2020-2021学年山东省济南市章丘区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年济南市济阳区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年济南市济阳区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是()A. B.C. 且D. 且2.由6个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则其三视图中哪两种视图完全一样的是()A. 主视图和俯视图B. 左视图和俯视图C. 主视图和左视图D. 以上都不正确3.如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，已知AB=BC，BG=BE，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若∠DCB=∠GFE=120°，则PGPC=()A. √2B. √3C. √22D. √334.将抛物线y=x2+1先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新抛物线()A. y=(x+1)2B. y=(x+1)2+2C. y=(x−1)2D. y=(x−1)2+25.直角三角形两直角边长分别为和l，那么它的外接圆的直径是()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是函数y=−1x图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y2<y1D. 无法确定7.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为−1和4，那么：2b+3ca=()A. 3B. −6C. 9D. 128.一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点(x,y)落在反比例函数y=6x(x>0)图象上的概率为()A. 118B. 112C. 19D. 149.四边形ABCD为平行四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D为()A. 1：2：3：4B. 2：3：4：1C. 2：3：2：3D. 2：3：3：210.如果反比例函数y=1−2mx的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，则m的最小整数值为()A. −1B. 0C. 1D. 211.如图，边长为1的正△ABC，分别以顶点A、B、C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为()A. 3π2+√3 B. 5π2−√3 C. 7π2−2√3 D. 3π−2√312.如图，点P是双曲线y=7225x(x<0)上一动点，动直线与x轴，y轴正半轴分别交于点A，B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，FO的延长线交过B点与AB垂直的直线于点Q，若点O到AB的距离等于OP的最小值，则1EF +1BQ的值是()A. 65√2 B. 7225C. 56D. 512二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.16.已知如果2m=5，2n=3.则2m+2n的值为_________．14.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF//OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E.若AD=4，DF=52，则BE=______ ．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，线段AB=10cm(AC>BC)，则AC为______cm.(结果保留根号)16.如图，直线y=x+b与双曲线y=kx交于A、B两点，延长AO交双曲线于C点，连接BC，且AB= 2BC=4√2，则k=______ ．17.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(−1,0)和(5,0)两点，则该抛物线的对称轴是．18.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，AB=4CE，F是AE上一点，射线BF与正方形的边交于点G(不同于点B)，若BG=AE，BF=______．AC三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）19.计算：2−1+4cos45°−(π−2013)0−√8．20.如图，某海城景区为扩大景区范围，以O为圆心，100米为半径的圆形区域内正在施工，景点A在O的南偏西60°，距O点120米处，景点B在O在正南方向，距O点120米处，景点C在O的正东方向，距O点120米处，一游客乘船沿着A→B→C的路线进行游览，请判断该游客在游览过程中是否会经过施工区，并说明理由(√2≈1.141,√3≈1.73,√5≈2.24，结果保留一位小数)．21.某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图(如图)的信息回答下列问题：(1)本次调查的学生总数为______人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是______小时，众数是______小时；(2)请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是______；(3)若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？(4)若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的概率？(列表或树状图)22.探究：如图①，在矩形ABCD中，以点A为直角顶点作Rt△AEF，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，DG与AB交于点H，且AEAF =ABAD．(1)求证：△ABE∽△ADF．(2)求证：DG⊥BE；拓展：如图②，在▱ABCD中，以点A为顶点作∠EAF=∠BAD，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，且AEAF =ABAD，若∠BCD=130°，则∠EGD的大小为______度．23.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值．24.如图所示，利用一面墙(墙的长度足够)，用篱笆围成一个形如矩形ABCD的场地，在AD，BC边上各有一个宽为1m的缺口，在场地中有用篱笆做的隔断EF，且EF⊥AB，AB>EF，已知所用篱笆总长度为38m．(1)设隔断EF的长为x(m)，请用含x的代数式表示AB的长．(2)所围成形如矩形ABCD的场地的面积为100m2时，求AB的长．(3)所围成矩形ABCD场地的面积能否为140m2？若能，求AB的长；若不能，说明理由.并写出所围成的矩形ABCD场地面积的最大值．25.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象交于点A，与xx轴交于点B(5,0)，若OB=AB，且S△OAB=15．2(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)直接写出当x>0时，kx+b<m的解集；x(3)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．(4)已知点D(0,6)，连接AD，过原点O的直线l将四边形OBAD分成面积相等的两部分，用尺规作图，作出直线l，保留作图痕迹，并直接写出直线l的解析式．26.如图，已知等边△ABC的边长为8，点M、N分别在AB、AC边上，CN=3．(1)把△ABC沿MN折叠，使得点A的对应点是点A′落在AB边上(如图1)，求折痕MN的长度；(2)如图2，若点P在BC上运动，且始终保持∠MPN=60°．①请判断△MBP和△PCN是否相似？并说明理由；②当点P在何位置时线段BM长度最大，并求出线段BM长度的最大值．27.如图，抛物线y=mx2+2mx−3m(m≠0)的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H、B关于直线l：对称，过点B作直线BK//AH交直线l于K点．(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求此抛物线的解析式；(3)将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，设顶点为N，直接写出NK的长．参考答案及解析1.答案：D解析：试题分析：根据一元二次方程有实数根可得△≥0，得到关于m的不等式，同时结合一元二次方程二次项系数不为0求解即可.∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得：m≤3且m≠2.故选D．考点：一元二次方程的概念以及一元二次方程根的判别式．2.答案：C解析：解：该组合体的主视图和左视图如下：其俯视图如下：故选：C．根据三视图的概念画出图形可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．3.答案：B解析：解：延长GP交DC于点H，∵AB=BC，BG=BE，∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，由题意可知DC//GF，∴∠GFP=∠HDP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD、四边形BEFG都是菱形，∴CD=CB，GB=GF，∴CG=CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，(三线合一)又∵∠DCB=∠GFE=120°，∴∠GCP=60°，=√3．∴tan∠GCP=PGPC故选：B．可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形HDP和GFP全等，已知的有DC//GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的(AAS)，于是两三角形全等，那么HP=PG，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系．此题主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定以及锐角三角函数等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．4.答案：B解析：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y =x 2+1先向左平移1个单位可得到抛物线y =(x +1)2+1；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y =(x +1)2+1再向上平移1个单位可得到抛物线y =(x +1)2+2． 故选：B ．根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5.答案：A解析：解：根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是：√(√3)2+12=2． 根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是1； 故选：A ．6.答案：B解析：解：∵点A(−1,y 1)，B(1,y 2)，C(2,y 3)是函数y =−1x 图象上的三点， ∴y 1=−1−1=1，y 2=−11=−1，y 3=−12=−12． ∵−1<−12<1，∴y 2<y 3<y 1故选：B ．把点A 、B 、C 的坐标分别代入函数解析式，求得y 1、y 2、y 3的值，然后比较它们的大小． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析式．7.答案：B解析：解：对于甲：设k(x −2)(x −4)=0， 得kx 2−6kx +8k =0，对于乙：设p(x +1)(x −4)=0， 得px 2−3px −4p =0， 分两种情况：①如果看错了二次项系数，那么{−6k =−3p 8k =−4p ， 解得k =p =0，不合题意舍去；②如果看错了一次项的符号，那么{−6k −3p =08k =−4p，解得p=−2k，则a=p，b=3p，c=−4p，2b+3ca =6p−12pp=−6．故选：B．先利用两根分别表示出错误的方程为：甲，设k(x−2)(x−4)=0得kx2−6kx+8k=0；乙，设p(x+ 1)(x−4)=0得px2−3px−4p=0，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①如果看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②如果看错了一次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面常数项相等，一次项互为相反数．此题考查了一元二次方程的特点，以及方程之间的关系，难度不小．需要利用方程的两根来表示出两个错误的方程，然后对乙的错误分情况讨论，这是解题的关键．8.答案：C解析：解：根据题意知x的取值有6种情况，y的取值有6种情况，(x,y)的取值有6×6=36种情况，∵点(1,6)，(6,1)，(2,3)，(3,2)落在反比例函数y=6x(x>0)图象上，∴点(x,y)落在反比例函数y=6x (x>0)图象上的概率为436=19，故选：C．根据题意知x的取值有6种情况，y的取值有6种情况，(x,y)的取值有6×6=36种情况，因为点(1,6)，(6,1)，(2,3)，(3,2)四个点落在反比例函数y=6x(x>0)图象上，故能得出概率．本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征及概率的应用，熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征及概率的应用是解题的关键．9.答案：C解析：解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有C符合条件．故选：C．根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．10.答案：C解析：解：∵反比例函数y=1−2mx的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，∴1−2m<0，解得，m>12．∴m的最小整数值为1，故选：C．根据反比例函数的性质可得1−2m<0，再解不等式即可．本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=kx，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．11.答案：A解析：解：连CD，BD，AC与BD交于点E，如图，∵△ABC为边长为1的等边三角形，∴∠ACB=60，∠BCD=120°，S△BCD=S△ABC=√34×12=√34；每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去△BDC的面积，∴每两个圆的公共部分面积为2(120π×1360−√34)=2(π3−√34)=2π3−√32，三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加△ABC的面积，∴三个圆公共部分面积为3×60π×1360−2×√34=3×π6−2×√34=π2−√32，∴三个圆覆盖的面积为3π−3(2π3−√32)+(π2−√32)+π2−√32=3π2+√3．故选：A．连CD，BD，AC与BD交于点E，每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去△BDC的面积，而三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加△ABC的面积，最后求三个圆所覆盖的图形面积即三个圆的面积减去三个两圆的公共部分面积，再加上一个三个圆公共部分面积．本题考查了扇形的面积公式：S=nπR2360，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径)，或S=12lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了三角形的面积公式以及弓形面积的求法．12.答案：C解析：解：如图，过点O作OG⊥AB于G，设EF=a，点P(x,y)，∵点F是AE的中点，∴AE=2a，∵点P是双曲线y=7225x(x<0)上一动点，∴xy=7225，∵OP=√x2+y2=√(x−y)2+2xy，∴当x−y=0时，OP最小，即x=y时，OP的最小值是√2xy=√2×7225=125，∴OG=125，∵OG⊥AB，AE⊥AB，∴OG//AE，∴△BOG∽△BEA，∴OGAE =OBBE，即1252a=OBOE=65a，同理得：BQ//EF，∵∠BQO=∠OFE，∵∠BOQ=∠EOF，∴△BQO∽△EFO，∴OBOE =BQEF，∴OBOB+OE =BQBQ+EF，∴OBOE =BQBQ+EF，∴BQ⋅EFBQ+EF =65，则1EF+1BQ=EF+BQEF⋅BQ=56．故选：C．如图，过点O作OG⊥AB于G，设EF=a，点P(x,y)，先确定当x−y=0时，OP最小，OP的最小值是√2xy=√2×7225=125，可得OG=125，证明△BOG∽△BEA和△BQO∽△EFO，列比例式，并根据比例的性质可得结论本题主要考查了反比例函数的应用，相似三角形的性质和判定，完全平方公式的非负性，最值问题，点到直线的距离等知识点．利用完全平方公式确定OP的最小值是本是本题的关键．13.答案：45解析：14.答案：152解析：解：∵OD⊥AC，AD=4，∴AD=DC=4，∵DF//OC，DF=52，∴OC=2DF=5，在Rt△COD中，OD=√OC2−CD2=3，∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵OD⊥AD，∴∠ADO=∠ABE，∵∠OAD=∠EAB，∴△AOD∽△AEB，∴ODBE =ADAB，即3BE=410，解得：BE=152，故答案为：152．根据垂径定理得到AD=DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、垂径定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15.答案：(5√5−5)解析：解：∵点C是线段AB的黄金分割点，线段AB=10cm(AC>BC)，∴AC=√5−12AB=√5−12×10=(5√5−5)cm，故答案为：(5√5−5)．直接根据黄金比值为√5−12进行计算即可．本题考查的是黄金分割的概念，熟练掌握黄金分割的概念、黄金比值为√5−12是解题的关键．16.答案：3解析：过O作OD⊥AB于点D，根据直线y=x+b中的k=1得到OD所在直线为y=−x，于是得到直线y=x+b关于此直线轴对称，双曲线y=k/x关于O中心对称，求得AD=BD，AO=OC，根据平行线的性质得到BC⊥AC，设A(x,y)则B(−y,−x)，根据勾股定理和两点间的距离公式得到(2x)2+(2y)2=(2√10)2，(x+y)2+(y+x)2=(4√2)2求得点A坐标为(1,3)于是得到结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，勾股定理，两点间的距离公式，正确的理解题意是解题的关键．解：过O作OD⊥AB于点D，∴OD所在直线为y=−x，∴直线y=x+b关于此直线轴对称，双曲线y=k/x关于O中心对称，∴AD=BD，AO=OC，∴OD//BC，∴BC⊥AC，设A(x,y)则B(−y,−x)，∵AB=2BC=4√2，∴AC=√AB2+BC2=2√10，∴(2x)2+(2y)2=(2√10)2，(x+y)2+(y+x)2=(4√2)2解得x=1，y=3∴点A坐标为(1,3)∴k=3．故答案为3．17.答案：直线x=2解析：分析：根据抛物线的与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(−1,0)和(5,0)两点，∴其对称轴为：x=故答案为：x=2．18.答案：54√2或310√2解析：解：设CE=x，则AB=4x，BE=3x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC，∴AE=√AB2+BE2=5x，AC=√2AB=4√2x，有两种情形：①如图1，当G在AD边上时，连接EG，在Rt△ABG和Rt△BAE中，{AE=BGAB=BA，∵AE=BG，AB=AB，∠BAG=∠ABE=90°，∴Rt△ABG≌△Rt△BAE(HL)，∴AG=BE，∵AG//BE，∴四边形ABEG是矩形，∴AE=BG，∴BF=12AE=52x，∴BFAC =52x4√2x=5√24；②当G在CD上时，如图2，同理可得△ABE≌△BCG，∴∠BAE=∠CBG，∵∠CBG+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AFB=90°，∴BG⊥AE，∵12⋅AB⋅BE=12⋅AE⋅BF，∴BF=AB⋅BEAE =4x⋅3x5x=125x，∴BFAC =125x4√2x=310√2．综合以上可得BFAC 的值为54√2或310√2．故答案为54√2或310√2．设CE=x，则AB=4x，BE=3x，由勾股定理可求出AC=4√2x，分两种情形：①当G在AD边上时，②当G在CD上时，由全等三角形的性质分别求出答案即可．本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．19.答案：解：原式=12+4×√22−1−2√2=−12．解析：此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的化简等知识，正确化简各数是解题关键．分别利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的化简进行计算，化简求出答案．20.答案：解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E．∵OA=OB=OC=120m，∠AOB=60°，∠BOC=90°，∴△AOB是等边三角形，△BOC是等腰直角三角形，在Rt△AOD中，OD=OA⋅sin60°=60√3≈103.8m，∵103.8m>100m，∴游客乘船沿着A→B时，游览过程中不会经过施工区，在Rt△OBC中，OE=OB⋅cos45°=60√2≈84.6m，∵84.6m<100m，∴游客乘船沿着B→C的路线进行游览，该游客在游览过程中会经过施工区．解析：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E.解直角三角形分别求出OD、OE即可解决问题．本题考查解直角三角形−方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21.答案：(1)50，4，5，(2)144°(3)700×450=56，所以估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有56人；(4)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为8，所以恰好是一男一女的概率=812=23．解析：解：(1)(6+4)÷20%=50，所以本次调查的学生总数为50人，课外阅读时间为6小时的男生人数为50−10−16−20−3=1，所以被调查学生的课外阅读时间的中位数是4小时，众数是5小时；(2)课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数=360°×2050=144°，补全条形统计图为：故答案为50；4；5；144°；(1)用阅读时间为3小数的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出阅读时间为6小时的男生人数，然后根据中位数、众数的定义求解；(2)先利用阅读时间为6小时的男生人数补全条形统计图，然后用360°乘以阅读时间为5小时的人数所占的百分比得到课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数；(3)用700乘以样本中阅读时间为6小数的人数的百分比即可；(4)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22.答案：50解析：解：探究：(1)在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵∠AEF=90°，∴∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90°，∴∠EAB=∠DAF，∵AEAF =ABAD，∴△ABE∽△ADF；(2)∵△ABE∽△ADF，∴∠ADF=∠ABE，设AB与DG的交点为H，∵∠AHD=∠BHG，∴∠BGH=180°−∠ABG−∠BHG=180°−∠AHF−∠ADF=∠BAD=90°，∴DG⊥BE；拓展：在▱ABCD中，∵AB//CD，AD//BC，∴∠ABC=180°−∠C=50°，∠ADF=∠2，∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAF−∠BAF=∠BAD−∠BAF，即∠EAB=∠DAF，∵AEAF =ABAD，∴△ABE∽△ADF，∴∠ADF=∠3，∴∠2=∠3，∵∠ABC=180°−∠GBC−∠3，∠EGD=180°−∠GBD−∠2，∴∠EGD=∠ABC=50°，故答案为：50．探究：(1)根据矩形的性质得到∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠EAB=∠DAF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠ADF=∠ABE，根据对顶角相等得到∠AHD=∠BHG，根据三角形的内角和即可得到结论；拓展：根据平行四边形的性质得到AB//CD，AD//BC，求得∠ABC=180°−∠C=50°，∠ADF=∠2，根据相似三角形的性质得到∠ADF=∠3，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．23.答案：解：在Rt△ABC中，c=5，a=3，∴b=√c2−a2=√52−32=4，∴sinA=ac =35，tanA=ab=34．解析：试题分析：先根据勾股定理求出b的长，再根据三角函数的定义就可求解．24.答案：解：(1)设隔断EF的长为x(m)，则AB=38−3x+2=40−3x；(2)由题意可得：S=x(40−3x)=100，整理得：−3x2+40x−100=0，则3x2−40x+100=0解得：x1=10，x2=103，当EF=10m，则AB=40−30=10(m)，此时EF=AB，不合题意，故x=103，则AB=40−3×103=30(m)，答：AB的长为30m；(3)当S=140m2，则x(40−3x)=140，整理得：3x2−40x+140=0，则△=b2−4ac=1600−1680=−80<0，故所围成矩形ABCD场地的面积不能为140m2，S=x(40−3x)=−3x2+40x=−3(x 2−403x) =−3(x −203)2+4003， 当x =203时，所围成的矩形ABCD 场地面积的最大值为：4003m 2．解析：(1)根据题意可得AB =38−3x +2，即可得出答案；(2)利用矩形面积公式得出S =100，进而得出答案；(3)利用矩形面积公式得出S =140，再利用利用配方法即可求出函数最大值．本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是结合题意利用长方形的面积列出函数关系式并掌握求二次函数最值的方法．25.答案：解：(1)如图1，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，∵B(5,0)，∴OB =5，∵S △OAB =152， ∴12×5×AD =152，∴AD =3，∵OB =AB ，∴AB =5， 在Rt △ADB 中，BD =√AB 2−AD 2=4，∴OD =OB +BD =9，∴A(9,3)，将点A 坐标代入反比例函数y =m x 中得，m =9×3=27，∴反比例函数的解析式为y =27x ，将点A(9,3)，B(5,0)代入直线y =kx +b 中，{9k +b =35k +b =0， ∴{k =34b =−154，∴直线AB 的解析式为y =34x −154； (2)由{y =34x −154y =27x解得{x =9y =3或{x =−4y =−274， ∴两个函数的交点分别为(9,3)或(−4,−274)，结合图象可知：当x >0时，不等式kx +b <mx 的解集为0<x <9．(3)由(1)知，AB =5，∵△ABP 是等腰三角形，∴①当AB =PB 时，∴PB =5，∴P(0,0)或(10,0)，②当AB =AP 时，如图2，由(1)知，BD =4，易知，点P 与点B 关于AD 对称，∴DP =BD =4，∴OP =5+4+4=13，∴P(13,0)，③当PB =AP 时，设P(a,0)，∵A(9,3)，B(5,0)，∴AP 2=(9−a)2+9，BP 2=(5−a)2，∴(9−a)2+9=(5−a)2，∴a =658，∴P(658,0)，即：满足条件的点P 的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(658,0)．(4)如图3中，直线l 即为所求．由题意直线OA 的解析式为y =13x ，直线BD 的解析式为y =−65x +6，直线AD 的解析式为y =−13x +6，可得G(52,3)，∵GH//OA ，∴直线GH 的解析式为y =13x +136， 由{y =13x +136y =−13x +6，解得{x =234y =4912， ∴H(234,4912)，∴直线l 的解析式为y =4969x.解析：(1)先求出OB ，进而求出AD ，得出点A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；(2)构建方程组求出直线与反比例函数的两个交点坐标即可判断．(3)分三种情况，①当AB =PB 时，得出PB =5，即可得出结论；②当AB =AP 时，利用点P 与点B 关于AD 对称，得出DP =BD =4，即可得出结论；③当PB =AP 时，先表示出AP 2=(9−a)2+9，BP 2=(5−a)2，进而建立方程求解即可得出结论． (4)作线段BD 的中垂线EF 交BD 于G ，连接OG ，AG ，OA ，作GH//OA 交AD 于H ，作直线OH ，直线OH 即为所求的直线l ．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，学会构造平行线平分四边形面积． 26.答案：解：(1)∵等边△ABC 的边长为8，∴∠A =∠B =∠C =60°，AB =BC =AC =8，∵CN =3，∵把△ABC沿MN折叠，点A的对应点A′恰好落在AB边上，∴∠NMA=90°，∴sinA=MNAN，∴MN=AN⋅sin60°=5×√32=5√32；(2)①∵∠MPN=60°，∴∠MPB+∠NPC=120°，∴∠NPC=∠BMP，∵∠B=∠C=60°，∴△MBP∽△PCN；②设BP=x，BM=y，则PC=8−x，∵△MBP∽△PCN，∴BMPC =BPCN，∴y8−x =x3，∴y=−13(x2−8x)=−13(x−4)2+163，当x=4时，y最大值为163，因此，当点P位于BC的中点时，线段BM长度最大值为163．解析：(1)根据等边三角形的性质和三角函数解答即可；(2)①根据相似三角形的判定解答即可；②根据相似三角形的判定和性质得出二次函数，进而利用二次函数的最值解答即可．此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值解答．解析：(1)令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点A、B的坐标；然后把点A的坐标代入直线l的解析式，计算即可证明点A在直线上；(2)根据轴对称的性质可得AH=AB，根据直线l的解析式求出直线l与x轴的夹角为30°，然后得到∠HAB的度数是60°，过点H作HC⊥x轴于点C，然后解直角三角形求出AC、HC，从而得到OC的长度，然后写出点H的坐标，再把点H的坐标代入抛物线解析式计算求出m的值，即可得解；(3)根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BK的解析式的k值，然后利用待定系数法求出直线BK 的解析式，与直线l的解析式联立求解得到点K的值，再利用抛物线解析式求出相应横坐标上的点，从而求出抛物线向上移动的距离，然后得到平移后的抛物线的顶点N的坐标，根据两点间的距离公式计算即可得到NK的值．。
山东省济南市章丘区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
