福建省晋江市安溪一中、养正中学惠安一中泉州实验中学四校2017-2018学年高二下学期期末联考数学(文)试卷

2017—2018高二下学期期末惠安一中 养正中学 安溪一中 泉州实验中学四校联考高二文科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1、设集合M ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，N ＝{x |y ＝lg x }，则下列结论中正确的是( ) A ．M ∩N ≠∅ B ．M ∩N ＝∅ C ．M ∪N ＝ND ．M ∪N ＝M2、已知复数()3biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则z =( )A ．2B ． 3C ．D ． 3、已知 x>0, 且 1<b x <a x , 则 ( ) A. 0<b<a<1B. 0<a<b<1C. 1<b<aD. 1<a<b4、函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象如左图所示，则下列函数图象正确的是（ ）5、已知双曲线的渐近线方程为x y 21±=，则双曲线的离心率（ ） A ．23 B ．25 C ．25或5 D ．23或3 6、函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)7、已知a ∈R ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a e x在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ≤1D ．a ≥08、已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，则满足f (a 2－1)＋f (a －1)＞0的a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(1，2)C ．(1,2)D ．(0，2)9、若关于x 的不等式x 2+ax+1≥0对于一切x ∈恒成立,则a 的最小值是( )A. 0B. 2C. -D. -310、设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x 1和x 2，则（ ） A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2=1C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜111、下列命题正确的个数是（ ）①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π是“1a =”的必要不充分条件；③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立()()2max min2x xax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“0a b <”. A ．1 B ．2 C.3 D ．4 12、已知函数(x<0), g (x )=x 2+bx-2 (x>0,b ∈R)，若f (x )图象上存在A ,B 两个不同的点与g (x )图象上A',B'两点关于y 轴对称,则b 的取值范围为( ) A. (-4-5,+∞)B. (4-5,+∞) C. (-4-5,1)D. (4-5,1)二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分） 13、 曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________________．14、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为___ _____．15、设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (4035)＝_____ ___.16、已知函数f(x)=log 2x,g(x)=x 2,则函数y=g(f(x))-x 零点的个数为 .三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17、（本小题满分12分）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （1）求f (x )的单调递减区间；（2）若f (x )在区间[－2， 2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 18、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln x＋1x－1> lnm（x－1）（7－x）恒成立，求实数m的取值范围.19、(本小题满分12分)已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；（2）时间长为[0,5)的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（3）若时间长为[0,10)被认定“不依赖手机”，[]10,25被认定“依赖手机”，根据以上数据完成22⨯列联表：能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++）20、(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1，0)的距离与它到直线x=-1的距离相等．(1)求动点E的轨迹C的方程；(2)设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．21、 (本小题满分12分) 己知函数 ，a∈R．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x)在区间[1，+∞)上的最小值；(3)在(1)的条件下，若2()()h x x f x =-，求证：当1<x<e 2时．恒有4()4()h x x h x +<-成立．选考题(本小题满分10分) 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.23、已知|x 1-2|<1,|x 2-2|<1 ,(1)求证: 2<x 1+x 2<6 , |x 1-x 2|<2；(2)若f(x)=x 2-x+1, 求证:|x 1-x 2| < |f(x 1)-f(x 2)| < 5|x 1-x 2|.安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2017级（高二文科数学）下学期期末考试参考答案：一选择题（满分60分）1、B2、D3、C4、B5、C6、D7、B8、B9、C 10、D 11、B 12、D二填空题（满分20分）13．y ＝x ＋1 14、 (2,3] 15、2018 16、3三解答题（满分70分）17（满分12分） 解：（1） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．………………1分 令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，………………3分所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．………………4分 （2）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)>f (－2)．…………6分因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增， 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，…………8分因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间 [－2，2]上的最大值和最小值， 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．