用MATLAB计算等距三次样条插值问题
matlab三次样条用枚举法求值
Matlab三次样条插值并用枚举法求因变量对应的自变量已知一辆汽车行驶时一些时间点上的速度，时间点为：X=[5:10:125];速度值为：Y=[0.8,2.1,3.3,3.6,3.3,3.0,2.7,2.4,0.3,4.8,4.9,5.8,5.9];想要求得汽车整点速度时的时间值；即要求汽车行驶时出现速度为v=[1 2 3 4 5]时的时刻值。
思路：先利用三次样条插值取得足够的速度值，可以在速度变化区间取得稀疏一些，而在变化较大区间取得细密一些；然后利用枚举法对每个速度值和要求的速度值相比较，在一定精度范围内可以认为他们相等，然后把对应的时间值储存起来；得到的值可能很多，然后取合适的精度，得到时间值；将得到的时间点和图比较，调整程序。
程序：clear all;clcY=[0.8,2.1,3.3,3.6,3.3,3.0,2.7,2.4,0.3,4.8,4.9,5.8,5.9];%因变量X=[5:10:125]; %自变量plot(X,Y,'*'); %绘制点图hold onx=[5:0.0001:25,25.001:0.001:75,75.00001:0.00001:95,95.001:0.001:125];%调整插值点y=spline(X,Y,x); %三次样条插值plot(x,y,'r-'); %绘制曲线set(gca,'xtick',[0:10:140],'ytick',[0:0.5:7]); %调整坐标刻度xlabel('t(s)');ylabel('v(m/s)');title('速度随时间变化曲线');legend('原始数据','三次样条插值',2);grid on %以上都是图像属性设置%*****************枚举法***************************************************L=length(x);j=1;for i=1:Lf= abs(y(i)-1)<0.00001 | abs(y(i)-2)<0.00001 | abs(y(i)-3)<0.00001 |...abs(y(i)-4)<0.000001 | abs(y(i)-5)<=0.0001;if f==1y1(j)=y(i);x1(j)=x(i);j=j+1;endendy1=vpa(y1,4);x1=vpa(x1,4); %取合适的精度%*******************去掉精度范围内重复的值*********************************** dx=diff(subs(x1)); %对散点求导n=length(dx);k=1;%************存储不重复的值****************for i=1:nif dx(i)~=0s(k)=y1(i);t(k)=x1(i);k=k+1;endendt=[t,x1(end)]';v=[s,y1(end)]'; %最终结果disp(' 时间(s) 速度(m/s) ')disp(subs([t v])) %显示结果结果：时间(s) 速度(m/s)6.8500 1.000014.3000 2.000021.8800 3.000055.0000 3.000076.5000 2.000079.5800 1.000087.3200 1.000089.3600 2.000091.1500 3.000093.0400 4.000095.7300 5.0000103.4000 5.0000108.6000 5.0000>>图形曲线：。
Matlab实验报告六(三次样条与分段线性插值)范文
本题是给出粗略等分点让你插入更多点用双线性插值法来作出更清晰的山区地貌图。
2.问题求解
x=0:400:2800;
y=0:400:2400;
z=[1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940;
1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200;
2.分段线性插值与计算量与n无关;n越大，误差越小.
3.三次样条插值比分段线性插值更光滑。
4.‘linear’：分段线性插值；‘spline’：三次样条值。
【实验环境】
MatlabR2010b
二、实验内容
问题1对函数 ，x[-5,5]，分别用分段线性插值和三次样条插值作插值（其中插值节点不少于20），并分别作出每种插值方法的误差曲线.
本次实验因为是我们课本没有的内容，心理上给了我很大的压力，幸好我们还能根据老师的课件以及例题去掌握这次实验所需要的各种插值法，但结果还好，两道题都做出来了。
plot(x,y,'*',x1,yl,'r',x1,y2,'b')
y0=1./(1+x1.^2);
y3=yl-y0;
y4=ys-y0;
holdon
plot(x1,y3,'y',x1,y4,'g')
3.结果
4误。
问题2山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800）（0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表1，试作出该山区的地貌图.