山东省济南市章丘区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题一．选择题1.﹣3﹣（﹣2）的值是（）A. ﹣1B. 1C. 5D. ﹣5【答案】A【解析】【分析】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案．【详解】﹣3﹣﹣﹣2﹣=﹣3+2=﹣1﹣故选A﹣【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2.下列立体图形中，主视图是三角形的是（﹣.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．【详解】A﹣C﹣D主视图是矩形，故A﹣C﹣D不符合题意；B、主视图是三角形，故B正确；故选B﹣【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．3.将6497.1亿用科学记数法表示为（）A. 6.4971×1012B. 64.971×1010C. 6.5×1011D. 6.4971×1011【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6497.1亿＝649710000000＝6.4971×1011．故选：D．【点睛】此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.4.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．【详解】∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°−50°=40°.故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.5.+1的值在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】B【解析】分析：直接利用﹣3，进而得出答案．详解：∵﹣3﹣∴故选B﹣的取值范围是解题关键．6.下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确;D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7.计算：x （1﹣21x ）÷221x x x++的结果是（ ） A. 11x + B. x+1 C. 11x x -+ D. 1x x+ 【答案】C【解析】【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．【详解】解：原式＝()()()2111x x x x x +-⋅+ ＝11x x -+． 故选：C ．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.8.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（ ）A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8.2D. 方差是1.2【答案】D【解析】【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是102+92+83+72+61=8.210⨯⨯⨯⨯⨯方差是222222(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2)1.5610⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=故选D【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.9.如图，点A﹣B在反比例函数1(0)y xx=>的图象上，点C﹣D在反比例函数(0)ky kx=>的图象上，AC//BD//y轴，已知点A﹣B的横坐标分别为1﹣2﹣△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为（﹣A. 4B. 3C. 2D. 3 2【答案】B【解析】【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为32，列出方程，求解得出答案.【详解】把x=1代入1yx=得：y=1,∴A(1,1),把x=2代入1yx=得：y=12,∴B(2, 12 ),∵AC//BD// y轴,∴C(1,K),D(2,k 2 )∴AC=k-1,BD=k2-12，∴S△OAC=12（k-1）×1,S△ABD=12(k2-12)×1,又∵△OAC与△ABD的面积之和为32，∴12（k-1）×1＋12(k2-12)×1=32，解得：k=3;故答案为B.【点睛】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.10.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则BD 的最小值是（）A. B. C. D. 10【答案】B【解析】【分析】如图，作DH﹣AB于H，CM﹣AB于M．由tanA＝BEAE＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH BD，推出BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．详解】解：如图，作DH﹣AB于H，CM﹣AB于M．﹣BE﹣AC ，﹣﹣AEB ＝90°，﹣tanA ＝BE AE＝2，设AE ＝a ，BE ＝2a ， 则有：100＝a 2+4a 2，﹣a 2＝20，﹣a ＝，﹣BE ＝2a ＝﹣AB ＝AC ，BE﹣AC ，CM﹣AB ，﹣CM ＝BE ＝）﹣﹣DBH ＝﹣ABE ，﹣BHD ＝﹣BEA ，﹣sin﹣DBH ＝DH AE BD AB ，﹣DH BD ，＝CD+DH ， ﹣CD+DH≥CM ，的最小值为 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及解直角三角形的应用. 11.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1﹣0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41﹣cos24°≈0.91﹣tan24°=0.45﹣﹣ ﹣A. 21.7米B. 22.4米C. 27.4米D. 28.8米【答案】A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12.如图，一段抛物线y=﹣x2+4﹣﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0﹣A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2﹣C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1﹣x1﹣y1﹣﹣P2﹣x2﹣y2），与线段D1D2交于点P3﹣x3﹣y3），设x1﹣x2﹣x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A. 6﹣t≤8B. 6≤t≤8C. 10﹣t≤12D. 10≤t≤12【答案】D【解析】【分析】首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题.【详解】翻折后的抛物线的解析式为y=﹣x﹣4﹣2﹣4=x2﹣8x+12﹣∵设x1﹣x2﹣x3均为正数，∴点P1﹣x1﹣y1﹣﹣P2﹣x2﹣y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8﹣∵2≤x3≤4﹣∴10≤x1+x2+x3≤12﹣即10≤t≤12﹣故选D﹣【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.二．填空题13.因式分解：(a-b)2-(b-a)=___________.【答案】﹣a﹣b﹣﹣a﹣b+1﹣【解析】【分析】先提取后边项的负号,再提取公因式（a-b ）即可.【详解】解:（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）=（a ﹣b ）2+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a ﹣b+1）.故答案为（a ﹣b ）（a ﹣b+1）.【点睛】本题主要考查了因式分解这一知识点，其步骤为：有公因式的先提公因式，没有公因式的考虑运用公式法，分解因式必须分解到每一步都不能再分解为止.14.如图，随机闭合开关123,,S S S 中的两个，能让灯泡发光的概率是_______．【答案】23【解析】【分析】先列出所有可能的情况数，再判断能让灯泡发光的的情况数，然后利用概率公式计算即可.【详解】解：随机闭合开关123,,S S S 中的两个，共有三种情况，分别是：S 1、S 2，S 1、S 3，S 2、S 3，其中能让灯泡发光的有：S 1、S 2，S 1、S 3﹣﹣﹣﹣.所以能让灯泡发光的概率=23. 故答案为：23. 【点睛】本题是与物理中的电学相结合的题目，主要考查了简单事件的概率求解，难度不大，掌握求解的方法是解题关键.15.若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．【解析】【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，60OAB ∠=︒，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解：如图，连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ；则2OG =，∵六边形ABCDEF 正六边形，∴OAB V 是等边三角形，∴60OAB ∠=︒，∴sin 60OG OA ===︒， ∴正六边形的内切圆半径为2．故答案3． 【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.16.若m ﹣1m ＝3，则m 2+21m＝_____． 【答案】11【解析】【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．【详解】解：﹣21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝m 2﹣2+21m ＝9，﹣m 2+21m＝11， 故答案为11．【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.17.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中1l 、2l 分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （3m ）之间的关系．小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．【答案】210．【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以求得120x >时，2l 对应的函数解析式，从而可以求得150x =时对应的函数值，由1l 的的图象可以求得150x =时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．【详解】设当120x >时，2l 对应的函数解析式为y kx b =+，120480160720k b k b +=⎧⎨+=⎩，得6240k b =⎧⎨=-⎩， 即当120x >时，2l 对应的函数解析式为6240y x =-，当150x =时，6150240660y =⨯-=，由图象可知，去年的水价是4801603÷=（元/3m ），故小雨家去年用水量为1503m ，需要缴费：1503450⨯=（元），660450210-=（元）， 即小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，故答案210．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．18.如图，BC⊥y轴，BC＜OA，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD＝14 OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°，将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为_____．【答案】6﹣2或6或9﹣【解析】【分析】可得到﹣DOE＝﹣EAF，﹣OED＝﹣AFE，即可判定﹣DOE﹣﹣EAF，分情况进行讨论：﹣当EF＝AF时，﹣AEF 沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；﹣当AE＝AF时，﹣AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；﹣当AE＝EF时，﹣AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．【详解】解：连接OD，过点BH﹣x轴，﹣沿着EA翻折，如图1：﹣﹣OAB＝45°，AB＝3，﹣AH＝BH＝，﹣CO＝2，﹣BD＝12OA＝2，﹣BD＝2，OA＝8，﹣BC＝8，﹣CD＝6﹣2；﹣四边形FENA是菱形，﹣﹣FAN＝90°，﹣四边形EFAN是正方形，﹣﹣AEF是等腰直角三角形，﹣﹣DEF＝45°，﹣DE﹣OA，﹣OE＝CD＝6﹣2；﹣沿着AF翻折，如图2：﹣AE＝EF，﹣B与F重合，﹣﹣BDE＝45°，﹣四边形ABDE是平行四边形﹣AE＝BD＝2，﹣OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；﹣沿着EF翻折，如图3：﹣AE＝AF，﹣﹣EAF＝45°，﹣﹣AEF是等腰三角形，过点F作FM﹣x轴，过点D作DN﹣x轴，﹣﹣EFM﹣﹣DNE，﹣FM EMDN NE=，22AE AENE=，﹣NE＝3﹣2，﹣OE＝6﹣2+3﹣2＝9﹣；综上所述：OE的长为6﹣2或6或9﹣，故答案为6或6或9﹣．【点睛】此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.三．解答题19.计算：﹣012﹣﹣1【答案】【解析】分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．详解：原式=2×12--1+2点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.解不等式组1(1)222323xx x⎧+≤⎪⎪⎨++⎪≥⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和．【答案】6.【解析】分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．详解：解不等式12﹣x+1﹣≤2，得：x≤3﹣解不等式2323x x++≥，得：x≥0﹣则不等式组的解集为0≤x≤3﹣所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3=6﹣点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）证明：﹣四边形ABCD是菱形，﹣AC﹣BD，﹣﹣COD＝90°．﹣CE﹣AC，DE﹣BD，﹣平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．﹣四边形ABCD是菱形，﹣AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，﹣菱形ABCD的面积为：12AC•BD＝12×4×2＝4．【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及矩形的判定定理. 22.建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.﹣1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？﹣2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？【答案】（1）甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.﹣2﹣乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.【解析】分析: （1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y 万立方，根据“甲乙两队合作150天完成土方量120万立方，甲队施工110天、乙队施工150天完成土方量103.2万立方”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a 万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.详解:（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y 万立方.根据题意，得()15015012040110103.2x y y x y +=⎧⎨++=⎩解之，得0.420.38x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.﹣2）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高z 万立方.根据题意，得40﹣0.38+z﹣+110(0.38+z+0.42≥120﹣解之，得z≥0.112﹣答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于a 的一元一次不等式.23.如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过点E 作直线DC 分别交AM﹣BN 于点D﹣C ，且CB=CE﹣﹣1）求证：DA=DE﹣﹣2）若【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】【分析】﹣1﹣连接OE﹣BE，根据已知条件证明CD为⊙O的切线，然后再根据切线长定理即可证明DA=DE﹣﹣2﹣ 如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，根据S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE﹣利用分割法即可求得阴影部分的面积．【详解】﹣1﹣如图，连接OE﹣BE﹣∵OB=OE﹣∴∠OBE=∠OEB﹣∵BC=EC﹣∴∠CBE=∠CEB﹣∴∠OBC=∠OEC﹣∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°﹣∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A﹣∴DA=DE﹣﹣2）如图，连接OC﹣过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF﹣DF=AB=6﹣∴∵=∴∴在直角△OBC 中，tan ∠BOC=BC OB﹣ ∴∠BOC=60°﹣在△OEC 与△OBC 中， OE OB OC OC CE CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩﹣∴△OEC ≌△OBC﹣SSS﹣﹣∴∠BOE=2∠BOC=120°﹣∴S 阴影部分=S 四边形BCEO ﹣S 扇形OBE =2×12BC•OB﹣2120?·360OB π =﹣3π﹣【点睛】本题考查了切线的判定与性质、切线长定理，扇形的面积等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.24.某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中E 部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在()170175x cm ≤<的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．【答案】（1）50；（2）详见解析；（3）72︒；（4）25【解析】【分析】（1）根据D 的人数除以所占的百分比即可的总人数;（2）根据C 的百分比乘以总人数，可得C 的人数，再根据总人数减去A 、B 、C 、D 、F ，便可计算的E 的人数，分别在直方图上表示即可.（3）根据直方图上E 的人数比总人数即可求得的E 百分比，再计算出圆心角即可.（4）画树状图统计总数和来自同一班级的情况，再计算概率即可.【详解】解：（1）总人数为1326%50÷=人，答：两个班共有女生50人；（2）C 部分对应的人数为5028%14⨯=人，E 部分所对应的人数为50261314510-----=； 频数分布直方图补充如下：（3）扇形统计图中E 部分所对应扇形圆心角度数为103607250⨯︒=︒； （4）画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，所以这两人来自同一班级的概率是82 205．【点睛】本题是一道数据统计的综合性题目，难度不大，这类题目，往往容易得分，应当熟练的掌握. 25.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC﹣∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B﹣C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．﹣1）当OB=2时，求点D的坐标；﹣2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；﹣3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=kx﹣k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P﹣A1﹣D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．【答案】﹣1）点D坐标为（【解析】分析：﹣1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE﹣CE即可解决问题；﹣2）设OB=a，则点A的坐标（），由题意），点A﹣D在同一反比例函数图象上，可得﹣3+a﹣﹣求出a的值即可；﹣3）分两种情形：①如图2中，当∠PA1D=90°时．②如图3中，当∠PDA1=90°时．分别构建方程解决问题即可；详解：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E﹣∵∠ABC=90°﹣∴tan ∠ACB=AB BC∴∠ACB=60°﹣根据对称性可知：DC=BC=2﹣∠ACD=∠ACB=60°﹣∴∠DCE=60°﹣∴∠CDE=90°-60°=30°﹣∴∴OE=OB+BC+CE=5﹣∴点D 坐标为（﹣2）设OB=a ，则点A 的坐标（﹣﹣由题意∵点A﹣D 在同一反比例函数图象上，∴﹣3+a﹣﹣∴a=3﹣∴OB=3﹣﹣3）存在．理由如下：①如图2中，当∠PA 1D=90°时．∵AD ∥PA 1﹣∴∠ADA 1=180°-∠PA 1D=90°﹣在Rt △ADA 1中，∵∠DAA 1∴AA 1=30AD cos=4﹣ 在Rt △APA 1中，∵∠APA 1=60°﹣∴∴﹣设P﹣m﹣3），则D 1 ∵P﹣A 1在同一反比例函数图象上，∴3m=﹣m+7﹣﹣ 解得m=3﹣∴∴﹣②如图3中，当∠PDA 1=90°时．∵∠PAK=∠KDA 1=90°﹣∠AKP=∠DKA 1﹣∴△AKP ∽△DKA 1﹣ ∴1AK PK KD KA =﹣ ∴1KA PK AK DK=﹣ ∵∠AKD=∠PKA 1﹣∴△KAD ∽△KPA 1﹣∴∠KPA 1=∠KAD=30°﹣∠ADK=∠KA 1P=30°﹣∴∠APD=∠ADP=30°﹣∴﹣AA 1=6﹣设，则D 1∵P﹣A 1在同一反比例函数图象上，∴解得m=3﹣∴∴﹣点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26.已知等边△ABC 的边长为2，（1）如图1，在边BC 上有一个动点P ，在边AC 上有一个动点D ，满足∠APD ＝60°，求证：△ABP ～△PCD （2）如图2，若点P 在射线BC 上运动，点D 在直线AC 上，满足∠APD ＝120°，当PC ＝1时，求AD 的长（3）在（2）的条件下，将点D 绕点C 逆时针旋转120°到点D'，如图3，求△D′AP 的面积．【答案】（1）见解析；（2）72；（3）8【解析】【分析】 （1）先利用三角形的内角和得出﹣BAP+﹣APB ＝120°，再用平角得出﹣APB+﹣CPD ＝120°，进而得出﹣BAP ＝﹣CPD ，即可得出结论；（2）先构造出含30°角的直角三角形，求出PE ，再用勾股定理求出PE ，进而求出AP ，再判断出﹣ACP﹣﹣APD ，得出比例式即可得出结论；（3）先求出CD ，进而得出CD'，再构造出直角三角形求出D'H ，进而得出D'G ，再求出AM ，最后用面积差即可得出结论．【详解】解：（1）﹣﹣ABC 是等边三角形，﹣﹣B ＝﹣C ＝60°，在﹣ABP 中，﹣B+﹣APB+﹣BAP ＝180°，﹣﹣BAP+﹣APB ＝120°，﹣﹣APB+﹣CPD ＝180°﹣﹣APD ＝120°，﹣﹣BAP ＝﹣CPD ，﹣﹣ABP﹣﹣PCD ；（2）如图2，过点P 作PE﹣AC 于E ，﹣﹣AEP＝90°，﹣﹣ABC是等边三角形，﹣AC＝2，﹣ACB＝60°，﹣﹣PCE＝60°，在Rt﹣CPE中，CP＝1，﹣CPE＝90°﹣﹣PCE＝30°，﹣CE＝12CP＝12，根据勾股定理得，PE2=，在Rt﹣APE中，AE＝AC+CE＝2+12＝52，根据勾股定理得，AP2＝AE2+PE2＝7，﹣﹣ACB＝60°，﹣﹣ACP＝120°＝﹣APD，﹣﹣CAP＝﹣PAD，﹣﹣ACP﹣﹣APD，﹣AP AC AD AP=，﹣AD＝2APAC＝72；（3）如图3，由（2）知，AD＝72，﹣AC ＝2，﹣CD ＝AD ﹣AC ＝32， 由旋转知，﹣DCD'＝120°，CD'＝CD ＝32， ﹣﹣DCP ＝60°，﹣﹣ACD'＝﹣DCP ＝60°，过点D'作D'H﹣CP 于H ，在Rt﹣CHD'中，CH ＝12CD'＝34，根据勾股定理得，D'H ， 过点D'作D'G﹣AC 于G ，﹣﹣ACD'＝﹣PCD'，﹣D'G ＝D'H （角平分线定理），﹣S 四边形ACPD '＝S ﹣ACD '+S ﹣PCD '＝12AC•D'G+12CP•DH'＝12×2×4+12×1×4， 过点A 作AM﹣BC 于M ，﹣AB ＝AC ，﹣BM ＝12BC ＝1，在Rt﹣ABM 中，根据勾股定理得，AM﹣S ﹣ACP ＝12CP•AM ＝1212，﹣S﹣D'AP＝S四边形ACPD'﹣S﹣ACP．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的特点及相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用.27.已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(﹣2，0)，B(3，0)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．【答案】（1）y＝12x2﹣12x﹣3；（2）D(0，﹣6)；（3）3≤h≤15【解析】【分析】（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝12，即可求解；（2）CH＝HD，tan﹣ADC＝23m+＝tan﹣DBC＝HDBH=，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），即可求解；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即可求解．【详解】解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣12x﹣3；（2）设CD＝m，过点D作DH﹣BC交BC的延长线于点H，则CH＝HD＝2m，tan﹣ADC＝23m+＝tan﹣DBC＝mHDBH=，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），故点D（0，﹣6）；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；平移后抛物线的表达式为：y＝12x2﹣12x﹣3﹣h，当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即﹣3＝12×9+32﹣h，解得：h＝15，故3≤h≤15．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角函数的定义及二次函数平移的特点.。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
2020-2021学年山东省济南市市中区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2．（4分）已知点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，1）3．（4分）方程x2＝4的解是（）A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝4 4．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（）A．6B．5.5C．4D．4.55．（4分）抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是（）A．直线x＝﹣2B．直线x＝﹣1C．y轴D．直线x＝1 6．（4分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（）A．12个B．24个C．32个D．28个7．（4分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sin A的值为（）A．B．C．D．8．（4分）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断9．（4分）如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ABC（）A．2：3B．4：9C．4：5D．4：2510．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°11．（4分）函数与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（）A．B．C．D．12．（4分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的是（）①该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）13．（4分）若＝3，则＝．14．（4分）如图，P是反比例函数y＝图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝．15．（4分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是．16．（4分）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为m．17．（4分）如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部分），已知正方形ABCD外切于⊙O，且边长为10米，则绿化带的周长为．（结果保留π）18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG 最小值为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x+3＝0；（2）计算：tan30°+（π﹣3.14）0﹣|﹣6|．20．（6分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．21．（6分）学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸B处测得∠ABC＝45°，沿河岸到达C处，在C处测得∠ACB＝30°，已知河宽为20米，求B、C两点之间的距离．22．（8分）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市现有甲品牌A、B、C三个口味的月饼，乙品牌有A、B、D三个口味的月饼．小明计划在甲、乙两个品牌中各选择一个口味的月饼；（1）小明在甲品牌月饼中恰好选中A口味的概率是；（2）请利用列表法或画树状图的方法，求小明选择到不同口味月饼的概率．23．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．24．（8分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．（2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．26．（12分）△ABC为等边三角形，AB＝8，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连接EF、CE，分别取EF、CE的中点M、N，连接MN、DN．（1）如图1，MN与DN的数量关系是，∠DNM＝；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，①当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，求△ADN的面积．27．（12分）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2020-2021学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【解答】解：从上面看，是一行两个矩形．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，而1×3＝﹣3×（﹣1）＝3×1＝3，﹣1×3＝﹣3，∴点（﹣1，3）在该反比例函数图象上．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．3．【分析】直接开平方法求解可得．【解答】解：∵x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求BF．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BF＝4．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．5．【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是直线x＝﹣＝1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．6．【分析】根据概率的意义，由频数＝数据总数×频率计算即可．【解答】解：∵摸到白色球的频率是，∴口袋中白色球可能有40×＝24个．故选：B．【点评】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7．【分析】在直角△AEC中，根据边角间关系，计算得结论．【解答】解：如图所示，AE＝3，CE＝4，则AC＝5．在Rt△ACE中，sin A＝＝．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，找到合适的直角三角形是解决本题的关键．8．【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵方程2x2﹣3x+1＝0中的a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．9．【分析】根据DE∥BC推出△ADE∽△ABC，再结合图形根据线段之间的和差关系推出AD：AB＝2：5，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又AD：DB＝2：3，AD+BD＝AB，∴AD：AB＝2：5，：S△ABC＝4：25，∴S△ADE故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，通常先利用相似三角形的判定定理推出三角形的相似关系，再利用相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法．10．【分析】由∠BCD＝25°，根据圆周角定理得出∠BOD＝50°，再利用邻补角的性质即可得出∠AOD的度数．【解答】解：∵∠BCD＝25°，＝，∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．11．【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞0，相矛盾，故本选项错误；B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误；C、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数的图象与一次函数的图象的特点是解答此题的关键，12．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣5，故该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5），符合题意；②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且Δ＞0，Δ＝b2﹣4ac＝20m﹣24＞0，解得：m，且m＜2，故m的取值范围为：＜m＜2，符合题意；③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当1≤x≤2时，y的最大值在x＝2处取得，故y的最大为：（m﹣2）×4+2m×4+m﹣3＝9m﹣11，故原答案错误，不符合题意；④当m＞2，x＝﹣3时，y＝9（m﹣2）﹣6m+m﹣3＝4m﹣21，当x＝﹣2时，y＝m﹣11，当﹣3＜x1＜﹣2时，则（4m﹣21）（m﹣11）＜0，解得：＜m＜11；同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：＜m＜11正确，符合题意；故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）13．【分析】根据已知条件求出x＝3y，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝3，∴x＝3y，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ad＝bc，那么＝．14．【分析】根据“P是反比例函数y＝图象上一点，矩形OAPB的面积是6”可得S矩形OAPB＝|k|＝6，由此可得k值．