广州XX中学九年级上月考数学试卷(10月份)含答案解析 (99)
广州大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷(10月份)及参考答案
2023-2024学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.将一元二次方程5xx2−1=4xx化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是( )A. 5，−1B. 5，4C. 5，−4D. 5，13.抛物线yy=−(xx−2)2+3的顶点坐标是( )A. (−2,3)B. (2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)4.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有xx个队参加比赛，则下列方程符合题意的是( )A. 12xx(xx+1)=90B. xx(xx+1)=90C. 12xx(xx−1)=90D. xx(xx−1)=905.若二次函数yy=(aa−1)xx2+3xx+aa2−1的图象经过原点，则aa的值必为( )A. 1或−1B. 1C. −1D. 06.若关于xx的方程mmxx2+2xx−1=0有两个不相等的实数根，则mm的取值范围是( )A. mm<−1B. mm>−1且mm≠0C. mm>−1D. mm≥−1且mm≠07.如图，在△AAAAAA中，AAAA=AAAA，∠AA=40°，点DD，PP分别是图中所作直线和射线与AAAA，AADD的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )A. AADD=AADDB. ∠AAAAPP=∠AAAAPPC. ∠AAPPAA=115°D. ∠PPAAAA=∠AA8.已知一元二次方程xx2−3xx+1=0的两根为xx1，xx2，则xx12−5xx1−2xx2的值为( )A. −7B. −3C. 2D. 59.某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价xx元，则符合题意的方程是( )A. (16+xx−12)(360−40xx)=1680B. (xx−12)(360−40xx)=1680C. (xx−12)[360−40(xx−16)]=1680D. (16+xx−12)[360−40(xx−16)]=168010.抛物线上yy=(mm−4)xx2有两点AA(−3,yy1)、AA(2,yy2)，且yy1>yy2，则mm的取值范围是( )A. mm>4B. mm<4C. mm≥4D. mm≠4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.一元二次方程xx2−3xx+2=0根的判别式ΔΔ=______ ．12.在函数yy=√xx−2xx−3中，自变量的取值范围是______．13.若二次函数yy=aaxx2+bbxx−1经过(−1,0)，则2023+2aa−2bb的值为．14.化简：2aa−2aa2−4aa+4÷aa−1aa−2=______．15.如图，四边形AAAAAADD中的两条对角线AAAA，AADD互相垂直，AAAA+AADD=10，当AAAA为______时．四边形AAAAAADD的面积最大．16.如图，平面内三点AA、AA、AA，AAAA=4，AAAA=3，以AAAA为对角线作正方形AADDAABB，连接AADD，则AADD的最大值是______ ．17.用适当的方法解方程．(1)4(xx−1)2=9．(2)xx2−6xx−4=0．四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。
广东省广州二中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.16平方根是（）A. 4B. −4C. ±4D. ±82.方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A. 6，2，9B. 2，−6，9C. 2，−6，−9D. −2，6，93.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（）A. (2,−3)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−2,−3)4.下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A. x2+2x=0B. (x−1)2=0C. x2=1D. x2+1=05.如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（）A. y=x2−2x+3B. y=x2−2x−3C. y=x2+2x+3D. y=x2+2x+36.直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（）A. 37B. 5C. 38D. 77.把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（）A. y=320(x−1)B. y=320(1−x)C. y=160(1−x2)D. y=160(1−x)28.已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k<4B. k≤4C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠39.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2−16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A. 24B. 48C. 24或85D. 8510.函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知（-1，y1），（2，y2），（-3，y3）都在函数y=x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______（用“＜”连接）．12.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为______．13.关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为______．14.已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2-3的图象上，当-2＜x≤1时，y的取值范围是______．15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y=13x2+bx-1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为______．16.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a -2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有______．三、计算题（本大题共3小题，共28.0分）17.解方程（1）x2-4x=0（2）2x2+3=7x18.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，-2），（0，-2），函数的最小值是-4．（1）求二次函数的解析式．（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案．19.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料．（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．（2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值．四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）20.已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．21.某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．22.已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m-2）x+m=0有实根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得x1x2+x2x1=1？请说明理由．23.一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．24.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y 轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为______，点D的坐标为______（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．25.已知直线l：y=-2，抛物线C：y=ax2-1经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：16平方根是±4．故选：C．依据平方根的定义和性质求解即可．本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的性质是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵方程2x2-6x=9化成一般形式是2x2-6x-9=0，∴二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-9．故选：C．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．3.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=（x-2）2-3，∴该抛物线的顶点坐标是（2，-3），故选：A．根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】B【解析】解：A、∵△=22-4×1×0=4＞0，∴一元二次方程x2+2x=0有两个不相等的实数根；B、原方程可变形为x2-2x+1=0，∵△=（-2）2-4×1×1=0，∴一元二次方程（x-1）2=0有两个相等的实数根；C、原方程可变形为x2-1=0，∵△=02-4×1×（-1）=4＞0，∴一元二次方程x2=1有两个不相等的实数根；D、∵△=02-4×1×1=-4＜0，∴一元二次方程x2+1=0没有实数根．故选：B．逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其为零的选项即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），可设交点式为y=a（x+1）（x-3），把（0，-3）代入y=a（x+1）（x-3），可得：-3=a（0+1）（0-3），解得：a=1，所以解析式为：y=x2-2x-3，故选：B．先利用抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），则可设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a的值即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．6.【答案】B【解析】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7-x），由题意，得x（7-x）=6，解得：x1=3．，x2=4，由勾股定理，得斜边为：=5．故选：B．设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7-x），根据三角形的面积为x建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边．本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用．列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据面积公式建立方程求出直角边是关键．7.【答案】D【解析】解：第一次降价后的价格是160（1-x），第二次降价为160（1-x）×（1-x）=160（1-x）2则y与x的函数关系式为y=160（1-x）2．故选：D．由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160（1-x）（1-x），由此即可得到函数关系式．此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数．8.【答案】B【解析】解：①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，△=b2-4ac=22-4（k-3）×1=-4k+16≥0，k≤4；②当k-3=0时，y=2x+1，与x轴有交点．故选：B．分为两种情况：①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，求出△=b2-4ac=-4k+16≥0的解集即可；②当k-3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．9.【答案】C【解析】解：x2-16x+60=0（x-6）（x-10）=0，x-6=0或x-10=0，所以x1=6，x2=10，当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD===2，所以该三角形的面积=×8×2=8；当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积=×8×6=24，即该三角形的面积为24或8．故选：C．先利用因式分解法解方程得到所以x1=6，x2=10，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，利用勾股定理计算出AD=2，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．10.【答案】C【解析】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=-＞0，故选项正确；D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=-＜0，故选项错误．故选：C．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．11.【答案】y1＜y2＜y3【解析】解：x=-1时，y1=2×（-1）2=2，x=2时，y2=2×22=8，x=-3时，y3=2×（-3）2=18，所以，y1＜y2＜y3．故答案为：y1＜y2＜y3．把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出各函数值是解题的关键．12.【答案】x（x-1）=90【解析】解：设有x个队参赛，x（x-1）=90．故答案为：x（x-1）=90．设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．13.【答案】6【解析】解：根据题意得△=（-5）2-4k＞0，解得k＜，所以k可取的最大整数为6．故答案为6．根据判别式的意义得到△=（-5）2-4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】-3≤y≤5【解析】解：∵二次函数y=2（x+1）2-3，∴该函数对称轴是直线x=-1，当x=-1时，取得最小值，此时y=-3，∵点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2-3的图象上，∴当-2＜x≤1时，y的取值范围是：-3≤y≤5，故答案为：-3≤y≤5．根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.【答案】2【解析】解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，∵A（0，2），B（1，0），∴OA=2，OB=1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABO+∠CBG=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBG=∠OAB，∵∠AOB=∠BGC=90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG=OA=2，CG=OB=1，∴C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，∴CH=BG=2，DH=CG=1，∴D（2，3），∵C在抛物线的图象上，把C（3，1）代入函数y=x2+bx-1中得：b=-，∴y=x2-x-1，设D（x，y），由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y=3，当y=3时，x2-x-1=3，解得：x1=4，x2=-3（舍），∴DD′=4-2=2，则点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．作辅助线，构建全等三角形，先根据A和B的坐标求OB和OA的长，证明∴△AOB≌△BGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，得出D的坐标，根据平移的性质：D与D′的纵坐标相同，则y=3，求出D′的坐标，计算其距离即可．本题考查出了二次函数图象与几何变换--平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确D与D′的纵坐标相同是关键．16.【答案】③④【解析】解：根据图象可得：a＞0，c＜0，对称轴：x=-＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴-=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a-b+c=0，∴c=b-a，∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，又由①得b=-2a，∴a-2b+4c=-7a＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=-2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：③④两个．故答案为：③④．首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=-，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a-b+c=0，求出a-2b+4c ＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=-2a，得出8a+c＞0．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．17.【答案】解：（1）x（x-4）=0，x=0或x-4=0，所以x1=0，x2=4；（2）2x2-7x+3=0，（2x-1）（x-3）=0，2x-1=0或x-3=0，所以x1=12，x2=3．【解析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18.【答案】解：（1）∵二次函数的图象经过（2，-2），（0，-2），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，把（0，-2）代入得a（0-1）2-4=-2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2（x-1）2-4；（2）当y=0时，2（x-1）2-4=0，解得x1=1-2，x2=1+2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1-2，0），（1+2，0），∴当x＜1-2或x＞1+2时，y＞0，即当x＜1-2或x＞1+2时，该二次函数的图象在横轴上方．【解析】（1）先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线的顶点坐标为（1，-4），设顶点式y=a（x-1）2-4，然后把（0，-2）代入求出a即可；（2）2（x-1）2-4=0得抛物线与x轴的交点坐标为（1-，0），（1+，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的问题．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．19.【答案】解：（1）设AB为xm，则BC为（50-2x）m，x（50-2x）=300，解得，x1=10，x2=15，当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去），当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意），答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米；（2）设AB为xm，矩形花园的面积为ym2，则y=x（50-2x）=-2（x-252）2+6252，∴x=252时，此时y取得最大值，50-2x=25符合题意，此时y=6252，即当砌墙BC长为25米时，矩形花园的面积最大，最大值为6252．【解析】（1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意．本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20.【答案】解：由题意得：（-1）2+（-1）×m-5=0，解得m=-4；当m=-4时，方程为x2-4x-5=0解得：x1=-1，x2=5所以方程的另一根x2=5．【解析】将x1=-1代入方程可得关于m的方程，解之求得m的值，即可还原方程，解之得出另一个根．本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力，解题的关键是根据方程的解的定义求得m的值．21.【答案】解：设销售价每件定为x元，则每件利润为（x-8）元，销售量为[100-10（x-10）]，根据利润=每件利润×销售量，可得销售利润y=（x-8）•[100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360，∴当x=14时，y的最大值为360元，∴应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元．【解析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值．此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．22.【答案】解：（1）∵方程mx2-（2m-2）x+m=0是一元二次方程，∴m≠0，△=（2m-2）2-4m2=4m2-8m+4-4m2=4-8m≥0，解得：m≤12，即m的取值范围为：m≤12且m≠0，（2）x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2x1x2-2=1，x1+x2=2m−2m，x1x2=1，把x1+x2=2m−2m，x1x2=1代入(x1+x2)2x1x2-2=1得：(2m−2)2m2=3，解得：m=4±23，∵m的取值范围为：m≤12且m≠0，∴m=4±23不合题意，即不存在实数m，使得x1x2+x2x1=1．【解析】（1）根据“关于x的一元二次方程mx2-（2m-2）x+m=0有实根”，判别式△≥0，得到关于m的一元一次方程，解之即可，（2）根据“+=1”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：（1）根据判别式△≥0，列出关于m的一元一次方程，（2）正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程．23.【答案】解：（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，∴A（-4，0），B（4，0），C（0，6），设这条抛物线的表达式为y=a（x-4）（x+4），∵抛物线经过点C，∴-16a=6．∴a=-38，∴抛物线的表达式为y=-38x2+6，（-4≤x≤4）.（2）当x=1时，y=458，∵4.4+0.5=4.9＜458，∴这辆货车能安全通过这条隧道．