1.分析问题
本题先取出少量的插值节点并作出图形，再用分段线性插值法和三次样条插值法做出更精确的图形，最后在作出误差曲线。
matlab三次样条插值例题解析
文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。
而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。
2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。
3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。
这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。
通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。
4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。
spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。
5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。
在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。
在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。
我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。
通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。
在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。
Matlab求解插值问题
Matlab求解插值问题在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
实例：海底探测问题某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。
并绘出较细致的海底曲面图。
1、一元插值一元插值是对一元数据点(x i,y i)进行插值。
线性插值：由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。
一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
调用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %线性插值zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次样条插值wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多项式插值说明：yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。
x、y为已知数据点。
例：已知数据：求当x i=0.25时的y i的值。
程序：x=0:.1:1;y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')xi=0:.02:1;yi=interp1(x,y,xi,'linear');zi=interp1(x,y,xi,'spline');wi=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式')结果：yi0 = 0.3500要得到给定的几个点的对应函数值，可用：xi =[ 0.2500 0.3500 0.4500]yi=interp1(x,y,xi,'spline')结果：yi =1.2088 1.5802 1.34542、二元插值二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点(x,y,z)构造见上面函数求出插值点数据(xi,yi,zi)。
三次样条插值函数MATLAB编程实现
三次样条插值函数为()()[)()[]1011,,,,n n n S x x x x S x S x x x x-⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩ 利用三次埃尔米特插值函数表示三次样条插值函数，即()()()()())111111,,j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x ααββ++++++⎡=+++∈⎣（0,1,,1j n =-）基函数满足()()()()()()21112111121121111212jj j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j x x x x x x x x xx xx x x x x x xx xx x x x xx x x x x x xααββ++++++++++++⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭由上式易得()()()()()()()()()()()()()()1331111331112211112211612612246246j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx ααββ+++++++++++++++''=---+''=-+--+''=---+''=---则有()()()()()()()()()()()111111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ+++++++++++++++++++''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦)1,j j x x x +⎡⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎣⎦（0,1,,1j n =-）同理有()()()()()()()()()()()()()()()11111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ------------------''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦⎣)1,j j x x x -⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎦（1,,j n =）根据样条函数二阶导数连续性，即()()100j j j j S x S x +''''+=-（1,,1j n =-）即()()()()()()()()()()()()()()()()111111332211111111113322111166426624j j jj j j j j j j jj j jj j j j j j jj j j j jj j j j j jjj jj jj jj x x y x x y x x x x m m x x xx xx xx x x y x x y x x x x m m x x xx xx xx ++++++++++--------------+++--------=+++----（1,,1j n =-）化简得()()()()()111111111111233j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j