初一数学下册平方差公式专项练习 (19)
初中数学平方差公式自主学习基础达标训练题(附答案)
初中数学平方差公式自主学习基础达标训练题（附答案）一．选择题（共12小题）1．下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6B．a2•a3＝a6C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y22．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m﹣n）B．（﹣1+mn）（1+mn）C．（﹣m+n）（m﹣n）D．（2m﹣3）（2m+3）3．下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）4．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）5．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是（）A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）6．如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）27．运用乘法公式计算（m﹣2）2的结果是（）A．m2﹣4B．m2﹣2m+4C．m2﹣4m+4D．m2+4m﹣48．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（）A．29B．37C．21D．339．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b210．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．a（a+b）＝a2+ab11．已知4y2+my+9是完全平方式，则m为（）A．6B．±6C．±12D．1212．若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣6二．填空题（共12小题）13．若x+y＝2，x2﹣y2＝6，则x﹣y＝．14．若2a+b＝﹣3，2a﹣b＝2，则4a2﹣b2＝．15．（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，则a+b＝．16．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为．17．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是．18．根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是．19．（﹣x﹣2y）2＝．20．已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为．21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为．22．图1可以用来解释：（2a）2＝4a2，则图2可以用来解释：．23．已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于．24．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于．三．解答题（共10小题）25．运用乘法公式进行简便计算：1232﹣122×124．26．利用乘法公式计算：99×101．（写出计算过程）27．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；（2）你能否由此归纳出一般规律（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝；（3）根据以上规律求32018+32017+32016+…32+3+1的结果．28．乘法公式的探究及应用．（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）29．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．30．计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）31．（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）32．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．33．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，则x﹣y＝．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．34．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．参考答案:一．选择题（共12小题）1．解：A、x3+4x3＝5x3，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，故本选项错误；C、（﹣2x3）4＝16x12，故本选项正确；D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本选项错误；故选：C．2．解：A、原式＝n2﹣m2，不符合题意；B、原式＝m2n2﹣1，不符合题意；C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，符合题意；D、原式＝4m2﹣9，不符合题意，故选：C．3．解：（﹣m﹣n）（﹣m+n）＝（﹣m）2﹣n2＝m2﹣n2，故选：D．4．解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．5．解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．6．解：由图可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．7．解：（m﹣2）2＝m2﹣4m+4，故选：C．8．解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．故选：B．9．解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．10．解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）＝a2+ab故选：D．11．解：∵4y2+my+9是完全平方式，∴m＝±2×2×3＝±12．故选：C．12．解：∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．二．填空题（共12小题）13．解：∵x+y＝2，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，∴x﹣y＝3，故答案为：3．14．解：∵2a+b＝﹣3，2a﹣b＝2，∴4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝（﹣3）×2＝﹣6，故答案为：﹣6．15．解：已知等式整理得：9（a+b）2﹣1＝899，即（a+b）2＝100，开方得：a+b＝±10，故答案为：±1016．解：∵（2m+3）2＝4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，∴长方形的长为：[4m2+12m+9﹣（m+3）2]÷m＝3m+6．∴这个长方形的周长为：2（3m+6+m）＝8m+12．故答案为：（8m+12）．17．解：左边图形中，阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中，阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∵两个图形中的阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．18．解：如图所示：由图1可得，图形面积为：（a+b）（a﹣b），由图2可得，图形面积为：a2﹣b2．故这个公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．19．解：（﹣x﹣2y）2＝x2+4xy+4y2．故应填x2+4xy+4y2．20．解：a2﹣b2+6b＝（a+b）（a﹣b）+6b＝3（a﹣b）+6b＝3a+3b＝3（a+b）＝9．故答案是：9．21．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，所以a2+b2＝13，故答案为：13．22．解：如图2：整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，面积为：a2+2ab+b2；∴a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b223．解：∵x2+16x+k是完全平方式，∴k＝64．故答案为：6424．解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，解得：m＝7或﹣1，故答案为：7或﹣1．三．解答题（共10小题）25．解：1232﹣122×124＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）＝1232﹣（1232﹣12）＝1．26．解：由平方差公式，得99×101，＝（100﹣1）（100+1），＝1002﹣12，＝10000﹣1，＝9999．27．解：（1）根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；（2）根据题意得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；（3）原式＝×（3﹣1）×（1+3+32+…+32017+32018）＝．故答案为：（1）x7﹣1；（2）x n+1﹣128．解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；（2）它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；（3）根据题意得出：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝100﹣0.09＝99.91；②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]＝4m2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣n2﹣p2+2np．