…………10分故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，…………11分 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．…………12分 18（满分12分）解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，…………2分∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，…………3分 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). …………5分 ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. …………6分(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0，…………7分 ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立. …………8分 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，…………10分即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7. 故实数m 的取值范围为(0，7). …………12分19. （满分12分）解：（1）1(2.577.52812.5917.5522.51)950⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时．…………3分（2）时间长为[0,5)的有7人，记为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，其中女生记为A 、B 、C 、D ，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G 共21个．……5分设事件M 表示恰有一位女生符合要求的事件有：{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G 共12个．所以恰有一个女生的概率为24()217P M 1==．……7分 （3）……9分2250(1510520)0.397 2.07215352030K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，……11分不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．……12分 20 （满分12分）(1)设动点E 的坐标为(x ，y)，……1分由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1，0)为焦点，x=-1为准线的抛物线，……3分 所以动点E 的轨迹C 的方程为y 2=4x. ……4分(2)由2,4y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：ky 2－4y+4b=0．……5分因为直线l 与抛物线相切，所以△=16－16kb=0，即1b k=．……6分 所以直线l 的方程为1y kx k=+， 令x=-1，得1y k k =-+，所以1(1,)Q k k--+．……7分 设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得:212(,)P k k，……8分设2221211(,0),()(1)()2-⋅=---+-+=+-- m M m MQ MP m m k m m k k k k,……10分所以当220,10,m m m ⎧+-=⎨-=⎩即m=1时，0⋅= MQ MP ,所以MQ⊥MP，,……11分所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点M(1，0). ……12分21. （满分12分）(1)由f(x)=x 2－alnx ，定义域为(0，+∞)，得'()2af x x x=-．…1分 因为函数f(x)=x 2－alnx 在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，即2-a=0，解得a=2．2分 经检验，满足题意，所以a=2．……3分(2)由(1)得22'()2a x af x x x x-=-=，定义域为(0,)+∞．当0a ≤时，有'()0f x >,()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为f(1)=1；…4分当0<a≤2，由f'(x)=0得x =01<≤．当x ∈时，'()0f x <,()f x 单调递减，当)x ∈+∞时， '()0f x >,()f x 单调递增， 所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，最小值为f(1)=1；…5分当a>21>，当x ∈时，'()0f x <,()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，'()0f x >,()f x 单调递增，所以函数f(x)在x =时取得最小值ln 222a a a f =-.……6分 综上当a≤2时，f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为1； 当a>2时，f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为ln 222a a a-．……7分 (3)由h(x)=x 2－f(x)得h(x)=2lnx ， 当1<x<e 2时，0<lnx<2，0<h(x)<4， 欲证4()4()h x x h x +<-，只需证[4()]4()x h x h x -<+，即证44()1x h x x ->+，即 22ln 1x x x ->+……9分 设22()ln 1x x x x ϕ-=-+,则22212(1)(22)(1)'()(1)(1)x x x x x x x x ϕ+---=-=++． 当1<x<e 2时，'()0x ϕ>，所以()x ϕ在区间(1，e 2)上单调递增．所以当1<x<e 2时，()(1)0x ϕϕ>=，即22ln 01x x x -->+，故4()4()h x x h x +<-．……11分 所以当1<x<e 2时，4()4()h x x h x +<-恒成立．……12分22（满分10分）解 法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，……4分 即x 2＋(y －5)2＝5. ……5分(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. ……7分由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.……8分又直线l 过点P (3，5)，……9分故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.……10分 法二 (1)同法一．……5分(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5. ……6分由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. ……7分解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2， 1＋5)，……9分又点P 的坐标为(3，5)．故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.……10分 22（满分10分）.证明 (1)∵|x 1-2|<1,∴-1<x 1-2<1,即1<x 1<3, ……2分同理1<x 2<3,∴2<x 1+x 2<6.∵|x 1-x 2|=|(x 1-2)-( x 2-2)|≤|x 1-2|+|x 2-2|,……4分 ∴|x 1-x 2|<2. ……5分 (2)|f(x 1)-f(x 2)|=|-x 1+x 2|=|x 1-x 2||x 1+x 2-1|,……8分∵2<x 1+x 2<6,∴1<x 1+x 2-1<5, ……9分 又12xx ≠ ∴|x 1-x 2|<|f (x 1)-f (x 2)|<5|x 1-x 2|. ……10分。