xx m x x m x x m x x x x y y y y x x x x +-+--+-++-+--+-+---=-+---（1,,1j n =-）可得线性方程组()()()()()()()()()()0121201023231213121221111110212110211032213221322122233333n n n n n n n n n n n n m m x x x x x x m x x x x x x m x x x x x x m m m x x x x y y y y x x x x x x x x y y y y x x x x y ------⨯+-+⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---+------+---=()()()121112112113n n n n n n n n n n n n n x x x x y y y x x x x ----------⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪-+- ⎪--⎝⎭为了使样条插值问题有惟一解，我们在原有方程基础上增加两个边界条件。
MATLAB三次样条插值之三弯矩法
ＭATLＡＢ三次样条插值之三弯矩法首先说这个程序并不完善，为了实现通用（１，２，…,ｎ）格式解题，以及为调用追赶法程序，没有针对节点数在三个以下的情况进行分类讨论。
希望能有朋友给出更好的方法。
首先，通过函数saｎwanｊ得到方程的系数矩阵，即追赶法方程的四个向量参数,接下来调用追赶法(在inteｒｓaｎwj函数中），得到三次样条分段函数系数因子,然后进行多项式合并得到分段函数的解析式，程序最后部分通过判断输入值的区间自动选择对应的分段函数并计算改点的值。
附:追赶法程序cｈase％%%％％%%%%%%%％%fｕncｔiｏｎ [nｅwv,w,newu，neｗd]=sanwj（ｘ,y,x０,y0,y1ａ,y1b）ﻫ％三弯矩样条插值ﻫ％将插值点分两次输入，x0y０单独输入ﻫ% 边值条件a的二阶导数 y1a 和ｂ的二阶导数ｙ1b，这里建议将y１ａ和y1b换成y2a和ｙ2b,以便于和三转角代码相区别ﻫn=length(x);m=leｎgth(y);ｉf m~=nﻫerrｏｒ(＇x or y 输入有误,再来'）;endﻫv=ｏneｓ(ｎ-１，1);u=ｏnes(n－１,1）;d=zeros（n－１,１）;ﻫw=２*ｏnes(n+１)；ﻫh0=x（１）-x0;ﻫh=zerｏs(n-１,1);for k＝1:n-１ﻫｈ(k)＝x（k+1)－x（k);ﻫenｄｖ(1)＝h0/(ｈ0+h(1）);u(1)＝1－v（1）;ｄ（１)＝6*((y（2）-y(1）)/h（1)-(y(1)-y０)/ｈ0）/(h0+ｈ(１）);ﻫ%ｆoｒ k＝2:ｎ-1ﻫｖ(ｋ）＝h(ｋ-１)/(ｈ(k-１)+h(ｋ)）;ﻫu(k)=1－v(k);ﻫd（k)＝6*((y(ｋ+１)-ｙ（ｋ)）/h（k）-(ｙ(k）-y(ｋ-1）)/ｈ(k－1))／(h（k-1)+h(k));ｅndnewv=[v;1］;ﻫnewu=［1;u]；d0=6＊（(y(1)-y0)/h0-y1a)/h0;d(n)=6＊（y1ｂ-(ｙ(n）－ｙ(n-1))／ｈ(n-1))／h(ｎ-1）;newd=［d0;d];%%%%%%％％%％％％ｆunctｉon iｎｔersａnｗj（x，y,ｘ0,y0,y1a，y1b)%三弯矩样条插值ﻫ%第一部分ﻫn=leｎgtｈ(ｘ）;ｍ＝length(y);iｆ m~＝nﻫeｒror（'ｘｏｒy 输入有误，再来');enｄﻫ%重新定义hﻫh=zｅｒｏs(n,1）;h(1)=x（1）-ｘ０;fｏr k=2:nh（k)=ｘ(ｋ)－x(k-1)；ﻫend％sptep1调用三弯矩函数ﻫ[a,b,c,d]=sanwj(x，ｙ,ｘ0,ｙ0,y１ａ,y1b);% 三对角方程ﻫM＝cｈaｓe(a,b,ｃ,ｄ);% 求插值函数ﻫfｐrintf（＇三次样条(三弯矩)插值的函数表达式\ｎ')；sｙｍｓ X ；ﻫfpｒintf('Ｓ0--1:\n');S（１)＝cｏlｌeｃｔ（（(１/６）*M(2)*（X－x0)．^3－(1/6)*M(1)*(X－ｘ（1))．^3+(y(1)-(M(2)*h(１）.^2）/6)*(X－x０)－(y０－(Ｍ(1)*h（1)．^2）/6）＊(Ｘ-x(1））)/ｈ（1));ﻫfoｒ k=2：nｆpｒinｔｆ（＇Ｓ%d-－%d:\n',k-1,k)；Ｓ(ｋ)=ｃｏllect((（1／６)*M(ｋ+1)*(X-x(k－1)).＾３-(1／6)*M(ｋ)*(X-x(ｋ)).^３＋(y(k）-（M(k+1)*h(k).^2)/6）*(X－ｘ（ｋ-1)）-(y(k-１)-(M(k)＊ｈ(k)．^2)/６)*(X-ｘ（k)))/h(ｋ)）;ｅndﻫS=S．';ﻫｄisp（S);ﻫfprintf('以上为样条函数(三弯矩)解析式，显示为手写如下：＼n＇）；ﻫpreｔtｙ(S);%第二部分%是否继续运行程序ﻫmｙlｏop=iｎput('继续运行程序输入“1”，否则输入“0”\n＇);ﻫｉｆmyloｏpｗhile ｍylｏopxi＝input('输入需要计算的点的值，并按回车键\ｎ＇)；if ｘi＞ｘ0｜xi<x(ｎ）ﻫfｐrintf（＇现在开始计算输入点的插值函数值……\n');elseﻫfprintｆ（'输入数值不在插值范围内,请重新输入\n');ﻫｘi=inpｕｔ('输入需要计算的点的值,并按回车键……＼ｎ');eｎd％确定输入的数值应该使用哪个解析式newx=[x0;ｘ］;[r,suoy］＝min(ａbs(newｘ－xi)）；ﻫfpｒintｆ（'输入点的插值函数值为:\n\n＇)；fpr ｉntf(＇＼t＇);if ｘi＜=nｅwx(sｕｏy）ﻫf=ｓubs（S(suoy-１),X,xi）;ﻫelsef=sｕｂs(S(suoy）,X,ｘｉ)；eｎdｄisp(f);ﻫmｙloop＝inｐut('继续计算输入“1”，终止计算输入“０”\n')；endelsereturn；ｅnｄ%%%%%%％%%%%%functｉon[x]=chasｅ(a,ｂ,c,d)%追赶法解性方程组 a是下三角b是对角线c是上三角 d是常数项%输入的a ｂｃ d 均为列向量ﻫn=lengｔh(b)；ﻫu=ｚｅros(n,1）;ﻫv=zeroｓ(n，1);ﻫx=zerｏs（n,1);%追v(１）=c(1）/b(1);u(１)=d(1)/b(１）；for i＝2：n-１v（i)=c（ｉ)／（b(i)-v(i－1)*a(ｉ－1)）；u(i)=(d(i)－u（i-１)*a（i-1))/(b(i)-v(i-１)＊a(i-1）)；enｄﻫu(n）＝(ｄ(n）－ｕ(n-1）*a(n－1))/（b（n)-v(n-１)*a(n-1）)；ﻫ%赶ﻫx （n)=u(n）;ﻫfoｒｉ=n-1:-１:1x(i)＝u(i)－v(ｉ)*ｘ(ｉ+1);ﻫeｎd。
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定的数据点上拟合出一个光滑的曲线。
在Matlab中，可以使用内置的spline函数来实现三次样条插值。
以下是一个简单的示例代码：
matlab.
% 创建一些示例数据点。
x = 1:5;
y = [3 6 5 8 9];
% 使用spline函数进行三次样条插值。
xx = 1:0.1:5;
yy = spline(x, y, xx);
% 绘制原始数据点和插值结果。
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
legend('原始数据', '插值结果');
在这个示例中，我们首先创建了一些示例数据点x和y。
然后使用spline函数对这些数据点进行三次样条插值，得到了插值结果xx和yy。
最后，我们使用plot函数将原始数据点和插值结果进行了可视化展示。
