2.2.2,2.2.3牛顿插值法

f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j ) f [ x , x0 , x1 ,, xn ]( x x j )
k 1 j 0 j 0
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n

k 1
n
N n ( x) f [ x , x0 , x1 ,, xn ]( x x j )
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
f k f k f k 1
k 1,2 ,, n
为f ( x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
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j 0
n
Nn ( x) Rn ( x)
f ( n1) ( ) n1 ( x) f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n 1 ( x) 因此 Rn (x) (n 1)!
一般
Rk (x) f [ x0 , x1 ,, xk 1 ]k 1 ( x)
(3) 当f（k ) ( x)在包含节点 0 , x1 ,, xk的区间存在时 x ,
在x0 , x1 ,, xk 之间必存在一点 , 使得
f [ x0 , x1 ,, xk ]
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f
(k )
( ) k!
用余项的 相同证明
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差商的计算方法(表格法):
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
kn
f ( n 1) ( ) 另外 f [ x , x0 , x1 ,, xn ] ( n 1)!
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xk ] k!
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Newton插值 估计误差的 重要公式
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练习 设当xi 1,2,3,4,5时, f ( xi ) 1,4,7,8,6. 求四次牛顿 插值多项式.
x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 ) x4 f ( x 4 )
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规定函数值为零阶差商
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例1 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商 值 解: 计算得如下表 x f[x ] f[x ,x ] f[x ,x ,x ] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
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h maxhi
i
P( x)应满足插值条件 P( xi ) fi , i 0,1,, n
有
P( x0 ) f0 a0 P( x1 ) f1 a0 a1 ( x1 x0 )
a0 f 0
f1 f0 a1 x1 x0
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
Ax b
§
2.2.2 Newton插值法
§ 2.2.3 等距节点插值公式 bi lij x j
a12 a1 n a22 a2 n an 2 ann
i 1
a11 a21 A an 1
xi
j 1
lii
i 2 ,3 , , n
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
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显然，多项式组
1, x x0 , ( x x0 )(x x1 ), , ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
因此，可以作为插值基函数 线性无关，
设插值节点为 xi , 函数值为 fi f ( xi ) , i 0,1,, n
显然
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk 2 , xk ] xk 1 xk
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x)的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ),, f ( xk )的线性组合表示 且 ,
i i i i+1
i i+1 i+2
0 2 3 5 6
0 8 27 125
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80 4 20
27 8 19 32
19 4 5 30
125 27 49 53
216 125 91 65
49 19 10 52
91 49 14 63
10 5 1 50
依此类推
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f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik ]
f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 ] f [ xi0 , xi1 ,, xik 2 , xik ] xik 1 xik
为f ( x)关于节点 i0 , xi1 ,, xik1 , xik 的k阶差商 x
| R4 ( x) || f [ x0 , x1,, x5 ]5 (0.596) | 3.63 10 9.
或由x 0.596和f ( x) 0.63192, 得f [ x, x1,, x4 ]的近似值.
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2.2.3 等距节点插值公式
定义.
设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k , f k 0 ,1, , n , 称
f [ x0 , x1 ]
差商表
三阶差商
Chashang.m
四阶差商
二阶差商
x1 f ( x1 )
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x3 , x4 ] f [ x0 , x1 ,, x4 ]
k (x) ( x x j )
j 0
k 1
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j )
k 1
n
n
k 1 j 0
为k次多项式
f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k ( x)
k 1
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton基本插值多项式
由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为
f ( n1) ( ) n1 ( x) Rn ( x) f ( x) Nn ( x) (n 1)!
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下面推导余项的另外一种形式 若将x xi , (i 0,1,, n)视为一个节点则 ,
f [ x0 , x1 ,, xk , x] f [ x0 , x1 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 , x] xk x f [ x0 , x1 ,, xk 1 , x] f [ x0 , x1 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk , x](x xk )
0.19733( x 0.4)( x 0.55)( x 0.65) 0.03134 ( x 0.4)( x 0.55)( x 0.65)( x 0.8), f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192 ,
R4 ( x) ( x x0 )( x x1)( x x4 ) f [ x, x0 , x1,, x4 ],
9 33 1 24 x 4 12 x3 83 x 2 12 x 1 华长生制作 24
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例2 给定f ( x)的函数表， 求四次牛顿插值多项式，计算 f (0.596)的近似值，估计误差. 做出差商表，得到 N 4 ( x) 0.41075 1.116( x 0.4) 0.28( x 0.4)( x 0.55)
因此可得
f ( x) f0 f [ x, x0 ](x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
( x xi ) l j (x) i 0 ( x j xi )
n i j
j 0,1,2 ,, n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )(x x1 ), , ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
k xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 1 1 2 4 3 2 3 7 3 0 3 4 8 1 -1 -1/3 4 5 6 -2 -3/2 -1/6 1/24 N 4 ( x) 1 ( x 1) 3 ( x 1)( x 2) 0
1 ( x 1)( x 2)( x 3) ( 1 ) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( 24 ) 3
hi xi 1 xi , i 0,1,2 ,, n 1
插值条件为 P( xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 (x)具有如下形式 P
P( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
a0 f 0 a2 f [ x0 , x1 , x2 ] an f [ x0 , x1 ,, xn ] a1 f [ x0 , x1 ]
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定义3.
称
N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
P( x2 ) f 2 a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )(x2 x1 )
再继续下去待定系数的形式将更复杂
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为此引入差商和差分的概念
4Байду номын сангаас
一、差商(均差)
定义1. 设f ( x)在互异的节点xi 处的函数值为i , i 0,1,, n f 称
华长生制作 6
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
k
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x2 , x1 ] f [ x2 , x1 , x0 ]
2 f k f k f k 1 为f ( x)在 xk 处的二阶向后差分
f [ xi , x j ] fi f j xi x j (i j )
为f ( x)关于节点xi , x j 一阶差商 均差) (
f [ xi , x j , xk ] f [ xi , xk ] f [ xi , x j ] xk x j (i j k )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
14 10 1 62
9
216
二、Newton基本插值公式
设插值多项式
P( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn 1 )
满足插值条件 则待定系数为
P( xi ) fi , i 0,1,, n