【解答】解：∵P是反比例函数y＝图象上一点，四边形OAPB是矩形，＝|k|，∴S矩形OAPB∵矩形OAPB的面积是6，∴|k|＝6，由图象可知，k＞0，∴k＝6故答案为6．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．16．【分析】利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意，得：＝，解得x＝12，即旗杆的高度为12m，故答案为：12．【点评】本题只要是把平行投影的问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意．17．【分析】连接OE，OF，OH，OG，根据切线的性质得到OE⊥AB，OH⊥AD，求得∠A ＝∠AHO＝∠AEO＝90°，推出∠EOF＝∠HOG＝∠GOF＝90°，DH＝AH＝OH，得到△DHH与△CFG是等腰直角三角形，根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接OE，OF，OH，OG，∵正方形ABCD外切于⊙O，∴OE⊥AB，OH⊥AD，∴∠A＝∠AHO＝∠AEO＝90°，∵OH＝OE，∴四边形AHOE是正方形，∴∠HOE＝90°，AH＝OH，同理，∠EOF＝∠HOG＝∠GOF＝90°，DH＝AH＝OH，∴△DHG与△CFG是等腰直角三角形，∴绿化带的周长为2×+2×5＝5π+10．故答案为：5π+10．【点评】本题考查了弧长的计算，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．18．【分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．证明△ADP∽△DHG，推出∠DHG＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HF时，CG的值最小，想办法求出CG即可．【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1.5，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝＝5，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故答案为．【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形核或全等三角形解决问题．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先代入三角函数值、计算零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3；（2）原式＝×+1﹣6＝1+1﹣6＝﹣4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．【分析】根据题意∠DBC＝∠A，结合图形中公共角∠DCB＝∠BCA，推出△BCD∽△ACB，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，∴△BCD∽△ACB，∴＝，即＝，解得CD＝2，故CD长为2．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，通常先从图形中寻找相等的角从而利用相似三角形的判定定理推出三角形的相似关系，再利用相似三角形的性质进行求解，注意数形结合思想方法的运用．21．【分析】根据由图可知AD⊥BC，于是∠ABD＝∠BAD＝45°，以及∠ACD＝30°，利用特殊角三角函数求出即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∠ACD＝30°．在Rt△ABD中，BD＝AD＝20米．在Rt△ACD中，CD＝AD＝20（米）．∴BC＝BD+CD＝（20+20）米．答：BC之间的距离为（20+20）米．【点评】此题主要考查了解直角三角形主要是方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．22．【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）画树状图，共有9个等可能的结果，小明选择到不同口味月饼的结果有7个，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）小明在甲品牌月饼中恰好选中A口味的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，小明选择到不同口味月饼的结果有7个，∴小明选择到不同口味月饼的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）连接OA，∵∠ADE＝28°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，即r2+（2）2＝（r+2）2，解得：r＝2，答：⊙O半径的长是2．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC和∠AOC的度数是解此题的关键．24．【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣3x），利用长方体的面积公式，可列出方程，解方程可求出x即AB的长；（2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，此故可求．【解答】解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m，（1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45，整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m；（2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48，∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10，∴≤x＜8，∵对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝m，有最大面积的花圃，即：x＝m，最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）．【点评】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．25．【分析】（1）将点C代入直线y＝x+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点C（0，2）在直线y＝x+b上，∴b＝2，∴一次函数的表达式为y＝x+2；∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，∴a＝3，∴点A（1，3），∵点A（1，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝2，∴B（﹣2，0），C（0，2），+S△BOC＝+＝1+2＝3；∴△ABO的面积＝S△AOC（3）由（2）知，直线AB的表达式为y＝x+2，反比例函数的表达式为y＝，设点M（m，），N（n，n+2），若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，则①以OC和MN为对角线时，∴＝0，＝，∴m＝，n＝﹣或m＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），n＝，∴N（﹣，﹣+2），②以CN和OM为对角线时，∴＝，＝，∴m＝n＝﹣2+或m＝n＝﹣2﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），∴N（﹣2+，），③以CM和ON为对角线时，∴，＝，∴m＝n＝或m＝n＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），∴N（，2+），即满足条件的点N的坐标为（﹣，﹣+2）或（﹣2+，）或（，2+）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用中点坐标公式建立方程组求解是解本题的关键．26．【分析】(1)利用三角形中位线定理以及等边三角形的性质即可解决问题．（2）①如图2中，连接BE,CF,延长BE交CF的延长线与T．证明△BAE≌△CAF(SAS),可得结论．②当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．想办法求出AD,NH即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC,∵EM＝MF,EN＝NC,BD＝DC,∴MN∥FC,DN∥BE,MN＝CF,DN＝BE,∵AE＝EB,AF＝CF,∴BE＝CF,EF＝BC＝AC＝CF,∴MN＝DN,∵CA＝CB,AE＝BE,∴CE⊥AB,∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×60°＝30°,∴∠CEB＝90°,∵DN∥BE,MN∥CF,∴∠END＝90°,∠ENM＝∠ECF＝30°,∴∠DNM＝90°+30°＝120°．故答案为：MN＝DN,120°．(2)①成立．理由：如图2中，连接BE,CF,延长BE交CF的延长线与T,设AF交BT于点O．∵∠BAC＝∠EAF＝60°,∴∠BAE＝∠CAF,∵AB＝AC,AE＝AF,∴△BAE≌△CAF(SAS),∴BE＝CF,∠ABE＝∠ACF,∵∠AOB＝∠COT,∴∠T＝∠BAO＝60°,∴∠EBC+∠TCB＝120°,∵EM＝MF,EN＝NC,BD＝DC,∴MN∥FC,DN∥BE,MN＝CF,DN＝BE,∴MN＝DN,∠NDC＝∠EBC,∠ENM＝∠ECT,∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠DCN+∠ECF＝∠TBC+∠TCB＝120°．②（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．∵AJ＝CJ，EN＝NC，∴JN＝AE＝，∵BJ＝AD＝2，∴BN≤BJ+JN，∴BN≤4+2，∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．∵KJ＝AJ•tan30°＝，JN＝2，∴KN＝+2，在Rt△HKN中，∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，∴HN＝NK•sin60°＝(+2)×＝2+，＝•AD•NH＝×4×(2+)＝4+6．∴S△ADN【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．27．【分析】（1）根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；（2）先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；（3）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点B'，然后结合正方形的性质列出方程求a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．【解答】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，﹣2），（1，2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，∴B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，∵抛物线L的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点B'（3，1﹣3a），∴BB'＝3﹣1＝2，∵四边形BB'C'C是正方形，∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，解得：a＝0（舍）或a＝．②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，∴整点数也是关于x轴对称出现的，∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，（i）当a＞0时，∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，解得：＜a≤1；（ii）当a＜0时，∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，解得：﹣≤a ＜﹣，综上所述：＜a≤1或﹣≤a ＜﹣．【点评】本题考查了二次函数的顶点式和顶点坐标、二次函数的图象变换、正方形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，第（3）题第②问的解题的关键是根据整数点为11个和封闭区域的对称性分析封闭区域内在x轴上整点的个数，然后抛物线L的开口方向进行分类讨论．第15页（共15页）。
2019-2020学年山东省济南市历城区九年级(上)期末数学试卷解析版
2019-2020学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2．（4分）一元二次方程x2+x＝0的根的是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝0D．x1＝x2＝13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．（4分）如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）若反比例函数的图象经过（﹣1，3），则这个函数的图象一定过（）A．（﹣3，1）B．（﹣，3）C．（﹣3，﹣1）D．（，3）6．（4分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85%左右，则口袋中红色球可能有（）A．34个B．30个C．10个D．6个7．（4分）如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m8．（4分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．9．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF ＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．10．（4分）二次函数γ＝ax2+bx+c的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）x﹣3﹣2﹣1012y﹣12﹣50343A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞311．（4分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．212．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D 的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论，其中正确的个数为（）①△CMP是直角三角形②AB＝BP③PN＝PG④PM＝PF⑤若连接PE，则△PEG∽△CMDA．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）若＝2，则＝．14．（4分）已知点A（3，y1）、B（2，y2）都在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则y1与y2的大小关系是．15．（4分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+5＝．16．（4分）如图，等腰直角三角形AOC中，点C在y轴的正半轴上，OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝的图象于点F，过点F作FD⊥OA，交OA与点E，交反比例函数与另一点D，则点D的坐标为．17．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示，已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，过点A4作A4A5∥x轴交抛物线于点A5，则点A5的坐标为．18．（4分）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于．三、解答题（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0（2）计算：tan30°+（π+4）0﹣|﹣|20．（6分）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．21．（6分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，拍无人机从A处观测得某建筑物顶点O时俯角为30°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC 边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．23．（8分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）（1）分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；（2）通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？24．（10分）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．学生选修课程统计表课程人数所占百分比声乐14b%舞蹈816%书法1632%摄影a24%合计m100%根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝，b＝．（2）求出a的值并补全条形统计图．（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．25．（10分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．26．（10分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．（1）如图1，直按写出的值；（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当BE＝BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA＝ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝．27．（12分）若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C（3，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝5，求点P的坐标；（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．2019-2020学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．【解答】解：从上往下看，得两个长方形的组合体．故选：D．2．【解答】解：∵一元二次方程x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，故选：B．3．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，则cos B＝＝，故选：B．4．【解答】解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；B、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项B正确；C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；D、a：x＝b：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项D不正确；故选：B．5．【解答】解：∵反比例函数的图象经过（﹣1，3），∴k＝﹣1×3＝﹣3．∵﹣3×1＝﹣3，﹣×3＝﹣1，﹣3×（﹣1）＝3，×3＝1，∴反比例函数的图象经过点（﹣3，1）．故选：A．6．【解答】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%＝6个．故选：D．7．【解答】解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE＝9m，AB＝1.5m，∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝9m，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，∴CE＝CD+DE＝3+1.5故选：C．8．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选：C．9．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．10．【解答】解：∵抛物线经过点（0，3），（2，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），抛物线开口向下，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．11．【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA，∴＝＝，∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝1，∵点B在反比例函数y＝的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4．故选：A．12．【解答】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①符合题意；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴AM＝DM＝AD＝x＝BN＝NC，∴CM＝＝x，∵∠PMC＝90°＝∠CNM，∠MCP＝∠MCN，∴△MCN∽△NCP，∴CM2＝CN•CP，∴3x2＝x×CP，∴CP＝x，∴BP＝x∴AB＝BP，故②符合题意；∵PN＝CP﹣CN＝x，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴BP＝PG＝x，∴PN＝PG，故③符合题意；∵AD∥BC，∴∠AMP＝∠MPC，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴∠AMP＝∠PMF，∴∠PMF＝∠FPM，∴PF＝FM，故④不符合题意，如图，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴AB＝GE＝x，BP＝PG＝x，∠B＝∠G＝90°∴＝，∵＝＝，∴，且∠G＝∠D＝90°，∴△PEG∽△CMD，故⑤符合题意，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝＝2；故答案为：2．14．【解答】解：∵函数y＝﹣（x+1）2+2的对称轴为x＝﹣1，∴A（3，y1）、B（2，y2）在对称轴右侧，∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，3＞2，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．15．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，∴m2﹣m+5＝1+5＝6．故答案为6．16．【解答】解：∵OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝的图象于点F，∴F的纵坐标为4，代入y＝求得x＝，∴F（，4），∵等腰直角三角形AOC中，∠AOC＝45°，∴直线OA的解析式为y＝x，∴F关于直线OA的对称点是D点，∴点D的坐标为（4，），故答案为（4，）17．【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9），故答案为（﹣3，9）．18．【解答】解：两扇形的面积和为：＝π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：××＝1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故答案为：π﹣2．三、解答题（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、19．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝7，即（x﹣2）2＝7，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）原式＝3×+1﹣＝1．20．【解答】证明：∵菱形ABCD，∴BA＝BC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．21．【解答】解：过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，根据题意可知，∠OAC＝30°，∠OBC＝45°，AB＝10米，AD＝45米，在Rt△BCO中，∠OBC＝45°，∴BC＝OC，设OC＝BC＝x，则AC＝10+x，在Rt△ACO中，tan30°＝＝＝，解得x＝5+5，则这栋楼的高度h＝AD﹣CO＝45﹣5﹣5＝（40﹣5）（米）．22．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．23．【解答】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得．∴y1＝﹣x+7．设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+13．（2）收益W＝y1﹣y2＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴当x＝5时，W最大值＝．故5月出售每千克收益最大，最大为．24．【解答】解：（1）m＝8÷16%＝50，b%＝×100%＝28%，即b＝28，故答案为：50、28；（2）a＝50×24%＝12，补全图形如下：（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）．（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为＝．25．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12；（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离＝BH＝2，∴S△ABC＝×3×2＝3；②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝．26．【解答】解：（1）∵∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠ABD＝45°，∴BE＝EF，∴BF＝BE，∴DF＝BD﹣BF＝AB﹣BE＝（AB﹣BE）＝AE，∴＝，故答案为；（2）DF＝AE，理由：由（1）知，BF＝BE，BD＝AB，∴，由旋转知，∠ABE＝∠DBF，∴△ABE∽△DBF，∴＝，∴DF＝AE；（3）如图3，连接DE，CE，∵EA＝ED，∴点E在AD的中垂线上，∴AE＝DE，BE＝CE，∵AB＝BE，∴CE＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴BE＝CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE＝60°，如图3，∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，即：α＝30°，如图4，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+60°＝150°，即：α＝150°，故答案为30°或150°．27．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（4，0），点C（3，﹣2），∴解得：∴二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，设点P（a，a2﹣a﹣2），则PD＝a2﹣a﹣2，∵二次函数y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点B，∴点B（0，﹣2），设BP解析式为：y＝kx﹣2，∴a2﹣a﹣2＝ka﹣2，∴k＝a﹣，∴BP解析式为：y＝（a﹣）x﹣2，∴y＝0时，x＝，∴点E（，0），∵S△PBA＝5，∴×（4﹣）×（a2﹣a﹣2+2）＝5，∴a＝﹣1（不合题意舍去），a＝5，∴点P（5，3）（3）如图2，延长BM到N，使BN＝BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，∵BN＝BO，∠ABO＝∠ABM，AB＝AB，∴△ABO≌△ABN（SAS）∴AO＝AN，且BN＝BO，∴AB垂直平分ON，∴OH＝HN，AB⊥ON，∵AO＝4，BO＝2，∴AB＝＝＝2，∵S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OH，∴OH＝＝，∴AH＝＝＝，∵cos∠BAO＝，∴＝，∴AF＝，∴HF＝＝＝，OF＝AO﹣AF＝，∴点H（，﹣），∵OH＝HN，∴点N（，﹣）设直线BN解析式为：y＝mx﹣2，∴﹣＝m﹣2，∴m＝﹣，∴直线BN解析式为：y＝﹣x﹣2，∴x2﹣x﹣2＝﹣x﹣2，∴x＝0（不合题意舍去），x＝，∴点M坐标（，﹣），∴点M到y轴的距离为．。
专题05 二次函数的图象与性质(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题05 二次函数的图象与性质【典型例题】1．（2020·福建省连江第三中学初三月考）在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx ＋2（k ≠0）的图象大致如图（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线()232y x =-+3可以看作把抛物线23y x =向_______平移_______个单位，向_______平移_______个单位得到． 【答案】右 2 上 33．（2020·湖南长沙·初三开学考试）已知一个二次函数的图象经过点()1,0A -、()3,0B 和()0,3C -三点. （1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.【答案】（1）设二次函数解析式为()()13y a x x =+-，∵抛物线过点()0,3C -，∴()()30103a -=+-，解得1a =，∴()()21323y x x x x =+-=--.（2）由（1）可知：223y x x =--， ∵a =1,b =-2,c =-3, ∴对称轴是直线12b x a =-=，244ac ba -=-4,顶点坐标是()1,4-.4．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）已知一条抛物线分别过点(3,2)-和(0,1)，且它的对称轴为直线2x=，试求这条抛物线的解析式.【答案】解:∵抛物线的对称轴为2x =,∴可设抛物线的解析式为2(2)y a x b =-+把(3,2)-,(0,1)代入解析式得()()2232=202=1a b a b ⎧-+-⎪⎨-+⎪⎩， 解得1a =,3b =-,∴所求抛物线的解析式为2(2)3y x =-- 【专题训练】一、选择题1．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）函数()221y x ++＝-的顶点坐标是（） A ．(2,-1) B ．(-2,1) C ．(-2,-1) D ．(2,1)【答案】B2．（2020·江苏崇川·期末）抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x +1)2+3 B ．y ＝(x +1)2﹣3 C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3 D ．y ＝(x ﹣1)2+3【答案】D3．（2020·福建省连江第三中学初三月考）二次函数y ＝﹣（x －2）2＋1的图象中，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣2【答案】B4．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）若函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣4x +2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为（ ）． A ．-1 B ．2 C ．-1或2 D ．-1或2或1【答案】D5．（2021·福建学业考试）若二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像对称轴为直线12x =-经过不同的5点(),A p q ，()00,B y ，()12,C y ，)2D y ，()1,E p q --，则0y ，1y ，2y 的大小关系（ ）A ．012y y y >>B ．012y y y <<C ．021y y y >>D ．102y y y >>【答案】C6．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a +b +c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③b ＞0；④4a ﹣2b +c ＜0；⑤a +c ＜23，其中正确结论的个数是（ ）A ．②③④B ．①②⑤C ．①②④D ．②③⑤【答案】B7．（2020·台州市椒江区前所中学月考）关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，若二次函数212y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，设2t a b =+，则t 的取值范围是（ ）A．1142t<<B．114t-<≤C．1122t-≤<D．112t-<<【答案】D8．（2020·湖南长沙·初三开学考试）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．﹣19或315B．6或315或－10C．﹣19或6D．6或315或－19【答案】C9．（2020·湖南长沙·初三开学考试）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D10．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1<y2，（）A．若x1<x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1<x2，则x1+x2﹣2>0C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0【答案】D二、填空题11．（2020·湖南隆回·初三一模）二次函数243y x x =--+的最大值为_________.【答案】712．