一题多变在高中数学教学中的运用

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(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用数学，是一门自然学科。

对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。

大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。

但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。

“怎样才能学好数学”成了学子们问得最多的问题。

而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。

很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。

熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。

但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

众所周知，数学题是做不完的。

我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。

要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。

在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。

这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。

另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。

下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。

一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。

并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。

但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。

其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。

我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。

谈“一题多变”在高中数学教学中的运用

谈“一题多变”在高中数学教学中的运用作者：陆烨来源：《理科考试研究·高中》2016年第05期高中数学不仅要让学生掌握基本的知识理论和解题方法，更重在培养他们的思维能力，强化他们的数学思想，丰富他们的解题思路和方法，以此培养学生的学习能力，促进学生全面发展.新课程背景下，学生综合能力要求更高，如何在减轻学生负担和提升综合能力方面做好平衡，是每一个教师重点思考的问题.一题多变能够让学生从题海战术中解脱出来，减轻他们课业负担，又能够锻炼他们的数学思维，丰富数学思想，从不断变化的数学现象中找到数学的解题规律，找到培养他们的数学学习方法，促进学生综合能力发展，培养高素质人才.一、通过变式激活思维，打开学生解题思路一题多变让学生看到一道试题，能够从不同的角度变化，联系到不同的知识，应用不同的解题方法，破除学生僵化的思维和单一的解题思路，让学生在变与不变中感知知识的相互联系.一道数学题，通过不断变化条件，可以让学生从多角度思考，培养学生的数学敏感度，提高学生的综合运用能力.学生从不断变化的现象中感知数学的美妙，培养他们的数学兴趣，锻炼学生发散思维能力，培养学生创新能力.例如，直线l的斜率为1，与抛物线y2=4x相交于点A、B，并且经过该抛物线的焦点，试求线段AB的长度.这道试题可以从找到抛物线焦点入手，学生很容易找到其焦点为（1，0），再根据其斜率求出线段AB所在的直线l方程y=x-1，然后将其与抛物线组成方程组，快速求出试题的答案.这是传统的解题方法，然后再给学生提供一些类似的试题，让学生反复训练，浪费时间，效果也不明显.通过一题多变，引入更多的知识点，构建更多的知识间关系，增加一定的难度，拓展他们的思路，激活思维.变式1 直线l的斜率为1，与抛物线x2=4y相交于点A、B，并且经过该抛物线的焦点，试求线段AB的长度.这样的变化相对容易一些，但可以拓展他们的思路.变式2 直线l的斜率为1，与抛物线x2=4py相交于点A、B，并且经过该抛物线的焦点，O是坐标原点，由点A、B向抛物线的准线作两条垂线， A、B为垂足，试问A点、O点、B 点是否共线？这个变化相对变式1知识容量增加了不少，难度也有一定的增加，传统方法不能快速解决.此时教师可以引导学生分析，耐心地向学生分析变化和知识点的联系，从将几何思维和代数思维统一起来，以此启发学生的思维，利用坐标来实现思维和解题方法转化.也可以引导他们通过向量思考，运用向量方法解题.这样，一道习题通过不断变化和引导，让学生掌握更多的知识，又能培养他们的思维能力，丰富解题方法.二、坚持循序渐进，做到有的放矢高中数学针对相关的知识点，设置了一定的典型例题和习题，这些习题和例题是帮助学生巩固知识、锻炼能力的重要媒介.传统的例题和习题安排都是教师讲解例题，学生做巩固练习.这样的教学模式能够让学生熟悉一些基本的题型，掌握一定的解题方法，但是，知识和能力相对单一.如果运用一题多变，那么能够实现例题和习题的高效利用，又能够促进学生思维能力的提升.这些例题和习题都是基本题型，按照循序渐进的策略，围绕学生的思维能力和创新能力，进行灵活变化，编制一题多变，优化重组习题，能够更好地提升他们的综合素养.例如，一道习题：已知一动圆M与圆O1：（x-1）2+y2=1外切，与圆O2：（x+1）2+y2=9内切.求动圆圆心M的轨迹的方程.安排作业练习的时候，围绕这道习题做好一题多变，优化组合试题.1.已知一动圆M与圆O1：（x-1）2+y2=1外切，与圆O2：（x+1）2+y2=9内切. 求动圆圆心M的轨迹的方程.2.已知圆O1：（x-1）2+y2=1、圆O2：（x+1）2+y2=9，一动圆M同时与它们外切，求动圆圆心M的轨迹的方程.3.已知圆O1：（x-1）2+y2=1、圆O2：（x+1）2+y2=9，一动圆M同时与它们内切，求动圆圆心M的轨迹的方程.4.已知圆O1：（x-1）2+y2=1、圆O2：（x+1）2+y2=9，若一动圆M同时与它们一个内切，一个外切，求动圆圆心M的轨迹的方程.习题2是对习题1的模仿，让学生熟悉利用定义法来求轨迹方程，习题4让学生进一步熟悉定义法求轨迹，后三个习题能够让学生充分理解和掌握利用圆锥曲线定义来求解轨迹，由常规来推导，循序渐进，围绕中心学习目标，引导学生不断探索，逐步提升综合思维能力.三、重视纵向联系，确保温故知新建构主义教育理念强调学生知识构建，接近知识的最近发展区，把握纵向联系，以此实现知识延伸和能力提升.中国教育思想一直重视温故知新，在原有知识和能力的强化巩固基础上，不断丰富新的知识能力.一题多变需要关注知识间的纵向联系，引导学生温故知新.紧密联系以前学过的知识，让学生能够掌握新知识的同时，更好地复习巩固旧知识，提高学习效率.例如，斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.变式1：经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线的关系是A.相交B.相切C.相离D.没办法确定变式2：求证：经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.变式3：经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线有何关系？上述变式题的练习既巩固抛物线定义，又复习圆与直线的知识，也复习了梯形的中位线定理等等，从而达到了变式练习的目的.总之，一道数学题通过多种变化，能够让学生感知更多的知识和理论，通过类比、联想、推广等方式生发出更多的新颖题目，让学生从不同的角度思考问题，运用不同的方法解决问题，强化他们的应变能力，锻炼学生的发散性思维，真正培养他们数学思维和素养，培养创新型人才.。

