高考数学不等式的基本性质知识点总结
高考不等式知识点汇总
高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点，是解决数学问题中常用的一种工具。
它不仅涉及到基本的不等式性质，还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。
下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a < b，且b < c，则有a < c。
传递性是不等式推导中常用的重要性质。
2. 不等式的加减性：若a < b，则有a±c < b±c，其中c为实数。
加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。
3. 不等式的倍乘性：若a < b，且c > 0，则有ac < bc；若a < b，且c < 0，则有ac > bc。
倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。
二、不等式的求解1. 一元一次不等式：例如ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c 为已知实数，x为未知数。
求解一元一次不等式时，可以采用移项和分段讨论等方法。
2. 一元二次不等式：例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
求解一元二次不等式时，可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。
3. 绝对值不等式：例如|ax + b| < c或|ax + b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
求解绝对值不等式时，可以利用绝对值的性质，将其转化为对应的复合不等式进行求解。
三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示：例如a < x < b或a ≤ x ≤ b，其中a、b为已知实数，x为未知数。
不等式的区间表示可以通过画数轴，标示出解集所在的区间。
2. 不等式的图像表示：例如y < ax + b或y > ax + b，其中a、b 为已知实数，x、y为未知数。
高考数学不等式的基本性质与不等式的解法考点总结
高考数学不等式的基本性质与不等式的解法考点总结什么叫做不等式用不等号将两个整式连结起来所成的式子。
不等式基本性质①假设xy，那么yx；假设yx，那么xy；〔对称性〕②假设xy，yz；那么xz；〔传递性〕③假设xy，而z为恣意实数或整式，那么x+zy+z；〔加法原那么，或叫同向不等式可加性〕④ 假设xy，z0，那么xzyz；假设xy，z0，那么xzyz；〔乘法原那么〕⑤假设xy，z0，那么x÷zy÷z；假设xy，z0，那么x÷zy÷z；⑥假设xy，mn，那么x+my+n；〔充沛不用要条件〕⑦假设x0，m0，那么xmyn；⑧假设x0，那么x的n次幂y的n次幂〔n为正数〕，x的n 次幂y的n次幂〔n为正数〕或许说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法那么。
假设由不等式的基本性质动身，经过逻辑推理，可以论证少量的初等不等式，以上是其中比拟有名的。
不等式性质与等式性质的异同点相反点：等式或不等式的两边同时加上〔或减去〕同一个数，等式或不等式依然成立。
不相反点：等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个不为0 的数，等式依然成立。
不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个正数，不等式依然成立。
不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个正数，不等式改动方向。
不等式的解法：〔1〕一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对停止讨论：〔2〕相对值不等式：假定，那么；；留意：〔1〕解有关相对值的效果，思索去相对值，去相对值的方法有：⑴对相对值内的局部按大于、等于、小于零停止讨论去相对值；〔2〕。
经过两边平方去相对值；需求留意的是不等号两边为非负值。
〔3〕。
含有多个相对值符号的不等式可用〝按零点分区间讨论〞的方法来解。
〔4〕分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；〔5〕不等式组的解法：区分求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共局部。
高考数学知识点之不等式
高考数学知识点之不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab ab>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b ann且（开方法则）3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b ca b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab ab>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a>>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a cb a ==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n nn n n n-==-≥++--②1)n ==≥（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn nn n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f xg x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a aa f x g x aaa f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;l og ()log ()(01)()0()()()()aa aa f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()223279x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x xx x+=+≥与同号，故取等。
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
高考数学知识点不等式的基本性质详解
高考数学知识点不等式的基本性质详解不等式的调查在高考中从未消逝，以下是不等式的基本性质详解，请参考。
不等式的基本性质
1.不等式的定义：a-bb,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟习的知识背景，来看法作差法比大小的实际基础是不等式的性质。
作差后，为判别差的符号，需求分解因式，以便运用实数运算的符号法那么。
2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两局部。
不等式基本性质有：
(1)abb
(2)acac(传递性)
(3)ab+c(cR)
(4)c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1)ada+cb+d。
(2)a0,c0acbd。
(3)a0anbn(nN,n1)。
(4)a0N,n1)。
应留意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。
普通地，证明不等式就是从条件动身实施一系列的推出变换。
解不等式就是实施一系列的等价变换。
因此，要正确了解和运用不等式性质。
②关于不等式的性质的调查，主要有以下三类效果：
(1)依据给定的不等式条件，应用不等式的性质，判别不等式能否成立。
(2)应用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判别实数值的大小。
(3)应用不等式的性质，判别不等式变换中条件与结论间的充沛或必要关系。
以上为大家分享的不等式的基本性质详解希望大家可以熟练运用。