【解析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．（1）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．24.【答案】45°（t，t）【解析】解：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD（AAS）．∴AP=QD，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）①若PB=PE，则t=0（舍去），②若EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°．∴∠BEP=90°．∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．在△POE和△ECB中，∴△POE≌△ECB（AAS）．∴OE=CB=OC．∴点E与点C重合（EC=0）．∴点P与点O重合（PO=0）．∵点B（-4，4），∴AO=CO=4．此时t=AP=AO=4．③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP=CE．∵AP=t，∴CE=t．∴PO=EO=4-t．∵∠POE=90°，∴PE==（4-t）．延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB．∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°．∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．∴∠FBP=∠EBP．在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP=EP．∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．∴EP=t+t=2t．∴（4-t）=2t．解得：t=4-4∴当t为4秒或（4-4）秒时，△PBE为等腰三角形．（3）∵EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8．∴△POE周长是定值，该定值为8．（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．25.【答案】解：（1）∵抛物线C：y=ax2-1经过点（2，0）∴0=4a-1∴a=14（2）∵a=14∴抛物线解析式：y=14x2-1设点P（a，14a2-1）∴PO=(a−0)2+(14a2−1)2=14a2+1PQ=14a2-1-（-2）=14a2+1∴PO=PQ（3）1．由（2）可得OA=AM，OB=BN∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO∵AM⊥MN，BN⊥MN∴AM∥BN∴∠ABN+∠BAM=180°∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180°∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360°∴∠BON+∠AOM=90°∴∠MON=90°∴OM⊥ON2．如图：过点F作EF⊥直线l，由（2）可得OF=EF，∵OF+DF=EF+DF∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．即此时DE⊥直线l∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．【解析】（1）利用待定系数法可求a的值；（2）设点P（a，a2-1），根据两点距离公式可求PQ，PO的长度，即可证PQ=PO；（3）1．由（2）可得OB=BN，AM=AO，即可求∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，根据三角形内角和定理可求OM⊥ON；2．过点F作EF⊥直线l，由（2）得OF=EF，当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE⊥直线l，即可求FD+FO的最小值．本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键．第21页，共21页。
广东省广州 九年级(上)月考数学试卷(10月份)
九年级（上）月考数学试卷（10月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知方程（m-1）x2+3x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A. m≠1B. m≥0C. m≥0且m≠1D. m为任意数2.抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是（ ）A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (2,1)3.关于x的一元二次方程x2-mx+（m-2）=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定4.下列一元二次方程两实数根和为-4的是（ ）A. x2+2x−4=0B. x2−4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x−5=05.把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）A. y=2(x+3)2+4B. y=2(x+3)2−4C. y=2(x−3)2−4D. y=2(x−3)2+46.将二次函数y＝3x2－6x＋1化成顶点式是（）A. y=3(x−3)2−26B. y=3(x−3)2−8C. y=3(x−1)2−2D. y=3(x−1)27.已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（ ）A. 一，二，三象限B. 一，二，四象限C. 一，三，四象限D. 一，二，三，四象限8.点M（-3，y1），N（-2，y2）是抛物线y=-（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）A. y1<y2<3B. 3<y1<y2C. y2<y1<3D. 3<y2<y19.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当-1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（ ）A. ①②B. ②③C. ①③④D. ②③④10.已知函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），且（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，则该函数的最小值为（ ）A. 2B. −2C. 10D. −10二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，对称轴是直线______．12.若关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是______．13.抛物线y=x2-4x+m与x轴只有一个交点，则m=______．14.已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8=0（m≥8）的两根，则矩形的面积是______．15.已知方程x2+kx-2=0的一个根为1，则k的值是______，另一个根是______．16.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于______．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.解方程（1）（x+1）2-144=0（2）2x2+4x-3=018.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的解析式．19.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．20.已知抛物线y=-2x2-4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．21.已知抛物线y=12x2-2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？23.某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每涨一元，月销售量就减少10kg．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式；（2）当销售价定为55元时，计算月销售量和利润；（3）当售价为多少时，会获得最大利润？求出最大利润．24.已知抛物线y=ax2+bx-3经过（-1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为3102？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25.如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A 两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：依题意得：m-1≠0，解得m≠1．故选：A．根据一元二次方程的定义得到m-1≠0，由此求得m的取值范围．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】D【解析】解：∵y=（x-2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x=2，故选：D．已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3.【答案】A【解析】解：△=b2-4ac=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一个代数式的平方是非负数．4.【答案】D【解析】解：A、x2+2x-4=0，∵a=1，b=2，c=-4，∴b2-4ac=4+16=20＞0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-=-2，本选项不合题意；B、x2-4x+4=0，∵a=1，b=-4，c=4，∴b2-4ac=16-16=0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-=4，本选项不合题意；C、x2+4x+10=0，∵a=1，b=4，c=10，∴b2-4ac=16-40=-24＜0，即原方程无解，本选项不合题意；D、x2+4x-5=0，∵a=1，b=4，c=-5，∴b2-4ac=16+20=36＞0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-=-4，本选项符合题意，故选：D．找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2-4ac的值，当b2-4ac大于等于0时，设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2=-求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项．此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2=-，x1x2=．5.【答案】A【解析】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．故选：A．抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（-3，4），然后根据顶点式写出解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6.【答案】C【解析】解：y=3x2-6x+1=3（x2-2x）+1=3（x-1）2-2．故选：C．直接利用配方法将一般式化为顶点式即可．此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用配方法是解题关键．7.【答案】B【解析】解：∵a＞0，∴开口方向向上，∵b＜0，a＞0，∴对称轴x=-＞0，∵c=0，∴此函数过原点．∴它的图象经过一，二，四象限．故选：B．由a＞0可以得到开口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出对称轴x=-＞0，由c=0可以得到此函数过原点，由此即可确定可知它的图象经过的象限．此题主要考查二次函数的以下性质．8.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=-（x+1）2+3开口向下，对称轴是直线x=-1，∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵点（-1，3）在对称轴上，-3＜-2，∴y1＜y2＜3．故选：A．根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，即可得到答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．9.【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，∴b=-4a＜0，所以①错误，∴b+4a=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴当x=1和x=3时，函数值相等，所以②正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），而抛物线的对称轴为直线x=2，∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴当-1＜x＜5时，y＜0，所以④正确．故选：D．利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴得到b=-4a＜0，则可对①③进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），再根据二次函数的图象可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10.【答案】D【解析】解：∵函数y=4x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），∴x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1•x2=，∴4x12=4x1-m，∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，∴1•（-m-1）=8，解得m=-9，∴抛物线解析式为y=4x2-4x-9，∵y=4（x-）2-10，∴该函数的最小值为-10．故选：D．根据抛物线与x轴的交点问题得到x1与x2是4x2-4x+m=0的两根，由一元二次方程的解得4x12-4x1+m=0，由根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=，则4x12=4x1-m，接着由（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8得到（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，则1•（-m-1）=8，解得m=-9，所以抛物线解析式为y=4x2-4x-9，然后根据二次函数的性质求函数的最小值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是利用一元二次方程的解的定义把4x12-5x1-x2降次．11.【答案】x=1【解析】解：∵二次函数y=（x-1）2+2，∴该函数的对称轴是直线x=1，故答案为x=1.根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的对称轴，本题得以解决.本题考查二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.12.【答案】c＜1【解析】解：∵关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=（-6）2-4×9×c＞0，解得：c＜1，故答案为：c＜1；因为关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，建立关于c的不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13.【答案】4【解析】解：根据题意得△=（-4）2-4m=0，解得m=4．故答案为4．根据△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有1个交点得到△=（-4）2-4m=0，然后解关于m的方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．14.【答案】4【解析】【分析】不妨设矩形的长和宽分别为a、b，由根与系数的关系可求得ab的值，即可求得答案．本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．【解答】解：不妨设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8=0（m≥8）的两根，∴ab==4，即矩形的面积是4，故答案为：4．15.【答案】1 -2【解析】解：设方程的另一根为a，根据两根之积，得a×1=-2，则a=-2，∵-2+1=-k，∴k=1．由根与系数的关系，先求出另一根，再求得k的值．本题考查了根与系数的关系：设一元二次方程a2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，x1+x2=-，x1x2=．16.【答案】14或8【解析】解：由题意，得：=±3，当=3时，c=14，当=-3时，c=8．即c的值为14或8．故答案为：14或8．已知了抛物线的顶点到x轴的距离为3，因此抛物线的顶点纵坐标为±3，即=±3，可据此求出c的值．顶点到x轴的距离是3，即顶点的纵坐标是3或-3，比较容易忽视的-3的值．因此要细心求解，不要漏解．17.【答案】解：（1）（x+1）2=144，x+1=±12∴x=-1±12∴x1=11，x2=-13；（2）这里a=2，b=4，c=-3，△=42-4×2×（-3）=16+24=40∴x=−4±402×2=−4±2104=−2±102，∴x1=−2+102，x2=−2−102．【解析】（1）移项后运用直接开平方法或者用因式分解法比较简便；（2）运用公式法比较简便．本题考查了一元二次方程的解法，根据题目的系数特点灵活选择解法．18.【答案】解：将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入函数解析式得，a+b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=1b=−4c=3．所以二次函数的解析式为y=x2-4x+3．【解析】把点A、B、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b、c的值，即可得解．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握，难点在于解三元一次方程组．19.【答案】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△=22-4×1×（a-2）≥0，解得a≤3，∴实数a的取值范围为a≤3；（2）由题意可得x1+x2=-2，x1x2=a-2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a-2）2-8=1，解得a=5或a=-1，∵a≤3，∴a=-1．【解析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．（1）由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围；（2）由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．20.【答案】解：（1）y=-2x2-4x+1，=-2（x2+2x+1）+2+1，=-2（x+1）2+3，所以，对称轴是直线x=-1，顶点坐标为（-1，3）；（2）∵新顶点P（2，0），∴y=-2（x-2）2，∵2-（-1）=2+1=3，0-3=-3，∴平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．【解析】（1）将抛物线整理成顶点式形式，然后解答即可；（2）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答．本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．21.【答案】解：（1）y=12x2-2x=12（x2-4x+4）-2=12（x-2）2-2，则函数的顶点坐标是（2，-2），即A的坐标是（2，-2）．令y=0，则12x2-2x=0，解得x=0或4，则B的坐标是（0，0），C的坐标是（4，0）；（2）x的范围是0＜x＜4．【解析】（1）利用配方法即可确定函数的顶点坐标；令y=0，解方程即可求得与x轴的交点的横坐标；（2）y＜0求x的范围，根据函数开口向上，以及函数与x轴的交点即可确定．本题考查了二次函数与x轴的交点，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．22.【答案】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m，由题意得x（25-2x+1）=80，化简，得x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．23.【答案】解：（1）可卖出千克数为500-10（x-50）=1000-10x，y与x的函数表达式为y=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000；（2）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500-（55-50）×10=450（千克），利润=450×（55-40）=6750元；（3）∵y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000 =-10（x-70）2+9000，∴当x=70时，利润最大为9000元．答：当售价为70元，利润最大，最大利润是9000元．【解析】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．（1）由月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10；（3）利用公式法可得二次函数的最值．24.【答案】解：（1）令抛物线y=ax2+bx-3中x=0，则y=-3，∴点C的坐标为（0，-3）．∵抛物线y=ax2+bx-3经过（-1，0），（3，0）两点，∴有0=a−b−30=9a+3b−3，解得：a=1b=−2，∴此抛物线的解析式为y=x2-2x-3．（2）将y=kx代入y=x2-2x-3中得：kx=x2-2x-3，整理得：x2-（2+k）x-3=0，∴x A+x B=2+k，x A•x B=-3．∵原点O为线段AB的中点，∴x A+x B=2+k=0，解得：k=-2．当k=-2时，x2-（2+k）x-3=x2-3=0，解得：x A=-3，x B=3．∴y A=-2x A=23，y B=-2x B=-23．故当原点O为线段AB的中点时，k的值为-2，点A的坐标为（-3，23），点B的坐标为（3，-23）．（3）假设存在．由（2）可知：x A+x B=2+k，x A•x B=-3，S△ABC=12OC•|x A-x B|=12×3×(xA+xB)2−4xA⋅xB=3102，∴（2+k）2-4×（-3）=10，即（2+k）2+2=0．∵（2+k）2非负，无解．故假设不成立．所以不存在实数k使得△ABC的面积为3102．【解析】（1）令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出C点的坐标，有点（-1，0）、（3，0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“x A+x B=2+k，x A•x B=-3”，结合点O为线段AB 的中点即可得出x A+x B=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出x A、x B，在代入一次函数解析式中即可得出点A、B的坐标；（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“x A+x B=2+k，x A•x B=-3”，即可得出关于k的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足题意的k值．本题考查了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系、解一元二次方程以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）结合根与系数的关系求出k值；（3）利用反正法找出方程无解．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将正比例函数解析式代入二次函数解析式中，利用三角形的面积公式结合根与系数的关系找出关于k的方程是关键．25.【答案】解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=-34，则抛物线解析式为y=-34（x-2）2+3=-34x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：b=34k+b=0，解得：k=−34b=3，故直线AC解析式为y=-34x+3，与抛物线解析式联立得：y=−34x+3y=−34x2+3x，解得：x=1y=94或y=0x=4，则点D坐标为（1，94）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，94），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=94，NP=AQ=3，将y M=-94代入抛物线解析式得：-94=-34x2+3x，解得：x M=2-7或x M=2+7，∴x N=x M-3=-7-1或7-1，∴N3（-7-1，0），N4（7-1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（-7-1，0），N4（7-1，0）．【解析】（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x-2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=-代入得：-=-x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．。