浅析“一题多变”在高中数学教学中的运用

变式１函数Ｙ＝一＋４ｘ一２在区间［０，３］上的最大值是一 — — ，最小值是 — — 。注二次函数是给定的，给出的定义域区间
列在求通项公式中的应用时，我讲了例题： “ 在数列｛口｝中，已知０＝１，且口＝２ａ＋１，求｛１７，｝的通项公式” ，此题在有了等比数列的通项公式的相关知识后，通过先构造一个新的等比数列｛口＋１｝，求出其通项公式后即可求出｛１７，｝的通项公式。为有针对性地练习这个构造方法，我布置如下的几个练习题。
关键词：一题多变；高中数学；运用
中图分类号：Ｇ６３３．６文献标识码：Ａ文章编号：１００７— ４２６０（２０１５）Ｏ１— ０１３４— ０２
高中数学新课程标准指出：培养和发展学生
的数学思维能力是开发智力、全面培养数学能力的主要途径。因此，高中数学课程应该注重提高学生的数学思维能力，这也是高中数学教育的基本目标之一。如何学好数学，是很多高中学生都问过老师的一个问题。我认为教师要使学生学好数学，除了要做一定量的习题外，还是要从提高学生的数学思维能力和学习兴趣上做功课。在数学教学过程中，要利用有限的例题和典型的习题来提高学生的学习兴趣和能力，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取“ 一题多变 ” 的形式进行教学ＨＪ。“ 一题多变” 一可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；又可以同时改变条件和结论；还可以将某项条件和结论互换Ｌ２］。

浅析“一题多变”在高中数学教学中的运用

难点知识结构做合理的编排，通过讲解案例与 “ 一题多变 ” 的方式加强对于学生数学思考与分析能力的引导。４结柬语在高中数学课程的教学中实施 “ 一题多变 ”的新型教育方式不仅可以促进教学质量的提高，还可以提高学生的综合思考与分析问题的能力，扩宽其的解题思路。相信未来随着教育科技水平的不断发展，教师在教学实践中会不断地对这种新型教育方式加以改善与创新，使其符合未来的教育水
３．２“ 一题多变 ”不是最终目的，而是要教会学生如何
去思考 “ 一题多变 ”不仅仅是促进教师教学质量提升的一个重要途径，更重要的是要教会学生如何正确思考，如何解决难题的能力。教师此时就要根据日常的学生学习能力，对其的思考能力作初步的判断，并采取案例讲解的方式，将转变的案例问题切合其的学习实际水平，将重难点尽量突出来，使得学生们一目了然，这样也能激发学生的学习兴趣，使其更加积极的投身于数学学科的学习中。
题多变 ”是在学生充分掌握有关数学知识点的基础上，教师将同一题型运用不同方法改变为另一种考察题型的全新教育方式．这种创新的教育方式的发展并不是偶然的。在高中数学课程中，其所覆盖的知识面广，所学理论也极其枯燥难懂，这给学生的数学学习带来了不少的难度。因此，不少教师开始尝试采取 “ 一题多变 ”的教学方式，将同种题型的题目改变为考察不同知识点的题目，这样可以充分锻炼学生的思考能力。
教学研究
浅析 “ 一题多变’ ’在高中数学教学中的运用
王亮

高中数学教学中“一题多变”的有效运用-2019年教育文档

高中数学教学中“一题多变”的有效运用教材是教师传授知识的理论依据，而练习题是提升学生学习的有效措施。

但是高中数学教学不仅需要教师传授知识，其侧重点是开发学生思维。

所以需要教师创新教学并能够有目的地培养学生计算以及思考的能力。

因“一题多变”的可变性强，其能够有效摆脱学生的思维定式，能够有效考验学生的变通能力，所以“一题多变”教学模式对教师以及学生来说就是最好的选择。

因为“一题多变”教学是一种全新的教学模式，扩展高中数学知识，从而提升学生思维的教学。

那么，在高中数学教学中，教师要怎样巧妙运用“一题多变”教学呢？一、遵循循序渐进的原则，由浅入深高中数学教师在传授知识时应注意高中生智力的开发，让学生学会品质学习生活。

而“一题多变”教学模式变通能力极强，摆脱了传统教学的羁绊，改变了学生的固定思维，提升了高中数学的教学质量。

所以在教学中教师不能急于求成，需循循善诱，由浅入深，激发高中生的求知欲，强化学生的观察能力，让学生在教学中体会“一题多变”的意义价值。

例如，以人教A版高中数学为例，某校高中数学教师在为学生讲解《集合的含义与表示》时，教师先解释了集合的含义、特性以及其各个字母所代表的意义、关系、表示方法，然后让学生用自己生活中的所见所闻来举例。

如：一个班集体、全校男生、150以上的女生等都是集合，之后让学生辨认自己所想所举的例子是什么集合，如果需用字母表示则用什么字母。

最后教师可以列举一个日常生活中常见的、稍微难一点的集合，让学生辨认其所属，逐渐加深学生对高中数学的认识。

二、举一反三，变换题干高中数学教师如果想要提高学生的成绩，就必须学会合理运用“一题多变”教学，让学生学会举一反三，使得思维更加缜密，从不同的方面认识高中数学。

例如：以人教A版为例，某校高中数学教师为了培养高中生举一反三的能力，经常变换课本中典型的例题，变换题干，保留本质。

如：原题为：函数y=-5x2+6x-5在区间[5，10]上的最大值以及最小值是多少？变换其中的题干，其变式为：如果二次函数f（x）=-5x+6x-5的定义在区间[t，t-1]上时，求其中f（x）的最值或者是把其原题型变换为：已知x20，求其中的函数f（x）=-5x+6x-5的最值。