需要注意的是，样条插值是一种较为复杂的数值计算方法，需要对输入数据进行适当的处理和理解。
在实际应用中，可能需要根据具体情况对插值方法进行调整和优化，以获得更好的结果。
希望这个简单的示例能够帮助你理解如何在Matlab中实现三次样条插值。
如果你有更多的问题或者需要进一步的解释，请随时告诉我。
MATLAB 三次样条
12.1
基本特征
在三次样条中，要寻找三次多项式，以逼近每对数据点间的曲线。在样条术语中，这 些数据点称之为断点。因为，两点只能决定一条直线，而在两点间的曲线可用无限多的三 次多项式近似。因此，为使结果具有唯一性。在三次样条中，增加了三次多项式的约束条 件。通过限定每个三次多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就可以较好地确定 所有内部三次多项式。此外，近似多项式通过这些断点的斜率和曲率是连续的。然而，第 一个和最后一个三次多项式在第一个和最后一个断点以外，没有伴随多项式。因此必须通 过其它方法确定其余的约束。最常用的方法，也是函数 spline 所采用的方法，就是采用非 扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。对最后 一个和倒数第二个三次多项式也做同样地处理。 基于上述描述，人们可能猜想到，寻找三次样条多项式需要求解大量的线性方程。实 际上，给定 N 个断点，就要寻找 N-1 个三次多项式，每个多项式有 4 个未知系数。这样， 所求解的方程组包含有 4*(N-1)个未知数。把每个三次多项式列成特殊形式，并且运用各种 约束，通过求解 N 个具有 N 个未知系数的方程组，就能确定三次多项式。这样，如果有 50 个断点，就有 50 个具有 50 个未知系数的方程组。幸好，用稀疏矩阵，这些方程式能够简 明地列出并求解，这就是函数 spline 所使用的计算未知系数的方法。
0 7.0000 0.0007 -0.0083 0.0042 0.3542 0.1635 4.9136 0.9391
1.0000 8.0000 0.0007 0.1068 0.0072 -0.2406 0.1925 0 1.2088
2.0000 9.0000 0.0010 -0.1982 0.0109 4.2439 0.2344 0.1263 1.5757
Matlab Spline 三次样条插值多项式表达式问题
如何运用MATLAB 三次样条插值的问题，今天做作业，突然想用Matlab搞搞。
题目如下：清华大学出版社的《数值分析（第5版）》P49,20题。
x=[0.25 0.3 0.39 0.45 0.53];y=[ 0.5 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 ]pp=csape(x,y,'second',[0,0.0]);disp(pp.coefs);其中COEFS的含义是在Xi-Xi+1区间上的多项式是，例如COEFS数组第一行的意思是在X=0.25到X=0.3的区间上时表达式是-6.2652*（X-0.25)^3+0.9697*(X-0.25)^1+0.5;-6.2652 0.0000 0.9697 0.50001.8813 -0.9398 0.9227 0.5477-0.4600 -0.4318 0.7992 0.62452.1442 -0.5146 0.7424 0.6708关于csape的用法引用自：/ck436/blog/item/6fe40c46400d3c046b63e52b.htmlcsape，是计算在各种边界条件下的三次样条插值。
pp = csape(x,y,conds)其中conds主要有以下的选项variational（自然边界条件，首末点二阶导数均为0），second （指定首末点的二阶导数），periodic（周期性边界条件，首末点的0~2阶导数相等），complete （给定导数情况，默认）function pp = csape(x,y,conds,valconds)%pp=csape(x,y,'变界类型','边界值'),生成各种边界条件的三次样条插值. 其中,(x,y)为数据向量%边界类型可为:'complete',给定边界一阶导数.% 'not-a-knot',非扭结条件,不用给边界值.% 'periodic',周期性边界条件,不用给边界值.% 'second',给定边界二阶导数.% 'variational',自然样条(边界二阶导数为0)% .%例考虑数据% x | 1 2 4 5% ---|-------------% y | 1 3 4 2%边界条件S''(1)=2.5,S''(5)=-3,% x=[1 2 4 5];y=[1 3 4 2];% pp=csape(x,y,'second',[2.5,-3]);pp.coefs % xi=1:0.1:5;yi=ppval(pp,xi);% plot(x,y,'o',xi,yi);。
MATLAB大作业 给定一个时间序列,使用三次样条插值方法进行均匀内插
MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。
）理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。
然后把这四个综合到一起得出预测的结果。
虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。
三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。
从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。
MATLAB大作业 给定一个时间序列,使用三次样条插值方法进行均匀内插
MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。
）理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。
然后把这四个综合到一起得出预测的结果。
虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。
三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。
从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。
matlab插值类型
matlab插值类型在MATLAB中，插值是一种常用的数据处理技术，用于估计在已知数据点之间的数值。
MATLAB提供了多种插值方法，每种方法都有其适用的情况和特点。
以下是一些常见的插值类型：1. 线性插值（linear interpolation），线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点之间的直线来估计新的数据点。
在MATLAB中，可以使用interp1函数来进行线性插值。
2. 三次样条插值（cubic spline interpolation），三次样条插值是一种平滑的插值方法，它利用已知数据点之间的三次多项式来估计新的数据点。
在MATLAB中，可以使用interp1函数并指定'cubic'选项来进行三次样条插值。
3. 最近邻插值（nearest neighbor interpolation），最近邻插值是一种简单的插值方法，它通过找到最接近新数据点的已知数据点来进行估计。
在MATLAB中，可以使用interp1函数并指定'nearest'选项来进行最近邻插值。
4. 二维插值（2D interpolation），除了在一维数据上进行插值外，MATLAB还提供了在二维数据上进行插值的方法。
可以使用interp2函数来进行二维插值，同样可以选择线性插值、三次样条插值或最近邻插值。