2024版高考数学总复习：不等式的性质与基本不等式教师用书
第四节不等式的性质与基本不等式考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．2．掌握基本不等式푎 ≤푎+2(a >0，b >0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个实数比较大小的依据(1)a －b >0⇔a >b .(2)a －b ＝0⇔a ＝b .(3)a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a .(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(同向可加性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ，a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .(正数同向可乘性)(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(6)可开方性：a >b >0푎(1)a ＞b ，ab ＞0⇒ 3．基本不等式푎 ≤푎+2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中푎+2称为正数a ，b 的算术平均数，푎 称为正数a ，b 的几何平均数．4．利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2�(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是�24(简记：和定积最大)．1．使用基本不等式求最值时，2．“当且仅当(1)푎2+ 22≥(a ，b ∈R )．(2) 푎+푎≥2(ab ＞0)(当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)21푎+1≤푎 ≤푎+2≤a ＞0，b ＞0)．(4)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 푎＜+�푎+�； 푎＞−�푎−�(b －m ＞0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(×)(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(×)(3)不等式a 2＋b 2≥2ab 与푎+2≥푎 成立的条件是相同的．(×)(4)函数f (x )＝sinx ＋4sin �的最小值为4.(×)2．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是()A．a －c <b －d B．ac <bd C．a ＋c >b ＋dD．a ＋d >b ＋cC 解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．3．当x >0时，函数f (x )＝2��2+1有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2B 解析：f (x )＝2�+1�≤x ＝1�(x >0)，即x ＝1时取等号，所以f (x )有最大值1.4．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是()A．P ≤Q B．P <Q C．P ≥Q D．P >QA解析：不妨取a ＝b ＝12，则P －Q ＝14(x ＋y )2－12x 2－12y 2＝－14(x －y )2≤0，所以P ≤Q .5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为_______________．a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b.考点1不等式的性质——基础性1．下列命题正确的是()A．若a>b，则1푎<1B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bdC解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则1푎<1 不成立；对于B，若a>b，取a＝0，b ＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|BC解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a<b<c，且ab<0，那么下列各式中一定成立的是()A．푎 >푎�B．a(c－b)<0C．ac2>bc2D．ab(b－a)>0B解析：因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B 正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则푎 <푎�，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即选项A，C，D都不正确．4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma， −�푎−�______ 푎.(填“>”或“<”)＜＜解析：因为b >a >0，m <0，所以b －a >0.因为mb －ma ＝m (b －a )<0，所以mb <ma .因为−�푎−�−푎＝<0，所以 −�푎−�< 푎.解决这类问题一是要充分利用不等式的性质，作差法比较两个代数式的大小．考点2利用基本不等式求最值——综合性考向1配凑法求最值(1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；23解析：因为0＜x ＜1，所以4－3x >0，所以x (4－3x )＝13·3�4−3�≤13＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，等号成立．(2)当�+�+1x ＝_______．4解析：��＋1＋9－1＝5，当且仅当�＋1＝x ＝4时，等号成立．(1)依据：基本不等式．(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1푎+1的最小值为_________．4解析：因为a ＋b ＝1，所以1푎+1＝+a ＋b a ＝b ＝12时，等号成立．(2)已知x ＋2y ＝xy (x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为_________．9解析：由x＋2y ＝xy 得2�+1�＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y +＝5＋2��+2��≥5＋2＝9，当且仅当2��＝2��，即x ＝y 时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为9.(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为(1)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则푎�2的最大值为()A．8B．2C．18D ．16C 解析：因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以푎�2＝푎�4푎2+4푎�+�2＝14푎�+�푎+4≤＝18，当且仅当c ＝2a ＞0时，等号成立．(2)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是_________．45解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x2＝1−�45�2，由x 2≥0，可得y 2∈(0，1]，则x 2＋y2＝1−�45�2＋y 2＝1+4�45�2＝154�2+≥15·2＝45，当且仅当y 2＝12，x 2＝310时，等号成立，故x 2＋y 2的最小值为45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2＝254(x 2＋y 2)2，当且仅当5x 2＋y 2＝4y 2＝2，即y 2＝12，x 2＝310，等号成立，故x 2＋y 2≥45，即x 2＋y 2的最小值为45.