例谈“一题多变、一题多解”策略在高三数学复习课中的应用

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例谈“一题多变、一题多解”策略在高三数学复习课中的应用
作者：祁若鹏
来源：《理科考试研究·高中》2015年第06期
在高三数学复习课中，最好的教学效果便是通过少而精的习题教学，既能使学生巩固所学的数学知识，又能使学生的逻辑推理能力、分析问题的能力、数学思维等多方面得到培养和提高.根据笔者多年的实践，采用“一题多变、一题多解”不失为较好的教学策略.下文就这一策略，略谈一二.
一、“一题多变”在习题课教学中的应用
在高中数学教学中，所谓“一题多变”就是指教师在一道数学题的基础上，通过改变部分数字或条件从而形成一个新的数学问题.利用“一题多变”的形式进行数学教学，有利于使学生很好地掌握与本题相似或相关的一系列数学问题的解决方法，并且有利于学生发现各种类似数学问题的差异和内在联系，从而使学生掌握和消化多个数学问题.下面以一道习题为例进行说明.
本题考查的知识点主要是数学中比较大小的知识.在高三数学习题课教学中，教师若能引
导学生利用以上四种方法解决这道题，就可以促使学生从不同的侧面、不同的角度思考数学问题，进而可以起到开阔学生解题思路、解题技巧的目的，最终达到培养学生数学发散思维和灵活运用数学知识的能力的效果.
总之，在高三数学习题课教学中，通过“一题多解与一题多变”的策略进行复习，有利于提高和培养学生的数学解题能力和各种数学思维水平.。

谈谈“一题多变”在数学课堂教学中的作用

谈谈“一题多变”在数学课堂教学中的作用摘要：所谓“一题多变”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。

即教师可不断更换命题中的非本质特征，即变换问题中的条件；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，或改变问题的结论；或者换成相近的条件、相似的问题，通过一组问题的变化，从而使学生掌握数学对象的本质属性，使学生在问题的变换中锻炼思维的周密性、灵活性、创新性和兴趣性，总之变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。

关键词：一题多变锻炼思维周密性灵活性创新性兴趣性所谓“一题多变”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。

即教师可不断更换命题中的非本质特征，即变换问题中的条件；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，或改变问题的结论；或者换成相近的条件、相似的问题，通过一组问题的变化，从而使学生掌握数学对象的本质属性。

使学生在问题的变换中锻炼思维的周密性、灵活性、创新性、兴趣性。

下面我结合自己的教学实践对数学一题多变教学谈几点看法。

一、改变问题的条件，锻炼学生思维的周密性和灵活性变式教学通过变换问题的条件，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面，使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题；同时学会比较全面地看问题，注意事物之间的联系，这样在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而使学生更深刻地理解课堂教学的内容，使学生的思维的周密性和灵活性得到锻炼。

比如我把问题：等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为多少？进行了以下6种变式：变式1：如果一个三角形的底和腰是方程x2-6x+9=0的两根，则这个三角形的周长为多少？变式2：等腰三角形的两边是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为多少？变式3：等腰三角形的两边是方程x2-6x+9=0的两根，则这个三角形的周长为多少？变式4：平行四边形的两邻边是方程x2-6x+8=0的两根，则这个平行四边形的周长为多少？变式5：平行四边形的两邻边是方程x2-6x+9=0的两根，则这个平行四边形是_____？变式6：平行四边形的两边是方程x2-6x+9=0的两根，则这个平行四边形的周长为多少？这样通过这一组题的变式，不仅让学生明白了等腰三角形中底和腰与两边的不同，而且也让学生把方程节的不同情况和三角形、四边形的变长的变化联系起来，同时在变式同时也锻炼了学生的思维的紧密性、周全性。

数学课堂巧用一题多变

数学课堂巧用一题多变在数学课堂上，老师通常会使用一题多变的方法来帮助学生巩固所学知识，并培养他们的逻辑思维能力。

通过改变题目中的参数或条件，可以让学生在不断变化的问题中加深对知识的理解，并锻炼他们的解决问题的能力。

下面将介绍数学课堂上常用的一题多变的方法，并给出一些具体的例子。

1. 基础题目的变化：最简单的一题多变方法就是通过改变题目中的具体数值或条件来产生新的问题。

对于一个简单的加法题目“2+3=？”可以通过改变加数或被加数的具体数值，使得学生可以反复练习类似的题目，从而提高他们的计算能力。

也可以通过增加或减少条件来扩展题目的变化，比如将“2+3=？”改变为“2+?=5”，这样学生需要通过逆推的方式来解答题目。

2. 探究题目的变化：有些数学问题可以通过改变问题的表述方式来产生不同的变化。

比如对于一个几何问题“一个三角形的周长为12，边长分别为3，4，5，求其面积”，可以通过改变描述的方式，比如“一个三角形的三边长分别为3，4，5，求其面积”，或者“一个三角形的三边长为x，y，z，求其面积”，来产生新的问题。

这样可以让学生从不同的角度去理解和解决问题。

3. 推广题目的变化：有些数学问题可以通过推广的方式来产生新的问题。

比如对于一个简单的数列问题“1，4，7，10，13，......，求第n项”，可以通过改变数列的规律或者增加条件，来产生新的问题。

比如“1，4，7，10，13，......，求所有项的和”，或者“1，4，7，10，13，......，如果规律改为每项的前一项加上后一项，求第n项”。

通过以上方法，可以让数学课堂上的问题变得更加生动有趣，同时帮助学生深入理解知识，提高解决问题的能力。

老师可以通过巧妙运用一题多变的方法，让学生在不断变化的问题中不断思考，从而更好地掌握数学知识。

浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用

２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁１的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对１的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与１的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。

