华东师大版九年级数学上册二次函数的图象与性质2

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初三二次函数的图像与性质

初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。

在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。

本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。

一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。

它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。

当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。

二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。

其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。

【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。

解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。

由于$a>0$，所以抛物线开口向上。

考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。

首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。

代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。

因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。

接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。

顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。

将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。

因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。

它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

二次函数的图像和性质(共82张PPT)

y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象，并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像

初三数学二次函数二次函数的图象与性质知识精讲华东师大版

初三数学 27.1二次函数；27.2二次函数的图象与性质知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§27.1二次函数§27.2二次函数的图象与性质二. 重点、难点：1. 重点：⑴理解并掌握二次函数的定义，会根据问题要求正确列出二次函数关系式；⑵会用描点法画出二次函数的图象，并探索、掌握其性质；2. 难点：⑴会利用图象或通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点的位置；⑵掌握二次函数关系式常见的三种形式，并能灵活运用解题.三. 知识梳理：1. 二次函数的概念一般地，形如()20y ax bx c a =++≠，则y 叫做x 的二次函数，其中x 为自变量.说明：⑴函数关系式必须是整式，任何一个二次函数都可以化成()20y ax bx c a =++≠的形式，因此，把()20y ax bx c a =++≠叫做二次函数的一般形式；⑵化简后二次函数中自变量的最高次数必须是2，二次项的系数（特别是用字母表示时）必须不为0.⑶一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数，但在实际问题中，自变量x 有特殊的取值范围.2. 二次函数的图象及平移规律二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象是一条对称轴平行于y 轴的曲线，这条曲线叫做抛物线，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小（即形状）完全相同，只是位置不相同.抛物线()20y ax bx c a =++≠可由抛物线()20y ax a =≠平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况．因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式2()y a x h k =++来讨论．具体平移方法如下图所示：这里我们总结了一个口诀帮大家总结二次函数图像平移时的规律：a 倍系数定开口，a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下．加减常数上下走，加上常数，向上移动；减去常数，向下移动．常数若是进括号，加减左右对称轴．括号内加，向左移动；括号内减，向右移动．（注：这里加减的数指正数）3. 二次函数的图象特征通过配方c bx ax y ++=2可写成a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，它的图象是以直线a b x 2-=为对称轴，以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22为顶点的一条抛物线．5. 、、与图象的关系开口上下决定a 的正负；左同右异；（即对称轴在y 轴左侧与右侧分别判别a 、b 的符号的异同．）抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负．6. 二次函数解析式的求法用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法： ⑴设一般形式：c bx ax y ++=2（a ≠0）若已知条件是图象上一般的三个点，则设所求的二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知条件代入组成三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点形式：()k h x a y +-=2（a ≠0）若已知二次函数的顶点坐标（h ，k ），设所求二次函数为y ＝a （x －h ）2＋k ，将第二个点的坐标代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．⑶设交点式：()()21x x x x a y --=（a ≠0）若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1， 0），（x 2， 0），设所求的二次函数为()()21x x x x a y --=，将第三点的坐标代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．【典型例题】例1. 下列函数是二次函数的是（）A. y ＝8x 2＋1B. y ＝8x ＋1C. y ＝x 8D. y ＝28x＋1分析：形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的函数为二次函数．函数y ＝x 8、y ＝28x＋1右边的代数式x 8、28x 是关于自变量x 的分式，不是二次函数．解：A 为二次函数，B 为一次函数，C 为反比例函数，故选A ．例2. 已知函数y ＝（m －1）x 12+m ＋5x －3是二次函数，求m 的值．分析：二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，二次项系数a ≠0，不少同学在解题时容易忘记．错解：∵函数y ＝（m －1）x12+m ＋5x －3是二次函数，∴m 2＋1＝2，m 2＝1． ∴m ＝±1．正确解法：∵y ＝（m －1）x12+m ＋5x －3是二次函数，∴m 2＋1＝2且m －1≠0．∴m ＝－1．例3. 底面半径为rcm ，高为2cm 的圆柱体的体积为Vcm 3．⑴求V 与r 的函数关系式；⑵画出函数图象．分析：因为圆柱体底面半径为rcm ，则底面面积为πr 2cm 2，所以容易得到V 关于r 的函数关系式．