广州中学2024--2025学年九年级数学上学期10月月考试卷(原卷版)
广州中学2024学年第一学期10月测试九年级数学试卷满分：120分，考试时间：120分钟注意事项：1.答卷前按要求用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号等；2.选择题用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，只答在试卷上的无效；3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定的区域内的相应位置上，不准使用涂改液和修正带，违反要求的答案无效；4.本次考试禁止使用计算器．一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 32x y +=B. 323x x =−C. 250x −=D. 123x x+= 2. 抛物线2(5)8=−+y x 的顶点坐标是（ ）A. (5,8)B. (5,8)−−C. (5,8)−D. (5,8)− 3. 如果1x =是方程20x x k ++=的解，那么常数k 的值为（ ）A. 2B. 1C. 1−D. −2 4. 关于x 的方程()()11110m m xm x ++−−+=是一元二次方程，则m 的值是（ ） A. 1− B. 1C. 1±D. 0 5. 若方程23x 6x m 0−+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是A. B. C. D. 6. 在国务院房地产调控政策影响下，建德市区房价逐步下降，2012年10月份的房价平均每平方米为11000元，预计2014年10月的房价平均每平方米回落到7800元，假设这两年我市房价的平均下跌率均为x ，则关于x 的方程为（ ）A. 211000(1)7800x +=B. 211000(1)7800x −=C. 211000(1)3200x −=D. 23200(1)7800x −=7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax b =+与一次函数(0)y ax b a =+≠图像可能是( )A. B. C. D. 8. 九年级举办篮球友谊赛，参赛每两个队之间都要比赛一场，共要比赛45场，则参加此次比赛的球队数是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 9. 已知二次函数212y a x a =−−（0a ≠），当512x −≤≤时，y 的最小值为6−，则a 的值为（ ） A. 6或2− B. 6−或2 C. 6−或2− D. 6或210. 如图，抛物线2()6y x h =−−的顶点为A ，将抛物线向右平移n 个单位后得到新的抛物线，其顶点记为B ，设两条抛物线交于点C ，ABC 的面积为8，则n =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11. 方程25x x =的解是______．12. 若m 是方程22310x x −+=的一个根，则2692024m m −+的值为______．13. 将抛物线()234y x =−−先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________．14. 长方形的周长为36cm ，其中一边()018cm x x <<，面积为2 c m y ，那么y 与x 的关系是________．的的15. 已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++−+=有两个不相等．．．．．的实数根，且12122x x x x ++⋅=，则实数m =_________．16. 如图所示，己知二次函数2y ax bx c ++图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若2OC OA =，对称轴是直线1x =．则下列结论：①0abc <；②42ac b +=−；③90a c +<；④若实数1m <，则2am a b bm −>−；⑤若直线y kx b =+（0k >）过点C 和点(2,0)−，则当2x <−时，ax b k +>，其中结论正确的序号是____________．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）17 解方程：267x x −=．18. 已知关于x 的一元二次方程230x x k −+=有实数根，若方程的一个根是2−，求方程的另一个根．19. 如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程22350x x +−=是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2360x x m ++=是关于x 的凤凰方程，求这个方程的实数根．20. 为了节约耕地，合理利用土地资源，某村民小组准备利用一块闲置的土地修建一个矩形菜地，其中菜地的一面利用一段30m 的墙，其余三面用60m 长的篱笆围成，要最大限度的利用墙的长度围成一个面积为2400m 矩形菜地，矩形菜地的边长应为多少？21. 已知二次函数223y x x =+−．（1）选取适当的数据填入下表，并在平面直角坐标系内画出该二次函数的图象；的.x …… y ……（2）根据图象回答下列问题：①当0y <时，x 的取值范围是____________；②当22x −<<时，y 的取值范围是____________． 22. 己知二次函数yy =aaxx 2+bbxx +cc （a ，b ，c 均为常数且0a ≠）． （1）若该函数图象过点(1,0)A −，点(3,0)B 和点(0,3)C ，求二次函数表达式： （2）若21b a =+，2c =，且无论a 取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标． 23. 已知a ，b 均为实数，且满足2660a a ++=和2660b b ++=． （1）求a b +的值；（2+的值． 24. 已知关于x 的一元二次方程2(1)(2)0x x p −−−=．（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两实数根为1x ，2x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及p 的值： （3）若无论p 取何值时，关于x 的一元二次方程22(1)(2)(22)0x x p m p m −−−−+−=总有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．25. 已知关于x 的函数2(2)35y k x kx k =−−+，其中k 为实数．的（1）若函数经过点(1,7)，求k 的值； （2）若函数图像经过点(1,)m ，(2,)n ，试说明9mn ≥−：（3）已知函数2121y x kx =−−−，当23x ≤≤时，都有1y y ≥恒成立，求k 的取值范围．。
广东省广州市九年级(上)月考数学试卷(10月份)
九年级（上）月考数学试卷（ 10 月份）题号 一 二 三 四 总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1.以下四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，此中属于中心对称图形的有（）A. 1个 （ x+1） 2B. 2个C.3个D.4个 2. 抛物线 y=-3 -2 极点坐标是（）A. (-1,2)B. (-1,-2)C. (1,-2)D. (1,2)3. 以下方程为一元二次方程的是（）A. x+1x=1B. ax2+bx+c=0C. x(x-1)=xD. x+x-1=04.设 A （ -2， y 1）， B （ 1， y 2）， C （ 2， y 3 ）是抛物线 y=-（ x+1） 2+m 上的三点，则（）A. y1>y2>y3 x 2B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y2>y1>y35. 一元二次方程 +3x-2=0 的根的状况是（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没法确立6. 把二次函数 y=3x 2的图象向左平移 2 个单位，再向上平移1 个单位，所获得的图象对应的二次函数表达式是（ ）A. y=3(x-2)2+1B. y=3(x+2)2-1C. y=3(x-2)2-1D. y=3(x+2)2+17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=3x 经过点A ，作 AB ⊥x 轴于点 B ，将 △ABO 绕点 B 逆时针旋转60°获得 △CBD ．若点 B 的坐标为（ 2， 0），则点 C的坐标为（）A. (-1,3)B. (-2,3)C. (-3,1)D. (-3,2)8.某型号的手机连续两次降价，每个售价由本来的 1185 元降到了 580 元，设均匀每 次降价的百分率为x ，列出方程正确的选项是（）A. 580(1+x)2=1185B.C. 580(1-x)2=1185D.1185(1+x)2=5801185(1-x)2=5809.已知二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠0）的图象以下图，对称轴为直线 x=-12 ，有以下结论：① abc ＜0； ② 2b+c ＜ 0； ③ 4a+c ＜ 2b ．A.0B.1C.2D.310.如图，已知△ABC 中，∠C=90 °， AC=BC=2，将△ABC 绕点A顺时针方向旋转 60°到△AB′C′的地点，连结 C′B，则 C′B的长为（）A.2-2B.32C.3-1D.1二、填空题（本大题共 6 小题，共18.0 分）11.在平面直角坐标系中，点（ -3， 2）对于原点对称的点的坐标是 ______．12.方程 x2-x=0 的解是 ______．13. 已知 a≠0，a≠b，x=1 是方程 ax2+bx-10=0的一个解，则 a2-b22a-2b 的值是______．14.在一块长 35m，宽 26m 的矩形绿地上有宽度相同的两条小道，如图，此中绿地面积为 850m2．若设小道的宽为 x，则可列出方程为 ______．15.已知点 A（ a，m）、B（ b，m）、P（ a+b，n）为抛物线 y=x2-2x-2 上的点，则 n=______．16.已知抛物线 y=x2 -2x-3 与 x 轴订交于 A、B 两点，其极点为 M，将此抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其他部分保持不变，获得一个新的图象．如图，当直线y=-x+n 与此图象有且只有两个公共点时，则n 的取值范围为______．三、计算题（本大题共 2 小题，共18.0 分）17.解方程：2（1） x +4 x-1=0 ；（2）（ x+1）2=5x+518.已知函数 y=x2+bx-1 的图象经过点（ 3， 2）（1）求这个函数的分析式，并写出极点坐标；（2）求使 y≥2的 x 的取值范围．四、解答题（本大题共7 小题，共84.0 分）19.如图，在直角坐标系中， A（ 0， 4）、 C（ 3，0），（ 1）①画出线段 AC 对于 y 轴对称线段 AB， B 点的坐标为 ______ ；②将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转一个角，获得对应线段CD，使得 AD∥x 轴，请画出线段 CD ；（ 2）若直线y=kx 均分（ 1）中四边形ABCD 的面积，实数k 的值为 ______．20. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小 2 ，假如把这个数的个位数字与十位数字互换，那么所获得的两位数比本来的数小36，求本来的两位数．21. 对于 x 的一元二次方程2 2x1， x2．x +（ 2k+1 ） x+k +1=0 有两个不相等的实数根（ 1）务实数k 的取值范围．（ 2）若方程两实根x1， x2知足 |x1|+|x2|=x1?x2，求 k 的值．22. 二次函数图象的极点在原点O，经过点A 1，14 ）；点F 0 1 y轴上，直（（，）在线y=-1 与y 轴交于点H．（ 1）求二次函数的分析式；23.为了美化环境，学校准备在以下图的矩形ABCD 空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP 上栽花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM =AN=CP=CQ，已知 BC=24 米， AB=40 米，设 AN=x 米，栽花的面积为 y1平方米，草坪面积 y2平方米．（1）分别求 y1和 y2与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（ 2）当 AN 的长为多少米时，栽花的面积为440 平方米？（ 3）若栽花每平方米需 200 元，铺设草坪每平方米需 100 元，现设计要求栽花的面积不大于 440 平方米，设学校所需花费 W（元），求 W 与 x 之间的函数关系式，并求出学校所需花费的最大值．24.如图 1，在△ABC 中，∠A=36 °， AB=AC，∠ABC 的均分线 BE 交 AC 于 E．（ 1）求证： AE=BC；（ 2）如图（ 2），过点 E 作 EF ∥BC 交 AB 于 F，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转角α（0°＜α＜ 144°）获得△AE′F′，连结 CE ′，BF ′，求证： CE′=BF′；（ 3）在（ 2）的旋转过程中能否存在 CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明原因．25.如图，抛物线y=ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB=4，与 y 轴交于点C， OC=OA，点 D 为抛物线的极点．（1）求抛物线的分析式；（2）点 M（ m， 0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、 B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点Q，过点 Q 作 QN⊥x 轴于点 N，可得矩形 PQNM ，如图 1，点 P 在点 Q 左边，当矩形PQNM 的周长最大时，求 m 的值，并求出此时的△AEM 的面积；（ 3）已知 H（ 0， -1），点 G 在抛物线上，连 HG，直线 HG⊥CF，垂足为 F，若BF=BC，求点 G 的坐标．答案和分析1.【答案】B【分析】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，因此，中心对称图有 2 个．应选：B．依据中心对称的观点对各图形剖析判断即可得解．本题考察了中心对称图形的观点，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转 180 度后两部分重合．2.【答案】B【分析】解：2∵y=-3（x+1）-2，∴抛物线极点坐标为（-1，-2），应选：B．由抛物线分析式可求得答案．本题主要考察二次函数的性质，掌握二次函数的极点式是解题的重点，即在2y=a（x-h）+k 中，对称轴为 x=h，极点坐标为（h，k）．3.【答案】C【分析】解：A 、是分式方程的解，故 A 错误；B、a=0 时，是一元一次方程，故 B 错误；C、是一元二次方程，故 C 正确；D、是无理方程，故 D 错误；依据一元二次方程的定 义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件 对四个选项进行考证，知足这四个条件者为正确答案．本题考察了一元二次方程的观点，判断一个方程是不是一元二次方程，第一要看是不是整式方程，而后看化 简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 4.【答案】 A【分析】时22解：∵当 x=-2，y=-（x+1）；当时， （ ）+m=-4+m ；当+m=-1+m x=-1 y=- x+1 x=22时，y=-（x+1）+m=-9+m ；∴y 1＞ y 2＞y 3．应选：A ．分别计算自变量为-2，1，2 时的函数值，而后比较函数值的大小即可．本题考察了二次函数 图象上点的坐 标特点：二次函数图象上点的坐 标知足其分析式．也考察了二次函数的性 质．5.【答案】 C【分析】解：∵△=32-4 ×1×（-2）=17＞0，∴方程有两个不相等的 实数根．应选：C ．先计算出根的判 别式△的值，依据△的值就能够判断根的状况．本题主要考察根的鉴别式．一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac有以下关系：① 当△＞ 0 时，方程有两个不相等的两个 实数根；② 当△=0 时，方程有两个相等的两个 实数根；③ 当 △＜0 时，方程无实数根．上边的结论反过来也建立．6.【答案】 D解：依据“左加右减，上加下减 ”的规律，y=3x 2的图象向左平移 2 个单位，再向2上平移 1 个单位获得 y=3（x+2）+1．应选 D ．变化规律：左加右减，上加下减．考察了抛物线的平移以及抛物 线分析式的性 质．7.【答案】 A【分析】解：作CH ⊥x 轴于 H ，如图，∵点 B 的坐标为（2，0），AB ⊥x 轴于点 B ，∴A 点横坐标为 2，当 x=2 时，y= x=2 ，∴A （2，2 ），∵△ABO 绕点 B 逆时针旋转 60°获得 △CBD ，∴BC=BA=2 ，∠ABC=60°， ∴∠CBH=30°，在 Rt △CBH 中，CH= BC=，BH= CH=3，OH=BH-OB=3-2=1 ， ∴C （-1， ）．应选：A ．作 CH ⊥x 轴 图图 象上点的坐 标 特点确立 A （2，2 ）， 于 H ，如 ，先依据一次函数再利用旋 转 的性 质 得 BC=BA=2 则，∠ABC=60° ， ∠CBH=30° ，而后在 Rt △CBH 中，利用含 30 度的直角三角形三 边的关系可 计算出 CH=BC= ，BH= CH=3，因此 OH=BH-OB=3-2=1 ，于是可写出 C 点坐标．本题考察了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋 转以后要联合旋转的角度和 图形的特别性 质来求出旋 转后的点的坐 标．常有的是旋 转特别角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考察了一次函数 图象上点的坐 标特点和含 30 度的直角三角形三边的关系．解：设均匀每次降价的百分率 为 x ，2由题意得出方程 为：1185（1-x ）=580．应选：D ．依据降价后的价钱 =原价（1-降低的百分率），本题可先用 x 表示第一次降价后商品的售价，再依据 题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．本题考察一元二次方程的 应用，解决此类两次变化问题，可利用公式 a （1+x ）2=c ，此中 a 是变化前的原始量， c 是两次变化后的量，x 表示均匀每次的增 长率．9.【答案】 B【分析】解：① 图象张口向上，与 y 轴交于负半轴，对称轴在 y 轴左边，获得：a ＞ 0，c ＜0，- ＜0，b ＞ 0，∴abc ＜0，正确；②∵对称轴为直线 x=-，抛物线与 x 轴的一个交点 为（1，0），∴另一个交点 为（-2，0），a+b+c=0，即4a+4b+4c=0， 又 ∵4a-2b+c=0， ∴2a+c=0，4a+c=2b ②③ 都不正确．应选：B ．由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，而后依据对称轴确立 b 的符号，从而对所得结论进行判断．主要考察二次函数 图象与二次函数系数之 间的关系，二次函数 y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物 线张口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确立． 10.【答案】 C【分析】解：如图，连结 BB ′，∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60 °获得 △AB ′∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′ BC（′SSS），∴∠ABC′=∠B′ BC，′延伸 BC′交 AB′于 D，则 BD ⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′ D= ×2=1，∴BC′ =BD-C′ D=-1．应选：C．连结 BB′，依据旋转的性质可得 AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，依据等边三角形的三条边都相等可得 AB=BB′，而后利用“边边边”证明△ABC′和△B′ BC全′等，依据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′ BC，′延伸 BC′交AB′于 D，依据等边三角形的性质可得 BD ⊥AB′，利用勾股定理列式求出 AB ，而后依据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出 BD 、C′D，而后根据 BC′=BD-C′D计算即可得解．本题考察了旋转的性质，全等三角形的判断与性质，等边三角形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，作协助线结构出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的重点，也是本题的难点．11.【答案】（3，-2）【分析】解：依据平面直角坐标系内两点对于原点对称横纵坐标互为相反数，故答案为（3，-2）．依据平面直角坐标系内两点对于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．本题主要考察了平面直角坐标系内两点对于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．12.【答案】0或1【分析】解：原方程变形为：x （x-1）=0，∴x=0 或 x=1．本题应付方程进行变形，提取公因式 x，将原式化为两式相乘的形式，再依据“两式相乘值为 0，这两式中起码有一式值为 0”来解题．本题考察了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要依据方程的提点灵巧采用适合的方法．本题运用的是因式分解法．13.