刍议“一题多变”在高中数学教学中的应用

刍议“一题多变”在高中数学教学中的应用作者：孙敏来源：《理科考试研究·高中》2016年第08期高中数学是高中阶段最重要的学科之一，由于数学学科本身的逻辑性和抽象性，数学教学一直以来都是一个难点问题.“一题多变”的教学方法可以对数学问题的条件和结论进行延伸，从不同的角度思考问题，引出解决同类问题的方法.因此，本文首先介绍了“一题多变”在高中数学教学中的重要作用，探讨了“一题多变”在高中数学教学中的应用，希望能增强学生的发散性思维，找到数学题的解题规律.高中数学教学应该培养学生的发散性思维能力，教师不但要引导学生进行数学习题练习，还要注意培养学生的逻辑思维能力和学习数学的积极性，采用联想、对比、“一题多变”的教学方法进行数学教学，利用典型例题和多种教学方法提高学生的学习兴趣和能力.实践证明，在众多的教学方法中，“一题多变”教学方法是高中数学教学中最有效的方法之一.“一题多变”教学方法重点在“变”，也就是考虑问题要从多角度、多层次、多方面，主要培养学生的数学思维能力，帮助其开发自身潜在能力，从而提高学习数学的主动性.一、“一题多变”教学方法在高中数学教学中的重要意义“一题多变”教学方法的核心和关键在“变”，高中数学题的“变”无非是改变题目的条件，锻炼学生对同一类型题目的解题能力.“变”的价值不是强调变化，而是为了提高学生对数学题目的应变能力，让学生在面对高考试卷的繁杂题目时，能举一反三、触类旁通，保持从容的心态去面对复杂的题目.采用启发式教学不仅能帮助学生构建一套完整的知识构架，更重要的是能够培养学生的发散性、逻辑性思维能力.众所周知，高中数学题目强调的是解题方法的变化，丰富学生的解题方法可以提高学生的数学能力，让学生在分析和探索的过程中提高解决数学问题的能力.二、“一题多变”教学方法在高中数学教学中的应用1.选择适当的例题进行讲解教师在应用“一题多变”教学方法教学时，要选择恰当的例题进行讲解，要结合学生实际水平和接受能力，不能选择难度过高或者过低的例题，难度过高的题目会使得学生无法理解其内涵，破坏学生对已知知识的掌握能力，而难度太低的题目则无法达到“一题多变”的教学效果.因此，教师在选择例题时，要先对教材中的例题进行深入的分析和研究，结合教材内容，利用网络资源选择难易适度的教学例题；而在讲解例题时，教师也要注意分布和调控题目的重难点，引导学生积极地参与到课堂教学中，鼓励学生积极思考，调动他们学习的主动性，继而提高课堂教学效率和学生对数学学习的兴趣和能力.2.创新数学教学模式，打开学生解题思路传统高中数学教学授课方式是题海战术，虽然这种方法能在一定的时间内取得一定的教学效果，但是长期的题海战术会使得学生学习的积极性处于被打压的状态，不利于学生日后的学习发展.所以，教师应结合学情来适用开放式的教学模式，注意培养学生的发散性思维，鼓励学生从多层次、多角度去考虑问题.在教学过程中，教师要循循善诱，对同一道数学题，要从不同的角度去诱导学生，不断地变化解题方法，提高学生对数学知识的敏感度，培养学生灵活运用数学知识的能力.“一题多变”教学方式要求遵循一定的顺序、从简单到复杂地转化解题条件，让学生在转化中找到学习的兴趣，培养自觉探究数学问题的能力.比如，高中数学中的重要内容二次函数，学生要想学好这部分内容，首先要学习“一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程”等题目的解题方法.指、对、幂函数是高中数学教学中的重点和难点，要想使学生熟练自如地掌握该知识点，教师就要通过“一题多变”的方法改变题目中的已知条件，让学生理解指、对、幂函数的基本表现形式，根据例题内容变更问题结论，让学生在问题变化求证的过程中理解函数前后联系，重点要抓住函数的“取值区间”、“定义域”.通过不断变化解题方法来引导学生理解数学的本质，找出高中数学题型的解答规律.3.加强学生发散性思维的引导“一题多变”的教学方法不仅是让学生掌握更多的解题办法，更最重要的是培养学生的发散性思维，帮助学生学会思考，提高学生解决问题的能力.教师要引导学生利用“一题多变”的方式进行数学练习，根据学生平时的数学学习能力对学生的思维能力做出初步判断.在讲解例题时，要根据学生的实际水平，突出难点和重点，让学生一目了然，不断激发学生学习的积极性，提高学生的能力，引导学生对函数类题目做出总结归纳，并且将函数式与函数图象相结合，找出解题方法.在高中数学教学中运用“一题多变”的教学方法可以有效提高数学教学的效率和质量，有利于培养学生的发散性思维能力，打开学生的解题思路.上文通过探讨选择适当的例题进行讲解、创新数学教学模式，打开学生解题思路、加强学生发散性思维的引导的三大应用措施，希望能为数学教学提供一点启发，进而推动高中数学教学质量的提升.课搞题海战术，学生很是疲劳，高耗低效.基于这样的原因，笔者才思考着如何从重“量”到重“质”的转变.研究后发现，一堂好的数学课必然是重“质”而不是重“量”的，质从何来？需要我们对数学问题进行精心的设计.对于复习课也不能外，我们在教学设计的过程中应该思考“问题”的质而不能贪多，在设计的时候应该反思设计的问题是否有效，能够促进学生对概念本质的理解.是否可以有效激发学生的探究欲望，是否具有开放性，学生在问题的思考过程中会涉及到怎样的答案，讨论的进程会如何等等.考虑到不同的学生在前期的学习过程中知识的掌握程度和过程体验存在着个体差异，因此我们的问题应该要多层次设计，然后开放式讨论，让学生的疑惑和困难暴露出来.作为课堂的生长点，每个学生在分析问题时产生的不同的个性经验都是可贵的教学资源.我们在复习课中应该充分利用好这些资源，让他们自己的想法能够在交流的过程中得到有效的补充，解决数学问题经验获得正增长，实现知识结构的有效构建和经验体系的逐步完善.。