(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，(2)如果出现多元的问题，(多选题)设正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，则()A．1�+2�的最小值为22B．�+�的最小值为2C．��的最大值为1D．m 2＋n 2的最小值为2CD 解析：因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，所以1�+2�＝m ＋n )×12＝123+��+≥123+＝3+222，当且仅当��＝2��且m ＋n ＝2，即m ＝22－2，n ＝4－22时取等号，A 错误；(�+�)2＝m ＋n ＋2��＝2＋2��≤2＋2×�+�2＝4，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以�+�≤2,即最大值为2，B 错误；由mn＝1,当且仅当m ＝n ＝1时取等号，此时��2取最大值12，C 正确；m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，即m 2＋n 2的最小值为2，D 正确．考点3利用基本不等式解决实际问题——应用性某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入�4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的单价提高a 元，则(10－a )·(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5.所以商品的单价最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋�4＋50(x ＞5)即可，此时m ＝12x ＋34+50�≥234＝434，当且仅当12x ＝50�，即x ＝10时等号成立．故销售量m 至少应达到434万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．(1)利用基本不等式解决实际问题时，的函数关系式，然后用基本不等式求解．1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为��+��2�＝�+�2，乙的平均单价为2���+��＝2���+�.因为x ≠y ，所以�+�22���+�＝�2+�2+2��4��>4��4��＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．2．(多选题)(2022·枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km，从P 点沿海岸线正东方向12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h，步行的平均速度为5km/h，时间t (单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x (单位：km)表示此人将船停在海岸距点P 处的距离．设u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，则()A．函数v ＝f (u )为减函数B．15t －u －4v ＝32C．当x ＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x ＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h AC 解析：因为u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，所以�2+4＝�+�2，x ＝�−�2，uv ＝4，则v ＝4�，其在(0，＋∞)上是减函数，A 正确；t ＝�2+43+12−�5＝�+�6+125−�−�10，整理得15t ＝u ＋4v ＋36，B 错误；15t ＝u ＋16�＋36≥2�·16�＋36＝44，当且仅当u ＝16�，即u ＝4时等号成立，则4＝�2+4＋x ，解得x ＝1.5，C 正确；当x ＝4时，t ＝253+85，t －3＝253−75＝105−2115＝500−44115＞0，则t ＞3，D 错误．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．8解析：每台机器运转x 年的年平均利润为��＝18－�25�而x >0，故��≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．拓展考点绝对值三角不等式定理1如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立定理2如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1.证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A．x ＋y ≤1B．x ＋y ≥－2C．x 2＋y 2≤2D．x 2＋y 2≥1[四字程序]读想算思若实数x ，y 满足x 2＋y2－xy ＝1不等式的性质、基本不等式、配方法的应用x 2＋y 2，xy ，(x ±y )2的关系转化与化归x ＋y ≤1；x ＋y ≥－2；x 2＋y 2≤2；x 2＋y 2≥11．构造不等式．2．代数换元．3．三角换元1．构造关于所求代数式的不等式．2．令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．3．求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数．4．三角换元1.利用基本不等式可以实现积化和、和化积、和化和．2．三角代换的适用条件和新变元范围的确定思路参考：利用xy ，xy ≤�2+�22构造关于x ＋y ，x 2＋y2的不等式，解不等式求范围．BC 解析：由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x＝y 时，取等号，即当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确．由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x 2＋y 2)－1＝xy ≤�2+�22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确．当x y x 2＋y 2＝23<1，D 错误．故选BC.思路参考：令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．BC 解析：令x ＋y ＝t ，则y ＝t －x ，代入x 2＋y 2－xy ＝1得关于x 的方程3x 2－3tx ＋(t 2－1)＝0，则Δ＝(－3t )2－4×3×(t 2－1)≥0，解得－2≤t ≤2，即－2≤x ＋y ≤2.令x 2＋y 2＝m ，则由x 2＋y 2－xy ＝1得xy ＝m －1，于是有m ≥2|m －1|，解得23≤m ≤2，即x 2＋y 2232，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.思路参考：求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数，求函数的值域得范围．BC解析：由xy ＋1＝x 2＋y 2≥2|xy |得xy ∈−13，1，则x 2＋y 2＝xy 232，(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1∈[0，4]，即x ＋y ∈[－2，2]，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．2．基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．已知x ＞0，y ＞1，且x ＋2y ＝xy ＋1，则x ＋y 的最小值为_________．5解析：令x ＋y ＝t ，则x ＝t －y .将x ＝t －y 代入x ＋2y ＝xy ＋1，得t ＋y ＝ty －y 2＋1，即y 2＋(1－t )y ＋t －1＝0，Δ＝(1－t )2－4(t －1)＝t 2－6t ＋5≥0，得t ≤1(舍去)或t ≥5.故x ＋y 的最小值为5.课时质量评价(四)A 组全考点巩固练1．