【答案】5【分析】解：==，将 x=1 代入方程 ax 2+bx-10=0 中可得 a+b-10=0，解得 a+b=10 则=5，故填 5．依据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形求则可．欲求的值，可先将此代数式进行分解因式化简．化简后为，再将x=1代入方程ax 2+bx-10=0 中求出 a+b 的值即可．本题综合考察了分式的化简与方程解的定义．解这种题的重点是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．14.【答案】35×26-35x-26x+x2=850【分析】解：矩形面积 =35×26，小道面积为 =35x+26x-x 2，则绿地面积=35×26-35x-26x+x 2=850．故答案为：35×26-35x-26x+x 2=850．本题可先用 x 表示矩形的面 积和小道的面 积，用矩形的面积减去小道的面 积即为绿地的面积，这样就能够获得方程．本题考察的是一元二次方程的运用，要 联合图形和题意进行剖析．解题要注意两条小道中有重复的地方，在 计算时要加上多减去的部分．15.【答案】 -2【分析】解：∵抛物 线 分析式 为 y=x 2 -2x-2=2 （ ） ， x-1 -3∴该抛物线的对称轴是直线 x=1，又 ∵点 A （a ，m ）和B （b ，m ）对于直线 x=1 对称，∴ =1，∴a+b=2，把（2，n ）代入抛物线的分析式得，n=22-2 ×2-2=-2．故答案是：-2．由抛物线的分析式可知抛物 线的对称轴是 x=1，依据点 A 和 B 的坐标知，则点A 和B 对于直线 x=1 对称．据此易求 a+b 的值，从而把 P 点的坐标代入分析式即可求得 n 的值．本题考察了二次函数 图象上点的坐 标特点．二次函数图象上全部点的坐 标均知足该函数分析式．16.【答案】 n ＞ 214 或-1＜ n ＜ 3【分析】解：当y=0 时，y=x 2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0， x=-1 或 3，2-2x-3= （x-1 2y=x ）-4， ∴M （1，-4），如图，作直线 y=-x ，分别过 A 、B 作直线 y=-x 的平行线，当直线 y=-x+n 经过 A （-1，0）时，1+n=0，n=-1，当直线 y=-x+n 经过 B （3，0）时，-3+n=0，n=3，∴n 的取值范围为：-1＜n ＜3，依据题意得：翻折后的极点坐标为（1，4），22∴翻折后的抛物 线的分析式 为：y=-（x-1）+4=-x +2x+3，当直线 y=-x+n 与抛物线 y=-x 2+2x+3 只有一个公共点 时，则，-x 2+2x+3=-x+n ， 2-x +3x+3-n=0，n= ，综上所述：当直线 y=-x+n 与此图象有且只有两个公共点 时，则 n 的取值范围为 n ＞ 或-1＜n ＜3．（1）依据分析式求与 x 轴交点 A 、B 的坐标，确立二次函数的极点 M ，由翻折性质求新抛物 线极点坐标为（1，4），得出新抛物线的分析式；（2）求直线 y=-x+n 过两个界限点时对应的 n 的值，并求直线与新抛物 线相切时的 n 值，既而得出 n 的取值范围．本题考察了抛物线与 x 轴的交点和几何 变换问题 ，明确抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，即翻折前后的点对于 x 轴对称，先求特别点，即极点坐标，从而求出翻折后的抛物 线的分析式，对于第二问中，相同先求直线过界限时217.【答案】解：（1）x +4x=1，x2+4x+4=5 ，（x+2）2=5，x+2=±5，因此 x1=-2+ 5 ，x2 =-2- 5；（2）（ x+1）2-5（ x+1） =0，（x+1）（ x+1-5 ） =0 ，x+1=0 或 x+1-5=0，因此 x1=-1， x2=4 ．【分析】2（1）利用配方法获得（x+2）=5，而后利用直接开平方法解方程；2（2）先变形为（x+1）-5（x+1）=0，而后利用因式分解法解方程．本题考察认识一元二次方程 -因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能获得两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变为解一元一次方程的问题了（数学转变思想）．也考察了配方法解一元二次方程．18.【答案】解：（ 1）把（ 3， 2）代入函数分析式得：2=9+3 b-1，解得： b=-2 ，则函数分析式为y=x2 -2x-1= （ x-1）2 -2，即极点坐标为（1，-2）；（2）当 y=2 时， x2-2x-1=2 ，即（ x-3）（ x+1）=0 ，解得： x=3 或 x=-1，依据二次函数性质得：y≥2时的 x 的范围是x≤-1 或 x≥3．【分析】（1）把已知点坐标代入分析式求出 b 的值确立出分析式，并求出极点坐标即可；（2）确立出知足题意 x 的范围即可．本题考察了待定系数法求二次函数分析式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的重点．19.【答案】（-3，0）43【分析】解：（1）①如图，线段 AB 即为所求线段，点 B 的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）；②如图，线段 CD 即为所求线段；（2）由（1）知四边形 ABCD 是平行四边形，∵直线 y=kx 均分（1）中四边形 ABCD 的面积，则直线 y=kx 必过对角线的交点 E，∵点 E 坐标为为（，2），∴k= =，故答案为：．（1）① 依据对于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数确立出点 B 的地点，而后连结 AB 即可；②依据轴对称的性质找出点 A 对于直线 x=3 的对称点，即为所求的点 D；（2）对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断四边形 ABCD 的形状，依据平行四边形的性质，均分四边形面积的直线经过中心，而后求出 AC 的中点，代入直线计算即可求出 k 值．本题考察了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，还考察了平行四边形的判断与性质，是基础题，要注意均分四边形面积的直线经过中心的应用．20.【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为x2-2，由题意得：2十位数字： 3 -2=7 ， 这个两位数为： 73， 答：本来的两位数 73．【分析】第一设个位数字 为 x ，则十位数字 为 x 2-2，由题意得等量关系：原两位数 -新两位数 =36，依据等量关系列出方程解方程即可．本题主要考察了一元二次方程的 应用，重点是正确理解 题意，表示出原两位数和新两位数是解决 问题的重点．21.【答案】 解：（ 1） ∵原方程有两个不相等的实数根，2222∴△=（2k+1） -4（ k +1 ） =4k +4k+1-4k -4=4k-3＞ 0，（ 2） ∵k ＞ 34，∴x 1+x 2=-（ 2k+1）＜ 0，2又 ∵x1?x 2=k +1＞ 0，∴x 1＜0， x 2＜ 0，∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（ x 1+x 2）=2 k+1，∵|x 1|+|x 2|=x 1?x 2，2∴2k+1= k +1， ∴k 1=0， k 2=2， 又 ∵k ＞ 34，【分析】22（1）依据方程有两个不相等的 实数根可得 △=（2k+1）-4（k +1）=4k 2+4k+1-4k 2-4=4k-3＞0，求出 k 的取值范围；（2）第一判断出两根均小于 0，而后去掉绝对值，从而获得 2k+1=k 2+1，联合 k的取值范围解方程即可．本题考察了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 根的鉴别式和根与系数的关系的 应用，（1）△＞ 0? 方程有两个不相等的 实数根；（2）△=0? 方程有两个相等的 实数根；（3）△＜ 0? 方程没有 实数根；（4）x 1+x 2=- ；（5）x 1?x 2= ．22.【答案】 解：（ 1） ∵二次函数图象的极点在原点 O ，∴设二次函数的分析式为y=ax 2，将点 A （ 1， 14）代入 y=ax 2 得： a=14， ∴二次函数的分析式为 y=14x 2；2∴PF=(m-0)2+(14m2-1)2 =(14m2+1)2 =14m +1， ∵PM ⊥HM ，且点 M 在直线 y=-1 上， ∴PM =14 m 2+1， ∴PF=PM ；（ 3）当 △FPM 是等边三角形时， ∠PMF =60°，∴∠FMH =30 °，在 Rt △MFH 中， MF =2 FH =2×2=4 ， ∵PF=PM=FM ，2∴14 x +1=4 ，解得： x=±23 ，2∴14 x =14×12=3，∴知足条件的点 P 的坐标为（ 23 ， 3）或（ -23 ， 3）． 【分析】（1）依据题意可设函数的分析式 为 y=ax 2，将点 A 代入函数分析式，求出 a 的值，既而可求得二次函数的分析式；（2）过点 P 作 PB ⊥y 轴于点 B ，利用勾股定理求出 PF ，表示出 PM ，可得PF=PM ；（3）第一可得∠FMH=30° ，设点 P 的坐标为（x ， x 2），依据PF=PM=FM ，可得对于 x 的方程，求出 x 的值即可得出答案．本题考察了二次函数的 综合问题，波及了待定系数法求函数分析式、直角三角形的性 质，解答本题的重点是娴熟基本知识，数形联合，将所学知识交融贯穿．23.【答案】 解：（ 1 ）依据题意，12? ? 12 （40-x ）（ ） =2 x 2-64x+960 ，y 2=2× x x+2 × 24-xy 1=40 ×24-y 2=-2 x 2 +64x ；（ 2）依据题意，知 y 1=440 ，即 -2x 2+64x=440， 解得： x 1=10 ，x 2=22，故当 AN 的长为 10 米或 22 米时栽花的面积为440 平方米；（ 3）设总花费为 W 元，则 W=200（-2x 2+64x ） +100（2x 2 -64x+960） =-200 （x-16） 2+147200 ， 由（ 2）知当 0＜ x ≤10或 22≤x ≤24时， y 1≤ 440，在 W=-200（ x-16）2+147200 中，当 x ＜ 16 时， W 随 x 的增大而增大，当 x ＞ 16 时， W 随x 的增大而减小，∴当 x=10 时， W 获得最大值，最大值 W=140000 ，当 x=22 时， W 获得最大值，最大值 W=140000，∴学校所需花费的最大值为 140000 元．（1）依据三角形面积公式可得 y2的分析式，再用长方形面积减去四个三角形面积，即可得 y1的函数分析式；（2）依据题意知 y1=440，即即可得对于 x 的方程，解方程即可得；（3）列出总花费的函数分析式，将其配方成极点式，依据花的面积不大于 440平方米可得 x 的范围，联合此范围依据二次函数性质即可得函数的最大值，从而得解．本题主要考察二次函数的应用，理解题意列出有关的函数分析式是解题的根本，娴熟掌握二次函数的性质是解题的重点．24.【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72 °，又∵BE 均分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36 °，∴∠BEC=180 °-∠C-∠CBE=72 °，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE， BE=BC，∴AE=BC．（ 2）证明：∵AC=AB 且 EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB ，AE′=AF ′，∵在△CAE′和△BAF ′中AC=AB∠ E′ AC=∠ F′ ABAE′，=AF′∴△CAE′≌△BAF ′，∴CE ′=BF ′．（ 3）存在 CE′∥AB，原因：由（ 1）可知 AE=BC，因此，在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中， E 点经过的路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M、N 两点，如图：①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72 °，又∠BAC=36 °，∴α=∠CAM=36 °．②当点 E 的像 E′与点 N 重合时，由 AB∥l得，∠AMN =∠BAM =72°，∵AM =AN，∴∠ANM=∠AMN=72 °，∴∠MAN=180 °-2 ×72 °=36 °，因此，当旋转角为36°或 72°时， CE′∥AB．【分析】（1）依据等腰三角形的性质以及角均分线的性质得出对应角之间的关系从而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，依据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别依据①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，②当点 E 的像 E′与点 N 重合时，求出α即可．本题主要考察了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，依据数形联合娴熟掌握有关定理是解题重点．225.【答案】解：（1）由抛物线y=ax +2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x=-2a2a =-1，∵OC=OA，∴A（ -c， 0）， B（ -2+c，0），∵AB=4，∴-2+ c-（ -c） =4，∴c=3，∴A（ -3， 0），2代入抛物线 y=ax +2ax+3 ，得0=9a-6a+3 ，解得 a=-1，2∴抛物线的分析式为 y=-x -2x+3 ；（ 2）如图 1，∵M（ m， 0）， PM ⊥x 轴，2∴P（ m， -m -2m+3），又∵对称轴为 x=-1， PQ∥AB，∴Q（ -2-m， -m2-2m+3），又∵QN⊥x 轴，∴矩形 PQNM 的周长=2 （ PM+PQ）=2[ （ -m2-2m+3） +（ -2-m-m） ]2=2 （ -m -4m+1）=-2 （ m+2）2+10 ，∴当 m=-2 时，矩形 PQNM 的周长有最大值10，此时， M（ -2，0），由 A（-3， 0）， C（ 0， 3），可得直线 AC 为 y=x+3， AM =1，∴当 x=-2 时， y=1，即 E（-2， 1）， ME=1，∴△AEM 的面积 =12 ×AM ×ME=12 ×1×1=12 ；∴∠BFC+∠BFQ =∠BCF+∠Q=90 °， ∠BFC =∠BCF ， ∴∠BFQ=∠Q ， ∴BC=BF =BQ ，又 ∵C （0， 3）， B （ 1， 0）， ∴Q （ 2， -3）， 又 ∵H （ 0， -1）， ∴QH 的分析式为 y=-x-1， 解方程组 y=-x-1y=-x2-2x+3 ，可得x=-1-172y=17-12 或 x=-1+172y=-1-172 ，∴点 G 的坐标为（ -1-172， 17-12 ）或（ - 1+172 ， -1-172 ）．【分析】（1）依据抛物线 y=ax 2+2ax+c ，可得 C （0，c ），对称轴为 x=-1，再依据 OC=OA ，AB=4 ，可得 A （-3，0），最后辈入抛物线 y=ax 2+2ax+3，得抛物线的分析式 为y=-x 2-2x+3；（2）依据点M （m ，0），可得矩形PQNM 中，P （m ，-m 2-2m+3），Q （-2-m ，-m 2-2m+3PQNM的周 长=2 PM+PQ =-2 m+2 2+10 ，可适当），再依据矩形（ ） （ ） m=-2 时 ，矩形 PQNM 的周 长 有最大 值 10，M 的坐 标为线 （-2，0），最后由直 AC 为 y=x+3 ，AM=1 ，求得 E （-2，1），ME=1 ，据此求得△AEM 的面积；（3）连结 CB 并延伸，交直线 HG 与 Q ，依据已知条件证明 BC=BF=BQ ，再根据 C （0，3），B （1，0），得出Q （2，-3），依据H （0，-1），求得QH 的分析式 为y=-x-1 ，最后解方程组 ，可得点 G 的坐标．本题是二次函数 综合题，主要考察了二次函数与直 线交点的求法、矩形的性质、一元二次方程的解法、二次函数最 值的求法．在求周长的最值时，要转变为二次函数最 值问题进 行解答，灵巧运用二次函数的 对称性，运用数形 联合、方程思想是解答本 题的重点．。
广东省广州市2024-2025学年九年级上学期10月份月考数学试卷(含解析)
2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）A. B. C. D.2. 2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次． 数据“609.65万”用科学记数法表示为（ ） A. 80.6096510×B. 76.096510×C. 660.96510×D. 66.096510×3. 图①中的花瓣图案绕着旋转中心，连续旋转4次，每次旋转角α，可以得到图②中的花朵图案，则旋转角α可以为（ ）A. 36°B. 72°C. 90°D. 108°4. 将抛物线()212y x =−−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. ()22y x =−− B. 2y x =− C. ()224y x =−−+D. 24y x =−+5. 根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c =++0.03− 0.01−0.020.04A. 6 6.17x <<B. 6.17 6.18x <<C. 6.18 6.19x <<D. 6.19 6.20x <<6. 关于x 的方程242kx x +=有两个不相等的实数根，则k 的值可以是（ ）A. 0B. 1−C. 2−D. 3−7. 已知点(013())2A B ，、，，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC ，则点C 的坐标为（ ）A. (3,2)−B. (2,−C. (3,−D. (2,3)−8. 一元二次方程22310x x ++=用配方法解方程，配方结果是（ ）A. 231416x +=B. 231248x −=C. 23148x +=D. 2311416x +−=−9. 已知m ，n 是方程2330x x −−=的两根，则代数式22m m n mn −+−的值是（ ） A. 12−B. 12C. 3D. 010. 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：（ ）①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．A. ①②B. ③④C. ②③D. ②③④二、填空题：本题共63分，共18分．11. 如果一条抛物线的形状与2123y x =−+的形状相同，且顶点坐标是()42−，，那么它的函数解析式为________．12. 已知关于x 的方程()22210x k x k −++−=的一个根为3x =，则方程的另一根是_______．13. 已知二次函数y =3(x-a )2的图象上，当x >2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是___．14. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若BOC 与B O C ′′ 关于点C 成中心对称，2AC =，5AB ′=，则菱形ABCD 的边长是 ________________．15. 平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点B 的坐标为_________．16. 函数23(0)(0)x x x y x x −>= < 的图象如图所示，若直线y x t =+与该图象只有一个交点，则t 的取值范围为______．三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17 解方程：2450x x −−=．18. 如图，在四边形ABCD 中，,AB CD AB CD =∥．过点D 分别作DF AB ⊥于点,F DE ⊥BC 于点E ，且DE DF =．求证：四边形是菱形．19. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m ，顶点距水面6m ，小孔顶点距水面4.5m ．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．20. 请在同一坐标系中.（1）画出二次函数①212y x =；②()2122y x =−的图象．（2）说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． （3）当14x −≤≤时，求二次函数()2122y x =−的最大值． 21. 如图，在等边△BCD 中，DF ⊥BC 于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以B 为旋转中心，把BA 顺时针方向旋转60°至BE ，连接EC ． （1）当点A 在线段DF 的延长线上时， ①求证：DA =CE ；②判断∠DEC 和∠EDC 的数量关系，并说明理由； （2）当∠DEC =45°时，连接AC ，求∠BAC 的度数．22. 如图，已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()1,0A −，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，此时点P 的坐标为______；（3）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C ，B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把△BDF 的面积分成两部分，使:3:2BDE BEF S S = ，请求出点D 的坐标．23. 已知：抛物线()21:0C y ax bx c a =++>．（1）若顶点坐标为()1,1，求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）； （2）当0c <时，求函数220241y ax bx c =−++−最大值；（3）若不论m 为任何实数，直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点，求a ，b ，c 值；此时，若1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，求k 的值．24. 四边形ABCD 是菱形，45A ∠=°，点E 是AB 边上一点，连接DE ，CE ．（1）如图1，若菱形边长为4，当DE AB ⊥时，求线段CE 长；（2）线段DE 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DF ，如图2，连接AF ，点G 是AF 中点，连接DG ．求证：2CE DG =；（3）如图3，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接CF ，点E 在射线AB 上运动过程中，当CF 取最小值时，直接写出BECADES S △△的值．的的的的2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转180°，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】根据中心对称的概A 、B 、C 都是中心对称，不符合题意； D 是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D ．2. 2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次． 数据“609.65万”用科学记数法表示为（ ） A 80.6096510× B. 76.096510×C. 660.96510×D. 66.096510×【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式10n a ×，其中110a ≤<，n 的取值是解题的关键．确定n 的值的方法是看数变成a 时，小数点的移动，当小数点向左移动时，n 的值与移动位数相同；当小数点向右移动时，小数点移动位数的相反数等于n 的值． 【详解】解：609.65万=66096500 6.096510=×， 故选：D ．3. 图①中的花瓣图案绕着旋转中心，连续旋转4次，每次旋转角α，可以得到图②中的花朵图案，则旋转角α可以为（ ）.A. 36°B. 72°C. 90°D. 108°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键．根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可．【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形，3605n α，()05n <≤n 为正整数； α可以为72°，故选：B4. 