（2020·湖南广益实验中学开学考试）二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是 ．【答案】（1，﹣2）．13．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线(2)(3)y x x =+-的开口______，对称轴是_____________，顶点是_______． 【答案】向下 直线x =12 11(,6)2414．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知抛物线22y x mx =+-的对称轴为x =1，则m =______． 【答案】-215．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x 米，广告牌的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系式为________________．【答案】210S x x =-+16．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．【答案】﹣3＜x ＜117．（2020·湖南广益实验中学开学考试）在平面直角坐标系中，若点P (a ，b )的坐标满足a ＝b ≠0，则称点P 为“对等点”．已知二次函数y ＝x 2+mx ﹣m 的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为_____．【答案】118．（2020·湖南长沙·初三开学考试）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点1(,0)2-，对称轴为直线1,x =下列5个结论：0abc <①；240a b c -+=②；20a b +>③；230c b -<④；()a b m am b +≤+⑤．其中正确的结论为_________________． (注：只填写正确结论的序号)【答案】②⑤三、解答题19．（2020·呼和浩特市敬业学校初二期末）直线33y x =-+与x 轴y 轴分别交于点A ,B ，抛物线2(2)y a x k =-+经过点A ,B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P , （1）求,a k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ,使ABQ ∆是以AB 为底边的等腰三角形，求点Q 的坐标；【答案】解：（1）∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（1，0），B（0，3）．又∵抛物线y=a（x-2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），∴43a ka k+=⎧⎨+=⎩，解得11ak=⎧⎨=-⎩，故a，k的值分别为1，-1；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+（3-m）2，∴m=2，∴Q点的坐标为（2，2）．20．（2020·云南昆明·初三学业考试）如图，抛物线y ＝ax 2+bx 过点P （﹣1，5），A （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上有一点B ，当P A ⊥PB 时，求点B 的坐标．【答案】（1）由题意，把点(1,5),(4,0)P A -代入2y ax bx =+得51640a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，则抛物线的解析式为24y x x =-；（2）如图，过P 点作PD x ⊥轴于D ，BE PD ⊥于E ， ∵(1,5),(4,0)P A -，∴5,1,4PD OD OA ===，∴145AD OD OA =+=+=，∴5PD AD ==， 45APD DAP ∴∠=∠=︒，设2(,4)B m m m -，则21,45BE m PE m m =-=+-，点B 在第一象限内的抛物线上，4m ∴>，∵PA PB ⊥，即90APB ∠=︒，∴18045BPE APD APB ∠=︒-∠-∠=︒，∴PBE △是等腰直角三角形，∴BE PE =，即2145m m m -+=-，整理得：2560m m --=，解得6m =或14m =-<（舍去），此时22464612m m --=⨯=，故点B 的坐标为(6,12)B ．21．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知二次函数的图像过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点．(1)求二次函数的解析式(2)判断点A （-2，5）是否在这个二次函数的图像上 ．【答案】解：(1)2223(1)2y x x x =++=++，∴顶点坐标为（-1，2）设2(1)2(0)y a x a =++≠，代入（0，0）得，02a =+，解得，2a =-∴二次函数的解析式为22(1)2y x =-++(2)当x =-2时，y =0，∴点A （-2，5）不在这个二次函数的图像上22．（2020·江苏如东·初三二模）已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a >0）的对称轴为直线x =1，且与x 轴只有一个公共点．（1）试用含a 的式子表示b 和c ；（2）若（x 1，y 1），（3，y 2）是该抛物线上的两点，y 2<y 1，求x 1的取值范围；（3）若将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线经过点（3，6），且当p ≤x ≤q 时，新抛物线对应的函数有最小值2p ，最大值2q ，求p ﹣q 的值．【答案】（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）的对称轴为直线x =1， ∴﹣2b a=1， ∴b =﹣2a ，∵抛物线与x轴只有一个公共点．∴b2﹣4ac=0，即(﹣2a)2﹣4ac=0，∴c=a；（2）∵（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，对称轴为x=1，∴（3，y2）关于对称轴的对称点为（﹣1，y2），∵a＞0，抛物线开口向上，∴y2＜y1时，x1的取值范围是x1＞3或x1＜﹣1；（3）由（1）知：抛物线y=ax2﹣2ax+a=a(x﹣1)2（a＞0），将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线为y=a(x﹣1)2+2，∵经过点（3，6），∴6=4a+2，解得a=1，∴新抛物线为y=(x﹣1)2+2，∴当x=1时，抛物线有最小值为2，∴2p=2，解得p=1，∴1≤x≤q，∵对称轴为x=1，∴当x=q时，在p≤x≤q范围内有最大值2q，∴2q=（q﹣1）2+2，解得q=3或1（舍去），∴p﹣q=1﹣3=﹣2．23．（2020·浙江金华·初三其他）已知：等腰△ABC的底边在x轴上，其中点C与平面直角坐标系原点重合，点A为（4，0），点B，点D是AB边的中点．抛物线y＝ax2+bx+c始终经过A，C两点，（1）当△ABC是正三角形时，点B在抛物线上（如图）．求抛物线的函数表达式；个单位后，发现抛物线经过点D，求n的值；（2）若将（1）中抛物线向下平移4（3）若将△ABC ABC n的值．【答案】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴AC＝BC＝AB＝4，∴点B（2，），设抛物线y＝ax（x﹣4）且过（2，），∴＝2a （2﹣4），∴a∴抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2+； （2）∵AB ＝AC ，点A 为（4，0），点C （0，0），∴点B （2 n ）， ∵点D 是AB 边的中点，∴点D （3n ），个单位，∴平移后的抛物线解析式为：y ＝﹣2x 2+﹣4， ∵平移后的抛物线经过点D ，∴2n ＝﹣2×9+3﹣4， ∴n ＝32；（3）∵△ABC 的重心坐标为（2），∴△ABC 向上平移3个单位后，重心坐标为（2，3 n +3），∵y2+x﹣2）2+∴顶点坐标为（2，，个单位，∵平移后△ABC的重心与抛物线顶点也相距3∴|∴n＝4或6．24．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过A (1，0)，B (3，0)，∴设抛物线解析式为：y ＝a (x ﹣1)(x ﹣3)，∵抛物线y ＝a (x ﹣1)(x ﹣3)(a ≠0)的图象经过点C (0，6)，∴6＝a (0﹣1)(0﹣3)，∴a ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝2(x ﹣1)(x ﹣3)＝2x 2﹣8x +6；（2）∵y ＝2x 2﹣8x +6＝2(x ﹣2)2﹣2，∴顶点M 的坐标为(2，﹣2)，∵抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称，∴点N (2，2)，设直线AN 解析式为：y ＝kx +b ，由题意可得：022=+⎧⎨=+⎩k b k b ， 解得：22k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线AN 解析式为：y ＝2x ﹣2，联立方程组得：222286=-⎧⎨=-+⎩y x y x x ， 解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2246=⎧⎨=⎩x y ，∴点D （4，6），∴S △ABD ＝12×2×6＝6， 设点E (m ，2m ﹣2)，∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分，∴S △ABE ＝13S △ABD ＝2或S △ABE ＝23S △ABD ＝4， ∴12×2×(2m ﹣2)＝2或12×2×(2m ﹣2)＝4， ∴m ＝2或3，∴点E (2，2)或(3，4)；（3）若AD 为平行四边形的边，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD ＝PQ ，∴x D ﹣x A ＝x P ﹣x Q 或x D ﹣x A ＝x Q ﹣x P ，∴x P ＝4﹣1+2＝5或x P ＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)；若AD 为平行四边形的对角线，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD 与PQ 互相平分， ∴22++=P Q A D x x x x ，∴x P ＝3，∴点P 坐标为(3，0)，综上所述：当点P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．25．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）如图1，抛物线()21y x a x a -++＝与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，若AB ＝4． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E 是第三象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ∥AC 交抛物线于点F ，过E 作EG ⊥x 轴交AC 于点M ，过F 作FH ⊥x 轴交AC 于点N ，当四边形EMNF 的周长最大值时，求点E 的横坐标；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q 、C 、B 、O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）依题意得：()21x a x a ++-=0，则12121,x x a x x a +=+=，则AB 4==，解得：a ＝5或﹣3，抛物线与y 轴负半轴交于点C ，故a ＝5舍去，则a ＝﹣3，则抛物线的表达式为：223y x x +＝﹣…①；（2）由223y x x +＝﹣得：点A 、B 、C 的坐标分别为：()3,0-、()()1,00-3、，， 设点E ()2,23m m m +﹣，OA ＝OC ，故直线AC 的倾斜角为45°，EF ∥AC ，直线AC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣3，则设直线EF 的表达式为：y ＝﹣x +b ，将点E 的坐标代入上式并解得：直线EF 的表达式为：y ＝﹣x +()233m m +﹣…②，联立①②并解得：x ＝m 或﹣3﹣m ，故点F ()23,4m m m --+，点M 、N 的坐标分别为：(),3m m --、()33m m --+，，则EF ))23F E x x m MN -=--=，四边形EMNF 的周长C ＝ME +MN +EF +FN ＝(226m m --+-∵﹣2＜0，故S 有最大值，此时m ＝32+-，故点E 的横坐标为：32+-； （3）①当点Q 在第三象限时，当QC 平分四边形面积时， 则1Q B x x ==，故点Q ()1,4--；当BQ 平分四边形面积时， 则1111,133222OBQ Q Q QCBO S y S x =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯四边形，则11121133222Q Q y x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭， 解得：32Q x =-，故点Q 315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②当点Q 在第四象限时，同理可得：点Q ⎝⎭；综上，点Q 的坐标为：()1,4--或315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或⎝⎭．。
精品解析：山东省济南市平阴县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(原卷版)
2020—2021学年第一学期期末学习诊断检测九年级数学试题一．选择题1. 如图所示的几何体的主视图为（ ）A. B. C. D.2. 若反比例函数y ＝﹣1x 的图象经过点A （2，m ），则m 的值是（ ）A. 12B. 2C. ﹣12 D. ﹣23. 在Rt ABC 中，90,C B α∠=∠=，若BC m =，则AB 的长为（ ）A. cos mα B. cos m α C. sin m α D. tan m α4. 抛物线2(1)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）A. （1，﹣3）B. （1，3）C. （﹣1，3）D. （﹣1，﹣3） 5. 如图，点A 为O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果60BAC ∠=︒，1OD =，则BC 为（ ）3 B. 2 C. 3 D. 46. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A 的值为（ ）A. 35B. 45C. 13 D. 43 7. 一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（ ）A. 10%B. 15%C. 18%D. 20%8. 对于反比例函数2y x =，下列说法正确的是（ ）A. 图象经过点（2，﹣1）B . 图象位于第二、四象限C. 当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小D. 当 x ＞0 时，y 随 x 增大而增大9. 函数y ＝﹣2x 2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）A. y ＝﹣2（x ﹣1）2+2B. y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣2C. y ＝﹣2（x +1）2+2D. y ＝﹣2（x +1）2﹣210. 若点()()()1231,,1,,3,A y B y C y -在反比例函数3y x =-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（） A. 123y y y << B. 231y y y << C.321y y y << D. 213y y y <<11. 一次函数y=ax+b 与反比例函数y=cx 在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()A. B. C. D.12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题13. 已知关于x的一元二次方程2a x x--+=有两个不相等的实数根，则a的取值范是(1)210__________________．14. 一个扇形的面积为2π，半径为10cm，则此扇形的弧长为_________cm．25cm15. 用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：x … 1 2 3 4 …y=ax2+bx+c …0 ﹣1 0 3 …那么该二次函数在x=0时，y=_____．16. 如图，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______．17. 如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=kx（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为30，则k=__________．18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③3a+c＜0；④m 为任意实数，则m（am-b）+b≤a；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=-2，其中正确的有______（只填序号）．二．解答题19. 计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．20. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．21. 某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC 的长度．（结果保留根号）22. 一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从口袋中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ；（2）先从口袋中随机摸出一个球，不放回，再从中口袋中随机摸出一个球．请用列举法（画树状图或列表）求摸出一个红球和一个白球的概率．23. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，AC 平分∠DAE 交⊙O 于点C ，且AE ⊥DC 的延长线，垂足为点E ．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，BD ＝2，求CE 的长．24. 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度移动，同时点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P ，Q 两点出发几秒后，可使△PBQ 的面积为8cm 2．（2）设P ，Q 两点同时出发移动的时间为t 秒，△PBQ 的面积为Scm 2，请写出S 与t 的函数关系式，并求出△PBQ 面积的最大值．25. 如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是一次函数y kx b =+和反比例函数m y x =的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求∆AOB 的面积；（3）求不等式0m kx b x+-<的解集（请直接写出答案）．26. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，8OA =，4OC =，点P 为对角线AC 上一动点，过点P 作PQ PB ⊥，PQ 交x 轴于点Q ．（1）tan ACB ∠=_________；（2）在点P 从点C 运动到点A 的过程中，PQ PB的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将QAB ∆沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合，请求出PC 的长为多少？27. 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线122y x=+与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是32x=-，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，P C．求△P AC的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上有一点M，过点M作MN垂直x轴于点N，若以A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点M的坐标．。
2020-2021学年山东省济南市槐荫区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）已知＝，则的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（）A．5B．6C．7D．84．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，AC的长是（）A．3B．6C．9D．125．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°6．（4分）二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A．B．C．D．7．（4分）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣x2+x+，则小强此次成绩为（）A．8米B．10米C．12米D．14米8．（4分）将函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（）A．y＝B．y＝C．y＝+1D．y＝﹣1 9．（4分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x3＜x1＜x2 10．（4分）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝11．（4分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，点D为射线AO上任意一点（不与点A重合），以点D 为圆心的圆始终与AB所在直线相切，在点D沿着射线AO平移的过程中，⊙D与x轴相切时，其半径为（）A．B．3C．或3D．2或3 12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成的投影为BC．若树高AB＝2m，树影BC ＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为m．14．（4分）如图所示，∠1是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠1的值是．15．（4分）如图，直线AB过原点分别交反比例函数y＝于A、B，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的面积为．16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．17．（4分）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连接OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为．18．（4分）如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上任意一点，CF⊥AE于F，则线段FG的长度的最小值为．三、解答题（共9小题，共78分）19．（6分）计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．20．（6分）如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是；（2）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．（1）证明：AD＝3BD；（2）求弧BD的长度；（3）求阴影部分的面积．23．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求点A到直线BC的距离．24．（10分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC 可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE 的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）25．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，n）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；（2）当y1＜y2，时，自变量x的取值范围为；＝S△AOB时，请求出点P的坐标．（3）点P是x轴上一点，当S△P AC26．（12分）如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．2020-2021学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．【点评】此题主要考查了比例的性质，用同一未知数表示出各数是解题关键．2．【分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图进行判断即可．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．3．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求EF的长．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，即＝，∴EF＝6．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．【解答】解：∵∠C＝90°，cos A＝＝，AB＝10，∴AC＝6．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．5．【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．6．【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．【解答】解：∵a＝2＞0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．故选：C．【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．7．【分析】根据实心球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：在y＝﹣x2+x+中，当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝10，即小强此次成绩为10米，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．8．【分析】由于把双曲线平移，k值不变，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求解．【解答】解：将函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是y＝，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的图象，注意：平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．9．【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y＝，求得x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．【解答】解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝的图象上，∴﹣5＝，即x1＝﹣2，2＝，即x2＝5；5＝，即x3＝2，∵﹣2＜2＜5，∴x1＜x3＜x2；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．10．【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，∴OC＝2，∠COB＝60°，过C作CE⊥OB于E，则∠OCE＝30°，∴OE＝OC＝1，CE＝，∴点C的坐标为（﹣1，），∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，∴＝，得k＝﹣，即y＝﹣，故选：B．【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．11．【分析】如图1，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的上方，即⊙D是△ABC的内切圆，连接BD，由△ABC是边长为6的等边三角形，得到∠DBO＝30°，BO＝3，求得半径OD＝BO•tan30°＝；如图2当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的下方，设⊙D与直线AB相切于E，连接DE，有△ABC是边长为6的等边三角形，得到∠EAD＝30°，AO＝3，∠AED＝90°求得半径DE＝3．【解答】解：如图1，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的上方，即⊙D是△ABC的内切圆，连接BD，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠DBO＝30°，BO＝3，∴OD＝BO•tan30°＝；如图2，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的下方，设⊙D与直线AB相切于E，连接DE，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠EAD＝30°，AO＝3，∠AED＝90°∴DE＝AD＝（3+DE），∴DE＝3，∴⊙D的半径为；或3，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形的关系，等边三角形的性质，三角函数，正确的画出图形是解题的关键．12．【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴，．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．方法二：设抛物线对称轴为x0，∵ab＜0，x0＝﹣，∴x0＞0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴2x0＞x1+x2，∴x0﹣x1＞x2﹣x0，∵a﹣b2＞0，∴a＞0，抛物线开口向上，∴y1＞y2．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13．【分析】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴＝，∴＝，∴OP＝＝5（m），故答案为：5．【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．14．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC直角三角形，然后利用正弦的定义求解．【解答】解：如图，∵AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴sin∠1＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．也考查了勾股定理的逆定理．15．【分析】证明△BOC的面积＝△AOC的面积，而△AOC的面积＝|k|＝×6＝3，即可求解．【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|＝×6＝3，则△ABC的面积为6，故答案为6．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|．16．【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB，∴△ABP∽△EDP，∴，∴，∴，∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴△BPQ∽△DBC，∴，∵CD＝2，∴PQ＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．17．【分析】根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE＝∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x，∴顶点A的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为E．如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE＝，tan∠EOP＝，∵OA⊥OP，∴∠OAE＝∠EOP，∴＝，∵AE＝1，OE＝2，∴＝，解得PE＝4，∴P（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．18．【分析】连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，由垂径定理得OA＝OB＝AB，易证∠GCA＝∠GAC，求出sin∠OAG＝，OA＝2，得∠OAG＝30°，AB＝4，再由含30°角直角三角形的性质得AC＝2OA＝4，MG＝AG＝2，然后由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的⊙M上，由直角三角形的性质得出MF＝AC＝2，当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，即可得出结果．【解答】解：连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，如图所示：∵G（0，2），∴OG＝2，GO⊥AB，∴OA＝OB＝AB，∵⊙G半径为4，∴AG＝CG＝4，∴∠GCA＝∠GAC，在Rt△OAG中，sin∠OAG＝＝＝，OA＝＝2，∴∠OAG＝30°，AB＝2OA＝4，∴∠AGO＝90°﹣30°＝60°，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC＝60°，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴OA＝AC，∴AC＝2OA＝4，MG＝AG＝×4＝2，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，∵GM⊥AC，∴AM＝CM，∴MF＝AC＝2，当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值为：FM﹣MG＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题（共9小题，共78分）19．