(2023·日照模拟)若a ，b ，c 为实数，且a <b ，c >0，则下列不等关系一定成立的是()A．a ＋c <b ＋c B．1푎<1C．ac >bc D．b －a >cA解析：对于A，因为a <b ，c ＝c ，所以由不等式的性质可得，a ＋c <b ＋c ，故A 正确；对于B，令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b ，1푎>1，故B 错误；对于C，令a ＝－2，b ＝1，c ＝1，满足a <b ，c >0，但ac <bc ，故C 错误；对于D，令a ＝1，b ＝2，c ＝1，满足a <b ，c >0，但b －a ＝c ，故D 错误．故选A.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件是()A．x ＝y B．x ＝2y C．x ＝2且y ＝1D．x ＝y 或y ＝1C 解析：因为x >0，y >0，所以x ＋2y ≥22��，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件．3．(2022·滨州三校高三联考)已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+恒成立，则m 的最大值为()A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则ma ＋b )恒成立，转化成求y a ＋b )的最小值．y a ＋b )＝5＋4 푎+푎≥5＋2当且仅当a＝2b 时，等号成立，所以m ≤9.故选D.4．(多选题)已知1푎<1<0，则下列结论正确的有()A．a <b B．a ＋b <ab C．|a |>|b |D．ab <b 2BD 解析：由1푎<1<0，得b <a <0，所以a ＋b <0<ab ，|b |>|a |，b 2>ab .因此BD 正确，AC 不正确．5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E ，则下列不等式可以表示CD ≥DE 的是()A．푎 ≥2푎푎+(a ＞0，b ＞0)B．푎+2푎 (a ＞0，b ＞0)≥푎+2(a ＞0，b ＞0)D．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0)A解析：连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.在Rt△ADB 中，中线OD ＝퐴2＝푎+2.由射影定理可得CD 2＝AC ·BC ＝ab .所以CD ＝푎 .在Rt△DCO 中，由射影定理可得CD 2＝DE ·OD ，即DE ＝��2푂�＝푎푎+ 2＝2푎푎+.由CD ≥DE 得푎 ≥2푎푎+.6．(2023·济南模拟)若正数a ，b 满足ab ＝4，则1푎+9的最小值为_________．3解析：因为a ＞0，b ＞0，且ab ＝4，所以1푎+9≥21푎·9 ＝2×푎＝2×4＝3，当且仅当1푎＝9，即a ＝23，b ＝6时取“＝”，所以1푎+9的最小值为3.7．若a >0，b >0，则1푎+푎2＋b 的最小值为_________．22解析：因为a >0，b >0，所以1푎+푎2＋b ≥21푎·푎 2＋b ＝2＋b ≥22· ＝22，当且仅当1푎＝푎2且2＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，所以1푎+푎2＋b 的最小值为22.8．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是_________．3解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3−�22�＝32�−12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32�−12x ＝3�2+32�≥23�2·32�＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.9．(2022·唐山模拟)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式푎�+ ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab 푎+ 2＋1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．解得(a ＋b )2≤4.又a >0，b >0，所以a ＋b ≤2.(2)解：不能成立．理由：a >0，b >0，c >0，d >0，由基本不等式得푎�+ ≤푎+�2++2，当且仅当a ＝c 且b＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以푎�+ ≤1＋�+2.因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝�+2+�+2≥�+2+� >�+2＋1≥푎�+ ，故푎�+ ＝c ＋d 不能成立．B 组新高考培优练10．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11+푎+44+的最小值为()A．1B．78C．98D．2C解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+푎+44+＝18[(1＋a)＋(4＋b＝185+4+1+푎+≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝53，b＝43时等号成立．11．(2022·滨州联考)已知a>0，b>0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则m的最大值为() A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4푎+1 ≥�푎+ 恒成立，则ma＋b)恒成立，转化成求y a＋b)的最小值．y a＋b)＝5＋4 푎+푎 ≥5＋2当且仅当a ＝2b时，等号成立，所以m≤9.故选D.12．(多选题)(2023·重庆模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当�푎 取最小值时，下列说法正确的是()A．a＝4bB．c＝6b2C．a＋b－c的最大值为34D．a＋b－c的最大值为38BD解析：对于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，则�푎 ＝푎 +4 푎－1≥2－1＝3，当且仅当푎 ＝4푎，即a＝2b时等号成立，故A不正确；对于B，当�푎 取最小值时，由�푎 =3，푎=2 ，得c＝6b2，故B正确；对于C，D，a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－6＋38≤38，当且仅当a＝12，b＝14，c＝38时等号成立，所以(a＋b－c)max＝38，故C不正确，D正确．13．若不等式1�+11−4�－m≥0对x∈0m的最大值为()A．7B．8C．9D．10C解析：将不等式化为1�+11−4�≥m，只需当x∈0m+即可．由1�+11−4�＝+x＋1－4x)＝4＋1−4��+4�1−4�＋1≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x ＝16时，等号成立，故m ≤9.故m 的最大值为9.故选C.14．(2022·贵阳模拟)已知正实数x ，y 满足等式1�+3�＝2.(1)求xy 的最小值；(2)若3x ＋y ≥m 2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)2＝1�+3�≥2xy ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝3时等号成立，所以xy 的最小值为3.(2)3x ＋y ＝12(3x ＋y＝126+9��≥126+x ＝1，y ＝3时等号成立，即(3x ＋y )min ＝6，所以m 2－m ≤6，所以－2≤m ≤3.15．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是R (x )＝−14�2＋500x (单位：元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？求P (x )的最大值．(2)求乐观系数λ的值．(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．解：(1)依题意，总利润为－14x 2＋500x －100x －40000＝－14x 2＋400x －40000，所以P (x )＝−14�2+400�−40000�＝－14x －40000�＋400≤－200＋400＝200.当且仅当14x ＝40000�，即x＝400时，等号成立，故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b ＝a ＋λ(c －a )得λ＝−푎�−푎.因为b －a 是c －b ，c －a 的比例中项，所以(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边除以(b －a )2，得−푎·�−푎−푎＝−1·�−푎−푎，所以−1·1�，解得λ＝5−12.(3)由(1)知，当x ＝400时，厂家平均利润最大，所以a ＝40000�＋100＋P (x )＝40000400＋100＋200＝400(元)．每件产品的利润为b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)，所以b ＝100(5＋3)，所以a ＝400，b ＝100(5＋3)．。