将抛物线()212y x =−−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. ()22y x =−− B. 2y x =− C. ()224y x =−−+ D. 24y x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”原则进行解答即可．【详解】解：将2(1)2y x =−−+向左平移1个单位所得直线解析式为：22y x =−+； 再向下平移2个单位为：2y x =−． 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5. 根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c =++0.03− 0.01−0.020.04A. 6 6.17x <<B. 6.17 6.18x << 的C. 6.18 6.19x <<D. 6.19 6.20x <<【答案】C 【解析】【分析】20ax bx c ++=应该在20ax bx c ++<与20ax bx c ++>之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得：6.18x =时，20.010ax bx c ++=−<， 6.19x =时，20.020ax bx c ++=>，∴20ax bx c ++=的一个解x 的范围为：6.18 6.19x <<．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 6. 关于x 的方程242kx x +=有两个不相等的实数根，则k 的值可以是（ ） A. 0 B. 1− C. 2− D. 3−【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵242kx x +=， ∴2420kx x +−=．∵该方程有两个不相等的实数根，∴()2244420b ac k ∆=−=−×−>，且0k ≠，∴2k >−，且0k ≠， ∴只有B 选项符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，该方程有两个相等的实数根；当0∆<时，该方程没有实数根是解题关键．7. 已知点(013())2A B ，、，，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC ，则点C 的坐标为（ ）A. (3,2)−B. (2,−C. (3,−D. (2,3)−【答案】D 【解析】【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC ，则点C 的坐标为(2,3)−，故选：D8. 一元二次方程22310x x ++=用配方法解方程，配方结果是（ ）A. 231416x +=B. 231248x −=C. 23148x +=D. 2311416x +−=−【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式． 先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 【详解】解：22310x x ++=2231x x +=−23122x x +=− 2223313()()2424x x ++=−+231()416x +=，故选：A ．9. 已知m ，n 是方程2330x x −−=的两根，则代数式22m m n mn −+−的值是（ ） A. 12− B. 12 C. 3 D. 0【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出233m m −=，3m n +=，3mn =−再将其代入22232()m m n mn m m m n mn −+−=−++−，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：m ，n 是关于x 的方程2330x x −−=的两根，233m m ∴−=，3m n +=，3=−mn ．22m m n mn −+−232()m m m n mn =−++−()3233=+×−−363=++12=．故选：B10. 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：（ ）①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤． A. ①② B. ③④C. ②③D. ②③④【答案】D 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴11022m −+−<<，即可判断①，根据()1,1−，(),1m 两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过()1,1−得出2c b =+，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴111224m −+−<≤−，解不等式，即可求解．【详解】解：∵2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a<0）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．∴对称轴为直线122bmx a −+=−=， 11022m−+−<<， ∵02bx a =−<，0a <∴0b <，故①错误，∵01m <<∴()11m −−>，即()1,1−，(),1m 两点之间的距离大于1又∵0a <∴1x m =−时，1y >∴若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>，故②正确； ③由①可得11022m−+−<<， ∴1022b−<<，即10b −<<，当1a =−时，抛物线解析式为2y x bx c =−++设顶点纵坐标244ac b t a −==∵抛物线2y x bx c =−++（a ，b ，c 是常数，a<0）经过()1,1−，∴11b c −−+=∴2c b =+ ∴()222224411122144444c b b c t b c b b b −−+===+=++=++−∵10b −<<，104>，对称轴为直线2b =−，∴当0b =时，t 取得最大值为2，而0b <，∴关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无解，故③正确；④∵0a <，抛物线开口向下，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，为又12124x x x +=>−， ∴点()11,A x y 离14=−x 较远， ∴对称轴111224m −+−<≤− 解得：102m <≤，故④正确． ∴②③④正确，故选：D ．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11. 如果一条抛物线的形状与2123y x =−+的形状相同，且顶点坐标是()42−，，那么它的函数解析式为________． 【答案】()21423y x =−++ 【解析】【分析】先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案．【详解】解：设该抛物线解析式为()242y a x =++，∵抛物线()242y a x =++的形状与2123y x =−+的形状相同， ∴13a =−， ∴该抛物线解析式为()21423y x =−++， 故答案为：()21423y x =−++． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状相同，则二次项系数相同． 12. 已知关于x 的方程()22210x k x k −++−=的一个根为3x =，则方程的另一根是_______． 【答案】1【解析】【分析】将3x =代入方程解得k 的值，再通过原方程解出方程的根即可．【详解】解：将3x =代入()22210x k x k −++−=，则()932210k k −++−=，解得2k =，∴方程：2430x x −+=，解得11x =，23x =，故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．13. 已知二次函数y =3(x-a )2的图象上，当x >2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是___．【答案】a ≤2【解析】【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x =a ，函数图象的开口向上，∴在对称轴x =a 的右边函数值y 随着x 的增大而增大，故只要a ≤2时，x ＞2，y 随x 的增大而增大，所以a 的取值范围为a ≤2．故答案为a ≤2．14. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若BOC 与B O C ′′ 关于点C 成中心对称，2AC =，5AB ′=，则菱形ABCD 的边长是 ________________．【解析】【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到1OA OC O C ′===、OB OC ⊥、O B O C ′′′⊥、BC B C =′，根据5AB ′=，利用勾股定理计算O B ′′，再次利用勾股定理计算B C ′即可．本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，且BOC 绕着点C 旋转180°得到B O C ′′ ，2AC =， 1OA OC O C ′∴===，OB OC ⊥，BC B C ′=，O B O C ′′′∴⊥，213O A AC O C ′′=+=+=，为5AB ′= ，4O B ′′∴===，B C ′∴==BC B C ′∴==即菱形ABCD ，．15. 平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点B 的坐标为_________．【答案】()3,1−【解析】【分析】分三种情况：当点A 在x 轴正半轴时；当点A 在原点时；当点A 在x 轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．【详解】解：当点A 在x 轴正半轴时，如图，作BH x ⊥轴于H ，设()0A m ，，则0m >，OA m =，()04C ，，()20K ，， 4OC ∴=，2OK =，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，BH x ⊥，90AOC CAB AHB ∴∠=∠=∠=°，AC AB =，180CAO CAB BAH ∠+∠+∠=° ，90BAH CAO ∴∠+∠=°，90CAO OCA ∴∠+∠=°，ACO BAH ∴∠=∠，在ACO △和BAH ，AOC BHAACO BAH AC BA∠=∠ ∠=∠ = ，()AAS ACO BAH ∴ ≌，BH OA m ∴==，4AH OC ==，4OH OA AH m ∴=+=+，()4B m m ∴+，，BK ∴====0m > ，()2212m ∴+>，2BK ∴>，当点A 在原点时，如图所示，()04C ，，()20K ，，4AC ∴=，2AK =，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，4AB AC ∴==，2BK AB AK ∴=−=；当点A 在x 轴负半轴时，如图，作BG x ⊥轴于G ，设()0A m ，，则0m <，OA m =−，()04C ，，()20K ，， 4OC ∴=，2OK =，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，BH x ⊥，90AOC CAB AGB ∴∠=∠=∠=°，AC AB =，90BAG CAO ∠+∠=° ，90CAO OCA ∠+∠=°，ACO BAG ∴∠=∠，在ACO △和BAG △，AOC BGA ACO BAG AC BA ∠=∠ ∠=∠ =，()AAS ACO BAG ∴ ≌，BG OA m ∴==−，4AG OC ==，()44OG AG AO m m ∴=+=−−=+，点B 在第四象限，()4B m m ∴+，，BK ∴====0m < ，()2210m ∴+≥，BK ∴≥综上所述：当1m =−时，BK ，此时()31B −，， 故答案为：()3,1−．【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．16. 函数23(0)(0)x x x y x x −>= < 的图象如图所示，若直线y x t =+与该图象只有一个交点，则t 的取值范围为______．【答案】0t >或4t =−【解析】【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，由y x t =+与y x =平行可得当0t >时，直线y x t =+与原图象只有一个交点，将23y x x =−与直线y x t =+联立方程组，使240b ac −=，此时只有一个交点．熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．【详解】解：y x t =+ 与y x =平行，∴当0t >时，直线y x t =+与原图象只有一个交点，联立23y x x y x t =− =+， 23x x x t ∴−=+，即，240x x t −−=，只有一个交点，1640t ∴+=，4t ∴=−，t ∴的取值范围为：0t >或4t =−．三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解方程：2450x x −−=．【答案】121,5x x =−=．【解析】【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：移项，得245x x −=，∴24454x x −+=+，∴()229x −=，两边开平方，得 23x −=±，∴121,5x x =−=．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．18. 如图，在四边形ABCD 中，,AB CD AB CD =∥．过点D 分别作DF AB ⊥于点,F DE ⊥BC 于点E ，且DE DF =．求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的证明，涉及了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意可得四边形ABCD 是平行四边形，继而得C A ∠=∠；证DEC DFA ≌即可．【详解】证明：∵,AB CD AB CD =∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∵DE DF =，DEC DFA ∠=∠，∴DEC DFA ≌，∴DC DA =，∴四边形ABCD是菱形．19. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．【答案】此时大孔的水面宽度为10m．【解析】【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数值y，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（-10，0），B点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y=ax2∵点B在此抛物线上，∴0=a×102+6，解得a=-3 50，∴函数式为y=-350x2+6．∵NC=4.5m，∴令y=4.5，代入解析式得-350x2+6=4.5，x1=5，x2=-5，∴可得EF=5-（-5）=10．此时大孔的水面宽度为10m．【点睛】本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数的解析式是关键．20. 请在同一坐标系中（1）画出二次函数①212y x =；②()2122y x =−的图象． （2）说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． （3）当14x −≤≤时，求二次函数()2122x =−的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）92【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，最值，平移，解题的关键是正确的画出函数的图象． （1）根据列表、描点、连线即可画出图象；（2）根据“左加右减”即可确定出平移方式，根据顶点式即可获取开口方向，对称轴，顶点坐标； （3）由直线1x =−比直线4x =更远离抛物线的对称轴，则当1x =−，函数取得最大值，再代入求解即可．【小问1详解】解：列表： x 2− 1− 0 1 2 3 4描点：连线，如图． 【小问2详解】解：抛物线212y x =向右平移2个单位得到抛物线()2122y x =−（或抛物线()2122y x =−向左平移2个单位得到抛物线212y x =），()2122y x =−中102a =>， 故开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,0)；【小问3详解】解：∵对称轴为直线2x =，1242−−>−，∴直线1x =−比直线4x =更远离抛物线的对称轴，∴当1x =−，函数取得最大值，()2191222y =−−=，∴最大值为92． 21. 如图，在等边△BCD 中，DF ⊥BC 于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以B 为旋转中心，把BA 顺时针方向旋转60°至BE ，连接EC ．（1）当点A 在线段DF 的延长线上时，①求证：DA =CE ；②判断∠DEC 和∠EDC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC =45°时，连接AC ，求∠BAC 的度数．【答案】（1）①证明见解析；②∠DEC +∠EDC =90°；（2）150°或30°【解析】【分析】（1）①证明△BAD ≌△BEC ，即可证明.②分别求出BCD ∠和BCE ∠的度数，即可求出∠DEC 和∠EDC 的数量关系.（2）分三种情况进行讨论.【详解】解：（1）①证明：∵把BA 顺时针方向旋转60°至BE ，∴BA BE ABE =∠=，60°，在等边△BCD 中，DB BC ∴=，60DBC ∠=°60DBA DBC FBA FBA ∴∠=∠+∠=°+∠，60CBE FBA ∠=°+∠ ，DBA CBE ∴∠=∠，∴△BAD ≌△BEC ，∴DA =CE ；②判断：∠DEC +∠EDC =90°．DB DC = ，DA BC ⊥，1302BDA BDC ∴∠=∠=°， ∵△BAD ≌△BEC ，∴∠BCE =∠BDA =30°，在等边△BCD 中，∠BCD =60°，∴∠DCE =∠BCE +∠BCD ＝90°，∴∠DEC +∠EDC =90°．（2）分三种情况考虑：①当点A 在线段DF 的延长线上时（如图1），由（1）可得， DCE ∆是直角三角形，90DCE °∴∠=，当45DEC ∠=°时，9045EDC DEC ∠=−∠=°°，EDC DEC ∴∠=∠，CD CE ∴=，由（1）得DA =CE ，∴CD =DA ，在等边BDC 中，BD CD =，BD DA CD ∴==，60BDC ∴∠=°，DA BC ⊥ ，1302BDA CDA BDC ∴∠=∠=∠=°， 在BDA △中，DB DA =，180-752BDA BAD ∠∴∠=°=°，在DCA △中，DA DC =，180-752ADC DAC ∠∴∠=°=°， 7575150BAC BAD DAC °°∴∠=∠+∠=+=°．②当点A 在线段DF 上时（如图2），以B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE.60BA BE ABE ∴=∠=°，，在等边BDC 中，60BD BC DBC =∠=°，，DBC ABE ∴∠=∠，--DBC ABC ABE ABC ∠∠=∠∠，DBA EBC ∠=∠，DBA ∴∆≌CBE ∆，DA CE ∴=，在Rt DFC ∆90DFC =°∠，，DF ∴＜DC ，∵DA ＜DF ，DA =CE ，∴CE ＜DC ，由②可知DCE ∆为直角三角形，∴∠DEC ≠45°．③当点A 在线段FD 的延长线上时（如图3），同第②种情况可得DBA ∆≌CBE ∆，DA CE ADB ECB ∴=∠=∠，，在等边BDC 中，60BDC BCD ∠=∠=°，DA BC ⊥ ，1302BDF CDF BDC ∴∠=∠=∠=°， 180150ADB BDF ∴∠=°−∠=°，150ECB ADB ∴∠=∠=°，90DCE ECB BCD ∴∠=∠−∠=°，当45DEC ∠=°时，9045EDC DEC ∠=−∠=°°，EDC DEC ∴∠=∠，CD CE ∴=，∴AD =CD =BD ，∵150ADB ADC ∠=∠=°，180-152ADB BAD ∠∴∠=°=°，180-152CDA CAD ∠=°∠=°， 30BAC BAD CAD ∴∠=∠+∠=°，综上所述，BAC ∠的度数是150°或30.°22. 如图，已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()1,0A −，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，此时点P 的坐标为______；（3）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C ，B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把△BDF 的面积分成两部分，使:3:2BDEBEF S S = ，请求出点D 的坐标．【答案】（1）245y x x =−++（2）()2,3（3）335,24D【解析】【分析】（1）将()()1050A B −，，，代入2y x bx c =−++求解即可； （2）点B 是点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小； （3）设点()2,45D m m m −++，则点(),5E m m −+，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【小问1详解】∵抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()1,0A −，()5,0B ，∴102550b c b c −−+= −++=， 解得45b c = =， ∴抛物线的解析式为245y x x =−++；【小问2详解】∵()224529y x x x =−++=−−+，∴抛物线对称轴为直线2x =，∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，设BC 交l 于点P ，则P 即为所求的点，当0x =时，5y =，则()0,5C设直线BC 解析式为1y kx b =+，则11550b k b = += ， ∴151b k = =−， ∴直线BC 解析式为5y x =−+，当2x =时，3y =，∴()2,3P ；【小问3详解】如图，设()2,45D m m m −++，则(),5E m m −+， ∴()224555m D m E m m m −++−=−=−++，5EF m =−+， ∵:3:2BDE BEF S S = ，∴212:3:12DE BF EF BF = ⋅ ⋅ ，即:3:2DE EF =， ∴()()25:53:2m m m −+−+=， 化简得2213150m m −+=， 解得132m =，25m =（舍去）， ∴2233354545224m m −++=−+×+=， ∴335,24D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．23. 已知：抛物线()21:0C y ax bx c a =++>． （1）若顶点坐标为()1,1，求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）； （2）当0c <时，求函数220241y ax bx c =−++−的最大值； （3）若不论m 为任何实数，直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点，求a ，b ，c 的值；此时，若1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，求k 的值．