【分析】先根据特殊角的三角函数值得到原式＝2×﹣××+（）2，然后计算二次根式的混合运算．【解答】解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键．20．【分析】（1）利用位似的性质求出OA1与OA的比得到位似比；（2）延长OB到B1使OB1＝3OB，延长OC到C1使OC1＝3OC，从而得到△A1B1C1．【解答】解：（1））△A1B1C1与△ABC的位似比＝OA1：OA＝3：1＝3；故答案为3；（2）如图，△A1B1C1即为所求．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．21．【分析】根据两边成比例夹角相等即可证明．【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝4，∵AC＝8，CE＝5，∴AE＝3，∴，，∴，∵∠EAD＝∠BAC，∴△AED∽△ABC．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．22．【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；（2）直接利用弧长公式求解即可；﹣S△COD”求解即可．（3）利用“阴影部分的面积＝S扇形COD【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD；（2）由（1）得∠B＝60°，∴OC＝OD＝OB＝2，∴弧BD的长为＝；（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，∴CD＝BC＝2，﹣S△COD＝﹣×2×1＝﹣．图中阴影部分的面积＝S扇形COD【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），可以求得这个二次函数的表达式；（2）根据题意和（1）中的函数解析式可以得到点C的坐标，从而可以得到OB和OC 的关系，从而可以得到∠CBO的度数，从而可以求得点A到直线BC的距离．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），∴，解得，即这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）作AD⊥BC于点D，∵二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点C的坐标为（0，3），∵B（3，0），∴BO＝CO＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠DBA＝45°，∵AB＝2，∴AD＝AB•sin∠DBA＝2×sin45°＝2×＝．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．【分析】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得点E滑动的距离．【解答】解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，∴，＝cos37°，∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），∴DE＝＝＝3（cm）．答：连接杆DE的长度为cm．（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，∵∠ABC＝127°，∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，∴BH＝3cm，∴DH＝4cm，在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，∴（EB+3）2+16＝90，∴EB＝（）（cm），∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．【点评】本题属于解直角三角形的应用题，出题角度新颖，既贴近生活，又需要借助三角函数勾股定理等数学知识才能解决，难度中等偏大．25．【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOBS△P AC＝S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）将A（2，8）代入得，解得k＝16，∴反比例函数的解析式为，把B（8，n）代入得，n＝＝2，∴B（8，2），将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，解得，∴一次函数为y＝﹣x+10；（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，故答案为x＞8或0＜x＜2；（3）由题意可知OA＝OC，＝2S△AOP，∴S△APC把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，∴D（10，0），∴，∵，＝24，∴2S△AOP∴，即，∴OP＝3，∴P（3，0）或P（﹣3，0）．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．26．【分析】（1）①证明△FBC∽△ECD可得结论．②想办法证明∠AEB＝∠AGB，可得sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，所以PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，推出BP＝PS，由∠BCS＝90°，推出PC＝PS＝PB，推出PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．27．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，经检验x＝4是分式方程的增根，∴m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。
山东省济南市章丘区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
12．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（ ）
山东省济南市章丘区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．﹣3﹣（﹣2）的值是（ ）
A．﹣1B．1C．5D．﹣5
2．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）.
A． B． C． D．
3．将6497.1亿用科学记数法表示为（ ）
A．6.4971×1012B．64.971×1010C．6.5×1011D．6.4971×1011
4．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
5．估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
A．6＜t≤8B．6≤t≤8C．10＜t≤12D．10≤t≤12
二、填空题
13．因式分解： _______；
14．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 , , 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．
15．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．
16．若m﹣ ＝3，则m2+ ＝_____．
2020-2021学年济南市章丘区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年济南市章丘区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 下列四个立体图形中，主视图与其他三个不同的是( ) A. B. C. D.2. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD =60°，BD =6，则对角线AC 的长为( )A. 3√3B. 6√3C. 12D. 12√33. 一元二次方程2x 2+6x +3=0经过配方后可变形为( )A. (x +3)2=6B. (x −3)2=12C. (x +32)2=34D. (x −32)2=154 4. 由3a =4b(a ≠0)，可得比例式( )A. b 3=4aB. a b =43C. a 4=3bD. a b =34 5. 在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小菁四位同学用投掷一枚图钉的方法估计顶尖朝上的概率，他们实验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中，哪位同学的实验相对科学( )A. 小明B. 小亮C. 小颖D. 小菁 6. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 为Rt △，∠OAB =90°，OA 与x轴重合，反比例函数y =2x (x >0)的图象经过OB 中点E 与AB 相交于点D ，E 点的横坐标为1，则BD 的长( ) A. 4B. 3C. 2D. 17.已知函数①②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A(−2,a)，点B(4,b)在图象上，则a<b;④若点P(x,y)在图象上，则点P(−x,−y)也在图象上，则下面选项正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D.①②③④8.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=13，AD=6，那么BC的值为()A. 18B. √61C. 2√61D. 129.如图，在⊙O中，AC//OB，∠BAO=m°，则∠BOC的度数为()A. m°B. 2m°C. (90−m)°D. (180−2m)°10.如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是()A. ①②③④B. ④③②①C. ④③①②D. ②③④①11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=4√3，∠AEO=120°，则FC的长度为()A. 1B. 2C. √2D. √312.对于二次函数y=−x2−4x+5，以下说法正确的是()A. x<−1时，y随x的增大而增大B. x<−5或x>1时，y>0C. A(−4,y1)，B(−√2,y2)在y=−x2−4x+5的图象上，则y1<y2D. 此二次函数的最大值为8二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是5，则另一个根是______，m的值是______．14.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为______．15.在阳光下，身高1.6m的小明站在旗杆AB影子的顶端C处．他立即沿CB的方向行走，走了5步，发现自己的影子顶端恰好也在C处，继续走了45步到达旗杆的底端B处，假设每步长度相等，则旗杆AB的高度为______m.16.如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，OA=2，则AC的长为______．17.若反比例函数y=k−3的图象位于一、三象限内，则k的取值范围是______ ．x18.如图，折叠长方形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，若AB=4，BC=5，则CE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE．(Ⅰ)若∠D=78°，求∠EAC的度数．(Ⅱ)若∠EAC=α，则∠B的度数为______(直接用含α的式子表示)四、解答题（本大题共8小题，共70.0分）20.(1)计算：√(tan30°−1)2+sin60°−tan45°；(2)解方程：2(x−1)2=√3(x−1)21.解下列方程(1)x2−4x+1=0(用配方法解)．(2)x2−2√3x+3=0．(3)(x−3)2=2x−6．22.平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．(1)求证：OE=OF；(2)若AD=6，求tan∠ABD的值．23.2021年4月2日，教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确了学生睡眠时间要求，其中，初中生每天睡眠时间应达到9小时，某校为了了解初中学生每天的睡眠时间是否达到要求，随机调查了该校的部分初中学生每天的睡眠时间，根据调查结果绘制出如图不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：扇形统计图中，“9.0ℎ”对应的扇形圆心角的度数为______°，所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是______ℎ，中位数是______ℎ；(2)求所调查的初中学生每天的平均睡眠时间；(3)若该校有1600名初中学生，睡眠时间小于9小时的学生要参加相关科普讲座，请你估计该校有多少初中学生要参加科普讲座？24.(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．25.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(6,3).过点D(0,5)和E(10,0)的直线分别与AB，BC交于点M，N．(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；(x>0)的图象经过点M.求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否(2)若反比例函数y=mx在该函数的图象上；(x>0)的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．(3)若反比例函数y=mx26.在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上运动，点B在y轴正半轴上运动．(1)如图1：①已知∠OAB与∠OBA的角平分线相交于点F，则∠F=______；②若AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠E的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值；(2)如图2，延长BA至C，已知∠ABO，∠CAO的角平分线相交于点D，在△ABD中，如果一个角与另一个角的比值为2：7，求∠ABD的度数．27.如图，已知二次函数y=a(x2−6x+8)(a>0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C．(1)求A、B两点的坐标；(2)将△OAC沿直线AC翻折，点O的对应点为O′．①若O′落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；②是否存在正整数a，使得点O′落在△ABC的内部？若存在，求出整数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，B、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，C、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，D、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左两个小正方形，故选：D．根据图中的主视图解答即可．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．2.答案：B解析：解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，∴AD=AB，则△ABD是等边三角形，∴AB=AD=CD=BC=4，∠DAC=30°，故A O=6cos30°=3√3，则AC=6√3．故选：B．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出△ABD是等边三角形，可求出AD的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出AC的长．此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出OA的长是解题关键．3.答案：C解析：解：∵2x2+6x=−3，∴x2+3x=−32，则x2+3x+94=−32+94，即(x+32)2=34，故选：C．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4.答案：B解析：解：∵3a=4b，∴ba =34或ab=43．故选：B．直接利用比例的性质得到a与b的比值，从而对各选项进行判断．本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算．5.答案：D解析：解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的小菁．故选：D．大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法．6.答案：B解析：此题考查坐标与图形性质，反比例函数图象上点的坐标特征、三角形中位线性质，解题的关键是求得B、D的纵坐标．把E点的横坐标代入y=2x，确定E的坐标，根据题意得到B的坐标为(2,4)，把B的横坐标代入y=2x求得D的纵坐标，就可求得CD，进而求得BD．解：反比例函数y=2x(x>0)的图象经过OB中点E，E点的横坐标为1，∴y=21=2，∴E(1,2)，∴B(2,4)，∵△OAB为Rt△，∠OAB=90°，∴AB=4，把x=2代入y=2x (x>0)得，y=22=1，∴AD=1，∴BD=AB−AD=4−1=3，故选：B．7.答案：B解析：本题考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握其性质.利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m−1<0，即m<1；故正确；②由图象可知，在每个分支上y随x的增大而增大，故正确；③若点A(−2,a)、点B(4,b)在图象上，则a>b；故错误；④因为函数图象关于原点对称，所以若点P(x,y)在图象上，则点P(−x,−y)也在图象上，故正确．综上所述，正确的结论有：①②④．故选B．8.答案：C解析：证明：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△CED中，{BC=CD∠ADB=∠CDE AD=DE，∴△ABD≌△CED(SAS)，∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，∴CE2+AE2=AC2，∴∠CED=90°，∴∠BAD=90°，∴BD2=AB2+AD2，∴BD=√52+62=√61，∴BC=2BD=2√61，故选C．延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即：△ABD为直角三角形，利用勾股定理的求出BD的长，进而求出BC的长．本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．9.答案：B解析：解：∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=m°，∵AC//OB，∴∠CAB=∠B=m°，∴∠BOC=2∠CAB=2m°，故选：B．利用等腰三角形的性质以及平行线的性质求出∠CAB，再利用圆周角定理即可解决问题．本题考查圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.答案：C解析：解：根据平行投影的规律知：顺序为④③①②．故选：C．根据平行投影的规律：早晨到傍晚物体的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长可得．本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．11.答案：B解析：本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°−30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=12BD=12AC=2√3，∴OF=tan30°×BO=2，∴CF=2，故选：B．12.答案：C解析：解：y=−x2−4x+5的对称轴为x=−2，∴x≤−2时，y随x的增大而增大；A不正确；−x2−4x+5=0时的两个根为x=−5，x=1，当−5<x<1时，y>0；B不正确；∵−4<−2，−√2>−2，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，∴y1<y2；C正确；当x=−2时，y有最大值9；D不正确；故选：C．y=−x2−4x+5的对称轴为x=−2，x≤−2时，y随x的增大而增大；当−5<x<1时，y>0；点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，则y1<y2；当x=−2时，y有最大值9；本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．13.答案：−4−1解析：解：设方程x2+mx−20=0的两根为x1，x2，则x1x2=−20，该方程的一个根是5，则另一个根是：−205=−4，x1+x2=−m=5+(−4)=1，即−m=1，x1解得：m=−1，故答案为：−4，−1．设方程x2+mx−20=0的两根为x1，x2，求出x1x2的值，根据“关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是5”，即可求出方程的另一个根，列出关于m的一元一次方程，解之即可得到m的值．本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14.答案：2√3−2解析：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD的最小值，即可判断．解：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，为2；②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC(除点C外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为2√3−2；③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC 为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为2√3−2．故答案为2√3−2．15.答案：16解析：解：根据题意得，1.65=AB5+45，解得：AB=16米，答：旗杆AB的高度为16米．故答案为：16．根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．本题主要考查了相似三角形的应用，在解题时要能根据已知条件列出比例式是本题的关键．16.答案：2√3解析：解：过点0作OE⊥AC于E，∵∠ACB=∠D=60°，∴∠BAC=60°，∴∠OAC=30°，∵OA=2，∴OE=1∴AE=√3∴AC=2√3．故答案为2√3．根据圆周角定理先求∠AOB=120°，再求得∠OAB=∠OBA=30°，根据垂径定理可求AD=BD=√3，即可求AB=2√3．本题主要考查圆周角定理和垂径定理，难度适中．圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．17.答案：k>3解析：解：由于反比例函数y=k−3x的图象位于第一、三象限，则k−3>0，解得：k>3．故答案为：k>3．由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k−3>0，求出k的取值范围即可．本题考查了反比例函数的性质，k>0时，函数图象位于一三象限；k<0时，函数位于二四象限．18.答案：32解析：解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=4；∠B=∠C=90°；由题意得：AF=AD=5，EF=DE，EC=8−EF；由勾股定理得：BF2=52−42，∴BF=3，CF=5−3=2；在△EFC中，由勾股定理得：EF2=22+(8−EF)2，解得：EF=52，∴EC=4−52=32．故答案为：32如图，根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是求出FC的长．19.答案：180°+2α3解析：解：(Ⅰ)∵四边形ABCD是菱形，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA=51°，∵AD//BC，∴∠ACE=∠DAC=51°，∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠AEC=180°−78°=102°，∴∠EAC=180°−102°−51°=27°；(Ⅱ)设∠B的度数为x，则∠DAC=∠DCA=180°−x2，∠AEC=180°−x，则(180°−x)+180°−x2+α=180°，解得，x=180°+2α3，故答案为：180°+2α3．(Ⅰ)根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；(Ⅱ)设∠B的度数为x，仿照(Ⅰ)的作法计算即可．本题考查的是菱形的性质、圆周角定理，掌握菱形的四条边相等、对角相等以及圆周角定理是解题的关键．20.答案：解：(1)原式=|tan30°−1|+√32−1=|√33−1|+√32−1=1−√33+√32−1=√36；(2)∵2(x−1)2−√3(x−1)=0，∴(x−1)(2x−2−√3)=0，则x−1=0或2x−2−√3=0，．解得x=1或x=2+√32解析：(1)将特殊锐角三角函数值代入、根据二次根式的性质去根号，再取绝对值，最后计算加减即可得；(2)根据方程的特点利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.答案：解：(1)x2−4x+4=3，(x−2)2=3，x−2=±√3，所以x1=2+√3，x2=2−√3；(2)(x−√3)2=0，所以x1=x2=√3；(3)(x−3)2−2(x−3)=0，(x−3)(x−3−2)=0，x−3=0或x−3−2=0，所以x1=3，x2=5．解析：(1)利用配方法得到(x−2)2=3，然后利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程；(3)先变形为(x−3)2−2(x−3)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．22.答案：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∴∠1=∠2，∵EF是BD的中垂线，∴OD=OB，∠3=∠4=90°，∴△DOF≌△BOE，∴OE=OF；(2)作DG⊥AB，垂足为G，∵∠A=60°，AD=6，∴∠ADG=30°，∴AG=12AD=3，∴DG=√62−32=3√3，∵AB=2AD，∴AB=2×6=12，BG=AB−AG=12−3=9，∴tan∠ABD=DGBG=3√39=√33解析：(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；(2)作DG⊥AB，根据勾股定理和三角函数解答即可．此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．23.答案：908.58.5解析：解：(1)本次接受调查的初中学生有：4÷10%=40(人)，“9.0ℎ”对应的扇形圆心角的度数为360°×1040=90°，睡眠为8.5ℎ的人数有：40−(4+8+10+3)=15(人)，∵8.5ℎ出现的次数最多，出现了15次，∴所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是8.5ℎ，把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，则中位数是8.5+8.52=8.5(ℎ)．故答案为：90，8.5，8.5；(2)所调查的初中学生每天的平均睡眠时间是4×7.5+8×8.0+8.5×15+9.0×10+9.5×340=8.5(ℎ)；(3)1600×4+8+1540=1080(人)，答：估计该校有1080人初中学生要参加科普讲座．(1)由7.5ℎ的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以“9.0ℎ”人数所占百分比求出“9.0ℎ”对应的扇形圆心角的度数，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；(2)根据平均数的定义即可得出答案；(3)用该校的总人数乘以睡眠时间小于9小时的学生所占的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24.答案：(1)2<AD<8(2)如图2所示：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM，∴BE+CF>EF．解析：解：(1)如图1所示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，∵{BD=CD∠BDE=∠CDA DE=AD，∴△BDE≌△CDA(SAS)，∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB−BE<AE<AB+BE，∴10−6<AE<10+6，即4<AE<16，∴2<AD<8；故答案为：2<AD<8；(2)见答案(1)延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；(2)延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同(1)得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论．本题是三角形的综合问题，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．25.答案：解：(1)设直线DE的解析式为y=kx+b，∵点D，E的坐标为(0,5)、(10,0)，∴{b=510k+b=0；，b=5；解得k=−12∴y=−1x+5；2∵点M在AB边上，B(6,3)，而四边形OABC是矩形，∴点M的纵坐标为3；x+5上，又∵点M在直线y=−12x+5；∴3=−12∴x=4；∴M(4,3)；(2)∵y=m(x>0)经过点M(4,3)，x∴m=12；∴y=12；x又∵点N在BC边上，B(6,3)，∴点N的横坐标为6；x+5上，∵点N在直线y=−12∴y=2，∴N(6,2)∵当x=6，y=2∴点N在函数y=12的图象上；x(x>0)的图象经过点M(4,3)，N(6,2)时，m的值最小，此时m=xy=12，(3)当反比例函数y=mx(x>0)的图象通过B(6,3)时，m的值最大，此时m=xy=18，当反比例函数y=mx∴12≤m≤18．解析：(1)设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；(2)利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；(3)满足条件的最内的双曲线的m=12外的双曲线的m=18，以可得其取值范围．此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上．26.答案：135°解析：解：(1)①如图1中，∵∠AOB=90°，∴∠OAB +∠OBA =90°，∵AF 平分∠OAB ，BF 平分∠ABO ，∴∠FAB +∠FBA =12(∠OAB +∠OBA)=45°， ∴∠F =180°−(∠FAB +∠FBA)=180°−45°=135°．②结论：∠CED 的大小不变．理由：延长AD 、BC 交于点N ．∵∠AOB =90°，∴∠OAB +∠OBA =90°，∴∠PAB +∠MBA =270°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12∠ABM ，∴∠BAD +∠ABC =12(∠PAB +∠ABM)=135°，∴∠N =45°，∴∠NDC +∠NCD =135°，∴∠CDA +∠DCB =225°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴∠CDE +∠DCE =112.5°，∴∠E =67.5°；(3)如图2中，∵AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，∴∠DAC =∠DAO ，∠BAD =∠DBO ，设∠DAC =∠DAO =x ，∠DBA =∠DBO =y ，则有{2x =2y +90∘x =y +∠D， 可得∠D =45°，当∠ADB ：∠ABD =7：2时，∠ABD =(907)°， 当∠DAB ：∠ABD =7：2时，∠ABD =29×135°=30°，当∠BAD ：∠D =7：2时，∠BAD =157.5°(不合题意舍弃)，综上所述，满足条件的∠ABD 的值为(907)°或30°．(1)如图1中，根据三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可．②：∠CED 的大小不变．延长AD 、BC 交于点N.想办法求出∠ADC +∠BCD 的值即可解决问题．(3)设∠DAC =∠DAO =x ，∠DBA =∠DBO =y ，则有{2x =2y +90∘x =y +∠D，可得∠D =45°，分三种情形构建方程求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，角平分线的定义三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 27.答案：解：(1)令y =0，则x 2−6x +8=0，解得x 1=2，x 2=4，所以，A(2,0)，B(4,0)；(2)①如图，抛物线的对称轴为直线x =−−62×1=3，设对称轴与x 轴的交点为E ，求出AE =1，将△OAC 沿直线AC 翻折，点O 的对应点O′落在对称轴x =3上，∵A(2,0)，∴AO =2，在Rt △O′AE 中，cos∠O′AE =AE AO′=12，∴∠O′AE =60°，∴∠CAO =12×(180°−∠O′AE)=12×(180°−60°)=60°，∴tan∠CAO =OC OA =8a 2=√3，解得a =√34； ②过A 点作AF ⊥BC ，F 为垂足，由垂线段最短可得AF <AB =2，由翻折的性质得，AO′=AO =2，所以，不论a取何值，O点的对应点O′总落在△ABC的外部，所以，这样的整数a不存在．解析：(1)令y=0，解关于x的方程即可得到点A、B的坐标；(2)①设对称轴与x轴的交点为E，求出AE=1，再根据翻折变换的性质可得AO′=AO，然后利用∠O′AE的余弦值求出角的度数，再求出∠CAO=60°，然后利用∠CAO的正切值列式计算即可得解；③过点A作AF⊥BC于F，根据垂线段最短可得AF<AB，再根据翻折变换的性质可得AO′=AO=2，从而判断出点O′总落在△ABC的外部．本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与x轴的交点的求解，翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，垂线段最短的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．。
