的形式表示。
4. 求解多项式方程,得到方程的解。
需要注意的是,解分式方程时,要注意验证所得的解是否满足原始方程。
二、分式不等式分式不等式是一个含有分式的不等式,它的解是使得不等式成立的x值。
分式不等式的基本形式为:$\frac{P(x)}{Q(x)}>a$或$\frac{P(x)}{Q(x)}<a$其中,P(x)和Q(x)为多项式,a为常数。
解分式不等式的关键是求出使得不等式成立的x值所在的区间。
解分式不等式的步骤如下:1. 将分式不等式中的所有分式转化为通分形式,方法与解分式方程类似。
2. 化简不等式,合并同类项。
3. 将不等式转化为多项式不等式。
4. 求解多项式不等式,得到x所在的区间。
需要注意的是,解分式不等式时,要注意分母的正负情况,以及不等式中的临界点。
三、应用举例分式方程与分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面分别举例说明。
例1:企业利润分配某企业盈利纳入员工利益分享计划,根据企业盈利比例,公司将利润的30%分配给员工。
其中,员工A分得的利润为整个利润的1/4,员工B分得的利润是员工A分得利润的2/3。
求员工A和员工B分得的利润。
解:设整个利润为x,员工A分得的利润为$\frac{1}{4}$ *$\frac{3}{10}$ * x = $\frac{3}{40}$ * x员工B分得的利润为$\frac{2}{3}$ * $\frac{3}{40}$ * x =$\frac{1}{20}$ * x所以,员工A和员工B分得的利润分别为$\frac{3}{40}$x和$\frac{1}{20}$x。
分式方程的运算
分式方程的运算分式方程是含有分式的方程,它通常涉及到分式的运算,是数学中的一个重要概念。
本文将介绍分式方程的定义、性质、解法以及常见应用等内容。
一、分式方程的定义分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
它的一般形式可以表示为:f(x) = g(x)其中,f(x)和g(x)是以x为变量的分式函数。
例如,下面是一些常见的分式方程的例子:1. x + 2/x = 32. (x + 1)/x + (x + 3)/(x + 2) = 43. 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) = 4二、分式方程的性质1.变量的定义域对于分式方程中的变量,需要找出它的定义域,即使方程成立。
例如,在第一个例子中,由于分母不能为0,所以x不能等于0。
2.通解和特解解分式方程可以得到通解,通解是指包括所有满足方程的解的一个集合。
特解是满足方程的具体解。
通过求解,可以得到方程的通解,然后再根据实际情况求得特解。
3.分式方程的等价性分式方程和分式的等价性也是分式方程的一个重要性质。
如果两个分式在除去分母后相等,那么它们就是等价的。
利用这个性质,可以对分式方程进行变形和简化,方便求解。
三、分式方程的解法解分式方程的一般步骤如下:1.整理方程将方程中的各项整理到等式的一侧,形成一个整式等于一个分式的形式。
2.求公倍数对于分式方程中的分母,需要求取它们的最小公倍数。
这是因为只有最小公倍数的整数倍采用相同的分母,才能进行分式的相加或相减。
3.消去分母通过乘以适当的公倍数,将分母消去。
4.化简方程将方程进行化简,使得方程的形式更简单明了。
5.求解方程对于消去分母后得到的等式,利用方程的性质进行求解。
6.检查解将求解得到的解代入原方程,检查是否满足方程。
四、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用。
其中一个重要的应用是在物理学中,特别是在电路分析中。
例如,使用分式方程可以求解电路中的电流、电压等问题。
分式方程ppt课件
•分式方程基本概念•分式方程解法•分式方程应用举例•分式方程与实际问题结合目•分式方程求解技巧与注意事项•分式方程练习题与答案解析录01分式方程基本概念分式方程是方程中的一种,且分母里含有未知数的(有理)方程叫做分式方程。
分母中含有未知数(或含有未知数整式的有理方程)叫做分式方程。
分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。
分式方程与整式方程区别方程形式不同未知数位置不同分式方程是分式的形式,而整式方程是整式的形式。
解法不同02分式方程解法通过通分,将分式方程转化为整式方程。
注意去分母后,整理得到的整式方程的解需要检验,以排除增根。
适用于分子、分母均为多项式的分式方程。
去分母法通过引入新的变量,将分式方程转化为整式方程。
换元法可以简化复杂的分式方程,降低求解难度。
适用于具有特定结构的分式方程,如分子或分母含有根式、指数等。
换元法判别式法因式分解法将分式方程的分子或分母进行因式分解,从而简化方程。
因式分解法可以方便地找到分式方程的解,特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03分式方程应用举例千米,一辆汽车从甲地开千米。
问这辆汽车需要多少小时才能到达乙地?01020304利润= 售价-进价利润率= 利润÷进价×100%售价= 进价×(1 +利润率)进价= 售价÷(1 +利润率)举例:某商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋,售价为7.4元。
卖到还剩5双时,除成本外还获利44元。
这批凉鞋共有多少双?04分式方程与实际问题结合实际问题转化为分式方程通过分析实际问题的数量关系,建立分式方程模型。
将实际问题中的已知量和未知量用字母表示,根据问题中的等量关系列出分式方程。
注意分式方程中分母不能为0的条件,确保方程的合法性。
分式方程求解实际问题通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤,将分式方程化为整式方程。
解整式方程,求得未知数的值。
检验求得的解是否符合实际问题的要求,确保解的合理性。
分式方程知识点归纳
分式方程知识点归纳1. 分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子BA 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别:分式的字母必须含有字母,即未知数;分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件:分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式(0≠C )注:(1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形,不改变分式值的大小,只改变形式。
(2)应用基本性质时,要注意C ≠0,以及隐含的B ≠0。