29．解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）＝×＝＝30．解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29．31．解：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2+4x+4﹣x2+1＝4x+5．故答案为：4x+5．32．解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；…（4分）（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴，∴x+y+z＝9，故答案为：9；…（6分）（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）33．解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）．故答案为：（m﹣n）2、（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2、±5、（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）．34．解：原式＝（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）＝±2×5•（x+y），解得a＝±10。
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)
初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)初中数学平方差完全平方公式练题一、单选题1.下列各式添括号正确的是(。
)A.x y(y x)B.x y(x y)C.10m5(2m)D.32a(2a3)2.(1y)(1y)(。
)A.1+y2B.1y2C.1y2D.1y23.下列计算结果为2ab a2b2的是(。
)A.(a b)2B.(a b)2C.(a b)2D.(a b)24.5a24b2=()25a416b4，括号内应填(。
)A.5a24b2B.5a24b2C.5a24b2D.5a24b25.下列计算正确的是(。
)A.(x y)2x22xy y2B.(m2n)2m24n2C.(3x y)2=9x2-6xy+y2D.x5x25x25/46.多项式15m3n25m2n20m2n3各项的公因式是(。
)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn27.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是(。
)A.a2b 2B.5m220mnC.x2y2D.x298.化简(x3)2x(x6)的结果为(。
)A.6x9B.12x9C.9D.3x99.下列多项式能用完全平方公式分解的是(。
)A.x2x 1B.12x x2C.a2a1/2D.a2b22ab10.计算(3a bc)(bc3a)的结果是(。
)A.b2c29a2B.b2c23a2C.b2c29a2D.9a2b2c211.如果x2(m1)x9是一个完全平方式，那么m的值是(。
)A.7B.7C.5或7D.5或512.若a,b,c是三角形的三边之长，则代数式a22bc c2b2的值(。
)A.小于0B.大于0C.等于0D.以上三种情况均有可能二、解答题13.计算：1）-3x2-5y/（x2-5y）；2）9x2+1(1-3x)(-3x-1)。
解：（1）-3x2-5y/（x2-5y）= -3x2/(x2-5y) - 5y/(x2-5y) = -3 - 5y/(x2-5y)。
2）9x2+1(1-3x)(-3x-1) = 9x2+1(9x2+3x-x-1) = (3x+1)(3x-1)。
七年级数学下册因式分解—平方差公式专项练习题
七年级数学下册因式分解—平方差公式专项练习题做基础一 选择题1. 化简: (a+2b)(a-2b)正确的是( )A. a²-2b²B. -a²-2b²C. -a²-4b²D. a²-4b²2. 下列各式不能用平方差公式计算的是( )A. (x-y)(-x+y)B. (-x+y)(-x-y)C. (-x-y)(x-y)D. (x+y)(-x+y)3. 下列算式能用平方差公式计算的是( )A. (2a+b)(2b-a)B. (12x+1)(-12-1)C. (3x-y)(-3x+y)D. (-m-n)(-m+n) 4. 如果(2x-3y)(M)=4x²-9y², 则M 表示的式子为( )A. -2x+3yB. 2x-3yC. -2xy-3yD. 2x+3y5. 下列运算正确的是( )A. (5-m)(5+m)=m²-25B. (1-3m)(1+3m)=1-3m²C. (-4-3n)(-4+3n)=-9n²+16D. (2ab-n)(2ab+n)=4ab²-n²6. 下列各式中，运算结果是x²-16y²的是( )A. (-4y+x)(-4y-x)B. (-4y+x)(4y-x)C. (4y+x)(4y-x)D. (4y-x)(-4y-x)7. 为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的长方形草坪的面积与原来的正方形草坪面积相比( )A. 增加6m²平方米B. 增加9m²平方米C. 减少9m²平方米D. 保持不变二 填空8. 在运用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²进行计算时，常需判断式子中哪部分 相当于a, 哪部分相当于b, 请就下面的式子进行判断，然后写成计算结果⑴在(-x+1)(-x-1)中，相当于公式中a 的是_____，相当于公式中b 的是______，计算结果是___________ ⑵在(-xy+1)(xy+1)中，相当于公式中a 的是_____，相当于公式中b 的是_____，计算结果是___________9. 已知m+n=12, m-n=2, 则m²-n²=_________; 若m²-n²=6, m-n=3, 则m+n=_________10. (1+a)(1-a)+a(a-2)=______________; (a-b)(a+b)(a²+b²)=_______________11. 如图甲，从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形，如图乙⑴图甲中阴影部分的面积是________ ⑵图乙中拼成的平行四边形的底边长是______，对应的高是_______， 四边形面积是__________(3)因为甲乙两个图形中阴影部分面积相等，可以发现等式_______________，这就是平方差公式。
完全平方差公式练习50题
完全平方差公式练习50题完全平方差公式是数学中的一条重要公式，它用于展开一个完全平方的表达式。
掌握这个公式的运用，对于解决一些数学问题非常有帮助。
以下是50个完全平方差公式的练题，供您练和巩固对该公式的理解和运用。
1. 将 $(x+3)^2$ 展开。
2. 将 $(2x-5)^2$ 展开。
3. 将 $(a+2b)^2$ 展开。
4. 将 $(3-x)^2$ 展开。
5. 将 $(2a-b)^2$ 展开。
6. 将 $(4x+1)^2$ 展开。
7. 将 $(y+4z)^2$ 展开。
8. 将 $(5+x)^2$ 展开。
9. 将 $(2y-3z)^2$ 展开。
10. 将 $(x-2)^2$ 展开。
11. 将 $(3a-b)^2$ 展开。
12. 将 $(2-x)^2$ 展开。
13. 将 $(2x+3)^2$ 展开。
14. 将 $(y-2z)^2$ 展开。
15. 将 $(x+4)^2$ 展开。
16. 将 $(3+x)^2$ 展开。
17. 将 $(x+2y)^2$ 展开。
18. 将 $(2z-3)^2$ 展开。
19. 将 $(a-b)^2$ 展开。
20. 将 $(x+5)^2$ 展开。
21. 将 $(3+a)^2$ 展开。
22. 将 $(2x-3y)^2$ 展开。
23. 将 $(y+3z)^2$ 展开。
24. 将 $(1-x)^2$ 展开。
25. 将 $(2x-4)^2$ 展开。
26. 将 $(y-4z)^2$ 展开。
27. 将 $(x-3)^2$ 展开。
28. 将 $(4+x)^2$ 展开。
29. 将 $(x+y)^2$ 展开。
30. 将 $(2z-2)^2$ 展开。
31. 将 $(a+b)^2$ 展开。
32. 将 $(x+6)^2$ 展开。
33. 将 $(4+a)^2$ 展开。
34. 将 $(3x-2y)^2$ 展开。
35. 将 $(y+5z)^2$ 展开。
36. 将 $(1+x)^2$ 展开。
37. 将 $(5-x)^2$ 展开。
平方差公式练习题精选(含答案)
平方差公式练习题精选(含答案)平方差公式是一种用于计算两个数的平方差的公式，可以用于简化计算。
下面给出了一些例子：1.(m+2)(m-2) = m^2 - 42.(1+3a)(1-3a) = 1 - 9a^23.(x+5y)(x-5y) = x^2 - 25y^24.(y+3z)(y-3z) = y^2 - 9z^2利用平方差公式，可以简化计算，例如：1.(5+6x)(5-6x) = 25 - 36x^22.(x-2y)(x+2y) = x^2 - 4y^23.(-m+n)(-m-n) = m^2 - n^2有些多项式的乘法可以用平方差公式计算，例如：7.B。
(－a+b)(a－b)有些计算中存在错误，例如：8.②（2a2－b）（2a2+b）=4a4-b2完全平方公式是一种用于计算两个数的平方和的公式，可以用于简化计算。