高考数学必胜秘诀(6、不等式)
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>. 如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若； ⑤ba ab b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><. 其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t a a 和的大小; （2）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小; （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小.3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针.如（1）下列命题中正确的是( )A 、1y x x =+的最小值是2 B、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2- （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______ 4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+（糖水的浓度问题）.如如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.). 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--=<<=（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b >>，求证：x y x a y b>++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++；(6)若*n N ∈(1)n +<n ；(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：2221111223n ++++<. 6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集.如（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥.（2）不等式(0x -≥的解集是____（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.如（1）解不等式25123x x x -<--- （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集为_____ 8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+-≥-x x （答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞）（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______. 9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________ （2）解不等式2()1ax x a R ax >∈- 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-bax x 的解集为__________ 10.含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____ （5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结§直线和圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0.如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=； （3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =.如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线.（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式.如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =.6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：（1）平行⇔12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交⇔12210A B A B -≠；（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：（1） 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合;（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（4）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____（5）已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____（6）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（2）已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是__________（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程;（6）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（7）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.8、简单的线性规划（文）（1） 二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y kx b >+或y kx b <+的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线l ；③设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，若11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧.如已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是_（2）线性规划问题中的有关概念：①满足关于,x y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件.②关于变量,x y 的解析式叫目标函数，关于变量,x y 一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解（,x y ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.如（1）线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件{||1||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是___（2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（4）如果实数y x ,满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨--≤⎪⎩，则|42|-+=y x z 的最大值_________（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范.9、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++= 表示圆的充要条件是什么？ （0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（3）已知(1P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____（5）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____ （6）若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________10、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1） 点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2） 点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3） 点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=. 如点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______ 11、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：（1） 代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如（1）圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+，)k z ∈的位置关系为____ （2）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____（3）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=，则( )A ．//m l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．//m l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离（6）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切；（5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为13、圆的切线与弦长：(1)切线①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y 所引圆的切线；如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________（2） 弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半12a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+； ②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..14.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!。
高考数学一轮复习 7.1不等式的概念和性质、基本不等式
(2) a ≥b a(ba,b≥0).
2
(3) ba +ba ≥ 2 (a,b同号).
(4)ab≤
a
2
b
2(a,b∈R).
(5) a2≥ b2 2
ab
≥2
≥
ab(a,b∈R2+).
11
(6)绝对值不等式
ab
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,
ab
③实函数y= 2(x2的最3) 小值是4; x2 2
④若x,y是正数,且 1 +4 =1,则xy有最小值16.
xy
其中正确命题的序号是
.
答案 ②④
解析 ①不正确.反例:若a=1,b=2,则满足a<b,而ab2=4,a2b=2,显然不满足
ab2<a2b.
②正确.③不正确.因为y= 2(x2= 3) =22 (x+2 2)≥42,当且x仅2 2
课标版 理数 § 7.1 不等式的概念和性质、基本不等式
知识梳理
1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符 号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系, 含有这些符号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a
a
A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]
C.[4,+∞)
D.[-4,4]
答案 A ∵M= a2a=a4+ ,∴a4 当a>0时,M≥4;当a<0时,M≤-4,∴M的取
值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞),故选A.
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
高考不等式涉及的知识点
高考不等式涉及的知识点高考数学中，不等式是一个重要的知识点，也是学生们需要掌握的基础内容之一。
在高考中，不等式题目通常出现在数学试卷的选择题和解答题中，涉及了许多重要的数学概念和思维方法。
本文将通过逐步的思考，介绍高考不等式涉及的主要知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或两个算式，表示这两个数的大小关系。
不等式中的不等号可以是大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)。
例如，1+2<4表示1+2的值小于4。
二、不等式的解集对于一个不等式，我们需要找出使得不等式成立的所有数的集合，这个集合被称为不等式的解集。
例如，不等式2x-3>5的解集表示为{x|x>4}，表示当x大于4时，不等式成立。
三、不等式的性质1.加减性质：如果不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等式的方向不变。
例如，对于不等式2x-3>5，如果两边同时加上3，得到2x>8，方向不变。
2.乘除性质：如果不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
例如，对于不等式2x-3>5，如果两边同时乘以2，得到4x-6>10，方向不变；如果两边同时乘以-1，得到-2x+3<-5，方向改变。
3.倒数性质：如果两边同时取倒数，不等式的方向改变。
例如，对于不等式2x-3>5，如果两边同时取倒数，得到1/(2x-3)<1/5，方向改变。
四、不等式的求解方法解不等式的方法主要有图像法、试探法和代数法。
1.图像法：将不等式转化为图像在直角坐标系中的表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x+2>0，可以绘制出直线y=-2，然后确定直线上的点对应的x值的范围，即为不等式的解集。
2.试探法：通过尝试不同的数值，来判断不等式的解集。
例如，对于不等式x^2-4<0，可以尝试x取不同的值，如x=0、x=1、x=-1等，来确定不等式的解集。