但在本题中，圆的半径为正值，所以自变量r 的取值范围是r ＞0，这点不能忽视．解：⑴依题意，得圆柱体底面面积为πr 2cm 2，所以有V ＝2πr 2（r ﹥0）．根据上表，描点、连线，画出函数图象，如下图所示：∵r 取大于0的数，∴其图象只在第一象限（原点O 是虚点）．说明：本题中因为自变量r 的取值范围是r ＞0，所以画出的图象只是抛物线在第一象限的一部分，应注意，原点处应为空心点．例4. 某商店将每件进价为10元的商品按每件12元出售时，一天可卖出150件，该商店经过调查发现，该商品每提价0.1元，其销售量下降5件，设该商品每件提高x 元时，每天的销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式．分析：在列实际问题的函数关系式中，应正确分析题意，找出各个数量之间的关系，不能在还未弄清题意时便贸然列函数关系式．错解1：y ＝（12－10＋x ）·（150－5x ）．错解2：y ＝（12＋x ）（150－50x ）．正确解法：y ＝（12－10＋x ）（150－x ÷0.1×5）＝（2＋x ）（150－50x ）．错解分析：解法1忽略了销售件数与提高价格的关系，误认为每提高1元销售量下降5件；解法2不明白利润应为销售收入与成本的差．例5. 二次函数y ＝21x 2＋3x ＋25的图象是由函数y ＝21x 2的图象先向（左、右）平移个单位，再向（上、下）平移个单位得到的．分析：在二次函数由一般式化成顶点式时，在配方过程中提公因式和去括号时容易出现错误．解：y ＝21x 2＋3x ＋25＝21（x 2＋6x ＋5）＝21（x 2＋6x ＋9－9＋5）＝21（x ＋3）2－2． ∴抛物线y ＝21x 2＋3x ＋25是由y ＝21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．例6. 选择题：抛物线y ＝2x 2＋4x －3的顶点坐标是（）A. （1，－5）B. （－1，－5）C. （－1，－4）D. （－2，－7）分析：题中所给的二次函数的解析式是一般式，可以利用配方的方法，也可以记住对称轴x ＝ab 2-，顶点（a b ac a b 44,22--），把它们当作公式应用．解法一：∵y ＝2x 2＋4x －3＝2（x 2＋2x ＋1）－5＝2（x ＋1）2－5，∴顶点坐标为（－1，－5）．解法二：∵a ＝2，b ＝4，c ＝－3，∴x ＝244)3(24a 4b ac 4y ,1224a 2b 22⨯--⨯⨯=-=-=⨯-=-＝－5 ∴顶点的坐标为（－1，－5）．答案：B例7. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，下列结论中，正确的个数有（） ①abc >0 ②b ＝2a ③a ＋b ＋c <0 ④a －b ＋c >0A. 4B. 3C. 2D. 1分析：根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与a 、b 、c 的关系，可以判定出结果．解：∵抛物线的开口向下，∴a <0．又∵对称轴在y 轴左侧，∴a 、b 同号，又∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，∴c >0，∴abc >0．又∵ab 2-＝－1，∴b ＝2a ．令x ＝1，则y ＝a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c <0不正确．令x ＝－1，则y ＝a －b ＋c >0，∴a －b ＋c >0正确．答案：B例8. 已知一次函数y ＝ax ＋c ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）．分析：先由一次函数y ＝ax ＋c 确定a 与c 的正负情况，再与二次函数的图象比较．解：可用排除法，设当a>0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，而一次函数y ＝•ax ＋c 应过一、三象限，故排除C ；当a<0时，用同样方法可排除A ；c 决定直线与y 轴交点；也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点，本题中c 相同，则两函数图象在y 轴上有相同的交点，故排除B ．答案：D ．例9. 已知二次函数的图象的顶点是（1，－8），且经过点（3，0），求这个二次函数关系式．分析：求二次函数关系式的方法，应根据具体问题灵活应用，选取最简方案．本题因为已知二次函数图象顶点及与x 轴的一个交点，故可用一般式，顶点式或两点式．解法1：因为抛物线顶点为（1，－8），所以设函数关系式为y ＝a （x －1）2－8．把（3，0）代入上式，得0＝a （3－1）2－8．∴a ＝2．∴二次函数关系式为y ＝2（x －1）2－8＝2x 2－4x －6．解法2：∵抛物线对称轴为直线x ＝1，与x 轴一个交点为（3，0），设另一交点为（x 2，0），则1＝232x +．∴x 2＝－1．∴设二次函数关系式为y ＝a （x ＋1）（x －3）．把（l ，－8）代入上式，得－8＝a ·2·（－2）．∴a ＝2．∴二次函数关系式为y ＝2（x ＋1）（x －3）＝2（x 2－2x －3）＝2x 2－4x －6．例10. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB ＝5cm ，拱高OC ＝0.9cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图①，在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系如图②．⑴求出图②上以这一部分抛物线为图象的函数关系式，写出函数定义域；⑵如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长．（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）分析：⑴由题意知，抛物线顶点为（0，0.9），且过A （－2.5，0），B （2.5，0）.⑵求DE 的长，可求出D 、E 的横坐标，D 、E 的纵坐标与M 点纵坐标相等，为0.45，将y ＝0.45代入⑴中函数关系式即可求出D 、E 的横坐标．解：⑴由题意知，抛物线顶点C 的坐标为（0，0.9），所以设抛物线关系式为y ＝ax 2＋0.9.把B （2.5，0）代入上式，得0＝6.25a ＋0.9.解得a ＝－12518. ∴函数关系式为y ＝－12518x 2＋109（－2.5≤x ≤2.5）． ⑵∵DE ∥AB ，∴D 、M 、E 的纵坐标相等，都为209．把y ＝209代入y ＝－12518x 2＋109，得x 1＝452．x 2＝－245．∴D 点坐标为（－245，209），E 点坐标为（209,245）． ∴DE ＝245245+＝225． ∴卢浦大桥拱内实际桥长为225×11000×0.01＝2752≈385（米）．点拨：求DE 的长即求出D 、E 两点坐标．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 若函数－２－2m 2)x (m y =是二次函数，那么m 的值是（）A. 2B. －2C. 2或－2D. 2±2. 抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下面是小华同学对二次函数 2x 3y -=图象的描述，其中错误的是（）A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的对称轴为y 轴C. 抛物线的顶点是原点D. 抛物线经过点（－3，1）4. y＝（x－1）2＋2的对称轴是直线（）A. x＝－1B. x＝1C. y＝－1D. y＝15. 若抛物线y＝a1x2，y＝a2x2的形状、大小、开口方向均相同，那么（）A. a1＝a2B. a1＝－a2C. |a1|＝|a2|D. a1与a2的关系无法确定6. 已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝－1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且－1＜x1＜x2，x3＜－1，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＜y2＜y3B. y3＜y1＜y2C. y3＜y2＜y1D. y2＜y1＜y3二、填空题1. 已知函数y＝（m2－1）x2＋（m2－2m－3）x－m－1，当m__________时，y是x的二次函数；当m_______时，y是x的一次函数。