(3)注意“都”,分子分母要同时乘以或除以,避免只乘或只除以分子或分母的部分项,或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分:关键先是分解因式1) 分式的约分定义:利用分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值。
2) 最简分式:分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母:取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母,它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注:分子与分母变号时,是指整个分子或分母同时变号,而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1) 整体代换法:指在解决某些问题时,把一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例:已知 ,则求 2)参数法:当出现连比式或连等式时,常用参数法。
例:若 ,则求6. 分式的运算:1)分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。
2)分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是一种含有分式的方程,其中包含有未知数。
解决分式方程可以采用多种方法,下面将介绍两种常见的解法。
一、通分法对于分式方程,可以使用通分法来求解。
通分法的关键在于将方程两边的分母进行相乘,从而消除分母,得到等价的方程。
举个例子,假设有一个分式方程:(a/b) + (c/d) = (e/f)其中a、b、c、d、e、f均为实数且b、d、f不等于零。
为了使用通分法解决这个方程,首先需要找到最小公倍数(LCM)作为通分的基数。
LCM(b, d, f) = L同时将方程两边的分母乘以L,得到:L * [(a/b) + (c/d)] = L * (e/f)然后将分式中的分子与分母相乘,得到:(a * L/b) + (c * L/d) = (e * L/f)通过通分法,将原始的分式方程转化为一个不含分母的线性方程,可以直接应用线性方程的求解方法来解决。
二、消去法消去法也是一种解决分式方程的常见方法,其基本思路是通过消去分母,将分式方程转化为一个不含分式的方程。
继续以之前的例子进行说明:(a/b) + (c/d) = (e/f)为了使用消去法解决这个方程,可以通过两种方式实现分母的消去:交叉相乘法和除法。
1. 交叉相乘法将方程两边的分式交叉相乘,并将结果相等,得到:a * d =b * c然后将这个等式应用到原始的分式方程中,消去分母:(a/b) + (c/d) = (e/f)(b/a) * (a/b) + (b/a) * (c/d) = (b/a) * (e/f)1 + (b/a) * (c/d) = (b/a) * (e/f)通过这种方式,可以将原始的分式方程转化为一个只包含有未知数的线性方程,然后可以使用线性方程的求解方法求解。
2. 除法将方程两边的分式相除,得到:(a/b) / (c/d) = (e/f)然后将左侧的除法转化为乘法:(a/b) * (d/c) = (e/f)这样可以消去左侧分式的分母,得到:(a * d) / (b * c) = (e/f)通过此种方法,也可以将原始的分式方程转化为一个不含分式的方程。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法:1.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.可化为一元一次方程的分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想是:把分式方程转化为整式方程.(2)解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤:①去分母,即在方程的两边同时乘以最简公分母,把原方程化为整式方程;②解这个整式方程;③验根:把整式方程的根代入最简公分母中,使最简公分母不等于零的值是原方程的根;使最简公分母等于零的值是原方程的增根.注意:(1)增根能使最简公分母等于0;(2)增根是去分母后所得整式方程的根.3.解分式方程产生增根的原因:增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的,根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,所得的方程是原方程的同解方程,如果方程的两边都乘以的数是0 ,那么所得的方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根.【例1】解下列分式方程:(1)131x x+=-(2)31244xx x-+=--(3)21122xx x=---(4)11222xx x-=---(5)212xx x+=+(6)2216124xx x--=+-【例2】(1)若关于x 的方程1233mx x=+--有增根,则m =________.(2)解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根,则a 的值是________.(3)若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解,则a 的值为________.(4)若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数,则m 的取值范围是________.(5)若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解,则a =________.二、巧解分式方程: 【例3】(1)111141086x x x x +=+---- (2)2263503x x x x-++=-(3)()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…(4)方程222313x x x x-+=-中,如设23y x x =-,原方程可化为整式方程:________.【拓1】观察下列方程及其解的特征:①12x x+=的解为121x x ==; ②152x x +=的解为12x =,212x =;③1103x x +=的解为13x =,213x =;…… 解答下列问题: ①请猜想:方程1265x x +=的解为________; ②请猜想:关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =,21x a=(0a ≠); ③上题中的结论可以证明是正确的,请用该结论来解方程:315132x x x x -+=-.【拓2】24111181111x x x x +++=-+++.三、分式方程的应用:【例4】(20宝应模拟)十堰即将跨入高铁时代,钢轨铺设任务也将完成.