2020-2021学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）1．（4分）一个直三棱柱如图所示放置，则它的俯视图是（）A．B．C．D．2．（4分）∠A是锐角，若sin A＝，则∠A＝（）A．45°B．60°C．30°D．90°3．（4分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（）A．4B．5C．6D．84．（4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．65．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c ＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝0B．x1＝3，x2＝﹣1C．x＝﹣3D．x1＝﹣3，x2＝1 6．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 7．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝8．（4分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158321801“射中9环以上”的频率0.750.8250.780.790.80250.801则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（）A．0.7B．0.75C．0.8D．0.99．（4分）如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m10．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的面积为10，反比例函数y＝（x＞0）与AB、BC分别交于点D、E，若AD＝2BD，则k的值为（）A．B．C．D．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0，②2a+b ＝0，③b＜a+c，④3a+c＝0，其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sin A＝．14．（4分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠COB的度数为．15．（4分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为．16．（4分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是．17．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为．18．（4分）如图1，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．如图，把△AQP沿AP翻折，当t＝时，得到的三角形与原三角形组成的四边形为菱形．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，如果BD＝4，求AE的长．21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．22．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题：（1）全班学生总人数是；（2）在扇形统计图中，b＝，C类的圆心角为；（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为边AC上一点，以O为圆心，AO 为半径的⊙O与AB相交于点D，且CD与⊙O相切于点D．（1）求证：CD＝CB；（2）若CE＝2，CB＝3，求r．24．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？25．（10分）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x ＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求直线AP和双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2020-2021学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）1．【分析】根据从上面看得到的图形式俯视图，可得答案．【解答】解：其俯视图是一行两个矩形．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的画虚线．2．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：∠A是锐角，若sin A＝，则∠A＝30°，故选：C．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．3．【分析】根据矩形性质得出AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，得出△AOB 是等边三角形，推出AB＝AO＝4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝4，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．4．【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系，进而得出答案．【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴，∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，∴＝，解得：AB＝6．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．5．【分析】由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴，可求出抛物线与x轴的另一交点坐标，由两交点的横坐标即可得出关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的对称性，找出抛物线与x轴的另一交点坐标是解题的关键．6．【分析】把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案．【解答】解：把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数y＝的关系式得，y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1，∴y2＜y1＜y3，故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．7．【分析】由于∠DAE＝∠CAB，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；当＝时，△ADE∽△ACB．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．8．【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．故选：C．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．9．【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD与Rt△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC＝BD+CD即可求解．【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，∴BD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），即这栋高楼高度是40m．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．【分析】圆的面积减去正方形的面积除以4即可求得答案．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴圆的半径为，∴阴影部分的面积：＝＝，故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算，解题的关键是了解阴影部分的面积的计算方法．11．【分析】根据矩形的面积为10，设OA＝a，根据AD＝2BD，表示出点D的坐标，代入即可求出k的值．【解答】解：设OA＝a，矩形OABC的面积为10，所以AB＝，∵AD＝2BD，∴AD＝AB＝，因此点D（，a），代入反比例函数关系式得，k＝，故选：C．【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标代入函数关系式是常用的方法．12．【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①②进行判断；由于x＝﹣1时，a ﹣b+c＝0，再利用b＝﹣2a得到3a+c＝0，则可对③④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴2a+b＝0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①②正确；∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴y＝a﹣b+c＝0，∴b＝﹣2a，∴a+c＝b，a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，所以③错误；④正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．【分析】先利用勾股定理计算出BC，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∴sin A＝＝．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是解决此类它们的关键．14．【分析】利用圆周角定理可得∠COB的度数．【解答】解：∵∠A＝64°，∴∠COB＝128°，故答案为：128°．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式．【解答】解：由题意可得：1200×0.5＝Fl，故F＝．故答案为：F＝．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确运用公式得出函数解析式是解题关键．16．【分析】先利用正方形的性质得到B（2，2），然后把B点的横纵坐标分别乘以即可得到E点坐标．【解答】解：∵四边形ABCO为正方形，而A（0，2），∴B（2，2），∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，∴E点坐标为（2×，2×），即E（3，3）．故答案为（3，3）．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了正方形的性质．17．【分析】在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD∥AB且CD＝AB＝4，且C的纵坐标与D相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出A（2，0），B（6，0），C （4，8），然后根据待定系数法即可求得抛物线解析式．【解答】解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），∴点C的坐标为（4，8），设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH＝BH＝2，∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，把A（2，0）代入得，0＝4a+8，解得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．【点评】本题考查二次函数的性质，对称轴的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，求得A、B、C的坐标是解题的关键．18．【分析】连接QQ′交AB于点D，根据菱形性质可得QQ′⊥AB，AD＝DP＝AP，先运用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，依据三角函数定义可得cos∠BAC＝＝，再根据题意可得：AD＝5﹣t，AQ＝2t，由三角函数定义得：cos∠BAC＝，从而建立方程求解即可得到答案．【解答】解：如图，连接QQ′交AB于点D，∵四边形AQPQ′是菱形，∴QQ′⊥AB，AD＝DP＝AP，∴∠ADQ＝90°，∵AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AC2+BC2＝82+62＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，根据题意，BP＝AQ＝2t，∴AP＝10﹣2t，∴AD＝5﹣t，在Rt△ADQ中，cos∠BAC＝＝，∴＝，解得：t＝．故答案为：s．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理逆定理，三角函数定义，动点问题，方程思想的应用等，是一道基础题，解题时要能够将相关知识点串联起来．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0，x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．20．【分析】求出AD长，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再求出答案即可．【解答】解：∵AB＝10，BD＝4，∴AD＝AB﹣BD＝6，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，解得：AE＝4.8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．21．【分析】如图，作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出CD，AB即可解决问题．【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∵BC＝6，∴CD＝BD＝3，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，∴tan30°＝，∴AD＝，＝•AB•CD＝•（3+）•3＝9+3，∴S△ABC∴△ABC的面积是9+3．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．22．【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比；（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人），故答案为：40人；（2）∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），∴C类的圆心角为360°×＝54°，∵B类百分比为×100%＝60%，∴b＝60，故答案为：60，54°；（3）列表如下：A B B CA BA BA CAB AB BB CBB AB BB CBC AC BC BC由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，∴全是B类学生的概率为＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到∠CDO＝90°，于是得到∠ADO+∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO，等量代换得到∠BDC＝∠B，即可得到结论；（2）⊙O的半径为r，根据勾股定理即可得到r．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵CD与圆O相切于点D，∴∠CDO＝90°，∴∠ADO+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO，∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB；（2）解：设⊙O的半径为r，∴OD＝OE＝r，∵CE＝2，CB＝3，∴CD＝3，OC＝2+r，在Rt△ODC中，根据勾股定理，得∴r2+32＝（2+r）2，解得r＝．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握切线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．24．【分析】（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），即可求解；（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，即可求解．【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），故x＝10（m）；∴AB＝15（m）．答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，故不能围成矩形花园面积为210m2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．25．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y＝2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；（2）设Q（m，n），代入反比例解析式得到n＝，分两种情况考虑：当△QCH∽△BAO 时；当△QCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q 坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，∴y＝x+1，由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），把P代入y＝得：k＝4，则双曲线解析式为y＝；（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y＝上，∴n＝，当△QCH∽△BAO时，可得＝，即＝，∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝，整理得：m2﹣2m﹣8＝0，解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，整理得：2m﹣4＝，解得：m＝1+或m＝1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26．【分析】（1）由旋转的性质得到EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，求得∠BCD＝∠ACE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，求得∠EAD＝90°，根据勾股定理即可得到结论；（3）如图，过C作CG⊥AB于G，求得AG＝AB，根据直角三角形的性质得到CG＝AB，即＝，由（1）可得：BD＝AE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，又∵AC＝BC，∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，∴∠EAD＝90°，∴，∴．∴；（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CG＝AB，即＝，∵点F为AD的中点，∴FA＝AD，∴FG＝AG﹣AF＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，由（1）可得：BD＝AE，∴FG＝AE，即＝，∴＝，又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，∴△CGF∽△BAE，∴∠FCG＝∠ABE，∵∠FCG+∠CFG＝90°，∴∠ABE+∠CFG＝90°，∴CF⊥BE．【点评】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．27．【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．【解答】解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∴S△PCD∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P （，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S 有最大值为，此时点P （，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．第14页（共14页）。
2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（3，2），则下列各点在这个函数图象上的是（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）3．（4分）不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是（）A．B．C．D．4．（4分）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对边相等且平行5．（4分）如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝8，AC＝6，则sin C的值为（）A．B．C．D．7．（4分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，则下列是该抛物线对称轴的是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2 8．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．B．4C．4D．209．（4分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m10．（4分）原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为（）A．（30+2x）（20+2x）＝1200B．（30+x）（20+x）＝1200C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600D．（30+x）（20+x）＝60011．（4分）如图，点P为反比例函数y＝上的一个动点，作PD⊥x轴于点D，如果△POD 的面积为m，则一次函数y＝﹣mx﹣1的图象为（）A．B．C．D．12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a ﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）一元二次方程x2﹣4x＝0的解是．14．（4分）圆内接正十边形中心角的度数为度．15．（4分）若点（﹣2，y1）和（，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．（4分）某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为米．（结果保留根号）17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．18．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝．在以上4个结论中，其中一定成立的是＝2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、解答题（本大题9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：4sin30°+（）﹣1﹣20210﹣．20．（6分）解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，求证：DE＝BF．22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．24．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？25．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为；＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为．（3）点P是x轴上一点，当S△P AC26．（12分）（1）如图1，△ABC和△DEC均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．填空：①请写出图1中的一对全等三角形：；②线段AD，BE之间的数量关系为；③∠AFB的度数为．（2）如图2，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE ＝30°，AB＝5，AE＝3，当点B在线段ED的延长线上时，求线段BD和CE的长度．27．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点C（0，2），交x轴于点A（﹣6，0）和点B，抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，直接写出点M坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处，求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由此可确定答案．【解答】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，故选：D．【点评】主要考查立体图形的左视图，关键是几何体的左视图．2．【分析】由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（3，2），∴k＝3×2＝6．A、﹣3×（﹣2）＝6；B、3×（﹣2）＝﹣6；C、2×（﹣3）＝﹣6；D、﹣2×3＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵一个不透明的布袋中装有1个红球和2个白球，∴共有1+2＝3个，∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为；故选：B．【点评】本考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．【解答】解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．5．【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠AOB，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．【分析】根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝10，所以sin C＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．7．【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．【分析】根据菱形的性质和勾股定理解答即可．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），∴AB＝，∵四边形ABCD是菱形，∴菱形的周长为4，故选：C．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和勾股定理解答．9．【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，∴AC＝AB+BC＝10m，∴＝，解得，DC＝5，即建筑物CD的高是5m，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得（30+2x）（20+2x）﹣30×20＝30×20，即（30+2x）（20+2x）＝1200．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及一元二次方程的一般式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．【分析】由反比例函数的比例系数k的几何意义求出m的值，再结合一次函数图象与系数的关系判断图象．＝m，【解答】解：∵PD⊥x轴于点D，S△POD∴m＝＝1，∴一次函数为：y＝﹣x﹣1，∵k＜0，b＝﹣1，∴一次函数图象经过二、三、四象限，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义和一次函数图象与系数之间的关系，解题时注意：k＜0，b＜0，一次函数图象经过第二、三、四象限．12．【分析】该函数开口方向向下，则a＜0，由对称轴可知，b＝2a＜0，与y轴交点在y轴正半轴，则c＞0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝0，顶点等进行判断即可．【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0，∵对称轴为x＝﹣1，则﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故③正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确；由抛物线的对称性可知，当x＝﹣2与x＝0时y值相同，此时y＝4a﹣2b+c＞0，故④错误．综上，正确的个数有三个．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；当|a|越大时，抛物线开口越小，反之，则越大；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．【解答】解：由原方程，得x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4．故答案是：x1＝0，x2＝4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．14．【分析】根据正多边形的中心角的定义解决问题即可．【解答】解：正十边形中心角的度数＝＝36°，故答案为：36．【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】可先求二次函数y＝x2的对称轴为y轴，根据两点到y轴的距离的大小即可判断．【解答】解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，∵点（﹣2，y1）到y轴的距离比点（，y2）到y轴的距离远，∴y1＞y2，故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．【分析】根据三角形的外角性质求出∠ABD，根据等腰三角形的判定定理求出BD，根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：∵∠BDC＝60°，∠A＝30°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABD＝∠A，∴BD＝AD＝20（米），在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，则BC＝BD•sin∠BDC＝10（米），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．【解答】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积＝π×4+π×1﹣4×2÷2＝π﹣4．【点评】此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．18．【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE＝EC＝EF＝6，设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，解得：x＝4∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；BE＝EF＝6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE＝×6×8＝24，S△BEF＝•S△GBE＝×24＝，④正确；故答案为：①，②，④．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．三、解答题（本大题9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、算术平方根、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4×+2﹣1﹣2＝2+2﹣1﹣2＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，∴x＝3±2，∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．【分析】利用平行四边形的性质得出BO＝DO，AD∥BC，进而得出∠EDO＝∠FBO，再利用ASA求出△DOE≌△BOF即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴BO＝DO，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．22．【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题；（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线CE是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴cos∠CAD＝cos∠CAB＝，在Rt△ACD中，AD＝4，∴，∴AC＝6，在Rt△ABC中，，∴AB＝9．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定．24．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．25．【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOBS△P AC＝S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，解得，∴一次函数为y＝﹣x+10，将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，故答案为x＞8或0＜x＜2；（3）由题意可知OA＝OC，＝2S△AOP，∴S△APC把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，∴D（10，0），＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，∴S△AOB＝S△AOB＝×30＝24，∵S△P AC＝24，∴2S△AOP∴2××y A＝24，即2×OP×8＝24，∴OP＝3，∴P（3，0）或P（﹣3，0），故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．26．【分析】（1）根据△ABC和△DEC均为等边三角形，运用等边三角形性质证明△ABC≌△DEC，再利用全等三角形性质即可得到答案；（2）先根据△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，证明△ACD∽△BCE，可得∠CAD＝∠CBE，＝＝，即可得到结论；（3）先利用勾股定理求得BE，再应用三角函数定义可求得DE，由BD＝BE﹣DE即可求得BD，再证明△BAD∽△CAE，应用相似三角形性质即可求出CE．【解答】（1）如图1，∵△ABC和△DEC均为等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD+∠BCD＝∠BCD+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵∠CBE+∠F＝∠CAD+∠ACB，∴∠F＝∠ACB＝60°，故答案为：①△ABC≌△DEC；②AD＝BE；③60°；（2）∠AFB＝45°，AD＝BE．理由如下：如图2，∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE ＝EC，∴＝＝，∠ACB＝∠DCE＝45°，∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠DCE，即：∠ACD＝∠BCE，∵＝，∴△ACD∽△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，＝＝，∴AD＝BE，∵∠CAD+∠ACB＝∠CBE+∠AFB，∴∠AFB＝∠ACB＝45°；（3）如图3，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，AB＝5，AE＝3，∴BE＝＝＝4，＝tan∠DAE＝tan30°＝，∴DE＝AE＝×3＝，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∵∠BAC＝∠DAE＝30°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵＝＝cos30°，∴＝，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝cos30°＝，∴CE＝BD＝×（4﹣）＝2﹣．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形性质，特殊角三角函数值，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．27．【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先设出点M的坐标，然后分ME＝MC、ME＝CE、MC＝CE三种情况讨论即可；（3）先设出点P的坐标，作辅助线构造△P'HE≌△PKE，然后表示出点P'的坐标，代入直线AD的解析式，即可求出P的横坐标．【解答】解：（1）把点A、C代入解析式得：，解得，∴y＝；（2）∵，∴抛物线的对称轴为x＝﹣2，设M（﹣2，y），若ME＝MC，则y2＝22+（y﹣2）2，解得y＝2，∴M（﹣2，2），若MC＝EC，则22+22＝22+（y﹣2）2，解得y＝0（舍）或y＝4，∴M（﹣2，4），若ME＝CE，则y2＝22+22，解得y＝或y＝2，∴M（﹣2，﹣2）或M（﹣2，2），综上，M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，﹣2）或M（﹣2，2）；（3）作P'H∥x轴交ED的延长线与H，作PK⊥x轴于点K，∵OE＝OC＝2，∴∠OEC＝∠CED＝45°，又∵∠CEP'＝∠CEP，∴∠P'EH＝∠PEK，在△PKE和△P'HE中，，∴△PKE≌△P'HE（AAS），∴PK＝P'H，KE＝EH，设P（x，），则P'（，x+2），∵A（﹣6，0），D（﹣2，），∴直线AD的解析式为y＝，∴，解得x＝或x＝，∴点P的横坐标为或．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，从而求出顶点的坐标和x轴的交点，当出现对称问题时，一般考虑全等三角形．。
