江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三教学情况调查(一)文科数学试卷(带解析)

江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三教学情况调查（一）文科数学试卷（带解析）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =，则AB = ．【答案】{}1,2,3,4,7 【解析】 试题分析：因为{}1,4AB =，所以B ∈1,.1=m 因此AB ={}1,2,3,4,7.考点：集合运算 2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则|z |= ．【解析】试题分析：因为13i 1i +-,21242i i +-=+-=所以.5||=z 也可利用复数模的性质求解，即.5210|1||31|||==-+=i i z考点：复数的模3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：由题意得：,38=+mm 解得.4=m 解答此类问题，要明确对应关系，一是,8,22==b m a 二是双曲线中.222b a c +=考点：双曲线离心率4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ．【答案】710【解析】 试题分析：因为样本在(]10,50上的频数共有 145432=+++，所以样本在(]10,50上的频率是1072014=.也可从反面求解，即样本不在(]10,50上的频数共有 624=+，所以样本在(]10,50上的频率是107206-1=.考点：样本频率5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ．【答案】63 【解析】试题分析：第一次循环，,2,3==x y 第二次循环，,3,7==x y 第三次循环，,4,15==x y 第四次循环，,5,31==x y 第六次循环，,56,63>==x y 终止循环，输出63=y . 考点：流程图6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f考点：函数性质7．四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA =4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ．【解析】试题分析：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PC 与底面ABCD 所成角的为.PCA ∠，因此.2224t an ===∠AC PA PCA考点：直线与平面所成角8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ． 【答案】23【解析】试题分析：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有624=C 种基本事件，而甲乙两人中有且只有一个被选取包含41212=C C 种基本事件，所以所求概率为3264=. 考点：古典概型概率9．已知2tan()5a b +=，1tan 3b =，则tan +4p a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ．【答案】98【解析】试题分析：因为1713513152tan )tan(1tan )tan()tan(tan =⋅+-=++-+=-+=bb a b b a b b a a ，所以8917111711tan 1tan 1)4tan(=-+=-+=+aa a π. 考点：两角和与差正切10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ． 【答案】13 【解析】试题分析：设等差数列{}n a公差为d ，则12)1(213,233-=-+-=+-d k k k kd ，消去d 得：.13=k考点：等差数列通项公式及前n 项和公式11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为 ．【答案】9 【解析】 试题分析：因为9)16210(21)1610(21)22)(81(818=+≥++=++=+=+x y y x y x x y x y xy y x ，当且仅当22,16=+=y x x y y x 即31,34==y x 时取等号，所以8x y xy +的最小值为9. 考点：基本不等式求最值12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15A D AB A C=+λ()∈R λ，则λ的值为 ．【答案】65【解析】 试题分析：因为,2=所以31313231+=+=.又CD ∥AG ，可设,m =从而mm m m 3)31(33++=++=+=.因为15A D A B A C =+λ，所以5631,513=+==m m λ. 考点：向量共线表示13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ． 【答案】27321,{0,22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：由2(2)(0)x y x x e x =-≤求导得2(2)x y x e '=-，故2(2)(0)xy x x e x =-≤在(上单调增，在(,)-∞上单调减,且当0x <时，恒有2(2)0x y x x e =-<.又243(0)y x x x =-++>在(0,2)上单调增，在(2,)+∞上单调减,所以可作出函数()y f x =的图像，如图.由图可知，要使函数()g x 恰有两个不同的零点，需20k -=或2k -=327k <-<,即实数k 的取值范围为27321,{0,22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭.考点：利用导数研究函数图像14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ．【答案】[3(327,3++-- 【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径.r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y m x y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得3727.m-<<设C 到直线距离为d,则.d CP ≤又222211162222ABCd r d r S d AB d ∆+-=⋅=⋅==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此4CP ≥，即3m ≥+3m ≤-综上实数m 的取值范围为[3(327,3++--. 考点：直线与圆位置关系15．设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．【答案】（1） π,[3-+,（2）534,10343+.【解析】试题分析：（1）要研究三角函数的性质，首先先将三角函数化为B x A y ++=)sin(ϕω型.利用降幂公式22cos 1cos 2x x +=及倍角公式xx x 2sin 21cos sin =可将函数次数化为一次，再利用配角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 化为3)62s i n (32++=πx y ，然后利用基本三角函数图像求其最小正周期和值域，（2）解三角形问题，一般利用正余弦定理解决.本题为已知两角及一对边，选用正弦定理.由于是锐角△ABC ，开方时取正.