下面给出了一些例子：1.(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^22.(-2m+5n)^2 = 4m^2 - 20mn + 25n^23.(2a+5b)^2 = 4a^2 + 20ab + 25b^24.(4p-2q)^2 = 16p^2 - 16pq + 4q^2利用完全平方公式，可以简化计算，例如：1.(x-y^2)^2 = x^2 - 2xy^2 + y^42.(1.2m-3n)^2 = 1.44m^2 - 7.2mn + 9n^23.(-a+5b)^2 = a^2 - 10ab + 25b^24.(-x-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2最后，我们可以用完全平方公式计算一些复杂的表达式，例如：14.(a+2)(a^2+4)(a^4+16)(a-2) = (a^6 - 4a^5 - 24a^4 - 64a^3+ 16a^2 + 128a + 128)完全平方公式还可以用于解方程，例如：9.x+y = -310.4x^2 - y^211.(3x^2+2y^2)^2 = 9x^4 - 4y^412.(a+b)^2 - (a-b+1)^2 = 4ab - 2a + 2b13.31.下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-9B．（3b+2）（3b-2）=9b2-4C．（3m-2n）（-2n-3m）=-12mnD．（x+2）（x-3）=x2-x-62.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）C．（-a+b）（a-b）3.对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）B．64.若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）D．-105.9.8×10.2=100.366.a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab7.（x-y+z）（x+y+z）=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz8.（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc9.（x+3）2-（x-3）2=12x+1810.1) 4a2-9b22) p4-q23) x2-4xy+4y24) 4x2+4xy+y211.1) 4a4-b22) 4xy(x+y)12.剩余的空地面积为(m-2n)2-n2(m-2n)2-n2，验证了平方差公式：(a-b)(a+b)=a2-b2.13.如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（）D．±214.已知a+=3，则a2+2，则a+的值是（）B．715.若 $a-b=2$，$a-c=1$，则 $(2a-b-c)^2+(c-a)^2$ 的值为（）答案：B。
北师大版七年级数学初一下册 平方差公式(试题+参考答案)
一.填空
1．（2011常州市）分解因式：
2．(-a-b)(a-b)=
3．（2011广东株洲）当x=10，y=9时，代数式x2-y2的值是
4．
5．(x-1)=
6．(a+b)=
二.判断:
７.(0.5a-0.1)(0.5a+0.1)=
８.(a-b)(a+b)
９.
10. 11.
12.
三.选择
13.下列各式:①(x-2y)(2y+x)②(x-2y)(-x-2y)③(-x-2y)(x+2y)④(x-2y)(-x+2y)其中能用平方差公式计算的是( )
=300²－9²
=59919
解：原式=(3x)²－(2y－1)²
=9x²－4y²+4y-1
（19）解：原式=(100+99)×(100－99)+(98+97)(98+97)+…+(2+1)(2-1)
=5050
解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）
=264-1.
解：原式=(1+ )(1- )(1+ )(1- )(1+ )(1- )…(1+ )(1- )
（9）
（10）
(x+2y)(x-2y)-(x-4y)(x+4y)+(6y-5x)(5x+6y)
七．先化简,再求值:
（11）
（2011宁波市）先化简，再求值：（a＋2）(a－2)＋a(1－a)，其中a＝5
(12)．(x+2)(2-x)+x(x+1)其中x=－1．
(13)．(2011浙江绍兴)先化简，再求值： ，其中 .
初一数学平方差公式练习题
初一数学平方差公式练习题2019 初一数学平方差公式练习题1.下列运算正确的是( ) A.3a+2a=5a2 B.(2a)3=6a3C.(x+1)2=x2+1D.x2-4=(x+2)(x-2)2.已知多项式9a2-(b-c)2的一个因式为3a+b-c，则另一个因式是( )A.3a+b+cB.3a-b-cC.3a-b+cD.3a+b-c3.分解因式：(1) m2-1=_______;(2) a2-4b2=_______.4.如果a+b=-1，a-b=5，那么a2-b2=_______.5.写出一个能用平方差公式分解因式的多项式：_______.6.分解因式：(1)4a2-y2; (2)x2y4-49;(3)4a2-(3b-c)2; (4)(x+y)2-4x2;(5)(4x-3y)2-25y2; (6)25(a+b)2-4(a-b)2.【拓展提优】7.下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是( )A.-x2+16B.x2+9C.-x2-4D.x2-2y28.(2019.云南)若a2-b2=，a-b=.则a+b的值为( )A.-B.C.1D.29.如图中的图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个矩形，如图②，这一过程可以验证( )A.a2+b2-2ab=(a-b)2B.a2+b2+2ab=(a+b)2C.2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)D.a2-b2=(a+b)(a-b)10.分解因式：(1) x2-36=_______;(2)-25a2+16b2=_______.11.若a-b=3，则a2-b2-6b=_______.“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
湘教版数学七年级下册_《平方差公式》提高训练
《平方差公式》提高训练一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．23．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．2164．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．45．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4 15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．《平方差公式》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 【分析】先根据图形求出长方形的长和宽，再求出周长即可．【解答】解：长方形的宽为（a+2）﹣（a﹣1）=3cm，长为（a+2）+（a﹣1）=（2a+1）cm，所以长方形的周长为2（2a+1+3）=（4a+8）cm．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的应用，能正确根据图形表示出采访中的长和宽是解此题的关键．2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．2【分析】把等号左边利用平方差公式进行计算，再根据x的指数相等求解．【解答】解：（2﹣x）（2+x）（4+x2）=（4﹣x2）（4+x2）=16﹣x4，∵（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，∴16﹣x4=16﹣x n，则n=4，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．3．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．216【分析】原式前面配上（2﹣1）这个因数，再依次利用平方差公式计算可得．【解答】解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=216﹣1+1=216，故选：D．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．4．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．4【分析】根据平方差公式计算（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1，即可得到答案．【解答】解：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1=x n﹣1，即n=8，故选：B．【点评】本题考查平方差公式，正确掌握平方差公式是解题的关键．5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．依此即可求解．【解答】解：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．故答案为：﹣9a2+b2．【点评】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是2693．【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693．【点评】本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：当2a+b=2，2a﹣b=﹣4时，原式=（2a+b）（2a﹣b）=﹣8故答案为：﹣8【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为2018．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵m+n=2019，m﹣n=，∴m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=2019×=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）【分析】直接利用平方差公式以及多项式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2﹣2）=a4﹣a2﹣2a2+2=a4﹣3a2+2．【点评】此题主要考查了整式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．（2）根据阴影部分的面积相等，即可得到平方差公式．【解答】解：（1）新长方形的周长=2[（m+n）+（m﹣n）]=4m．（2）由题意：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）．【点评】本题考查平方差公式、长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决实际问题．