现还有6000米的钢轨需要铺设,为确保年底通车,如果实际施工时每天比原计划多铺设20米,就能提前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨x 米,则根据题意所列的方程是( ) A .600060001520x x -=+ B .600060001520x x -=+ C .600060002015x x -=- D .600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问原计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设原计划每天加工x 套,则根据题意可得方程为( ) A .()16040018120%x x +=+ B .()16040016018120%x x -+=+ C .1604001601820%x x -+= D .()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地,出发后第一小时内按原计划的速度行驶,一小时后加速为原来的1.5倍,并比原计划提前40分钟到达目的地,求前一小 时的平均速度.【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成.已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍,且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天.(1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米?(2)如果甲工程队每天需工程费7000元,乙工程队每天需工程费5000元,若甲队 先单独工作若干天,再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务,支付工程队总费用不超 过79000元,则两工程队最多可以合作施工多少天?四、真题演练:1.(21扬州三模)若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解,则整数m 的值是( ) A .3 B .5 C .3或5 D .3或42.(19仪征期中)定义:如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -,我们就说这个方程叫差解方程.比如:243x =就是个差解方程.如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程,那么m 的值是( ) A .2 B .12 C .12- D .2-3.(20邗江月考)扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成,其中1号线一期工程全长30千米,预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍,行驶时间则缩短半小时.设原来公交车的平均速度为x 千米/时,则下列方程正确的是( ) A .30301.50.5x x +=B .30301.50.5x x -= C .30300.5 1.5x x +=D .30300.5 1.5x x-=4.(21高邮期末)如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解,且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解,则符合条件的所有整数m 的和是( ) A .13 B .15 C .20 D .225.(21仪征期末)若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数,则m 的取值范围为________.6.(21邗江期末)关于x 的方程1122m x x-=--有增根,则m 的值为________.7.(19宝应月考)若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解,则m =________.8.(18高邮期中)已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数,则k 的取值范围是________.9.(19江都期中)若关于x 的方程4122ax x x =+--无解,则a 的值是________.10.(20广陵期中)要使方程121x x a=--有正数解,则a 的取值范围是________.11.(21仪征期末)若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数,则a 的取值范围是________.12.(19邗江月考)对于非零实数a 、b ,规定21a ab b a⊗=-.若(21)1x x ⊗-=,则x 的值为________.13.(20仪征期中)对于两个不相等的实数a 、b ,我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半,如min 2{}31h =、,那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________.14.(20仪征期中)定义运算“※”: , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※,若52x =※,则x 的值为________.15.(20仪征期中)若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++,则a 的值是________.16.(2021·扬州)为保障新冠病毒疫苗接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天.问:原先每天生产多少万剂疫苗?17.(20邗江月考)疫情防控形势下,人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包次性医用口罩,很快售完,该店又用7500元钱购进第二批这种口罩,所进的包数比第一批多50%,每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元,请解答下列问题: (1)求购进的第一批医用口罩有多少包?(2)政府采取措施,在这两批医用口罩的销售中,售价保持了一致,若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱,那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元?18.(21邗江期末)对于两个不等的非零实数a ,b ,若分式()()x a x b x--的值为0,则x a =或x b =.因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+,所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =,2x b =.