试题解析：（1）1+cos2()622xf x x =⨯=3cos223x x +=)36x p++． 3分 所以()f x 的最小正周期为22T pp ==， 4分值域为[3-+． 6分（2）由()0f B =，得πcos(2)6B +=． B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． 9分 ∵4cos 5A =，(0,)A p ∈，∴3sin 5A =． 10分 在△ABC中，由正弦定理得32sin sin b A a B⨯===． 12分∴21sin sin()=sin()sin 32C A B A A A p p =---=+=． 14分考点：倍角公式，正余弦定理16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ． 【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒,所以△1A AB 为正三角形，因而有1AB AD ⊥.又AC BC =，D 是AB 的中点，所以有AB CD ⊥，这样就可得到AB ⊥平面1A DC ，进而可证平面1A DC ⊥平面ABC .（2）证明线面平行，关键找出线线平行. 条件“D 是AB 的中点”,提示找中位线.取1AC 中点E ，就可得DE ∥1BC ，利用线面平行判断定理即可.解决此类问题，需注意写全定理成立的所有条件，不可省略.试题解析：（1）证明：∵ 11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=︒， ∴△1A AB 为正三角形． 2分D 是AB 的中点，∴1AB A D ⊥．∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴ AB CD ⊥． 4分 1A D CD D =，∴AB ⊥平面1A DC ． 6分∵AB ⊂平面ABC ，∴平面1A DC ⊥平面ABC ． 8分 （2）证明：连结1C A ，设11AC AC E =，连结DE ． ∵三棱柱的侧面11AA C C 是平行四边形，∴E 为1AC 中点． 10分 在△1ABC 中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥1BC ． 12分∵DE ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴ 1BC ∥平面1A DC ． 14分考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理 17．一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求q 的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V p q q q q q =+∈，（2）3pq =，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．【解析】 试题分析：（1）解答实际问题关键读懂题意.本题所求体积为直四棱柱体积，体积为高与底面积的乘积.高为圆木的长，底面积为梯形ABCD 的面积.利用角BOC q ∠=表示出梯形上下底及高，就可得到所求关系式. （2）先求出函数的导数2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V q q q q q '=+-=-+，再根据导数为零时，定义区间导数值的正负讨论其单调性，研究其图像变化规律，确定其极值、最值.本题函数先增后减，在3pq =时，取极大值，也是最大值.（3）本题实质是求表面积的最大值，并判断取最大值时3p q =是否成立.首先先建立表面积的函数关系式.表面积由两部分组成，一是底面积，二是侧面积. 底面积为梯形ABCD 的面积，有两个. 侧面积为梯形ABCD 周长与圆木的长的乘积.再利用导数求出其最大值及取最大值时角的取值. 试题解析：（1）梯形ABCD 的面积2cos 2sin 2ABCD S q q +=⋅=sin cos sin q q q +，(0,)2pq ∈． 2分 体积()10(sin cos sin ),(0,)2V pq q q q q =+∈． 3分 （2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V q q q q q '=+-=-+． 令()0V q '=，得1cos 2q =，或cos 1q =-（舍）．∵(0,)2p q ∈，∴3p q =． 5分 当(0,)3p q ∈时，1cos 12q <<，()0,()V V q q '>为增函数； 当(,)32p p q ∈时，10cos 2q <<，()0,()V V q q '<为减函数． 7分 ∴当3pq =时，体积V 最大． 8分（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2q q ++，(0,)2pq ∈．2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2q q q q q ++++，(0,)2pq ∈． 10分 设()cos 2sin 12g q q q =++，(0,)2p q ∈．∵2()2sin 2sin 222g q qq =-++， ∴当1sin22q =，即3pq =时，()g q 最大． 12分又由（2）知3pq =时，sin cos sin q q q +取得最大值，所以3p q =时，木梁的表面积S 最大． 13分 综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． 14分 考点：利用导数求函数最值18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的三点，A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出b a ,的值,（2）求点(,)C m n 的坐标，需列出两个方程.一是点C 在椭圆上，即22227m n +=，二是BC 的中点在直线OA 上，即23m n =-.注意到C 在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点N M ,的坐标，算出OM 为定值.难点是如何消去参数.因为点N M ,在直线OA ： 20x y -=上，所以可设11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．选择00(,)P x y 作为参数，即用00(,)P x y 表示点N M ,的坐标.由,,P B M 三点共线，解得001003()23y x y x y -=--，同理解得00200523y x y x y -=-+.从而有22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+，这里主要用到2200227x y +=代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值. 【解析】试题分析：（1）221272x y +=,（2）(5,1)--,（3）452.试题解析：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 2分 所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． 3分（2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --．由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．①又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． 5分 所以点C 的坐标为(5,1)--． 