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．【分析】（1）根据已知算式得出的规律求出即可；（2）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可；（3）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1，故答案为：x n+1﹣1；（2）219+218+217+…+23+22+2+1=（2﹣1）×（219+218+217+…+23+22+2+1）=220﹣1；（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1=（5﹣1）×（52018+52017+52016+…+53+52+5+1）×=（52019﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式、数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4【分析】（1）先利用平方差公式的计算1248×1252，再计算即可；（2）根据积的乘方的逆用，直接计算即可．【解答】解：（1）12502﹣1248×1252=12502﹣（1250﹣2）×（1250+2）=12502﹣（12502﹣22）=12502﹣12502+22=4；（2）（）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4=（）8×（）5×（）6×54=（）2×=．【点评】本题主要考查平方差公式及积的乘方，解决此类计算题熟记公式是关键．15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．（2）①根据（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1，令x=﹣2代入即可求出答案．②根据条件可求出x4=1，从而可求出答案．【解答】解：（1）由题意给出的规律可知：x100﹣1（2）①由给出的规律可知：（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1∴令x=﹣2，∴（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1=，②∵x3+x2+x+1=0，∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1=0，∴x4=1，∴x2016=（x4）504=1【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是根据题意找出规律，本题属于中等题型．。
平方差公式练习题精选(含答案)
平方差公式之阿布丰王创作1、利用平方差公式计算： （1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y) (3)(-m+n)(-m-n) 3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算 (1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)5、利用平方差公式计算（1）803×797 （2）398×4027．下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）8．下列计算中,毛病的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．若x2－y2=30,且x－y=－5,则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5 10．（－2x+y）（－2x－y）=______．11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较年夜的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是_____．14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2(2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)22利用完全平方公式计算： （1）(21x-32y 2)2(2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2(4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2(2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2(a+b)2-(a-b)2(4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z)(6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简,再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9.5已知x≠0且x+1x =5,求441xx的值.平方差公式练习题精选(含谜底)一、基础训练1．下列运算中,正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-62．在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（1+x） B．（12a+b）（b-12a）C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2）3．对任意的正整数n,能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A．3 B．6 C．10 D．94．若（x-5）2=x2+kx+25,则k=（）A．5 B．-5 C．10 D．-105．9.8×10.2=________; 6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．9．（12x+3）2-（12x-3）2=________．10．（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）（x-2y）2；（4）（-2x-12y）2．11．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．12．有一块边长为m的正方形空地,想在中间位置修一条“十”字型小路,•小路的宽为n,试求剩余的空空中积；用两种方法暗示出来,比力这两种暗示方法,•验证了什么公式？二、能力训练13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方,那么常数k的值为（）A．4 B．2 C．-2 D．±214．已知a+1a =3,则a2+21a,则a+的值是（）A．1 B．7 C．9 D．1115．若a-b=2,a-c=1,则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（）A．10 B．9 C．2 D．116．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（）A．25x2-4y2B．25x2-20xy+4y2 C．25x2+20xy+4y2 D．-25x2+20xy-4y217．若a2+2a=1,则（a+1）2=_________．三、综合训练18．（1）已知a+b=3,ab=2,求a2+b2；（2）若已知a+b=10,a2+b2=4,ab的值呢？19．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．参考谜底1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时,要注意平方后作差,尤其当呈现数与字母乘积的项,系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构,不能用平方差公式,•而应是多项式乘多项式．2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1）,故能被10整除．4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．6．（-2ab）；2ab7．x2+z2-y2+2xz点拨：把（x+z）作为整体,先利用平方差公式,•然后运用完全平方公式．8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc点拨：把三项中的某两项看做一个整体,•运用完全平方公式展开．9．6x 点拨：把（12x+3）和（12x-3）分别看做两个整体,运用平方差公式（12x+3）2-（12x-3）2=（12x+3+12x-3）[12x+3-（12x-3）]=x·6=6x．10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．点拨：在运用平方差公式时,要注意找准公式中的a,b．（3）x4-4xy+4y2；（4）解法一：（-2x-12y）2=（-2x）2+2·（-2x）·（-12y）+（-12y）2=4x2+2xy+14y2．解法二：（-2x-12y）2=（2x+12y）2=4x2+2xy+14y2．点拨：运用完全平方公式时,要注意中间项的符号．11．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．点拨：当呈现三个或三个以上多项式相乘时,根据多项式的结构特征,•先进行恰当的组合．（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]=2y ·2z=4yz ．点拨：此题若用多项式乘多项式法则,会呈现18项,书写会非常繁琐,认真观察此式子的特点,恰被选择公式,会使计算过程简化．12．解法一：如图（1）,剩余部份面积=m 2-mn-mn+n 2=m 2-2mn+n 2．解法二：如图（2）,剩余部份面积=（m-n ）2． ∴（m-n ）2=m 2-2mn+n 2,此即完全平方公式．点拨：解法一：是用边长为m 的正方形面积减去两条小路的面积,注意两条小路有一个重合的边长为n 的正方形．解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘,剩余面积即为边长为（m-n ）•的正方形面积．做此类题要注意数形结合．13．D 点拨：x 2+4x+k 2=（x+2）2=x 2+4x+4,所以k 2=4,k 取±2．