2020-2021学年济南市章丘区八年级上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年济南市章丘区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1.三边长分别是下列长度的三角形中，不是直角三角形的是( )A. 2，3，√5B. 2，3，√7C. 3，4，5D. 5，12，132.下列代数式中，属于分式的是( )A. x5B. 5xC. 5√xD. √x 53.直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1,0)的点的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 54.下列一次函数中，常数项是3的是( )A. y =x −3B. y =x +3C. y =3xD. y =−3x5.在下列各数：√273,√49100,0,1π,√7,15111，0.3030030003…(每两个3之间增加1个0)中，无理数的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 56.贝贝解二元一次方程组{x +py =2x +y =1得到的解是{x =12y =Δ，其中y 的值被墨水盖住了，不过她通过验算求出了y 的值，进而解得p 的值为( )A. 12B. 1C. 2D. 37.如图，⊙O 的直径AB =12，弦CD 垂直平分半径OA ，动点M 从点C 出发在优弧CBD 上运动到点D 停止，在点M 整个运动过程中，线段AM 的中点P 的运动路径长为( )A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π8.张翔从学校骑自行车出发去县城，中途因道路施工步行了一段路，1.5ℎ后到达县城，他__________，路程全长20km ，他骑车与步行各用多少时间？依题意，设骑车的时间为xℎ，步行的时间为yℎ，可列方程组为{x +y =1.515x +5y =20，则横线上的信息可以是( )A. 一半的路程骑车平均速度为15km/ℎ，一半的路程步行平均速度为5km/ℎB. 一半的路程骑车平均速度为5km/ℎ，一半的路程步行平均速度为15km/ℎC. 骑车平均速度为15km/ℎ，并且骑车平均速度是步行平均速度的3倍D. 骑车平均速度为15kmℎ，并且步行平均速度是骑车平均速度的3倍9.如图，为某套餐营养成分的扇形统计图，一份套餐中蛋白质有70克，则碳水化合物含量为()A. 35克B. 70克C. 105克D. 140克10.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OB，PD⊥OB，若PC=6，则PD等于()A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若CM=8，DM=12，则AB等于()A. 4√3B. 8√2C. 8√6D. 4√612.甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿直线AB作匀速运动，同时到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t(分)后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，且d1，d2与出发时间t的函数关系如图，那么在两车相遇前，两车与B点的距离相等时，t的值为()A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.一个直角三角形的两条直角边相差3厘米面积9平方厘米求较长直角边的长．14.如果一个正数的平方根分别是2a+1和5−a，则这个正数为______．15.在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是_________16.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=5，点P在AD边上运动，当△BPC是等腰三角形时，AP的长度为．17.计算：√27+2cos30°=______．18.已知函数y={(x−1)2−1−x+6(x≤3)(x>3)，若使y=k成立的x的值恰好有3个，则k的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）19.如图1，含30°角的直角三角板DEF(∠EDF=30°)与含45°角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为BC的中点，将直角三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转∠α(0°<α<180°)，在旋转过程中：(1)如图2，当∠α=______ °时，DE//AB；当∠α=______ °时，DE⊥AB；(2)如图3，当直角三角板DEF的边DF、DE分别交BA、CA的延长线于点M、N时：①∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数的和；若变化，请说明理由； ②若使得∠1=2∠2，求出∠1、∠2的度数，并直接写出此时∠α的度数； ③若使得∠1≥23∠2，求∠α的度数范围．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 20. 化简：(1)√48√6(2)3√ab 32√ab 2(3)6√1321. (1)解方程组{x4+y3=33x −2(y −1)=11．(2)解不等式组{2(x −2)+1≥−5x 3−x+12>−1，并把解集在数轴上表示出来．22. 在如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标为(1,−1)．(1)画出△ABC 向左平移2个单位，然后再向上平移4个单位后的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标； (2)以M(−1,1)为对称中心，画出与△A 1B 1C 1成中心对称的△A 2B 2C 2，并求出以A 1、C 2、A 2、C 1为顶点的四边形的面积．23.某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋大楼共有8道门，其中四道正门大小相同，四道侧门大小也相同．安全检查中，对8道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？24.如图，AD//BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE=∠E．求证：∠B+∠BCD=180°．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵AD//BC，∴______ =∠E(理由：______ ).∵AE平分∠BAD，∴______ =______ ．∴∠BAE=∠E．∵∠CFE=∠E，∴∠CFE=∠BAE，∴______ //______ (理由：______ ).∴∠B+∠BCD=180°(理由：______ ).。
2020-2021学年山东省济南市济阳区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．22x =-B ．3210x x -+=C ．2310x xy ++=D ．21450x x+-= 2．（4分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，则sin B 的值是()A ．35B ．45C ．34D ．434．（4分）抛物线212y x =向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是( )A ．21(1)22y x =+-B ．21(1)22y x =-+C ．21(1)22y x =--D ．21(1)22y x =++5．（4分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，半径为2cm ，若2BC cm =，则A ∠的度数为()A ．30︒B ．25︒C ．15︒D ．10︒6．（4分）已知点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y 在反比例函数3y x=的图象上，当1230x x x <<<时，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<7．（4分）若关于x 的一元二次方程2310x x -+=有实数根，则的取值范围为( ) A ．94B ．94且0≠ C ．94<且0≠ D ．948．（4分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于( )A ．316 B ．38C ．58D ．13169．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:1DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF ∆的面积与DAF ∆的面积之比为( )A ．9:16B ．3:4C ．9:4D ．3:210．（4分）在同一直角坐标系中，函数y x =-与(0)y x=≠的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90︒，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为()A ．9632π-B ．693π-C ．91232π-D ．94π 12．（4分）如图（1），E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1/cm 秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，BPQ ∆的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①5AD BE ==；②3cos 5ABE ∠=；③当05t <时，225y t =；④当294t =秒时，ABE QBP ∆∆∽；其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．②④二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上） 13．（4分）已知0345a b c ==≠，则b c a+= ． 14．（4分）如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若50C ∠=︒，则B ∠的度数为 ．15．（4分）已知P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，6AB cm =，则AP 长为 cm ． 16．（4分）如图，直线AB 过原点分别交反比例函数6y x=于A 、B ，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，则ABC ∆的面积为 ．17．（4分）已知二次函数21(1)3y x =+-向右平移2个单位得到抛物线2y 的图象，则阴影部分的面积为 ．18．（4分）将一张正方形纸片ABCD 对折，使CD 与AB 重合，得到折痕MN 后展开，E 为CN 上一点，将CDE ∆沿DE 所在的直线折叠，使得点C 落在折痕MN 上的点F 处，连接AF ，BF ，BD ，则得下列结论：①ADF ∆是等边三角形；②tan 23EBF ∠=③13ADF ABCD S S ∆=正方形；④2BF DF EF =．其中正确的是 ．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）018tan 30(4)|6|π︒++--20．（6分）如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB 底部B 点18m 的C 处，利用测角仪测得其顶部A 的仰角36EDA ∠=︒，测角仪CD 的高度为1.5m ，求该建筑物AB 的高度．（精确到0.1)m 【参考数据：sin360.59︒=，cos360.81︒=，tan360.73︒=】21．（6分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为1A 、2A ，正面印有雪容融图案的卡片记为B ，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．22．（8分）如图，等边ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE ∠=︒ （1）求证：ABD DCE ∆∆∽； （2）若2BD =，43CE =，求等边ABC ∆的边长．23．（8分）如图，AB 是O 的直径，点E 在AB 的延长线上，AC 平分DAE ∠交O 于点C ，AD DE ⊥于点D ．（1）求证：直线DE 是O 的切线．（2）如果2BE =，4CE =，求线段AD 的长．24．（10分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S ． （1）求S 与x 的函数关系式；（2）并求出当AB 的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)my x x=>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)ny x x =>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4． （1）当4m =，20n =时，①点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，BD 的长为 ． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．26．（12分）如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转(0360)αα︒<︒，直线BE 、DF 相交于点P ．（1）若AB AD =，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE 与DF 的数量关系是 ．（2）若(1)AD nAB n =≠，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由． （3）若8AB =，12BC =，将AEF ∆旋转至AE BE ⊥，请算出DP 的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点(3,0)A -、(1,0)B ，交y 轴于点N ，点M 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM ，点E 是线段AM 上方抛物线上一动点，EF AM ⊥于点F ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，交AM 于点D ．点P 是y 轴上一动点，当EF 取最大值时： ①求PD PC +的最小值；②如图2，Q 点为y 轴上一动点，请直接写出14DQ OQ +的最小值．2020-2021学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．22x =-B ．3210x x -+=C ．2310x xy ++=D ．21450x x+-= 【解答】解：A 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；B 、该方程属于一元三次方程，故本选项不符合题意；C 、该方程中未知数项的最高次数是2且含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、该方程是分式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A ．2．（4分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1， 故选：D ．3．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，则sin B 的值是()A ．35B ．45C ．34D ．43【解答】解： 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，10AB =，3sin 5AC B AB ∴==． 故选：A ．4．（4分）抛物线212y x =向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是( )A ．21(1)22y x =+-B ．21(1)22y x =-+C ．21(1)22y x =--D ．21(1)22y x =++【解答】解：抛物线212y x =向左平移1个单位，再向上平移2个单位得21(1)22y x =++．故选：D ．5．（4分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，半径为2cm ，若2BC cm =，则A ∠的度数为()A ．30︒B ．25︒C ．15︒D ．10︒【解答】解：连接OB 和OC ， 圆O 半径为2，2BC =，OB OC BC ∴==， OBC ∴∆为等边三角形， 60BOC ∴∠=︒，1302A BOC ∴∠=∠=︒，故选：A ．6．（4分）已知点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y 在反比例函数3y x=的图象上，当1230x x x <<<时，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<【解答】解：30=>，∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，又1230x x x <<<，10y ∴<，20y <，30y >，且12y y >， 213y y y ∴<<，故选：C ．7．（4分）若关于x 的一元二次方程2310x x -+=有实数根，则的取值范围为( ) A ．94B ．94且0≠ C ．94<且0≠ D ．94【解答】解：关于x 的一元二次方程2310x x -+=有实数根， ∴20(3)410≠⎧⎨=--⨯⨯⎩， 94∴且0≠． 故选：B ．8．（4分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于( )A ．316 B ．38C ．58D ．1316【解答】解：列表如下：1 2 3 4 1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种， 则105168P ==． 故选：C ．9．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:1DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF ∆的面积与DAF ∆的面积之比为( )A ．9:16B ．3:4C ．9:4D ．3:2【解答】解：四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴=，//AB CD ， :3:1DE EC =，::3:4DE AB DE DC ∴==， //DE AB ，DEF BAF ∴∆∆∽，∴34EF DE AF AB ==， DEF ∴∆的面积与DAF ∆的面积之比:3:4EF AF ==．故选：B ．10．（4分）在同一直角坐标系中，函数y x =-与(0)y x=≠的图象大致是( )A ．B ．C．D．【解答】解：①当0>时，一次函数y x=-经过一、三、四象限，反比例函数的(0)yx=≠的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，②当0<时，一次函数y x=-经过一、二、四象限，反比例函数的(0)yx=≠的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．故选：B．11．（4分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90︒，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )A．9632πB．693π-C．91232πD．94π【解答】解：连接OD，如图，扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，AC OC∴=，26OD OC∴==，226333CD∴=-=，30CDO∴∠=︒，60COD∠=︒，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积2936061333636022CODAOD S S ππ∆⋅⋅=-=-⋅⋅=-扇形， ∴阴影部分的面积为9362π-． 故选：A ．12．（4分）如图（1），E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1/cm 秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，BPQ ∆的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①5AD BE ==；②3cos 5ABE ∠=；③当05t <时，225y t =；④当294t =秒时，ABE QBP ∆∆∽；其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．②④【解答】解：根据图（2）可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ， 点P 、Q 的运动的速度都是1/cm 秒，5BC BE ∴==，5AD BE ∴==，故①正确；从M 到N 的变化是2，2ED ∴=，523AE AD ED ∴=-=-=，在Rt ABE ∆中，2222534AB BE AE =--=，4cos 5AB ABE BE ∴∠==，故②错误；过点P 作PF BC ⊥于点F ，//AD BC ，AEB PBF ∴∠=∠，4sin sin 5AB PBF AEB BE ∴∠=∠==， 4sin 5PF PB PBF t ∴=∠=，∴当05t <时，211422255y BQ PF t t t ===，故③正确； 当294t =秒时，点P 在CD 上，此时，2929152444PD BE ED =--=--=， 115444PQ CD PD =-=-=， 43AB AE =，541534BQ PQ ==， ∴AB BQAE PQ=， 又90A Q ∠=∠=︒， ABE QBP ∴∆∆∽，故④正确．综上所述，正确的有①③④． 故选：C ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上） 13．（4分）已知0345a b c ==≠，则b ca += 3 ． 【解答】解：设345a b ck ===， 则3a k =，4b k =，5c k =，4533b c k ka k ++==． 故答案为：3．14．（4分）如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若50C ∠=︒，则B ∠的度数为 20︒ ．【解答】解：连接OA ，AC 是O 的切线， 90OAC ∴∠=︒， 50C ∠=︒，904040AOC ∴∠=︒-︒=︒， OA OB =， B OAB ∴∠=∠，40AOC B OAB ∠=∠+∠=︒， 20B ∴∠=︒，故答案为：20︒．15．（4分）已知P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，6AB cm =，则AP 长为 (353) cm ．【解答】解：P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >， ∴51AP AB -=， 6AB cm =，(353)AP cm ∴=-．故答案为：(353)-．16．（4分）如图，直线AB 过原点分别交反比例函数6y x=于A 、B ，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，则ABC ∆的面积为 6 ．【解答】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，A ∴、B 两点关于原点对称， OA OB ∴=，BOC ∴∆的面积AOC =∆的面积，又A 是反比例函数6y x=图象上的点，且AC x ⊥轴于点C ， AOC ∴∆的面积11||6322==⨯=， 则ABC ∆的面积为6， 故答案为6．17．（4分）已知二次函数21(1)3y x =+-向右平移2个单位得到抛物线2y 的图象，则阴影部分的面积为 6 ．【解答】解：设点M 为抛物线1y 的顶点，点N 为抛物线2y 的顶点， 连接MA 、NB ，则四边形AMNB 的面积和阴影部分的面积相等， 二次函数21(1)3y x =+-，∴该函数的顶点M 的坐标为(1,3)--， ∴点M 到x 轴的距离为3，2MN =，∴四边形AMNB 的面积是236⨯=， ∴阴影部分的面积是6，故答案为：6．18．（4分）将一张正方形纸片ABCD 对折，使CD 与AB 重合，得到折痕MN 后展开，E 为CN 上一点，将CDE ∆沿DE 所在的直线折叠，使得点C 落在折痕MN 上的点F 处，连接AF ，BF ，BD ，则得下列结论：①ADF ∆是等边三角形；②tan 23EBF ∠=③13ADF ABCD S S ∆=正方形；④2BF DF EF =．其中正确的是 ①②④ ．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD AD ∴==，90C BAD ADC ∠=∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，由折叠的性质得：MN 垂直平分AD ，FD CD =，BN CN =，FDE CDE ∠=∠，90DFE C ∠=∠=︒，DEF DEC ∠=∠，FD FA ∴=， AD FD FA ∴==，即ADF ∆是等边三角形，①正确；设4AB AD BC a ===，则4MN a =，2BN AM a ==，ADF ∆是等边三角形，60DAF AFD ADF ∴∠=∠=∠=︒，4FA AD a ==，323FM AM a ==，(43)FN MN FM a ∴=-=-，423tan 23FN EBF BN -∴∠===，②正确； ADF ∆的面积2114234322AD FM a a a ==⨯⨯=，正方形ABCD 的面积22(4)16a a ==，∴433ADF ABCDS S ∆==正方形，③错误； AF AB =，906030BAF ∠=︒-︒=︒， 75AFB ABF ∴∠=∠=︒，754530DBF ∴∠=︒-︒=︒，360906075135BFE DFB ∠=︒-︒-︒-︒=︒=∠， 180757530BEF DBF ∠=︒-︒-︒=︒=∠，BEF DBF ∴∆∆∽，∴BF EF DF BF=， 2BF DF EF ∴=，④正确；故答案为：①②④．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）018tan 30(4)|6|π︒++-- 【解答】解：原式332163=⨯+- 616=+-1=．20．（6分）如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB 底部B 点18m 的C 处，利用测角仪测得其顶部A 的仰角36EDA ∠=︒，测角仪CD 的高度为1.5m ，求该建筑物AB 的高度．（精确到0.1)m 【参考数据：sin360.59︒=，cos360.81︒=，tan360.73︒=】【解答】解：过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图所示：根据题意得：36EDA ∠=︒， 1.5BE CD m ==，18DE BC m ==， 在Rt ADE ∆中，90AED ∠=︒，tan AEEDA DE∠=， tan36180.7313.14()AE DE m ∴=⨯︒≈⨯=， 13.14 1.514.6()AB AE BE m ∴=+=+≈．答：建筑物AB 的高度约为14.6m ．21．（6分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为1A 、2A ，正面印有雪容融图案的卡片记为B ，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个， P ∴（小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）49=． 22．（8分）如图，等边ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE ∠=︒（1）求证：ABD DCE ∆∆∽；（2）若2BD =，43CE =，求等边ABC ∆的边长．【解答】解：（1）证明：ABC ∆是等边三角形60B C ∴∠=∠=︒又60ADE ∠=︒18060120ADB CDE ∴∠+∠=︒-︒=︒，18060120ADB DAB ∠+∠=︒-︒=︒CDE DAB ∴∠=∠ABD DCE ∴∆∆∽；（2）设等边ABC ∆的边长为x ，2BD =，43CE =， BC AB x ∴==，2DC x =-ABD DCE ∆∆∽ ∴DC EC AB BD = ∴4232x x -= 解得：6x =∴等边ABC ∆的边长为6． 23．（8分）如图，AB 是O 的直径，点E 在AB 的延长线上，AC 平分DAE ∠交O 于点C ，AD DE ⊥于点D ．（1）求证：直线DE 是O 的切线．（2）如果2BE =，4CE =，求线段AD 的长．【解答】证明：（1）如图1，连接OC ，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，AC 平分DAE ∠，DAC OAC ∴∠=∠，DAC ACO ∴∠=∠，//AD OC ∴，AD DE ⊥，90ADC ∴∠=︒，OCE ADC ∴∠=∠，90OCE ∴∠=︒，DE ∴是O 的切线；（2）解：如图1，连接OC ，设OC x =，222OC CE OE +=，2224(2)x x ∴+=+，3x ∴=，3OC ∴=，//AD OC ，COE DAE ∴∆∆∽， ∴OC OE AD AE =， ∴3238AD +=， 245AD ∴=． 24．（10分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S ．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）并求出当AB 的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？【解答】解：（1）花圃的宽AB 为x 米，篱笆长为24米，(243)BC x ∴=-米，(243)S x x ∴=-2324(38)x x x =-+．S ∴与x 的函数关系式为2324(38)S x x x =-+．（2）2324S x x =-+23(4)48x =--+．38x ，∴当4x =时，S 有最大值，最大值为48．∴当AB 的长为4米时，花圃的面积最大，最大值是48平方米．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)m y x x =>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)n y x x=>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4．（1）当4m =，20n =时，①点B 的坐标为 (4,1) ，点D 的坐标为 ，BD 的长为 ．②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积．