关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结
关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结不等式是数学中非常重要的概念之一，它在数学的各个领域和实际问题中有着广泛的应用。
在高考数学中，不等式也是一个考查频率较高的知识点。
下面是对不等式的基本性质的总结：1.不等关系性质不等关系具有自反性、对称性、传递性。
即对任意实数a，b，有：自反性：a≥a，a≤a对称性：如果a≥b，则b≤a；如果a≤b，则b≥a传递性：如果a≥b，b≥c，则a≥c；如果a≤b，b≤c，则a≤c2.加减性质对于不等式a<b和任意实数c，有：a+c<b+ca-c<b-c3.乘除性质(1)正数乘除：对于不等式a<b，如果c是正数，则有：正数乘性：ac < bc正数除性：如果c是正数且c≠0，则有：a/c<b/c(2)负数乘除：对于不等式a<b，如果c是负数，则有：负数乘性：ac > bc负数除性：如果c是负数且c≠0，则有：a/c>b/c(3)双边不等式乘除：对于不等式a<b和任意非零实数c，有：a/c<b/c（当c>0时）a/c>b/c（当c<0时）4.基本不等式基本不等式是指在特定条件下，可以将不等式简化为更为简单形式的不等式。
(1)三角形不等式：对于三角形的三边长a，b，c，有：a+b>ca+c>bb+c>a(2) 平均值不等式：对于任意n个非负实数a1，a2，...，an，有：平均值不等式：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)5.同向不等式同向不等式的性质和解法与等式类似。
对于同向不等式，如果对不等号两边同时乘除以同一个正数，或者对不等号两边同时乘除以同一个负数，则不等号方向不变。
例如，对于不等式2x+1<3x-2，可以同时减去2x，得到1<-2x-2，再同时减去1，得到0<-2x-3，再同时乘以(-1/2)，得到0>(2x+3)/2，最后反转不等号得到(2x+3)/2<0。
高考选修不等式知识点
高考选修不等式知识点在高考数学中，不等式是一个重要的知识点，学好不等式对于高考数学的成功至关重要。
在高考数学中，不等式的知识点涵盖了不等式的性质、不等式的解集及其性质、不等式的应用等方面。
本文将为大家详细介绍高考选修不等式的知识点，帮助大家更好地掌握这一考试内容。
一、不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种数学符号表达形式，它与等式略有不同，在解决实际问题和计算过程中具有重要的作用。
不等式的基本性质主要包括：1. 不等式的传递性：如果 a>b，b>c，那么可以推导出 a>c。
这个性质可用于不等式的推导和解决问题中。
2. 不等式的加减性：对于不等式而言，如果 a>b，则a±c>b±c。
这个性质在不等式的运算中必须掌握，可简化计算过程。
3. 不等式的乘除性：对于不等式而言，如果 a>b 且 c>0（或c<0），那么 ac>bc（或ac<bc）；如果 a>b 且 c<0（或c>0），那么ac<bc（或ac>bc）。
这个性质在不等式的解集计算过程中非常重要。
二、一元不等式的解集一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，它的解集是使不等式成立的未知数的取值范围。
在解一元不等式的过程中，可以使用图形法、性质法以及代入法等方法。
下面以几个例子来说明解一元不等式的过程：1. 解不等式 |2x-1|<3：首先，可以将绝对值不等式分解成两个不等式，得到 2x-1<3 和 2x-1>-3。
然后，分别求解这两个不等式，得到解集 -1<x<2。
2. 解不等式 x^2-6x+8<0：首先，可以通过求根公式或配方法求出该二次方程的根，得到x=2 和 x=4。
然后，根据二次函数的凹凸性质可知，当 2<x<4 时，不等式成立，所以解集为 2<x<4。
三、一元不等式的性质问题在解一元不等式的过程中，有时需要借助一元不等式的性质来进行推导和求解。
高考数学必考知识点不等式
高考数学必考知识点不等式：不等式导语：高考数学中，不等式是必考的重要知识点之一，掌握不等式的基本性质和解题方法对提高数学成绩至关重要。
本文将重点介绍不等式的基本概念、性质和解题方法。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种符号表示法。
常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
二、不等式的性质1. 传递性：若a>b，b>c，则a>c。
即不等式大小关系具有传递性的特点。
2. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0，则ac>bc。
即不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式的大小关系不变；不等式两边同时乘以一个正数（或除以一个正数），大小关系不变；不等式两边同时乘以一个负数（或除以一个负数），不等式的大小关系发生改变。
3. 倒置性质：若a>b，则-b>-a；若a>b，c<0，则ac<bc。
即不等式两边同时乘以-1，不等式的大小关系发生倒置。
4. 倒数性质：若a>b，c>d且c>0，d>0，则1/a<1/b；若a>b，c>d且c<0，d<0，则1/a>1/b。
5. 平方性质：对于正实数a和b，若a>b，则a²>b²；若a=b，则a²=b²；若a<0，b<0，则a²>b²。
即不等式两边同时平方，不等式的大小关系不变。
三、不等式的解题方法1. 直接比较法：通过观察和比较不等式中数的大小关系，直接求解不等式。
例题1：解不等式3x+5>2x-1。
解：首先将不等式移到等式两边，得3x-2x>-1-5，即x>-6。
例题2：解不等式(x+1)(x-2)<0。
解：使用区间法解不等式，首先找出等式的零点x=-1和x=2，然后根据零点将数轴划分为三个区间：(-∞，-1)，(-1，2)和(2，+∞)。
高三数学不等式知识点
高三数学不等式知识点在高三数学学习中，不等式是一个重要的知识点。
不等式是数学中比较大小关系的一种表示方式，通过不等式的学习，我们可以进一步了解数的大小关系，并在解决实际问题中运用不等式进行推理和论证。
下面将介绍高三数学不等式的几个重要知识点。
一、基本概念不等式是数学中用不等号表示的大小关系。
常见的不等号有大于号（＞）、小于号（＜）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等。
1.1 不等式的解集对于一个不等式，使得不等式成立的所有实数的集合称为不等式的解集。
解集可以用一组数的区间表示。
例如，对于不等式x ＞ 2，其解集可以表示为(2，∞)。
1.2 不等式的性质不等式具有传递性和加减乘除性质。
传递性：如果a ＞ b，且b ＞ c，则a ＞ c。
加减乘除性质：对于不等式a ＞ b，c＞0，有ac ＞ bc；对于c ＜0，有ac ＜ bc。
二、不等式的解法在解不等式时，我们需要根据不等式的特点选择相应的解法。
以下介绍几种常见的不等式解法。
2.1 加法法则和乘法法则加法法则：如果在不等式的两边同时加上一个相同的数，不等式的方向不变。
乘法法则：如果在不等式的两边同时乘上一个正数，不等式的方向不变；如果乘上一个负数，不等式的方向反向。
2.2 一元一次不等式一元一次不等式指的是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。
我们可以通过类似方程求解的方法，将未知数从不等式中解出。
例如，对于不等式2x ＞4，我们可以将其转化为x＞2的形式，表示解集为(2，∞)。
2.3 二次不等式二次不等式指的是含有一个未知数的二次多项式与0之间的大小关系。
解二次不等式的关键是将二次不等式转化为一元一次不等式。
我们需要判断二次不等式的首项系数和二次项系数的正负情况，然后确定解集的范围。
例如，对于不等式x^2 - 3x ＞ 2，我们可以将其转化为x^2 - 3x - 2 ＞ 0的形式，并通过分解或配方法将二次不等式转化为一元一次不等式。
基本不等式知识点高考
基本不等式知识点高考在高考数学中，基本不等式是一个重要且常见的知识点。
掌握基本不等式对于解答不等式题型至关重要。
本文将介绍基本不等式的定义、性质以及与高考数学相关的应用。
一、基本不等式的定义和性质首先，我们来了解基本不等式的定义。
基本不等式是指对于任意实数 x，都有某种不等关系成立的基本不等式。