14．B 点拨：a 2+21a =（a+1a）2-2=32-2=7．15．A 点拨：（2a-b-c）2+（c-a）2=（a+a-b-c）2+（c-a）2=[（a-b）+（a-c）] 2+（c-a）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．16．B 点拨：（5x-2y）与（2y-5x）互为相反数；│5x-2y│·│2y-5x│=（5x-•2y）2•=25x2-20xy+4y2．17．2 点拨：（a+1）2=a2+2a+1,然后把a2+2a=1整体代入上式．18．（1）a2+b2=（a+b）2-2ab．∵a+b=3,ab=2,∴a2+b2=32-2×2=5．（2）∵a+b=10,∴（a+b）2=102,a2+2ab+b2=100,∴2ab=100-（a2+b2）．又∵a2+b2=4,∴2ab=100-4,ab=48．点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+）、ab、（a2+b2）•三者之间的关系,只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出圈外人．19．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）,（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42,9x2-24x+16>9x2-16,-24x>-32．x<4．3点拨：先利用完全平方公式,平方差公式分别把不等式两边展开,然后移项,合并同类项,解一元一次不等式．八年级数学上学期平方差公式同步检测练习题1.(2004·青海)下列各式中,相等关系一定成立的是( )A.(x-y)2=(y-x)2B.(x+6)(x-6)=x2-6C.(x+y)2=x2+y2D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)2.(2003·泰州)下列运算正确的是( )A.x2+x2=2x4B.a2·a3= a5C.(-2x2)4=16x6D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y23.(2003·河南)下列计算正确的是( )A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4xB.(x+y)(x2+y2)=x3+y3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2D.(x-2y)2=x2-2xy+4y24.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )A.x4+16B.-x4-16C.x4-16D.16-x45.19922-1991×1993的计算结果是( )A.1B.-1C.2D.-26.对任意的整数n,能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )A.4B.3C.5D.27.()(5a+1)=1-25a2,(2x-3)=4x2-9,(-2a2-5b)()=4a4-25b28.99×101=()()=.9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+()][]=z2-()2.10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方,则k=.11.(a+b)2=(a-b)2+,a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2](),a2+b2=(a+b)2+,a2+b2=(a-b)2+.12.计算.(1)(a +b)2-(a -b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2；(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2； (4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655； (5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.13.已知m 2+n 2-6m+10n+34=0,求m+n 的值 14.已知a +a1=4,求a 2+21a 和a 4+41a 的值.15.已知(t+58)2=654481,求(t+84)(t+68)的值. 16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1). 17.已知a =1990x+1989,b=1990x+1990,c=1990x+1991,求a 2+b 2+c 2-a b-a c-bc 的值.18.(2003·郑州)如果(2a +2b+1)(2a +2b-1)=63,求a +b 的值.19.已知(a +b)2=60,(a -b)2=80,求a 2+b 2及a b 的值.参考谜底1.A2.B3.C4.C5.A6.C7.1-5a 2x+3 -2a 2+5b8.100-1100+1 99999.x-yz-(x-y) x-y10.±1011.4a b21- 2a b 2a b12.(1)原式=4a b ；(2)原式=-30xy+15y ；(3)原式=-8x 2+99y 2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y 2.13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.∵m 2+n 2-6m+10n+34=0, ∴(m 2-6m+9)+(n 2+10n+25)=0, 即(m-3)2+(n+5)2=0, 由平方的非负性可知,⎩⎨⎧=+=-,05,03n m ∴⎩⎨⎧-==.5,3n m ∴m+n=3+(-5)=-2. 14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.∵a +a 1=4,∴(a +a1)2=42. ∴a 2+2a ·a 1+21a =16,即a 2+21a +2=16.∴a 2+21a =14.同理a 4+41a =194.15.提示：应用整体的数学思想方法,把(t 2+116t)看作一个整体.∵(t+58)2=654481,∴t2+116t+582=654481.∴t2+116t=654481-582.∴(t+48)(t+68)=(t2+116t)+48×68=654481-582+48×68=654481-582+(58-10)(58+10)=654481-582+582-102=654481-100=654381.316.x＜217.解：∵a=1990x+1989,b=1990x+1990,c=1990x+1991,∴a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.∴a2+b2+c2-a b-a c-be1(2a2+2b2+2c2-2a b-2bc-2a c)=21[(a2-2a b+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a c+a2)]=21[(a-b2)+(b-c)2+(c-a)2]=21[(-1)2+(-1)2+22]=21(1+1+4)=2=3.18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63,∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,∴2a+2b=8或2a+2b=-8,∴a+b=4或a+b=-4,∴a+b的值为4或一4.19.a2+b2=70,a b=-5.。
9.4 平方差公式 苏科版七年级数学下册精讲精练基础篇(含答案)
专题9.11 平方差公式（基础篇）（专项练习）一、单选题1．计算的结果是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．下列能使用平方差公式的是（）A．B．C．D．4．若，则等于（）A．B．C．D．5．如果，那么代数式的值为（）A．6B．5C．2D．6．已知，，则mn的值为（）A．10B．﹣6C．﹣2D．27．对于任何整数m，多项式都能被（）整除．A．8B．m C．D．8．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8=32-12，16=52-32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（）A．20B．22C．30D．329．如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．若将阴影部分通过割、拼，形成新的图形②．则下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）A．B．C．D．10．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）A．B．C．D．二、填空题11．计算：________．12．若，，则______．13．已知，则的值是______．14．已知，则代数式的值为___________．15．若，则m的值为______________．16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了___________平方米．17．若对于任意正整数x均满足y＝1．则当x分别取2，3，…，2021时，所对应y值的乘积是_____．18．如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．（1）以上两个图形反映了等式：______；（2）运用（1）中的等式，计算______．三、解答题19．计算：（1）（x+2y）（2x﹣y）（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）20．简便计算：(1) ；(2) ．21．先化简，再求值：，其中，．22．已知，求代数式的值．23．观察下列各式：；；；；……（1）用你发现的规律填空：______×______，______×______；（2）计算：．24．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_______，长是________，面积是___________（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式__________（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下题：参考答案1．