2018年全国各地中考数学真题分类汇编—第26章矩形、菱形与正方形 精品

2018年全国各地中考数学真题分类汇编—矩形、菱形与正方形1. （2018福建福州，21，12分）已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .(1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中, ①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.【答案】(1)证明:①∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴CAD ACB ∠=∠,AEF CFE ∠=∠ ∵EF 垂直平分AC ,垂足为O ∴OA OC = ∴AOE ∆≌COF ∆ ∴OE OF =∴四边形AFCE 为平行四边形 又∵EF AC ⊥∴四边形AFCE 为菱形ABC DEF图10-1O图10-2备用图②设菱形的边长AF CF xcm ==,则(8)BF x cm =- 在Rt ABF ∆中,4AB cm =由勾股定理得2224(8)x x +-=,解得5x =∴5AF cm =(2)①显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形;同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA = ∵点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒 ∴5PC t =,124QA t =- ∴5124t t =-,解得4t = ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,43t =秒.②由题意得,以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P 、Q 在互相平行的对应边上. 分三种情况:i)如图1,当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时,AP CQ =,即12a b =-,得12a b += ii)如图2,当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时,AQ CP =, 即12b a -=,得12a b +=iii)如图3,当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时,AP CQ =,即12a b -=,得12a b +=综上所述,a 与b 满足的数量关系式是12a b +=(0)ab ≠2. （2018广东广州市，18，9分）如图4，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．【答案】∵四边形ABCD 为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF ，AC=AC ∴△ACE ≌△ACF （SAS ）3. （2018山东滨州，24，10分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。

那么当点O 运动到何下时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

【答案】（第24题图）F E NM O CBA图1图2图3图4当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形………………2分证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分同理，FO=CO………………6分∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分∴四边形AECF是矩形………………10分4. （2018山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC 于M，交边AB的延长线于N.当6CP=时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP=，所以DF FC=.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN=的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EFEN EG=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ··················· 2分∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=.∴31155EM EF EN EG ===. ····················· 4分 （2）证明：作M H ∥BC 交AB 于点H ， ················· 5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠， ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ············ 7分 ∴DP MN =. ························ 8分(第22题)(第22题)H BCDEMNAP5. （2018山东威海，24，11分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与D N 交于点K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠KNM =∠1． ∵∠KMN =∠1， ∴∠KNM =∠KMN ． ∵∠1=70°， ∴∠KNM =∠KMN =70°． ∴∠MNK =40°． （2）不能．过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME =AD =1, 由（1）知∠KNM =∠KMN ． ∴MK =NK ． 又MK ≥ME , ∴NK ≥1． ∴1122MNK S NK ME ∆=⋅≥．∴△MNK 的面积最小值为12，不可能小于12． （3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与点D 重合． 设MK =MD =x ，则AM =5-x ，由勾股定理，得2221(5)x x +-=,解得， 2.6x =． 即 2.6MD ND ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ． 设MK =AK = CK =x ，则DK =5-x ，同理可得 即 2.6MK NK ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． ∴△MNK 的面积最大值为1.3． （情况二）6. （2018山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．【答案】（1）证明：连接AC ， ∵∠ABC ＝90°， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∵CD ⊥AD ，∴AD 2＋CD 2＝AC 2.∵AD 2＋CD 2＝2AB 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2， ∴AB ＝BC.（2）证明：过C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.∴CD＝EF.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.7. (2018 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.（2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝12BC＝5.8．（2018宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．解：（1）□ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点 ∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB∴DF ∥BE ，DF ＝BE∴四边形DEBF 为平行四边形 ∴DE ∥BF(2)证明：∵AG ∥BD ∴∠G ＝∠DBC ＝90° ∴∆DBC 为直角三角形 又∵F 为边CD 的中点． ∴BF ＝12DC ＝DF又∵四边形DEBF 为平行四边形 ∴四边形DEBF 是菱形9. （2018浙江衢州，22,10分）如图，ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE BC ，过点D 作,DEAB DE 与AC AE 、分别交于点O 、点E ，连接EC求证：AD EC =;当Rt BAC ∠=∠时，求证：四边形ADCE 是菱形； 在（2）的条件下，若AB AO =，求tan OAD ∠的值.B【答案】.证明：(1)解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE 是平行四边形，所以AE//BD 且AE=BD ，又因为AD 是边BC 上的中线，所以BD=CD ，所以AE 平行且等于CD ，所以四边形ADCE 是平行四边形，所以AD=EC. 解法2：//,//,DE AB AE BCABDE B EDC ∴∠=∠四边形是平行四边形， AB DE ∴= 又AD BC 是边上的中线BD CD ∴=()ABD EDC SAS ∴≅ AD ED ∴= (2)解法1： 证明Rt ,BAC AD ∠=∠是斜边BC 上的中线AD BD CD ∴== 又四边形ADCE 是平行四边形 四边形ADCE 是菱形解法2 证明：//,Rt DE AB BAC ∠=∠DE AC ∴⊥ 又四边形ADCE 是平行四边形 四边形ADCE 是菱形解法3 证明：Rt BAC AD BC ∠=∠，是斜边上的中线AD BD CD ∴==四边形ABDE 是平行四边形AE BD CD ∴== 又AD ECAD CD CE AE=∴===∴四边形ADCE 是菱形解法1 解：四边形ADCE 是菱形,90AO CO AOD BD CD∴=∠=︒=又OD ABC ∴∆是的中位线，则12OD AB =12AB AOOD AO=∴= 1Rt tan 2OD ABC OAD OA ∴∆∠==在中， 解法2 解：四边形ADCE 是菱形1,,90212AO CO AC AD CD AOD AB AOAB AC∴===∠=︒=∴=1Rt tan 21tan tan 2AB ABC ACB AC AD CD DAC DCA OAD ACB ∴∠===∴∠=∠∴∠=∠=在中，10. （2018浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），① 试用含α的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ；③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．A BCDHEFG（第23题图2）E BFGDHAC（第23题图3）（第23题图1）A BCDH EFG【答案】（1）四边形EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a ．在□ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a ； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－a ）＝90°＋a ．②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴AB ，CD ， 在□ABCD 中，AB=CD ，∴AE=DG ，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD ＋∠ADC ＋∠CDG ＝90°＋a ＝∠HAE ． ∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD ，∴△HAE ≌△HDG ，∴HE=HG ． ③四边形EFGH 是正方形．由②同理可得：GH=GF ，FG=FE ，∵HE=HG （已证），∴GH=GF =FG=FE ，∴四边形EFGH 是菱形；∵△HAE ≌△HDG （已证），∴∠DHG=∠AHE ，又∵∠AHD=∠AHG ＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG ＋∠AHE ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．13. （2018福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1． (1)证明：△A 1AD 1≌△CC 1B ；(2)若∠ACB ＝30°，试问当点C 1在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC 1D 1是菱形. （直接写出答案） 【答案】 ∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC ∥AD ∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1． ∴∠A 1=∠DAC,A 1D 1=AD,AA 1=CC 1∴∠A 1=∠ACB ，A 1D 1=CB 。