6分（3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．∵,,P B M 三点共线，∴11033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--． 8分∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+． 10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． 14分所以124552OM ON y y ⋅==． 15分∴OM ON ⋅为定值，定值为452． 16分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列． 【答案】（1）an=2n -1（2）λ=0. 【解析】试题分析：（1）本题属于“已知n S 求n a ”,利用)2(1≥-=-n S S a n n n 化简关系式. 因为11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，所以先分离n S 与n a ，即1111n n n nS a S a +++=+，这是类等比，利用叠乘法得到1112n n S a +++=，再利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，消去n S 得12n n a a +=.求数列{an}通项公式时，需讨论当n = 1时是否满足2n ≥的情形.（2）解答本题需注意逻辑关系，由数列{}n a 是等差数列得λ= 0，这是一个必要条件，还需验证其充分性，即λ = 0时，数列{}n a 是等差数列.这可类似（1）的解答过程.试题解析：解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， 2分∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=．① 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=，∴12n na a +=（2n ≥）． 6分∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n -1（*n ∈N ）． 8分（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． 10分要使数列{}n a是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a += 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a是等差数列． 16分考点：已知n S 求n a20．已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e ]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 -22e 3．（3）3[,)e 1+∞-．【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域为,R 再求其导数为e(1)()e x x g x -'=．由()0g x '=，得x = 1.分析导数在定义区间符号正负，确定函数先增后减，所以y =()g x 有极大值为1，无极小值．（2）不等式恒成立问题，先化简不等式212111()()()()f x f xg x g x -<-．化简不等式的难点有两个，一是绝对值，二是两个参量12,.x x 可从函数单调性去绝对值，分析两个函数，一是()y f x =，二是1()y g x =.利用导数可知两者都是增函数，故原不等式等价于21212111()(),()()()f x f x x xg x g x -<->，变量分离调整为21212111()(),()()()f x f x x x g x g x -<->,这又等价转化为函数1()()()u x f x g x =-在区间[3,4]上为减函数，即21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在[3,4]上恒成立．继续变量分离得11e ex x a x x ---+≥恒成立，即11m a xe (e )x x a x x---+≥.最后只需求函数11e ex x y x x --=-+在[3,4]上最大值,就为a 的最小值.（3）本题含义为：对于函数()y g x =在(0,e]上值域中每一个值，函数()y f x =在(0,e]上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数()y g x =在(0,e]上值域(0,1]，然后根据函数()y f x =在(0,e]上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含(0,1].由()f x 在(0,e]不单调得2e m >，由每段单调区间对应的值域都需包含(0,1]得(e)1f ≥，3e 1m -≥. 试题解析：（1）e(1)()e x x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 1分列表如下：∵g(1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 4分设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立，∴()h x 在[3,4]上为增函数． 5分设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x =-=---⋅，则u(x)在[3,4]为减函数． ∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立 6分 ∴11e ex x a x x ---+≥恒成立．设11e ()ex x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 -22e3． 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e3． 9分 （3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． 10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． 11分当0m ≠时，2()()m x mf x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2e m >．① 12分 此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m 上递增，∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．②由①②，得3e 1m -≥． 13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． 14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1． 取emt -=，先证e 2m m -<，即证2e 0mm ->．③设()2e xw x x =-，则()2e 10xw x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立．∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立．再证()e mf -≥1． ∵e e 3()1e 1m mf m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． 16分考点：函数极值，不等式恒成立。