一题多变在教学中的运用

2 一题多变在教学中的运用利用基本不等式求最值，体现“一题多变”对学生发散思维的启迪。

“一题多变”是题目结构的变式，将一题演变成多题，而题目实质不变，让学生解答这样的问题，能随时根据变化的情况思考，从中找出它们之间的区别和联系，以及特殊和一般的关系。

使学生不仅能复习、回顾、综合应用所学的知识，而且使学生把所学的知识、技能、方法、技巧学牢、学活，培养思维的灵活性和解决问题的应变能力。

例、若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x=a 处去最小值，求a 的值。

本题考查的是“基本不等式”的简单应用，即可利用)0,0(2>>+≤b a b a ab 将问题解决，但它不能够充分发挥此题的作用，学生易忽视“基本不等式”应用前提“一正二定三相等”。

所以我们教学时应在学生易错、易混淆出进行变式教学，进而促进对“基本不等式”应用的深刻体会。

2x 变式1、若x<0，求x+的最大值。

对于初学者而言，拿到此题不得不仔细推敲它是否可以直接运用“基本不等式”求解。

显然它违背了“基本不等式”中“一正”这样一个大前提。

因此，这一题必须先将变量x 化到正数区间，然后运用“基本不等式”进行求解。

1x>2x+2x -变式2、若，求f(x)=的最小值。

通过观察此题，当x>2时通过变形可得到x-2>0，将此作为整体，能够保证其形式与“基本不等式”结构大体上不变，即满足其前提中的“二定”中形式一致性，从而可运用“基本不等式”将问题解决。

4x>2x+x 变式3、若，求函数f(x)=的最值域。

不难看出当x>2时，是的不等式应用时，等号无法取到，即“三相等”无法满足，所以只好另寻他法，当我们尝试研究函数的图像利用其单调性求函数最值时，即可轻而易举得到次函数在该题设条件下的值域。

140,02a b a b y a b >>+==+变式4、已知，求的最小值。

对于此题，光从表面是无法看出它与“基本不等式”有什么关联，但是题设中给出2a b +=这样一个条件，为此我们将1和4用含有a 和b 的代数式替换掉，变形整理后可以得到2522++=b a a b y ，这样一个式子能够浅显的体现“基本不等式”中“一正二定”这两个特点，从而就可以利用基本不等式轻易的将其解答。

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。

它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。

接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。

一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。

这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。

通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。

例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。

这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。

一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。

这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。

通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。

例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。

在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。

首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。

通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。

其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。

通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。

同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。

教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。

此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。

数学课堂巧用一题多变

数学课堂巧用一题多变数学课堂中，教师常常面临着一个挑战：如何巧妙地利用一道题目，让学生在解题中得到更多的启发和思考？一题多变就是数学课堂的重要教学策略之一，通过对一个题目进行变形和延伸，让学生在解题过程中形成更加丰富的思维模式和解题技巧。

本文将从一题多变的优势、实施方法以及一些案例进行介绍，希望对数学教学工作者有所启发和帮助。

一、一题多变的优势1. 拓展思维：通过一题多变，能够激发学生的求解兴趣，让他们思维得到拓展。

在解题的过程中，学生需要灵活应用知识，从不同角度思考问题，这有助于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