除了上述提到的插值方法，MATLAB还提供了其他一些特定的插值函数，如interpft、interpn等，用于处理不同类型的数据和插值需求。
选择合适的插值方法取决于数据的特点、插值精度的要求以及计算效率等因素。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法来进行数据处理和分析。
三次样条插值的MATLAB实现
MATLAB 程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。
其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤<⋯⋯<<≤10，函数()x f y =在节点i x 上的值()()n i x f y i i ⋯⋯==,2,1,0，并且如果函数()x S 在每个小区间[]1,+i i x x 上是三次多项式，于[]b a ,上有二阶连续导数，则称()x S 是[]b a ,上的三次样条函数，如果()x S 在节点i x 上还满足条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0则称()x S 为三次样条插值函数。
三次样条插值问题提法：对[]b a ,上给定的数表如下.求一个分段三次多项式函数()x S 满足插值条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0 式，并在插值区间[]b a ,上有二阶连续导数。
这就需要推导三次样条插值公式：记()x f '在节点i x 处的值为()i i m x f ='(n i ⋯⋯=,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。
在每个小区间[]1,+i i x x 利用三次Hermite 插值公式，得三次插值公式：()()()()1111+++++++=i i i i i i i i i m m x y x y x x S ββαα，[]1,+∈i i x x x 。
为了得到这个公式需要n 4个条件：(1).非端点处的界点有n 2个；(2).一阶导数连续有1-n 个条件；(3).二阶导数连续有1-n 个条件，其中边界条件：○1()()n n m x S m x S ='=' 00 ○2()()αα=''=''n x S x S 00 ○3()()()()16500403βααβαα=''+'=''+'n n x S x S x S x S○4n y y =0 ()()()()000000-''=+''-'=+'n nx S x S x S x S 其中：()⎩⎨⎧=≠=j i j i x j i,1,0α ()0='j i x α ()0=j i x β 且(1,0,=j i )。
样条插值函数 matlab
样条插值函数 matlab引言插值是数值分析中的一种常用技术，它可以根据已知数据点的信息，通过建立一个函数模型来预测未知数据点的值。
样条插值函数是插值中的一种方法，它通过连接已知数据点的线段和曲线段来逼近未知数据点，从而实现预测的目的。
在 matlab 中，我们可以使用样条插值函数来快速、准确地进行数据的估计和插值操作。
样条插值的原理样条插值是一种分段函数的插值方法，它首先将整个数据区间分成若干小段，然后在每个小段内使用一个函数去逼近已知数据点。
样条插值函数通常具有一阶、二阶或三阶连续性，这意味着在每个小段的端点上，函数值、一阶导数值、二阶导数值都是连续的。
在 matlab 中，可以使用spline函数来实现样条插值。
该函数的调用形式如下：spline(x, y, xx)其中，x和y是已知数据点的坐标，xx是需要估计的数据点的坐标。
spline函数会根据已知数据点的信息，计算出估计数据点的值。
样条插值的使用在使用样条插值函数之前，我们首先需要准备好已知数据点的坐标。
假设有以下的数据点：x = [0, 1, 2, 3, 4, 5]y = [0, 1, 4, 9, 16, 25]我们可以使用plot函数将这些数据点绘制出来，以便观察其分布情况：plot(x, y, 'o')样条插值的一阶连续性样条插值函数的一阶连续性要求每个小段的端点处函数值相等。
为了满足这个要求，我们可以在spline函数的参数列表中增加额外的约束条件：spline(x, y, xx, '1')这样，计算出的插值函数就会满足一阶连续性。
样条插值的二阶连续性样条插值函数的二阶连续性要求每个小段的端点处一阶导数值相等。
为了满足这个要求，我们可以在spline函数的参数列表中增加额外的约束条件：spline(x, y, xx, '2')这样，计算出的插值函数就会满足二阶连续性。
样条插值的三阶连续性样条插值函数的三阶连续性要求每个小段的端点处二阶导数值相等。
matlab实现三次样条插值法
题目背景：对y=1/（1+x^2）在[-1，1]区间以Xn=-1+0.1*（n-1），n=1 (21)为插值点做三次样条插值求解思路简析：以插值为四段三次函数为例进行说明（题干为插值20段三次函数），可看出方程组为q*x=d，其中q为方程组系数矩阵，x为所求三次函数的系数矩阵，其中方程组系数矩阵和d均呈规律性变化（边界点除外，首位两个点特殊堪虑）function qiujieyangtiao %%定义求解函数q=zeros(80); %%方程组的系数矩阵，赋初值为0n=-1:0.1:1; %%插值点的横坐标nd=zeros(80,1); %%插值点q*x=d中的dy=zeros(21,1); %%插值点的纵坐标向量a=1;for i=-1:0.1:1y(a)=1/(1+i^2);a=a+1; %%给插值点的纵坐标y通过原函数赋值endq(1,3)=2;q(1,4)=6*n(1);q(2,1)=1;q(2,2)=n(1);q(2,3)=n(1)^2;q(2,4)=n(1)^3;d(2)=y(1); %%给左端边界点的两个方程组系数赋值j=2;for i=3:4:75q(i,i-1)=1;q(i,i)=2*n(j);q(i,i+1)=3*n(j)^2;q(i,i+3)=-1;q(i,i+4)=-2*n(j);q(i,i+5)=-3*n(j)^2;d(i)=0;q(i+1,i)=2;q(i+1,i+1)=6*n(j);q(i+1,i+4)=-2;q(i+1,i+5)=-6*n(j);d(i+1)=0;q(i+2,i-2)=1;q(i+2,i-1)=n(j);q(i+2,i)=n(j)^2;q(i+2,i+1)=n(j)^3;d(i+2)=y(j);q(i+3,i+2)=1;q(i+3,i+3)=n(j);q(i+3,i+4)=n(j)^2;q(i+3,i+5)=n(j)^3;d(i+3)=y(j);j=j+1;end %%给系数矩阵赋值q(79,79)=2;q(79,80)=6*n(21);d(79)=0;q(80,77)=1;q(80,78)=n(21);q(80,79)=n(21)^2;q(80,80)=n(21)^3;d(80)=y(21); %%给右端边界点的两个方程组系数赋值result=q\d; %%求解系数矩阵function A=fun(x)if x>=-1&&x<-0.9A=result(1)+result(2)*x+result(3)*x*x+result(4)*x*x*x;elseif x>=-0.9&x<-0.8A=result(5)+result(6)*x+result(7)*x*x+result(8)*x*x*x;elseif x>=-0.8&x<-0.7A=result(9)+result(10)*x+result(11)*x*x+result(12)*x*x*x; elseif x>=-0.7&x<-0.6A=result(13)+result(14)*x+result(15)*x*x+result(16)*x*x*x; elseif