③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．【解答】解：（1）①当4x =时，41y x==， ∴点B 的坐标为(4,1)； 当2y =时，42x=，解得：2x =， ∴点A 的坐标为(2,2)；当20n =时，20y x=，当4x =时，5y =，故点(4,5)D ， 514BD =-=，故答案为(4,1)；(4,5)；4；②//BD y 轴，BD AC ⊥，点P 的纵坐标为2，(2,2)A ∴，(10,2)C ．8AC ∴=，∴四边形ABCD 的面积11841622AC BD =⨯=⨯⨯=； ③四边形ABCD 为菱形，理由如下：由①得：点B 的坐标为(4,1)，点D 的坐标为(4,5)，点P 为线段BD 的中点，∴点P 的坐标为(4,3)．当3y =时，43x=，解得：43x =， ∴点A 的坐标为4(3，3)； 当3y =时，203x =，解得：203x =， ∴点C 的坐标为20(3，3)． 48433PA ∴=-=，208433PC =-=， PA PC ∴=．PB PD =，∴四边形ABCD 为平行四边形．又BD AC ⊥，∴四边形ABCD 为菱形；（2）四边形ABCD 能成为正方形．当四边形ABCD 为正方形时，设(0)PA PB PC PD t t ====≠．当4x =时，4m m y x ==， ∴点B 的坐标为(4,)4m ， ∴点A 的坐标为(4,)4m t t -+． 点A 在反比例函数m y x =的图象上， (4)()4m t t m ∴-+=，化简得：44m t =-， ∴点D 的纵坐标为22(4)84444m m m m t +=+-=-，∴点D 的坐标为(4,8)4m -， 4(8)4m n ∴⨯-=，整理，得：32m n +=． 即四边形ABCD 能成为正方形，此时32m n +=． 26．（12分）如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转(0360)αα︒<︒，直线BE 、DF 相交于点P ．（1）若AB AD =，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE 与DF 的数量关系是 BE DF = ．（2）若(1)AD nAB n =≠，将AEF ∆绕点A 逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若8AB =，12BC =，将AEF ∆旋转至AE BE ⊥，请算出DP 的长．【解答】解：（1）如图2中，结论：BE DF =．理由：四边形ABCD 是矩形，AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形，12AE AB =，12AF AD =， AE AF ∴=，90DAB EAF ∠=∠=︒，BAE DAF ∴∠=∠，()ABE ADF SAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=．故答案为BE DF =．（2）2)如图3中，结论不成立．结论：DF nBE =，理由如下：12AE AB =，12AF AD =，AD nAB =， AF nAE ∴=，::AF AE AD AB ∴=，90DAB EAF ∠=∠=︒，BAE DAF ∴∠=∠，BAE DAF ∴∆∆∽，::DF BE AF AE n ∴==，DF nBE ∴=．（3）如图41-中，当点P 在BE 的延长线上时，在Rt AEB ∆中，90AEB ∠=︒，8AB =，4AE =， 2243BE AB AE ∴=-=，ABE ADF ∆∆∽，∴AB BE AD DF =， ∴84312=， 63DF ∴=，四边形AEPF 是矩形，4AE PF ∴==，634PD DF PF ∴=-=-；如图42-中，当点P 在线段BE 上时，同法可得63DF =，4PF AE ==，634PD DF PF ∴=+=，综上所述，满足条件的PD 的值为634或634．27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点(3,0)A -、(1,0)B ，交y 轴于点N ，点M 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM ，点E 是线段AM 上方抛物线上一动点，EF AM ⊥于点F ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，交AM 于点D ．点P 是y 轴上一动点，当EF 取最大值时： ①求PD PC +的最小值；②如图2，Q 点为y 轴上一动点，请直接写出14DQ OQ +的最小值．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：22(3)(1)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=+-=+-， 即33a -=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：223y x x =--+；（2）由抛物线的表达式得，点(1,4)M -，点(0,3)N ， 则tan 2MC MAC AC∠==， 则设直线AM 的表达式为：2y x b =+，将点A 的坐标代入上式并解得：6b =，故直线AM 的表达式为：26y x =+，90EFD DHA ∠=∠=︒，EDF ADH ∠=∠，MAC DEF ∴∠=∠，则tan 2DEF ∠=，则5cos DEF ∠=， 设点2(,23)E x x x --+，则点(,26)D x x +， 则2255cos (2326)43)FE ED DEF x x x x x =∠=--+--=---， 50-<，故EF 有最大值，此时2x =-，故点(2,2)D -； ①点(1,0)C -关于y 轴的对称点为点(1,0)B ，连接BD 交y 轴于点P ，则点P 为所求点，PD PC PD PB DB +=+=为最小， 则22(12)(02)13BD =++-=； ②过点O 作直线OK ，使1sin 4NOK ∠=，过点D 作DK OK ⊥于点K ，交y 轴于点Q ，则点Q 为所求点，14DQ OQ DQ QK DK +=+=为最小值， 则直线OK 的表达式为：15y x =， DK OK ⊥，故设直线DK 的表达式为：15y b =+，将点D 的坐标代入上式并解得：215b =而直线DK 的表达式为：21515y =+， 故点(0,215Q ， 由直线KD 的表达式知，QD 与x 轴负半轴的夹角（设为)α15，则15cos α第31页（共31页）则cos Q Dx x DQ α-===，而11(244OQ =， 则14DQ OQ +为最小值1(24=+=。
山东省济南市历城区2020-2021学年度九年级上学期期末考试数学试卷
济南市历城区2020－2021学年度第一学期九年级期末考试数学试题2021．01一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则tan B 的值是( )A ．1213B ．513C ．125D ．5122．抛物线y ＝(x －4) 2－3的顶点坐标是()A ．(－4，3)B ．(－4，－3)C ．(4，3)D ．(4，－3)3．如图所示几何体的左视图为(4．已知一元二次方程x 2－8x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为()A ．10B ．6C ．8'D ．－25．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是() A ．13B ．25C ．23D ．356．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是(A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对边相等且平行7．如图，在直角坐标系中，点P (2，2)是一个光源，木杆AB 两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)，则木杆AB 在x 轴上的投影长为() A ．3B ．5C ．6D ．78．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AC 是⊙O 的直径，∠CAD ＝26°，则∠ABD 的度数为()A ．26°B ．52°C ．64°D ．74°9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝a x 与一次函数y ＝bx ＋c 在同一坐标系内的大致图象是(10．若二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 中函数v 与自变量x 之间的部分对应值如下表点A (x 1，y 1)、点B (x 2，y 2)在该函数图象上，当0＜x 1＜1，2＜x 2＜3，y 1与y 2的大小关系是( A ． y 1＜y 2 B ． y 1＞y 2 C ． y 1≤y 2D ．y 1≥y 211．如图，菱形ABCD 的两个顶点B ，函数y ＝kx 的图象上对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A (－2，2)，∠ABC ＝60°，则k 的值是( A ．4B ．6C ．43D ．1212．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋1(m 为常数)，当自变量x 的值满足：－3≤x ≤－1时，与其对应的函数值y 的最小值为5，则m 的值为() A ．1或－3B ．－3或－5C ．1或－1D ．1或－5二、填空题(每题4分，共24分)13．如果反比例函数y ＝kx的图象经过点(2，3)，那么直线y ＝kx 一定经过点(2，____)；14．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足s i mA ＝13，则斜道AC 的长度是________米15．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是__________；16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，已知斜边DF 保持水平并且边DE 与点B 在同一直线上，若DE ＝40cm ，EF ＝20cm ．DF 离地面的高度AC ＝1．5m ，CD ＝8m ，则树的高度AB ＝________米．17．如图，已知等边三角形ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以AB 的长为半径作⌒BC 、⌒AC 、⌒AB ，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果这个曲边三角形的周长为2π，那么这个这个等边三角形ABC 的边长为__________；10m18．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，4C ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，连结EF ，则EF 的最小值等于__________；三、解答题19．(本小题满分6分)解方程：x 2＋2x －3＝0．20．(本小题满分6分)计算：(π/2)0＋2cos 60°＋4＋(12)－121．如图，在矩形ABCD 中，点B 是BC 上－点DF ＝DC ，DF ⊥AE 于P ．若AB ＝3，AF ＝4，求EC 的长．22．(10分)如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作TC⊥AD，交AD的延长线于点C．(1)求证：CT为⊙O的切线;(2)若⊙O半径为3，AT＝4，求CT的长；23．(8分)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如阳所示。
2021-2022学年山东省济南市章丘区九年级(上)期末数学试卷
2021-2022学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知3x ＝5y （y ≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．x3=5yB ．x5=y 3C ．xy=35D ．x3=y 53．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ） A ．（2，﹣3）B ．（﹣3，﹣3）C ．（2，3）D ．（﹣4，6）4．如图△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 和AC 中点，且S △ADE ＝3，则S △ABC 等于（ ）A ．4B ．8C ．9D ．125．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个． A ．8B ．9C ．14D ．156．已知点A （﹣1，y 1）、B （﹣3，y 2）、C （12，y 3）在反比例函数y =−6x 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 27．关于x 的方程x 2+mx +6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）A ．﹣3B ．﹣6C ．3D ．68．下列命题正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形9．已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣1＝0，则下列该方程根的判断，正确的是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定10．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +k 与y =kx （k ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则EF 的长为（ ）A ．154cm B ．153cm C ．152cm D ．8cm12．如图，Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝8．∠BAC ＝90°，D ，E 为AB ，AC 边上的两个动点，且DE ＝6，F 为DE 中点，则12BF +CF 的最小值为（ ）A ．2√13B ．√73C ．3√5+102D ．√2652二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球的恰好颜色不同的概率是 ．14．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ．且测得AB ＝1.4米，BP ＝2.1米，PD ＝12米．那么该古城墙CD 的高度是 米．15．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝5，AC ＝6，那么菱形ABCD 的面积为 ．16．某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x ，则x 是 ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AD ＝5，BD ＝4，那么BC ＝ ．18．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是．三.解答题（本大题共9小题，共78分。
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2020-2021学年山东省济南市章丘区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝﹣2C．（x﹣2）2＝2D．（x﹣2）2＝6 4．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）A．16个B．15个C．13个D．12个6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）7．反比例函数y＝图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y28．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．9．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的大小是（）A．100°B．140°C．130°D．120°10．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（）米．A．6+4B．10+4C．8D．611．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题）.13．一元二次方程2x2+3x+1＝0的两个根之和为．14．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为cm2．15．如图，身高为1.6m的小李AB站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD的高度，CD的倒影是C′D，且AEC′在一条视线上，河宽BD＝12m，且BE＝2m，则树高CD＝m．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝．17．对于函数y＝，当函数值y＞﹣1时，自变量x的取值范围是．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将△CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当△PBM 为直角三角形时，线段MC的长为．三、解答题（共9小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：﹣（﹣2）0+﹣tan60°．20．解方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE＝BF．求证：∠ACF＝∠DBE．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．（1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数；（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长．23．章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一人一球”活动计划，学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）该班共人；（2）将条形统计图补充完整；（3）该班班委4人中，1人选修足球，1人选修篮球，2人选修羽毛球，陈老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人中至少有1人选修羽毛球的概率．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P由A出发向点C移动，点Q由C出发向点B移动，两点同时出发，速度均为1cm/s，运动时间为t秒．（1）几秒时△PCQ的面积为4cm2？（2）是否存在t的值，使△PCQ的面积为5cm2？若存在，求这个t值，若不存在，说明理由，（3）几秒时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？25．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．26．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB ＝°，线段BD、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断∠CEB的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A 旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．27．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．参考答案一、选择题（共12小题）.1．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．解：图中几何体的左视图如图所示：故选：D．2．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选：C．3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝﹣2C．（x﹣2）2＝2D．（x﹣2）2＝6解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，（x﹣2）2＝2，故选：C．4．如果3a＝2b（ab≠0），那么比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵3a＝2b，∴a：b＝2：3，b：a＝3：2，即a：2＝b：3，故A，B均错误，C正确，D错误．故选：C．5．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）A．16个B．15个C．13个D．12个解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴＝，解得：x＝12，经检验x＝12是原方程的根，故白球的个数为12个．故选：D．6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．7．反比例函数y＝图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选：B．8．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为＝2．∴cos∠ABC＝＝．故选：B．9．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的大小是（）A．100°B．140°C．130°D．120°解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：B．10．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（）米．A．6+4B．10+4C．8D．6解：如图，延长AB交DT的延长线于E．∵1米的杆影长恰好为1米，∴AE＝DE，∵四边形BCTE是矩形，∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，∴DT＝CD•cos30°＝8×＝4（米），CT＝CD＝4（米），∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+4）（米），BE＝CT＝4（米），∴AB＝AE﹣BE＝（10+4）﹣4＝（6+4）（米），故选：A．11．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝45°，∴AB＝AE＝1，BE＝，∵点E是AD的中点，∴AE＝ED＝1，∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF＝1×2﹣×1×1﹣＝﹣．故选：B．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；③∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣2和x＝0时的函数值相等，即x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）13．一元二次方程2x2+3x+1＝0的两个根之和为﹣．解：设方程的两根分别为x1、x2，∵a＝2，b＝3，c＝1，∴x1+x2＝﹣＝﹣．故答案为：﹣14．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为24cm2．解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．故答案为：24．15．如图，身高为1.6m的小李AB站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD的高度，CD的倒影是C′D，且AEC′在一条视线上，河宽BD＝12m，且BE＝2m，则树高CD＝8m．解：利用△ABE∽△CDE，对应线段成比例解题，因为AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD，则有△ABE∽△CDE，∵△ABE∽△CDE，∴，又∵AB＝1.6，BE＝2，BD＝12，∴DE＝10，∴，∴CD＝8．故填8．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝4﹣．解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．故答案为4﹣．17．对于函数y＝，当函数值y＞﹣1时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．解：∵当y＝﹣1时，x＝﹣2，∴当函数值y＞﹣1时，x＜﹣2或x＞0．故答案为：x＜﹣2或x＞0．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将△CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当△PBM 为直角三角形时，线段MC的长为或．解：如图1中，当∠PMB＝90°时，四边形PMCN是正方形，设CM＝PM＝PN＝CN＝x．∵PM∥CD，∴＝，∴＝，∴x＝，∴CM＝．如图2中，当∠BPM＝90°时，点N与D重合，设MC＝MP＝y．∵CD＝8，BC＝6，∠C＝90°，∴BD＝＝＝10，∵PD＝CD＝8，∴PB＝BD﹣PD＝10﹣8＝2，∵BM2＝PB2+PM2，∴（6﹣y）2＝22+y2，∴y＝，∴CM＝，综上所述，CM的值为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共9小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：﹣（﹣2）0+﹣tan60°．解：原式＝＝．20．解方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．解：（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，（x+2）（x﹣1﹣2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，∴x+2＝0，x﹣3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3．21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE＝BF．求证：∠ACF＝∠DBE．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠EAB＝∠CBF＝∠ABO＝∠BCO＝45°，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF，∴∠ABE＝∠BCF，∴∠ACF＝∠DBE．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．（1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数；（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长．解：（1）如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CF，∴∠ADC＝∠OCD＝90°，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∵∠BAD＝80°，∴∠DAC＝∠BAD＝×80°＝40°；（2）连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝6，AB＝8，∴，∴AC＝4．23．章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一人一球”活动计划，学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）该班共50人；（2）将条形统计图补充完整；（3）该班班委4人中，1人选修足球，1人选修篮球，2人选修羽毛球，陈老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人中至少有1人选修羽毛球的概率．解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人）．故答案为：50；（2）E组人数为50×10%＝5（人），A组人数为50﹣7﹣12﹣5﹣9＝17（人），条形图如图所示：（3）画树状图为：A表示足球，B表示羽毛球，C表示篮球．共有12种等可能的结果数，其中选出的2人中，至少有1人选修羽毛球有10种可能，所以选出的2人至少有1人选修羽毛球概率为＝．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P由A出发向点C移动，点Q由C出发向点B移动，两点同时出发，速度均为1cm/s，运动时间为t秒．（1）几秒时△PCQ的面积为4cm2？（2）是否存在t的值，使△PCQ的面积为5cm2？若存在，求这个t值，若不存在，说明理由，（3）几秒时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵两点同时出发，速度均为1cm/s，∴PC＝（6﹣t）（cm），CQ＝t（cm），∴（6﹣t）×t＝4，∴t1＝2，t2＝4，答：经过2秒或4秒时△PCQ的面积为4cm2；（2）不存在，由题意可得（6﹣t）×t＝5，∴t2﹣6t+10＝0，∴△＝36﹣40＝﹣4＜0，∴不存在t的值，使△PCQ的面积为5cm2．（3）由题意可得：△PCQ的面积＝（6﹣t）×t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，△PCQ的面积有最大值，最大面积是．25．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．解：（1）∵反比例y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数表达式为：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的图象经过点B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B点坐标为（﹣4，），∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝+．（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．S△BOC＝•OC•|y B|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），设直线A′B的表达式为y＝ax+c，∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）∴，解得：，∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，当y＝0时，则x＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．26．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB＝60°，线段BD、CE之间的数量关系是BD＝CE；（2）拓展探究：如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断∠CEB的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A 旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．解：（1）在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，同理：AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB，∵点B、D、E在同一直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AEB＝60°，故答案为60，BD＝CE；（2）∠CEB＝45°，BD＝CE，理由如下：在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝AC，∠CAB＝45°，同理，AD＝AE，∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴，∠DAE＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴，∴∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，∵点B、D、E在同一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠AEC＝135°，∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝CE，在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝AC＝2，①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四边形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝＝6，∴BD＝BP﹣AP＝4，∴CE＝BD＝2；②当点E在点D下方时，如图④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝BD＝4，即：CE的长为2或4．27．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，若PE＝2ED，则PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），∵PD上x轴于点D，∴E（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），∴m2﹣5m+6＝0，解得m1＝2，m2＝3（舍），∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），∴PE＝2，∴S△PBC＝×2×3＝3．∴△PBC的面积为3；（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠BCO＝∠OBC＝45°．∵P1C⊥BC，∴∠DCB＝90°，∴∠DCO＝45°，又∵∠DOC＝90°，∴∠ODC＝45°＝∠DCO，∴OD＝OC＝3，∴D（﹣3，0），∴直线P1C的解析式为y＝x+3，联立，解得或（舍）；∴P1（1，4）；∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，∴P1C∥BP2，∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，将B（3，0）代入，得0＝3+b，∴b＝﹣3，∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，联立，解得或（舍），∴P2（﹣2，﹣5）．综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．。