2. 提高综合能力：一道题目的不同变形可以涉及到不同的数学知识点，从而提高学生的数学综合运用能力。

学生需要在解题过程中叠加使用各种知识点，这对于他们整合知识有着积极的促进作用。

3. 增强记忆力：通过一题多变，学生可以多次重复接触同一类型的问题，从而更加牢固地记忆和掌握相关知识点。

这将有助于学生的知识扎实度和掌握程度的提高。

4. 培养创新思维：在一道题目的变形中，学生需要不断地寻找解题路径，从而培养出创新思维。

这有助于学生在解题过程中培养出探索和变换解题思路的习惯，提高他们在数学领域的创造力。

二、一题多变的实施方法1. 结合课本内容：在教学中，教师首先要熟悉教材的内容，对于一些重点题目进行深入理解和思考。

然后，在课堂上将这些题目进行一问多答，变换不同的题目形式，引导学生多角度思考。

2. 基于学生的实际水平：教师需要根据学生的实际水平，有针对性地设计一题多变的题目。

对于基础薄弱的学生，可以从基础巩固入手，逐步引导学生适应题目的变化。

而对于学霸学生，可以提出更加复杂的一题多变问题，拓展他们的数学思维。

3. 细致设计：在进行一题多变的教学设计时，教师需要考虑到每一个变化的题目，确保变化的题目质量和难度适宜。

这样才能真正发挥一题多变的教学效果，提高学生的学习兴趣和效果。

4. 案例训练：在教学中，通过大量的案例训练，让学生不断地接触和尝试不同的题目变形形式。

一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４㊀一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用Һ刘㊀月㊀刘㊀君㊀（北华大学数学与统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学作为一门工具学科，广泛地应用于我们的生活中．高中数学更是数学教学阶段的重点和难点．在实际教学中，尤其注重学生逻辑思维灵活性㊁发散性的培养．因此，教师通过什么样的教学方法才能使学生更好地学习数学，这是一个值得深思的问题．在实际教学中发现，通过对学生进行长期的一题多解与一题多变训练会有效地培养学生思维的灵活性与多向性，所以，教师应把一题多解和一题多变的教学方法应用到课堂中．ʌ关键词ɔ高中数学；一题多解；一题多变一题多解就是学生寻找多种方法做单个的数学题，不但使学生的思维得到了拓展，而且提高了学生对数学公式㊁定义㊁定理应用的灵活性．一题多变就是通过改变题干中的已知条件，让学生从多角度认识问题，通过对比㊁类比㊁联想来解决问题，促进学生学习数学知识的连贯性．而对于一题多变，学生内心都比较恐惧，容易被题目表面所迷惑，找不到正确的做题方法．其实无论哪种方法，学习数学的关键都是把数学题目变成自己所能看得明白的语言，从而找到做题的切入点，最终你会发现所用到的知识点与公式都是一样的．下面，笔者就根据自己在课堂上的实际教学经验来谈谈在高中数学教学中应用一题多解和一题多变的教学方法的重要性．一㊁在教学中应用一题多解和一题多变１．推导数学公式无论是在初中还是在高中，数学学习的基础与关键都是熟记公式．就像建筑工人需要用工具建一栋大楼一样，学习数学就像建楼，数学公式就是工具，没有了工具是无法完成这项工作的．当然，熟记公式也是有方法的，不能死记硬背公式，因为高中数学公式非常的复杂且多，如果不能理解与认识数学公式，很容易把大量的公式背混或者考试时突然忘记．而不会应用数学公式去做题是高中数学学习中出现最大的问题，这个时候推导公式就起到了作用，掌握了数学公式的推导，进而知道了公式的由来，所以加深了对公式的理解．而在推导数学公式的过程中用到一题多解，学生既能从中掌握做题的技巧，也能加深对公式的记忆．２．例题讲解在课堂教学中，教材上的例题和课后的习题讲解是重中之重．我们都知道，例题和习题的选取都具有典型的代表性，在做题中会发现许多题都和例题有一定的联系，并且解题方法的核心是不变的．所以，在例题和习题的讲解演练过程中，教师应让学生掌握一题多解和一题多变的方法，使学生从几个典型的例题中找到做一类题的解题技巧与规律，避免题海战术，使学生产生厌烦的心理．二㊁应用一题多解与一题多变的实际例子１．一题多解推导公式数列是高中数学学习的重点也是难点之一，在高考中占有很大的比重，这一块知识的公式也非常多．比如，等差数列㊁等比数列的通项公式，前ｎ项和公式以及有关性质的公式．其实，有很多的公式都可以用多种方法推导出来，这里我仅以等差数列的通项公式ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ为例，用两种不同的方法推导一下．推导方法１ａ２＝ａ１＋ｄ，ａ３＝ａ２＋ｄ＝ａ１＋２ｄ，ａ４＝ａ３＋ｄ＝ａ１＋３ｄ，ａ５＝ａ４＋ｄ＝ａ１＋４ｄ，依此类推，我们归纳得出ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．推导方法２根据等差数列的定义可以得到：ａ２－ａ１＝ｄ，ａ３－ａ２＝ｄ，ａ４－ａ３＝ｄ，ａｎ－３－ａｎ－４＝ｄ，ａｎ－２－ａｎ－３＝ｄ，ａｎ－１－ａｎ－２＝ｄ，ａｎ－ａｎ－１＝ｄ．相加得ａｎ－ａ１＝（ｎ－１）ｄ，化简得ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．对学生而言，推导方法１更简单点，也很容易理解．但推导方法２意义更加重大，不但加深了学生对通项公式的记忆与理解，而且得出了求数列通项公式的一种方法累加法，这种方法也是我们要重点学习的，在以后的学习中经常会遇到应用累加法求通项公式的问题，学生通过此次推导一定会学以致用．２．一题多解例题分析例１㊀在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对应的边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知２ｂ－２ａ＝２ｃ㊃ｃｏｓＡ．（１）求角Ｃ．（２）若ｃ＝２，求әＡＢＣ面积的最大值．第（１）小题解法１㊀由余弦定理可得２ｂ－２ａ＝２ｃ㊃ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ，整理得２ａｂ＝ｂ２＋ａ２－ｃ２，ʑｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＝２ａｂ２ａｂ＝２２，ʑＣ＝π４．