【答案】（1）21b a c a =−=+，；（2）1−；（3）121a b c ==−=，，；k 的值为0 【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点式可得 ()221121y a x ax ax a =−+=−++，即可得出答案；（2）由题意可得Δ²40b ac =−>，可得²0,ax bx c ++≥进而可得2202411ax bx c −++−≤−，即可得出答案； （3）由直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点，可得方程()2204m ax b m x m c +−+++=有两个相等的实数根，即0∆=，可得()22404m b m a m c −−++= ，进而可得()21022a b 0b 40a ac −= −+= −= 即可求得1a =，2,1b c =−=，抛物线解析式为()22211y x x x =−+=−，由于抛物线的对称轴为直线 1x =，开口向上，当1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，分三种情况：0k <或 01k ≤≤或1k >，分别根据二次函数的性质讨论即可．【小问1详解】 ∵抛物线的顶点坐标为()11，，∴()221121y a x ax ax a =−+=−++，∴21b a c a =−=+，；【小问2详解】∵2y ax bx c =++，00a c ><，，∴240b ac ∆=−>，∴抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个交点， ∴20ax bx c ++≥， ∴220240ax bx c −++≤， ∴2202411ax bx c −++−≤−， ∴函数220241y ax bx c =−++−的最大值为1−；【小问3详解】 ∵直线()214m y m x =−−与抛物线1C 有且只有一个公共点， ∴方程组()2214m y m x y ax bx c=−− =++ 只有一组解，∴()2ax b m x +−+24m 0m c ++=有两个相等的实数根， ∴0∆=，∴()24(b a a −−24m )0m c ++=， 整理得：()()2212240a m a b m b ac −−++−=，∵不论m 为任何实数，()()2212240a m a b m b ac −−++−=恒成立， ∴()21022040a a b b ac −= −+= −=，∴121a b c ==−=，，．此时，抛物线解析式为()22211y x x x =−+=−，∴抛物线的对称轴为直线1x =，开口向上，∵当1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，∴分三种情况：0k <或01k ≤≤或1k >，①当0k <时，11k +<，当1k x k ≤≤+时，y 随着x 的增大而减小，则当1x k =+时，y 的最小值为k ， ∴()211k k +−=，解得：0k =或1，均不符合题意，舍去；②当01k ≤≤时，当1x =时，抛物线的最小值为0，∴0k =；③当1k >时，y 随着x x k =时，y 的最小值为k ，∴()21k k −=， 解得：k=∵1k >，∴k= 综上所述，若1k x k ≤≤+时，抛物线的最小值为k ，k 的值为0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程根的情况和根的判别式，解方程组等知识，综合性很强，难度较大，能把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题关键． 24. 四边形ABCD 是菱形，45A ∠=°，点E 是AB 边上一点，连接DE ，CE ．（1）如图1，若菱形边长为4，当DE AB ⊥时，求线段CE 的长；（2）线段DE 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DF ，如图2，连接AF ，点G 是AF 中点，连接DG ．求证：2CE DG =；（3）如图3，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接CF ，点E 在射线AB 上运动的过程中，当CF 取最小值时，直接写出BEC ADES S △△的值． 【答案】（1）（2）见解析 （31【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可推出ADE 为等腰直角三角形，90CDE AED ∠=∠=°，从而得到DE，最后利用勾股定理CE =（2）延长AD 至H ，使得DH AD =，连接HF ，根据菱形的性质和旋转的性质可知45HDC DAB ∠=∠=°，DC DH =，DE DF =，45EDF ∠=°，从而推出()SAS EDC FDH ≌，进而得到CE FH =，最后利用中位线的性质得到2FH DG =，得证；（3）过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点F 作CD 垂线，垂足为N ，设AB BC CD AD a ====，同（1）易证ADM △为等腰直角三角形，从而得到AM DM ==，然后可证()AAS DEM DFN ≌，得到DN DM ==，根据点F 的运动轨迹在直线FN 上，当点F 与点N 重合时，CF 取最小值，过点C 作CK AB ⊥，交AB 的延长线于点K，此时AE DE AM ===，然后利用 BE AB AE =−得到BE ，先计算出12ADE S AE DE =⋅ ，然后易证CBK为等腰直角三角形，推出CK =，再计算出12BEC S BE CK =⋅ ，即可得到答案． 【小问1详解】解： 四边形ABCD 是菱形，菱形边长为44AB BC CD AD ∴====，AB CD ∥，AD BC ∥45A ∠=° ，DE AB ⊥9045ADE A A ∴∠=°−∠=°=∠ADE ∴ 为等腰直角三角形AE DE AD ∴=== DE AB ∵⊥ 90AED ∴∠=°AB CD90CDE AED ∴∠=∠=°∴在Rt CDE △中，CE ===【小问2详解】证明：如下图，延长AD 至H ，使得DH AD =，连接HFAB CD ，45DAB ∠=°45HDC DAB ∴∠=∠=°线段DE 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DFDE DF ∴=，45EDF ∠=°EDF HDC ∴∠=∠EDF FDC HDC FDC ∴∠+∠=∠+∠EDC FDH ∴∠=∠又DC AD DH ==()SAS EDC FDH ∴ ≌CE FH ∴=点G 是AF 中点，DH AD =DG ∴为AFH 的中位线2FH DG ∴=2CE DG ∴=【小问3详解】解：如下图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点F 作CD 垂线，垂足为N90DME DNF ∴∠=∠=°设AB BC CD AD a ====45DAB ，DM AB ⊥9045ADM DAB DAB ∴∠=°−∠=°=∠ADM ∴ 等腰直角三角形AM DM AD ∴=== DM AB ⊥90AMD ∴∠=°AB CD90CDM AMD ∴∠=∠=°将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DFDE DF ∴=，90EDF ∠=°EDF CDM ∴∠=∠，即EDM MDF MDF FDN ∠+∠=∠+∠EDM FDN ∴∠=∠()AAS DEM DFN ∴ ≌DN DM ∴== ∴点F 的运动轨迹在直线FN 上，当点F 与点N 重合时，CF 取最小值如下图，过点C 作CK AB ⊥，交AB 的延长线于点K为此时AE DE AM ===，DE AE ⊥BE AB AE a ∴=−=，2111224ADE S AE DE a a =⋅== AD BC ，45DAB ∠=°45CBK DAB ∴∠=∠=°CK AB ⊥9045BCK CBK BCK ∴∠=°−∠=°=∠CBK ∴△为等腰直角三角形BK CK ∴===21122BEC S BE CK a ∴=⋅=×=1BEC ADE S S ∴==△△ 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．。
广东省广州市九年级上学期数学10月月考试卷
广东省广州市九年级上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）(2019·容县模拟) 下列命题是真命题的是（）A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D . 对角线互相平分的四边形是平行四边形2. （2分）方程（x+ ）（x- ）+（2x-3）2=3（3-4x）化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的积为（）A . 5B . -10C . 0D . 103. （2分）如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数那么第三边的长为（）A . 5B . 6C . 7D . 84. （2分） (2018九上·柳州期末) 一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019七上·土默特左旗期中) 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是（）A .B .C .D .6. （2分）如果2:7=x:4，那么x的值是（）A . 14B .C .D .7. （2分）如图，菱形ABCD中，∠BAD=76°，AB的垂直平分线EF交AC于F，则∠CDF的度数为（）A . 66°B . 52°C . 104°D . 86°8. （2分） (2020八下·柯桥月考) 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB的中点与原点重合，AB=2，AD=1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0）的直线与矩形ABCD的边有公共点，则实数a的取值范围是（）.A . -3 a 2B . -3C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）选择-1、A、2、4这四个数构成比例式，则A等于________或________．（只要求写出两个值）10. （1分）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．则矩形DMNC与矩形ABCD的长与宽之比是________11. （1分） (2017九上·信阳开学考) 已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是________．12. （1分） (2019九上·绍兴月考) 在-3、-2、-1、1、2五个数中，随机取一个数作为二次函数y=ax2+x-2中a的值，使该二次函数图象开口向上的概率是________。
2019-2020学年广州市广大附中九年级(上)10月份月考数学试卷(含答案和解析)
2019-2020学年广州市广大附中九年级（上）10月份月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c B．y﹣2x＝0 C．﹣x＝2 D．（x﹣1）（x﹣3）＝02．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．3 D．不确定4．一元二次方程x2+x﹣＝0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣26．已知二次函数y＝x2﹣2mx以下各点不可能成为二次函数顶点的是（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．8．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（）秒后，△PBQ面积为5cm2．A．0.5B．1C．5D．1或59．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，AC＝m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE．设AP＝x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（）A．PD B．PB C．PE D．PC二．填空题（共6小题）11．把二次函数y＝x2﹣12x化为形如y＝a（x﹣h）2+k的形式．12．方程4x2﹣4＝0的解是．13．若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为．14．一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x（x﹣9）﹣13（x﹣9）＝0的根，则这个三角形的周长是．15．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．16．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边）．使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，则k的值为．三．解答题（共9小题）17．（1）计算：（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1﹣|1﹣|；（2）解方程：x2﹣3x+1＝0．18．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．（1）抛物线与x的交点坐标是，顶点是．（2）选取适当的数据填入下表．在直角坐标系中利用五点法画出此抛物线的图象．X……y……（3）结合函数图象，回答下题：若抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＜x2＜1比较y1，y2的大小：．当y＜0，自变量x的取值范围是．19．如图，用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2的矩形ABCD，通过方程计算该矩形的长AB．20．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．22．某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元，连续两次降价后毎千克售价32元；每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率；（2）已知这种水果每干克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调査发现，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但规定每千克涨价不能超过8元，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，分别连接AC、CD、AD．（1）求抛物线的函数解析式以及顶点D的坐标；（2）在抛物线上取一点P（不与点C重合）、并分别连接P A、PD，当△P AD的面积与△ACD的面积相等时，求点P的坐标：24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求四边形ADPE 的面积．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2019-2020学年广州市广大附中九年级（上）10月份月考数学试卷参考答案和试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：A、ax2+bx+c不是方程，不合题意；B、y﹣2x＝0含有两个未知数，不合题意；C、﹣x＝2不是整式方程，不合题意；D、（x﹣1）（x﹣3）＝0是一元二次方程，符合题意；故选：D．2．【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选C．3．【分析】根据一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，可以求得m的值，本题得以解决．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，∴，解得，m＝﹣3，故选：A．4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝2＞0，进而可得出方程x2+x﹣＝0有两个不相等的实数根，此题得解．【解答】解：∵△＝12﹣4×1×（﹣）＝2＞0，∴方程x2+x﹣＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣1）2+2，故选：A．【分析】利用配方法求得顶点坐标为（m，﹣m2），即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定不可能的顶点坐标．【解答】解：∵y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，∴顶点坐标为（m，﹣m2），∴不可能成为函数顶点的是（﹣2，4），故选：A．7．【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．故选：A．8．【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x＝5，求出即可．【解答】解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，BP＝6﹣x，BQ＝2x，∵∠B＝90°，∴BP×BQ＝5，∴×（6﹣x）×2x＝5，∴x1＝1，x2＝5（舍去），答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．故选：B．9．【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE＝15°，∠BAC＝45°，再求∠BFC．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，故选：C．10．【分析】观察图2，确定x为何值取得最小值即可一一判断．【解答】解：A错误，观察图2可知PD在x＝取得最小值．B、错误．观察图2可知PB在x＝取得最小值．C、正确．观察图2可知PE在x＝取得最小值．D、错误．观察图2可知PC在x＝m取得最小值为0．故选：C．二．填空题（共6小题）11．【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣12x＝（x2﹣12x+36）﹣36＝（x﹣6）2﹣36，即y＝（x﹣6）2﹣36．故答案为y＝（x﹣6）2﹣36．12．【分析】运用平方差公式求方程的解即可．【解答】解：∵4x2﹣4＝0∴（2x+2）（2x﹣2）＝0即2x+2＝0或2x﹣2＝0解得x1＝﹣1，x2＝1．13．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣5＝0，则a2+a＝5，然后利用整体代入的方法计算a2+a+1的值．【解答】解：∵a为方程x2+x﹣5＝0的解，∴a2+a﹣5＝0，∴a2+a＝5，∴a2+a+1＝5+1＝6．故答案为6．14．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝9，x2＝13，然后根据三角形三边的关系确定三角形第三边长为9，从而得到这个三角形的周长．【解答】解：（x﹣9）（x﹣13）＝0，x﹣9＝0或x﹣13＝0，所以x1＝9，x2＝13，而3+8＝11＜13，所以三角形第三边长为9，所以这个三角形的周长是3+8+9＝20．15．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：连接AC，BD交于点O，∵B、E、F、D四点在同一条直线上，∴E，F在BD上，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AC2＝50，AC＝10cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴＝120，BD＝24cm，所以菱形的边长AB＝＝13cm．故答案为：13．16．【分析】设直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点的横坐标分别为x1，x2，且（x1＜0，x2＞0），根据题意得出x1+x2＝2+k，然后根据△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，列出关于k的方程，解方程即可．【解答】解：设直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点的横坐标分别为x1，x2，且（x1＜0，x2＞0），由题意可知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝kx+2的两个根，整理方程为：x2﹣（2+k）x﹣5＝0，∴x1+x2＝2+k，由抛物线y＝x2﹣2x﹣3可知C（0，﹣3），设直线y＝kx+2交y轴于B，∴B（0，2），∴BC＝5，∵△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，∴|S△BCE﹣S△BCF|＝5，当S△BCE﹣S△BCF＝5时，则有×5•x2﹣×5•（﹣x1）＝5，整理得：（x1+x2）＝5，∴（2+k）＝5，解得k＝0，当S△BCE﹣S△BCF＝﹣5时，则有×5•x2﹣×5•（﹣x1）＝﹣5，整理得：（x1+x2）＝﹣5，∴（2+k）＝﹣5，解得k＝﹣4，故答案为0或﹣4．三．解答题（共9小题）17．【分析】（1）根据特零指数幂的意义、二次根式的性质、负整数幂的意义即可求出答案．（2）根据配方法即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝1+3+（﹣2）﹣（﹣1）＝2．（2）∵x2﹣3x+1＝0，∴a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4×1×1＝5，∴x＝．18．【分析】（1）解方程x2﹣2x﹣3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，从而得到抛物线的顶点坐标；（2）利用描点法画函数图象；（3）利用二次函数的性质判断y1，y2的大小，结合函数图象写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）（3，0）；∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）如图，如图，（3）当x1＜x2＜1时，y1＞y2：当y＜0，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3．故答案为（﹣1，0）（3，0）；（1，﹣4）；y1＞y2：1＜x＜3．19．【分析】设矩形的长AB为xm，则宽AD为（10﹣x）m，根据矩形的面积列出方程即可解决问题．【解答】解：设矩形的长AB为xm，则宽AD为（10﹣x）m，根据题意可得：x（10﹣x）＝24．解得：x1＝6，x2＝4（不合题意舍去）．答：围成一个长为6m，宽为4m的矩形．20．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC 全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB＝AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD，∴D是BC的中点；（2）解：若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．21．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．22．【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为规定每千克涨价不能超过8元，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．23．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点D的坐标；（2）根据题意，作出合适的辅助线，利用平移的性质即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵y＝ax2+bx+3，∴﹣3a＝3，得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点D的坐标为（1，4）；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，3），设过点A（﹣1，0）和点D（1，4）的直线解析式为y＝kx+m，，得，即直线AD的函数解析式为y＝2x+2，设直线AD与y轴交于点E，则点E的坐标为（0，2），则CE＝OC﹣OE＝3﹣2＝1，过点C作直线l1∥AD，则直线l1的解析式为y＝2x+3，令﹣x2+2x+3＝2x+3，得x1＝x2＝0，即抛物线与直线l1只有一个交点为（0，3），在直线AD上方的抛物线上不存在△P AD的面积与△ACD的面积相等的点P；将直线AD沿y轴向下平移一个单位长度得到直线l2，则直线l2的解析式为y＝2x+1，令﹣x2+2x+3＝2x+1，得x3＝，x4＝﹣，则点P1为（，2+1），点P2为（﹣，﹣2+1），即点P的坐标为（，2+1），（﹣，﹣2+1）．