A【分析】根据平方差公式进行计算即可．解：，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．2．D【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，平方差公式逐项计算，即可判断．解：和不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意；，故B计算错误，不符合题意；，故C计算错误，不符合题意；，故D计算正确，符合题意．故选D．【点拨】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，平方差公式．熟练掌握各运算法则是解题关键．3．D【分析】根据能用平方差公式计算的式子特点：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数进行分析即可．解：A、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；B、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；C、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；D、能用平方差公式计算，故此选项符合题意；故选：D．【点拨】此题主要考查了平方差公式，关键是掌握能用平方差公式计算的式子特点．4．B【分析】根据平方差公式以及积的乘方与幂的乘方解决此题．解：．∵，∴．∴．∴．故选：B．【点拨】本题主要考查平方差公式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握平方差公式、积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．5．A【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将变成，再整体代入计算即可求解．解：，∵，∴，∴原式=2+4=6，故选：A．【点拨】本题考查整式的混合运算－化简求值，解题的关键是把所求式子化简，变形后整体代入．6．C【分析】根据题意通过平方差公式进行化简，即可得到mn的值．解：∵，，∴两式相减得：=10-2，∴(m-n+m+n)( m-n-m-n)=8，∴2m(-2n)=8，∴mn=-2，故选：C．【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的相关计算方法是解决本题的关键．7．A【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．解：因为所以原式能被8整除．故选A．【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．8．D【分析】根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可．解：设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n·2＝8n，∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．∵20、22、30都不是8的倍数，∴它们不是“创新数”，∵32是8的倍数，∴32是“创新数”，且32＝92﹣72，故选：D．【点拨】本题考查平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键．9．D【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．解：图1中，阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，拼成的图2，是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，故选：D．【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．10．B【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．解：拼成的长方形的面积，，，∵拼成的长方形一边长为，∴另一边长是．故选：B．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键．11．-9【分析】利用平方差公式即可求解．解：【点拨】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．12．2022【分析】根据平方差公式，即可求解．解：∵，，∴．故答案为：2022【点拨】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．13．4【分析】根据，对化简，再把代入，即可．解：∵∴．故答案为：．【点拨】本题考查平方差的知识，解题的关键是掌握平方差公式：．14．【分析】根据平方差公式，单项式乘以多项式计算方法展开，合并同类项后把已知式子的值代入即可求解．解：，∵，∴原式；故答案为：．【点拨】本题主要考查整式的混合运算，已知代数式的值求整式的值，掌握整式的混合原式是解题的关键．15．±6【分析】先利用平方差公式计算右边，再由相应字母的系数相同求解即可．解：右边(x+my)(x-my)==，∴，∴m=±6，故答案为：±6．【点拨】题目主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题关键．16．9【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可．解：原来正方形土地的边长为x米，面积是平方米，现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，平方米，张老汉租用的土地面积比之前少了9平方米，故答案为：9．【点拨】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．17．【分析】分别将x=2，3，…，2021代入，利用平方差公式因式分解得：解：当x＝2时，y＝1（1）（1），当x＝3时，y＝1（1）（1），当x＝4时，y＝1（1）（1），当x＝2021时，y＝1（1）（1），∴．故答案为：．【点拨】本题考查了代入求值和平方差公式的运用，数字类规律问题，正确代入并利用平方差公式得到规律是本题的关键．18． 1【分析】根据图和图中阴影部分的面积相等列式进行计算即可得出答案；原式可化为，再根据中的结论进行计算即可得出答案．解：根据题意可得，图中阴影部分的面积为：，图中长方形的长为，宽为，面积为：，则两个图形阴影部分面积相等，；故答案为：；（2）．故答案为：．【点拨】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求解是解决本题的关键．19．（1）；（2）【分析】（1）根据整式的乘法运算法则即可求解；（2）根据平方差公式即可求解．解：（1）（x+2y）（2x﹣y）＝2x2-xy+4xy﹣2y2=2x2+3xy﹣2y2；（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）＝（﹣3b）2﹣（2a）2＝9b2﹣4a2．【点拨】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知平方差公式．20．(1)150(2)【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；（2）根据平方差公式进行计算即可．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题主要考查了利用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．21．4a2-4ab+b2，49．【分析】先提公因式，再利用平方差公式化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．解：（a+b）•（2a-b）+（2a-b）（a-2b）=（2a-b）（a+b+a-2b）=（2a-b）（2a-b）=4a2-4ab+b2，当a=-2，b=3时，原式=4×（-2）2-4×（-2）×3+32=4×4+24+9=16+24+9=49．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．9．【分析】原式利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式整理后代入计算即可求出值．解：，∵，∴，∴原式=3×3=9．【点拨】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（1），，，；（2）【分析】（1）利用平方差公式把原式转化为两个分数的乘积的形式；（2）利用（1）的方法得到原式=，然后约分即可．解：（1）；，故答案为：，，，；（2）===【点拨】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．也考查了实数的运算．24．（1）；（2），，；（3）；（4）9991．【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；故答案为：；（2）由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；故答案为：，，；（3）（等式两边交换位置也可）；故答案为：；（4）原式；【点拨】此题主要考查了平方差公式，熟悉相关性质是解题的关键．。
七年级数学下册 专题第3讲 乘法公式 平方差公式重点、考点知识总结及练习
=216．
2．（2018 春•东阿县期末）从边长为 a 的正方形中剪掉一个边长为 b 的正方形（如 图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）． （1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 x2﹣4y2=12，x+2y=4，求 x﹣2y 的值．
3
（2）原式=（1000﹣3）2 =10002﹣2×3×1000+32 =1000000﹣6000+9 =994009； （3）原式=（300+4）2 =3002+2×4×300+42 =90000+2400+16 =92416； （4）原式=20182﹣（2018﹣1）（2018+1） =20182﹣（20182﹣1） =20182﹣20182+1 =1．
积的丌变性.