解法２㊀由正弦定理可得２ｓｉｎＢ－２ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ，在әＡＢＣ中，２ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）－２ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ，整理得ｓｉｎＡ（２ｃｏｓＣ－２）＝０．ȵｓｉｎＡʂ０，ʑｃｏｓＣ＝２２，ʑＣ＝π４．第（２）小题解法１㊀由正弦定理得ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２２，㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀㊀ʑｂ＝２２ｓｉｎＢ，ａ＝２２ｓｉｎＡ，ʑＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝２２ｓｉｎＢｓｉｎＡ＝２２ｓｉｎ３π４－Ａ()㊃ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ２Ａ－π４()＋１．ȵＡɪ０，３π４()，ʑ２Ａ－π４ɪ－π４，５π４()，ʑ当ｓｉｎ２Ａ－π４()＝１，即Ａ＝３π８时，ＳәＡＢＣｍａｘ＝１＋２．解法２㊀由余弦定理，得２２＝ａ２＋ｂ２－４２ａｂ，整理得ａ２＋ｂ２＝２ａｂ＋４，由重要不等式ａ２＋ｂ２ȡ２ａｂ，得ａｂɤ４＋２２，ʑＳәＡＢＣ＝２４ａｂɤ１＋２，当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立．ʑＳәＡＢＣｍａｘ＝１＋２．例１这道题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，每一小问都能用两种不同的方法作答．在第（１）问中，教师可以先给学生讲解用余弦定理把角化成边的方法，接下来通过提问谁还能想到其他方法来解决这个问题，让同学们分组讨论．在这个过程中，教师可以适当地引导学生利用正弦定理把边化角的方法做这道题，最后一定要鼓励学生积极发言，让学生参与这个头脑风暴中．在第（２）问中，教师可以先提问学生要想解决这个问题应该用三角形的哪个面积公式，这样就很好地复习了面积公式，然后根据这个三角形的面积公式思考用什么方法求最值问题．第一种方法就是边化角，转化成求三角函数的有界性，第二种方法就是利用重要不等式求最值．最后，让学生比较哪种方法更简单，说说自己更擅长用哪种方法，这样就会知道自己哪些知识点掌握得不好，哪些方面需要加强．３．一题多变例题分析例２㊀已知ｃｏｓα＝４５，且α是第四象限角，求ｔａｎα．解㊀ȵｓｉｎα＝－１－ｃｏｓ２α＝－３５，ʑｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝－３４．变１㊀已知ｃｏｓα＝４５，求ｔａｎα．解㊀当α为第一象限角时，ｓｉｎα＝１－ｃｏｓ２α＝３５，ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝３４．当α为第四象限角时，ｓｉｎα＝－１－ｃｏｓ２α＝－３５，ｔａｎα＝－３４．变２㊀已知ｃｏｓα＝ｔ（ｔ＞０），求ｔａｎα．解㊀当ｔɪ（０，１）时，α为第一象限角或第四象限角．当α是第一象限角时，则ｓｉｎα＝１－ｔ２，ｔａｎα＝１－ｔ２ｔ．当α是第四象限角时，则ｓｉｎα＝－１－ｔ２，ｔａｎα＝－１－ｔ２ｔ．变３㊀已知ｃｏｓα＝ｔ（｜ｔ｜ɤ１），求ｔａｎα．解㊀当ｔ＝０时，ｔａｎα不存在．当ｔ＝ʃ１时，ｔａｎα＝０．当α是第一象限角或者是第二象限角时，ｓｉｎα＝１－ｔ２，ｔａｎα＝１－ｔ２ｔ．当α是第三象限角或者是第四象限角时，ｓｉｎα＝－１－ｔ２，ｔａｎα＝－１－ｔ２ｔ．例２这道题考查同角三角函数的基本关系与商数关系，对于学生而言，根据三者之间的关系会很容易做出这道题．与例２相比，变式１中角α的范围没有明确，会有很多的同学容易忽视这个问题，这类同学一方面是读题不认真粗心大意；另一方面也反映了他们对这块知识点掌握得不是很好．因此，教师可以提问学生看出来这两道题有什么不同，这样就提示了学生，给学生一个正确的思路．在变式２中，ｃｏｓα的值不再是具体的数值，而是变成了一个有范围的参数，难度稍微增大，可以让同学们讨论研究一下解法，并找两名同学到黑板上作答．最后引导学生发散思维，对例２进行其他的变形，对于想出其他变形的同学要进行表扬，让同学们在数学学习中体验到成就感，也加深学生对知识的深层次理解．当然不只变式３一种，这里就不再具体说明了．三㊁结束语高中数学有两个显著的特点，一个是灵活，一个是多变．教师往往为了学生能够熟练地掌握数学知识都会采用题海战术，给学生布置大量重复题型的课后作业，但学生既要完成数学作业，又要完成其他科目的作业，大量的作业就会让学生感到枯燥和无力，进而产生厌恶的心理，久而久之，对数学就失去了兴趣．所以，教师要解决这个问题，一题多变和一题多解就起到了很重要的作用．因为我们都知道高中数学的学习最重要的是有一个好的学习方法，关键是把学过的知识点贯串起来，通过类比，更好地掌握知识．而教师通过一题多解和一题多变的教学，会使数学知识点增多，学生在做题的过程就学会了更多的知识．在复习旧知识点的同时还能知道自己哪些知识点掌握得不好，对新知识的学习起到了承前启后的作用，成为一个过渡的桥梁．我们从以上的两道例题中就可以看出一题多变和一题多解的重要性，它们既巩固了数学知识，又培养了学生多动脑思考的好习惯，让学生在课堂上发挥自己的主导地位，不再一味地听老师讲，让学生对数学产生兴趣，进而爱上数学．总而言之，教师应该在数学教学中多使用一题多解与一题多变的教学方法，但要注意的是，并不是所有的数学题都适合这种教学方法，教师应该在当前国家教育提出的核心素养目标的前提下对学生进行合理的训练．教师可以挑选一些有针对性的题，通过精心的研究，创新的拓展，引导学生用多种方法来解答，让学生尝试自己去改变题中已知条件或者结论，自己作答．但要注意的是，一题多变要遵循由浅到深，由易到难的原则，循序渐进地引导学生，不要跳跃性太大，打击学生学习的积极性．这就需要教师多研究学生的心理与目前这个阶段的认知水平．一题多解和一题多变的教学方法一定会使学生的学习成绩有所提高．ʌ参考文献ɔ［１］郭兴甫．重视课本例题习题教学［Ｊ］．课程教材教学研究：中教研究，２０１７（１１）：２０－２７．。