x>=-0.6&x<-0.5A=result(17)+result(18)*x+result(19)*x*x+result(20)*x*x*x; elseif x>=-0.5&x<-0.4A=result(21)+result(22)*x+result(23)*x*x+result(24)*x*x*x; elseif x>=-0.4&x<-0.3A=result(25)+result(26)*x+result(27)*x*x+result(28)*x*x*x; elseif x>=-0.3&x<-0.2A=result(29)+result(30)*x+result(31)*x*x+result(32)*x*x*x; elseif x>=-0.2&x<-0.1A=result(33)+result(34)*x+result(35)*x*x+result(36)*x*x*x; elseif x>=-0.1&x<0A=result(37)+result(38)*x+result(39)*x*x+result(40)*x*x*x; elseif x>=0&x<0.1A=result(41)+result(42)*x+result(43)*x*x+result(44)*x*x*x; elseif x>=0.1&x<0.2A=result(45)+result(46)*x+result(47)*x*x+result(48)*x*x*x; elseif x>=0.2&x<0.3A=result(49)+result(50)*x+result(51)*x*x+result(52)*x*x*x; elseif x>=0.3&x<0.4A=result(53)+result(54)*x+result(55)*x*x+result(56)*x*x*x; elseif x>=0.4&x<0.5A=result(57)+result(58)*x+result(59)*x*x+result(60)*x*x*x; elseif x>=0.5&x<0.6A=result(61)+result(62)*x+result(63)*x*x+result(64)*x*x*x; elseif x>=0.6&x<0.7A=result(65)+result(66)*x+result(67)*x*x+result(68)*x*x*x; elseif x>=0.7&x<0.8A=result(69)+result(70)*x+result(71)*x*x+result(72)*x*x*x; elseif x>=0.8&x<0.9A=result(73)+result(74)*x+result(75)*x*x+result(76)*x*x*x; elseA=result(77)+result(78)*x+result(79)*x*x+result(80)*x*x*x; endend %%插值函数用子函数表达，方便调用x=linspace(-1,1);for i=1:length(x)A(i)=fun(x(i));endY=1./(1+x.^2);plot(x,Y,'--',x,A,':')legend('primitive','fitting') %%将原函数与该插值函数画在同一图上进行比较grid ontitle('三次样条插值')for m=1:20fprintf("S%d=%.3f+%.3f*x+%.3f*x.^2+%.3f*x.^3\n",m,result(4*m-3,1),result(4*m-2,1),result(4*m-1,1),result(4*m,1)) %%输出结果endend输出结果：S1=2.049+3.619*x+3.104*x.^2+1.035*x.^3S2=1.010+0.156*x+-0.743*x.^2+-0.390*x.^3S3=1.137+0.632*x+-0.149*x.^2+-0.143*x.^3S4=1.054+0.273*x+-0.660*x.^2+-0.386*x.^3S5=1.023+0.120*x+-0.916*x.^2+-0.528*x.^3S6=1.003+-0.002*x+-1.160*x.^2+-0.691*x.^3S7=0.997+-0.044*x+-1.265*x.^2+-0.779*x.^3S8=0.998+-0.034*x+-1.233*x.^2+-0.743*x.^3S9=1.000+-0.010*x+-1.113*x.^2+-0.543*x.^3S10=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+-0.200*x.^3S11=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+0.200*x.^3S12=1.000+0.010*x+-1.113*x.^2+0.543*x.^3S13=0.998+0.034*x+-1.233*x.^2+0.743*x.^3S14=0.997+0.044*x+-1.265*x.^2+0.779*x.^3S15=1.003+0.002*x+-1.160*x.^2+0.691*x.^3S16=1.023+-0.120*x+-0.916*x.^2+0.528*x.^3S17=1.054+-0.273*x+-0.660*x.^2+0.386*x.^3S18=1.137+-0.632*x+-0.149*x.^2+0.143*x.^3S19=1.010+-0.156*x+-0.743*x.^2+0.390*x.^3S20=2.049+-3.619*x+3.104*x.^2+-1.035*x.^3对比图。
用MATLAB计算等距三次样条插值问题
2 表达式中系数的求解
S 4( π ) 中的任意一个三次样条函数可以表示成
38
n1
四川工业学院学报 2003 年 x ), x ∑ k iB i( ∈ [ a , b] ( 2) 于是求满足条件( 3) 、 ( 4) 的 三次插值样条函数( 2)的 问题转换为求解线性方程组( 7) 的问题 。 只要从( 7)中 解出 k i( i =-1 , 0 , …, n -3) , 即可求得样条函数 。
T
k n -1 = y n 及中间系数满足的等式 k -1 B -1( x 1)+ k 0 B 0( x 1)= y 1 - y 0 + h y′ 0 Bx 1) 2( 3
ki 3 B i3( x i) +k i 2 B i2( xi ) +k i 1 B i1 ( xi )= y i i = 2 , 3 , … , n -2 k n -4 B n -4( xn -1)+k n -3 B n -3 = y n -1 h - y n - y ′ B ( x )= y i 3 n n -2 n -1 ( 6) 利用基函数( 1) , 及已知数据( 3) , 可将( 6) 式写成矩阵 形式 : 7 2 1 4 0 1 1 4 1 1 4 2 1 7 · k -1 k0 k1 ┇ k n -4 k n -3
用matlab计算等距三次样条插值问题matlab等距节点插值三次样条插值matlabmatlab样条插值matlab样条插值函数matlab样条插值求曲率matlabb样条插值拟合matlab中三次样条插值matlabb样条插值双三次样条插值matlab
四川工业学院学报
Journa l of Sichua n University o f Science and Technolog y
自编的三次样条插值matlab程序(含多种边界条件)
ai yi , i 1, 2, n 1. 2 3 y2 y1 b1 x2 x1 c1 x2 x1 d1 x2 x1 , 2 3 y y b x x n 1 n 1 n n 1 cn 1 xn xn 1 d n 1 xn xn 1 n 由节点处的一阶与二阶光滑性可知： Si'1 xi Si' xi , Si"1 xi Si" xi , i 1, 2, , n.