24．【分析】（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；（2）结论仍然成立．证明方法类似；（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．理由：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠P AE＝60°，∵∠BAC＝∠P AE，∴∠BAP＝∠CAE，，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，延长CE交AD于H，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．故答案为PB＝EC，CE⊥AD．（2）结论仍然成立．理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠P AE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE．，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠BAP＝∠CAE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠P AE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE．，∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．（3）△BAP≌△CAE，由（2）可知EC⊥AD，CE＝BP，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC，∵BC＝AB＝2，BE＝2，在Rt△BCE中，EC＝＝8，∴BP＝CE＝8，∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO＝2AB•cos30°＝6，∴OA＝AB＝，DP＝BP﹣BD＝8﹣6＝2，∴OP＝OD+DP＝5，在Rt△AOP中，AP＝＝2，∴S四边形ADPE＝S△ADP+S△AEP＝×2×+×（2）2＝8．25．【分析】（1）令抛物线解析式中y＝0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x＝0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y＝0求出x 值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠P AF＝90°、∠AFP＝90°和∠APF＝90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．【解答】解：（1）当y＝﹣x2﹣2x+3中y＝0时，有﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．当y＝﹣x2﹣2x+3中x＝0时，则y＝3，∴C（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D（﹣1，4）．（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D的解析式为y＝kx+b，则有，解得：，∴直线C′D的解析式为y＝﹣7x﹣3，当y＝﹣7x﹣3中y＝0时，x＝﹣，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．（3）设直线AC的解析式为y＝ax+c，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3．假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠P AF＝90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴﹣m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m1＝﹣3（舍去），m2＝2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP＝90°时，P（2m+3，0）∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴0＝﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，解得：m3＝﹣3（舍去），m4＝﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；③当∠APF＝90°时，P（m，0），∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴0＝﹣m2﹣2m+3，解得：m5＝﹣3（舍去），m6＝1，此时点P的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．。
2018年广州XX中学九年级上月考数学试卷(10月份)含答案解析
2
）
A．y=2x﹣4x+3 B．y=x2﹣4x﹣3
C．y=2x+2x+3 D．y=x2+2x+3
6．（3 分）直角三角形两条直角边的和为 7，面积是 6，则斜边长是（ ）
A．
B．5
C．
D．7
7．（3 分）把 160 元的电器连续两次降价后的价格为 y 元，若平均每次降价的百分率是
x，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）
A．y=320（x﹣1）
B．y=320（1﹣x）
C．y=160（1﹣2x）
D．y=160（1﹣x）
8．（3 分）已知函数 y=（k﹣3）2x+2x+1 的图象与 x 轴有交点2 ，则 k 的取值范围是 （）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4 且 k≠3 D．k≤4 且 k≠3
9．（3 分）三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是一元二次方程 x2﹣14x+60=0 一个实
分别为 M，N，连接 ON，OM，求证：OM⊥ON； 2．如图③，点 D（1，1），使探究在抛物线 C 上是否存在点 F，使得 FD+FO 取得最小
值？若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由．
数根，则该三角形的面积是（ ）
25．（10 分）已知直线 l：y=﹣4，抛物线 C：y=ax2﹣1 经过点（2，0）
（1）求 a 的值； （2）如图①，点 P 是抛物线 C 上任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q．求
证：PO=PQ； （3）请你参考（2）中的结论解决下列问题 1．如图②，过原点作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，过此两点作直线 l 的垂线，垂足
2018-2019 年广东省广州 XX
广东省实验中学九年级(上)(10月份)月考数学试卷(含答案)
广东省实验中学九年级（上）月考试卷数 学一、选择题1．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）下列选项中是一元二次方程的是( )A ．23x y -=B ．2(1)3x +=C ．224x x +-D ．2340x x +-=2．（3分）（2020秋•长清区期中）一元二次方程22x x =的根是( )A ．10x =，22x =B ．0x =C ．2x =D ．10x =，22x =-3．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）如图，在ABCD Y 中，下列说法能判定ABCD 是菱形的是( )A ．AC BD =B ．BA BD ⊥C ．AB CD = D ．AD BC =4．（3分）（2018秋•婺城区期末）直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A ．对角线垂直B ．对边相等C ．对角相等D ．对边平行6．（3分）（2020秋•太原期末）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 7．（3分）（2020•厦门校级质检）根据下列表格对应值： x 3.243.25 3.26 2ax bx c ++0.02- 0.01 0.03 判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是( )A ． 3.24x <B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ．3.25 3.28x <<8．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =-，则2018(a b -+= )A ．2020B ．2020C ．2018D ．20199．（3分）（2020•铜仁地区）如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )A ．//AB DC B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB DC =10．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，//CE BD ，//DE AC ，23AD =，2DE =，则下列结论错误的是( )A ．2AB =B ．60E ∠=︒C ．四边形OCED 是菱形 D ．四边形OCED 的面积是4311．（3分）（2020•东平县二模）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AEF ∆是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE DF =；②15DAF ∠=︒；③AC 垂直平分EF ；④BE DF EF +=；⑤2CEF ABE S S ∆∆=，其中正确结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题12．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）将方程3(1)5(1)x x x -=+化为一元二次方程的一般式为 ．13．（3分）（2020春•海淀区校级期中）已知菱形两条对角线长分别为4cm 和6cm ，则菱形的面积等于 ．14．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）关于x 的一元二次方程220x kx k ++-=，方程的一个根为2x =-，则方程的另一个根为．15．（3分）（2020•临沂）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为 %．16．（3分）（2020•佛山）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP BC =，则ACP ∠度数是 度．17．（3分）（2020秋•佛山期末）如图，已知矩形ABCD 的长和宽分别为16cm 和12cm ，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG 各边中点，得到菱形1l ；连接矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ 各边中点，得到菱形2l ；⋯如此操作下去，则4l 的面积是 2cm ．三、解决问题（一）18．（2019秋•越秀区校级月考）解不等式组223535x x x +⎧<⎪⎨⎪--⎩…19．（2020秋•渭城区期末）解方程：2870x x -+=20．（2019•广东）先化简，再求值：221()224x x x x x x --÷---，其中2x = 四、解决问题（二）21．（2020春•泰山区期中）如图，在ABC ∆中，AB BC =，点D 为AC 的中点，四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD是矩形．22．（2019秋•越秀区校级月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调査发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件，求：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？23．（2020秋•长宁区校级期末）如图，ABC∆中，90C∠=︒，8AC cm=，4BC cm=，一动点P从C出发沿着CB边以1/cm s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2/cm s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为()t s．（1）当t为几秒时，PCQ∆的面积是ABC∆面积的14？（2）PCQ∆的面积能否为ABC∆面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．五、解决问题（四）24．（2018春•莒南县期末）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，过点C的直线//MN AB，D为AB边上一点，过点D作DE BC⊥，垂足为F，交直线MN于E，连接CD、BE．（1）求证：CE AD=；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，当A∠的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．25．如图，在ABC=，8BC cmAD cm=，E，F分⊥于点D，10∆中，AB AC=，AD BC别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，沿线段FE以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，设运动时间为t．①当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？②是否存在t的值，使四边形PCFH是菱形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．广东省实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）下列选项中是一元二次方程的是( )A ．23x y -=B ．2(1)3x +=C ．224x x +-D ．2340x x +-=【考点】1A ：一元二次方程的定义【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解答】解：A 、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． B 、该方程中含未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． C 、它不是方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0)a ≠．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（3分）（2020秋•长清区期中）一元二次方程22x x =的根是( )A ．10x =，22x =B ．0x =C ．2x =D ．10x =，22x =-【考点】8A ：解一元二次方程-因式分解法【专题】11：计算题【分析】先移项得到220x x -=，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：220x x -=，(2)0x x -=，0x =或20x -=，所以10x =，22x =．故选：A ．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）如图，在ABCD Y 中，下列说法能判定ABCD 是菱形的是( )A ．AC BD =B ．BA BD ⊥C ．AB CD = D ．AD BC =【考点】9L ：菱形的判定；5L ：平行四边形的性质【专题】67：推理能力；556：矩形 菱形 正方形；555：多边形与平行四边形【分析】由菱形的判定可求解．【解答】解：Q 对角线相等的平行四边形是菱形，或一组邻边相等的平行四边形是平行四边形，∴当AC BD =或AB BC =或AB AD =或AD CD =或BC CD =时，平行四边形ABCD 是菱形，故选：A ．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，灵活运用菱形的判定是本题的关键．4．（3分）（2018秋•婺城区期末）直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】KP ：直角三角形斜边上的中线；KQ ：勾股定理【分析】利用勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：Q 直角三角形两条直角边长分别是6和8，∴斜边226810=+，∴斜边上的中线长11052=⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．5．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A ．对角线垂直B ．对边相等C ．对角相等D ．对边平行【考点】LE ：正方形的性质；LB ：矩形的性质【专题】67：推理能力；556：矩形 菱形 正方形【分析】正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只是相等不垂直，故A 选项错误．【解答】解：正方形和矩形都是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形所有的性质，即对边相等，对角相等，对边平行，正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线只是相等不垂直．故选：A ．【点评】本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．6．（3分）（2020秋•太原期末）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 【考点】AA ：根的判别式【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：△224241412b ac =-=-⨯⨯=-，120-<Q ，∴原方程没有实数根． 故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．7．（3分）（2020•厦门校级质检）根据下列表格对应值：判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是( )A ． 3.24x <B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ．3.25 3.28x <<【考点】4A ：估算一元二次方程的近似解【分析】观察表格可知，随x 的值逐渐增大，2ax bx c ++的值在3.24~3.25之间由负到正，故可判断20ax bx c ++=时，对应的x 的值在3.24 3.25x <<之间．【解答】解：由图表可知，20ax bx c ++=时，3.24 3.25x <<．故选：B ．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，关键是观察表格，确定函数值由负到正（或由正到负）时，对应的自变量取值范围．8．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =-，则2018(a b -+= )A ．2020B ．2020C ．2018D ．2019【考点】3A ：一元二次方程的解【专题】523：一元二次方程及应用；67：推理能力【分析】先把1x =-代入方程210ax bx ++=得1a b -=-，然后利用整体代入的方法计算2018a b -+的值．【解答】解：把1x =-代入方程210ax bx ++=得10a b -+=，所以1a b -=-，所以20182018()201812019a b a b -+=--=+=．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．（3分）（2020•铜仁地区）如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )A ．//AB DC B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB DC =【考点】LC ：矩形的判定【专题】16：压轴题【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH 为矩形，需要90EFG ∠=度．由此推出AC BD ⊥．【解答】解：依题意得，四边形EFGH 是由四边形ABCD 各边中点连接而成， 连接AC 、BD ，故////EF AC HG ，////EH BD FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形，要使四边形EFGH 为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故当AC BD ⊥时，90EFG EHG ∠=∠=度．四边形EFGH 为矩形． 故选：C ．【点评】本题考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．难度一般．10．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，//CE BD ，//DE AC ，23AD =，2DE =，则下列结论错误的是( )A ．2AB =B ．60E ∠=︒C ．四边形OCED 是菱形 D ．四边形OCED 的面积是43【考点】9L ：菱形的判定；LB ：矩形的性质；3K ：三角形的面积【专题】556：矩形 菱形 正方形；67：推理能力【分析】由矩形的性质可得90BAD ∠=︒，AO CO BO DO ===，可证四边形OCED 是菱形，可得2DE OC OD ===，E COD ∠=∠，由勾股定理可求2AB =，可证AOB ∆是等边三角形，即可求E ∠的度数，由面积关系可求四边形OCED 的面积为3【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，AO CO BO DO ===，//CE BD Q ，//DE AC ，∴四边形OCED 是平行四边形，且OC OD =，∴四边形OCED 是菱形，故D 选项不符合题意，2DE OC OD ∴===，E COD ∠=∠，4BD ∴=， 2216122AB BD AD ∴=-=-=，故A 选项不符合题意，2AB AO BO ∴===，AOB ∴∆是等边三角形，60AOB COD E ∴∠=︒=∠=∠，故B 选项不符合题意，Q 矩形ABCD 的面积43AB AD =⨯=，∴四边形OCED 的面积为23，故D 选项符合题意故选：D ．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，三角形的面积公式，灵活运用矩形的性质是本题的关键．11．（3分）（2020•东平县二模）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AEF ∆是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE DF =；②15DAF ∠=︒；③AC 垂直平分EF ；④BE DF EF +=；⑤2CEF ABE S S ∆∆=，其中正确结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；KK ：等边三角形的性质；LE ：正方形的性质【分析】通过条件可以得出ABE ADF ∆≅∆，从而得出BAE DAF ∠=∠，BE DF =，由正方形的性质就可以得出EC FC =，就可以得出AC 垂直平分EF ，设EC x =，BE y =，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出CEF S ∆和2ABE S ∆，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，90B BCD D BAD ∠=∠=∠=∠=︒．AEF ∆Q 等边三角形，AE EF AF ∴==，60EAF ∠=︒．30BAE DAF ∴∠+∠=︒．