九年级数学二次函数的图象和性质课件

(h>0)
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性

2二次函数的图象与性质复习PPT课件(华师大版)

1 2
0①
2k 2 k 1 2②
由①，得：k 1
由②，得：k1
1 2
2
, k2
1
∴ k 1
相信自己，你就能成功！
检测二：
1：y ax2
2：y bx2
3：y cx2
比较a、b、c的大小
1
3
2
1
2、抛物线y = 2 x 2+3的开口方向向上 ,对称轴是直线X=0 ,
顶点坐标是（0，3） ,是由抛物
对称轴
a>0 最
y轴
y轴直线x=h
x 0时，x 0时， x=h时
ymin 0 Hale Waihona Puke min c y=0(h,k)
直线x=h
x=h时 y=k
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
直线 x b
2a
x
b 2a
时，ym
in
4ac 4a
b2
值
x 0时 x 0时 x=h时 x=h时
a<0 ymax 0 ymax c ymax=0 y=k
• A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
• C．与x轴有两个交点
• D．顶点坐标是(-1，0)
检测三：
1、若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则
a〈 0, m〈 0, n〈 0。
某二次函数满足下列表格中的x，y的值：
x … －4 －2 0 1 2 3 …
y … 25 9
二次函数的图象和性质（复习）
一、二次函数的定义
1.定义：一般地,形如
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)