数学课堂巧用一题多变

数学课堂巧用一题多变数学课堂中，老师经常通过设置一些巧妙的题目来激发学生的兴趣，锻炼学生的思维能力。

而一题多变是指通过变化题目背景、条件或者问法，使得原本看似相同的问题变得不同，从而引出不同的解题思路和方法。

本文将介绍一些数学课堂中常见的巧用一题多变的情景，来展示数学的多样性和灵活性。

第一个情景是关于平面几何中的线段划分问题。

在平面上给出一个固定长度的线段AB，要求将其分割成n段，其中每一段的长度都要等于 m（m是一个整数）。

许多学生可能会采用均分法来解决这个问题，即线段AB的长度除以n。

我们可以通过改变题目的背景条件来引出其他解题思路。

如果题目给出了一个长度更长的线段AC，并要求将其分割成n段，而且每一段的长都要等于线段AB的长度m。

那么学生可能会想到利用相似三角形的性质来解决问题。

这样一来，相同的问题通过改变题目的条件，就变成了不同的解题思路和方法。

第二个情景是关于概率问题中的抽样问题。

在概率课上，老师通常会给出一个抽取球的问题，要求计算某个事件发生的概率。

从一个装有20个红球和30个蓝球的盒子中，随机抽取3个球，要求计算抽到3个红球的概率。

学生可能会采用组合数的方法来解决这个问题。

我们可以通过改变题目的条件来引出其他解题思路。

如果题目改成从一个装有n个红球和m个蓝球的盒子中，随机抽取k个球，要求计算抽到r个红球的概率。

那么学生可能会发现这是一个概率分布问题，可以利用二项分布的公式来计算概率。

通过改变题目的条件，就引出了不同的解题思路和方法。

第三个情景是关于函数的问题。

在函数课上，老师经常会给出一些函数的性质或者定义，要求学生应用这些性质或定义来解决问题。

给定一个函数f(x)，已知f(3)=7，要求计算f(6)、f(9)等。

学生可能会采用函数的图像或者定义进行计算。

我们可以通过改变题目的形式来引出其他解题思路。

如果题目改成给定一个函数f(x)，已知f(x)=x^2-2x+1，要求计算f(3)、f(4)等。

“一题多解”与“一题多变”在高中数学教学中的应用

“一题多解”与“一题多变”在高中数学教学中的应用发表时间：2020-11-18T07:32:20.952Z 来源：《中小学教育》2021年第414期作者：许童[导读] 一题多解具体所指向的是，某个数学题目存在着两种或两种以上的解题方向以及解题办法。

安徽省明光中学239400摘要：在高中的数学教学过程中，除对数学相关基础知识的教学之外，还要求能够培养学生的问题分析及处理能力。

在高中数学科目学习期间，学生往往会面对大量练习题，而其中有部分题目可采用多种解题办法，也可变化成为多种形式。

为此，文章中以不同的高中数学题目为例，分析及总结了一题多解与一题多变的具体应用方法。

关键词：高中数学一题多解一题多变一、一题多解与一题多变的内涵一题多解具体所指向的是，某个数学题目存在着两种或两种以上的解题方向以及解题办法。

一题多变具体所指向的是某个数学题目存在着多种变化，但解题的核心却并未改变。

也可将其理解为针对一个数学题目的分析，后在其基础上完成类比与延伸等，进而衍生出更多相关的题目，经由对变题规律的了解获取相应的结论。

在习题训练过程中，一题多解或一题多变均需要学生能够将题目转换成为方便理解的数学语言，进而探寻到解题的着手点。

二、一题多解与一题多变在数学中的应用优势1.一题多解的方式有助于激发学生兴趣。

这类型的题目更容易激发学生的好奇心，带着探索的心理进行数学题目的分析以及解答。

2.一题多变的方式有助于培养学生的创新能力。

此种操作能够促使学生综合应用已经具备的知识，提升其应变能力与创新能力。

三、高中数学教学中一题多解与一题多变的具体应用1.基于函数值域类型题的一题多解与一题多变应用应用案例：求函数f(x)=x+ 的值域(x＞0)。

2.基于例题讲解的一题多解与一题多变应用。

在一题多解的应用下，一道数学题目中，基于分析方向的差异能够获取多个解题思路，从而衍生出多种解题办法，促使学生的思维能力以及创新能力得到提升。

在一题多变的应用下，对于同一个数学题目展开联想或类比，能够获取诸多相似的题目，甚至于发现更一般的结论。

浅谈“一题多变”对高中数学学习的作用

此题目的是让学生了解线性规划的意义,了解线性约束条可行域和最优解等概念,理解线性会利用图解法求线性目标函数的最优解.对于线性规划还有这样的典型例题,是上一题的变式:
满足约束条件x ≤2y ≤2x+y ≥2{,在此约束条件下,求浅析小学数学课堂小组合作学习的实效性
周春祥(辽宁省本溪市桓仁县沙尖子学校小组合作学习可以使学生的探索性、自主性、研究性学习的能力得到提高课堂上设置合理的小组学习内容、创设合作学习的课堂氛围. All Rights Reserved.。

数学课堂巧用一题多变

数学课堂巧用一题多变数学课堂是许多学生望而却步的存在，但如果巧用一题多变的教学方法，将能够激发学生的学习兴趣和主动性，使数学课堂变得更加有趣和生动。

本文将分享一些在数学课堂上巧用一题多变的方法和技巧，希望能够有所启发。

一、利用图表多角度解题在数学课堂上，老师可以利用图表多角度解题的方法来让学生更好地理解和掌握知识。

可以设计一道关于比例的题目，通过绘制图表的方式来呈现。

学生可以根据图表内容来解答各种问题，从而进一步理解比例的概念和运用。

二、应用实际场景进行推理数学知识的应用并不局限于课本上的题目，而是与实际生活息息相关。

在数学课堂上，老师可以借助实际场景来进行推理和解题。

可以设计一道关于面积的题目，通过实际场景的描述来引导学生进行推理和计算，从而让学生更好地理解面积的计算方法。

三、变换题目类型进行拓展四、引导学生进行讨论和解答在数学课堂上，老师可以引导学生进行讨论和解答，从而培养学生的思维能力和解决问题的能力。

可以设计一道关于平面几何的题目，让学生进行小组讨论并给出解答。

通过学生之间的交流和讨论，可以让他们更好地理解知识和方法。

五、设计多种难度的题目在数学课堂上，老师可以设计多种难度的题目，从而满足不同学生的学习需求。

可以设计一道关于代数方程的题目，其中既包含基础知识的运用，也包含较高难度的推理和解答。

通过不同难度的题目，可以帮助学生更好地巩固和提高自己的数学能力。

六、利用游戏方式进行教学在数学课堂上，老师可以利用游戏方式进行教学，从而让学生更加主动参与和学习。

可以设计一款数学游戏，让学生在游戏中进行解题和竞赛，从而增加学生的学习兴趣和积极性。

通过游戏方式进行教学，可以使数学课堂变得更加有趣和生动。

七、引导学生进行探究性学习。