" 又 设 cn Sn 1 xn 2 ， 记 i xi 1 xi , i yi 1 yi , i 1, 2, , n 1 ， 则由 (1.3)可 得 ：
ci 1 ci , i 1, 2, , n 1. 3 i 从（1.2）解得： bi i ci i di i2 i i 2ci ci 1 , i 1, 2, , n 1. i i 3 将(1.4)与(1.5)代入(1.3)得： di
556657758859956855666462658565452旋转前旋转后66577588599568666462658565452旋转前旋转后图表三旋转前后样条曲线几何比较比较上图中的两条曲线易知曲线不重合故有以下结论三三三次次次样样样条条条函函函数数数插插插值值值不不不具具具备备备几几几何何何不不不变变变性性性附附附录录录三次样条插值函数matlab的m文件程序functionyybcdspline3xyxxflagvlvr三次样条插值函数xy为插值节点xx为插值点flag表端点边界条件类型vlvr表左右端点处的在边界条件值
-5.6 -5.6 -5.7 -5.7 -5.8 -5.8 -5.9 -5.9 -6 -6 -6.1 -6.1 -6.2 -6.2 -6.3 -6.3 -6.4 5.5 -6.4 5.5 6 6.5 6.5 7 7.5 7.5 8 8.5 8.5 9
MATLAB三次样条插值之三弯矩法
解：
程序：
%解样条差值%
function[newu,w,newv,d]=sanzhi(x,y,x0,y0,y1a,y1b)
n=length(x);m=length(y);
if m~=n
error('x or y重新输入');
for k=2:n-1
v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k));
u(k)=1-v(k);
d(k)=3*(v(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+u(k)ห้องสมุดไป่ตู้(y(k)-y(k-1))/h(k-1));
end
d(1)=d(1)-u(1)*y1a;
d(n-1)=d(n-1)-v(n-1)*y1b;
24.构造三次样条函数s(x)去模拟一只飞鸟外形的上部，测得的数据如下：
x=[0.9,1.3,1.9,2.1,2.6,3.0,3.9,4.4,4.7,5.0,6.0,7.0,8.0,9.2,10.5,11.3,11.6,12.0,12.6,13.0,13.3];
y=[1.2,1.5,1.85,2.1,2.6,2.7,2.4,2.15,2.05,2.1,2.25,2.3,2.25,1.95,1.4,0.9,0.7,0.6,0.5,0.4,0.25];
newv=v(1:n-2,:);
newu=u(2:n-1,:);
function intersanzhi(x,y,x0,y0,y1a,y1b)
n=length(x);m=length(y);
if m~=n
error('x or y重输');
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2 表达式中系数的求解
S 4( π ) 中的任意一个三次样条函数可以表示成
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n1
四川工业学院学报 2003 年 x ), x ∑ k iB i( ∈ [ a , b] ( 2) 于是求满足条件( 3) 、 ( 4) 的 三次插值样条函数( 2)的 问题转换为求解线性方程组( 7) 的问题 。 只要从( 7)中 解出 k i( i =-1 , 0 , …, n -3) , 即可求得样条函数 。
=[ 79609/ 17 , 339143/12 ,
增刊 吉家锋 等 : 用 MATLAB 计算等距三次样条插值问题 84975/ 2 , 206393/4 , 99659/ 2 , 453038/9] T 于是所求三次插值样条函数为 : s( x )=
i =3
39
B -03 = 1/750 ＊ ( 4＊ ( 30 -x)3 + ( 35 x)3) ; B -04 = 1/750 ＊ ( ( 35 x)3) ; B -11 = 1/750 ＊ ( x -20)3 ; B -12 = 1/750 ＊ ( ( x20)3 4＊ ( x -25)3) ; B -13 = 1/750 ＊ ( 4＊ ( 35 -x)3 + ( 40 x)3) ; B -14 = 1/750 ＊ ( ( 40 x)3) ; B -21 = 1/750 ＊ ( x -25)3 ; B -22 = 1/750 ＊ ( ( x25)3 4＊ ( x -30)3) ; B -23 = 1/750 ＊ ( 4＊ ( 40 -x)3 + ( 45 x)3) ; B -24 = 1/750 ＊ ( ( 45 x)3) ; B -31 = 1/750 ＊ ( x -30)3 ; B -32 = 1/750 ＊ ( ( x30)3 4＊ ( x -35)3) ; B -33 = 1/750 ＊ ( 4＊ ( 45 -x)3 + ( 50 x)3) ; B -34 = 1/750 ＊ ( ( 50 x)3) ; B -41 = 1/250 ＊ ( 1/ 3 ＊ ( x35)3 -3/ 2 ＊ ( x -40)3 +3 ＊ ( x45)3) ; B -42 = 1/250 ＊ ( 1/ 3 ＊ ( x35) 3 -3/ 2 ＊ ( x40)3) ; B -43 = 1/250 ＊ ( 1/ 3 ＊ ( x35) 3) ; B -51 = 1/125 ＊ ( 1/ 4 ＊ ( x40) 3 -2 ＊ ( x45)3) ; B -52 = 1/125 ＊ ( 1/ 4 ＊ ( x40) 3) ; B -6 = 1/125 ＊ ( x -45)3 ; s1 =0 ＊ B -3 + 0＊ B -21 + 79069/17 ＊ B -11 + 339143/ 12 ＊ B_01 ;% 区间[ 15 , 20) s2 =0 ＊ B -22 +79069/17 ＊ B -12 + 339143/ 12 ＊ B -02 + 84975/ 2 ＊ B -11 ; % 区间[ 20 , 25) s3 = 79609/ 17 ＊B -13 + 339143/ 12 ＊B -03 +84975/ 2 ＊ B -12 + 206393/ 4 ＊ B -21 ;% 区间[ 25 , 30) s4 = 339143/ 12 ＊B -04 +84975/ 2 ＊B -13 +206393/ 4 ＊ B -22 + 99659/ 2 ＊ B -31 ;% 区间[ 30 , 35) s5 =84975/ 2 ＊B -14 + 206393/ 4 ＊ B -23 +99659/ 2 ＊B 32 +453038/ 9 ＊ B -41 ; % 区间[ 35 , 40) s6 =206939/4 ＊B -24 +99659/2 ＊B -33 +453038/9 ＊ B -42 + 50230 ＊ B -51 ;% 区间[ 40 , 45) s7 =99659/ 2 ＊B -34 + 453038/ 9 ＊ B -43 +50230 ＊B -52 + 50230 ＊B -6 ;% 区间[ 45 , 50〗 SS = [ s1 ; s2 ; s3 ; s4 ; s5 ; s6 ; s7〗 ; SS -vpa = vpa( SS , 4) ;%计算近似值 S= simple( SS -vpa) 计算结果取近似 : S = [ 50643. 250 5949. 450 ＊x +117. 840 ＊ x 2 +3. 579 ＊x 3] [ 356803. 250 -51873. 450 ＊ x +2414. 040 ＊x 2 -34. 691
2
1 3 h 1 B -1( x)= 3 2h B -2( x)=
1 3 3 x2 - x) +-2( x1 - x) + , x ≥ x0 4( 1 3 3 3 3 x2 -x) +- ( ++ 3 ( x 1 -x ) + 3( 2 x1 -x)
1 线性空间的基函数
由三次样条函数的定义知 , s( x)在每个小区间上 的表达式为 si ( x)= ai + bix +c ix 2 + dix 3 , i = 1 , 2 , … , n 共有 4 n 个参数 a i. 由 ai , bi , c i , di ( i =1 , 2 , … , n) 三次 样条函数的二阶连续性 ② 知 , s( x)在每个内插值节 点 x i( i =1 , 2 , … , n -1) 处连续 、 一阶 、二阶导数连续 , 即有三个约束条件 。 因而在[ a , b] 上共有 3( n -1)个 约束条件 。 所以对任意的 s( x) , 共有 4 n -3( n -1)= n +3 个自由度 . 即线性空间 S 4( π ) 的维数为 n +3 。 设 π为等距分划 , 即 x i = x 0 + ih ( i =0 , 1 , 2 , …, n) , 称 h 为等距分划的步长 . 在这种情况下 , 取 S 4( π ) 的 n +3 个基函数如下 : 1 3 B -3( x)= 3 ( x 1 - x) +, x ≥ x0 h
i xi Ni N′ i 0 15 0 0 1 20 7442 / 2 25 3 30 4 35 5 40 6 45 7 50
( 3)
而( 2) 式中的待定系数有 n + 3 个 , 尚缺两个条件 。 这两
根据表达式( 2)及基函数 ( 1) , 由条件 ( 3) 、 ( 4) , 可得 4
26703 41635 49785 50209 50226 50230 / / / / / 0
求一个三次样条插值函数 , 使它满足表中所给数据 . 【 解】显然这是等距插值问题 , 步长 h = 5 为 , 由 ( 5)式得 k -3 = N 0 = 0 , h 5 N′ = 0 + · 0 = 0 3 0 3 h k 6 = N7 = 50230 , k 5 = N7 - N′ 7 3 = 50230 - 5 · 0 =50230 3 由( 7) 式求解 k 1 , k 0 , k 1 , k 2 , k 3 , k 4 的方程组为 K -2 = N0 + 7 2 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 2 14884 26703 =6 · 41635 49785 50209 75337 用 MATLAB 求解该方程组如下 : format rat A =[ 7 2 0 0 0 0 ; 1 4 1 0 0 0; 0 1 4 1 0 0; 0 0 1 4 1 0; 00 ( 7) 0 1 4 1; 0 0 0 0 2 7] ; B =6 ＊ [ 14884 26703 41635 49785 50209 75337] ' ; K = inv( A) ＊ B 计算结果为 [ k -1 , k 0 , k 1 , k 2 , k 3]
s( x )=
i =3
三次样条曲线插值问题的一般提法为 : 求一条三 次样条曲线 , 使之 n +1 过个点( x 0 , y 0) ,( x 1 , y 1) , …, ( xn , yn ) 。 实际上是给定了 n + 1 个插值条件( 假定是等 距的) s( x i)= y , i = 0 , 1 , 2 , … , n 个条件一般再给定端点处的一阶导数值 , 即 : s′ ( x 0)= y ′ ( x 0) s′ ( x n)= y′ ( x n) 个两端的系数 k -3 = y 0 h k -2 = y 0 + 3 y′ 0 k n -2 h = yn - y′ n 3 ( 5) ( 4)
摘 要 : 介 绍了等距三次样条 函数的定义与空间基 函数 , 把 线性表达式系数求解 问题转换为线性方 程 组的求解形式 , 再通过数学软件 MATLAB 进行求解 。 关键词 : 三次样条函数 ; 基函数 ; MATLAB 中图分类号 : O241. 5 文献标识码 : A
0 样条函数的定义
k -1 k0 · k1 k2 k3 k4 =6 ·
1 2 N 1 - 4 k -2 N2 N3 N4 N + y′ 0) 4 3 y 2 =6 · y 3 ┇ y n -2 1 h 2 y n -1 - ( y - y′ ) 4 n 3 n
T
k n -1 = y n 及中间系数满足的等式 k -1 B -1( x 1)+ k 0 B 0( x 1)= y 1 - y 0 + h y′ 0 Bx 1) 2( 3
ki 3 B i3( x i) +k i 2 B i2( xi ) +k i 1 B i1 ( xi )= y i i = 2 , 3 , … , n -2 k n -4 B n -4( xn -1)+k n -3 B n -3 = y n -1 h - y n - y ′ B ( x )= y i 3 n n -2 n -1 ( 6) 利用基函数( 1) , 及已知数据( 3) , 可将( 6) 式写成矩阵 形式 : 7 2 1 4 0 1 1 4 1 1 4 2 1 7 · k -1 k0 k1 ┇ k n -4 k n -3