利用上面建构的模型,解决下列问题: (1)若方程px q x+=的两个解分别为11x =-,24x =.则p =________,q =________;(2)已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ,2x (12x x <).求12223x x -的值.19.(21高邮期末)八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩,一部分学生骑自行车先走,其余学生20min 后乘汽车出发,结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍.(1)求骑车学生的速度;(2)游玩中八(4)班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动,班主任根据该项目收费标准支付了1575元,请根据该项目收费信息确定全班人数.户外拓展收费标准:人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于40元20.(2020·扬州)如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染. 进货单:商品 进价(元/件)数量(件)总金额(元)甲7200 乙3200李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%. 王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件. 请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.。
分式方程的解法与技巧知识精讲
分式方程的解法与技巧知识精讲
一、分式方程定义
分式方程就是把一个式子分解为两部分,分别是分母和分子,然后在
分母和分子上共享一些变量,最后用特定的方法求解出来。
二、求解方法
1、归约法
首先将分式方程中的分子和分母都归约成最简形式,以减少其中的因子。
随后,将归约好的分式方程化简为最简形式,再从最简形式中提取出解。
2、对式子求倒数法
当分式方程的分子和分母都是一元二次方程的时候,就可以将分子和
分母分别求其倒数,然后将其相乘,即可得出原分式方程的解。
3、先分析分式方程构成的结构
在分析分式方程之前,首先要分析分式方程构成的结构,将其分为分母、分子和共同项三部分,通过分析其构成结构,以有效地求解分式方程。
4、使用代数法
代数法是指将分式方程的分子和分母分别乘以同一个数,使得分子和
分母均变为有理数,然后求解原分式方程。
三、技巧
1、把共同项提出来
在解决分式方程的过程中,可以将原来的分式方程中的共同项提出来,以便于更好地求解。
2、多次化简
在处理分式方程的过程中,会有很多步骤,而每一步都有可能出现一
些错误,所以可以多次化简,以确保求解结果的正确性。
3、分析分母和分子
在解决分式方程的过程中。
分式方程的概念及解法
分式方程的概念,解法知识要点梳理要点一:分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释:1.分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量。
2.分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程。
要点二:分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,然后利用整式方程的解法求解。
2.解分式方程的一般方法和步调 (1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注:分式方程必须验根;增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零。
3. 增根的发生的原因:对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程自己就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。
规律方法指导1.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.经典例题透析:类型一:分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是()A.B.C.D.举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a,b为已知数,且,则这个方程是()A.分式方程B.一元一次方程 C.二元一次方程D.三元一次方程类型二:分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x=0这样的分式方程可以是______________. 举一反三:【变式】在中,哪个是分式方程的解,为什么?宇文皓月类型三:分式方程的解法3、解方程举一反三:【变式】解方程:(1)=; (2)+=2.类型四:增根的应用4、当m为何值时,方程会发生增根( ) A. 2 B. -1 C. 3 D.-3举一反三:【变式】.若方程=无解,则m=。
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分式方程的概念,解法
知识要点梳理
要点一:分式方程的定义
分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释:
1.分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量。
2.分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于的方程和
都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程。
要点二:分式方程的解法
1. 解分式方程的其本思想
把分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,然后利用整式方程的解法求解。
2.解分式方程的一般方法和步骤
(1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公
分母等于零的根是原方程的增根。
注:分式方程必须验根;增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因:
对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。
规律方法指导
1.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.