【随堂练习】 1．（2018 春•江都区期末）如图 1 所示，边长为 a 的正方形中有一个边长为 b 的 小正方形，如图 2 所示是由图 1 中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2．请直接用含 a，b 的代数式表示 S1，S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
4
①3； ②7； ③11； ④11，6． （1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n； （2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．
3.4.1 平方差公式 浙教版数学七年级下册素养提升练习(含解析)
第3章 整式的乘除3.4 乘法公式第1课时 平方差公式基础过关全练知识点1 平方差公式1.(2020浙江杭州中考)(1+y)(1-y)=( )A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y22.(2023浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( )m―n m+12n B.(-m-n)(m+n)C.(m-2)(m+2)D.(m-n)(n-m)3.利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( )A.4-9a2B.9a2-4C.9a2-2D.9a2+44.下列各式中,计算结果正确的是( )A.(x-3)(3+x)=x2-3B.(3x+2)(3x-2)=3x2-4C.(5ab-c)(c+5ab)=25a2b2-c2D.(-6y+x)(6y+x)=x2-36y5.计算:(1)(5+6x)(6x-5)= ;(2) -13m+n-13m―n= .6.(2023浙江温州龙湾期中)若x2-y2=44,x-y=11,则x+y= .7.(2023浙江宁波中考)计算:(a+3)(a-3)+a(1-a).知识点2 平方差公式的应用8.为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积( )A.增加8 m2B.增加16 m2C.减少16 m2D.保持不变9.解方程:(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)=7.10. 用简便方法计算:(1)3 003×2 997; (2)1102-109×111.11.如图,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,大正方形与小正方形的面积之差是60,求阴影部分的面积.能力提升全练12.若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( )A.24B.16C.8D.413.(2023江苏南京期中,5,★★☆)若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,则p,q满足的条件可能是 ( )①p=a,q=b;②p=a,q=-b;③p=-a,q=b;④p=-a,q=-b.A.①③B.①④C.②③D.②④14.(2020浙江衢州中考,12,★☆☆)定义:a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为 .15.若3(a+2023)2=81,则(a+2 022)(a+2 024)= .16.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,求a+b的值.17.探究:如图①,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成如图②所示的长方形.比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式: (用字母a、b表示).图①图②应用:请应用这个公式完成下列各题:(1)已知2m-n=3,2m+n=4,则4m2-n2的值为 ;(2)计算:(x-3)(x+3)(x2+9).18.(2022北京通州期中,25,★★☆)在整式(x-2)■(x+2)+▲中,“■”表示运算符号“-”“×”中的某一个,“▲”表示一个整式.(1)计算:(x-2)-(x+2)+(-5+y);(2)若(x-2)(x+2)+▲=3x2+6,求出整式“▲”;(3)若(x-2)■(x+2)+▲的计算结果是二次单项式,请直接写出一组满足条件的“■”和“▲”.素养探究全练19.【运算能力】先阅读,后计算.为了计算4×(5+1)×(52+1)的值,小黄把4改写成(5-1),然后可以连续运用平方差公式.计算过程如下:4×(5+1)×(52+1)=(5-1)×(5+1)×(52+1)=(52-1)×(52+1)=(52)2-1=624.请你借鉴小黄的方法计算:1×1+1+1+1+1+1+1+2答案全解全析基础过关全练1.C 根据平方差公式可得(1+y)(1-y)=1-y2.故选C.2.C (m-2)(m+2)=m 2-22,符合平方差公式,故本选项符合题意,故选C.3.A 原式=(-2+3a)(-2-3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a 2,故选A.4.C (x-3)(3+x)=x 2-32=x 2-9,所以A 选项错误;(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x 2-4,所以B 选项错误;(5ab-c)(c+5ab)=(5ab)2-c 2=25a 2b 2-c 2,所以C 选项正确;(-6y+x)(6y+x)=x 2-(6y)2=x 2-36y 2,所以D 选项错误.故选C.5.答案 (1)36x 2-25 (2)19m 2-n 2解析 (1)原式=(6x+5)(6x-5)=(6x)2-52=36x 2-25.(2)原式 =-13m 2-n 2=19m 2-n 2.6.答案 4解析 ∵(x+y)(x-y)=x 2-y 2,x 2-y 2=44,x-y=11,∴11(x+y)=44,∴x+y=4.7.解析 (a+3)(a-3)+a(1-a)=a 2-9+a-a 2=a-9.8.C 设正方形草坪的边长为x m,则面积为x 2 m 2.将该正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的长为(x+4)m,宽为(x-4)m,则改造后长方形草坪的面积为(x 2-16)m 2,故比原来的面积减少16 m 2.故选C.9.解析 去括号,得4a 2-1-4a 2+4a=7,移项、合并同类项,得4a=8,系数化为1,得a=2.10.解析 (1)原式=(3 000+3)×(3 000-3)=3 0002-32=9 000 000-9=8 999 991.(2)1102-109×111=1102-(110-1)×(110+1)=1102-(1102-1)=1.11.解析 阴影部分的面积为12AE·BC+12AE·DB=12AE(BC+DB)=12(a-b)(a+b)=12(a 2-b 2)=12×60=30,∴阴影部分的面积为30.能力提升全练12.B (a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,∵a2-b2=4,∴原式=42=16.故选B.13.C ∵(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,∴p=a,q=-b或p=-a,q=b或p=-b,q=a或p=b,q=-a,故选C.14.答案 x2-1解析 ∵a※b=a(b+1),∴(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-12=x2-1.15.答案 3解析 ∵3(a+2023)2=81,∴3(a+2023)2=34,∴(a+2 023)2=4,∴(a+2 022)(a+2 024)=(a+2 023-1)(a+2 023+1)=(a+2 023)2-1=4-1=3.16.解析 ∵(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,∴[2(a+b)-1][2(a+b)+1]=63,∴4(a+b)2-1=63,∴4(a+b)2=64,∴(a+b)2=16,∴a+b=±4.17.解析 探究:(a+b)(a-b)=a2-b2.应用:(1)12.(2)(x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81.18.解析 (1)原式=x-2-x-2-5+y=y-9.(2)根据题意得整式“▲”=3x2+6-(x-2)(x+2)=3x2+6-(x2-4)=3x2+6-x2+4=2x2+10.(3)答案不唯一.如:“■”表示的运算符号是“×”,“▲”表示的整式是4.详解:∵“■”表示的运算符号是“×”,∴原式=(x-2)(x+2)+▲=x2-4+▲,∵计算结果是二次单项式,∴“▲”表示的整式是4.素养探究全练19.解析 1×1+1+1+1+1+1+1+2=1―1+1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+=1―1+1+1+=1―1+1+.=1―1+=1-12128。
湘教版数学七年级下册_《平方差公式》拓展训练
《平方差公式》拓展训练一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b22．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．24．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣45．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a48．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣610．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+118．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n ﹣2+b n﹣1）=；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×；②92﹣（）2=8×4；③（）2﹣92=8×5；④132﹣（）2=8×；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？《平方差公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．2．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：①（﹣a﹣2b）（a+2b）=﹣（a+2b）2=﹣a2﹣4ab﹣4b2；②（a﹣2b）（﹣a+2b）=﹣（a﹣2b）2=﹣a2+4ab﹣4b2；③（a﹣2b）（2b+a）=a2﹣4b2；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b）=4b2﹣a2，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．2【分析】根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=即可求得a﹣b的值．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=，∴a﹣b=÷=，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．4．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣4【分析】利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式判断即可．【解答】解：A、原式=x2﹣3x﹣10，不符合题意；B、原式=x2+x﹣1，不符合题意；C、原式=x2﹣x﹣，符合题意；D、原式=4﹣x2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．5．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：原式（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××××…××=．故选：C．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a4【分析】先把前面两项利用平方差公式计算得原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1，然后再利用平方差公式展开，最后合并即可．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1=a4﹣1﹣a4+1=0．【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．8．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求的值．【解答】解：∵a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=12，a﹣2b=2①，∴a+2b=6②，联立①②，解得：a=4，b=1，则原式=4，故选：A．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣6【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式法则求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是4﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是4x2﹣y4，故本选项符合题意；C、结果是9x4﹣1，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣x﹣6，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平方差公式和多项式乘以多项式法则，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+ (5052)5032=5052﹣12=255024．