常见的基本不等式有：1. 二次函数的非负性当 a>0 时，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果存在实数 x，使得f(x) ≥ 0，则称f(x) ≥ 0 为二次函数的非负性基本不等式。
2. 二次函数的正定性当 a>0 时，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果存在实数 x，使得 f(x) > 0，则称 f(x) > 0 为二次函数的正定性基本不等式。
接下来，我们来讨论基本不等式的性质：1. 注意基本不等式的方向性在解不等式题目时，要始终注意基本不等式的方向性。
根据不等式的定义，只有把不等式的方向确定正确，我们才能得到正确的解。
2. 转化与分析在解不等式题目时，常常需要将不等式进行转化，然后根据不等式的性质进行分析。
例如，我们可以将含有绝对值的不等式转化成一个二次不等式，从而利用二次不等式的性质进行求解。
3. 合并和分离有时候，我们遇到的不等式可能是由多个基本不等式组合而成的。
在解决这类问题时，我们需要根据不等式的性质来进行合并或者分离，得到最终的解。
二、基本不等式的应用掌握基本不等式不仅仅对于解答不等式题型重要，还能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。
以下是一些常见的与高考数学相关的应用：1. 解不等式方程在高考数学中，我们经常会遇到需要解不等式方程的题目。
这时，我们可以利用基本不等式的性质，将不等式方程转化成二次不等式，再通过求解二次不等式来得到最终的解。
2. 解优化问题优化问题是高考数学中常见的一个题型。
在解决这类问题时，我们可以通过利用基本不等式，将优化问题转化成一个不等式问题，然后利用不等式的性质来得到最优解。
高三选修基本不等式知识点总结
高三选修基本不等式知识点总结高中数学中，基本不等式是一项重要的内容，也是学习不等式的基础。
掌握基本不等式的知识，对于解决解析几何和一元二次函数的相关问题以及应对高考数学题目都有着重要的作用。
本文将对高三选修基本不等式的知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、不等式的基础概念在掌握基本不等式之前，我们首先要明确不等式的基础概念。
不等式是一种数学关系，通过不等于号（>、<、≥、≤）来表示数之间的大小关系。
在解不等式时，我们需要找到使不等式成立的数的范围，这个范围就是不等式的解集。
解不等式的方法包括图像法、试位法、代入法等，具体的解法要根据具体的不等式形式进行选择。
二、基本不等式的形式和证明1. 平均值不等式平均值不等式是基本不等式的核心内容之一。
设有n个正数a₁，a₂，...，aₙ，则它们的算术平均数不大于它们的几何平均数，即(a₁+a₂+...+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
这一不等式的证明可通过构造不等式链进行完成，具体证明过程略。
2. 开平方不等式开平方不等式是基于二次函数的求解加以证明的不等式。
设函数f(x) = x²为所考察不等式的左侧，即 f(x) > 0。
我们通过研究函数f(x)的图像，得到不等式的解集。
3. 其他常用基本不等式除了平均值不等式和开平方不等式之外，以下这些基本不等式也是我们在高中数学中经常会遇到的，同学们需要注意这些不等式的性质并掌握其应用方法。
- Cauchy-Schwarz不等式- AM-GM不等式- Jensen不等式- Muirhead不等式- Schur不等式- Holder不等式三、基本不等式的应用了解基本不等式的形式和证明只是学习的一部分，我们还需要应用这些不等式解决实际问题。
以下是一些典型的基本不等式应用示例。
1. 解决最值问题通过利用基本不等式，我们可以解决一些求最值的问题。
例如，求证当a+b+c=3时，有(a²+3)(b²+3)(c²+3) ≥ 64。
高考数学选修不等式知识点
高考数学选修不等式知识点在高考数学中，不等式是一个重要的考点，也是考验考生逻辑思维和解题能力的一个重要方面。
不等式知识点的掌握不仅对高考数学考试有帮助，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
本文将深入探讨高考数学选修中的不等式知识点，包括基本不等式、加减乘除初等函数不等式、绝对值不等式以及一元二次不等式。
一、基本不等式基本不等式是数学中常用的不等式之一，它是指对于任意实数x和y，有x>y，则必有x+y>x-y。
这个不等式在数论证明和数学推导中被广泛应用。
在高考数学考试中，基本不等式常用于解决简单的数学问题，如求解不等式的解集。
二、加减乘除初等函数不等式加减乘除初等函数不等式是指在函数的加减乘除运算过程中，产生的不等式。
该类不等式在高考数学中经常出现，涉及到常见的初等函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及分式函数等。
线性函数不等式是初等函数不等式的一种常见形式。
考生需要掌握线性函数的性质，如定义域、增减性、图像等，以便求解线性函数不等式。
此外，考生还需要灵活运用绝对值不等式、分式不等式等变形求解技巧，提高解题效率。
三、绝对值不等式绝对值不等式是一类常见的不等式形式，也是考验考生运用绝对值性质解决问题的关键点。
在高考数学中，绝对值不等式的解法多种多样，常见的解法有分情况讨论法、化简法、代换法等。
分情况讨论法是解决绝对值不等式常用的一种解法。
通过将绝对值表达式拆分成正负两种情况进行讨论，从而得到不等式的解集。
在使用分情况讨论法时，考生需要灵活应用数学推理和逻辑思维，一步步推导出解集。
化简法是另一种常见的解绝对值不等式的方法。
通过对绝对值式子进行开平方、求导等操作，将绝对值不等式转化为等价的无绝对值的不等式。
通过这种转化，考生可以更简洁地求解不等式的解。
四、一元二次不等式一元二次不等式是指二次函数的解集构成的不等式。
这类不等式在高考数学考试中经常出现，需要考生掌握基本的二次函数知识和不等式求解技巧。
高三选修不等式知识点
高三选修不等式知识点不等式是高中数学中的一个重要内容，它在数学建模、优化问题以及各种实际应用中都起着重要的作用。
在高三数学的选修课中，不等式是必不可少的内容之一。
本文将详细介绍高三选修不等式的知识点，包括不等式的基本概念、性质和解法等。
一、不等式的基本概念不等式是数学中用不等号连接的数字或者表达式的关系式。
与等式不同，不等式所表示的是一种不严格的大小关系。
不等式可以分为严格不等式和非严格不等式两种形式。
严格不等式使用“<”和“>”表示，而非严格不等式使用“≤”和“≥”表示。
不等式的基本概念为后续的解法提供了基础。
二、不等式的性质1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向保持不变，即若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c >b - c。
2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向保持不变，即若a < b（或a > b），c > 0，则ac < bc（或ac > bc）；若a < b（或a > b），c < 0，则ac > bc（或ac < bc）；若a >b（或a < b），c > 0，则ac > bc（或ac < bc）；若a > b（或a < b），c < 0，则ac < bc（或ac > bc）。
3. 倒置性质：若不等式两边的不等号互换，则不等式的方向也需要互换，即若a < b，则b > a；若a > b，则b < a。
三、不等式的解法1. 图像法：对于给定的一元不等式，可以通过绘制相关函数的图像来确定不等式的解集。
通过观察图像上的位置可以得到不等式的解集。
2. 区间法：对于一元一次不等式或二次不等式，可以将解集表示为一个或多个区间的交集或并集的形式。
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高考数学不等式的基本性质知识点总结
以下是查字典数学网整理的不等式的基本性质知识点的考察方面，希望对考生复习有帮助。
1.不等式的定义：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) abb
(2) acac (传递性)
(3) ab+c (cR)
(4) c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0isin;N, n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
不等式的基本性质知识点的相关内容就是这些，希望考生可以深入理解，全面把握。