二次函数与三角函数的图像与性质

二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

开口向上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。

2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x = -b/2a。

对称轴上的点关于抛物线对称。

3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

顶点是抛物线的最高点或最低点，取决于a的正负。

4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。

二次函数最多有两个零点。

5.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

6.增减性：当a > 0时，随着x的增大，y值增大；当a < 0时，随着x的增大，y值减小。

二、三角函数的图像与性质1.正弦函数（sin x）：–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为2π。

–性质：正弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，正弦函数是增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。

2.余弦函数（cos x）：–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性波动的曲线，周期为2π。

–性质：余弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，余弦函数是减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。

3.正切函数（tan x）：–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为π。

–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数是增函数。

4.弧度制与角度制的转换：–弧度制：π rad = 180°。

–角度制：1° = π/180 rad。

5.三角函数的定义：–正弦函数：sin x = 对边/斜边。

–余弦函数：cos x = 邻边/斜边。

–正切函数：tan x = 对边/邻边。

三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。

二次函数的图像与性质

06
二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是一个开口向上的抛物线；当a<0时，函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它的单调性不变。
04
二次函数的解析式

【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册《二次函数y=ax^2的图象和性质》参考教案

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册《二次函数y=ax^2的图象和性质》参考教案______年______月______日____________________部门教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称【探究 l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.2．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象.12学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1 下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是 .（2）函数y=x2，y=，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.解：（1）可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=x2，x轴下方的为y=-2x2【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a<0时，开口向下.|a|越大，开口越小.（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x<0时，y的值随x的增大而变化的情况解：(1)将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a×12 ∴a=2.(2)根据函数y=2x2知x<0时y随x的增大而减小.【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x<0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小..（五）当堂检测反馈1. 抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是 y轴 .抛物线y=-x2的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是 y轴 .2. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 .【分析】a与-2互为相反数3. 在同一坐标系中：①y=，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大的是①，最小的是③y=2x2，开口向下的是②y=-x2.解：∵||<|-1|<|2|,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小.∵函数y=-x2中，二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下.4. 二次函数y=2x2， y=-2x2 ，y=的图象共同点是①顶点相同，都是原点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2, ∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,即a=,.∴y=x2, ∴当x>0时，y随x的增大而增大.作业。

二次函数的性质及其图象

象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个左单位加向右右 (h 减 0)、左（h 0） y=a(x-h)2
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜

二次函数的图象与性质(2)课件(新版)华东师大版

合抱之木，生于毫末；九层之台，起于垒土；千里之行，始于足下。 ——老子
预习导学
1.y=ax2的图象与y=ax2+k的图象形状相同，都是抛物线，开口方向相同，对称轴相同，都是y轴；当 k>0时，函数y=ax2+k的图象可以由函数y=ax2的图象向上平移k个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k 的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移k个单位得到。
3.使用时间未填写。
情景引入
一个物体向上抛出去，你仔细观察过它所经过的路线吗？科技工作者用闪光照片记下了物体运动过程中的路线，如图所示，物体沿着一定的路线运动，先达到最高点，然后再沿着一条线落下，行进的路线是对称的，我们把物体抛出去后行进的路线称为抛物线。你还能举出一些抛物线的例子吗？
2 y ax 1.会用描点法画出二次函数
2.先对桌一对一讨论，相互解疑答难，并不断完善导学案。
3.一对一讨论过后，再进行组内讨论，互相解决疑难问题。同时确定好展示和点评的同学，并做好准备。展示的同学去黑板板书展示的内容。
4.通过讨论小组内的每一位组员都能把导学案的问题弄明白，搞清楚。
5.讨论的同时，注意用红色笔修改完善导学案。注意：站起讨论时要轻轻地将凳子放到桌子下面，讨论达标后自主坐下。
2
+k的图象； 2 y ax 2.探究抛物线与y ax k 之间的位置关系。 3.体验抛物线平移的过程，形成良好的思维方法。
目标引领方向，奋斗点燃激情！
自主纠错
要求： 1.面对疑难不要慌张，认真分析问题涉及的知识与方法，用红笔进行方法与总结； 2.写出题目规范的解答过程，小题也要写出解答过程；自己解决不了的题目用红笔标出，以备讨论时解决。