经典例题透析:
类型一:分式方程的定义
1、下列各式中,是分式方程的是()
A.B.C.D.
举一反三:
A.分式方程B.一元一次方程C.二元一次方程D.三元一次方程
类型二:分式方程解的概念
2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x=0这样的分式方程可以是______________.
举一反三:
【变式】在中,哪个是分式方程的解,为什么?
类型三:分式方程的解法
3、解方程
举一反三:
【变式】解方程:(1)=; (2)+=2.
类型四:增根的应用
4、当m为何值时,方程会产生增根( )
A. 2
B. -1
C. 3
D.-3
举一反三:
【变式】.若方程=无解,则m=。
学习成果测评
基础达标
1.要把分式方程化成整式方程,方程两边需要同时乘以().
A.2x-4 B.x C.2(x-2) D.2x(x-2)
2.方程的解是().
A.1 B.-1C.±1 D.0
3.把分式方程的两边同时乘以(x-2),约去分母得().
A.1-(1-x)=1 B.1+(1-x)=1
C.1-(1-x)=x-2 D.1+(1-x)=x-2
填空题
4.已知若(a、b都是整数),则a+b的值是______.5.已知,则______________.
6.已知,则分式的值为______________.
解答题
7.解方程
(1);(2).
8.观察图示的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律:(1)写出第五个等式,并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示.
(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式.
综合探究
解答题
9.先阅读下列一段文字,然后解答问题.
已知:
方程2111
=-x
x 的解是x 1=2,x 2=21-; 方程3221=-x
x 的解是x 1=3,x 2=31-; 方程4331=-x
x 的解是x 1=4,x 2=41-; 方程5441=-x x 的解是x 1=5,x 2=5
1-. 问题:观察上述方程及其解,再猜想出方程11
10101=-x x 的解,并写出检验.
10.阅读理解题:
阅读下列材料,关于x 的方程:
c c x x 11+=+
的解是x 1=c ,x 2=c
1; c c x x 22+=+的解是x 1=c ,x 2=c
2; c c x x 33+=+的解是x 1=c ,x 2=c 3;……. (1)请观察上述方程与解的特征,比较关于x 的方程c
m c x m x +=+(m ≠0)与它们的关系,•猜想它的解是什么,并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证,可以得出结论:•如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数,方程右边的形式与左边完全相同,只把其中未知数换成了某个常数,那么这样的方程可以直接得解,请用这个结论解关于x 的方程:1
212-+=-+
a a x x .
答案与解析:
选择题
1.D (提示:关键是要将分式方程化成整式方程,所以选项A、B、C均不能达到目的.)
2.D (提示:本题不用考虑选项A、B、C,因为x=1或者-1时,原方程没有意义.只需要将x=0带入原方程检验即可.)
3.D (提示:本题有两个地方需要注意:(1)去分母时第二个分式的分子要带括号,这样可以避免符号出错;(2)方程的右边也要乘以(x-2).)
填空题
4.19 (提示:本题的关键是找出通项,,即可求出a、b的值.)
5.(提示:先将两边平方,可得x2+=14,然后将所求代数式取倒数,求得
=15,最后再取倒数即可.)
6.(提示:由得出x-y=-3xy,带入所求分式的分子和分母即可.)
解答题
7.(1)3(提示:按解方程的步骤,注意不要跳步.)
(2)无解(提示:本题要注意解方程后一定要检验.)
8.(1);图示略.
(2)(提示:找到通项是本题关键,建议大家先关注第(2)问.)
综合探究
解答题
9.x1=11,x2=-;代入检验即可.
10.(1)x1=c,;代入检验.(2).。