在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，AE AF AB AD=⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∆≅∆，BE DF ∴=（故①正确）． BAE DAF ∠=∠，30DAF DAF ∴∠+∠=︒，即15DAF ∠=︒（故②正确），BC CD =Q ，BC BE CD DF ∴-=-，即CE CF =，AE AF =Q ，AC ∴垂直平分EF ．（故③正确）． 设EC x =，由勾股定理，得EF =，CG =，sin 60sin 602sin 60AG AE EF CG x =︒=︒=⨯︒=，AC ∴，AB ∴=BE x ∴=-=BE DF x ∴+=-≠，（故④错误），212CEF S x ∆=Q ，214ABE S x ∆=， 2122ABE CEF S x S ∆∆∴==，（故⑤正确）． 综上所述，正确的有4个，故选：C ．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．二、填空题12．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）将方程3(1)5(1)x x x -=+化为一元二次方程的一般式为 23850x x --= ．【考点】1A ：一元二次方程的定义；2A ：一元二次方程的一般形式【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力【分析】一元二次方程的一般形式是：20(ax bx c a ++=，b ，c 是常数且0)a ≠，首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．【解答】解：3(1)5(1)x x x -=+，23355x x x -=+，23850x x --=．故答案为：23850x x --=．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：20(ax bx c a ++=，b ，c 是常数且0)a ≠特别要注意0a ≠的条件．13．（3分）（2020春•海淀区校级期中）已知菱形两条对角线长分别为4cm 和6cm ，则菱形的面积等于 212cm ．【考点】8L ：菱形的性质【专题】11：计算题【分析】菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且6AC cm =，4BD cm =，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，再由三角形的面积公式得111222S AC OD AC BD AC BD =⋅+⋅=⋅菱形，然后代值计算即可． 【解答】解：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且6AC cm =，4BD cm =， Q 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，1122S AC OD AC BD ∴=⋅+⋅菱形 12AC BD =g 1642=⨯⨯ 212()cm =．故答案为212cm ．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了三角形的面积公式．14．（3分）（2019秋•越秀区校级月考）关于x 的一元二次方程220x kx k ++-=，方程的一个根为2x =-，则方程的另一个根为 0 ．【考点】AB ：根与系数的关系；3A ：一元二次方程的解【专题】66：运算能力；523：一元二次方程及应用【分析】把2x =-代入一元二次方程220x kx k ++-=得到关于k 得一元一次方程，解之，得到关于x 得一元二次方程，解之即可．【解答】解：把2x =-代入一元二次方程220x kx k ++-=得：4220k k -+-=，解得：2k =，即原方程为：220x x +=，解得：12x =-，20x =，即方程的另一个根为0，故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握代入法和解一元二次方程得方法是解题的关键．15．（3分）（2020•临沂）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为 10 %．【考点】AD ：一元二次方程的应用【专题】123：增长率问题【分析】本题可设这种药品的成本的年平均下降率为x ，则一年前这种药品的成本为100(1)x -万元，今年在100(1)x -元的基础之又下降x ，变为100(1)(1)x x --即2100(1)x -万元，进而可列出方程，求出答案．【解答】解：设这种药品的成本的年平均下降率为x ，则今年的这种药品的成本为2100(1)x -万元，根据题意得，2100(1)81x -=，解得1 1.9x =（舍去），20.110%x ==．故这种药品的成本的年平均下降率为0.1，即10%．【点评】此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．16．（3分）（2020•佛山）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP BC =，则ACP ∠度数是 22.5 度．【考点】LE ：正方形的性质【专题】11：计算题【分析】根据正方形的性质可得到45DBC BCA ∠=∠=︒又知BP BC =，从而可求得BCP ∠的度数，从而就可求得ACP ∠的度数．【解答】解：ABCD Q 是正方形，45DBC BCA ∴∠=∠=︒，BP BC =Q ， 1(18045)67.52BCP BPC ∴∠=∠=︒-︒=︒， ACP ∴∠度数是67.54522.5︒-︒=︒．【点评】此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角．17．（3分）（2020秋•佛山期末）如图，已知矩形ABCD 的长和宽分别为16cm 和12cm ，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG 各边中点，得到菱形1l ；连接矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ 各边中点，得到菱形2l ；⋯如此操作下去，则4l 的面积是 382cm ．【考点】LN ：中点四边形 【专题】2A ：规律型【分析】根据题意和菱形的面积公式求出菱形1l 的面积，根据中点的性质进行计算即可求出菱形4l 的面积．【解答】解：Q 矩形ABCD 的长和宽分别为16cm 和12cm ，8EF cm ∴=，6AE cm =，∴菱形1l 的面积2186242cm =⨯⨯=， 同理，菱形2l 的面积214362cm =⨯⨯=， 则菱形3l 的面积21332222cm =⨯⨯=，∴菱形4l 的面积21331248cm =⨯⨯=， 故答案为：38． 【点评】本题考查的是中点四边形的性质，掌握菱形的面积公式、通过计算找出规律是解题的关键．三、解决问题（一）18．（2019秋•越秀区校级月考）解不等式组223535x x x +⎧<⎪⎨⎪--⎩…【考点】CB ：解一元一次不等式组【专题】524：一元一次不等式（组)及应用；66：运算能力【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：223535x x x +⎧<⎪⎨⎪--⎩①②…由①得：4x <，由②得：0x …，∴原不等式组的解集为：04x <…．【点评】此题考查解不等式组，关键是求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．（2020秋•渭城区期末）解方程：2870x x -+=【考点】8A ：解一元二次方程-因式分解法【专题】1：常规题型；523：一元二次方程及应用【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：分解因式可得(1)(7)0x x --=，10x ∴-=或70x -=，1x ∴=或7x =．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，正确分解因式是解题的关键．20．（2019•广东）先化简，再求值：221()224x x x x x x --÷---，其中x = 【考点】6D ：分式的化简求值【专题】513：分式【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．【解答】解：原式1(2)(2)2(1)x x x x x x -+-=--g 2x x += 当2x =时，原式22212+==+【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．四、解决问题（二）21．（2020春•泰山区期中）如图，在ABC ∆中，AB BC =，点D 为AC 的中点，四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD 是矩形．【考点】5L ：平行四边形的性质；LC ：矩形的判定【专题】14：证明题【分析】根据已知条件易推知四边形BECD 是平行四边形．结合等腰ABC ∆ “三线合一”的性质证得BD AC ⊥，得出90BDC ∠=︒，即可得出结论．【解答】证明：AB BC =Q ，点D 为AC 的中点BD AC ∴⊥，AD CD =．Q 四边形ABED 是平行四边形，//BE AD ∴，BE AD =，BE CD ∴=，∴四边形BECD 是平行四边形．BD AC ⊥Q ，90BDC ∴∠=︒，∴四边形BECD 是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；熟记有一个角是直角的平行四边形是矩形是解决问题的关键．22．（2019秋•越秀区校级月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调査发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件，求：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【考点】AD：一元二次方程的应用【专题】124：销售问题【分析】利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．【解答】解：设每件衬衫应降价x元．根据题意，得(40)(202)1200x x-+=整理，得2302000x x-+=解得110x=，220x=．Q“扩大销售量，减少库存”，110x∴=应略去，20x∴=．答：每件衬衫应降价20元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售的利润是解题关键．23．（2020秋•长宁区校级期末）如图，ABC∆中，90C∠=︒，8AC cm=，4BC cm=，一动点P从C出发沿着CB边以1/cm s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2/cm s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为()t s．（1）当t为几秒时，PCQ∆的面积是ABC∆面积的14？（2）PCQ∆的面积能否为ABC∆面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【考点】AD ：一元二次方程的应用；3K ：三角形的面积【专题】122：几何动点问题【分析】（1）根据三角形的面积公式可以求出时间t ；（2）由等量关系12PCQ ABC S S ∆∆=列方程求出t 的值，但方程无解． 【解答】解：（1）1(82)2PCQ S t t ∆=-Q ，148162ABC S ∆=⨯⨯=， ∴11(82)1624t t -=⨯， 整理得2440t t -+=，解得2t =．答：当2t s =时PCQ ∆的面积为ABC ∆面积的14；（2）当12PCQ ABC S S ∆∆=时，11(82)1622t t -=⨯， 整理得2480t t -+=，△2(4)418160=--⨯⨯=-<，∴此方程没有实数根，PCQ ∴∆的面积不可能是ABC ∆面积的一半．【点评】考查三角形的面积公式及解一元二次方程，将数学知识运用在实际问题中．五、解决问题（四）24．（2018春•莒南县期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，垂足为F ，交直线MN 于E ，连接CD 、BE ．（1）求证：CE AD =；（2）当D 为AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，当A ∠的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．【考点】LO：四边形综合题【专题】556：矩形菱形正方形【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD BD=，根据菱形的判定推出即可；（3）当45∠=︒，四边形BECD是正方形．A【解答】（1）证明：DE BC⊥Q，∴∠=︒，DFB90Q，∠=︒ACB90∴∠=∠，ACB DFBAC DE∴，//CE AD，Q，即//MN AB//∴四边形ADEC是平行四边形，∴=；CE AD（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：DQ为AB中点，∴=，AD BD=Q，CE AD∴=，BD CEBD CEQ，//∴四边形BECD是平行四边形，Q，D为AB中点，∠=︒90ACB∴=，CD BD∴四边形BECD是菱形；（3）当45Q，∠=︒A∠=︒时，90ACB∴∠=︒，ABC45由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠=∠=︒，ABC CBE45∴∠=︒，DBE90∴四边形BECD是正方形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．如图，在ABCBC cm=，E，F分AD cm=，8∆中，AB AC=，AD BC⊥于点D，10别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，沿线段FE以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，设运动时间为t．①当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？②是否存在t的值，使四边形PCFH是菱形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．【考点】LO：四边形综合题【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形；555：多边形与平行四边形；152：几何综合题【分析】（1）证明DE和DF是ABC∆的中位线，由三角形中位线定理得出//DE AC、=，得出四边形AEDF是菱形；//DF AB，证出四边形AEDF是平行四边形，再证出AE AF（2）根据中位线的定义可得出EF 的长度，根据菱形的面积公式可求出菱形AEDF 的面积；（3）①由中位线的定义可得出//EF BC ，由平行四边形的判定定理可得出关于t 的一元一次方程，解方程即可得出结论；②由//EF BC ，得出//FH PC ．若四边形PCFH 为菱形，则须FH PC CF ==，当FH PC =时，2103t t =-，解得2t =，得出4FH PC ==，由勾股定理求出AC ==，得出FH PC CF =≠，因此四边形PCFH 是平行四边形，不是菱形．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，AD BC ⊥，D ∴为BC 的中点．E Q 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE ∴和DF 是ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，//DF AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形．E Q ，F 分别为AB ，AC 的中点，AB AC =，AE AF ∴=，∴四边形AEDF 是菱形，（2）解：EF Q 为ABC ∆的中位线，152EF BC ∴==． 8AD =Q ，AD EF ⊥，11852022AEDF S AD EF ∴=⋅=⨯⨯=菱形． （3）解：①//EF BC Q ，//EH BP ∴．若四边形BPHE 为平行四边形，则EH BP =，523t t ∴-=，解得：1t =，∴当1t =秒时，四边形BPHE 为平行四边形．②不存在t 的值，使四边形PCFH 是菱形；理由如下：//EF BC Q ，//FH PC ∴．若四边形PCFH 为菱形，则须FH PC CF ==，当FH PC =时，2103t t =-，解得：2t =，4FH PC ∴==，AB AC =Q ，AD BC ⊥，152BD CD BD ∴===，AC ∴==F Q 是AC 的中点，12CF AC ∴= FH PC CF ∴=≠，∴四边形PCFH 是平行四边形，不是菱形；∴不存在t 的值，使四边形PCFH 是菱形．【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的面积、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和菱形的判定与性质是解题的关键．。
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17．（8 分）（1）解方程：3x（x﹣2）=4﹣2x；
（2）已知当 x=1 时，二次函数有最大值 5，且图象过点（0，﹣3），求此函数关系式．
18．（7 分）（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积
（3）求图中阴影部分的面积．
21．（9 分）已知一元二次方程 x2+px+q+1=0 的一个根为 2
（1）求 q 关于 p 的关系式；
（2）求证：方程 x2+px+q=0 有两个不等的实数根；
8．（3 分）（2014•济宁）“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程
ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m、n（m＜n）是
棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 _________ 米．
15．（3 分）（2014•济宁）若一元二次方程 ax2=b（ab＞0）的两个根分别是 m+1 与 2m﹣4，则 =
﹣1
下列结论：
①ac＜0；
②当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小．
③3 是方程 ax2+（b﹣1）x+c=0 的一个根；
④当﹣1＜x＜3 时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是 _________ ．
三、解答题（共 72 分）
_________ ．
16．（3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如表
x 0 1 3
﹣1
y 3 5 3
y1）、D（3，y2）四点，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）
A y1＞y2 B． y1=y2 C． y1＜y2 D 不能确定
． ．
（3）若方程 x2+px+q+1=0 有两个相等的实数根，求方程 x2+px+q=0 两根．
22．（10 分）某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本
价，又不高于每件 70 元，试销中销售量 y（件）与销售单价 x（元）的关系可以近似的看作一次函数
11．（3 分）二次函数 y=（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则 a 的值为 _________ ．
12．（3 分）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手 78 次，则这次会
2014-2015 学年湖北省咸宁市红旗路中学九
年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题
1．（3 分）下面关于 x 的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3= ；④
（1）若 x1：x2=2：1 时，求 的值
y=﹣10x+1000，设公司获得的总利润（总利润=总销售额﹣总成本）为 P 元．
（1）求 P 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）若总利润为 5250 元时，销售单价是多少？
为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？
19．（8 分）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出直线 y=x﹣1 和抛物线 y=x2﹣3x+2 的图象
围是（ ）
A B． C． D
k＞ k≥ k＞ 且 k≠1 k≥ 且 k≠1
（a2+a+1）x2﹣a=0；（5） =x﹣1，一元二次方程的个数是（ ）
A 1 B． 2 C． 3 D 4
． ．
6．（3 分）在平面直角坐标系中，若将抛物线 y=2x2 分别向上、向右平移 2 个单位，则新抛物线的解
析式是（ ）
A B． C． D y=2（x+2）2+2
关于 x 的方程 1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0 的两根，且 a＜b，则 a、b、m、n 的大小关系是（ ）
A m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D m＜a＜n＜b
． ．
2．（3 分）（2010•北仑区模拟）用配方法解方程 2x2﹣x﹣1=0，变形结果正确的是（ ）
A B． C． D
（x﹣ ）2= （x﹣ ）2= （x﹣ ）2= （x﹣ ）2=
． ．
3．（3 分）（2014•内江）若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范
二、填空题（每题 3 分，共 24 分）
9．（3 分）（2003•吉林）把方程 3x2=5x+2 化为一元二次方程的一般形式是 _________ ．
10．（3 分）方程 x（x﹣3）=x 的根是 _________ ．
A 19% B． 20% C． 21% D 22%
． ．
5．（3 分）（2013•宝山区一模）一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致
20．（8 分）把抛物线 y= x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（﹣6，0）和原点 O（0，0），它
的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点 Q．
（1）求顶点 P 的坐标；
（2）写出平移过程；
根据图象回答下列问题（设小方格的边长为 1）： 抛物线与 x 轴的交点坐标为 _________ ，不等式 x2﹣3x+2＞x﹣1 的解集为 _________ ．
议参加的人数是 _________ ．
13．（3 分）（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）与滑行时间 x（单位：s）
之间的函数关系式是 y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 _________ m 才能停下来．
． ．
4．（3 分）（2002•黑龙江）哈尔滨市政府为了申办 2010 年冬奥委，决定改善城市容貌，绿化环境，
计划经过两年时间，希望绿地面积可以增加 44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
14．（3 分）（2010•兰州）如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简
易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那
y=2（x﹣2）2+2 y=2（x+2）2﹣2 y=2（x﹣2）2﹣2
． ．
7．（3 分）（2010•咸宁）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）过 A（﹣2，0）、B（0，0）、C（﹣3，
（3）根据题意判断：当 x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？
23．（10 分）问题背景：
2
设一元二次方程 ax +bx+c=0 （a≠0）两个根分别是 x1，x2
则 x1+x2=﹣ ，x1x2=
是（ ）
A B C D
． ． ． ．