九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第2课时)》

y2＜y3＜y1
________________
．
解：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝3＞0，开口向上，
∴当x＜－ 2时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－ 2时，
即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3 2，y1)，
∴点A在抛物线上关于x=- 2的对称点A′的坐标为( 2，y1)．
y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大
而减小；x＜h时，y随x
的增大而增大.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
素养考点二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
例若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点，A(－3 2 ，y1)，
B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
22.1 二次函数的图像和性质
能力提升题
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2 与y＝2(x-2)2 的图
象，分别指出两个图象之间的相互关系．
y
解：图象如右图.
y = 2x2
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的
图象向右平移2个单位得到.
x
O
2
课堂检测
22.1 二次函数的图像和性质
拓广探索题
y 1 x2
式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a =
因此平移后二次函数关系式为y＝
1
(x－3)2.
4
1
，
4
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，
括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号二次函数的图像和性质

九年级上册数学书华东师大版

九年级上册数学书华东师大版一、二次函数。

1. 二次函数的概念。

- 一般地，如果y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。

例如y = 2x^2+3x - 1就是一个二次函数，其中a = 2，b = 3，c=-1。

2. 二次函数的图象和性质。

- 图象：二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴的公式为x =-(b)/(2a)。

例如对于二次函数y = 3x^2-6x + 1，a = 3，b=-6，对称轴x =-(-6)/(2×3)= 1。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入二次函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 最值：当a>0时，二次函数有最小值y=frac{4ac - b^2}{4a}；当a < 0时，二次函数有最大值y=frac{4ac - b^2}{4a}。

3. 二次函数的平移。

- 二次函数y = a(x - h)^2+k(a≠0)的图象可以由y = ax^2的图象平移得到。

当h>0时，图象向右平移h个单位；当h < 0时，图象向左平移| h|个单位。

当k>0时，图象向上平移k个单位；当k < 0时，图象向下平移| k|个单位。

例如，y=(x - 2)^2+3的图象是由y = x^2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的。

二、一元二次方程。

1. 一元二次方程的概念。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)，例如x^2-3x+2 = 0就是一元二次方程，其中a = 1，b=-3，c = 2。

九年级数学二次函数图像与性质课件

2．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2 个单位，得到图像的顶点坐标_____．
y=a(x-h)²+k
• 对称轴直线 x=h 顶点〔h，k〕 • 最值当a>0时 x=h时，y有最小值k
当a<0时 x=h时，y有最大值k
返回
在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
y
5
y=2x2 4
y=2(x–1)2+1
3
2
1
y=2(x–1)2
x
–5 –4 –3 –2 –1–O1 1 2 3 4 5
–2
y
2.
1.
y=2(x-1)2+1 y=2(x-1)2
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
y a(x h)2 k（a 0）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线 y=a(x-h)2+k(a>0)
开口方向
向上
y=a(x-h)2+k(a<0) 向下
对称轴直线x=h 顶点坐标〔h，k〕
直线x=h 〔h，k〕
在对称轴的左侧,y随着x的在对称轴的左侧,y随着x的
1. 2. 3.
x
-1
y 2x2
y 2x2 1
y 2(x 1)2
y 2(x 1)2 1
平移的规律总结：
y=ax2 当h>0时,向右平移h个单位 y=a(x-h)2
当h<0时,向左平移 h 个单位
y=a(x-h)2 当k>0时,向上平移k个单位 y=a(x-h)2+k 当k<0时,向下平移 k 个单位

九年级数学寒假专题—二次函数的图象华东师大版知识精讲

用心用心爱心爱心专心专心九年级数学寒假专题—二次函数的图象华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：本周教学内容：寒假专题——二次函数的图象寒假专题——二次函数的图象二. 重点、难点：重点、难点：复习二次函数有关图像的性质复习二次函数有关图像的性质三. 过程：过程：（一）知识点回顾：（一）知识点回顾：1. 二次函数解析式的几种形式：二次函数解析式的几种形式：①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

，（也叫两根式）。

2. 二次函数y ax bx c =++2的图象的图象 ①二次函数y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

只是位置不同。

②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

，具体平移方法如下表所示。

③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。