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=﹣1．【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．【解答】解：原式=（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092=20092﹣1﹣20092=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是﹣14．【分析】先利用平方差公式化简计算，合并同类项后再代入数据计算即可．【解答】解：（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），=（3a）2﹣（2b）2﹣（2b）2+（3a）2，=2×9a2﹣2×4b2，=18a2﹣8b2．当a=﹣1，b=2时，原式=18×（﹣1）2﹣8×22=﹣14．【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，计算时，要注意符号的处理．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：5，4，3．【分析】根据题中弦数的定义判断即可．【解答】解：∵（5+4）×（5﹣4）=9×1=32，∴5是4，3的弦数，故答案为：5，4，3【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=．故答案为：．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是2﹣．【分析】在前面乘一个2×（1﹣），然后再连续利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=2×（1﹣）×（1+）××××××=2×（1﹣）××××××=2×（1﹣）×××××…=2×（1﹣）×（1+）=2×（1﹣）=2﹣故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了平方差公式的运用，正确应用公式是解题关键．对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．1﹣x n+1（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．（2）①依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+…+22018的值；②将214+215+…+2100写成（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213），即可运用①中的方法得到结果．【解答】解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．故答案为：1﹣x n+1；（2）①1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣22019）=22019﹣1；②214+215+…+2100=（1+2+22+23+24+...+2100）﹣（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+...+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2101）+（1﹣214）=2101﹣214．【点评】此题考查了平方差公式，认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是解决这类问题的方法．17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）∵图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，∴S1=a2﹣b2，S2=（a+b）（a﹣b）；（2）依据阴影部分的面积相等，可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=（216﹣1）+1=216．【点评】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．18．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）=a n﹣b n；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=2n﹣1．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1═（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1），再利用所得规律计算可得；（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1），再利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；（2）若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n ﹣1）=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1==（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1）=2n﹣1n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．（4）3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1）=×（3n﹣1n）=，故答案为：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×3；②92﹣（7）2=8×4；③（11）2﹣92=8×5；④132﹣（11）2=8×6；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？【分析】（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．【解答】解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．【点评】（1）题的关键是找出各数之间的关系．（2）题的关键是利用平方差公式计算此式，证明它成立．。
七年级数学下册完全平方公式和平方差公式练习题2套
完全平方公式和平方差公式练习题11.以下各式中，相等关系一定成立的是( )A.(x-y)2=(y-x)2B.(x+6)(x-6)=x2-6C.(x+y)2=x2+y2D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)2.以下运算正确的选项是( )A.x2+x2=2x4B.a2·a3= a5C.(-2x2)4=16x6D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y23.以下计算正确的选项是( )A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4xB.(x+y)(x2+y2)=x3+y3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2D.(x-2y)2=x2-2xy+4y24.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )A.x4+16B.-x4-16C.x4-16D.16-x45.19922-1991×1993的计算结果是( )A.1B.-1C.2D.-26.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )A.4B.3C.5D.27.()(5a+1)=1-25a2，(2x-3)=4x2-9，(-2a2-5b)()=4a4-25b28,99×101=()()=.9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+()][]=z2-()2.10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，那么k=.11.(a+b)2=(a-b)2+，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]()，a2+b2=(a+b)2+，a2+b2=(a-b)2+.12.计算.(1)(a+b)2-(a-b)2；(2)(3x-4y)2-(3x+y)2；(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2；(4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655；(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.13.m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值14.a +a 1=4，求a 2+21a 和a 4+41a 的值.15.(t+58)2=654481，求(t+84)(t+68)的值.16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).17.a =1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a 2+b 2+c 2-a b-a c-bc 的值.18.如果(2a +2b+1)(2a +2b-1)=63，求a +b 的值.19.(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值.参考答案1.A2.B3.C4.C5.A6.C7.1-5a 2x+3-2a 2+5b8.100-1100+199999.x-yz-(x-y) x-y10.±1011.4a b21- 2a b 2a b 12.(1)原式=4a b ；(2)原式=-30xy+15y ；(3)原式=-8x 2+99y 2；(4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y 2.13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性. ∵m 2+n 2-6m+10n+34=0， ∴(m 2-6m+9)+(n 2+10n+25)=0， 即(m-3)2+(n+5)2=0， 由平方的非负性可知，⎩⎨⎧=+=-,05,03n m ∴⎩⎨⎧-==.5,3n m ∴m+n=3+(-5)=-2. 14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式. ∵a +a1=4,∴(a +a1)2=42.∴a 2+2a ·a1+21a =16，即a 2+21a +2=16. ∴a 2+21a =14.同理a 4+41a=194.15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t 2+116t)看作一个整体. ∵(t+58)2=654481，∴t 2+116t+582=654481. ∴t 2+116t=654481-582. ∴(t+48)(t+68)=(t2+116t)+48×68=654481-582+48×68=654481-582+(58-10)(58+10)=654481-582+582-102=654481-100=654381.316.x＜217.解：∵a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.∴a2+b2+c2-a b-a c-be1(2a2+2b2+2c2-2a b-2bc-2a c)=21[(a2-2a b+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a c+a2)]=2练习题2一.用乘法公式计算(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (3)(y-5)2(4) (-2x+5)2(5) (34x-23y)2(6) (y+3x)(3x-y)(7) (-2+ab)(2+ab) (8) (2x-3)2(9)(-2x+3y)(-2x-3y) (10)(1 2m-3)(12m+3)(11)(13x+6y)2 (12)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)(13)、 (x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) (14) (a+2b-1)2(15) (2x+y+z)(2x-y-z) 二、判断正误：对的画“√〞，错的画“×〞.(1)(a-b)(a+b)=a 2-b 2； 〔 〕 (2)(b+a)(a-b)=a 2-b 2； 〔〕(3)(b+a)(-b+a)=a 2-b 2； 〔 〕 (4)(b-a)(a+b)=a 2-b 2； 〔〕(5)(a-b)(a-b)=a 2-b 2. 〔 〕 (6)(a+b)2=a 2+b 2； 〔 〕 (7)(a-b)2=a 2-b 2； 〔 〕 (8)(a+b)2=(-a-b)2； 〔 〕三、填空题1. 如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，那么m 的值是。